MC Robinett2E

Mec´ anica Cu´ antica Resultados cl´ asicos, sistemas modernos, y ejemplos visualizados

Segunda edici´ on

Richard W. Robinett Pennsylvani Pennsylvania a State University University Departame Depar tamento nto de F´ısica ısi ca

8 de abril de 2018

´ Indice general Prefacio

4

1 Una primera primera mirada a la F´ F´ısica ısica Cu´ antica

7

1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.5 1.6 2

Como Como afron afronta ta este este libro libro la la mec´ mec´ anica anica cuántica . . . . Relatividad escencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . F´ısica cuántica: antica:  com omoo una constante fun fundam ameental . Model Modeloo semi semicl cl´ásico asico del átomo atomo de Hidr´ ogeno . . . . . Ana´lisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preguntas y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 7 . 11 . 13 . 19 . 23 . 25 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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La ecua ecuaci ci´ ´ on de onda de Schr¨ on odinger

3.1 3.1 3.2

3.3 3.4 3.5 4

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Ondas cl´ asicas

2.1 2.1 La ecua ecuaci ci´ on ón de onda clásica . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Paque Paquetes tes de de onda onda y soluci solucione oness peri´ periódicas . . . . . . . . 2.2.1 2.1 Solu olucione ones de paquete de onda general . . . . . 2.2.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Invirtien Invirtiendo do la transform transformada ada de Fourier: la funci´ funci´ on δ on δ de 2.5 2.5 Dispe Dispers rsi´ i´ on y tunelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 5.1 Veloci ocidades para los paquetes de ond onda . . . . . 2.5.2 2.5.2 Dispe Dispers rsi´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Tunelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Preguntas y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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26 28 28 30 34 37 42 42 44 46 47 48

La ecua ecuaci ci´ on ón de Schrödinger . . . . . . . . . . . Soluciones de ond ondas planas y paquete de ondas 3.2.1 Ondas planas y paquetes de onda . . . . 3.2.2 El paquete de onda Gaussiano . . . . . Paquetes de onda “rebot botando” . . . . . . . . . Ca´lculo numérico de paquetes de ondas . . . . Preguntas y problemas . . . . . . . . . . . . . .

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48 50 50 52 57 59 61

Inter Interpre pretan tando do la ecuac ecuaci´ i´ on on de Schr¨ odinger

62

4.1 4.1

62 62 65

Intr Introdu oducc cci´ i´ on a la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.11 Dis Distrib tribuc ucio ione ness de prob probab abil ilid idad ad dis discre cretas tas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.22 Dis Distrib tribuc ucio ione ness de prob probab abil ilid idad ad con contin tinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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4.2 Inter Interpre pretac taci´ i´ on on probabil proba bil´´ıstica de la l a funci´ f unción on de onda de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Valores promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.1 Valo alores res promed promedio io de de la posici´ posici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Valores promedio del momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 3.3 Valores res prom romedio de otros ros opera perad dores res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 4.4 Valor alores es prom promeedio dio rea realles y oper operad ador ores es He Herm rm´´ıtic ıticos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 La inter interpret pretaci aci´ on oń f´ısica ısi ca de φ( φ ( p) p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Eigenes Eigenestad tados os de ener energg´ıa, esta estados dos estac estaciona ionarios rios,, y el operado operadorr Hamilton Hamiltonian ianoo . . . . 4.7 4.7 La ecua ecuaci ci´ on ón de Schrödinger en el espaci acio de mom omeentum . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 4.7.1 Transform ransformando ando la ecuaci ecuaci´ on oń de Schröding o dinger er en en el esp espac acio io de de mome moment ntum um . . 4.7. 4.7.22 Part art´ıcul ıculaa unif unifor orm mem emen ente te acel aceleerada rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Conmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 4.9 La dist distrib ribuc uci´ i´ on de cuasi–proba obabilidad de Wigne gner . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 73 73 74 76 78 79 82 86 86 88 91 92

El pozo infinito: Asp ectos f´ısicos

93

5.1 5.1 5.2

93 96 96

5.3 5.4 5.4

6

El pozo infinito: Asp ectos formales

6.1 6.1 6.2 6.2 6.3 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7

El pozo pozo infi infini nito to en en la mec mec´ánica anica clásica: asica: Distribuciones Distribuciones de probabilidad probabilidad clásica . . Estados estaci aciona onarios para el poz pozo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2.1 Funcion unciones es de onda onda en el el espaci espacio o de posici´ posici´ on para el pozo infinito estándar on 5.2.2 5.2.2 Valo alores res esperado esperadoss y funcion funciones es de onda en el espacio espacio del moment momentum um para el pozo infinito estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 El poz pozo infinito simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El poz pozo infinito asimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Depe Depend ndeencia ncia temp tempor oral al de soluc olucio ion nes gene genera rale less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Sistema de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 4.2 Paquetes de ond ondas en el poz pozo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notaci Nota ci´ oń Bracket de Dirac . . . . . . . . . . . . . . Eige Eigen nvalor alores es de ope operado radore ress He Herm rm´´ıtic ıticos os . . . . . . . Orto Ortogo gona nali lida dad d de de las las eige eigenf nfun unci cion ones es de la ener energg´ıa . Expansiones en eigenestados . . . . . . . . . . . . . Postu Postulad lado o de de expans expansi´ i´ on o n y depen pendencia de del tiempo . Parida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenfu Eigenfunci ncione oness simult simult´ ańeas . . . . . . . . . . . . .

