Maxima Verosimilitud Weibull

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES “ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD EN LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL PARA MUESTRAS COMPLETAS, CENSURADAS Y SU APLICACIÓN EN EL ANÁLISIS DE TIEMPOS DE VIDA” TESIS PROFESIONAL QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN ESTADÍSTICA PRESENTA LUIS ARMANDO VERDIN MEDINA

Chapingo, Estado de México, Marzo del 2005

 por ser mi maestro en la vida, y por permitirme realizar uno de mis sueños.

 por darme la oportunidad de formarme fo rmarme profesionalmente.

 por haberme tenido la paciencia y por haberme brindado todo el apoyo apo yo para la culminación de este trabajo.

Por haber hecho posible la realización de la presente tesis al asesorarla de manera adecuada y por su  paciencia que siempre me demostraron demostr aron en el desarrollo de l a misma.

 por ser como mi segunda familia.

 por todo el apoyo, l a orientación y los consej os que me brinda.

 por todas las experiencias compartidas. Lenin, David Chan, Saúl Jurado, Luis Gómez, Edis flores, prof. Luis Fernando.

 por su amistad desinteresada, por apoyarme, por escucharme y sobre todo por ser una  gran amiga.

 quien me brindo apoyo constantemente, compresión, y siempre me motivo para seguir adelante. Gracias por ser como eres conmigo.

 por su amistad brindada en cada momento.

 por hacerme pasar unas maravillosas vacaciones durante mi estancia en chapingo, y por ser buenos amigos.  por su amistad brindada en cada momento. mo mento. Santiago Piste, Lauro Soto, Dionisio Leyva, Francisco Vicente, Russel Pacheco, Ramón Molina, Lidio Flores.

2

Magdalena Medina Vélez Esther Medina Vélez Bernardina Medina Vélez

Por todo el apoyo, cariño y comprensión que siempre me han demostrado.

 Alicia Verdin Medina Elisa Verdin Medina

Roberto Verdin Medina Ma. del Pilar Verdin Medina Que siempre me recuerdan que uno nunca deja de ser niño.

Nancy Ma. de la Luz Ma. Guadalupe

Alejandra Janhet Elisa

Omar Rogelio Diego Armando

Juan José Cesar David

Por todo el apoyo y los consejos que siempre me dan.

Dionisio Cano Rogelio Zarate

INDICE

3

Pág.

Resumen……………………………………………………………………………………………….. 6 Summary………………………………………………………………………………………………. .7 1. Introducción………………………………………………………………………………………..8 2. Justificación………………………………………………………………………………………14 3. Hipótesis del trabajo…………………………………………………………………….....……15 4.

Objetivos……………………………………………………………………………..................15 4.1. Objetivo general…………………………………………...……………………………….15 4.2. Objetivos particulares…………………………………………………...…..………........15

5. Antecedentes…..…………………………………………………………………...…………...16 6. Definiciones estadísticas básicas en el análisis de tiempos de vida…………..………….19 6.1. Variable aleatoria…………………..……………………………………………………...19 6.2. Función de densidad de probabilidad………………..………………………………….20 6.3. Función de distribución acumulada…………..………………………………………….21 6.4. Función de distribución inversa…………...…………………………………….............21 6.5. Función de supervivencia……...…………………………………………………………21 6.6. Función de supervivencia inversa……………...……………………………….............24 6.7. Función de riesgo………………………………………………………………………….24 6.8. Función de riesgo acumulativa…………………………………………………………..25 6.9. Clasificación de los datos………………………………………………………………...26 6.9.1. Censura……………….………………………………………………..…………..26 6.9.2. Censura tipo I………………………………………………………………………27 6.9.3. Censura tipo II…………….………………………………………………………..27 6.9.4. Censura progresiva………………………………………………………………..28 6.9.5. Censura aleatoria……………………….…………………………………………29 6.9.6. Censura por intervalo……………………………………………………………..29 6.9.7. Censura por la izquierda………………...………………………………………..30 6.9.8. Censura por la derecha…………………………………………………………...30 7. Distribución Weibull…………………………………………………………………………….31 7.1. Historia de la distribución…………………………………………………..……............31 7.2. Distribución Weibull……………………………………………………………………….32 7.3. Características estadísticas de la distribución Weibull………………………………..40 8. Estimación en modelos parametricos………………………………………………………...47

4

8.1. Método de momentos…………………………………………………………….............48 8.2. Método de máxima verosimilitud………………………………………………..............49 8.3. Estimación por máxima verosimilitud para muestras censuradas…………..............53 9. Estimación de los parámetros de la distribución Weibull por máxima verosimilitud………………………………………………………………………....................54 9.1. Estimación por máxima verosimilitud para muestras completas……………............54 9.2. Estimación por máxima verosimilitud para muestras con censura tipo II…………………………………………………………………………..……….…....57 9.3. Estimación por máxima verosimilitud para muestras con censura tipo I……………………………………………………………………………..................60 10. Matriz de varianza-covarianza de los estimadores………………………………...............65 11. Métodos numéricos utilizados…………………………………………………………………67 11.1.

Método de Newton Raphson……………………………………………………..67

12. Transformación a un modelo de regresion de la Weibull……………………….…………70 13. Prueba de Kolmogorov de bondad de ajuste………………………………………………..72 14. Algoritmos numéricos………………………………………………………………................73 15. Aplicaciones………………..……………………………………………………………………74 16. Conclusiones y recomendaciones……………………………………………………...…….78 Apéndice A A.1 Transformación de variables de tipo discreto……………………………………………….79 A.2 Transformación de variables de tipo continúas……………………………………………..80 A.2.1 Aplicación del teorema de la transformación (o cambio de variable) a transformaciones de variables aleatorias……………………………………………………………………………...83 A.2.2 Caso particular del cambio de variable…………………………………………………….84 A.2.3 Generalización del teorema de la transformación cuando esta no es biyectiva……….88 Apéndice B Datos de 90 pacientes con cáncer de laringe……………………………………………………93 Apéndice C Programa Newton Raphson para muestras completas…………………………………………96 Apéndice D Prueba de Kolmogorov de bondad de ajuste usando S-PLUS…………………………………98 Bibliografía…………………………………………………………………………………………....99

5

“ ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD EN LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL PARA MUESTRAS COMPLETAS, CENSURADAS Y SU APLICACIÓN EN EL  ANÁLISIS DE TIEMPOS DE VIDA” 1

Luis Armando Verdin Medina2 Dr. Bulmaro Juárez Hernández3 RESUMEN

El análisis de supervivencia es un área estadística en la que la variable respuesta es el tiempo de vida de un producto o artículo. En este trabajo se presenta una breve introducción elemental a las nociones y definiciones estadísticas más comunes y más fundamentales usadas en el análisis de datos de tiempo de vida. Dado que la distribución Weibull es uno de los modelos clásicos utilizados para describir datos de tiempos de vida, se presenta una revisión detallada de las características de tal distribución. También, se hace un análisis de la estimación paramétrica por máxima verosimilitud en la distribución Weibull para muestras completas, con censura tipo I y censura tipo II. Para obtener la estimación de los parámetros mediante el método de máxima verosimilitud, se utilizo el método de Newton-Raphson ya que el sistema de ecuaciones no lineales que resulta de las ecuaciones de verosimilitud no tiene una solución explícita de carácter general para los estimadores. Para esto se diseño un algoritmo Newton-Raphson escrito en el módulo IML de SAS, que resuelve el sistema de ecuaciones no lineales que produce la aplicación del método de máxima verosimilitud. Se presenta un algoritmo en S-PLUS para realizar la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov y se presentan dos ejemplos de aplicación. Palabras Clave: tiempo de vida, distribución Weibull, muestras completas, censura, verosimilitud, método de Newton-Raphson, bondad de ajuste de Kolmogorov, ecuaciones de verosimilitud.

1

 Resumen de la tesis profesional presentada por el autor para obtener el grado de Licenciado en Estadística, Chapingo, México. 2  Autor de la tesis. 3  Director de la tesis.

6

“ MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION IN THE WEIBULL DISTRIBUTION FOR COMPLETE, CENSORED SAMPLES AND THEIR APPLICATION IN THE  ANA LYSIS OF TIMES OF LIFE” 4

Luis Armando Verdin Medina5 Dr. Bulmaro Juárez Hernández6 SUMMARY

Survival Analysis is an statistical method where the response variable is the lifetime of a product or item. In this work a brief elementary introduction is presented including the basics a wella the most common and more fundamental statistical definitions used in the analysis lifetime. Given that the Weibull distribution is one of the classic models used to describe data, a detailed review of the main characteristics of this distribution are presented. An analysis of the parametric estimates is made by the maximum likelihood method for complete samples, with censorship type I and it censors type II. To obtain the estimate of the parameters the method of NewtonRaphson is utilized since the system of non lineal equations that is of the equations of likelihood doesn't have an explicit solution for the general character estimates. Thus a design of an algorithm Newton-Raphson is written in IML of SAS that solves the system of non lineal equations that produces the application of the likelihood method. An algorithm is presented in S-PLUS to carry out Kolmogorov goodness of fit test and two examples are presented. Key words: lifetime, Weibull distribution, complete samples, censor, likelihood,

Newton-Raphson method, Kolmogorov goodness of fit test, likelihood equations

4

 Summary of the professional thesis presented by autor to obtain the Degree in Statistics, Chapingo, Mexico.  Autor of this thesis. 6  Director of this thesis. 5

7

1. INTRODUCCION

La idea original de la "estadística" era la recolección de información sobre y para el "Estado". A mediados del siglo XVIII, nació la palabra estadística significando el estudio de los arreglos políticos de los estados. Inicialmente la descripción de los datos era verbal, pero la proporción creciente de datos numéricos en las descripciones gradualmente dio una nueva palabra de carácter cuantitativo que ahora se asocia en ella. La palabra estadística se deriva directamente, no de las raíces griegas o latinas clásicas, sino de la palabra italiana “Estado”. Comúnmente, al termino “Estadística” se le relaciona con el cálculo de promedios, porcentajes, etc. y con la presentación de datos en forma tabular y en forma gráfica. Aunque las técnicas para resumir y presentar datos son importantes, comprenden sólo una parte de la Estadística moderna: La Estadística Descriptiva. Los estadísticos de la actualidad se ocupan fundamentalmente de los aspectos relacionados con la Inferencia Estadística. En la Inferencia Estadística, mediante el análisis de los datos colectados, se generalizan o inducen conocimientos sobre un conjunto de datos mucho más grande, del cual los datos analizados son sólo un subconjunto o muestra; es decir, en este proceso va de lo particular a lo general. En otras palabras la Inferencia Estadística se ocupa de inferencias inductivas. Así pues, el quehacer de la Inferencia Estadística se ubica en aquellas investigaciones en que para caracterizar a un conjunto de elementos, se estudia solamente un subconjunto. Estrictamente hablando, esto es cierto. Sin embargo, en la realidad múltiples factores aconsejan que el estudio exhaustivo no se haga, entre estos factores se pueden encontrar el tiempo el costo, el número elevado de elementos, etc. Con base en las consideraciones anteriores, éste parece ser el punto adecuado para establecer una definición entendible de la ciencia Estadística. Ésta se enuncia en la forma siguiente: La Estadística es la parte aplicada de la probabilidad, es una

8

disciplina de la matemática que desarrolla y aplica métodos para captar, organizar y analizar datos, cuyo propósito es controlar, con un cierto margen de precisión, los probables errores que pueden cometerse al cuantificar fenómenos cuyos resultados quedan al azar de forma incierta. La mayoría de los fenómenos tienen un importante componente de azar, por lo que la Estadística es una disciplina con una amplia gama de aplicaciones, que van desde las científicas hasta las relativas a los negocios. La Estadística se divide en dos partes: La primera es la Estadística Descriptiva que contiene técnicas para la recolección, presentación y caracterización de un conjunto de datos que dan como resultado la descripción de las diversas características de una población o muestra. La segunda es la Inferencia Estadística que es un proceso por medio del cual se elaboran inducciones a una población con base en los resultados obtenidos a partir de una muestra, en que el grado de incertidumbre es cuantificable. Trata de las técnicas por las que se elige aleatoriamente una muestra y después se elabora un procedimiento que pueda perseguir dos objetivos: Estimar el valor único de un parámetro (medida que caracteriza a la población) desconocido o bien estimar un intervalo de valores en el cual se espera con una determinada probabilidad que se encuentre el parámetro desconocido. Evaluar la factibilidad de una hipótesis en la que se discierne si determinado valor es o no igual al preconcebido. Durante los últimos años, ha habido cambios radicales en tecnología, de administración y de mercadeo. Esto ha generado una revolución en el uso de métodos estadísticos para mejorar la calidad de los productos y servicios. Una extensión natural de lo que ha pasado en el mundo de la calidad se manifiesta en un cambio de enfoque hacia la mejora de la confiabilidad. En una forma práctica, confiabilidad se define como “calidad a través del tiempo‘‘. Los administradores, ingenieros y los mismos consumidores se han convencido que buena confiabilidad es

9

una característica indispensable para tener la oportunidad de competir en los mercados globalizados, complejos y sofisticados de hoy. Considérense objetos, seres (personas, animales, plantas) o sistemas de cualquier clase, en los cuales se tiene interés porque ellos funcionan para algún propósito según su naturaleza, y porque eventualmente pueden fallar después de algún tiempo, dejando de prestar el servicio o la función para el que fueron creados o construidos. Ejemplos de tales entidades son artículos como: focos que después de cierto número de horas de servicio pueden fallar por fundirse su filamento; personas convencionalmente sanas que en un tiempo impredecible, de pronto enferman, sistemas de red de computadoras cuyo servidor fallará en un tiempo desconocido. En la teoría y aplicaciones de la confiabilidad se está interesado en la posibilidad de que el tiempo T a la falla de un sistema o artículo, ocurra después de cierta duración t, a partir de algún momento seleccionado t=0. Hay evidencia empírica que indica, que para una numerosa clase de dispositivos o artículos, el valor de T no puede ser predicho por un modelo determinístico. Es decir, sistemas idénticos sometidos a esfuerzos idénticos fallaran en tiempos diferentes e impredecibles. Algunos fallarán muy al comienzo de su servicio y otros en etapas posteriores. Naturalmente “la manera de fallar” dependerá del tipo de artículo que se considere. Por ejemplo, un fusible fallará de improviso en el sentido de que en un momento dado funciona perfectamente y al momento siguiente no lo hace. Por otra parte, una barra de acero bajo una carga pesada se debilitará gradualmente en el transcurso de un período largo de tiempo. En cualquier caso, el uso de un modelo probabilístico, considerando a T como una variable aleatoria, parece ser el enfoque más realista. Si bien en la práctica interesa la confiabilidad de artículos en particular, la construcción probabilística de la teoría exige el desarrollo de la misma y de los métodos que de ella derivan. Considere grandes poblaciones de artículos de la misma naturaleza, como aquella en la que se está interesado, las proporciones de

10

artículos que fallan en cada tiempo T, se constituyen en esta teoría, en valores de probabilidad. Así, el desarrollo de la teoría y sus aplicaciones exige trabajar con distribuciones de probabilidad del tiempo de falla o distribuciones de tiempos de vida. Actualmente el uso de modelos paramétricos para ajustar datos de tiempos de vida se ha desarrollado ampliamente, en especial en áreas como: medicina, biología, salud pública, epidemiología, industria e ingeniería, con aplicaciones que van desde estudiar tiempos de vida en individuos con enfermedades terminales, la comparación de efectividad de k tratamientos buscando prolongar el tiempo restante de vida de estos individuos, así como en artículos de uso cotidiano bajo condiciones normales o de vida acelerada, garantía del funcionamiento de electrodomésticos durante t unidades de tiempo, entrega de suplementos electrónicos confiables, proveer confiabilidad de transporte, son sólo algunas de las tareas en donde se hace notar el Análisis de Supervivencia o Teoría de la Confiabilidad Matemática. El problema de garantizar y mantener la confiabilidad tiene muchas facetas, entre otras, el diseño de equipo original, el control de calidad durante la producción, la inspección de aceptación, las pruebas de vida y las modificaciones de diseño. Para complicar aún más el asunto, la confiabilidad compite directamente o indirectamente con una magnitud de otras consideraciones de ingeniería, principalmente costo, complejidad, tamaño, peso y mantenimiento. Una definición probabilística común de confiabilidad, ( Meeker y Escobar , 1998), es la siguiente:”confiabilidad es la probabilidad de que una unidad realice su función hasta un tiempo especificado bajo las condiciones de uso encontradas”. Es importante que esta probabilidad sea evaluada a las condiciones ambientales o de uso encontradas para el producto, en lugar de las condiciones de trabajo para las que el producto fue diseñado. (Lawless, 2003) dice “la confiabilidad se refiere al funcionamiento adecuado de equipos y sistemas, lo cual incluye factores como software, hardware, humanos y

11

ambientales‘‘. Éste es un concepto más amplio y muestra la complejidad de lo que se entiende por confiabilidad, su evaluación, el mantenimiento y su mejora. (Condra, 2001) afirma que “un producto confiable es aquel que hace lo que el usuario quiere que haga cuando el usuario quiere que lo haga”. De acuerdo con esto, la confiabilidad es calidad a través del tiempo, por lo tanto un producto confiable debe permanecer dentro de sus límites de especificación durante su vida tecnológica. Esto es, buena calidad es necesaria pero no suficiente para garantizar buena confiabilidad. Esto plantea otra dificultad, la confiabilidad de un producto se puede evaluar directamente sólo después de que ha estado en servicio por algún tiempo, por lo tanto la evaluación y pronóstico de la confiabilidad presenta varios desafíos técnicos. La confiabilidad es una rama de la ingeniería. La estadística proporciona herramientas importantes para la evaluación, la mejora, el diseño, el pronóstico y el mantenimiento de la confiabilidad. Es importante mencionar que existen varios modelos que se han propuesto en la literatura para describir datos de tiempo de vida, entre los modelos más usados se encuentran el Modelo Exponencial, Weibull, el Modelo Log Normal y Gama Generalizada. Un modelo que ha sido sugerido por varios autores, entre ellos Berry (1975), Dyer (1975) y Meier (1980), Wilks (1990), como un modelo para datos de tiempo de vida, es la distribución Weibull, el cual es un modelo paramétrico que fue introducido en 1939 por el físico sueco Waloddi Weibull en los procedimientos del instituto sueco real para la investigación de ingeniería. Sin embargo fue hasta 1951 en su articulo “A statistical Distribution Function of Wide Applicability “, en donde contempla varias de las aplicaciones de este modelo. El uso de la distribución Weibull se extiende también a una amplia diversidad de otras aplicaciones entre las cuales se incluyen la modelación de la velocidad del viento (Dixon y Swift 1984, Tuller y Bret 1984, Pavia y O´Brien, entre otros).

