Capítulo 03. Convolución discreta $'1
Procesamiento Digital de Señales
2012 Ca#ítulo 0$. Con%oluci&n discreta
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo Facultad de Ingeniería; Telecomunicaciones Telecomunicaciones 14/02/2012 er!11!01!0"
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Capítulo 03. Convolución discreta $'2
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Capítulo 03. Convolución discreta $'$
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#ndice
$.1 $.1. $.1.1 1 $.1. $.1.2 2 $.1. $.1.$ $ $.1. $.1.4 4 $.1.* $.1. $.1." " $.1. $.1. $.1. $.1. $.1. $.1.10 10 $.1.11
Con%oluci&n en en titiem#o di discreto Con% Con%ol oluc uci& i&n n en tie tiem m#o con conttinuo inuo (sti (stimad mador or disc discree reeto to de la con%o con%oluc luci&n i&n #ara #ara se)ale se)aless energí energía a Con%oluc Con%oluci&n i&n #ara #ara se)ale se)aless energí energía a de de tiem tiem#o #o discret discreto o Con%o Con%oluc luci&n i&n disc discre retta #ara sec secuen uenci cias as fini finittas (+em#lo Con%oluc Con%oluci&n i&n de secuen secuencia ciass de duraci& duraci&n n finit finita a #or el m,t m,todo odo de la cint cinta a desli-an desli-antte (+em#lo Con%oluc Con%oluci&n i&n de secu secuenci encias as de durac duraci&n i&n finit finita a #or el m,t m,todo odo mat matric ricial ial (+em#lo Con%oluc Con%oluci&n i&n de secu secuenci encias as de duraci& duraci&n n finit finita a #or el el m,t m,todo odo de malla malla (+em#lo Con%oluci&n de secuencias de duraci&n finita #or el m,todo del #rodu cto (+em#lo
$.2
Con Con%oluc olucii&n disc iscreta eta #or #or soft oftare are
$.$
Con%oluci&n circular ecue ecuenc ncia ia #er #eriodi iodicca obr obre e el orige origen n de la sec secuen uenci cia a #eri #eri&di &dica ca 3es#la-a 3es#la-amie mient nto o aca aca adelant adelante e de la secue secuenci ncia a #eri& #eri&dic dica a 3es#la-a 3es#la-amie mient nto o aca aca atr5s atr5s de la secue secuenci ncia a #eri& #eri&dica dica 3efin 3efinic ici&n i&n de con% con%olu oluci ci&n &n circ circula ularr 6ro#i 6ro#ieda edad d de long longit itud ud de la la con% con%olu oluci ci&n &n circ circula ularr (+em#lo M,t M,todo de los los cí círculo rculoss con conc,n c,nttrico ricoss (+em#lo Con%o Con%oluc luci&n i&n cir ciruc uclar lar77 m,t m,todo odo mat matri rici cial al (+em#lo Teore Teorema ma de a#ro8i a#ro8imac maci&n i&n de la con%o con%oluc luci&n i&n lineal lineal con con la con%oluc con%oluci&n i&n circ circular ular (+em#lo
$.$. $.$.1 1 $.$. $.$.2 2 $.$. $.$.$ $ $.$. $.$.4 4 $.$. $.$.* * $.$. $.$.* * $.$." $.$. $.$." " $.$. $.$. $.$. $.$. $.$. $.$.10 10 $.$.11
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Procesamiento Digital de Señales $.4 $.4 $.4. $.4.1 1 $.4. $.4.2 2 $.4. $.4.$ $ $.$. $.$.4 4 $.$. $.$.* * $ .$ ."
Con% Con%ol oluc uci& i&n n line lineal al 23 en tiem iem#o disc discrreto eto Con%o Con%oluc luci&n i&n 23 #ar #ara a mat matri rice ces s inf infini inittas Con%o Con%oluc luci&n i&n 23 #ar #ara a mat matri rice ces s fini finittas 9as dime dimensi nsione ones s de de la mat matri ri- de con% con%olu oluci ci&n &n :ef :efle8 le8i&n i&n de de una una matr atriAlgorit Algoritmo mo %isual %isual #ara #ara la la con%o con%oluc luci&n i&n lineal lineal 23 de secuenc secuencias ias finit finitas as (+ em# lo
$.* $.*
Con% Con%ol oluc uci& i&n n cir circcular ular 23 en tiem iem#o dis discret creto o
$." $."
A#li A#lica caci cion ones es de la con% con%ol oluc uc&n &n line lineal al filt iltrado rado line lineal al Filtros sua%i-antes Filtro Filtro 13 sua%i-ante de blo
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3." Convolución en tiempo discreto para señales energía (n los segmentos siguientes se describir5 la suma de con%oluci&n como una %ersi&n muestreada de la integral de con%oluci&n. 6osteriormente7 debido a
3.1.1. Convolución de tiempo continuo Definición 3.1 Convolución para señales energía valuada en energía7 su con%oluci&n e%aluada #ara t =τ se #lantea como
•
t =τ . ean f ( t ) = g ( t ) dos se)ales
f ( t ) se mantiene fi+a f (t )
•
g (t ) se refle+a = se retrasa en
τ 7 es decir7
t cambia #or
−(t −τ) = la funci&n cambia como
g ( t )⇒ g(−( t −τ))
•
9as funciones se multi#lican >#unto a #unto como en todo #roducto de funciones?. f (t ) g (−(t − τ))
•
e calcula el 5rea del #roducto T
∫
f ∗g(τ)= lim f ( t ) g (−( t − τ)) dt [ v 2 s ] >$.1? T → ∞ − T
iguiendo la definici&n $.17 si se desea conocer la con%oluci&n #ara todo instante de tiem#o se tendría
∫
f ∗g( t )= lim f (τ) g (t −τ) d τ[ v 2 s ] >$.2? T → ∞ −T
3.1.2 Estimador discreto de la convolución para señales energía Teorema 3.1 El estimador discreto de la convolución de tiempo continuo
de con%oluci&n dada a continuaci&n N −1 f ∗g( n)= lim f ( m ) g (−( m− n)) τ ; s N →∞ m =−( N − 1)
∑
∀ n ∈ℤ >$.$?
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A modo de demostraci&n7 se #arte de la con%oluci&n dada en ecuaci&n >$.2? #ara se)ales energía. e muestrea la integral considerando las e
τ= m τ s dt =τ s >$.4? d τ=τ s T =( N − 1)τ s (n donde
•
t es la %ariable de tiem#o continuo
•
T es la %entana de tiem#o en el cual se muestrea la se)al
•
τs es el #eriodo de muestreo = tambi,n es la diferencial de tiem#o dt =
•
n es la n',sima muestra
•
N es el nmero de muestras
d τ
ustitu=endo el con+unto de ecuaciones >$.$? en la ecuaci&n >$.2? de con%oluci&n #ara se)ales energía de tiem#o continuo se logra N −1 f ∗g( n)= lim f ( m ) g (−( m− n)) τ ; s N →∞ m =−( N − 1)
∑
∀ n ∈ℤ
B&tese $.$?.
3.1.3 Convolución para señales energía de tiempo discreto Definición 3.3 La convolución para señales energía en tiempo discreto
ecuaci&n. N −1 f ∗g( n)= lim f ( m ) g (−( m− n))[ v2 ]; N →∞ m =−( N − 1)
∑
∀ n∈ℤ >$.*?