Scattering

7.1

98 102 1 03 109 109 1 09 111 111 112

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112 113 113 114 114 117 120 120 1 22 1 22 123

Scattering en sistemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 123 7.1.1 Estados ligados y no ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1.2 Soluciones de onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A

126

B

127

C N´ umeros complejos y funciones

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C.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Prefacio a la segunda edici´ on Uno de los distintivos de la ciencia es la búsqueda continua para refinar y ampliar la comprensión y visión del universo, buscando no sólo nuevas respuestas a viejas preguntas, sino tambi´ en la busqueda proactiva de nuevos rumbos de investigación basada en la experiencia pasada. Del mismo modo, los profesores de ciencias (incluso autores de libros) pueden y deben explorar la pedagog´ıa de sus disciplinas de una manera cient´ıfica, manteniendo y racionalizando lo que se ha documentado para trabajar, pero también mejorando, actualizando y ampliando sus materiales educativos en respuesta a los nuevos conocimientos en sus campos, en la investigación básica, aplicada y educativa. Por esas razones, estoy muy contento de haber tenido la oportunidad de producir una Segunda Edición de este libro sobre mecánica cuántica al nivel de pregraduado avanzado. anica Cu´ antica ten´ıa una serie de caracter´ısticas novedosas, por lo La Primera Edici´ on de Mec´ que puede ser útil revisar primero algunos aspectos de ese trabajo, en el contexto de esta Segunda Edición. El subt´ıtulo descriptivo del texto, Resultados Cl´ asicos, Sistemas Modernos, y Ejemplos Visualizados , fue, y sigue siendo, la intención de sugerir una serie de enfoques interrelacionados en la ense˜ nanza y aprendizaje de la mecánica cuántica que se han adoptado aqu´ı. Muchos de los tópicos y ejemplos familiares esperados (los Resultados Cl´ aicos ) que se hallan en textos de cuántica estándar est´ an de hecho presentes en ambas ediciones, pero también continuamos centr´ andonos ampliamente en la conexión clásica–cu´ antica como una de las mejores maneras para ayudar a los estudiantes a aprender el tema. Tópicos tales como distribuciones de probabilidad en el espacio del momentum, soluciones de paquetes de ondas dependientes del tiempo, y el principio de correspondencia l´ımite de grandes números cuánticos pueden todos ayudar a los estudiantes a usar su intuición existente para tener contacto con nuevas ideas cuánticas; la f´ısica de ondas clásica contin´ ua siendo enfatizada tambi´ en, con su propio cap´ıtulo aparte, por la misma raz´ on. Se han incluido ejemplos adicionales de soluciones de paquetes de ondas cuánticas en esta nueva Edición, as´ı como una discusión autocontenida de la distribución de cuasi–probabilidad (espacio– fase) de Wigner, dise˜ nado para ayudar a establecer contacto con ideas relacionadas en mec´ anica estad´ıstica, mecánica clásica e incluso óptica cuántica. Se proporciona un n´ umero a´ un mayor de ejemplos de la aplicación de la mecánica cuántica a Sistemas Modernos , incluyendo discusiones de realizaciones experimentales de fenómenos cu´ anticos que sólo han aparecido desde la Primera Edición. Los avances en áreas como la ciencia de materiales y la captura/enfriamiento láser han significado un gran número de sistemas cuánticos que históricamente han sido sólo considerados como ejemplos de “libro de texto” y se han convertido f´ısicamente realizables. Por ejemplo, el “rebote cuántico”, una vez discutido sólo en revistas pedagógicas, se ha explorado experimentalmente en los 4

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Estados cu´ anticos de neutrones en el campo gravitacional de la Tierra .1 La producci´ on de

paquetes de ondas atómicas que exhiben la periodicidad clásica de orbitas Keplerianas2 es otro ejemplo de un Resultado Cl´ asico que se ha convertido en un Sistema Moderno. La habilidad para manipular la naturaleza en los extremos de pequeñas distancias (nivel nano e incluso atómico) y bajas temperaturas (como con la condensación de Bose–Einstein) implica que el conocimiento de la mecánica cuántica es cada vez más importante en la ciencia f´ısica moderna, y una serie de nuevas discusiones de aplicaciones se han añadido tanto en el texto y los problemas , incluyendo tópicos tales como la expansión/interferencia de la condensación de Bose–Einstein, el efecto Hall cuántico, y el renacimiento de paquetes de ondas cuánticas, todo en el contexto de ejemplos familiares a nivel de un libro de texto. Continuamos enfatizando el uso de Ejemplos Visualizados (con 200 figuras incluidas) para reforzar la comprensión conceptual de los estudiantes de las ideas básicas y para mejorar su facilidad matemática en la solución de problemas. Esto incluye no sólo representaciones pict´ oricas de las funciones de onda del estado estacionario y paquetes de ondas dependientes del tiempo, sino tambi´ en los datos reales. La representación gr´ afica de tal informaci´ on a menudo proporciona el mapa de lugar común del a veces misterioso formalismo de un teórico, las observaciones de un experimentador, y el resto de la comunidad cient´ıfica; la habilidad de “seguir estos mapas” es una parte importante de la educación en f´ısica. Motivado en esta Edición (a´ un más que antes) por los resultados que surgen en la Investigación de la Educación en F´ısica (PER), subrayamos conceptos que los estudios PER han indicado puede plantear dificultades a muchos estudiantes, tales como las nociones de probabilidad, la lectura de los diagramas de energ´ıa potencial, y la evolución temporal de eigenestados y paquetes de ondas. Como con cualquier revisión de un libro, la oportunidad de simplificar la presentación y la pedagog´ıa, basado en la retroalimentaci´ o n del uso real en el aula, es uno de los aspectos más importantes de una nueva Edición, y he tomado esta oportunidad para eliminar algunos t´ opicos (moviendolos, sin embargo, a un sitio Web acompañ ante) y a˜ nadiendo otros nuevos. Nuevas secciones sobre La Distribuci´ on de Cuasi–Probabilidad de Wigner (y muchos problemas odicos y el Peine de Dirac, relacionados), un Arreglo Infinito de funciones δ : Potenciales Peri´ Teor´ıa de Perturbaciones Dependiente del Tiempo, y Escalas de tiempo en Sistemas de Estados Ligados: Periodo Cl´ asico y Tiempos de Resurgimiento Cu´ antico reflejan las sugerencias de varias fuentes en (esperemos) útiles nuevas incorporaciones. Una serie de nuevos Ejemplos en el texto y Problemas de fin de cap´ıtulo se ha a˜ nadido por razones similares, as´ı como un conjunto ampliado de Apéndices , sobre dimensiones y métodos matemáticos.