12

Modelación de datos sobre intensidad de lluvias ( Wilks 1989, Selker y Haith 1990) análisis relacionados con ciencias de la salud (Struthers y Farewell 1989, Koehler y McGovern 1990, Ellingwood y Rosowsky 1991) la modelación de datos de catástrofes y teoría de la ruina (Embrechts y Villaseñor 1988, Kluppelberg y Villaseñor 1990). Muchos procedimientos estadísticos suponen que los datos siguen algún tipo de modelo matemático que se define mediante una ecuación, en la que se desconoce alguno de sus parámetros, siendo éstos calculados o estimados a partir de la información obtenida en un estudio diseñado para tal fin. Existen diferentes procedimientos para estimar los parámetros de una distribución de probabilidad, por ejemplo el método de momentos, el método de máxima verosimilitud, el método de Bayes y el método de mínimos cuadrados. De entre esos procedimientos probablemente el más versátil, ya que se puede aplicar en gran cantidad de situaciones, y por ello uno de los más empleados se conoce con el nombre de "método de máxima verosimilitud”. Aunque para aquellos que tiene una formación estadística este método es perfectamente conocido y comprendido, sin embargo muchos de los usuarios de los programas estadísticos, que están habituados a calcular modelos de supervivencia y muchos otros, desconocen cómo se efectúa la estimación de los coeficientes de esos modelos, por lo que parece apropiado dedicar un capitulo de este trabajo a describir su filosofía e interpretación. Podemos considerar que el método de máxima verosimilitud, abreviado a menudo como ML , tal y como hoy lo conocemos e interpretamos fue propuesto por Fisher (1890-1962), aunque ya de una forma mucho más artificiosa fue inicialmente atisbado por Bernoulli (1700-1782), cuyo planteamiento fue revisado y modificado por el matemático Euler (1707-1783). Sin embargo la resolución de los problemas numéricos planteados por este método en la mayor parte de los casos son de tal

13

magnitud que no ha sido posible su amplia utilización hasta la llegada de los modernos ordenadores. Los modelos estadísticos confían extensivamente en datos para hacer predicciones. En nuestro caso, los modelos son las distribuciones estadísticas y los datos son los datos de la vida o datos del tiempo a la falla de nuestro producto. La exactitud de cualquier predicción es directamente proporcional a la calidad, la exactitud y lo completo de los datos provistos. Los buenos datos, junto con la elección del modelo apropiado, dan lugar generalmente a buenas predicciones. Los datos malos o escasos darán lugar casi siempre a malas predicciones. En el análisis de los datos de tiempos de vida, deseamos utilizar todos los datos disponibles, en cuanto a los cuales son incompletos o incluyen a veces incertidumbre cuando ocurrió una falta. Para lograr esto, separamos los datos de vida en dos categorías: completo (toda la información está disponible) o censurado (algo de la información falta). El siguiente capítulo detalla estos métodos de la clasificación de los datos junto con una breve introducción elemental a las ecuaciones y a las definiciones estadísticas más comunes y más fundamentales usadas en la ingeniería de la confiabilidad y el análisis de datos de tiempos de vida.

2. J USTIFICACION

En el análisis de datos de tiempos de vida hay deficiencias, en particular en la distribución Weibull, su uso se ha hecho limitado debido a la dificultad en la estimación de sus parámetros, desgraciadamente los cálculos involucrados no siempre son fáciles y éstos se abordan en una forma inapropiada e incomprensible, por lo tanto el presente trabajo es cubrir tales deficiencias, así como mostrar sus aplicaciones prácticas de una forma comprensible.

14

3. HIPOTESIS DEL TRABAJO

La estimación de los parámetros por máxima verosimilitud de la distribución Weibull para muestras completas y censuradas, conduce a sistemas de ecuaciones no lineales, cuya solución no depende de ecuaciones explícitas de carácter general para los estimadores.

4. OBJETIVOS

El presente trabajo de tesis se desarrolló siguiendo los siguientes objetivos.

4.1 Objetivo general

• Obtener estimación puntual usando Máxima Verosimilitud de los parámetros

de la distribución Weibull en base a muestras completas y censuradas.

4.2 Objetivos particulares

• Obtener los estimadores de máxima verosimilitud basados en la distribución

Weibull para muestras completas. • Obtener los estimadores de máxima verosimilitud basados en la distribución

Weibull para muestras con censura tipo I. • Obtener los estimadores de máxima verosimilitud basados en la distribución

Weibull para muestras con censura tipo II.

15

5. ANTECEDENTES

La palabra estadística se deriva directamente, no de las raíces griegas o latinas clásicas, sino de la palabra italiana “Estado”. El nacimiento de la estadística se ubica a mediados del siglo XVII. Un ciudadano común llamado Juan Graunt, nacido en Londres, comenzó a revisar la publicación semanal de la iglesia, la cual era distribuida en la parroquia local y que listaba el número de nacimientos, bautizos, y de muertes en cada parroquia. Estas cifras de mortalidad también enumeraban las causas de las muertes. Graunt que era comerciante organizó estos datos en la forma que hoy llamamos estadística descriptiva, la cual fue publicada como  Observaciones Naturales y Políticas hechas sobre la tasa de Mortalidad . La idea original de la "estadística" era la recolección de información sobre y para el "estado". A mediados del siglo XVIII, nació la palabra estadística significando el estudio de los arreglos políticos de los estados. Inicialmente la descripción de los datos era verbal, pero la proporción creciente de datos numéricos en las descripciones gradualmente dio una nueva palabra de carácter cuantitativo que ahora se asocia en ella. Diversas culturas como la sumeria, la egipcia, la india y la árabe nos han legado documentos e inscripciones en donde grandes cantidades de datos numéricos se ven representados por promedios y por gráficas; estos hechos se siguieron sucediendo en las culturas occidentales sin formalización alguna. Por otro lado, los conocimientos que desde el renacimiento tenían algunos matemáticos como la Tartaglia sobre los juegos de azar fueron tratados por Fermat (1601- 1665) en su Teoría general de las combinaciones y formalizados en el siglo XVIII con los estudios de Jakob Bernoulli (1654 – 1705), quien formuló las tablas de la distribución de la probabilidad binomial e inició los estudios sobre la estabilidad de las series de datos obtenidos a partir de los registros de mortandad. Su obra  Ars

16

conjectandi  fue

publicada póstumamente en 1713. En ella se establecieron las bases de la teoría de la probabilidad. Daniel Bernoulli (1702-1761) se dedicaba al estudio de la teoría de las probabilidades y la relaciona formalmente en sus aplicaciones prácticas con la estadística. Thomas Bayes (1702 – 1761) fue el autor de la primera inferencia inductiva formal. Estos logros culminan con la obra de Pierre Simón Laplace (1749 – 1827), que establece las primeras hipótesis estadísticas de orden intuitivo, lleva a cabo estudios sistemáticos de cómo se desvía un conjunto de valores a partir de su promedio y escribe la Teoría analítica de las probabilidades. Ese fue el inicio de una escuela que dominó a lo largo del siglo XIX. Esos estudios fueron aplicados por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Se refiere en ellos a la ley normal del error y al método de mínimos cuadrados, también publica un tratado sobre las series hipergeometricas. Colabora Simón Denis Poisson (1781 – 1840) quien redacta la distribución que lleva su nombre. A este punto es relevante referirse a lo que Stephen Stiegler un historiador contemporáneo de la Ciencia llamó la ley de misonomía que se refiere al hecho de que nada en matemáticas principalmente es llamado en honor de quien descubrió o derivó. Un ejemplo es precisamente la distribución Poisson nombrada en honor al matemático del siglo XIX S.D Poisson, pero esta distribución fue descrita con anterioridad por uno de los Bernoullis. Otro ejemplo es precisamente el relacionado con la distribución gaussiana así llamada en honor al que una vez se creyó la había primeramente formulado, excepto que no fue Carl Friedrich Gauss sino un matemático anterior a el llamado Abraham de Moiure quien primero estableció la ecuación de la distribución normal. Hay además breves razones para creer que Daniel Bernoulli se cruzo con la misma expresión antes de todo esto, pero como sea es un claro ejemplo de la ley de misonomía de Stiegler.

17

Entre las aplicaciones más importantes que se le dieron a la estadística ya conformada con la teoría de las probabilidades se encuentran los estudios de Karl Pearson (1857-1936) sobre los problemas biológicos de la herencia y la evolución. Este investigador desarrollo la metodología para algunos estudios específicos, desarrollo la prueba de ji cuadrada, escribió uno de los clásicos de la filosofía de la ciencia Grammar of science   y fundo junto con el primer periódico estadístico: Biométrica.

En 1920, George Polya enunció uno de los teoremas más importantes de la estadística, el teorema central del límite. Fisher (1897-1947) ha hecho contribuciones notables, tanto en la estadística teórica como en la estadística aplicada, desarrolló la expresión matemática de la distribución “t” de Student. Sin embrago la estadística moderna se desarrolla prácticamente desde 1919, cuando Fisher, inicia su trabajo en la estación experimental de Rothamstead, donde publica sus estudios sobre la “Variación de los Cultivos“ y que corresponde a la “Estadística Aplicada a la Agricultura y a la Genética“, estudiando el análisis de experimentos e introduciendo el concepto de “Aleatorizacion“, el “Análisis de Varianza” y el “Análisis de Covarianza”. En 1921 Fisher introduce el concepto de “Verosimilitud” como método de estimación, llegándose a consagrar como el “Padre de los Diseños de Experimentos“. Fisher redefinió la estadística y estableció que el objetivo de los métodos estadísticos es la reducción de grandes masas de datos, en lo que distinguió tres problemas básicos: los de especificación de la clase de población de la cual provienen los datos, los de la distribución de probabilidad que siguen y los del tipo de estudio deseado y métodos de inferencia necesarios. Estos problemas aun subsisten y el presente trabajo espera colaborar a su solución.

18

6. DEFINICIONES ESTADÍSTICAS BÁ SICAS EN EL ANÁLISIS DE TIEMPOS DE VIDA

En este capítulo, daremos una breve introducción elemental a las ecuaciones y a las definiciones estadísticas más comunes y más fundamentales usadas en la ingeniería de la confiabilidad y el análisis de datos de tiempos de vida. Las ecuaciones y los conceptos presentes en este capítulo serán utilizados extensivamente en los capítulos que siguen.

6.1 Variable aleatoria

En general, la mayoría de los problemas en la ingeniería de la confiabilidad se ocupan de medidas cuantitativas, tales como la tiempo a la falla de un componente, o si el componente falla o no. En la sentencia de un componente para ser defectuoso o no-defectuoso, solamente dos resultados son posibles. Podemos entonces denotar una variable aleatoria X como representante de estos resultados posibles, es decir defectuoso o no-defectuoso. En este caso, X es una variable aleatoria que puede adquirir solamente estos valores. En el caso del tiempo a la falla, nuestra variable aleatoria X puede adquirir el tiempo a la falla (o el tiempo a un acontecimiento del interés) del producto o componente y puede estar en una gama a partir de 0 al infinito (puesto que no sabemos el tiempo exacto a priori). En el primer caso, donde la variable aleatoria puede adquirir solamente dos valores discretos (vamos a decir defectuoso X = 0 y no-defectuoso X=1), la variable se dice ser una variable aleatoria discreta. En el segundo caso, nuestro producto se puede encontrar fallando en cualquier momento después del tiempo 0, es decir en (12, 4 horas o en 100, 12 horas) y así sucesivamente. En este caso, nuestra variable aleatoria X se dice ser una variable aleatoria continua. Surge un tercer caso, cuando

19

el producto puede fallar en cualquier momento después del tiempo cero, pero por alguna razón sólo se puede observar el experimento hasta el tiempo t0, generando, esta situación una variable aleatoria que se denomina como variable aleatoria mixta. En el presente trabajo haremos referencia a variables aleatorias continuas  y variables aleatorias mixtas. Definición 1.

Dado un experimento aleatorio y X una variable aleatoria asociada a

éste, cuyo rango es Rx, se denominará a X “Variable aleatoria discreta”(v.a.d.), cuando el conjunto Rx resulta ser a lo más numerable. Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio cuyo rango es Rx, se denomina: “ Variable Aleatoria Continua” (v.a.c.), cuando el conjunto Rx resulta ser un intervalo del conjunto de los números reales R y P(X = x) = 0 para cualquier x ∈ R. Definición 2 .

Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio cuyo rango es Rx, se denomina: “ Variable Aleatoria Mixta” (v.a.m.), cuando el conjunto Definición 3 .

Rx resulta ser un intervalo del conjunto de los números reales R

y P(X = x) = 0 para cualquier x ∈ RX, excepto para un conjunto a lo más numerable de RX. Dada una variable aleatoria continua X, se usará la siguiente notación: La Función de Densidad de Probabilidad, abreviado por fdp, como f (x). La Función de Distribución Acumulada, abreviado por fda, como F (x).

6.2 Función de densidad de pr obabilidad

A la función integrable f (x) en todos los reales; que cumple con las condiciones siguientes: Definición 4 .

20

a).- f (x) ≥0, para toda x є R. ∞

b).-

∫  f  ( x)dx = 1

−∞

b

c).- Para cualesquiera reales a y b tales que a ≤b; tenemos P (a≤ X ≤b) =

∫  f  ( x)dx a

Se le denominará “Función de Densidad de Probabilidad” (fdp), de la variable aleatoria continua X.

6.3 Función de dis tribuc ión acumul ada

Dado una variable aleatoria continúa X con función de densidad f(x), se denomina Función de Distribución Acumulada (fda) de la variable aleatoria continua Definición 5 .

X, a la función F(x) definida por:  x

F ( x) = P ( X  ≤  x) =

∫  f  (t )dt 

para toda x є R.

−∞

A partir de la definición de F(x) fácilmente se deduce: a).- F(x), es una función no decreciente; es decir, para todos aquellos reales x e y, si x
F ( x) ≤ F ( y ).

b). - F(x) es continua por la derecha en x є R c).- lim F ( x) = 0  x →−∞ d).- lim F ( x) = 1 → +∞  x

La relación matemática entre la fdp y la fda se da de la siguiente manera:

21

Si f(x) es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, entonces su función de distribución acumulada F(x) es; continua en todos los reales y diferenciable en todos los reales, menos en los puntos de discontinuidad de f(x) de lo expuesto anteriormente se deduce que cuando se conozca una función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X, podremos encontrar su función de densidad correspondiente, por medio de

 f  ( x) =

d ( F ( x )) dx

En los puntos en donde la función de distribución acumulada es diferenciable. Inversamente conociendo la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

 f  ( s),  podemos

encontrar su función de distribución de la siguiente

forma;  x

F ( x) =

∫  f  (s)ds

−∞

6.4 Función de distribu ción i nversa

La Función de Distribución inversa es lo contrario de la función de distribución acumulativa. Es decir, para una función de distribución calculamos la probabilidad que la variable aleatoria X sea menor o igual a un valor x dado. Para la función de distribución inversa, comenzamos con la probabilidad y encontramos el correspondiente valor de x para la distribución acumulada. Matemáticamente, esto se puede expresar como P [ X

≤ G ( p )] = F(G(p )) = p

22

O alternativamente como  x

= G( p) = G(F ( x) )

6.5 La función de supervivencia

La función de la supervivencia (también a veces llamada función de confiabilidad) se utiliza frecuentemente en confiabilidad y campos relacionados. La función de supervivencia es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor que x, se denota por S(x) y está dada por: S ( x) = P [ X

> x] = 1 − F ( x)

S(x) tiene el siguiente significado: S(x) = Pr (X > x) = probabilidad de que un producto opere sin falla por una longitud de tiempo x. Es claro que por las propiedades de la función de distribución acumulada la función de supervivencia tiene las siguientes propiedades: S(0) = 1 y S(+ ∞) = 0. Ahora, observé que la función de densidad de probabilidad en términos de la función de supervivencia esta dada como:

 f  ( x ) = −

dS ( x ) dx

23

6.6 Función de supervivencia inversa

Como habíamos visto anteriormente la función de distribución inversa es lo contrario de la función de distribución acumulada, la función de supervivencia también tiene una función inversa. La función de supervivencia inversa denotada por Z  se puede definir en los términos de la función de distribución inversa como:  Z ( p ) = G (1 − p)

6.7 Función d e riesgo

La función de riesgo (también conocida como función de tasa de falla) se denota por h(x), y proporciona la taza de falla condicional. Ésta se define como la probabilidad de falla durante un intervalo de tiempo muy pequeño, asumiendo que el producto ha sobrevivido al inicio del intervalo, o como limite de la probabilidad de que el producto falle en un intervalo (x, x + ∆x), dado que el producto ha sobrevivido hasta el tiempo x. Desarrollaremos la función de riesgo (como una función de x ). Sea h(x) la función de riesgo. Entonces

h( x) = lim

P( x ≤ T

∆x →0

h( x ) = − lim

S ( x + ∆x) − S ( x)

∆ x

∆x →0

h( x) =

− S ′( x) S ( x )

< x + ∆x T ≥ x ) S ( x ) − S ( x + ∆x ) 1 = lim ∆x → 0 ∆ x S ( x) ∆x

=

1 S ( x)

 f  ( x) S ( x)

24

Puesto que S(x) = 1 – F (x) y –S ’(x) = f(x). Así la función de riesgo puede escribirse en términos de la función de distribución acumulada F(x) y la función de densidad de probabilidad f(x) como:

h( x ) =

 f  ( x)

1 − F ( x)

Es importante hacer notar que la distribución de tiempos de vida puede ser caracterizada por tres funciones: 1. La función de densidad de probabilidad 2. La función de supervivencia, o 3. La función de riesgo Estas funciones son matemáticamente equivalentes, esto es, si se conoce alguna de ellas entonces las otras dos funciones se pueden derivar de ésta.