A modo de demostraci&n consid,rense $.$? #uede reescribirse como en la forma de la ecuaci&n >$.*? B&tese tambi,n
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3.1.4 Convolución discreta para secuencias finitas Definición 3.4 Convolución de dos secuencias f g . 3ada la secuencia de duraci&n finita f cu=o dominio est5 en el inter%alo n ϵ [ f Indx.min , f Indx.max ] = dada la secuencia g cu=o dominio est5 en el inter%alo n ϵ [ g Indx.min , g Indx.max ] . 9a con%oluci&n
la con%oluci&n se define como f Indx.max
f ∗g( n )=
∑
f ( m ) g (−( m− n )) ;
m = f Indx.min
∀ n ϵ[ f Indx.min + g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] >$."?
Definición 3.! El dominio de la secuencia de convolución 7 es decir7 el inter%alo de %alores de n
definido como n ∈[ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] >$.?
Definición 3." La longitud de la secuencia de convolución . 3ada la secuencia f de longitud N f a con%olucionar con la secuencia g de longitud N g 7 la longitud de la secuencia de con%oluci&n se re#resenta
como N f ∗g = se calcula como N f ∗g = N f + N g − 1 >$.?
3.1.5 Ejemplo 6ara ilustrar el #roceso de forma gen,rica consid,rense las dos secuencias siguientes f =[ f (−1) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2)] ↑ >$.? g =[ g (−1) , g ( 0 ) , g ( 1 )] ↑
en donde f Indx.min=−1 f Indx.max= 2 g Indx.min=−1
>$.10?
g Indx.max = 1
Aora se desarrolla en la tabla $.1 la suma de con%oluci&n #aras las secuencias dadas en la ecuaci&n >$.?.
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Ta#la 3.1 Con%oluci&n #ara las secuencias fDf>'1?7 f>0?7 f>1?7 f>2? G =
gDg>'1? g>0? g>1?G fg>'2? D f>'1?g>'1? fg>'1? D f>'1?g>0? fg>0? D f>'1?g>1? fg>1? D f>'1?g>2? fg>2? D f>'1?g>$? fg>$? D f>'1?g>4?
E E E E E E
f>0?g>'2? f>0?g>'1? f>0?g>0? f>0?g>1? f>0?g>2? f>0?g>$?
E E E E E E
f>1?g>'$? f>1?g>'2? f>1?g>'1? f>1?g>0? f>1?g>1? f>1?g>2?
E E E E E E
f>2?g>'4? f>2?g>'$? f>2?g>'2? f>2?g>'1? f>2?g>0? f>2?g>1?
9os #roductos en ro+o corres#onden con índices #ara los cuales el segundo o#erando de la con%oluci&n no tiene elementos definidos. Aora bien7 reali-ando los #roductos indicados se tiene $.11? ↑
donde f ∗g(−2 )= f (−1 ) g (−1 ) f ∗g(−1 )= f (−1 ) g ( 0 )+ f (0 ) g (−1 ) f ∗g( 0 )= f (−1 ) g (1 )+ f ( 0 ) g (0 )+ f ( 1) g (−1 ) f ∗g( 1 )=f (0 ) g ( 1)+ f ( 1 ) g ( 0 )+ f ( 2 ) g (−1 ) >$.12? f ∗g( 2 )=f (1 ) g ( 1)+ f ( 2 ) g( 0 ) f ∗g( 3 )= f ( 2) g ( 1)
(l c5lculo del dominio de la secuencia de con%oluci&n es como sigue n ϵ [ f Indx.min + g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ]
[−1−1,2 + 1] [−2,3 ]
>$.1$?
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n $.14?
= 4 +3− 1 =6
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3.1.6 Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo de la cinta desli!ante (l m,todo de la cinta desli-ante ilustra de manera gr5fica el #roceso de con%oluci&n entre dos secuencias7 es decir7 #ara con%olucionar una secuencia f con una secuencia g
•
9a secuencia f se mantiene sin alteraciones.
•
9a secuencia g se refle+a = se des#la-a de adelante acia atr5s.
•
(n cada des#la-amiento7 se reali-a el #roducto #unto. (n el caso de secuencias finitas s&lo se consideran a
Aora bien7 siguiendo los #asos dados7 se consideran las dos secuencias siguientes son las mismas ecuaciones >$.?. f =[ f (−1) , f ( 0) , f ( 1) , f ( 2)] ↑ g =[ g (−1) , g ( 0 ) , g ( 1 )] ↑
(ntonces #or el m,todo de la cinta desli-ante se #lantea una tabla como la mostrada en la tabla $.2.
Ta#la 3.2 M,todo de la cinta desli-ante. Bote n? g>'>nE2??
g>1?
'2
'1
0
1
2
f>0?
f>1?
f>2?
g>0?
f>'1? g>'1?
$
4
f>'1?g>'1?
f>n? g>'>nE1??
f>n? g>'n?
g>1?
f>'1? g>0?
f>0? g>'1?
f>1?
f> '1? g> 0?
f> 0? g> '1?
f>'1? g>1?
f>0? g>0?
f>1? g>'1?
f>'1?g>1?
f>0?g>0?
f>1?g>'1?
f>'1?
f>0? g>1?
f>1? g>0?
f>2? g>'1?
f>0?g>1?
f>1?g>0?
f>2?g>'1?
f>0?
f>1? g>1?
f>2? g>0?
f>1? g>1?
f>2?g>0?
f>1?
f>2? g>1?
ΣD
f>'1?g>'1?
ΣD
f>'1?g>0? E f>0?g>'1?
ΣD
f>'1?g>1?Ef>0?g>0?
f>2?
f>2?
JEf>1?g>'1?
f>n? g>'>n'1??
ΣD
f>0?g>1?Ef>1?g>0? JEf>2?g>'1?
f>n? g>'>n'2??
f>n? g>'>n'$??
f>'1?
f>'1?
f>0?
f>2?g>1?
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g>'1?
g>0?
ΣD
f>1?g>1? E f>2?g>0?
ΣD
f>2?g>1?
g>'1?
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Capítulo 03. Convolución discreta $'10
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Aora deben com#ararse los #roductos indicados en la tabla $.2 con los #roductos indicados #or la tabla $.1 = n&tese $.11?.
3.1." Ejemplo Con%olucione las siguientes secuencias f =[ 2,5↑ , 0 , 4 ] =
g =[ 4, 1 , 3 ] ↑
Ta#la 3.3 Con%oluci&n de las secuencias fDF27*7074G = gDF4717$G '2 f>n? g>'>nE$??
f>n? g>'>nE2??
$
'1
0
1
2
$
*
0
4
1
2 4 / 2 1 2
* 4 20
0
2 $ "
* 1 *
0 4 0
4
2
* $ 1*
0 1 0
4 4 1"
*
0 $ 0
4 1 4
4
0
4 $ 12
1
$
f>n? g>'>nE1??
f>n? g>'n?
f>n? g>'>n'1??
2
f>n? g>'>n'2??
2
*
4
*
JΣ=
/
JΣ=
22
JΣ=
11
Σ=
$1
JΣ=
4
JΣ=
12
4
4
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
9a secuencia de con%oluci&n es f ∗g=[ 8,22,11 , 31,4,12 ] >$.1*? ↑
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Capítulo 03. Convolución discreta $'11
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3.1.# Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo matricial Consid,rense las dos secuencias siguientes son la mismas ecuaciones >$.? f =[ f (−1) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2)] ↑ g =[ g (−1) , g ( 0 ) , g ( 1 )] ↑
(l #lanteamiento de la con%oluci&n #or f&rmula
[ ][
f ∗g (−2 ) g (−1 ) f ∗g (−1 ) g (0 ) f ∗g ( 0 ) = g( 1 ) f ∗g ( 1 ) 0 f ∗g ( 2 ) 0 f ∗g ( 3 ) 0
0 g (−1 ) g ( 0) g ( 1) 0 0
0 0 g(−1) g (0 ) g(1 ) 0
0 0 0
][
f (−1) f (0 ) g (−1 ) f (1 ) g ( 0) f (2 ) g ( 1)
]
>$.1"?
