Matriks, Determinan Dan Persamaan Linear

MATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR Pada kesempatan ini, Anda akan mempelajari mengenai matriks dan operasi, sistem persamaan linear (menggunakan metode eliminasi Gauss), eksistensi dan sifat umum persamaan linear, determinan dan aturan Cramer. Anda mungkin bertanya-tanya, mengapa matriks sering kali dipergunakan?. Apakah matriks itu sebenarnya?. Mengapa pertanyaan dasar tersebut Anda tanyakan?. Salah satu alasannya adalah mungkin karena Anda kesulitan dalam memahami dan menerapkan matriks tersebut. Ada pepatah, tak kenal maka tak sayang. Oleh karena itu, penjelasan dalam bab ini akan dimulai dengan definisi dari matriks. Matriks sebenarnya adalah susunan dari bilangan-bilangan atau fungsi-fungsi yang memenuhi suatu hukum. Dalam fisika, penggunaan matriks biasanya digunakan untuk memberikan deskripsi transformasi linear seperti pada perubahan sistem koordinat, menganalisis mekanika klasik, mekanika relativitas, teori partikel, dan mekanika kuantum. Matrik dapat pula didefinisikan sebagai seperangkat bilangan atau fungsi dalam kotak dua dimensi atau susunan persegi. Dalam matriks, ada istilah baris dan kolom. Matriks dengan susunan ke arah horisontal, disebut baris dan susunan ke arah arah vertikal disebut kolom. Matriks biasanya ditulis m x n, artinya jumlah baris dalam matriks ini ada sebanyak m, dan terdapat n kolom. Tiap suku (komponen atau disebut juga elemen) dalam matrik diberi simbol ij, dimana i menunjukkan baris ke-i dan j menunjukkan kolom ke-j. Sebagai contoh a23, artinya suku ke-a ini terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3. Susunan bilangan atau fungsi tersebut diletakkan dalam sebuah tanda kurung ( ), atau sebuah kurung siku  , atau dapat pula dalam sebuah tanda kurung garis ganda yang ditunjukkan pada matriks di bawah ini.

 . Seperti

      atau

atau atau

Dalam beberapa buku, Anda mungkin menemukan tampilan matriks seperti pada bagian sisi sebelah kiri atau tengah. Orde matriks adalah ukuran matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom dari matriks tersebut. Penulisan orde matriks adalah dengan menuliskan perkalian antara jumlah baris dan jumlah kolom, misalakan m x n. Matriks tidak semuanya berbentuk bujursangkar. Bentuk bujursangkar ini diperoleh jika jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n), m =n. Jika m  n, maka akan dihasilkan bentuk matriks yang berbeda. Jika matriksnya hanya terdiri dari sebuah kolom (matriks m x 1), maka ini disebut sebagai matriks kolom atau vektor kolom. Sebaliknya, jika matriks tersebut terdiri sebuah baris (matriks 1 x n), maka ini disebut matrik matri k baris atau vektor baris.

MATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR, FISIKA MATEMATIKA 1

96

Perhatikan beberapa matriks di bawah ini. Kemudian tuliskan bentuk matriksnya

 −          

4x1 Vektor kolom

3 x2

2x3

 

 

2x2 Matriks bujursangkar

1x2 Vektor baris

Operasi Matriks

Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan orde yang sama (m x n), maka: 1. A = B, jika dan hanya jika a ij = bij. 2. Penambahan dari beberapa matriks dapat dilakukan menambahkan tiap kompenen dalam matrik yang memiliki indeks baris dan kolom yang sama. Sebagai contoh:

   1 4

2 5

3 + 6

7 3

8 5

1+7 4+3

9 = 7



2+8 5+5

3+9 8 = 6+7 7

10 10



12 12

Ingat. Anda hanya menambahkan tiap komponen matriks jika orde matriksnya sama. Sebagai contoh:

   1 4

2 5

3 + 6

7 3

8 5

Matriks ini tidak dapat ditambahkan.

3. Pengurangan dari beberapa matriks dapat dilakukan mengurangkan tiap kompenen dalam matrik yang memiliki indeks baris dan kolom yang sama. Sebagai contoh:

  −    −− −− −−  − − −−       1 4

2 5

3 6

7 3

8 5

9 = 7

1 4

7 3

2 5

8 5

3 6

9 = 7

6 1

6 0

6 1

4. Perkalian matriks dengan suatu bilangan skalar merupakan hasil kali antara bilangan tersebut dengan tiap komponen dalam matriks. Sebagai contoh:

1 4

2 5

3 = 6

3x1 3x4

3x2 3x5

3x3 3 = 3x6 12

6 15


9 18

97

5. Perkalian matriks dengan matriks adalah dengan mengkalikan komponen baris dengan kolom. Perhatikan perkalian matriks di bawah ini.