6.8 Función de riesgo acumulada

La función de riesgo acumulada es la integral de la función de riesgo. Puede ser interpretada como la probabilidad de la falla en el tiempo x dado que existe supervivencia hasta el tiempo x.  x

∫

 H ( x) = h(u ) du 0

Esto puede expresarse alternativamente como  H ( x) = − ln (1 − F ( X ) )

25

6.9 Clasificación de los datos

Existen varios tipos de datos censurados según sea el mecanismo que produce la censura y el tipo de conjunto que contiene el valor del dato. Una clasificación similar a la que se presenta aquí se puede encontrar en la sección 1.4 del Capítulo 1 de Lawless(2003). Diremos que un conjunto de datos Zn consta de datos completos si tiene registrado el valor de todos los elementos que lo componen. El conjunto Z n  tiene datos censurados si para al menos uno de los datos se desconoce su valor, pero sí se conoce un subconjunto de los números reales que contiene tal valor. A este subconjunto donde pertenece el verdadero valor del dato censurado se le denominará conjunto de censura. Los datos completos significan que el valor de cada unidad de muestra está registrado. En muchos casos, los datos de tiempo de vida contienen incertidumbre en cuanto a cuando sucedió exactamente un evento, es decir , cuando la unidad falló. Los datos que contienen tal incertidumbre en cuanto a exactamente cuando sucedió el evento se llaman datos censurados.

6.9.1 Censur a

La presencia de censura crea problemas especiales para la inferencia estadística, algunos de los cuales aun no tienen solución. Diremos que la censura ocurre cuando los tiempos de vida exactos de falla son conocidos para una porción de los elementos bajo estudio y para el resto de los elementos sólo se conoce que exceden a cierto valor. A continuación se explican las formas en que surge la censura tales como: censura tipo I, censura tipo II. Sin embargo, en este trabajo se presentan otros tipos de censura con el objetivo de tener una percepción más amplia de los diferentes tipos de datos censurados .

26

6.9.2 Censura tipo I.

En muchos estudios el investigador debe determinar un tiempo máximo de observación para que ocurra la falla en los individuos. En este caso diremos que una muestra presenta censura tipo I cuando las unidades de prueba x1,x2,….,xI  son sujetas a periodos limitados de tiempo t 01, t 02,…,t0n. De modo que el tiempo de falla de la i-esima prueba o unidad i; se observa si T i ≤ t0i. Si Ti  es mayor que t 0i, el individuo es un sobreviviente y su tiempo de vida es censurado en el tiempo t 0i. Cuando los limites t01= t02=….= t0n  se tiene un tipo particular de censura tipo I. Se supone también que los tiempos de vida son independientes e idénticamente distribuidos con función de densidad de probabilidad  f  ( x)  y función de sobrevivencia S ( x) .

Los datos de este tipo de censura se pueden representar por medio de pares

de variables aleatorias (t i , δ i ) donde δi es una variable indicadora de T que indica el estado de la variable, es decir

ti

⎧1, si Ti ≤ t0i = min(Ti , t0 i ) y δ i = ⎨ ⎩0, si Ti > t0 i

La interpretación es la siguiente: si δi=1 indica que δi=0

es que

T i

T i  se

observó exactamente y si

fue censurado. Por lo que, si se observó el tiempo de vida T i  es igual

a t i  y es igual a t0i si es un tiempo de vida censurado.

6.9.3 Censu ra tipo II.

En este caso el investigador decide prolongar el periodo de observación hasta que ocurran n fallas de N posibles (n
27

observar es la potencia que se requiere para el estudio. Se debe notar que n es el numero de fallas y N-n el número de observaciones censuradas. Además este tipo de experimentos se utiliza para ahorrar tiempo y dinero, ya que puede pasar mucho tiempo antes de observar que todos los elementos bajo prueba fallen.

6.9.4 Censura progr esiva

En muchas situaciones de pruebas de vida, la censura inicial da lugar a retiro solamente de una porción de los sobrevivientes, con algún restante de la prueba y por lo tanto la continuación bajo observación hasta última falta o hasta que una etapa subsecuente de la censura se realiza. Para las muestras suficientemente grandes, la censura puede ser progresiva. Para la censura progresiva tipo I. Suponga que la censura ocurre progresivamente en k estados de tiempo t0i, donde t0i > t 0(i-1), i = 1,2,..., k   y que en el i-ésimo estado de censura, r i de los elementos de la muestra que todavía están vivos en el tiempo t 0i son removidos (censurados) aleatoriamente para futuras observaciónes. Si nosotros denotamos a N como el tamaño total de la muestra, y n el número de especimenes que fallan y por consiguiente proporcionan el tiempo de vida completamente determinada y medida en k estados del tiempo, esto es

 N  = n +

k 

∑ r  i

1

La censura progresiva tipo II es una generalización de la censura tipo II. En este tipo de censura los primeros r 1 tiempos son registrados de una muestra con N observaciones, después N1  de los restantes N – r 1  elementos son removidos (censurados) del experimento, dejando N-r 1-N1  elementos aún presentes. En

28

seguida, una vez que a r 2  elementos de los restantes se les registra su tiempo de vida o reacción, de los que quedan N – r 1 – N1 – r 2 se retiran N2  elementos del experimento, dejando en este momento en el proceso N – r 1 – r 2 – N1 – N2. Este proceso continuará hasta completar n datos entre tiempos registrados y datos censurados.

6.9.5 Censura aleatoria

La censura aleatoria se presenta cuando los individuos experimentan algunos otros eventos de competencia los cuales causarán que estos sean retirados del experimento, en tales casos, no se observa el evento de interés. Algunos eventos que causan que el individuo sea censurado aleatoriamente, con respecto al evento de interés, son muertes accidentales, pacientes que abandonan una prueba clínica, y eventos similares.

6.9.6 Censura por interv alo

Los datos censurados por intervalo reflejan incertidumbre en cuanto a los tiempos exactos que las unidades fallaron dentro de un intervalo. Este tipo de datos viene con frecuencia de pruebas o de las situaciones donde los objetos de interés no se supervisan constantemente. Si estamos realizando una prueba con cinco unidades y las estamos examinando cada 100 horas, sabemos solamente que una unidad falló o no falló entre las inspecciones. Más específicamente, si examinamos cierta unidad en 100 horas y la encontramos funcionando y después realizamos otra inspección en 200 horas para encontrar que la unidad no esta funcionando, sabemos que una falta ocurrió en el intervalo entre 100 y 200 horas. Es decir la única información que tenemos es que falló en cierto intervalo del tiempo. Este tipo de censura es también llamada, por algunos autores, datos de la inspección.

29

6.9.7 Censura por la izquierda

Este tipo de censura es similar a la censura por intervalo y se llama censura por la izquierda. En datos con censura por la izquierda un tiempo de vida t asociado a una unidad o individuo se considera como censurado por la izquierda si es menor que un tiempo de censura ti, que indica que el evento de interés ya ha ocurrido en el individuo antes de que inicie el estudio, en el caso expuesto anteriormente para la censura por intervalo por ejemplo, podemos saber que cierta unidad falló alguna vez antes de 100 horas (es decir antes de iniciar el estudio) pero no exactamente cuando. Es decir habría podido fallar en cualquier momento entre 0 y 100 horas. Esto es idéntico a los datos con censura por intervalo en los cuales la hora de salida para el intervalo es cero.

6.9.8 Censura por la derecha

El caso más común de la censura se refiere a datos con censura por la derecha, o datos suspendidos. En el caso de los datos de de tiempos de vida, estos datos se componen de las unidades que no fallaron. Por ejemplo, si probáramos cinco unidades y solamente tres hubieran fallado para el final de la prueba, habríamos suspendido datos (o datos con censura por la derecha) para las dos unidades restantes. La censura por la derecha implica que el acontecimiento de interés, es decir el tiempo a la falla está a la derecha de nuestro punto de referencias (t 0i). Es decir el valor exacto de nuestra observación no es conocido, solamente se sabe que es mayor o igual a (t 0i).

30

7. DISTRIBUCIÓN WEIBULL

7.1 Historia de la distribu ción

La distribución Weibull es quizás el modelo de tiempos de vida más usado en aplicaciones industriales y biomédicas. La distribución Weibull comienza a ser referenciada después de que el físico sueco, Waloddi Weibull (1887-1979) la usara en el año de 1939 para representar la distribución del esfuerzo de rotura de materiales, especialmente para el análisis de falla en elementos metalúrgicos, con todo el método no atrajo mucha atención. Sin embargo, en 1951 en su articulo “A statistical Distribution Function of Wide Applicability” en donde contempla varias de las aplicaciones de este modelo, la concondarcia que Weibull demostró entre sus datos observados y aquellos que predijeron con los modelos Weibull era bastante impresionante. Él usó la distribución para modelar datos de problemas que tratan con el límite aparente de elasticidad del acero, la fuerza de la fibra de algodón de la india, la vida de fatiga de un acero, la estatura de niños nacidos en las Islas Británicas y anchura de frijoles de Phaseolus vulgaris . Es interesante observar que Rosen y Rammler habían usado esta distribución en 1933 para describir las leyes que gobiernan la fineza de carbón pulverizado. En la literatura estadística de Rusia esta distribución es a menudo llamada la distribución de Weibull-Gnedenko desde que esta es una de los tres tipos de distribuciones límite para el máximo de la muestra establecido rigurosamente por Gnedenko (1943). El nombre de distribución Frechet se usa a veces debido al hecho que fue Frechet(1927) quién primero identificó esta distribución. La distribución Weibull incluye como casos especiales a la distribución exponencial y a la distribución Rayleigh. El uso de la distribución en trabajos de confiabilidad y control de calidad es mencionado por algunos autores como Weibull (1951), Kao (1959), y Berrettoni (1964).

31

Las bases probabilísticas para la distribución Weibull no se encuentra comúnmente en las situaciones donde la distribución se emplea realmente. Sin embargo, Malik (1975) y Franck (1988) tienen asignados algunos significados e interpretaciones físicas simples para la distribución de Weibull, así proporcionando usos naturales de esta distribución en los problemas de confiabilidad. Algunas situaciones donde se presentará la distribución de Weibull probablemente ha sido mencionado por Gittus (1967). Hallinan (1993) ha proporcionado recientemente una revisión excelente de la distribución Weibull presentando diversas formas de esta distribución según lo utilizado por los médicos y las posibles confusiones y errores que se presentan en su uso y aplicación.

7.2 Distribuci ón Weibull

A continuación se da la definición de cuando una variable aleatoria continua X tiene una distribución de probabilidad tipo Weibull. Definición 6 .

Una variable aleatoria continúa X se dice que tiene distribución Weibull

con parámetros α  y β, si su función de densidad esta dada por ⎧ α  α −1 − xβ  ⎪  x e ,  f ( x; α , β ) = ⎨ β  ⎪0, ⎩ α 

si 0 < x < ∞; α , β  > 0

 

(1)

d.c.o.f.

Esta forma de expresar la función de densidad de la distribución Weibull es la empleada por el mismo Waloddi Weibull, aunque cabe mencionar que en la actualidad algunos autores emplean otras formas equivalentes tales como:

32

⎛  x ⎞ ⎧ α  −⎜ ⎟ α  − 1 ⎝ ⎪  x e  β  ⎠ ,  f ( x; α , β ) = ⎨ β α  ⎪ ⎩0, α 

si 0 < x < ∞; α , β  > 0 d.c.o.f.

o bien

⎧⎪αλ xα −1e−λ  x ,  f ( x; α , β ) = ⎨ ⎪⎩0, α 

si 0 < x < ∞;α , λ

>0

 

d.c.o.f.

Observación

La primera expresión, se puede ver que es equivalente a la segunda sustituyendo a beta en la primera por beta elevado a la alfa. Para ver la equivalencia de la primera y la tercera expresión se efectúa la siguiente 1 λ 

reparametrización  β  =  en la primera expresión. Por último para ver la equivalencia entre la segunda y tercera expresión se lleva a cabo la siguiente reparametrización  β  =

1 1 α 

 en la segunda expresión.

λ 

Los parámetros α y β  de la distribución, representan parámetros de forma y de escala, respectivamente. Es decir, al parámetro α, se le llama: Parámetro de forma, y se emplea para modificar la forma de la distribución, ver Figura 1, en donde se muestran algunas gráficas de la función de densidad tipo Weibull, para los valores de beta igual a uno y alfa con valores de 0.75, 1, 2,3. Debido a que con frecuencia es conveniente conocer la forma de las distribuciones acumuladas en la figura siguiente se muestran también las funciones acumuladas para los casos anteriores.

33

Para el caso en que α=1, la distribución Weibull coincide con la exponencial. Al parámetro β se le llama: “Parámetro de escala” y sirve para controlar las unidades en que se mide a la variable X, (ver Figura 2). En donde se fija al parámetro alfa con el valor de tres y a beta se le varía con 0.5, 1,2 y 3. Observando que la forma se conserva, más no así su amplitud.

De las figuras 1 y 2, podemos observar que en el modelo tipo Weibull, el valor de la variable aleatoria no tiene cota superior.

34

La ecuación para la función de distribución acumulada de la variable aleatoria continúa tipo Weibull con parámetros:

α   y  β  ,

 x

F ( x; α , β ) =

x

α

∫ f (t )dt = ∫  β t 0

se obtiene de la siguiente forma:

α −1

−

e

tα

 β

dt

=

0

α 

x

t β  ∫

α −1

e

−

t α 

β 

dt  

0

α 

t 

Ahora si se realiza el cambio de variable,  y = ⎡

1

1

⎤

⎣

, dt =

⎦

 se tiene que

1

α −1

t  = ( y β ) α  , t  = ⎢( y β ) α  ⎥

 β 

( β  y )

α 

α  y

dy , así reacomodando términos se obtiene

1

F ( x; α , β ) =

α  β

 x

∫

1 1− α 

( β  y )

e

− y

( β y ) α  y

0

α 

dy

eliminando términos se obtiene  x

∫

− y

F ( x; α , β ) = e dy

= −e

− y

α 

 x 0

 como  y =

0

F ( x; α , β ) = −e

−

t 

 β 

 entonces finalmente tenemos :

α 

t 

 β   x 0

= 1− e

−

α 

 x

 β 

 

(2)

Sabemos que la función de distribución inversa es lo contrario de la función de distribución acumulada, por lo que la ecuación de la función de distribución inversa de la distribución Weibull es:  xα 

Pr [ X  ≤ G ( p )] = p ,

esto es, por lo obtenido anteriormente se tiene que 1 − e

−

 β 

=  p ,

de manera que: 1

 x

= [ − β  ln(1 − p) ]α  35

O alternativamente

⎡

1

⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎥    p − 1 ⎝ ⎠⎦ α 

G ( p) = ⎢ β  ln ⎜

⎣

(3)

En la Figura (3) se presenta el diagrama de la función de distribución inversa de Weibull.

La función de supervivencia asociada con la distribución de tiempos de falla tipo Weibull esta dado por: S ( x ) = 1 − F ( x )

 x ⎡ − ⎤ S ( x) = 1 − ⎢1 − e  β  ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ α 

α 

 x

S ( x) = e

−

 β 

, si x > 0  

(4)

36

En la Figura (4) se muestra el diagrama de la función de supervivencia de Weibull.

La ecuación para la función de supervivencia inversa de la distribución de tiempos de falla tipo Weibull es:  Z ( p ) = G (1 − p)

⎡

⎛  − 1  ⎞⎤ ⎟⎟⎥  p − − ( 1 ) 1 ⎝   ⎠⎦

 Z ( p ) = ⎢ β  ln⎜⎜

⎣ ⎡ ⎣

1

⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎟⎥    p ⎝   ⎠⎦

 Z ( p ) = ⎢ β  ln⎜⎜

1 α 

α 

(5)

La Figura (5) muestra el diagrama de la función de supervivencia inversa de Weibull.

37

Se tiene que la función de riesgo esta dada de la siguiente forma:

h( x ) =

 f  ( x ) S ( x)

por lo que para la distribución Weibull se tiene que

α  h( x ) =

 β 

 x

 x

α −1

−

e

−

e

α 

 β 

α 

 x

 β 

es decir

h( x ) =

α   β 

 x

α −1

 

(6)

La Figura (6) muestra el diagrama de la función de riesgo de la distribución Weibull.

38

Como la función de riesgo para la variable aleatoria esta dada por  H ( x) = − ln(1 − F ( X ) )

La función de riesgo acumulada de la distribución de Weibull es: ⎡ ⎛  − x  ⎞⎤  H ( x ) = − ln ⎢1 − ⎜1 − e  β  ⎟⎥ ⎟ ⎢ ⎜⎝   ⎠⎥⎦ ⎣ α 

⎡ − x ⎤  H ( x) = − ln ⎢e  β  ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ α 

 H ( x) =

 x

α 

 β 

 

(7)

La Figura (7) muestra el diagrama de la función de riesgo acumulada de la distribución Weibull.

39

7.3 Características estadísticas de la distri buc ión Weibull

TEOREMA 2. Sea X una variable aleatoria continua con distribución Weibull, y parámetros α y β, entonces. 1

µ  =  E ( X ) =

 β α  α

2

1 2 1 ⎤ 2  β α  ⎡ Γ ⎛⎜ ⎞⎟ y σ  = 2 ⎢ 2α Γ ⎛⎜ ⎞⎟ − Γ 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎝α ⎠ ⎝ α  ⎠ ⎦ ⎝ α  ⎠ α  ⎣

Demostración

Por definición de valor esperado − x ⎡ α  µ  =  E ( X ) = ∫  xf  ( x )dx = ∫ x ⎢  x α −1e β  ⎢ β  −∞ 0 ⎣ ∞

∞

α 

 x  y =  β 

Haciendo un cambio de variable

α 

− x ⎤ ∞ α  α  ⎥ dx =  x e  β  ∫ ⎥  β  0 ⎦

α 

dx

 x = ( β y )

  de donde

1 α 

,

 x

α 

=  β  y ,

1

dx =

( β  y ) α  y

α 

dy resultara:

µ

=

∞

α

β y e  β ∫ 0

− y

( β  y ) α y

1 α 

1

dy =

α  β

.β .