9a ecuaci&n anterior se #uede e8#resar en forma com#acta de la forma siguiente
[ f ∗g ]= G× F >$.1? (n donde
G=
[
0 g (−1 ) g ( 0) g (−1 ) g ( 1) g ( 0) g ( 1) 0 0 0 0 0
[ ]
f (−1) f ( 0 ) F = f ( 1) f ( 2)
0 0 0
g (−1 ) g( 0) g (−1) g ( 1) g (0) 0 g (1)
]
>$.1?
>$.1?
[ ]
[ f ∗g ]=
0 0
f ∗g (−2 ) f ∗g (−1 ) f ∗g ( 0 ) f ∗g ( 1 ) f ∗g ( 2 ) f ∗g ( 3 )
>$.20?
B&tese de la ecuaci&n >$.20?
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Capítulo 03. Convolución discreta $'12
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9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
3.1.$ Ejemplo Con%olucione las siguientes secuencias f =[ ↑2 , 5 , 0 , 4 ] =
[ ][ ] [ ]
4 1 3 f ∗g( n )= 0 0 0
0 4 1 3 0 0
0 0 4 1 3 0
0 0 0 4 1 3
8 2 22 5 = 11 0 31 4 4 12
g =[ 4 , 1,3 ] . 6lantenado las matrices se logra. ↑
>$.21?
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
9a secuencia de con%oluci&n es f ∗g( n )=[ 8,22,11 ,31,4,12 ] ↑
3.1.1% Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo de malla Consid,rense las dos secuencias siguientes son la mismas ecuaciones >$.? f =[ f (−1) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2)] ↑ g =[ g (−1) , g ( 0 ) , g ( 1 )] ↑
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Capítulo 03. Convolución discreta $'1$
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6rimero se crea una ma=a tal como se ilustra en la tabla $.4 en el rengl&n su#erior se coloca la secuencia f en tanto
f$%1&
f$'&
f$1&
f$2& g$%1& g$'& g$1&
9uego la ma=a se llena con el #roducto cartesiano de las secuencias7 tal como se indica en la tabla $.* Ta#la 3.!. M,todo de malla. 9lenado de la malla.
f$%1&
f$'&
f$1&
f$2&
f'1?g>'1?
f>0?g>'1?
f>1?g>'1?
f>2?g>'1?
g$%1&
f>'1?g>0?
f>0?g>0?
f>1?g>0?
f>2?g>0?
g$'&
f>'1?g>1?
f>0?g>1?
f>1?g>1??
f>2?g>1?
g$1&
Finalmente7 se reali-an sumas en diagonal acia aba+o'i-0?7f>1?7f>2?7f>$?G = Fg>0?7g>1?7g>2?G
f$%1&
f$'&
f$1&
f$2&
f'1?g>'1?
f>0?g>'1?
f>1?g>'1?
f>2?g>'1?
g$%1&
f(g$%2&
f>'1?g>0?
f>0?g>0?
f>1?g>0?
f>2?g>0?
g$'&
f(g$%1&
f>'1?g>1?
f>0?g>1?
f>1?g>1??
f>2?g>1?
g$1&
f(g$'&
f(g$1&
f(g$2&
f(g$3&
donde f ∗g(−2 )= f (−1 ) g (−1 ) f ∗g(−1 )= f (−1 ) g ( 0 )+ f (0 ) g (−1 ) f ∗g( 0 )= f (−1 ) g (1 )+ f ( 0 ) g (0 )+ f ( 1) g (−1 ) f ∗g( 1 )=f (0 ) g ( 1)+ f ( 1 ) g ( 0 )+ f ( 2 ) g (−1 ) f ∗g( 2 )=f (1 ) g ( 1)+ f ( 2 ) g( 0 ) f ∗g( 3 )= f ( 2) g ( 1)
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Capítulo 03. Convolución discreta $'14
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3.1.11 Ejemplo Con%olucione las siguientes secuencias f =[ 2,5 , 0 , 4 ] ↑ g =[ 4 , 1 , 3 ] ↑
(l #roceso #or el m,todo del #roducto 0?7f>1?7f>2?7f>$?G = Fg>0?7g>1?7g>2?G
2
!
'
4
/
20
0
1"
4
)
2
*
0
4
1
22
"
1*
0
12
3
11
31
4
12
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
9a secuencia de con%oluci&n es f ∗g=[ 8,22,11 , 31,4,12 ] ↑
3.1.12 Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo del producto Consid,rense las dos secuencias siguientes son la mismas ecuaciones >$.? f =[ f (−1) , f ( 0) , f ( 1) , f ( 2)] ↑ g =[ g (−1) , g ( 0 ) , g ( 1 )] ↑
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Capítulo 03. Convolución discreta $'1*
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(l #lanteamiento de la con%oluci&n #or #roducto
Ta#la 3.). M,todo del #roducto #ara las secuencias f>0?7f>1?7f>2?7f>$?G = g>0?7g>1?7g>2?G
f>0? g>0? f>0?g>0? E fg>0?
f>1? g>1? f>1?g>0? f>0?g>1?
f>2? g>2? f>2?g>0? f>1?g>1? f>0?g>2? fg>2?
E
fg>1?
f>$? E
f>$?g>0? f>2?g>1? f>1?g>2? fg>$?
E
f>$?g>1? f>2?g>2? fg>4?
f>$?g>2? fg>*?
donde f ∗g(−2 )= f (−1 ) g (−1 ) f ∗g(−1 )= f (−1 ) g ( 0 )+ f (0 ) g (−1 ) f ∗g( 0 )= f (−1 ) g (1 )+ f ( 0 ) g (0 )+ f ( 1) g (−1 ) f ∗g( 1 )=f (0 ) g ( 1)+ f ( 1 ) g ( 0 )+ f ( 2 ) g (−1 ) f ∗g( 2 )=f (1 ) g ( 1)+ f ( 2 ) g( 0 ) f ∗g( 3 )= f ( 2) g ( 1)
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
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3.1.13 Ejemplo Con%olucione las siguientes secuencias f =[ 2,5 , 0 , 4 ] ↑ g =[ 4 , 1 , 3 ] ↑
(l #roceso #or el m,todo del #roducto
Ta#la 3.+ Con%oluci&n de las secuencias fD27*7074G = gD4717$G
2 4
E
* 1 20 2 22
0 $ 0 * " 11
4 1" 0 1* $1
4 0 4
12 12
9a longitud de la secuencia de con%oluci&n
(l dominio de la secuencia de con%oluci&n es n ϵ [ f Indx.min+ g Indx.min , f Indx.max + g Indx.max ] n ϵ [−1 − 1,2+1 ] n ϵ [−2,3 ]
9a secuencia de con%oluci&n es f ∗g( n )=[ 8,22,11 ,31,4,12 ] ↑
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Capítulo 03. Convolución discreta $'1
Procesamiento Digital de Señales
3.! propiedades de la convolución lineal Teorema 3.2 ,sociatividad . f ( t )∗g ( t )∗h ( t )= f ( t )∗( g ( t )∗ h( t ) )
>$.22?