Una nueva e interesante caracter´ıstica de la Segunda Edición es el desarrollo de un sitio Web 3 en apoyo del libro, para su uso por los estudiantes y profesores, vinculado desde la página web de la Oxford University Press4 para este texto. Los estudiantes encontrarán muchos problemas de tarea (extendidos) adicionales en la forma de Hojas de trabajo tanto en tópicos formales y aplicados, tales como “luz lenta”, qu´ımica de femtosegundo, y el renacimiento de paquetes de ondas cuánticos. El material adicional en forma de Cap´ıtulos Suplementarios sobre tópicos 1

El t´ıtulo de un art´ıculo de V. V. Nesvizhevsky et al. (2002). Nature 415, 297. Ver Yeazell et al. (1989). 3 Ver robinett.phys.psu.edu/qm 4 Ver www.oup.co.uk 2

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Mec´ anica cu´ antica

como oscilaciones de neutrinos, métodos de aproximaci´ on Monte Carlo cuántico, supersimetr´ıa en mecánica cuántica, teor´ıa de la o´rbita peri´ odica de billares cuánticos y caos cuántico están disponibles. Para los profesores, se proporcionarán copias de un completo Manual de Soluciones para el libro, as´ı como las Soluciones a las hojas de trabajo, en una parte más segura del sitio, adem´ a s de copias de las Transparencias de las figuras en el texto. Una Gu´ıa a la Literatura Pedag´ ogica sobre la Mec´ anica Cu´ antica de 85 p´ aginas también se encuentra all´ı, examinando art´ıculos de The American Journal of Physics, The European Journal of Physics, y The Journal of Chemical Education desde sus primeros temas, hasta la fecha de publicación de este texto (con actualizaciones periódicas planificadas.) Además, una prueba de evaluación de mecánica cuántica (llamado Quantum Mechanics Visualization Instrument o QMVI) es disponible en el sitio del profesor, junto con información detallada sobre el desarrollo y resultados de muestras de los estudios educativos anteriores. Dado mi inter´ es a largo plazo en la ciencia, as´ı como la pedagog´ıa de la mecánica cuántica, conf´ıo en que este sitio va a crecer continuamente en tamaño y cobertura a medida que se agregen materiales nuevos y actualizados. La información sobre el acceso al área del profesor del sitio Web es disponible a través del editor en el sitio Web de la Oxford University Press descrito en este texto. Estoy muy agradecido a todos aquellos de quienes he tenido ayuda en el aprendizaje de la mec´ anica cuá ntica a lo largo de los años, incluyendo profesores y compañeros de estudios en mis dias de pregraduado, graduado, y post–doctorado, colegas de la facultad actual (aqu´ı en Penn State y en otros lugares), mis propios estudiantes pregraduados de los últimos a˜ nos, y numerosos autores de libros y art´ıculos, tanto de investigaci´ o n y pedagógicos, muchos de los cuales nunca he conocido, pero a quien le debo mucho. Me gustar´ıa dar las gracias a todos los que ayudaron de manera muy directa en la producción de la Segunda Edición de este texto, incluyendo espec´ıficamente los que proporcionan sugerencias u ´ tiles para la mejora o correcciones que encontró, a saber, J. Banavar, A. Bernacchi, B. Chasan, J. Edmonds, M. Cole, C. Patton, y J. Yeazell. He disfrutado realmente colaboraciones recientes con M. Belloni y M. A. Doncheski sobre temas pedag´ ogicos relacionados con la teor´ıa cu´ antica, y algunos de nuestros trabajos recientes han encontrado su camino en la Segunda Edición (incluyendo la cubierta) y les agradezco por sus ideas y paciencia. Ning´ un trabajo realizado en un contexto profesional puede separarse de la vida personal de uno (ni debe ser) y por eso quiero dar las gracias a mi familia por toda su ayuda y comprensi´ on en toda mi carrera, incluso durante la producci´ on de esta nueva edición. La Primera Edici´ on de este texto fue corregido a fondo por mi suegra (Nancy Malone) que gentilmente trató de ense˜ narme el uso correcto del idioma Inglés; su reciente fallecimiento nos ha entristecido a todos. Mi propia madre (Betty Robinett) ha sido, y continúa siendo, el u ´ nico rol modelo más importante en mi vida, tanto personal como profesional, y estoy profundamente en deuda con ella mucho más que lo que pueda jamás transmitir. Por u ´ ltimo, a mi esposa (Sarah) y niños (James y Katherine), doy gracias todos los d´ıas por la riqueza y la alegr´ıa que traen a mi vida. Richard Robinett Diciembre 2005 State College, PA