              2 4

3 8

5 7

2x5 + 3x7 4x5 + 8x7

6 = 9

2x6 + 3x9 4x6 + 8x9

=

31 76

39 96

Baris pertama dikalikan dengan kolom pertama. Hasilnya diletakkan pada komponen 11 (dibaca satu satu ). Kemudian baris pertama dikalikan dengan kolom kedua. Hasil kalinya diletakkan pada komponen 12. Dengan cara yang sama. Kalikan baris kedua dengan kolom pertama, taruh pada komponen 21. Dan terakhir baris kedua dengan kolom kedua. Hasilnya diletakkan pada komponen 22. Atau dapat pula Anda gunakan aturan umum, yaitu komponen pada baris i dan kolom j yang dihasilkan dari perkalian dua buah matriks AB adalah sebanding dengan baris i dari matriks A dikalikan dengan kolom j dari matriks B . Notasi dari perkalian matriks tersebut dapat dituliskan sebagai:

    =

Hati-hati, pada umumnya perkalian matriks tidak bersifat komutatif, artinya matriks AB tidak sama dengan BA (AB  BA). Terdapat istilah komutator untuk mendefinisikan perkalian antara AB dan BA. Penerapan komutator ini biasanya akan Anda temukan pada kuliah mekanika kuantum. Komutator dari suatu besaran disimbolkan dengan tanda kurung A,B dengan

  − ,

=

Suatu perkalian matriks dikatakan komut jika AB = BA . Atau dapat pula bersifat anti komut jika AB = - BA. Selain itu, ada yang harus diperhatikan dalam perkalian matriks, yaitu kesesuaian (conformable (conformable)) yaitu matriks-matriks yang hasil kalinya terdefinisi. Sebagai contoh, jika Anda memiliki matriks

 −     −   −    −  − − −    −  −  =

dan

=

Hitunglah AB dan BA.

=

=

=

tak terdefinisi


98

Mengapa tak terdefinisi?. Mungkin itu pertanyaan yang ingin Anda utarakan. Perhatikan orde dari matriks A dan B. Matriks A adalah 2 x 2 dan matriks B adalah 2 x 3. Jumlah kolom pada orde matriks pertama (A) haruslah sama dengan jumlah baris pada matriks kedua (B), seperti yang ditunjukkan pada uraian di bawah. Jika jumlah kolom pada orde matriks pertama (A) tidak sama dengan jumlah baris pada matriks kedua (B), maka hasil kali matriksnya tidak terdefinisi atau tidak sesuai (not ( not conformable). conformable). Orde matriks dari hasil perkalian dari kedua matriks tersebut dapat ditentukan dari jumlah baris matrik pertama dan jumlah kolom matriks kedua.

Dalam perkalian matriks berlaku sifat asosiatif (pengelompokan). Misalkan matriks (AB)C = A(BC). Selain itu berlaku pula hukum distributif yaitu A(B+C) = AB + AC, dan (A+B)C = AC + BC.

Contoh soal . 1. Pengukuran posisi dan momentum dari suatu partikel tidak dapat dilakukan secara

    −ħ   −ħ            − ħ − ħ            −      −     −ħ    − −−ħ     −ħ    ħ  −ħ 

serempak. Artinya px(xf)  x (pxf). Jika didefiniskan bahwa:

=

=

=

Carilah nilai Jawaban.

,

+

=

.

,

=

,

=

+

,

=

+

+

=


99

Dari persamaan di atas, diketahui bahwa komutator antara momentum dan posisi berharga tidak sama dengan nol. Anda dapat juga menghubungkan nilai dengan materi ketidakpastian Heisenberg yang dberikan di matakuliah Fisika Modern. Dimana:

ħ ∆∆ ∆ ∆ ≥  σ   σ  − σ  −       −      −   −    −    −     −   −  − −   −  

2. Jika diketahui tiga buah matriks spin Pauli yang didefinisikan sebagai:

=

1

Hitunglah nilai dari

0 1

1 , 0

=

0 i

,

.

i = 0

i 0

0 i

1 = 0

i 0

0 i

i 0

0 i

2

i , dan 0

3

=

1 0

0 1

Jawaban.