=( f ( t )∗g( t ) )∗h (t )
Teorema 3.3 Distri#utividad. f ( t )∗[ g (t )+ h ( t ) ]= f ( t )∗g ( t )+ f (t )∗h ( t ) >$.2$?
Teorema 3.4 -omogeneidad. Af (t )∗g (t )= A ( f ( t )∗g ( t )) >$.$4? f ( t )∗B g (t )= B ( f (t )∗g ( t )) >$.2*? Af (t )∗Bg (t )= A B ( f (t )∗g ( t ) ) >$.2"?
Teorema 3.! mpulso. (l im#ulso es el elemento identidad de la con%oluci&n f (t )∗δ( t )= f ( t ) >$.2?
Teorema 3." nvarian/a temporal .
3ada la con%oluci&n
f ( t )∗g ( t )=h ( t ) se tiene
f (t −α)∗h(t )= y ( t −α)
>$.2?
f (t )∗h ( t −β)= y ( t −β) >$.2? f ( t −α)∗ h (t −β)= y ( t − α−β) >$.$0?
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Capítulo 03. Convolución discreta $'1
Procesamiento Digital de Señales
3.3 Convolución discreta por soft$are (n MAT9AK7 la con%oluci&n tiene el formato conv ( secuencia , filtro ) conv ( secuencia , filtro , ' full∣same' )
donde
• Secuencia (s una secuencia discreta • filtro ecuencia del filtro • 'full' :etorna la secuencia com#leta de con%oluci&n • 'same' :etorna la #arte central de la con%oluci&n7 la secuencia resultante tiene el mismo dominio de la secuencia original. B&tese f =[ 2,5,0,4 ] > g =[ 4,1,3 ] > conv ( f , g ) > [8,22,11,31,4,12]
(+em#lo > f =[ 2,5,0,4 ] > g=[ 4,1,3 ] > conv ( f , g ,' full ' ) > [8,22,11,31,4,12]
(+em#lo > f =[ 2,5,0,4 ] > g =[ 4,1,3 ] > conv ( a,,'same' ) > [11,31,4,12]
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Capítulo 03. Convolución discreta $'1
Procesamiento Digital de Señales
3.% Convolución en tiempo discreto para señales potencia periódicas& convolución circular 3ada la secuencia #eriodica f (n ) de cardinalidad N a con%olucionar con otra secuencia #eriodica g ( n) tambi,n de cardinalidad N 7 el #roceso de con%oluci&n e8ige N × N #roductos e igual cantidad de sumas. (m#leando una o#eraci&n conocida como FFT >Trasnformada :5#ida de Fourier? #ara calcular la con%ouci&n7 se logra reducir este nmero a un mti#lo de N log2 N . 3ado
•
9a con%oluci&n circular o#era sobre secuencias #eri&dicas.
•
Ambas secuencias a con%olucionar tienen la misma longitud.
3.3.1 &ecuencia periódica ea la secuencia #eri&dica f con cardinalidad N =3 tal como se ilustra a continuaci&n >Bote $.$1? ↑
(sta secuencia tambi,n #uede escribirse con índices no #e ri&dicos de la forma siguiente f =[ ...f (−3) , f (−2) , f (−1) , f (0) , f ( 1) , f ( 2) , f ( 3) , f ( 4 ), f ( 5 ) , ... ] >$.$2? ↑
Ambas formas7 la #eri&dica = la no #eri&dica son e
3.3.2 &o're el origen de la secuencia periódica (n mucas bibliografías se acostumbra
3.3.3 (espla!amiento )acia adelante de una secuencia periódica Cuando una secuencia #eri&dica se adelanta un #aso7 el elemento m5s a la i-
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'20
Procesamiento Digital de Señales x ( n)=[ x ( 0) , x ( 1) , x ( 2)]
>$.$$? x ( n+ 1)=[ x ( 1) , x ( 2 ) , x ( 0)]
3.3.4 (espla!amiento )acia atr*s de una secuencia periódica Cuando una secuencia #eri&dica se atrasa un #aso7 el elemento m5s a la dereca sale #or dereca e ingresa #or la i-
>$.$4? x ( n− 1)=[ x ( 2) , x ( 0) , x ( 1)]
3.3.5 (efinición de la convolución circular Definición 3.* Convolución cirular de dos secuencias f ( n ) g (n ) . 3ada la secuencia de duraci&n finita f ( n ) de longitud N = dada la secuencia g ( n ) tambi,n de longitud N . 9a con%oluci&n
f ☼ g ( n )=
∑
f (m) g (−(m − n)) ;
∀ n ∈[ 0, N −1 ] >$.$*?
m= 0
6ara e+em#lificar el com#ortamiento #eri&dico de la f&rmula7 ,sta se desarrolla #ara BD$7 es decir7 sean las secuencias #eri&dicas siguientes f =[ f ( 0) , f ( 1) , f (2)]
>$.$"? g =[ g ( 0 ), g ( 1) , g (2)]
3esarrollando la f&rmula de la con%oluci&n ciruclar
Illustration 3."& 'a()epresentación del operando *f+. '( Acomodo de los dos operandos *f+ , *g+ para la convolución circular. MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'21
Procesamiento Digital de Señales f ☼ g (0 )=f ( 0 ) g (0 ) + f ( 1 ) g (−1 ) + f ( 2 ) g(−2 ) f ☼ g (1 )= f ( 0 ) g (1 ) + f ( 1) g (0 ) + f ( 2) g (−1)
>$.$?
f ☼ g (2 )= f ( 0 ) g (2 ) + f ( 1) g (1 ) + f ( 2) g ( 0 )
6uede notarse $.$? g (−3)= g ( 0 )
Illustration 3.!& Proceso de convolución circular para las secuencias f-f'0(/f'"(/f'!( , g-g'0(/g'"(/g'!(. MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'22
Procesamiento Digital de Señales
(ntonces las ecuaciones de la con%oluci&n se escriben como f ☼ g ( 0 )=f (0 ) g ( 0) + f ( 1) g ( 2) + f (2) g ( 1) f ☼ g ( 1)= f (0 ) g(1 ) + f ( 1) g (0 ) + f ( 2) g( 2) >$.$? f ☼ g ( 2)= f (0 ) g ( 2) + f ( 1) g (1 ) + f ( 2) g ( 0 )
3.3.6 +ropiedad de longitud de la convolución circular Definición 3.) Longitud de la secuencia de convolución circuilar . 3adas dos secuencias f = g de cardinalidad N 7 la con%oluci&n circular de ambas funciones f (n )∗g (n ) es otra funci&n f ∗g ( n) de cardinalidad N = cu=o origen es el #rimer elemento
Illustration 3.3& aplicación del m1todo de los círculos con2entricos. MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'2$
Procesamiento Digital de Señales
3.3." Ejemplo Con%olucione las secuencias #eriodicas f =[ 2,5,0,4 ] = g =[ 4,1,3,0 ] 7 su con%oluci&n circular es f ☼ g (0 )=f ( 0 ) g (0 ) f ☼ g (1 )= f ( 0 ) g (1 ) f ☼ g (2 )= f ( 0 ) g (2 ) f ☼ g (3 )=f ( 0 ) g (3 )
+ + + +
f ( 1 ) g (3) f ( 1) g (0 ) f ( 1) g (1 ) f ( 1 ) g (2)
+ + + +
f ( 2) g (2 ) f ( 2) g ( 3 ) f ( 2) g ( 0 ) f ( 2 ) g ( 1 )
+ + + +
f (3 ) g (1 )= 2 ×4 f (3 ) g (2 )=2 ×1 f (3 ) g (3 )= 2 ×3 f ( 3 ) g (0 )= 2 ×0
+ + + +
5× 0 5×4 5×1 5 ×3
+ + + +
0× 3 0× 0 0× 4 0× 1
+ + + +
4 ×1 =12 4× 3 =34 >$.40? 4× 0 =11 4 × 4 =31
3.3.# ,todo de los círculos concntricos ea la secuencia f =[ f ( 0) , f (1) , f (2)] el #rimer o#erando de una con%oluci&n circular. ste o#erando #uede re#resentarse con #untos e
• • • •
l ←0
e reali-a el #roducto #unto de los %ectores tal como indican los círculos conc,ntricos. (l círculo interior se gira un #aso en sentido del relo+ de manecillas. e re#iten los #asos asta
9a figura $.2 ilustra el #roceso de con%oluci&n circular #ara las secuencias dadas.