Cap´ıtulo 1

Una primera mirada a la F´ısica Cu´ antica 1.1

Como afronta este libro la mec´ anica cu´ antica

Fácilmente se puede argumentar que un conocimiento totalmente maduro y completo de la mecánica cuántica debe incluir un transfondo histórico, axiom´ atico, matem´ atico formal, e incluso filosófico del tema. Sin embargo, para un estudiante acercandose a la teor´ıa cu´ antica por primera vez en una manera seria, puede darse el caso de que un enfoque que utiliza su conocimiento existente de, y la intuición para, la f´ısica cl´ asica (incluyendo la mecánica, f´ısica de ondas, y la electricidad y magnetismo), as´ı como enfatizando las conexiones a los resultados experimentales pueden ser los más productivos. Eso, al menos, es el punto de vista adoptado en este texto y puede ser ilustrado por un enfoque en los siguientes temas generales: 1. La incorporaci´ on de una descripción de la propiedad ondulatoria de la materia en una ecuaci´ on de onda consistente, v´ıa la ecuación de Schrödinger; 2. La interpretaci´ on estad´ıstica de la funci´ o n de onda de Schrödinger en términos de una densidad de probabilidad (tanto en el espacio de la posición y del momentum); 3. El estudio de las soluciones a la ecuación de Schrödinger para una part´ıcula, tanto para eigenestados de energ´ıa independientes del tiempo, as´ı como sistemas dependientes del tiempo, para muchos sistemas modelo, en una variedad de dimensiones espaciales y, por u ´ ltimo; 4. La influencia tanto de los efectos mec´ anico cuánticos y las restricciones que surgen de la indistingibilidad de las part´ıculas (y como tales dependen de su esp´ın) en las propiedades de sistemas multipart´ıculas, y las consecuencias resultantes para la estructura de las diferentes formas de la materia. A modo de ejemplo de nuestro enfoque, primero notemos que la Fig. 1.1 ilustra un ejemplo de una medición de precisión de las propiedades ondulatorias de neutrones ultrafr´ıos, que exhiben un patr´ on de difracción de Fresnel que surge del scattering de un borde afilado, bien explicado por analog´ıas de la o´ptica clásica. Dedicamos el Cap´ıtulo 2 a una discusi´ on de la f´ısica de ondas clásicas y el Cap´ıtulo 3 a la descripción de tales efectos de onda para las part´ıculas materiales, 7

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v´ıa la ecuación de Schrödinger. La Figura 1.2 muestra un patr´ on de interferencia usando haces de electrones, construido “electr´ on por electrón”, con las franjas obvias que resultan solamente de un gran n´ umero de mediciones individuales. El aspecto estad´ıstico importante de la mecánica cuántica, simplemente ilustrado por este experimento, se discute en el Cap´ıtulo 4 y más adelante.

Figura 1.1: Patrón de difracción de Fresnel obtenido del scattering en un borde afilado, obtenido usando neutrones ultrafr´ıos por Gähler y Zeilinger (1991).

Figura 1.2: Patrones de interferencia obtenidos usando un microscopio electrónico que muestra las franjas “construidas” a partir de un n´ umero cada vez mayor de mediciones de eventos individuales. De Merli, Missiroli y Pozzi (1976). (Foto reproducida con permiso del American Institute of Physics) .

Se puede argumentar que gran parte del éxito inicial de la teor´ıa cuántica tiene su origen en el hecho de que muchos modelos cuánticos exactamente solubles coinciden sorprendentemente con sistemas f´ısicos que o curren de modo natural, tal como el átomo de hidr´ ogeno y los estados

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rotacionales/vibracionales de las moléculas y tales sistemas son, por supuesto, discutidos aqu´ı. Los patrones de ondas estacionarias obtenidos de la microscop´ıa del escaneo por tunelamiento de “ondas de electrones” en un corral de geometr´ıa circular construido a partir de arreglos de átomos de hierro sobre una superficie de cobre, vistos en la Fig. 1.3, nos recuerda los continuos progresos en áreas como la ciencia de materiales y la captura átomica en el desarrollo de sistemas artificiales (y dispositivos) para los que la mecánica cuántica es aplicable. En ese contexto, muchos modelos ejemplares de la mecánica cuántica, que históricamente han sido considerados solo como idealizaciones en los libros, tambi´ en han encontrado recientemente realizaci´ on experimental. Los ejemplos incluyen “diseño” de potenciales en pozos que se aproximan a las formas cuadradas y parab´ olicas hechas usando técnicas de haces moleculares, as´ı como trampas magnéticas u o´pticas. La solución de la ecuación de Schrödinger, en una gran variedad de aplicaciones estándar (y no tan estándar) en uno, dos y tres dimensiones, por lo tanto se enfatiza aqu´ı, en los Cap´ıtulos 5, 8, 9, y 15–17. En paralelo a estos ejemplos, los aspectos más formales de la teor´ıa cuántica se describen en los Cap´ıtulos 7, 10, 12, 13 y 14.

Figura 1.3: Patrones de onda estacionarias obtenidos usando microscop´ıa de escaneo por tunelamiento de un “corral” circular de radio 70 ˚ A, construido con 48 átomos de hierro sobre una superficie de cobre. (Foto cortes´ıa de IBM Almaden).