β α 

∞

y α  ∫ e

1

− y  y α 

y

0

1 α 

dy = β 

∞

∫y

1 α 

e

−y

dy

0

De manera que

1 α 

µ  = β 

1 ⋅Γ ⎛⎜1 + ⎞⎟   o bien ⎝ α  ⎠

1

µ  =  E ( X ) =

 β α  α

1 ⋅Γ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ α  ⎠

40

En donde Γ(α ) , es la función gamma definida como: ∞

Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx

α>0

0

Para obtener la varianza, en principio se encuentra el segundo momento integrando de forma similar a lo hecho para el primer momento (es decir, se usan los mismos cambios de variable). Así, ⎡ α −1 − x 2 2 2 α  E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x ⎢  x e  β ⎢⎣ β −∞ −∞ ∞

Si

α 

 y

=  x   entonces  β 

∞

1

 x = ( β  y ) α  ,

 x

α +1

1+

= ( β  y )

1 α 

α

∞ ⎤ α  α +1 − x ⎥ dx = ∫ x e β  β  0 ⎥⎦

dx =

,

( β  y )

α 

dx

1 α 

α  y

dy ,

de forma que al

efectuar este cambio de variable, se tiene: 1

α

∞

1+

1 α 

( ) =  β ∫ ( β y ) e

 E X

2

− y

( β  y )

dy =

α y

0

2

α 

α  β

β 

β α 

∞

1+

y α  ∫

1 α

e

−y

1

y

α 

−1

2 α 

dy = β 

0

∞

∫y

⎛ 2⎞ ⎜1+ α  ⎟ −1 ⎝ ⎠

e

−y

dy

0

Por lo que

( ) =  β 

 E   X 

2

2 α 

2 ⎞ Γ⎛  ⎜1 + ⎟ ⎝  α  ⎠

Ahora, como σ2 = E(X2) – (E(X))2, entonces 2

2

2

⎡ β α1 ⎛ 1 ⎞ ⎤ 2 β α  ⎛ 2 ⎞ ⎛ β α 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟⎥ = Γ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ Γ2 ⎜ ⎟ σ 2 = β  Γ ⎜1 + ⎟ − ⎢ α ⎝ α ⎠ ⎢⎣ α ⎝ α ⎠ ⎥⎦ ⎝ α ⎠ ⎝⎜ α ⎟⎠ ⎝ α ⎠   2 α 

41

Esto es, 2

σ2

=

⎡ ⎛ 2 ⎞ − Γ2 ⎛ 1 ⎞⎤ α  Γ 2 ⎜α ⎟ ⎜ α  ⎟ ⎥ ⎢ α2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ α 

 β 

La desviación estándar es una medida de variabilidad directamente asociada la varianza, ya que esta se define como: σ  =

σ  2

La ventaja de esta medida se debe a que tiene como unidad de medición, la misma unidad utilizada en los datos. Ahora, la desviación estándar asociada a la distribución Weibull esta dada por: 2

σ  =

⎡ ⎛  2 ⎞ 2 ⎛  1 ⎞⎤ ⎢2α Γ⎜ α  ⎟ − Γ ⎜ α  ⎟⎥ α  ⎣ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠⎦

 β 

α 

2

Por otro lado, el coeficiente de variación (C.V) es una medida de dispersión relativa, que se obtiene dividiendo la desviación estándar entre la media. Simbólicamente para la distribución Weibull tenemos: 2

2 2⎞ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ α   β  Γ ⎜ 1 + ⎟ − ⎢ β α Γ ⎜ 1 + ⎟ ⎥ β  Γ ⎜1 + ⎟ − ⎢ β α Γ ⎜1 + ⎟ ⎥ σ  ⎝ α⎠ ⎣ ⎝ α  ⎠ ⎦ ⎝ α⎠ ⎣ ⎝ α  ⎠ ⎦ = C.V . = = 2 1 1⎞ 1 µ  ⎛ ⎡ ⎤ 1 ⎛ ⎞  β α Γ ⎜1 + ⎟ ⎢ β α Γ ⎜⎝1 + α  ⎟⎠⎥ ⎝ α  ⎠ ⎣ ⎦ 2 α 

2

Así que, 2

2 Γ ⎛⎜1 + ⎞⎟ ⎝ α  ⎠ − 1 C.V  = 2 ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢ β α Γ ⎜⎝1 + α  ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ α 

 β 

42

Puesto que tanto la desviación estándar como la media se miden en las unidades originales, el C.V es una medida independiente de las unidades de medición. Para una distribución continua, la moda (M o) es el valor de la variable aleatoria que corresponde al máximo de la fdp . Esto es, la vida modal (o moda), es el valor de x que satisface la ecuación: d [ f  ( x)]

=0

dx

Así para el caso de la función de densidad tipo Weibull su moda se obtiene resolviendo la ecuación:  x ⎡α  − ⎤ α −1 d ⎢  x e  β  ⎥ ⎢⎣ β  ⎥⎦ =0 α 

dx

Así, si se define:

C  =

α   β 

 , g ( x) =  x α −1 , d ( x) = e

−

 x

α 

 β 

 y

m( x ) = g ( x )d ( x)

Entonces,  x ⎡ ⎛ − α −1 α ⎢ α −1 ⎜ α  x e β   f ′( x ) = cm′( x ) = c [ g ( x )d ′( x ) + d ( x ) g ′ ( x )] = ⎢ x ⎜ −  β ⎢ β  ⎜ ⎝ ⎣

α 

⎤ ⎞  x − ⎥ ⎟ α − 2  β  ⎟ + e (α  − 1)x ⎥ ⎥ ⎟ ⎠ ⎦ α 

Simplificando se tiene

 f ′( x) =

α  β

(α  − 1) xα − 2e

−

 β

α 

 x

α

 x

−

2

α  x

2α − 2

β

2

−

e

 β 

α 

⎡⎛ α 2 α ⎞ α −2 α 2 x 2α −2  ⎤ − xβ  = ⎢⎜ − ⎟ x − ⎥e 2 β β β  ⎠ ⎣⎝ ⎦

43

De aquí que f’(x) = 0, si y sólo si, α 

⎡⎛ α 2 α  ⎞ α − 2 α 2 x 2α − 2 ⎤ − xβ  ⎢⎜⎜ − ⎟⎟ x − ⎥e = 0 2  β   β   β   ⎠ ⎣⎝  ⎦ Esto es, si y sólo si, ⎡⎛ α 2 α  ⎞ α −2 α 2 x 2α −2 ⎤ ⎢⎜⎜ − ⎟⎟ x − ⎥=0 2  β   β   β   ⎠ ⎣⎝  ⎦ O de forma equivalente si

(α

2

− α ) β xα −2 − α 2 x 2α −2 = α ⎡⎣αβ xα −2 − β xα − 2 − α x 2α −2 ⎤⎦ = ⎡⎣αβ − β − α xα  ⎤⎦ xα −2 = 0 

De donde resulta que la ecuación tiene dos soluciones, una de las cuales corresponde a la solución de la ecuación:

αβ  − β  − α x α 

= 0 , esto es,

⎡ (α − 1) β  ⎤ ⎥ ⎣ α  ⎦

 x = ⎢

1 α 

La otra corresponde a la solución de la ecuación:

 xα − 2

= 0 , es decir la solución en

este caso es: x = 0. 1

⎡ (α − 1) β  ⎤ De manera que si α > 1, la moda es: Mo = ⎢ ⎥ . α  ⎣ ⎦ α 

Si 0< α≤1, entonces la moda resulta ser: Mo = 0.

44

La mediana (Me), es el valor de la variable aleatoria continua, tal que,  M e

∫  f (t )dt  = 0.5

−∞

Así para el caso de la función de densidad tipo Weibull su mediana Me es la solución de la siguiente ecuación integral:  x

α 

∫  β  t 

α −1

−

e

t α 

 β 

dt  = 0.5

0

Así,  x

0.5 =

α 

∫  β  t

α −1

e

−

t α 

β 

dt =  

0

=

( β  y ) α  y

α 

 x

t   β  ∫

α −1

e

−t   β 

dt 

0

Haciendo el cambio de variable

dt

α 

α 

t   y =    β 

1

de donde

t

= ( β y ) , α 

α −1

t 

1−

= ( β  y )

1 α 

,

y

1 α 

dy  

resulta:

 x

0.5 =

α  β

α

 β

1−

∫ ( y β ) 0

1 α 

e

− y

1 α 

x

( β  y ) dy = α  y

α 

β 

∫e

−y

dy = −e

−y

 x

α 

β 

0

=1− e

− x

α 

 β 

0

De aquí que

−

 x

α 

 β 

= ln(0.5) o bien

1

 x

= [ β  ln(2)]α 

45

Por lo que la mediana para función de densidad tipo Weibull es: 1

Me = [ β  ln(2)]α  . El r-ésimo momento (alrededor de cero) para una distribución probabilística se define como:

µ r ' = E ( X r  ) .

Así el r-ésimo momento para la distribución Weibull se obtiene

de la siguiente manera: ⎡ α −1 − x ' r r r  α µ r  =  E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x ⎢  x e  β ⎢⎣ β −∞ 0 ∞

∞ ⎤ α  r +α +1 − x ⎥ dx = ∫ x e β  dx β  0 ⎥⎦

α

∞

α 

Esto es, para obtener el r-ésimo momento de la distribución Weibull es necesario resolver la última integral, lo cual se logra haciendo el siguiente cambio de variable: 1

 y =

α 

 x  β 

1 +1− α α  r 

1 α 

 de donde  x = ( β y ) ,  x r +α −1 = ( β  y)

, y

dx =

α 

( β  y ) dy . α  y

Así, al efectuar el cambio de variable en la última integral se tiene:

µ

' r 

=

α

∞

( y β )  β ∫

r

α

+1−

1 α

e

− y

( β  y ) α y

0

1 α 

dy

α 

r 

= .β 

α

+1−

1

1 α

.

β

β α 

∞

r 

y α  ∫

α

+1−

1 α 

e

−y

1 α

−1

y y dy 

0

Ahora, simplificando se tiene r

µ

' r 

∞

r

= β .∫  y α

α

1 1

+1− + −1 α α

e

− y

r

∞

∫

dy = β . y

0

α

0

r  α

e

−  y

dy = β

r 

α 

r  Γ ⎜⎛   + 1⎟⎞ ⎝ α  ⎠

Esto es, r 

µ

' r 

r  = β  Γ ⎛⎜ + 1⎞⎟ ⎝ α  ⎠ α 

46

8. ESTIMACIÓN EN MODELOS PARAMÉTRICOS

El objetivo básico de la inferencia y en particular de la estimación es obtener información acerca de los parámetros de la población (media, varianza) a partir de la muestra. Definición

7.  Un estadístico es cualquier función de una muestra aleatoria de una

distribución probabilística, la cual no contiene parámetros desconocidos. Por lo tanto, un estadístico (o una estadística) es en si misma una variable aleatoria. Definición

8. Un estimador del parámetro θ   (desconocido) de una distribución, es

una estadística cuyo soporte es un subconjunto (generalmente propio) del espacio paramétrico de la distribución. La estimación para un parámetro θ, se dice que es puntual, si este se estima a través de un solo valor θˆ . Existen varios métodos de estimación para obtener la estimación de los parámetros de cualquier modelo paramétrico, por ejemplo el método de momentos, el método de máxima verosimilitud, el método de Bayes y el método de mínimos cuadrados, sin embargo en este trabajo sólo se describen el método de momentos y el de máxima verosimilitud por ser los más usados, y en particular el segundo debido a que se obtienen estimadores con propiedades deseables y buenas propiedades límite y puede aplicarse en gran cantidad de situaciones.

47

8.1 Método de momentos

Sea X1,….., Xn una muestra aleatoria de tamaño n de alguna función de distribución de probabilidad

 f  ( x θ 1 ,...θ k  ) ,

como se sabe, el k-ésimo momento de la población

(distribución) y el k-ésimo momento de la muestra están definidos como: k-ésimo momento de la población: µ k ′

=  E ( X  k  ). 1 n

K-ésimo momento de la muestra: mk  =

n

∑ X 

k  i

i =1

Para el caso en que k=1, el primer momento poblacional es momento de la muestra m =

=  E ( X ) y el primer

 X 

Los momentos poblacionales

′   son una típica función de

 j

θ 1 ,....,θ k   

es decir

′ (θ 1 ,....,θ k  ). Los estimadores de momentos (θ ˆ1 ,....,θ ˆk  ) de (θ 1 ,....,θ k  ) se obtienen al

 j

igualar los primeros m  momentos muéstrales a los correspondientes m  momentos poblacionales y resolviendo para los parámetros

' 1

µ 

' 2

µ 

=  E ( X ) =

1 n

=  E ( X  ) = 2

θ 1 ,....,θ m ,

es decir

n

∑ X 

i

i =1

1

n

∑ X  n

2 i

i =1

M ' m

µ 

=  E ( X  ) = m

1

n

∑ X  n

m i

i =1

48

8.2 Método de máxima verosimil itud

Dada una muestra observada ( x1 ,...., xn )  y una ley de probabilidad

Pθ  ,

la verosimilitud

cuantifica la probabilidad de que las observaciones provengan efectivamente, de una muestra (teórica) de la ley

Pθ  .

Definición 9. -  Sea C    un

conjunto finito o numerable, {Pθ }   una familia de leyes de

probabilidad sobre

C 

{Pθ } , para una n-ada

y n  un entero. Llamamos verosimilitud asociada a la familia ( x1 ,...., xn )  de

elementos de

C   y

un valor θ del parámetro a la

función definida por: n

 L ( x1 ,...., xn ;θ )

= ∏ Pθ  ( xi ) i =1

La interpretación es la siguiente. Consideremos una muestra teórica ( x1 ,...., xn )  de la ley

Pθ  .

Por definición, las variables aleatorias

misma ley

Pθ  .

 X 1 ,...., X n  son

independientes y de una

Por lo tanto la probabilidad que la muestra teórica

 X 1 ,...., X n  tenga

por

realización la muestra observada ( x1 ,...., xn ) , es el producto de las probabilidades de que cada  X i  tome el valor  xi , es decir: P[( X 1 ,....,  X n ) = ( x1 ,...., x n )] =  L( x1 ,...., x n ; θ )

En el caso de un modelo continuo, la ley

Pθ    tiene

una densidad sobre R, y la

probabilidad que la muestra tome un valor particular es siempre nula. Así que hay que reemplazar la probabilidad

Pθ   por

su función de densidad de probabilidad en la

definición de verosimilitud.

49

Defini ción 10.  

Sean {Pθ }  una familia de leyes de probabilidad continuas sobre r y

n un entero. Denotemos por

 f θ   la

función de densidad de probabilidad de la ley

Pθ  .

Llamamos verosimilitud asociada a la familia {Pθ }   a la función que para una n-ada ( x1 ,...., xn )  de elementos de R y un valor θ del parámetro está definida por:

 L ( x1 ,...., x n ; θ ) =

n

∏  f  ( x ) θ 

i

i =1

La interpretación es la siguiente. Consideremos una muestra teórica ( x1 ,...., xn )  de la ley continua Pθ   . Sea ε un número real estrictamente positivo. La probabilidad de que la muestra teórica

 X 1 ,...., X n

tenga una realización en una “vecindad de radio ε'' de la

muestra observada ( x1 ,...., xn )  puede escribirse como:

⎡ ⎣

 xi +

ε 

2 ⎡ − ε  , x + ε  ⎤ ⎤,...., X  ∈ ⎡ x − ε  , x + ε  ⎤ =  fθ  ( x)dx n n n ∏ 2 ⎥ ∫ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ i =1  x − ε 

P ⎢ X 1 ∈ ⎢ x1

n

i

2

n

≅ ∏ ε  fθ  ( xi ) i =1

= ε n L( x1 ,...., xn ;θ ) Estimar un parámetro por el método de máxima verosimilitud, es proponer como valor del parámetro aquél que maximice la verosimilitud, es decir, a la probabilidad de observar los datos como realización de una muestra de la ley

Pθ  .

50

Defini ción 11

Supongamos que para todo valor ( x1 ,...., xn ) , la función que a θ asocia

 L( x1 ,...., xn ;θ )  admite

un máximo único. Al valor θˆ = τ ( x1 ,...., xn ) = max L( x1 ,...., xn ;θ ) en θ 

el cual se alcanza ese máximo depende de ( x1 ,...., xn )   y le llamamos estimación de máxima verosimilitud para el parámetro θ. Si  X 1 ,...., X n  es una muestra (teórica) de la ley Pθ  , la variable aleatoria: de θ en base a la muestra

T  = τ ( X 1 ,....,  X n )  es

el estimador de máxima verosimilitud

 X 1 ,...., X n .