3.3.$ Ejemplo:ealice la con%oluci&n circular de la secuencias f =[ 2,5,0,4 ]
>$.41? g =[ 4,1,3,0 ]
9a figura $.$ ilustra c&mo se reali-a la con%oluci&n circular de la secuencias. Finalmente7 la secuencia de con%oluci&n es f ☼ g =[ 12,34,11,31 ] >$.42?
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'24
Procesamiento Digital de Señales
3.3.1% Convolución circular mtodo matricial ean las secuencias #eri&dicas de cardinalidad N =3 siguientes son las mismas ecuaciones >$.2? f =[ f ( 0 ) , f ( 1) , f (2)] g =[ g ( 0 ), g ( 1 ) , g (2 )]
(n una secci&n #asada se desarroll& la f&rmula de la con%oluci&n ciruclar #ara n ∈[ 0,1,2 ] resultando f ☼ g ( 0 )=f (0 ) g ( 0) + f ( 1) g ( 2) + f (2) g ( 1) f ☼ g ( 1)= f (0 ) g(1 ) + f ( 1) g (0 ) + f ( 2) g( 2) f ☼ g ( 2)= f (0 ) g ( 2) + f ( 1) g (1 ) + f ( 2) g ( 0 )
Aora las f&rmulas se e8#resan en forma matricial de la forma siguiente
[ ][
f ☼ g ( 0 ) g ( 0 ) g ( 2) f ☼ g ( 1 ) = g (1 ) g ( 0) f ☼ g ( 2 ) g ( 2 ) g ( 1)
][ ]
g (1 ) f ( 0 ) g (2 ) f ( 1 ) g (0 ) f ( 2 )
>$.4$?
im#lificando la f&rmula se tiene
[ f ☼ g ]=G F >$.44? (n donde
[ [ ]
g ( 0 ) g ( 2) G = g ( 1 ) g ( 0) g ( 2 ) g ( 1) f ( 0 ) F = f ( 1 ) f ( 2 )
g ( 1) g ( 2) g ( 0)
]
>$.4*?
>$.4"?
Obs,r%ense las columnas de la matri- G = n&tese
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g ( n) se acomodan
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Capítulo 03. Convolución discreta $'2*
Procesamiento Digital de Señales
3.3.11 Ejemplo :ealice la con%oluci&n circular de la secuencias >$.41? f =[ 2,5,0,4 ] g =[ 4,1,3,0 ]
6lanteando la matri- de con%oluci&n se tiene
[ ] [ ][ ] [ ] f ☼ g ( 0 ) 4 f ☼ g ( 1 ) =1 f ∗g ( 2 ) 3 0 f ☼ g ( 3 )
0 4 1 3
3 0 4 1
1 3 0 4
2 12 5 = 34 0 11 4 31
Finalmente7 la secuencia de con%oluci&n es f ☼ g =[ 12,34,11,31 ]
3.3.12 /eorema de apro0imación de la convolución lineal con la convolución circular Teorema 3.2 C0lculo de la convolución linel con la convolución circular . 3ada la secuencia no #eri&dica f ( n ) 7 de longitud N f a con%olucionar con la secuencia no #eri&dica g ( n) de longitud N g 7 la longitud de la secuencia de con%oluci&n se re#resenta como N f ∗g . 6ara calcular la con%oluci&n lineal a #artir de la
con%oluci&n circular se agregan ceros a las dos secuencias de tal forma
3.3.13 Ejemplo Calcule la con%oluci&n lineal de las siguientes dos secuencias em#leando la con%oluci&n circular. f =[ 2,5,0,4 ] g =[ 4,1,3 ]
6rimero se calculan las cardinalidades N f = 4 N g =3
9a cardinalidad de la secuencia con%lucionada es N f ☼ g = N f + N g −1
= 4 +3 − 1 =6 MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'2"
Procesamiento Digital de Señales
9uego a las secuencias a con%lucionar se les agregan ceros #ara com#letar cada u na con " elementos f ' =[ f , [ 2 ceros ]]=[ 2,5,0,4,0,0 ]
>$.42? g ' =[ g , [ 3 ceros ]]=[ 4,1,3,0,0,0 ]
Finalmente la con%oluci&n circular se calcula como
[
4 1 3 f ' ☼ g ' = 0 0 0
0 4 1 3 0 0
0 0 4 1 3 0
0 0 0 4 1 3
3 0 0 0 4 1
][][ ]
1 2 8 3 5 22 0 × 0 = 11 0 4 31 0 0 4 4 0 12
>$.4$?
6ara conocer el el origen de la secuencia7 se recurre a las estrategias em#leadas #ara la con%oluci&n lineal.
3. Propiedades de la convolución circular
Teorema 3.2 ,sociatividad . f ( t )☼ g ( t )☼ h ( t )= f ( t )☼ ( g (t )☼ h ( t ))
>$.44?
=( f ( t )☼ g ( t )) ☼ h( t )
Teorema 3.3 Distri#utividad. f (t )☼ [ g (t )+ h ( t ) ] = f ( t )☼ g( t )+ f ( t )☼ h ( t ) >$.4*?
Teorema 3.4 -omogeneidad. Af ( t )☼ g( t )= A (f (t )☼ g (t )) >$.4"? f ( t )☼ B g (t )= B ( f ( t )☼ g (t ) ) >$.4? Af (t )☼ Bg ( t )= A B ( f ( t )☼ g ( t ) ) >$.4?
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'2
Procesamiento Digital de Señales
Teorema 3.! mpulso. (l im#ulso es el elemento identidad de la con%oluci&n f ( t )☼δ( t )= f (t ) >$.4?
Teorema 3." nvarian/a temporal .
3ada la con%oluci&n
f ( t )☼ g ( t )=h ( t ) se tiene
f ( t −α)☼ h ( t )= y (t −α)
>$.*0?
f ( t )☼ h ( t −β)= y (t −β) >$.*1? f ( t −α)☼ h ( t −β)= y (t −α−β)
>$.*2?
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'2
Procesamiento Digital de Señales
3.4 Aplicaciones de la convolucón lineal& filtrado lineal 9os filtros lineales son a
{
{
!ominioes"acial : inter"olante !ominio frecuencia: "asoa#as .
{
!ominioes"acial : suavi$ante (difumina y su"rime ruido ) !ominio frecuencia: "asoa#as Filtros lineales .
{
!ominioes"acial : detector deestructuras ( ordes , lineas y texturas ) !ominio frecuencia: "asoaltas .