∼

El cuantum en mecánica cuántica a menudo se asocia con los niveles discretos de energ´ıa observados en los sistemas de estado ligado, el más famoso de los sistemas atómicos, tal como el átomo de hidr´ ogeno, que se discute en el Cap´ıtulo 17, hace hincapié que este es la versión cuántica del problema clásico de Kepler. Tambi´ en se muestra, en la Fig. 1.4, las mediciones experimentales que conducen a un mapa de la densidad de probabilidad en el espacio del momentum para el estado 1S del hidrógeno y el énfasis en los métodos del espacio del moemntum sugeridos por este resultado se ha subrayado en todo el texto. La influencia adicional de los efectos “de la vida real”, tales como la gravedad y el electromagnetismo, en los sistemas atómicos y otros se discuten en el Cap´ıtulo 18. Notemos que los datos de la Fig. 1.4 se obtuvieron v´ıa los procesos de scattering, y la importancia de los métodos de scattering en la mecánica cuántica se enfatiza tanto en una sola dimensión (Cap´ıtulo 11) y en tres dimensiones (Cap´ıtulo 19). El hecho de que las part´ıculas de esp´ın 1/2 deben satisfacer el principio de Pauli tiene profundas implicaciones para la forma en que la materia puede organizarce as´ı misma, como se muestra en los valores altamente correlacionados de los parámetros f´ısicos mostrados en la Fig. 1.5 para a´tomos de tama˜ no creciente y complejidad. Si bien se ilustra aqu´ı de una manera numérica, esto también

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debe ser un recordativo familiar de la tabla periódica de los elementos, y el principio de Pauli tiene implicaciones similares para la estructura nuclear. Se discute el papel del esp´ın en los sistemas multipart´ıcula descritos por la mecánica cuántica en los Cap´ıtulos 7, 14 y 17.

Figura 1.4: Densidad de probabilidad de electrones obtenido por scattering con tres sondas de diferentes energ´ıas, comparado con la densidad de probabilidad en el espacio del momentum calculado te´ oricamente para el estado base del átomo de hidr´ ogeno, de Lohmann y Weigold (1981). Los datos son trazados de nuevo, el momentum escalado en unidades atómicas (a.u.), q = a 0 p/ .

Figura 1.5: Gráfico de la energ´ıa de ionización (sólido) y polarizabilidad atómica (a trazos) versus la carga nuclear, mostrando la estructura de capas caracterizado por los átomos de gas noble, que surgen del llenado de los niveles de energ´ıa atómica lo exige el principio de Pauli para electrones de spin–1/2 .

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Recordamos al lector que todav´ıa se están descubriendo manifestaciones dramáticas similares de los fenómenos cuánticos (incluyendo todos los efectos mencionados anteriormente), como se ilustra en la Fig. 1.6. En un experimento famoso, 1 dos muestras de átomos de sodio altamente localizados y bien separados se enfr´ıan a temperaturas suficientemente bajas para que se encuentren en los estados base de sus respectivos potenciales en pozos (producidos por captura con láser). El potencial de captura se elimina y se permite que la condensacion de Bose–Einstein coherente resultante, se expanda y superponga, exhibiendo interferencia cuántica mostrado en la Fig. 1.6 (la curva sólida, muestra las variaciones de absorci´ on regulares a trav´ es de la regi´ on de superposición central), mientras que no se observa interferencia para una sola muestra cuántica en expansión (datos de puntos). Muchas de las caracter´ısticas sobresalientes de este experimento se puede entender usando las ideas relativamente simples descritas en los Cap´ıtulos 3, 4 y 9.

Figura 1.6: Datos (de Andrews et al (1997)) que ilustran la interferencia de dos condensados de Bose a medida que se expanden y se superponen (curva sólida), en comparación con un solo condensado Bose en expansión (curva punteada).

La habilidad para usar los conceptos y técnicas matemáticas de la mecánica cuántica para enfrentar a la amplia gama de realizaciones experimentales que han llegado a caracterizar la ciencia f´ısica moderna será uno de los ejes de este texto. Antes de continuar, sin embargo, reservamos el resto de este cap´ıtulo para una revisión de algunos de los aspectos esenciales de la relatividad y los resultados estándar de la teor´ıa cuántica.

1.2

Relatividad escencial

Aunque consideraremos la mecánica cuántica no relativista casi exclusivamente, es útil revisar brevemente algunas nociones de la relatividad especial y el rol fundamental que desempeña la rapidez de la luz , c. Para una part´ıcula libre de masa en reposo m que se mueve a una rapidez v, la energ´ıa total (E ), el momentum ( p), y la energ´ıa cinética (T ) pueden escribirse en las formas relativista correctas E = γmc2 ,

p = γmv,

y T = E

− mc2 = (γ − 1)mc2

(1.1)

donde 1

Del art´ıculo titulado Observation of interference between two Bose condensates by Andrews et al. (1997).

12

γ =


1

 − 1

El l´ımite no relativista corresponde a v/c en serie (1 + x)n = 1 + nx +

=

v 2 /c2

1/2

 − − v 2 c2

1

(1.2)

 1, en cuyo caso podemos utilizar la expansión

n(n 1) 2 n(n x + 2!

−

− 1)(n − 2) x3 + ···

3!