Para la mayoría de las leyes de probabilidad usuales, el estimador de máxima verosimilitud se define de forma única y se calcula explícitamente. En el plano teórico tiene muchas ventajas. Bajo hipótesis que cumplen numerosos modelos de uso corriente, se demuestra que es asintóticamente insesgado y consistente. Se demuestra, además, que su varianza es mínima, por lo tanto el método de máxima verosimilitud es teóricamente el mejor de los métodos de estimación. Cuando una determinación explícita es imposible, hay que recurrir a una determinación numérica, empleando un algoritmo de optimización. En la mayor parte de los casos de interés práctico, la ley Pθ  y por tanto también la verosimilitud, tienen una expresión calculable en función de θ. Para calcular el máximo de la verosimilitud, es necesario determinar los valores para los cuales la derivada de la verosimilitud se anula, pero por definición la verosimilitud es un producto de probabilidades o de densidades, lo cual puede ser bastante complicado de derivar. Es preferible derivar una suma, y es por esto que comenzamos por sustituir la verosimilitud por su logaritmo. Al ser el logaritmo una función creciente, es equivalente maximizar log( L( x1 ,...., x n ; θ )  o  L( x1 ,...., x n ) . Una vez determinado el valor de θ  para el cual la derivada se anula, hay que asegurarse con la ayuda de la segunda derivada que el punto en cuestión es realmente un máximo. Es decir el punto en que la verosimilitud es máxima, es la solución del sistema de k ecuaciones

51

∂ L(θ 1, θ 2,.....,θ k ) = 0, ∂θ 1 ∂ L(θ 1, θ 2,.....,θ k ) = 0, ∂θ 2 M

∂ L(θ 1, θ 2,.....,θ k ) = 0. ∂θ k  Como se ha visto el método de máxima verosimilitud procura encontrar los valores más probables de los parámetros de la distribución para un conjunto de datos, maximizando el valor de lo que se conoce como la “función de verosimilitud”. La función de verosimilitud se basa en la función de la densidad de la probabilidad (fdp) para una distribución dada. Los estimadores de máxima verosimilitud poseen las siguientes propiedades: • Son eficientes y óptimos asintóticamente normales con media θ y matriz de varianzas y covarianzas I-1(θ), es decir θ ˆ ∼ n(θ,I-1(θ)), donde I(θ) es la matriz de información de Fisher. • Son consistentes simples y consistentes en error cuadrado medio. • Son función de los estadísticos mínimos suficientes. Además de estas propiedades, los estimadores máximo-verosímiles poseen una propiedad, llamada invarianza, esto es si θ ˆ  el estimador máximo-verosímil de θ en la densidad y si u (θ ) es una función de θ  con función inversa uniforme, el estimador máximo-verosímil de u (θ )  es u (θ ˆ). Sin embargo, es importante notar que cuando se trata de datos censurados se debe tener mucho cuidado para construir la función de verosimilitud ya que ésta cambia para cada tipo de censura, lo cual se revisa detalladamente a continuación.

52

8.3 Estimación por máxima verosimilitud para muestras censuradas

Como se mencionó anteriormente, para la censura tipo II, los datos consisten de los n tiempos de vida más pequeños tiempos de vida Suponiendo que

 X (1)

≤  X ( 2) ≤ ... ≤  X ( n)  de una muestra aleatoria de N

 X 1 ,...., X  N   provenientes  X 1 ,...., X  N   

de una distribución de los tiempos de vida.

son independientes e idénticamente distribuidos con

función de densidad de probabilidad  f  ( x)  y función de sobrevivencia S ( x) , la función de verosimilitud es  N − n ⎡ n ⎤    L = f ( xi ) ⎥ ⎡⎣ S ( xn ) ⎤⎦ ∏ ⎢ ( N − n )! ⎣ i =1 ⎦

 N !

Denotando esto en términos de (δ i , t i )   la notación que nosotros tenemos ti

(8)

δ i

=0 y

= xn  para los individuos cuyo tiempo de vida es censurado, se puede ver que (8) da

una función de verosimilitud para los datos con censura tipo I, simplemente substituyendo el valor de

 x n  por  x 0  en

la función de sobrevivencia es decir (8) es la

función de verosimilitud para los datos con cesura tipo I y II.

53

9. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL POR MÁXIMA VEROSIMILITUD

9.1 Estimación por máxima verosimilitud para muestras co mpletas

Sea X1,….,Xn  una muestra aleatoria con función de densidad tipo Weibull. Suponiendo que X1,….,Xn son independientes e idénticamente distribuidos, entonces la función de verosimilitud esta dada por  xiα 

⎛ α  ⎞ α −1 − β   L( x1 ,...... xn ;α , β ) = ∏ ⎜⎜ ⎟⎟ xi e   i =1 ⎝  β  ⎠ n

(9)

n

n

⎛ α  ⎞ ⎛ n α −1 ⎞ −  L ( x1 ,......xn ;α , β ) = ⎜ ⎟ ⎜ ∏ xi ⎟ e ⎠ ⎝  β  ⎠ ⎝ i =1

∑=  x

α  i

i 1

 

β 

(10)

Tomando logaritmos de (10), se obtiene: ⎡ ∑ x ⎢⎛ α  ⎞n ⎛ n α −1 ⎞ − = β  ln ⎡⎣ L ( x1 ,......xn ; α , β ) ⎤ = ⎦ ln ⎢⎜  β  ⎟ ⎜ ∏ xi ⎟ e ⎢⎝ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎢⎣ n

α  i

i 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Por lo que, ⎛ α  ⎞ ⎛ n ⎞ 1 n α  ln ⎡⎣ L ( x1 ,......xn ;α , β ) ⎤⎦ = n ln ⎜ ⎟ + (α  − 1) ⎜ ∑ ln xi ⎟ − ∑ xi ⎝ i =1 ⎠ β  i =1 ⎝  β ⎠ ⎛ n ⎞ 1 n α  = n ln α − n ln β + (α  − 1) ⎜ ∑ ln xi ⎟ − ∑ xi   ⎝ i =1 ⎠  β  i =1

54

Esto es, ⎛ n ⎞ 1 n α  ln ⎡⎣ L ( x1 ,......xn ;α , β ) ⎤⎦ = n ln α − n ln β + (α −  1) ⎜ ∑ ln xi ⎟ − ∑ xi   ⎝ i =1 ⎠  β  i =1

(11)

Luego, para obtener los estimadores de máxima verosimilitud, utilizando el criterio de las derivadas, se obtienen las derivadas parciales de (11) con respecto a α y β, se igualan a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan, esto es: ∂ ln( L ) n n 1 n α  ⎫ = + ∑ ln xi − ∑ xi ln xi = 0⎪ α  i =1  β  i =1 ∂α  ⎪⎪ ⎬  ⎪ ∂ ln( L ) 1 n α  n ⎪ = − + 2 ∑ xi = 0 ⎪⎭  β   β  i =1 ∂ β 

(12)

n

Despejando β de la primera ecuación de (12):

∑ x

α  i

ln xi

i =1

 β  =

n

n

α 

+ ∑ ln xi i =1

n

Despejando β de la segunda ecuación de (12):

 β  =

∑ x

α  i

i =1

n

Ahora se igualan entre si las dos expresiones que se han obtenido en el miembro derecho de β, se tiene: n

∑

n

α 

 xi

i =1

n

 =

∑ x

α  i

ln xi

i =1

n

α 

n

+ ∑ ln xi i =1

La cual puede ser simplificada de la siguiente manera:

55

n

n

n

α 

+ ∑ ln xi = i =1

n

∑ x

α  i

ln  xi

i =1

, de aquí se tiene que,

n

∑ x

α  i

i =1

n

∑ ln x i =1

1 n

i

⎡ n α  ⎤ ln  x  x i ⎢∑ i 1⎥ i =1 ⎢ =n − ⎥ , o bien n α  ⎥ ⎢ α   xi ⎢⎣ ∑ ⎥⎦ i =1

n

∑ ln x i =1

i

⎡ n α  ⎤ ⎢ ∑ xi ln xi 1 ⎥ = ⎢ i =1 n − ⎥  α  ⎥ ⎢ α   xi ∑ ⎢⎣ i =1 ⎥⎦

(13)

Para obtener el estimador de m.v. α ˆ de α, es decir la solución para α  en la ecuación (13), se aplican procedimientos iterativos estándares, una vez calculado el valor de α ˆ , se sustituye en (12) resolviéndose la ecuación en β para obtener el estimador de m.v. β ˆ . Esto es: n

 β ˆ =

∑ x i =1

n

α  ˆ i

 

(14)

El símbolo (^) se emplea para distinguir los estimadores de m.v de los parámetros que son estimados.

56

9.2 Estimación de máxima verosimilitud para muestras co n censura tip o II

Cuando los datos presentan censura tipo II la función de verosimilitud puede escribirse como:  N − n ⎡ n ⎤ ⎡ ⎤ − x 1 x    L(x1 , ..., x N ; α ,β ) = f F  ( ) ( ) i ⎥⎣ n ⎦ ( N − n ) ! ⎢⎣∏ i =1 ⎦

 N !

(15)

Cabe señalar que 1 − F ( xi )   por definición representa la función de sobrevivencia. Entonces (15) puede escribirse como  N − n ⎡ n ⎤ ⎡ ⎤  L(x1 , ..., x N ; α ,β ) = f S  x x ( ) ( ) i n ∏ ⎥⎣ ⎦   ( N − n ) ! ⎢⎣ i =1 ⎦

 N !

(16)

Anteriormente se mostró que la función de sobrevivencia asociada a la distribución Weibull es: S ( x) = e

−

α 

 x

 β 

Suponiendo que X1,….,Xn  son independientes e idénticamente distribuidos con función de densidad tipo Weibull

 f  ( xi )  y función

de sobrevivencia S(x)

. Entonces las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros de la distribución Weibull para datos con censura tipo II, se obtienen de la siguiente manera:  x  N ! ⎡ n ⎛ α  ⎞ α −1 − β ⎢∏ ⎜ ⎟ xi e  L (x1 , ..., x N ; α ,β ) =  N − n ! ( ) ⎣⎢ i =1 ⎝  β  ⎠

α i

 N − n

⎤ ⎡ − xβ  ⎤ ⎥ ⎢e ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ α  n

57

⎡ ∑=  x n n ⎢ ⎛ α  ⎞ ⎛  N ! ⎞ − ⎢⎜ ⎟ ⎜ ∏ xiα −1 ⎟ e β  L(x1 , ..., x N ; α ,β ) = ( N − n ) ! ⎢⎝  β  ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎢⎣ n

α  i

i 1

⎤ N −n ⎥ ⎡ − xβ  ⎤ ⎥ ⎢e ⎥   ⎥ ⎣⎢ ⎥ ⎦ ⎥⎦ α  n

(17)

Tomando logaritmos en ambos miembros de (17), empleando las propiedades de logaritmos y tomando L(α,β) = L(x1, . .., x N; α,β), resulta: n ⎛  N ! ⎞  xnα  1 n α  ln( L(α , β )) = ln ⎜     ln( xi ) − ∑ xi − ( N − n) ⎜ ( N − n ) ! ⎟⎟ + n ln(α ) + n ln( β ) + (α −1) ∑  β β  i =1 i =1 ⎝ ⎠

(18)

Tomando derivadas parciales de (18) con respecto a α y β  e igualando a cero, se obtiene ⎫ ∂ ln ( L(α , β ) ) n n 1 * α  = + ∑ ln  xi − ∑ xi ln xi = 0 ⎪ ∂α α i =1 β  ⎪⎪ ⎬  ⎪ ∂ ln ( L(α , β ) ) n 1 * α  ⎪ = − + 2 ∑ xi = 0 ⎪⎭ ∂ β β β 

Donde

*

∑

(19)

significa que la sumatoria se extiende sobre el total de la muestra con los

( N  − n )  sobrevivientes. En particular se tiene *

∑ x

α i

*

∑ x

α i

⎫ = ∑ xiα ln xi + ( N − n )xα n ln xn ⎪ i =1 ⎪⎪ ⎬  ⎪ n α α  ⎪ = ∑ xi + ( N − n )xn ⎪⎭ i =1 n

ln xi

(20)

58

En la forma escrita la ecuación (19), es análoga a la ecuación (12) para muestras completas, es decir despejando β de ambas ecuaciones en (19) resulta: *

∑ x

 β  =

α  i

ln xi

n

n

+ ∑ ln xi

α 

, al despejar β de la primera ecuación y

i =1

*

∑ x

 β  =

α  i

, al despejar β de la segunda ecuación.

n

Igualando entre si los dos valores de β que se han obtenido resulta que: *

∑ x

*

∑ x

α  i

=

n

n

α 

*

∑

α 

 xi

α  i

ln xi

, de forma que, al simplificar esta ecuación se tiene lo siguiente:

n

+ ∑ ln xi i =1

* ⎡n n ⎤ α  + = ln  x n ⎢α  ∑ i ⎥ ∑ xi ln xi , y de aquí, i =1 ⎣ ⎦

*

n

α 

n

n

+ ∑ ln xi =

∑ x

α  i

ln xi

, o bien

*

∑ x

i =1

α  i

*

∑ x

α  i

ln xi

*

∑ x

α  i

−

1 α 

=

1 n

n

∑ ln x   i

(21)

i =1

59

Ahora, para obtener la solución, α ˆ , de la ecuación (21), se pueden utilizar métodos numéricos, como por ejemplo el de Newton-Rapson, como en el caso de muestras completas. Una vez encontrado

el estimador de m.v., β ˆ , para β  se obtiene

ˆ, α 

sustituyendo a α  por α ˆ en la segunda ecuación de (19). Esto es: *

 β ˆ =

∑ x

α  ˆ i

 

n

(22)

9.3 Estimación de máxima verosimilitud para muestras co n censur a tipo I

Como se ha visto, al tratar con este tipo de censura, es conveniente usar un tipo conveniente de notación. Supóngase que existen  N  individuos bajo estudio y que el tiempo de vida del i-ésimo individuo es supone que los tiempos de vida

 X i

y su tiempo de censura

si

 X i

< x 0i .

S (⋅ ) .

 xi

δ i

 f  (⋅ )

y función

Ahora, el tiempo de vida del i-ésimo individuo será observado

Así, los datos de tal situación pueden representarse de manera

conveniente por las

donde

Se

son variables aleatorias independientes e

 X i

idénticamente distribuidas con función de densidad de probabilidad de supervivencia

 x 0i .

 N 

parejas de variables aleatorias ( xi , δ i ) , donde

= min( X i , x0i )

y

δ i

⎧1, si  X i <  x0i =⎨ ⎩0, si  X i ≥  x0i

indica si el tiempo de vida es censurado o no.

Ahora, la función de densidad conjunta de

 xi

y

δ i

esta dada por

1−δ i

h( xi , δ i ) = [ f  ( xi )] i [S ( x 0i )] δ 

60

Para verificar la validez de esta expresión, obsérvese que

 xi

es una variable

aleatoria mixta con una componente continua y una discreta. La parte discreta esta dada por: P ( xi

=  x0i ) = P(δ i = 0) = P( X i ≥  x0i ) = S ( x0i )

Para la parte continua, es decir, si

 xi

< x0i se tiene que la función de densidad de

probabilidad está dada por:

 f  ( xi δ i

= 1) = lim ∆ x →

P( xi

0

≤  X i <  xi + ∆ x  X i <  x0i ) ∆ x

⎡ P( xi ≤  X i <  xi + ∆ x ) ⎤ ⎥ ∆ →0 ∆ x ⎢ P( xi <  x 0i ) ⎣ ⎦

= lim  x

=

=

1

1

lim

P( xi

1 − S ( x0i ) ∆ x →0

≤  X i <  xi + ∆ x ) ∆ x

 f  ( x i )

1 − S ( x 0i )

lo cual denotamos por:  f  ( xi δ i

= 1) = P( xi  X i <  x0i ) =

 f  ( xi )

1 − S ( x 0i )

61

Así, la densidad conjunta ( xi , δ i ) tiene las siguientes componentes: P ( xi P ( xi , δ i

=  x0i , δ i = 0) = P(δ i = 0) = S ( x0i ) ;

⎡  f  ( xi ) ⎤ = 1) = P( xi δ i = 1)P(δ i = 1) = ⎢ 1 − S ( x0i )⎥ =  f  ( xi ) ⎣1 − S ( x0i ) ⎦

Combinando estas expresiones tenemos: 1−δ i

P( xi , δ i ) = [ f  ( xi )] i [S ( x0i )] δ 

Como los pares

( xi , δ i )

, i = 1,2,K , N 

son independientes para

i

= 1,2, K, N  , la función de

verosimilitud es:  L ( x1 ,..., x N ;α , β ) =

 N 

∏ ⎡⎣ f ( x )⎤⎦

1−δ i

δ i

⎡⎣ S ( x0 i ) ⎤⎦

i

i =1

Observación: En este caso, los tiempos de censura

 x 0i ,

con

i

= 1,2,K, N  son fijos y

el número exacto de tiempos de vida observados es una variable aleatoria. Suponiendo que

 X 1 ,K , X  N 

son independientes e idénticamente distribuidos con

función de densidad tipo Weibull S ( x0i )

 f  ( xi )

dada en (1) y función de sobrevivencia

dada en (4) Entonces la función de verosimilitud para datos con censura tipo I

es: ⎡⎛ α  ⎞ α −1 − x ⎤  L( x1 ,...... x N  ; α , β ) = ∏ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ xi e  β  ⎥ ⎥⎦ i =1 ⎢⎝  β  ⎠ ⎣ α  i

 N 

⎛ α  ⎞  L( x1 ,...... x N  ; α , β ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝  β  ⎠

r 

 N 

∏ x

δ i (α −1) i

−

e

δ i

1

 β 

⎡ −x ⎤ ⎢e  β  ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ α  0i

(δ  x

α  i i

1−δ i

+(1−δ i ) xα  0i )

 

(23)

 

(24)

i =1

62

r  =

En donde

 N 

∑ δ 

i

denota el número de tiempos de vida observados y

 D  denota

i =1

el conjunto de aquellos individuos para los cuales

δ i

= 1.