{
!ominioes"acial : me#ora de nitide$ !ominio frecuencia: "asoaltas
Definición 3.+ filtrado lineal de una secuencia mediante convolución lineal . (l filtrado de la secuencia finita f ( n ) con un filtro cu=a res#uesta a im#ulso es la secuencia h ; se define como f ∗h ;orden ( n )=f ( n )∗h ;orden ( n ) . An cuando la con%oluci&n es conmutati%a se sugiere
de los o#erandos sea res#etado. 9os filtros
• • • •
A filtro de blo
3.4.1 iltros suavi!antes 9os filtros sua%i-antes
• •
(l filtro sua%i-ante de blo
9os filtros sua%i-antes tienen las siguientes características
• •
(stos filtros definen sus dimensiones de acuerdo al tama)o del grano ruidoso (stos filtros
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'2
Procesamiento Digital de Señales
• •
u#rimen detalles finos
3.4.2 iltro 1( suavi!ante de 'loue Definición 3.1' iltro suavi/ante de #loue . (ste filtro tiene un com#ortamiento tem#oral igual al de un #ulso
rectangular sim,trico res#ecto del origen. u ecuaci&n característica #ara un orden #ar N es la siguiente N
1 δ( n + N − i) ; h A ; N ( n )= N + 1 i=0 2
∑
∀ n ∈[ 0, N ] >$.*$?
(ste ti#o de filtro tiene las siguientes características
•
9a transici&n abru#ta de 0 a 1 del filtro #ro%oca ri-os arm&nicos en su res#uesta en frecuencia7 lo gru#os de #i8eles contiguos?
•
(ste filtro acta bien7 en tanto el orden del mismo sea #ar. @n filtrado de orden im#ar im#licaría distorsi&n de la imagen. 9as distorsiones ser5n im#erce#tibles si el filtro es de un orden #e
fD171717*7*7*717171G; !A!2 D17171G; f!!A!2Dcon%>87!A!2?>1/$?; sub#lot>$7171?; stem>07f?; a8is>'2712707*G? sub#lot>$7172?; stem>'17071G7!A!2?; a8is>'2712707*G? sub#lot>$717$?; stem>'17f!!A!2?; a8is>'2712707*G?
Illustration 3.%& 'a( Secuencia de pulso rectangular '( Secuencia del filtro. 'c( secuencia suavi5ada con un filtro de lo6ue de segundo orden. MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$0
Procesamiento Digital de Señales
fD171717*7*7*717171G; !K!2 D17271G; f!!K!2Dcon%>f7!A!2?>1/4?; sub#lot>$7171?; stem>07f?; a8is>'2712707*G? sub#lot>$7172?; stem>'17071G7!K!2?; a8is>'2712707*G? sub#lot>$717$?; stem>'17f!!K!2?; a8is>'2712707*G?
Illustration 3.7& 'a( Secuencia de pulso rectangular '( Secuencia del filtro. 'c( secuencia suavi5ada con un filtro de inomial de segundo orden.
3.4.3 Ejemplo de filtro 1( suavi!ante de 'loue 3ada la siguiente secuencia = $.*4? ↑
A#li
1 111 3 ↑
[
]
>$.**?
9a secuencia de con%oluci&n es entonces f ∗h A ; 2 =[ 0.3, 0.7 ,1 , 2.3 ,3.6 ,5 ,3.6 , 2.3, 1 , 0.7, 0.3 ] >$.*"? ↑
9a figura $.4.c ilustra la secuencia filtrada Bote
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$1
Procesamiento Digital de Señales
3.6.4 iltro 1( suavi!ante 'inomial Definición 3.11 iltro suavi/ante de #loue . (ste filtro tiene un com#ortamiento tem#oral seme+ante a la de
una cam#ana gaussiana discreta = sim,trica res#ecto del cero. 9a secuencia
h
( n)= 1 N ∑ N % i δ(n + N −i) ∀ n∈[ 0, N ] >$.*? B ; N 2
2 i= 0
donde % =
N i
N& ; ( N −i )& i &
coeficiente de l! pir!mide de "!c!l
>$.*?
(ste ti#o de filtro tiene las siguientes características
•
(ste filtro tiene una transici&n sua%e
•
(ste filtro acta bien7 en tanto el orden del mismo sea #ar. @n filtrado de orden im#ar im#licaría distorsi&n de la imagen. 9as distorsiones ser5n im#erce#tibles si el filtro es de un orden #e
3.6.3 Ejemplo de filtro 1( suavi!ante 'inomial 3ada la siguiente secuencia7 $.41? =
A#li
1 121 4 ↑
[
]
>$.*?
9a secuencia de con%oluci&n es entonces f ∗h B ; 2 =[ 0.25 , 0.5 , 0.75 , 1.75 ,2.75 , 3.75,2.75 , 1.75,0.75,0.5,0.25] >$."0? ↑
9a figura $.*.c ilustra la secuencia filtrada Bote
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Capítulo 03. Convolución discreta $'$2
Procesamiento Digital de Señales
3.6.4 &o'remuestreo de una secuencia (l #roceso de sobremuestreo consiste de intercalar ceros en una secuencia7 el nmero de ceros %iene dado #or el factor del #roceso de sobremuestreo Definición 3.12. El proceso de so#remuestreo ea f ( n ) una secuencia finita = un factor de sobremuestreo S #erteneciente al con+unto de los enteros. (l sobremuestreo de f ( n ) es otra funci&n denotada como f (n )↑ S = consiste de intercalar S −1 ceros entre los elementos de la secuencia. Definción 3.13 El factor de so#remuestreo es un entero
es decir N f ↑ S = S× N f >$."1?
6ara ilustrar consid,rese la secuencia siguiente f =[ A , B , % , ! ] >$."2?
entonces se le a#lica un factor de sobremuestreo de S = 2 f ( n )↑ 2 =[ A , 0,B ,0, % , 0, ! , 0 ] >$."$?
así7 #uede notarse $."4?
i aora la secuencia original se sobremuestrea en S = 3 f ( n )↑ 3 =[ A , 0,0, B , 0,0,% ,0,0, ! , 0,0 ] >$."*?
consecuentemente7 #uede notarse $.""?
3.6.6 &o'remuestreo en matla' (l #roceso de sobremuestreo en MAT9AK se reali-a con la funci&n Hu#sam#le7 #or e+em#lo7 dada la siguiente secuencia
f =[ 1,3,5,7 ] >$."? (l sobremuestreo de la misma #or un factor de S =2 se reali-a como u"sam"le( f , 2)
>$."? > [ 1,0,3,0,5,0,7,0 ]
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$$
Procesamiento Digital de Señales
3.6.5 nterpolación Definición 3.14. La interpolación consiste en el c5lculo de nue%as muestras intercaladas entre las muestras
de una se)al. 9a inter#olaci&n se identifica con dos #ar5metros
•
Factor de inter#olaci&n cuantas muestras se inter#olan
•
Prado de inter#olaci&n es el grado del #olinomio
(n realidad no se usa un #olinomio #ara inter#olar sino mas bien7 un filtro7 el grado indica el ti#o de filtro = el factor de inter#olaci&n indicar5 el orden del filtro. Definición 3.1! El grado de la inter#olaci&n se refiere al grado de un #olinomio
decir
•
grado 07 el #olinomio es una constante %entana Laar
•
grado 17 el #olinomio es una recta %entana Kartlett
•
grado 27 el #olinomio es del ti#o cuadr5tico
Definición 3.1". nterpolación lineal por convolución ea f ( n ) una secuencia finita7 un factor de inter#olaci&n S = un orden de inter#olaci&n N . (l #roceso de inter#olaci&n lineal consiste de la a#licaci&n de dos o#eradores el sombremuestreo #or un factor S = la con%oluci&n con el filtro inter#olante h grado ,orden 7 es decir f ↑ S∗h grado, orden >$."?