(1.3)

para x = v 2 /c2 peque˜ no, mostrando que p

≈ mv

y

 ≈

T

1 v2 1+ + 2 c2

 ···−

1 mc2

≈ 12 mv2

(1.4)

que son el familiar resultado no relativista para el movimiento a una rapidez lenta en comparación con la rapidez de la luz. En mecánica cuántica el momentum es una variable más natural que v, y una relación u ´til se puede obtener de la Ec. (1.1), a saber E 2 = ( pc)2 + (mc2 )2

(1.5)

Esta forma resalta el hecho de que E , pc, y mc2 tienen las mismas dimensiones (es decir, energ´ıa), y que se suelen utilizar estas formas cuando sea conveniente. Como un ejemplo, las energ´ıas en reposo de diversas part´ıculas atómicas a menudo serán citadas en unidades de energ´ıa; para el electrón y el protón tenemos me c2 = 0.511 MeV

y

m p c2 = 938.3 MeV

(1.6)

on voltio o eV se define por Recordar que el electr´

1 eV = la energ´ıa ganada por una carga fundamental e que ha sido acelerada a trav´ es de 1 V = (1.6

× 10−19 C)(1 V) = 1.6 × 10−19 J

(1.7)

omica unificada (formalLas “masas” atómicas son a menudo citadas en unidades de masa at´ mente uma ) que es dado por 1u = 931.5 MeV. El l´ımite no relativista de la Ec. (1.5), donde pc mc2 , se ve fácilmente que es



E = mc

2

   pc 1+ mc2

2

1/2

p2 = mc + 2m 2

−

p4 + 8m3 c2

···

(1.8)

Dado que la energ´ıa de reposo es “sólo de paso” en la mayor´ıa de los problemas que consideramos, ignoraremos su contribuci´ on a la energ´ıa total; as´ı, una frase como “... un electr´ on de 2 eV ...” debe entenderse en el sentido de que el electrón tiene una energ´ıa cinética T = E mc2 p2 /2m 2 eV. A menudo escribimos pc = 2(mc2 )T en este l´ımite. En el otro extremo, en el l´ımite ultrarelativista cuando E mc2 (o v  c), podemos escribir

≈



−



≈

13

Richard W. Robinett

2

1/2

  

E = pc 1 +

mc2 pc

≈

1 (mc2 )2 pc + + 2 pc

···

(1.9)

que tambi´ en se ve ser consistente con la relación energ´ıa–momentum para part´ıculas sin masa realmente (como los fotones), es decir, E = pc. Listamos abajo varios sistemas mecánico cuánticos t´ıpicos y los ordenes de magnitudes de las energ´ıas involucradas: Electrones en los ´ atomos: Para los electrones de las capas internas de un átomo con

carga nuclear +Ze, la energ´ıa cinética es del orden de T Z 2 13.6 eV. Podemos decir, de modo arbitrario, que los efectos relativistas se vuelven no despreciable cuando T  0.05mc2 (es decir, un efecto 5 %). Esta condición se cumple cuando Z  43, lo que implica que los efectos de la relatividad sin duda deben ser considerados para los átomos pesados.

≈

on, El deuteron: El sistema nuclear más simple es el estado ligado de un protón y un neutr´ donde las energ´ıas cinéticas t´ıpicas son T 2 MeV; esto debe compararse con m p c2 mn c2 939 MeV para que el deuteron se pueda considerar como un sistema no relativista en primera aproximación.

≈

≈

≈

Quarks en el prot´ on y el pi´ on: El modelo quark integrante de las part´ıculas elementales

postula que tres quarks de masa efectiva de má s o menos mq c2 350 MeV forman el prot´ on; esto implica energ´ıas de enlace y energ´ıas cinéticas del orden de 1 10 MeV, que es consistente con la “no relatividad”. El pión, por el contrario, se considera un estado ligado de dos de estos quarks, pero tiene energ´ıa de reposo mπ c2 140 MeV, de modo que las energ´ıas de enlace (y por tanto, las energ´ıas cin´ etica) del orden de varios cientos de MeV son necesarios y los efectos relativistas dominan. 2

≈

−

≈

Objetos compactos en astrof´ısica: Los electrones en estrellas enanas blancas y los

neutrones en estrellas de neutrones tienen energ´ıas cinéticas de T e 0.08 MeV y T n MeV, respectivamente, por lo que estos objetos son “apenas” no relativistas.

≈

1.3

F´ısica cu´ antica:

 como

≈ 140

una constante fundamental

Tal como la rapidez de la luz, c, establece la escala para cuando los efectos relativistas son importantes, la f´ısica cuántica también tiene un parámetro dimensional fundamental asociado, que es la constante de Planck . Su primera aplicación se produjo en la comprensión de algunos de los aspectos cuánticos del campo electromagnético (EM) y la naturaleza corpuscular de la radiación EM. En sus investigaciones sobre el espectro del cuerpo negro emitido por objetos calientes (también llamado radiaci´ on de cavidad), Planck encontró que sólo pod´ıa ajustarse a la distribuci´ on de la intensidad observada si él hizo la suposición (entonces radical) de que la energ´ıa EM de una frecuencia dada f era cuantizada y dada por 2

El pi´ on es realmente un sistema de quark–antiquark. Los estados ligados de quarks y antiquarks más pesados, que se mueven más lentamente, se pueden describir con más éxito usando la mecánica cuántica no relativista.