Tomando logaritmos en ambos miembros de (24), empleando las propiedades de los mismos y tomando

 L(α , β ) =  L( x1 , K , x n ;α , β ) ,

∑ ln x

ln( L(α , β )) = r ln(α ) − r ln( β ) + (α  − 1)

i∈ D

resulta:

i

−

 N 

∑ (δ  x  β 

= r ln(α ) − r ln( β ) + (α  − 1)∑ ln xi − i∈ D

1

i

α  i

+ (1 − δ i )x0α i )

i =1

1

 N 

∑ (x )    β  α  i

(25)

i =1

donde α 

 xi

= δ i xiα  + (1 − δ i )x0α i

Tomando derivadas parciales de (25) con respecto a α y β  e igualando a cero, se obtiene ⎫ ∂ ln ( L(α , β )) r  1 n α  = + ∑ ln xi − ∑ xi ln xi = 0⎪ ∂α  α  i∈ D  β  i =1 ⎪⎪ ⎬  ⎪ ∂ ln ( L(α , β )) 1 n α  r  ⎪ = − + 2 ∑ xi = 0 ∂ β   β   β  i =1 ⎪⎭

(26)

En la forma escrita la ecuación (26), es análoga a la ecuación (12) para muestras completas, es decir despejando β de ambas ecuaciones en (26) resulta: n

 β  =

∑ x

α  i

ln xi

i =1

r 

α 

+ ∑ ln xi

, al despejar β de la primera ecuación y

i∈ D

63

n

∑ x

α  i

i =1

 β  =

, al despejar β de la segunda ecuación.

r 

Igualando entre si los dos valores de β que se han obtenido resulta que: n

∑ x

n

α  i

i =1

=

r 

∑ x

∑ x

α  i

i =1

ln xi

i =1

r 

α 

n

α  i n

+ ∑ ln xi

, de forma que, al simplificar esta ecuación se tiene lo siguiente:

i∈ D

n ⎡ r  n ⎤ α  ⎢α  + ∑ ln xi ⎥ = r ∑ xi ln xi , y de aquí, i∈ D ⎣ ⎦ i =1

n

r 

α 

+ ∑ ln xi = i∈ D

∑ x

r 

α  i

ln xi

i =1

, o bien

n

∑ x

α  i

i =1

n

∑ x

α  i

ln xi

i =1

−

n

∑ x

α  i

1 1 = ln xi α  r  i∈ D

∑

 

(27)

i =1

Ahora, para obtener la solución, α ˆ , de la ecuación (27), se pueden utilizar métodos numéricos, como por ejemplo el de Newton-Rapson, como en el caso de muestras completas. Una vez calculado el valor de α ˆ , se sustituye en (26) resolviéndose la ecuación en β para obtener el estimador de m.v. β ˆ . Esto es: n

 β ˆ =

∑ x i =1

n

α  ˆ i

 

(28)

64

10. MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS ESTIMADORES

La matriz de varianza-covarianza de

(α ˆ , β ˆ )   se obtiene invirtiendo la matriz de

información, tomando el negativo del valor esperado de las segundas derivadas del logaritmo de la función de verosimilitud. En la presente situación, parece apropiado aproximar los valores esperados por sus estimaciones de máxima verosimilitud. De acuerdo con esto, se tiene la matriz de la varianza-covarianza aproximada a:

⎡ ∂ 2 ln( L) ∂ 2 ln( L) ⎢− ∂α 2 α ˆ , β ˆ − ∂α ∂ β  ⎢ 2 ∂ 2 ln( L) ⎢ − ∂ ln( L) − ⎢⎣ ∂ β ∂α  ∂ β 2 ˆ α  ˆ , β 

−1

ˆ α  ˆ , β 

α  ˆ , β ˆ

⎤ ⎥ ⎡ V (α ˆ ) ⎥ =⎢ ⎥ ⎣Cov(α ˆ , β ˆ ) ⎥⎦

ˆ )⎤ Cov(α  ˆ , β  ˆ ) ⎦⎥   V ( β 

(29)

Los elementos de la matriz de información del lado derecho de (29) se encuentran diferenciando (12) para muestras completas, (19) para muestras con censura tipo II, y (26) para muestras con censura tipo I. Así se obtiene Para muestras completas 1 n α ˆ ⎡ n 1 n α ˆ ⎤ 2 ⎢α ˆ 2 +  β ˆ ∑ xi (ln xi ) −  β ˆ 2 ∑ xi ln xi ⎥ i =1 i =1 ⎢ ⎥  n n 2 n α ˆ ⎥ ⎢ − 1  xα ˆ ln x − 2 + 3 ∑ xi i i ⎢⎣  β ˆ 2 ∑ ˆ ˆ i =1 ⎥⎦  β   β  i =1

(30)

Para muestras con censura tipo II ⎡ n 1 * α ˆ ⎤ 1 * α ˆ 2 ⎢α ˆ 2 +  β ˆ ∑ xi (ln xi ) −  β ˆ 2 ∑ xi ln xi ⎥ ⎢ ⎥  2 * α ˆ ⎥ n ⎢ − 1 *  x α ˆ ln x − 2 + 3 ∑ xi ⎥ i ⎢  β ˆ 2 ∑ i ˆ ˆ  β   β  ⎣ ⎦

(31)

65

Para muestras con censura tipo I 1 n α ˆ ⎡ n 1 n α ˆ ⎤ 2 ⎢ α ˆ 2 +  β ˆ ∑ xi (ln xi ) −  β ˆ 2 ∑ xi ln xi ⎥ i =1 i =1 ⎢ ⎥  n n 2 n α ˆ ⎥ ⎢ − 1  x α ˆ ln x − 2 + 3 ∑ xi i i ⎢⎣  β ˆ 2 ∑ ⎥⎦ ˆ ˆ i =1  β   β  i =1

(32)

Aunque los resultados anteriores sólo son válidos en un sentido estricto para muestras grandes, ellos pueden encontrase en proporción para obtener aproximaciones razonables para estimar varianzas y covarianzas para las muestras de tamaño moderado. Las estimaciones de máxima verosimilitud son consistentes y sabemos que el error de estimación disminuye cuando el tamaño de la muestra es grande.

66

11. METODOS NUMERICOS UTILIZADOS

Los sistemas de ecuaciones no lineales, obtenidos en la estimación de los parámetros de la distribución Weibull, conducen a la necesidad de recurrir a métodos iterativos a través de programas computacionales. En este caso, se aplica el método de Newton Raphson a través de un algoritmo en IML ( Interactive Matriz Language) de SAS, para resolver los sistemas de ecuaciones no lineales, a continuación se presenta el método de Newton Raphsón 11.1 Método Newton Raphson

En la estimación de máxima verosimilitud para muestras completas, censura tipo I, y censura tipo II se puede observar que no se tienen soluciones explicitas en la obtención de los estimadores de máxima verosimilitud, motivo por el cual se tiene que recurrir a este método que es un procedimiento iterativo que puede usarse para obtener dichos estimadores. El método consiste en resolver una ecuación de la forma

 f  ( x ) = 0   de

la siguiente

forma: Sea

 x

= [x 1 x 2 K x n ] una raíz deseada del sistema no lineal de n x n , de la T 

ecuación  f  ( x ) = 0 , cuya i-ésima ecuación es:  f i ( x ) =  f i ( x1 ,K, xn ) = 0,

Y supongamos que

 xk  es

aproximación mejorada (33) para

 x  

i

= 1,K, n  

una aproximación actual de

 xk +1   es

cerca de

 xk  .

 x .

(33) La manera de obtener una

resolver un sistema lineal que aproxime al sistema De manera específica si

 x =  x k 

+ dx , donde

67

dx = [dx1  f i ( x k 

K

dx x

dx n ]

T 

, se puede obtener una aproximación a la ecuación exacta

+ dx ) = 0  en (33) usando la diferencial total.

Y así tenemos  f i (x k ) +

∂ f i ( xk  ) ∂ f  ( x ) ∂ f  ( x ) dx1 + i k  dx2 + K + i k  dxn = 0, i = 1,K, n   ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

Este sistema es lineal en ⎡ ∂ f 1 ( xk  ) ∂ f 1 ( xk  ) ⎢ ∂ x ∂ x1 ⎢ 1 ⎢ ∂ f 2 ( xk  ) ∂ f 2 ( xk  ) ⎢ ∂ x1 ∂ x1 ⎢ M M ⎢ M ⎢ M ⎢ ∂ f n ( xk  ) ∂ f n ( xk  ) ⎢ ∂ x1 ⎣ ∂ x1

(34)

dx1 , dx2 ,K, dxn ;  y su forma matricial es

L L O L

∂ f 1 ( xk  ) ∂ x1 ∂ f 2 ( xk  ) ∂ x1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ M ⎥ ∂ f n ( xk  ) ⎥ ⎥ ∂ x1 ⎦

−1

⎡ dx1 ⎤ ⎡  f 1 ( xk  )⎤ ⎢dx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = − ⎢  f 2 ( xk  )⎥ =  J −1dx = −  f  ( xk  )   ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣dxn ⎦ ⎣ f n ( xk  )⎦

(35)

donde  J  =  f  ′( xk  ) por lo tanto, podemos obtener  xk +1  a partir de  xk   como  xk +1 =  xk  + dxk   donde

dxk   es

la

solución de  f ′( xk  )−1 dx = −  f  (xk  ) . La matriz  f  ( x ) = 0

 J  =  f  ′( xk  )  en

en

parciales de

 xk  .

(35) es la matriz jacobiana no lineal asociada a la ecuación

Observe que el renglón

 f i ( x )  (i-ésima

i

de

 J   

contiene todas las derivadas

ecuación), mientras que la columna j de

las derivadas parciales con respecto a  x j  (j-ésima variable). Así,

 J   contiene

 f  ′( xk  ) =

todas

⎡ ∂ f i ( xk  )⎤ ⎢ ⎥ . ∂  x ⎣⎢  j ⎦⎥ nxn

68

Por otro lado, si queremos estimar un vector de parámetros

θ    mediante

máxima

verosimilitud, se deben resolver las ecuaciones de verosimilitud, de donde: θ (n +1)

= θ n − F ′(θ n )−1 f  (θ n )

Teniendo el logaritmo de la función de verosimilitud, entonces

 f  (θ n ) =

y

d ln( L ) d θ 

⎡ ∂ 2 ln( L ) ⎢ ∂θ  ∂θ  ⎢ 21 1 ⎢ ∂ ln( L ) ⎢ ∂θ  ∂θ  F ′(θ n ) = − I (θ ) = ⎢ 1 2 ⎢ M ⎢ M ⎢ ∂ 2 ln( L ) ⎢ ⎢⎣ ∂θ 1∂θ k 

= S (θ )

∂ 2 ln( L ) ∂θ 1∂θ 2 ∂ 2 ln( L ) ∂ 2∂θ 2 M M

∂ 2 ln( L ) ∂θ k ∂θ 2

L L O L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ M ∂ 2 ln( L ) ⎥⎥ ∂θ k ∂θ k  ⎥⎦ ∂ 2 ln( L ) ∂θ 1∂θ k  ∂ 2 ln( L ) ∂θ 2∂θ k 

a la que llamamos matriz de información de Fisher. Entonces la estimación por medio del método de Newton Raphson resulta: θ (n +1)

= θ n − F ′(θ n )−1 f  (θ n )

La ventaja del método de Newton Raphson en la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales es su rapidez de convergencia, una vez que se conoce una aproximación suficientemente exacta. Una de sus debilidades consiste en que se requiere una aproximación inicial precisa de la solución para garantizar la convergencia. Sin embargo no siempre es fácil determinar valores iniciales que conduzcan a una solución.

69

Usualmente, los estimadores de momentos suelen ser utilizados como valores iniciales para la aplicación del método, desgraciadamente los cálculos involucrados para la obtención de los estimadores a través del método de momentos no siempre son fáciles. A continuación se considera un método que elimina la limitación anterior.

12. TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN A UN MODELO MODELO DE REGRESION DE DE LA WEIBULL

Este método consiste en determinar los valores de los estimadores a través del análisis de regresión, para posteriormente utilizarlos como valores iniciales para la estimación por máxima máxima verosimilitud Este método consiste consiste en lo siguiente: Los parámetros α y β de la función:

S ( x) = e

−

α 

 x

 β 

Se pueden estimar trasformando la función a una función lineal por medio de una transformación logarítmica doble

ln[S ( x)] = −

 x

α 

 β 

ln{ln[1 / S ( x)]} = α  ln x − ln β   

(36)

De esta forma el segundo miembro queda lineal en x. Como la función: S ( x) = 1 − F ( x)  resulta:

ln{ln[1 / (1 − F ( x ) )]} = α  ln x − ln β   

(37)

70

Para estimar gráficamente los parámetros α y β se procede de la siguiente manera: a) Los n  registros de tiempos de falla se ordenan de menor a mayor y se les asigna

un número de orden i  de 1 a n . b)  Se calcula para cada falla la posición Fi  de la siguiente manera:

Fi

donde

Fi  representa

=

(i − 0.5) n

el porcentaje de fallas que ha tenido lugar antes del tiempo de

falla correspondiente al orden i . c ) Se construye la grafica de la ecuación (36) con abscisas

= ln t i  

(38)

= ln{ln[1 / (1 − F ( x))]}  

(39)

 x i

y ordenadas  y i

Con lo cual (37) se transforma en:  y i

= mxi + b

d)  Se determina la regresión lineal de los puntos P( x i , y i ) de (38) y (39) con lo cual la

pendiente

m es α y la ordenada al origen b es ln  β  .

71

13. PRUEBA DE KOLMOGOROV DE BONDAD DE AJUSTE

Frecuentemente tenemos duda si una muestra es representativa de una población o distribución. Existen diferentes pruebas para verificar el ajuste de nuestros datos a una distribución de probabilidad. Las dos más utilizadas son el contraste

 χ 2 de

Pearson, y la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Históricamente estas comparaciones se llaman pruebas de bondad de ajuste. La prueba de Kolmogorov no solo es útil para probar bondad de ajuste para una distribución normal sino también para probar otras distribuciones. Si el tamaño de la muestra es pequeño, la prueba de Kolmogorov debe preferirse sobre la de

 χ 2   para

probar la bondad de ajuste. La prueba de

 χ 2   supone

que el

número de observaciones es lo suficientemente grande como para que la distribución  χ 2  sea

la apropiada para los datos. En términos generales, la prueba de Kolmogorov

es más poderosa que la de  χ 2  en la mayoría de los casos. El principio en el uso de la prueba de Kolmogorov es una comparación entre el porcentaje acumulativo de la población bajo la hipótesis nula F0 (x)  con el porcentaje acumulativo de la muestra S ( x)

. Con una muestra de tamaño n, la distribución F0 (x)   está fijada y podemos

calcular la diferencia S ( x) y F0 (x)  para cada valor de la muestra. Las estadísticas que dependen de la distancia vertical entre

S ( x) y F0 (x)  

se denominan del tipo

Kolmogorov. El protocolo de esta prueba se describe a continuación: Hipótesis

La hipótesis del tipo Kolmogorov es:  Ho : F ( x)

= F o ( x) ∀ x

 Ha : F ( x )

≠ F o ( x)  para al menos una x

72

Estadistica de prueba

La estadistica del tipo Kolmogorov es:  D o = Supremo S ( x) − F o ( x)

Regla de decisión.

La regla de decisión es: Rechazar  H o  si  Do ≥ Dn ,α 

14. ALGORITMOS NUMÈRICOS

Los algoritmos de programación que fueron utilizados en el proceso de estimación de los parámetros de la distribución Weibull para muestras completas y censuradas se escribieron en el paquete SAS, posteriormente se programaron en S-PLUS las correspondientes pruebas de hipótesis. Debido a que el método de máxima verosimilitud conduce a sistemas de ecuaciones no lineales, en la mayoría de los casos es necesario recurrir a métodos de aproximaciones recursivas para obtener su solución, los cuales son implementados usando programas computacionales. Por lo tanto para la obtención de los estimadores de los parámetros de la distribución Weibull para muestras completas y censuradas se realizaron programas en IML de SAS. El apéndice C presenta un programa en SAS/IML para obtener los parámetros de la distribución Weibull. Asimismo el Apéndice D presenta la prueba de Kolmogorov de bondad de ajuste usando S-PLUS.

73

15. APLICACIONES APL ICACIONES

Una muestra generada de una distribución Weibull dada por Cohen [6] se ha seleccionado para ilustrar la aplicación práctica de los resultados obtenidos en el presente trabajo. Los datos para esta muestra se dan acontinuación.

x (tiempos de vida observados)

0.806 1.55

0.664 9.098

0.345 0.001 0.47 0.505

0.469 57.628 57.628 1.033 0.03 7.057 2.046

3.532 0.185

0.97 0.435

0.071 1.55

En este caso los datos son completos, es decir el valor de cada unidad de muestra es observado. Para obtener los estimadores de máxima verosimilitud para este tipo de datos procedemos de la siguiente manera: PASO 1.- Consiste en determinar los valores de los estimadores mediante el modelo

de regresión de la Weibull, y así utilizarlos como valores iniciales para la estimación por máxima verosimilitud. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla I. PASO 2.- Consiste en determinar los valores de los estimadores de máxima

verosimilitud utilizando el programa Newton-Raphson para muestras completas, obteniéndose los resultados de la Tabla I, considerando los estimadores obtenidos mediante el modelo de regresión de la Weibull como valores iniciales. A manera de comparación, las estimaciones de máxima verosimilitud se listan junto con las estimaciones obtenidas mediante la regresión Weibull y los resultados obtenidos por Cohen. Tabla I.I. Valores Valores de los estimador es de α  y  β  .

Parámetro

Estimaciones de Cohen

Regresión Weibull

Máxima verosimilitud

α  ˆ

0.506

0.53

0.505

 β ˆ

1.363

1.40

1.363

74

La matriz de varianza-covarianza de los estimadores de máxima verosimilitud es ⎡0.0066015 0.0140154 ⎤ ⎢0.0140154 0.1223352 ⎥ ⎣ ⎦ donde, V (α ˆ ) = 0.0066015,

ˆ ) = 0.1223352  y Cov(α  ˆ ) = 0.0140154 . V ( β  ˆ , β 

Paso 3.- Con los valores de los estimadores de máxima verosimilitud, obtenidos en

el segundo paso se lleva a cabo la prueba de bondad de ajuste a la distribución Weibull, a través de la prueba de Kolmogorov programada en S-PLUS. Prueba de bondad de ajuste

Las hipótesis a probar son  H 0 : F ( x ) = W x (0.505,1.363)

vs

 H a : F ( x ) ≠ W  x (0.505,1.363)

El Cuadro 1 muestra la salida de S-PLUS para realizar la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov. De tablas1 obtenemos que  D20, 0.05 = .294 . Puesto que  Do = 0.1933 no es mayor que .294 concluimos que  H o  no se rechaza. Por tanto, la distribución de la muestra analizada es

W (0.505,1.363) .