,

,

=

=

0 1

1 0

0 i

=

0 i

i 0

0 1

=

=

i 0

0 1 = 2i i 0

0 = 2i 1

3. Diketahui spin partikel seperti pada nomor 2. Buktikan bahwa matriks

1 dan 2 adalah

anti komut ( 1 2 = - 2 1). Latihan Soal.

     

       −  −              −        

1. Salah satu pendeskripsian spin satu partikel adalah menggunakan matriks

=

=

,

=

, dan

,

Buktikan bahwa Mx, My= iMz. Gunakan simbol Levi-Civita yaitu:

,

=


100

6. Matriks nol adalah matriks yang komponennya seluruhnya terdiri atas angka nol.

        0

0

0 0

0 ,

0 0 0

0 , 0

0 0 , 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

7. Matriks identitas (atau matriks satuan) adalah matriks yang komponen penyusun pada arah diagonal utama terdiri dari angka 1. Biasanya matriks ini disimbolkan dengan huruf kapital I. 1 0 0 1 0 atau 0 1 0 0 1 0 0 1

 

 

8. Matriks transpose adalah matriks yang ditranspose (ditukar), dimana komponen yang ada di baris menjadi komponen kolom. Disimbolkan dengan huruf kapital T yang diletakkan di kanan atas dari indeks matriks, sebagai contoh A T. Perhatikan contoh berikut ini. 5 T A = 5 10 15 A = 10 , 15 B=

C =

D=

  →  −−  → − − −  −   →    − −  → − −  2 6 9

5 3

BT =

4 2

1 6

CT =

2 7

3 8

T

D =

2

5 4

6

9

3 , 2

1 2 3

6 7 8

9. Determinan dari sebuah matriks orde ke-n (n x n) adalah susunan komponen matriks yang ditulis dengan menggunakan kurung garis A atau dapat dapat ditulis secara singkat sebagai det.A. Hati-hati tanda kurung ini berbeda dengan cara menuliskan matriks.Sebagai contoh:

 −    −   −    −  −  − −  =

.

=

Jika matriksnya orde 2x2, maka hasil determinan diperoleh dari pengurangan hasil kali dari komponen diagonal utama ke arah kanan dan kiri. Sebagai contoh:

det.A =

4 3

2 = 4.1 4.1 1

2. 2. 3 = 4

6 = 10

Jika matriksnya orde n (nxn), misalnya 3x3, maka Anda dapat mencari nilai determinannya dengan cara mengalikan komponen dalam baris pertama atau kolom ketiga dengan kofaktor dan menambahkannya. Perhatikan komponen dalam determinan di bawah ini.


101

Perkalian dengan komponen baris pertama dengan kofaktor. a11 a12 a13 a22 a 23 a21 a 23 a 21 a21 a22 a 23 = + a32 a 33 a31 a 33 a 31 a31 a32 a 33

 

a11 a21 a31

a12 a22 a32

         

a13 a 23 = a 33 = +

a22 . a 33 a 21 . a32

 −      

−−  −  −   −       a23 . a32 a 22 . a31

a 21 . a 33

Atau dapat pula dipergunakan kolom ketiga. a11 a12 a13 a21 a 22 a11 a21 a22 a 23 = a31 a 32 a31 a31 a32 a 33

 

a22 a32

a 23 . a 31 +

a12 a 32 +

a11 a 21

a12 a22

Ataupun Anda dapat menggunakan seperti perkalian silang (AxB), yaitu a11 a12 a13 a21 a22 a 23 = a31 a32 a 33 = a22 . a 33 a23 . a32 a 21 . a 33 a 23 . a 31 + + a 21 . a32 a 22 . a31

Contoh Soal.

−− −  −  −  

1 1. Hitunglah determinan dari matriks 7 2

5 3 1

2 4 . 5

Jawaban. Perkalian dengan komponen baris pertama dengan kofaktor. 1 5 2 3 4 7 4 7 3 + = 148 7 3 4 = 1 5 2 5 2 1 2 1 5

−      − −−      −      −       −     − −    − 

Coba Anda lakukan perkalian dengan komponen kolom ketiga dengan kofaktornya. 1 5 2 a 21 a22 a11 a12 a11 a12 + 7 3 4 = a 31 a32 a31 a 32 a21 a 22 2 1 5 1 7 2

5 3 1

2 4 = 5

7 2

3 1

1 2

5 + 1

1 7

5 = 148 3

Penjelasan lebih lanjut mengenai determinan ini akan disajikan pada bagian terakhir pada bab ini.