14


E n (f ) = nhf donde

n = 0, 1, 2, 3,

···

(1.10)

La constante de proporcionalidad, h, se derivó de un “ajuste” a los datos experimentales, y se ha encontrado que es h = 6.626

× 10−34 J s

(1.11)

y es llamada la constante de Planck; utilizaremos muy a menudo la forma relacionada h = 1.054 10−34 J s = 6.582 2π que debe ser le´ıdo como “h–barra”.  =

×

× 10−16 eV s = 6.582 × 10−22 MeV s

(1.12)

Einstein asumió que la cuantización de la energ´ıa de la Ec. (1.10) era una caracter´ıstica más general de la luz, y propuso que la radiación EM se compone de fotones 3 o “paque´ utilizó el concepto de fotón para explicar el efecto tes” de energ´ıa discretos E γ = hf . El fotoel´ ectrico, y predijo que la energ´ıa cin´ etica de los electrones emitidos desde la superficie de los metales después de haber sido irradiado debe estar dado por 1 2 mvmax = E γ W = hf W (1.13) 2 on de trabajo del metal en cuestión. Experimentos posteriores fueron donde W se llama funci´ capaces de confirmar esta relación, as´ı como proporcionar otra, la medición complementaria de h (P1.5) que está de acuerdo con el valor obtenido por Planck.

−

−

La conexión relativista entre energ´ıa y momentum para una part´ıcula sin masa como el fot´ on podr´ıa utilizarse para mostrar que tiene un momentum dado por hc h o pγ = (1.14) λ λ donde λ es la longitud de onda. Arthur Compton observó que el scattering de rayos–X por electrones libres en reposo podr´ıa ser considerado como un proceso de colisión donde el fot´ on incidente tiene una energ´ıa y momentum dado por la Ec. (1.14), como se muestra en la Fig. 1.7. La conservación de la energ´ıa y el momentum (P1.6) puede luego aplicarse ormula de para mostrar que la longitud de onda del fot´ on esparcido, λ  , está dado por la f´ pγ c = E γ = hf =

scattering Compton

λ

− λ = mhec (1 − cos(θγ ))

(1.15)

donde θ γ es el ángulo entre las direcciones del fot´ on incidente y el esparcido; experimentos de scattering con rayos–X confirmaron la validez de la Ec. (1.15). La conexión de la constante de Planck a las propiedades de las part´ıculas materiales, tales como electrones, vino después: 3

Usamos la notaci´ on γ (para rayos gamma) para indicar una propiedad correspondiente a un fotón de cualquier energ´ıa o frecuencia.

15

Richard W. Robinett

Figura 1.7: Geometr´ıa para el scattering Compton. El fotón incidente se dispersa de un electrón, inicialmente en reposo, en un ángulo θ γ . Usando otro “ajuste” experimental a los datos espectroscópicos, en este caso la fórmula de Balmer–Ritz de las frecuencias en el espectro del hidrógeno, Bohr utilizó argumentos semiclásicos para deducir que el momentum angular del electrón fuera cuantizado como L = n

h = n  con n = 1, 2, 3 2π

···

(1.16)

Motivado por la naturaleza dual onda–part´ıcula mostrada p or la luz, por ejemplo, en el scattering Compton, de Broglie sugirió que la materia, espec´ıficamente los electrones, ´ postuló que la relación exhibir´ıan propiedades ondulatorias. El λdB =

h p

(1.17)

se aplica a las part´ıculas materiales, as´ı como a los fotones, definiendo de este modo la ´ pudo demostrar que la Ec. (1.17) reproduce la condici´ on longitud de onda de De Broglie . El de Bohr de la Ec. (1.16), y as´ı explicar el espectro del átomo de hidrógeno. Ejemplo 1.1. Longitud de onda de De Broglie de un cami´ on?

Durante los aproximadamente 80 a˜ nos desde el experimento de Davisson–Germer 4 que directamente demostró la naturaleza ondulatoria de los electrones por la observaci´ on de la difracci´ on de haces de electrones desde cristales de n´ıquel, con una longitud de onda consistente5 con la Ec. (1.17), se ha observado la dualidad onda–part´ıcula mec´ anico cuántica de objetos de tamaño creciente y complejidad. Sólo 3 a˜ nos después de la predicción por De Broglie, Davisson y Germer aceleraron electrones a trav´ es de voltajes del orden de 50 V a velocidades dadas por

V ∼

1 me v 2 = e 2

V → v =

 V  2e c = me c2

100 eV c 0.51 MeV

≈ 0.015c

(1.18)

que todav´ıa es no relativista y da una longitud de onda de De Broglie de λ = h/mv 1.7 ˚ A, que corresponde muy bien al espaciado atómico en su muestra (ya determinado por experimentos de scattering con rayos–X).

≈

4 5

Ver Davisson–Germer (1927). Sus palabras exactas son “ Las longitudes de onda equivalentes de los haces de electrones se pueden calcular

a partir de los datos de difracci´ on del modo habitual. Estos resultan estar en acuerdo aceptable con los valores de h/mv de la mec´ anica ondulatoria ”.