La interpolación no es conmutativa
3.6.6 nterpolación con ventana aar Definición 3.1*.La interpolación grado cero con ventana -aar consiste en
son una re#etici&n de las muestras %ecinas. Matem5ticamente7 este filtro se define como f ↑ S∗h 0 ; S−1 >$.0?
Definición 3.1) La vetana -aar tiene un com#ortamiento tem#oral igual al de un #ulso rectangular causal. u
ecuaci&n característica #ara un orden N es la siguiente S −1
h
( n)= ∑ δ(n− i ); #: orden del filtro >$.1? 0; S − 1 i =0
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Capítulo 03. Convolución discreta $'$4
Procesamiento Digital de Señales
fD17$7*7$71G; f!2Du#sam#le>f72?; !0!1D171G; f!2!!0!1Dcon%>f!27!0!1?; sub#lot>47171?; stem>047f?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47172?; stem>07f!2?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>4717$?; stem>071G7!0!1?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47174?; stem>0107f!2!!0!1?; axis([-1,10,0,5.1])
Illustration 3.& Secuencia de interporlación 'a( secuencia original. '( Secuencia soremuestreada en un factor de !. 'c( 8iltro 9aar de grado 0 , orden ". 'd( Secuencia interpolada.
3.6." Ejemplo de interpolación aar 3ada la siguiente secuencia = $.2? ↑
A#licando el #roceso de sobremuestreo en un factor S =2 resulta en la secuencia siguiente7 misma $.$? ↑
(l filtro Laar7 el cual se ilustra en la figura $.".c de grado cero = orden 1 se re#resenta en la secuencia siguiente
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Capítulo 03. Convolución discreta $'$*
Procesamiento Digital de Señales h
0; 1
[↑ ]
= 11
>$.4?
9a secuencia de con%oluci&n es entonces f ↑ 2∗h0 ; 1=[ 1 1 3 3 5 5 3 3 1 1 0 ] >$.*? ↑
9a figura $.".d ilustra la secuencia filtrada. Bote
3.6.# nterpolación con ventana artlett Definición 3.1+. La interpolación grado uno con ventana 5artlett consiste en
se calcularon em#leando la ecuaci&n de la línea recta. Matem5ticamente7 este filtro se define como f ↑ S∗h 1 ; 2( S− 1) >$."?
Definición 3.2' La vetana 5artlett tiene un com#ortamiento tem#oral igual al de una cam#ana gaussiana
discreta = sim,trica res#ecto del cero. 9a secuencia
N
N +1 N N − n+ 1 N h 1; N ( n)= δ( n + −i )+ δ( n + − i) 2 N 2 i =0 N N i= + 1
∑
∑
∀ n ∈[ 0, N ] >$.?
2
3ebe considerarse
•
entana de grado 1 = orden 2
1 h 1 ; 2= [1 , 2 , 1 ] >$.? 2 ↑
•
entana de grado 1 = orden 4
1 h 1 ; 4= [1 , 2 , 3 , 2 , 1] >$.? 3 ↑
• h
1; 6
entana de grado 1 = orden "
= 1 [ 1 , 2 , 3 , 4 ,3 ,2 ,1 ] >$.0? 4
↑
MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$"
Procesamiento Digital de Señales
fD17$7*7$71G; f!2Du#sam#le>f72?; !1!2D17271G>1/2?; f!2!!1!2Dcon%>f!27!1!2?; sub#lot>47171?; stem>047f?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47172?; stem>07f!2?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>4717$?; stem>07172G7!0!1?; a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47174?; stem>'1107f!2!!0!1?; a8is>'1710707*.1G?
Illustration 3.4& Secuencia de interporlación 'a( secuencia original. '( Secuencia soremuestreada en un factor de !. 'c( 8iltro :artlett de grado " , orden !. 'd( Secuencia interpolada.
3.6.$ Ejemplo de interpolación artlett 3ada la secuencia de la ecuaci&n >$."?7
A#licando el #roceso de sobremuestreo en un factor S = 2 resulta en la secuencia de la ecuaci&n >$.0?. (sta secuencia se re#ite a continuaci&n = se ilustra en la figura $..b f ↑ 2=[ 1 ,0,3,0,5,0,3,0,1,0 ] ↑
(l filtro Kartlett de la ecuaci&n >$.*? el cual se re#ite a continuaci&n = se ilustra en la figura $..c de grado uno = orden 2 se re#resenta en la secuencia siguiente h 1; 2=
1 121 2 ↑
[
] MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$
Procesamiento Digital de Señales
9a secuencia de con%oluci&n es entonces f ↑ 2∗h1 ;2 =[ 0.5,1 , 2,3,4,5,4,3,2,1,0.5,0 ] >$.1? ↑
9a figura $..d ilustra la secuencia filtrada. Bote
3.% Convolución lineal !D en tiempo discreto 9a con%oluci&n 23 se suele a#licar en im5genes
• • •
Obtenidas con sensores &#ticos en el rango %isible Obtenidas con sensores &#ticos en rangos no %iisibles como el infrarro+o7 el ultra%ioleta7 ra=os gama7 ra=os Q.7 etc. Obtenidas #or radar.
(l #roceso de con%oluci&n 23 en el dominio del tiem#o discreto es =a demasiado com#le+o como #ara ilustrar en un te8to el desarrollo de las f&rmulas. A consecuencia7 suelen usarse algoritmos es#eciales como el m,todod desli-ante = el m,todo de la con%oluci&n circular.
3.4.1 Convolución 2( para matrices infinitas 3adas las matrices f (m ,n ) = g ( m , n) no #eri&dicas e infinitas7 mismas
[ [
... ... ... f (0,− 1) f ( m , n )= ... f (1,− 1) ... f (2,− 1) ... ...
... f ( 0,0) f ( 1,0) f ( 2,0) ...
... ... ... g ( 0, − 1) g ( m , n)= ... g ( 1, − 1) ... g ( 2, − 1) ... ...
... g( 0,0) g( 1,0) g( 2,0) ...
... ... f ( 0,1) f ( 0,2) f ( 1,1) f ( 1,2) f ( 2,1) f ( 2,2) ... ... ... g ( 0,1) g ( 1,1) g ( 2,1) ...
... g (0,2 ) g (1,2 ) g (2,2 ) ...
... ... ... ... ...
]
>$.2?
]
... ... ... ... ...
>$.$?
9a con%oluci&n entre ambas secuencias es ∞
f ∗g( m , n)=
∑
r =−∞
∞
∑
f ( r , c ) g (m− r , n−c ) >$.4?
c =−∞
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Capítulo 03. Convolución discreta $'$
Procesamiento Digital de Señales
3.4.2 Convolución 2( para matrices finitas e considera en este caso
[ [
f ( 0,0 )
f ( 0,1)
f ( 0,2)
...
f ( 0, N ) f
f ( 1,0 )
f ( 1,1)
f ( 1,2)
...
f ( m , n )= f ( 2,0 )
f ( 1, N f )
f ( 2,1)
f ( 2,2)
...
f ( 2, N f )
g ( m, n )=
... f ( f , 0)
... ... ... ... f ( f , 1) f ( f , 2 ) ... f ( f , N f )
]
g ( 0,0 )
g (0,1 )
g (0,2)
...
g (0, N g )
g ( 1,0)
g (1,1 )
g (1,2)
...
g (1, N g )
g ( 2,0)
g (2,1 )
g (2,2)
...
g (2, N g )
... g ( g , 0)
... ... ... g ( g ,1 ) g ( g , 2) ...