102

10. Matriks invers adalah sebuah matriks yang jika dikalikan oleh matriks tersebut akan menghasilkan matriks identitas (I). Simbol dai matriks invers adalah tanda negatif satu di kanan atas dari matriks, sebagai contoh A -1.

 −  =

Syarat perlu dan cukup agar matriks invers (A -1) berharga atau ada adalah nilai dari determinan A tidak sama dengan nol (det.A  0). Jika det.A = 0, maka matriks A disebut singular . Dengan kata lain, sebuah matriks dikatakan tidak memiliki invers jika nilai determinannya sama dengan nol, matriks itu disebut singular . Penjelasan lebih rinci mengenai matriks invers ini akan dibahas setelah materi aturan Cramer pada determinan yang ada dalam akhir bab ini. Materi matriks, persamaan linear dan determinan ini terkadang bukanlah materi yang menyenangkan bagi Anda. Mengapa demikian?. Pertanyaan ini harus Anda jawab sendiri, karena Anda yang tahu dan merasakan kesulitan dari materi ini. Alasan yang mungkin adalah Anda merasa tidak yakin, apakah jawaban yang Anda peroleh benar atau tidak. Sama seperti materi deret tak hingga, Anda dapat memanfaatkan fasilitas perhitungan (kalkulator) yang ada di beberapa website. Seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. salah satu alamat website yang dapat Anda kunjungi adalah https://matrixcalc.org/en/ https://matrixcalc.org/en/.. Contoh di bawah adalah penyelesaian dari hasil kali matriks A dan B, yang disajikan pada halaman 98.


103

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear adalah persamaan yang pangkat tertingginya adalah satu. Suatu persamaan linear dalam dua variabel (misalnya x dan y) dapat dituliskan sebagai

            …      +

=

Suatu persamaan linear dalam n variabel (peubah) x 1, x2, x3...xn dapat disajikan dalam bentuk

+

+

+

=

dengan a1, a2, ..., an dan b adalah konstanta.

Berikut ini akan ditampilkan dalam tabel beberapa contoh persamaan linear dan bukan persamaan linear. Dari contoh-contoh tersebut terse but diharapkan Anda dapat menyimpulkan definisi dari persamaan linear. No.

1.

2.

3.

4.

Persamaan Persamaan Linear

2

x + 2y = 3

        −   −  …  =

2

1

1

1

+ 3

2

2

+

+ 3

3

3

+ 4

4

+

4

=1

+

+

2

=1

cos

+2 +5

3

  −         

Persamaan Persamaan Bukan Linear

+

=1

+

=1

+

+

+

=5

=

Tuliskan definisi dari persamaan linier berdasarkan berdasar kan contoh-contoh yang ditampilkan di atas.


104

Sedangkan definisi dari sistem persamaan linear adalah kumpulan (himpunan) persamaan linear dalam beberapa variabel (peubah). Yang menghasilkan suatu penyelesaian di tiap persamaan linearnya. Misalkan dalam sistem persamaan linear yang Anda gunakan terdapat n variabel dan m persamaan linear. Maka bentuk umum dari sistem persamaan linear tersebut dapat dituliskan sebagai:

      ⋮        +

+

+

+

+

+

……      ⋮ …   +

=

+

=

+

=

Contoh sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga variabel adalah sebagai berikut: 2x – z = 2 6x + 5y + 3z = 7 2x – y y = 4 Penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah x = 3/2, y = -1 dan z = 1. Cara menyelesaian sistem persamaan linear tersebut akan dibahas segera. Mungkin Anda bertanya-tanya, mengapa contoh di atas terdiri dari tiga variabel, sedangkan pada persamaan (1) dan (3) hanya terdiri dari 2 variabel. Ingat ini adalah suatu sistem. Yang Anda lihat adalah kumpulan dari persamaan linear. Pada persamaan kedua (2) terdapat 3 variabel, sehingga sistem tersebut terdiri dari tiga variabel. Agar Anda tidak bingung, contoh lain dari sistem persamaan linear yang terdiri dari 3 persamaan dan 3 variabel adalah sebagai berikut: 3x + 2y + z = 11 2x + 3y + z = 13 x + y+ 4z = 12 sistem ini jika dituliskan ke dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:

        3 2 1

2 3 1

1 11 3 1 13 atau 2 4 12 1

2 3 1

1 1 4

x 11 y = 13 z 12

Masukkan konstanta yang mengandung variabel x dari setiap persamaan dalam kolom. Begitu pula untuk kolom 2 dan 3 masukkan konstanta yang mengandung variabel y dan z. Jika dalam persamaan tidak ada salah satu variabel, maka konstantanya ditulis 0, dan kolom 4 MATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR, FISIKA MATEMATIKA 1

105

diisi kontanta penyelesaian untuk masing-masing persamaan. Atau dapat pula matriks yang pertama berisi konstanta, dan matriks kedua berisi variabel x, y, z. Jika Anda kalikan matriks matri ks pertama dan kedua (tentu saja s aja dengan menggunakan aturan perkalian, lihat kembali pejelasan operasi matriks di halaman 98). Serta matriks keempat berisi penyelesaian tiap persamaan. Untuk kesempatan ini Anda gunakan bentuk penulisan yang pertama. Dalam sistem persamaan linear dikenal dua jenis sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen. Apa perbedaan keduanya?. Perbedaannya adalah dalam sistem persamaan linear homogen, seluruh sel uruh penyelesaian persamaan linear berharga nol. Sedangkan pada sistem linear tidak homogen, seluruh persamaannya memiliki penyelesaian pen yelesaian (konstata b). untuk memberikan gambaran ke Anda, perhatikan tabel di bawah ini. Sistem Persamaan Linear Homogen

Sistem Persamaan Linear Tidak Homogen

3x + 2y + z = 0

3x + 2y + z = 11

2x + 3y + z = 0

2x + 3y + z = 13

x + y + 4z = 0

x + y + 4z = 12

Suatu penyelesaian dari sistem persamaan linear, memiliki tiga kemungkinan penyelesaian. Yaitu memiliki penyelesaian tunggal, memiliki banyak penyelesaian (tak hingga) ataupun tidak memiliki sama sekali penyelesaian. Sist em persamaan linear yang tidak memiliki penyelesaian disebut inconsistent . Perhatikan sistem persamaan linear pada tabel di bawah ini. No.

Sistem Persamaan Linear

Jenis Penyelesaian

Penyelesaian

Penyelesaian tunggal

x = 1, y = 2, z = 3

x + y +2z = 9 1.

2x +4y -3z = 1 3x + 6y -5z = 0

2.

5x -2y +6z = 0 -2x + y + 3z = 1

x = 2 – 12z 12z Banyak penyelesaian

y = 5 -27z z=z

3x +2y -5z = 4 3.

x + y - 2z = 1

Tidak memiliki penyelesaian

5x + 3y -8z =6 http://www.maths.nuigalway.ie/~rquinlan/MA203/section1-5.pdf


106

Penyelesaian dari sistem persamaan linear dapat ditentukan dengan menggunakan cara penulisan matriks yang diperluas (augmented matrix) melalui penerapan tiga jenis operasi komponen basis (operation basis elementer atau disingkat OBE) yaitu mengalikan sebuah basis dengan konstanta bukan nol, mempertukarkan dua baris dan menambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya. Pengantar penyelesaian dengan cara eliminasi Gaussian dan eliminasi Gauss-Jordan. Eliminasi Gaussian Metode eliminasi Gaussian dapat dipergunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan cara pengurangan (pereduksian) terhadap augemented matrix sampai diperoleh bentuk eselon baris atau eselon baris tereduksi.


107

Kalkulator persamaan linear


108

Referensi Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical Methods For Physicsts A Comprehensive Guide (Seventh Edition ed.). Oxford: Elsevier.

Boas, M. L. (2006). Mathematical Methods In The Physics Sciences (3rd Edition ed.). New York: Wiley. Rohayati, A. (n.d.). Retrieved October 7, 2017, from http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196005011985032ADE_ROHAYATI/Handout_Aljabar_Matriks_akhir.pdf Saripudin, A. (n.d.). Retrieved October 7, 2017, from http://eprints.dinus.ac.id/14308/1/BAB_3_Matriks__Determinan__dan_Sistem_Persamaan_Linier.p df Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis and An introduction To Tensor Analysis. New York: McGrawHill. MATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR, FISIKA MATEMATIKA 1

109


110

Matriks, Determinan Dan Persamaan Linear

Recommend Documents