Cuadro 1. Resumen de la salida de S-PLUS para la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov.

One-sample Kolmogorov-Smirnov Test Hypothesized distribution = weibull data: x ks = 0.1933 0.1933, p-value = 0.3934 alternative hypothesis: True cdf is not the weibull distn. with the specified parameters 1

Ver Marta Elva, Tabla E, pag. 181.

75

De las observaciones de Klein [25] presentadas de forma completa en el Apéndice B se analizan sólo los datos completos y sin considerar covariables, tales tiempos de vida están dados en la siguiente tabla. Tiempo del estudio en meses 0.1

0.8

1.9

3.5

5.3

0.2

0.8

1.9

3.5

6

0.3

1

2

3.6

6.2

0.3

1

2

3.6

6.3

0.3

1.3

2.3

3.8

6.4

0.4

1.3

2.4

4

6.4

0.5

1.5

3.2

4

6.5

0.6

1.6

3.2

4

7

0.7

1.8

3.3

4.3

7.4

0.8

1.8

3.5

5

7.8

Primero determinamos los valores de los estimadores mediante el modelo de la regresión de la Weibull. Posteriormente determinamos los valores de los estimadores de máxima verosimilitud utilizando el programa Newton Raphson, considerando como valores iniciales los estimadores obtenidos mediante el modelo de regresión de la Weibull. Los resultados se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2. Valores de los estimador es de α  y  β  .

Parámetro α  ˆ  β ˆ

Regresión Weibull 1.17 3.87

Máxima verosimilitud 1.25 4.23

76

La matriz de varianza-covarianza de los estimadores de máxima verosimilitud es ⎡0.02105 0.13050⎤ ⎢0.13050 1.16720 ⎥ ⎣ ⎦ donde, V (α ˆ ) = 0.02105,

ˆ ) = 1.16720  y Cov(α  V ( β  ˆ , β ˆ ) = 0.13050 .

Con los valores de los estimadores de máxima verosimilitud, obtenidos se realiza la prueba de bondad de ajuste a la distribución Weibull, mediante la prueba de Kolmogorov programada en S-PLUS. Las hipótesis a probar son  H 0 : F ( x ) = W x (1.25,4.23)

vs

 H a : F ( x ) ≠ W  x (1.25,4.23)

El Cuadro 2 muestra la salida de S-PLUS para realizar la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov. De tablas1  obtenemos que  Do

 D50,0.05

= 0.1923 . Puesto que

= 0.1557 no es mayor que 0.1923 concluimos que  H o  no se rechaza. Por tanto,

la distribución de la muestra analizada es

W (1.25,4.23) .

Cuadro 2. Resumen de la salida de S-PLUS para la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov.

One-sample Kolmogorov-Smirnov Test Hypothesized distribution = weibull data: x ks = 0.1557, p-value = 0.1593 alternative hypothesis: True cdf is not the weibull distn. with the specified parameters

77

16. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En el análisis de los datos de tiempos de vida reportados por Klein para pacientes con cáncer se encontró y probó que el modelo Weibull representa adecuadamente el comportamiento de estos tiempos de vida al considerar solo datos completos y sin considerar covariables. Las ecuaciones de verosimilitud obtenidas en el modelo Weibull son un sistema de ecuaciones no lineales cuya solución requiere el uso de métodos numéricos, tal como el método de Newton Raphson; en el cual debe darse un punto de inicio adecuado para que exista convergencia. En este trabajo se encontró que el método de regresión para obtener empíricamente la estimación de los parámetros del modelo Weibull da un buen punto de inicio para aplicar el método de Newton Raphson para obtener la solución de las ecuaciones de verosimilitud, debido a que con este punto la convergencia es rápida. Este trabajo abre otras posibilidades en el análisis de tiempos de vida, tales como, el análisis con datos censurados cuya censura puede ser del tipo I, del tipo II, o censura progresiva, ya que se observo en la literatura que en muchos experimentos de tiempos de vida los datos son censurados. Además, también se tienen posibilidades del análisis de tiempos de vida considerando los valores observados de covariables en los elementos analizados, es decir, pueden analizarse los datos a través del modelo extendido a un modelo de regresión.

78

 APÈNDICE A

 A.1. Tr ans formac ión d e var iab les de tip o dis cr eto

Los cambios de variable son útiles a la hora de trabajar con las medidas características de una variable aleatoria. A partir de una variable aleatoria

 X  ,

definimos la variable

Y  = g ( X ) ,

donde

g  ha

de

ser una función continúa y monótona (esto es para poder trabajar cómodamente con inversas, aunque también se pueden estudiar transformaciones más generales). Ahora veremos cómo calcular la función de distribución asociada a la variable conociendo la de  X  .

Y 

En general, si denotamos por

Y 

G 

a la función de distribución de la variable

tenemos:

(

P ( y ) = P (Y  ≤  y ) = P ( g ( X ) ≤  y ) = P  x ∈ g

−1

(− ∞, y ))

Ahora veremos cómo adaptar esta fórmula según la variable sea discreta o continua: Caso discreto:   Sea  X    una variable aleatoria discreta que toma valores  xi , con

función de masa de probabilidad variable aleatoria

(

P Y  =  y  j

 p ,

es decir

P ( X  =  x ) =  p( x ) .

Entonces para la

Y  , que toma los valores  y j  tenemos:

) = P(g ( X ) =  y ) = P(g − ( y )) = ∑ P( x g ( x ) = y )  1

 j

 j

i

i

 j

(a.1)

i

79

 A.2. Tr ans formac ión d e var iab les de tip o con tinu as

Considérese que se desea determinar una integral de la forma

∫ K ∫ φ ( x ,K, x 1

n

)dx1 ,K, dxn

A ⊂ ℜ.  

(a.2)

 A

Supóngase que se tiene la siguiente transformación de variables: T  :  A →  B ,

con = u1 ( x1 ,K, x n )  y 2 = u 2 ( x1 , K, x n )  y1

M

 y n

= u n ( x1 ,K, x n )

La cual es biyectiva, cuya transformación inversa es: T −1 :  B →  A ,

con = w1 ( y1 ,K , y n )  x 2 = w2 ( y1 , K,  y n )  x1

M

 x n

= wn ( y1 ,K, y n )

Una forma de poder obtener la integral en (a.2), que resulta frecuentemente más conveniente, dada la transformación anterior y su inversa con jacobiano no nulo, se enuncia el siguiente teorema, cuya demostración puede encontrarse en libros de análisis matemático, por ejemplo ver, Apóstol [1] .

80

TEOREMA: Si las primeras derivadas parciales de las funciones inversas existen y

son continuas, y si el jacobiano  J  de la transformación inversa no es igual a cero par todo punto de  B  entonces

∫ K ∫ φ ( x ,K, x 1

 A

n

)dx1 ,K , dx n = ∫ K ∫ φ [w1 ( y1 ,K,  y n ), K, wn ( y1 ,K, y n )] J  dy1 ,K, dy n  B

en donde ∂ x1 ∂ y1 ∂ x 2  J  = ∂ y1

∂ x1 ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2

M

M

∂ xn ∂ y1

∂ xn ∂ y 2

L L

∂ x1 ∂ y n ∂ x2 ∂ y n M

L

∂ x n ∂ y n

El valor  J  se conoce como el jacobiano de la transformación. Ejemplo 1. Considérese la integral 1  x1

 I  =

∫ ∫ ( x

1

+  x2 )dx 2 dx1 ,   en este caso, es claro que

 A = {( x1 , x 2 ) 0 <  x 2

< x1 < 1} ; y

0 0

considérese la transformación: =  x1 +  x 2  y 2 =  x1 −  x 2  y1

Cuya transformación inversa es:  x1

=

 y1

 x 2

=

 y1

+  y 2 2

−  y 2 2

81

con jacobiano 1

1

 J  = 2

2 1 − 2

1 2

=−

1 2

Ahora, como Α = {( x1 , x 2 ) 0 <  x 2 < x1 < 1}, entonces se tiene que

0<

 y1

−  y 2 2

De donde: ⇒ y 2 < y1 ; ⇒ 0 < 0 ≤ y1  ≤ 2

<

 y1

+ y2 2

y 2 ; ⇒  y1

<1

+ y 2 < 2 ⇒ 0 <  y 2 < 2 − y1 , de aquí que

& 0 <  y 2 ≤ min{ y1 ,2 − y1 }.  Así que  B

= {( y1 ,  y 2 ) 0 ≤  y1 ≤ 2

&

0 < y2

≤ min{ y1 ,2 − y1 }} .

Entonces por el Teorema anterior 1  y1

2 ⎛  y1 +  y 2  y1 −  y 2  ⎞ 1  I  = ∫ ∫ ⎜ + ⎟ − dy 2 dy1 + ∫ 2 2  ⎠ 2 0 0 ⎝  1

1  y1

 I  =

 y1

∫∫ 2 0 0

2 2 − y1

dy 2 dy1

+∫ 1

∫ 0

 y1

2

2 − y1

∫ 0

⎛  y1 +  y 2  y1 −  y 2  ⎞ 1 + ⎜ ⎟ − dy 2 dy1 2 2 ⎝   ⎠ 2

dy 2 dy1

82

 A.2.1 Ap licaci ón del teo rema de la tr ans fo rm aci ón (o cambio de var iable) a transformaciones de variables aleatorias.

Sea

 X  = ( X 1 ,K,  X n )   una

 f  x ( x )

variable aleatoria continua de dimensión

y sea A* el conjunto de Rn  donde

n   con

densidad

 f  x ( x ) > 0 .

Supóngase que = u1 ( X 1 ,K, X n ) Y 2 = u 2 ( X 1 ,K , X n ) Y 1

M

= u n ( X 1 ,K , X n )

Y n

Donde las variables aleatorias que,

 y i

Y i   son

funciones de las variables aleatorias

 X i   tal

= u i ( x1 ,K, x n )   para i= 1,…,n definen una transformación uno a uno y sobre

de A* en

 B* ⊂ ℜ  con

inversa  xi = wi ( y1 ,K, y n )  para i= 1,…,n, y con jacobiano

 J   de

la transformación inversa no idénticamente cero. Sea  A ⊂  A *  y sea B la imagen de A bajo la transformación. Entonces.

∫ ∫

P((Y 1 , K, Y n ) ∈ B ) = P (( X 1 , K, X n ) ∈  A) = K  f  x ( x )d x , y por el T.C.V. a

= ∫ K ∫  f  x ,K, x (w1 ( y1 ,K, y n ),K, wn ( y1 ,K,  y n )) J dy1 ,K, dy n . 1

n

 B

Sea  D ⊂ ℜ n  entonces

(

P(Y  ∈ D ) = P(Y  ∈ D ∩  B *) + P Y  ∈ D ∩ B *

=

∫

ψ ( y )d  y +

 D ∩ B*

c

)

∫ψ ( y )d  y ,

 D ∩ B *c

83

donde

( y ) =  f  X  ,

1 K, X n

(w1 ( y1 ,K, y n ),K, wn ( y1 ,K,  y n )) J  .

De aquí que la función de densidad de

Y   está

dada por

⎧⎪ f  X  ,K, X n (w1 ( y1 ,K,  y n ),K , wn ( y1 ,K, y n )) J  , si ( y1 ,K, y n ) ∈ B *  f Y 1 ,K,Y n ( y1 , K,  y n ) = ⎨ 1 ⎪⎩0, de otro modo.

 A.2.2 Cas o p art icular del cam bio d e var iab le

Sean X1,…,Xn

variables aleatorias continuas con densidad conjunta

 f  .

Sean

Y1,…,Yn  variables aleatorias definidas en términos de las X’s. En esta sección discutiremos un método para encontrar la densidad conjunta de las Y’s en términos de

 f  .

Consideraremos principalmente el caso cuando las Y’s son definidas como

funciones lineales de las X’s. Supóngase entonces que n

Y i

= ∑ aij X  j  

i=1,…,n

 j =1

Los coeficientes constantes

aij

determinan una matriz n x n.

⎡ a11 ⎢  A = [aij ] = M ⎢ ⎢⎣a n1

L

a1n ⎤

⎥ ⎥ a nn ⎥⎦ M

K

84

Ahora, esta matriz de orden n x n tiene asociado el determinante a11

L

det  A = M a n1

a1n M

K

a nn

si det  A ≠ 0 , entonces existe una matriz inversa única

 B = bij

  tal que BA=I o

equivalentemente n

∑

bik a kj

k =1

Las constantes

bij

⎧1, sì i =  j =⎨   ≠ 0 , si i  j ⎩

(a.3)

pueden obtenerse resolviendo para cada i el sistema (a.3) de n

ecuaciones en las incógnitas

bi1 ,K, bin .

Alternativamente, las constantes

bij   son

definidas de manera única para que las ecuaciones n

 y i

= ∑ aij x  j ,

i=1,…,n.

 j =1

tengan soluciones: n

 xi

= ∑ bij y  j ,

i=1,…,n.

(a.4)

 j =1

Con las condiciones anteriores se tiene:

85

Teorema.  Sean X1,…,Xn variables aleatorias continuas con función de densidad

conjunta

 f   y sean las variables aleatorias Y 1,…,Yn definidas por

n

Y i

= ∑ aij X  j ,

i=1,…,n.

 j =1

donde la matriz  f  y1 ,K, yn  dada

 A = aij

 tiene det  A ≠ 0 . Entonces Y1,…,Yn tiene densidad conjunta

por

 f  y1 ,K, yn ( y1 ,K ,  y n ) =

donde las

 xi  están

1 det  A

 f  ( x1 ,K , x n ) ,

definidas en términos de las

 y i  por

(a.4) o como única solución

n

para las ecuaciones  y i = ∑ aij x  j .  j =1

Este teorema, que es un caso particular de lo expuesto en A.2.1, es equivalente al teorema demostrado en cursos de cálculo avanzado en una forma más general envolviendo “jacobianos”. Ejemplo 2. Sean X1,…,Xn variables aleatorias independientes cada una teniendo

una densidad exponencial con parámetro λ .  Defina Y1,…,Yn por Yi=X1+…+Xi, para 1 ≤ i ≤ n . Encontrar la densidad conjunta de Y 1,…,Yn.

La matriz

aij

 es ⎡1 0 L ⎢1 1 K ⎢ ⎢M M O ⎢ ⎣1 1 1

0⎤

⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ 0

86

El determinante de esta matriz, claramente es igual a 1. Las ecuaciones  y i

=  x1 + L + x n

 x1

= y1 ,

para i=1,…,n

tiene la solución:  xi

=  yi − y i −1 ,   para i=2,…,n.

La densidad conjunta de X1,…,Xn esta dada por ⎧λ n e − λ ( x +K+ x ) , para x 1 , K, x n > 0    f  ( x1 ,K, x n ) = ⎨ 0 , d.o.m ⎩ 1

Así, la densidad conjunta

n

 f Y 1 ,K,Y n  está dada por

⎧λ n e −λ  y , para 0 < y1 < K <  y n    f Y  ,KY  ( y1 , K ,  y n ) = ⎨ 0 , d.o.m ⎩ n

1

(a.5)

n

(a.6)

Por supuesto, uno puede aplicar el teorema en dirección inversa. Así, si Y1,…,Yn tiene densidad conjunta dada por (a.6), y las variables aleatorias X1,…,Xn  son definidas por X1=Y1 y Xi=Yi - Y i-1, para 2≤i≤n, entonces las X’s tienen la densidad conjunta

 f   dada

por (a.5). En otras palabras, X 1,…,Xn son independientes y cada

una tiene distribución exponencial con parámetro

λ  .

87

 A.2.3 Gener ali zaci ón del teorema de la transfor mac ió n cu and o esta no es biyectiva

Sea

φ ( x1 , K, x n )   la

aleatorias

función de densidad de probabilidad conjunta de las variables

continuas  X 1 ,K , X n . Sea

 A  

el espacio n-dimensional donde

φ ( x1 ,K , x n ) > 0 , y considere la siguiente transformación de variables

= u1 ( x1 ,K, x n )  y 2 = u 2 ( x1 , K, x n )  y1

M

 y n

la cual mapea  A  sobre

 B  en

= u n ( x1 ,K, xn ) el espacio ℜ n . A cada punto de

 A  le

corresponderá

un punto en  B . Pero a un punto en  B  puede corresponderle mas de un punto en  A . Es claro que esta transformación no es uno a uno. Suponga, que podemos representar

 A  

como la unión de un número finito, digamos

k  ,

de conjuntos

mutuamente excluyentes,  A1 ,K, AK   y que = u1 ( x1 ,K, x n )  y 2 = u 2 ( x1 , K, x n )  y1

M

 y n

= u n ( x1 ,K, xn )

define una transformación uno a uno de cada le corresponderá exactamente un punto de

 Ai  sobre  B .

Así, a cada punto en  A ,

 A1 ,K , AK  .Sean

= w1i ( y1 ,K,  y n )  x 2 = w2i ( y1 ,K,  y n )  x1

M

 x n

= wni ( y1 ,K , y n )

88

para

i

= 1,2,K , k .   Denotando k   grupos de n  funciones inversas, un grupo para cada

una de las

k   transformaciones.

Suponga que las primeras derivadas parciales son

continuas y supóngase que cada

 J i

∂w1i ∂ y1 ∂w2i = ∂ y1

∂w1i ∂ y 2 ∂w2i ∂ y 2

M

M

∂wni ∂ y1

∂wni ∂ y 2

L L

∂w1i ∂ y n ∂w2i ∂ y n

i = 1,2, K, k.