... g ( g , N g )
>$.*?
]
>$."?
= cu=as dimensiones son i$e%f&=( , N ) f f i$e%g& =( g , N g )
>$.?
9a con%oluci&n lineal 23 se #uede describir como sigue f − 1
f ∗g( m , n )=
∑
r =0
N f −1
∑
f ( r , c ) g ( m− r , n− c ) ;
c =0
m ∈[ 0, f + g−2 ] ∧ n ∈[ 0, N f + N g −2] >$.?
3.4.3 as dimensiones de la matri! de convolución 3adas las matrices f (m ,n ) = g ( m , n) no #eri&dicas = finitas cu=as dimensiones son i$e%f&=( , N f
f
) >$.?
i$e%g& =( , N ) g g
9as dimensiones de la matri- de con%oluci&n son i$e % f'g & =( f + g− 1 , N f + N g − 1) >$.0?
MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'$
Procesamiento Digital de Señales
3.4.4 7efle0ión de una matri! 6ara refle+ar una matri- se reali-an dos #asos. (l orden de los #asos no im#orta
• •
e refle+an las columnas de la matrie refle+an los renglones de la matri-
A modo de e+em#lo7 considera la siguiente matri-
[
]
g (0,0 ) g (0,1 ) g ( 0,2 ) g ( m , n )= g (1,0 ) g (1,1 ) g ( 1,2) g (2,0 ) g (2,1 ) g ( 2,2)
>$.1?
6rimero se refle+an las columnas
[
g ( 2,0) g ( 2,1) g ( 2,2) g ( 1,0) g ( 1,1) g ( 1,2) g ( 0,0 ) g ( 0,1 ) g ( 0,2)
]
>$.2?
egundo se refle+an los renglones
[
g ( 2,2) g (m , n)= g ( 1,2) g ( 0,2) (
g (2,1) g (1,1) g (0,1)
g ( 2,0) g ( 1,0) g ( 0,0)
]
>$.$?
3.4.5 8lgoritmo visual para la convolución lineal 2( de secuencias finitas (l algoritmo es sim#le7 f ( m ,n ) se mantiene sin cambios
•
9a matri-
•
9a matri- g ( m , n) se refle+a = se des#la-a en #asos de adelante acia atr5s tanto en renglones como en columnas.
•
9as matrices se multi#lican #unto a #unto >se omiten a
•
(ste algoritmo se re#ite #ara cada #aso
g ( m , n) .
(ste algoritmo
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Capítulo 03. Convolución discreta $'40
Procesamiento Digital de Señales
Ta#la 3.1' . 6roceso de con%oluci&n entre dos matrices. f>m7n? se mantiene en tanto m7n? se refle+a = des#la-a
en #asos. A cada #a so7 se multi#lican #unto a #unto las matrices. g>272?
g>271?
g>270?
g>272?
g>271?
g>270?
g>272?
g>271?
g>270?
g>172?
g>171?
g>170?
g>172?
g>171?
g>170?
g>172?
g>171?
g>170?
g> 072?
g> 071?
g>070? 8 f$'6'&
f$'61&
f$'62&
g>072?
g>071? 8 f$'6'&
g>070 8 f$'61&
f$'62&
g> 071?
g> 070?
f$16'&
f$161&
f$162&
f$16'&
f$161&
f$162&
f$26'&
f$261&
f$263&
f$26'&
f$261&
f$263&
g>272?
g>271?
g>270?
g>272?
g>271?
g>270?
g>272?
g>271?
g>270?
g> 172?
g> 171?
g>170? 8 f$'6'&
f$'61&
f$'62&
g>172?
f$'6'&
f$'61&
f$'62&
g> 072?
g> 071?
g>070? 8 f$16'&
f$161&
f$162&
g>072?
f$16'&
f$161&
f$162&
f$26'&
f$261&
f$263&
f$26'&
f$261&
f$263&
...
...
...
f$'6'&
f$'61&
g>072? 8 f$'62&
f$16'&
f$161&
f$162&
f$26'&
f$261&
f$263&
f$'6'&
f$'61&
g>172? 8 f$'62&
g> 171?
g> 170?
f$16'&
f$161&
g>072? 8 f$162&
g> 071?
g> 070?
f$26'&
f$261&
f$263&
...
...
f$'6'&
f$'61&
f$'62&
f$'6'&
f$'61&
f$'62&
f$16'&
f$161&
f$162&
f$16'&
f$161&
f$162&
f$261&
f$263&
g>272?
g>272? 8 f$26'&
g>272? 8 f$261&
f$263&
...
f$'6'&
f$'61&
f$'62&
f$16'&
f$161&
f$162&
f$26'&
f$261&
g$262& 7 f$263&
g> 271?
g> 270?
g> 272?
g> 271?
g>270? 8 f$26'&
g>172?
g>171?
g>170?
g>172?
g>171?
g>170?
g>172?
g>171?
g>170?
g>072?
g>071?
g>070?
g>072?
g>071?
g>070?
g>072?
g>071?
g>070?
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Año !0"!
Capítulo 03. Convolución discreta $'41
Procesamiento Digital de Señales
3.4.6 Ejemplo ean las dos matrices siguientes7 las cuales deben con%olucionarse
[ ]
1 f ( m ,n )= 1 1
1 1 1 1 1 1
=
[ ]
1 g ( m , n)= 2 1
2 4 2
1 2 1
9as dimensiones de las matrices son i$e%f&=( f , N f )=(3,3) i$e%g& =( , N )=(3,3) g
g
(so
9a tabla $.11 ilustra el #roceso com#leto de con%oluci&n. Así entonces7 resulta la siguiente matri-
[
1 3 f ∗g( m , m)= 4 3 1
3 4 ( 12 12 16 ( 12 3 4
3 ( 12 ( 3
1 3 4 3 1
]
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Capítulo 03. Convolución discreta $'42
Procesamiento Digital de Señales Ta#la 3.11 Con%oluci&n 23 #or el m,too desli-ante. 1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
1
2
181
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
8
1
1
281 181
8 1
3
181 281 181
8
1
181
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
481 281
1
281 481 281
1
281 481
1
1
1
281
4
2
1
2
181
1
1
1
281 181
1
181 281 181
1
181 281
1
1
1
181
2
1
1
1
1
1
1
1
3
8
+
1
8 12
1
8
1
2
1
281
1
1
8
4
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
8
181 281
2
1
1
4
1
1
8
2
1
1
1
+
3
8
1
2
181
1
1
1
281 181
1
181 281 181
1
181 281
1
1
1
181
2
1
2
4
281
1
1
2
481 281
1
281 481 281
1
281 481
2
1
1
281
4
2
1
2
181
1
1
1
281 181
1
181 281 181
1
181 281
1
1
1
181
2
1
8
4
8 12
1
1
1
1
1
8 1" 1
1
1
8 12 1
1
1
8
4
1
1
1
1
1
2
181
1
1
1
281 181
1
181 281 181
1
181 281 181
1
1
181
2
1
2
4
281
1
1
2
481 281
1
281 481 281
1
281 481 281
1
1
281
4
2
1
2
1
1
281 181
1
2
1
8
3
8
181 281 181
+
8 12
181 281 181
8
+
8
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
181
2
1
1
2
181
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
8
1
1
281 181
8
3
1
181 281 181
8 471
1
8
MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo
181 281
3
1
8
1
Año !0"!