M L

∂wni ∂ y n

no es idénticamente igual a cero en  B . De una consideración de la probabilidad de la unión de

k    eventos

mutuamente excluyentes y aplicando la técnica de cambio de

variable, la probabilidad de cada uno de estos eventos, puede verse que la función de distribución conjunta de = u1 ( X 1 , K, X n ) Y 2 = u 2 ( X 1 , K, X n ) Y 1

M

Y n

= u n ( X 1 ,K , X n )

esta dada por ⎧ k  ⎪∑  J i φ [w1i ( y1 ,K,  y n ),K , wni ( y1 ,K, y n )], si ( y1 ,K,  y n ) ∈ B g ( y1 , K ,  y n ) = ⎨ i =1 ⎪0, de otro modo. ⎩

89

Ejemplo 3.  Sean  X 1 , X 2   variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas en forma  X 1

y

 X 2  

n(0,1) .

Así, la función de densidad de probabilidad conjunta de

es: ⎛   x + x2  ⎞ 1 ⎟⎟, exp⎜⎜ − 1 2π  2  ⎠ ⎝  2

 f  ( x1 , x 2 ) =

2

− ∞ <  x1 , x 2 < ∞ .

Supóngase que se tiene la siguiente transformación de las v.a.’s Y 1

=

 X 1

+  X 2 2

(media muestral) y

Y 2

=

( X 1 −  X 2 )2 2

Esta transformación de las variables aleatorias

 X 1

y

 X 2 .

 (dos veces la varianza muestral).

 X 1

y

 X 2

determina la siguiente

transformación entre sus valores numéricos. T  :  A →  B ,

donde

 y1

=

 x1

+  x2

&

2

 y 2

=

( x1 −  x2 )2 2

La transformación T mapea al conjunto conjunto

 B

 A = {( x1 , x 2 );

− ∞ <  x1 , x 2 < ∞}  sobre el

= {( y1 , y 2 ); − ∞ <  y1 < ∞, y 2 ≥ 0} . Pero la transformación no es uno a uno,

3 1 ⎞ ya que, los puntos (1,2) y (2,1) tienen como imagen al mismo punto ⎛  ⎜ , ⎟. ⎝ 2 2 ⎠

En este caso no existe una partición de  A  tal que cada conjunto de la partición tenga como imagen a  B , la dificultad para encontrar esta partición se encuentra en los puntos ( x1 , x 2 )   tales que restringida al conjunto

 A

 x1 '

= x2 , sin embargo si se redefine a la transformación T

= {( x1 , x2 ); − ∞ <  x1 , x2 < ∞, x1 ≠ x2 } entonces la distribución

conjunta no se altera puesto que la probabilidad del conjunto de puntos excluidos dado por {( x1 , x 2 ) x1 = x2 }  es cero. En esta transformación restringida,

T * =  A '

→ B' ,

con  B ' = {( y1 , y 2 ); − ∞ <  y1 < ∞, y 2 > 0} , la cual no es biyectiva, si puede particionarse 90

A en

 A1

= {( x1 , x 2 ); x1 < x 2 } y

= {( x1 , x2 ); x1 > x 2 } , de tal forma que

 A2

T  *  restringida

en  A1  o a  A2  es biyectiva. Así, aplicando el teorema de la transformación cuando ésta no es biyectiva con: *

T 1 :  A1

→ B ' , donde

 y1

y

*

T 2 :  A2

=

 x1

+  x2

&

2

 y 2

=

( x1 −  x2 )2

=

( x1 −  x2 )2

2

→ B ' , donde

 y1

=

 x1

+  x2

&

2

 y 2

2

cuyas inversas son: *−1

T 1

:  B '

→ A1 , donde

 x1

y

*−1

T 2

:  B '

=  y1 −

 y 2

2

&

 x 2

=  y1 +

 y 2

&

 x 2

=  y1 −

 y 2

2

→ A2 , donde  x1

=  y1 +

 y 2

2

cuyos jacobianos son  J 1 =

1 2 y 2

&

 J 2

2

=−

1 2 y 2

. Es decir,

 J 1

=  J 2 =

1 2 y 2

.

91

Se tiene que la conjunta de

Y 1  y Y 2  es:

2 2 ⎡ ⎛  ⎛   y 2  ⎞  y 2  ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎜⎜ y1 + ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎜ y1 − 2 2 ⎢ ⎝  1  ⎠ − ⎝   ⎠ ⎥ 1 g ( y1 ,  y 2 ) = exp⎢− ⎥ 2π  2 2 ⎢ ⎥ 2 y 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 ⎡ ⎛  ⎛   y 2  ⎞  y 2  ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎜⎜ y1 − ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎜ y1 + 2 2 ⎢ 1  ⎠ − ⎝   ⎠ ⎥ 1 + exp ⎢− ⎝  ⎥ 2π  2 2 ⎢ ⎥ 2 y 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦

Por lo tanto

g ( y1 ,  y 2 ) =

2 y12 e 2π 

1

⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

1

−1

 y 22 e

− y 2

2

, si − ∞ <  y1 < ∞,0 <

y2

<∞

2Γ⎜

De la densidad conjunta obtenida se puede observar lo siguiente: ⎛  1 ⎞ ⎟ ⎝  2 ⎠

a. Y 1 ~n ⎜ 0,

b.

Y 2 ~ χ (1)

c.

Y 1

y

Y 2  son

independientes.

92

 APÉNDICE B

Datos de 90 pacientes con cáncer de laringe. Indicador del Tiempo del evento Estudio en 1-Observado Fase de la Edad al Año del Meses 0-Censurado enfermedad diagnostico diagnostico 0.6

1

1

77

76

1.3

1

1

53

71

2.4

1

1

45

71

3.2

1

1

58

74

3.3

1

1

76

74

3.5

1

1

43

71

3.5

1

1

60

73

4

1

1

52

71

4

1

1

63

76

4.3

1

1

86

74

5.3

1

1

81

72

6

1

1

75

73

6.4

1

1

77

72

6.5

1

1

67

70

7.4

1

1

68

71

2.5

0

1

57

78

3.2

0

1

51

77

3.3

0

1

63

77

4.5

0

1

48

76

4.5

0

1

68

76

5.5

0

1

70

75

5.9

0

1

47

75

5.9

0

1

58

75

6.1

0

1

77

75

6.2

0

1

64

75

6.5

0

1

79

74

6.7

0

1

61

74

7

0

1

66

74

93

Indicador del Tiempo del evento Estudio en 1-Observado Fase de la Edad al Año del Meses 0-Censurado enfermedad diagnostico diagnostico 7.4

0

1

73

73

8.1

0

1

56

73

8.1

0

1

73

73

9.6

0

1

58

71

10.7

0

2

68

70

0.2

1

2

86

74

1.8

1

2

64

77

2

1

2

63

75

3.6

1

2

70

77

4

1

2

81

71

6.2

1

2

74

72

7

1

2

62

73

2.2

0

2

71

78

2.6

0

2

67

78

3.3

0

2

51

77

3.6

0

2

72

77

4.3

0

2

47

76

4.3

0

2

64

76

5

0

2

66

76

7.5

0

2

50

73

7.6

0

2

53

73

9.3

0

2

61

71

0.3

1

3

49

72

0.3

1

3

71

76

0.5

1

3

57

74

0.7

1

3

79

77

0.8

1

3

82

74

1

1

3

49

76

1.3

1

3

60

76

1.6

1

3

64

72

1.8

1

3

74

71

1.9

1

3

53

74

94

Indicador del Tiempo del evento Estudio en 1-Observado Fase de la Edad al Año del Meses 0-Censurado enfermedad diagnostico diagnostico 1.9

1

3

72

74

3.2

1

3

54

75

3.5

1

3

81

74

5

1

3

59

73

6.3

1

3

70

72

6.4

1

3

65

72

7.8

1

3

68

72

3.7

0

3

52

77

4.5

0

3

66

76

4.8

0

3

54

76

4.8

0

3

63

76

5

0

3

49

76

5.1

0

3

69

76

6.5

0

3

65

74

8

0

3

78

73

9.3

0

3

69

71

10.1

0

3

51

71

0.1

1

4

65

72

0.3

1

4

71

76

0.4

1

4

76

77

0.8

1

4

65

76

0.8

1

4

78

77

1

1

4

41

77

1.5

1

4

68

73

2

1

4

69

76

2.3

1

4

62

71

3.6

1

4

71

75

3.8

1

4

84

74

2.9

0

4

74

78

4.3

0

4

48

76

95

 APÈNDICE C Programa Newton Raphson para muestras completas options nocenter; proc iml ; reset noprint; /* matriz de datos */ x={ 0.806 . . 1.550};

xx=x`; print xx; n=nrow(xx); one=j(n,1,1); /* vector de unos */ /* Metodo Newton Rapson para obtener los parametros de la distribucion Weibull*/ start newton2; run  fun2; /* evalua la funcion a los valores iniciales*/

do inter=1 to maxiter /* Itera hasta Maxiter Iteraciones o Convergencias */ while(max(abs(fgp))>converge) ; run  deriv2; /* evalua las derivadas de jjj */ delta=-solve(jjj,fgp); /* resuelve para vector de correcciones */ para=para+delta; /* la nueva aproximación es */ run  fun2; /* evalua la funcion */ end; finish newton2; maxiter=5000; /* numero de iteraciones */ converge=.00001; /* criterio de convergencia*/ /* primeras derivadas dadas por el usuario */ start fun2; a=para[1]; b=para[2]; /* extrae los valores */ da= (n/a)+sum(log(xx))-(( 1/b)*sum((xx##a)#log(xx))); db= -(n/b)+ (( 1/b##2)*sum(xx##a)); fgp=da//db; finish fun2; 96

/* segundas derivadas dadas por el usuario */ start deriv2; daa=-(n/a##2)-((1/b)*sum(xx##a#(log(xx))##2)); dadb=(1/b##2)*sum(xx##a#log(xx)); dbb=(n/b##2)-((2/b##3)*sum(xx##a));  jjj=(daa||dadb)//(dadb||dbb); /* jacobiano */; finish deriv2; do; para={0.1, 0.1}; /* valores iniciales */ ; run  newton2; vargp=-inv(jjj); /* matriz de varianza-covarianza */; vgpb1=vargp[2,2]; end; print jjj; print fgp; print para; /* parametros estimados */; print vargp; /* la matriz de varianza-covarianza */

Observación

Para calcular los estimadores de los parámetros de la distribución Weibull para muestras con censura tipo II y censura tipo I basta con cambiar en el programa las correspondientes primera y segunda derivada de la función logaritmo de verosimilitud, y el procedimiento de estimación es el mismo.

97

 APÉNDICE D Prueba de Kolmogorov de bondad de ajuste usando S-PLUS

S-PLUS es un sistema para el análisis estadístico de datos, que ofrece una extensa colección de herramientas para el análisis, para programar la prueba de bondad de ajuste, primero se define una matriz de datos, posteriormente se pide que haga una prueba de bondad de ajuste Kolmogorov para la distribución Weibull, especificando los parámetros de forma y escala. La programación se realizo de la siguiente forma: x<-c(0.806,……….., 0.664) x ks.gof(x, distribution = "weibull",shape=0.506, scale=1.363)

98

17. BIBLIOGRAFÍA

1.  Ap os tol,  T. (1957) “Mathematical análisis “, Adisson-Wesley, reading, Mass. 2. Barlow,  Proschan (1981). Statistical Theory of Realibility and life Testing, Silver Spring. 3. Berrettoni,  J. N. (1964). Practical applications of the Weibull distribution, Industrial Quality Control, 21, 71-79. 4. Berry, G. L. (1975). Design of carcinogenesis experiments using the Weibull distribution, Biometrica, 62, 321-328. 5. Berry,  G. L. (1981). The Weibull distribution as a human performance descriptor, IEEE Transactions on Systems, Man, Cybernetics, 11, 501-504. 6. Cohen   Clifford A. (1965). Maximum Likelihood estimation in the Weibull Distribution Based On Complete On Censored Samples. Technometrics, 7, 579-588. 7. Condra, L. W. (2001). Reliability Data in Medical with Design of Experiments. Marcel Dekker, New York. 8. Dillon, B. S. y Sing, C (1981). Engineering Realiability. New Techniques and Applications, Jhon Wiley & Sons. 9. Dixon, J. C., and Swift, R. H. (1984). The directional variation of wind speed and Weibull probability parameters, Atmospheric Enviroment, 18, 2041-2047.

99

10. Dyer,  D. (1975). An analysis of the relationship of systolic blood pressure, serum choresterol, and smoking to 14-year mortality in the Chicago Peoples Gas Company Study. Par I: Total mortality in exponencial, Weibull model, Part II: Coronary and cardiovascular-renal mortality in two competing risk models, Journal of Chronic Diseases, 28, 565-578. 11. Ellingwood,  B., and Rosowsky, D. (1991) Duration of load effects in LRFD for wood construction, Journal of Structural Engineering, 117, 584-596. 12. Embrechts,  P. And Villaseñor, J. (1988), “Ruin estimates for large claims”, Insurance: Mathematics and economics, 7, 269-274. 13. Franck, J. R. (1988). A simple explanation of the Weibull distribution and its applications, Realibility Review, 8, No. 3, 6-9. 14. Frechet, M. (1927) Sur la loi de probabilite de Pecart maximum, Annales de la Societe Polonaise de Mathematique, Cracovie, 6, 93-116. 15. Gittus, J. H. (1967). On a class of distribution functions, Applied Statistics, 16, 45-50. 16. Gnedenko,  B. V. (1943). Sur la distribution limite du terme maximum d’une serie aleatorie, Annals of Mathematics. 17. Gnedenko,  B. V., Belyaev, Yu. K., and Solov’ev, A.D. (1965) Mathematical Methods in Reliability Theory, Moscow. ( In Russian. English Translation, New York: Academic Press). 18. Hager, Harold W., Bain, Lee J. y Antle, Charles E (1971). Realibility estimation for the generalized gamma distribution and robustness of the weibull model, Technometrics. 13, 547-557.

100

19. Hallinan,  A. J., Jr. (1993). A review of the Weibull distribution, Journal of Quality Technology, 25, 85-93. 20. Harter,  H.L y Moore, A.H. (1965). Maximum-Likelihood estimation of the parameters of gamma and weibull populations from complete and from censored samples, Technometrics, 7 (4), 639-643. 21. Kalbfleisch, Prentice. (1983). Statistical Analysis of Failure Time Data, Jhon Wiley. 22. Kao, J. H. K. (1958). Computer methods for estimating Weibull parameters in realibility studies, Transctions of IRE, Realiability and Quality Control, 13, 1522. 23. Kao, J. H. K. (1959). A grafical estimation of mixed Weibull parameters in lifetesting electron tubes, Technometrics, 1, 389-407. 24. Koehler, K. J., and McGovern, P. G. (1990) An application of the LFP survival model to smoking cessation data, Statistics in Medicine, 9, 409-421. 25. Klein,  J. P. y Moeschberger M.L (1997). Survival Analysis: Techniques for Censured and Truncated Data, Springer-Verlag, New York, Inc. 26. Klupelberg,  C and Villaseñor, J., (1990), “Estimation of distribution tails a parametric approach,” AMS, 1-31. 27. Lange,  (1999). Numerical Analysis for Statisticians. Springer-Verlag, New York. 28. Lawless,  J.F.(1973). On the estimation of safe life when the underlying life distribution is Weibull. Technometrics, 4, 725-730.

101

29. Lawless, J.F.(1975). Construction of tolerance bounds for the extreme value and Weibull distributions. Technometrics, 17, 255-261. 30. Lawless,  J.F.(1978). Confidence interval estimation for the Weibul and extreme value distributions. Technometrics, 25, 355-364. 31. Lawless,  J.F.(1982). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, John Wiley & Sons. 32. Lawless,  J.F.(2003)., Event history analysis and longitudinal surveys. In analysis of Survey Data, R.L Chambers and C.J Skinner, Eds. John Wiley & Sons. Chichester. 33. Lawless, J.F.(2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, Second Edition John Wiley & Sons. 34. Malik,  M. A. K. (1975). A note on the physycal meaning of the Weibull distribution, IEEE Transactions on Reliability, 24, 95. 35. Marta  Elva Ramirez Guzmán (1993), Métodos estadísticos no parametricos, Universidad Autonoma Chapingo. 36. Meeker,  W. Q. and Escobar, L. A (1998). Statistical Methods for Realibility Data. John Wiley & Sons, New York. 37. Meier, P. (1980). Estimation of a distributin from incomplete observations. In perspectives in Probability and Statistics, J. Gani, Ed. Applied Probability Trust, Sheffield, England. 38. Mendehall, W y Sincich, T. (1997). Probabilidad y Estadistica para Ingenieros y ciencias, Prentice Hall, México, D.F.

102

39. Menon,  M. V. (1963). Estimation of the shape and scale parameters of the Weibull distribution, Technometrics, 5,175-182. 40. Norma  L.J. & Kotz S. y Balakrishnan N. (1994) “ Continuous Univariate Distributions”,. Ed. Jhon Wiley and Sons. Vol.1, 2 a Edition. 41. Pavia, E. J. And O’Brien, J. J. (1986). Weibull statistics of wind speed over the ocean, Journal of Climate and Applied Meteorology, 25, 1324-1332. 42. Richard,  A.J. (1998). Probabilidad y Estadística para ingenieros de Millar y Freund, Prentice Hall. 43. Richard   L. Burden y J.Douglas Faires (2001), Analisis Numerico, Séptima Edición, Math Learning. 44. Rosen  P., and Rammler, B. (1933). The laws governing the fineness of powdered coal, Journal of the Institute of Fuels, 6, 179-187. 45. Selker,  J. S., and Haith, D. A. (1990). Develoment and testing of singleparameter precipitation distributions, Water Resources Research, 26, 2733-2740. 46. Struthers, C. A. And Farewell, V. T (1989). A mixture model for time to AIDS data with left truncation and an uncertain origin, Biometrika, 76, 362-369. 47. Tuller, S. E., and Brett, A.C. (1984). The characteristics of wind velocity that favor the fitting of a Weibull distribution in wind speed analysis, Journal of Climate and Applied Meteorology, 23, 124-134. 48. Weibull,  W. (1939a). A statistical theory of the strength of material, Report No. 151, Ingeniors Vetenskaps Akademins Handligar, Stokholm.

103