16


A veces es útil comparar la longitud de onda mecánico cuántica de una part´ıcula a otras dimensiones f´ısicas, incluyendo su propio tamaño. Si bien muchas part´ıculas que juegan un rol crucial en la determinación de la estructura de la materia tienen tama˜ nos finitos y medibles, todos los experimentos de scattering de ultra alta energ´ıa que involucran electrones (que por tanto prueban escalas de distancia ultra pequeños) son hasta ahora consistentes con los electrones que no tienen estructura interna; diversos experimentos pueden interpretarse como estableciendo l´ımites superiores en el “tama˜ no” de electrones del orden de 10 −10 ˚ A = 10−5 F o aproximadamente 50,000 veces más peque˜ no que un protón o un neutrón. Esto justifica la suposició n de un electr´ on “puntual”. Sesenta a˜ nos después de los experimentos de Davisson y Germer con electrones, se observ´ o la difracción de neutrones lentos de una y doble rendija, dando “ la realizaci´ on 6 m´ as precisa hasta ahora para las ondas de materia ”. En este caso, los neutrones tienen un tama˜ no f´ısico medido (en otros experimentos) del orden de 1 F = 10 −5 ˚ A y se usaron neutrones ultrafr´ıos con λ = 15 30 ˚ A, de manera que la extensión espacial de la part´ıcula es todav´ıa órdenes de magnitud menor que su longitud de onda mecánico cuántica. En la última década más o menos, sin embargo, los avances en la interferometr´ıa atómica han conducido a la observación de los fenómenos de interferencia o difracció n para átomos peque˜ nos (helio, He), átomos m´ as grandes (sodio at´ omico, Na), moléculas diatómicas (d´ımero de sodio o Na2 ), peque˜ nos grupos de moléculas (de H, He 2 , y D2 ), y más recientemente moléculas de C60 (buckybolas), todas de dimensiones atómicas, y con longitudes de onda de De Broglie cada vez más peque˜ nos. Los datos representativos (y referencias) se recogen a continuación.

−

Part´ıcula electrón (e− ) neutr´ on (n) helio (He) sodio (Na) helio (He2 ) sodio (Na2 ) buckybolas (C60 )

Masa (unidad at´ omica) 5 10−4 1 4 23 8 2 23 = 46 60 12 = 720

×

·

·

tama˜ no aprox. (di´ ametro) < 10 −10 ˚ A 5 − 10 ˚ A 1˚ A 4˚ A 50˚ A 8˚ A 7˚ A

∼ ∼ ∼ ∼ ∼

λdB (en ˚ A) 1–2 15–30 0.5–3 0.16 1–2 0.1 0.025

Referencia Davisson/Germer (1927) Zeilinger et al. (1988) Carnal et al. (1991) Keith et al. (1991) Schollkopf et al. (1994) Chapman et al. (1995) Arndt et al. (1999)

Es claro que los objetos de creciente naturaleza clásica (como C60 , con un gran número de grados de libertad internos que participan en muchos enlaces) exhiben comportamiento mecánico cuántico. La posibilidad de que la longitud de onda mec´ anico cuántica de un objeto puede ser mucho más peque˜ no que su tama˜ no f´ısico (de ah´ı la pregunta del t´ıtulo de este ejemplo) ha sido ampliamente demostrada. on– La relación de De Broglie contiene los simientos del principio de incertidumbre posici´ momentum , a saber,

∆x∆ p 6

Zeilinger et al. (1988).

≥  2

(1.19)

17

Richard W. Robinett

donde ∆x y ∆ p son las incertidumbres en la medición de x y p, respectivamente. La Ec. (1.19) pone limitaciones fundamentales en la propia habilidad para medir simult´ aneamente la posición y el momentum de una part´ıcula; ello tambi´ en conduce a la noció n de energ´ıa de punto cero, una inevitable energ´ıa m´ınima de una part´ıcula confinada a una región localizada del espacio. El ejemplo de una part´ıcula en una caja unidimensional ilustra esto del modo m´ as simple. Una part´ıcula de masa m confinada en una caja unidimensional de longitud L cumplirá la condición de “onda estacionaria” para las ondas de De Broglie si n(λn /2) = L (comparelo con la Ec. (1.35) más adelante y explique cualquier diferencia) con n = 1, 2, 3 Esto corresponde a los momenta cuantizados p n = n  π/L y energ´ıas dadas por

···

p2n n2  2 π 2 E n = = donde n = 1, 2, 3 (1.20) 2m 2mL2 En contraste al caso clásico, la part´ıcula no puede simplemente “sentarse tranquilamente en la caja”, sino tiene una energ´ıa m´ınima. Más en general, una part´ıcula localizada en una regi´ on de extensión espacial ∆x L tendrá una incertidumbre correspondiente en el momentum del orden de p min ∆ p  /L o m´ınimo de energ´ıa cinética

···

∼

∼

∼

2 p2min  T min (1.21) 2m mL2 Si bien tales cálculos “en el reverso de un sobre” deben usarse con cuidado, ellos a menudo pueden proporcionar informaci´ on sobre el estado base de un sistema cuántico.

∝

∝

an confinados a Electrones en los ´ atomos? Los electrones en los átomos y moléculas est´ una regi´ on de tama˜ no ∆x 1 ˚ A. La inevitable extensión correspondiente en el momentum es por lo tanto más o menos

∼

∆ pc

 c ∼ pc ∼ ∆x ≈ 20001˚AeV ˚A ≈ 2 keV

Dado que es mucho más peque˜ no que la energ´ıa de reposo del electrón, mc2 la energ´ıa de punto cero puede ser tratado no relativista y es más o menos (e)

E 0

2

2

(1.22)

≈ 0.5 MeV,

2

p ( pc) (2000 eV) ≈ 2m = ≈ ≈ 4 eV 2mc2 2(0.5 × 106 eV)

(1.23)

que es, por supuesto, exactamente del orden de magnitud para el átomo de hidrógeno y otros sistemas atómicos. Fotones en los ´ atomos? De otro lado, los fotones emitidos en los decaimientos radiactivos

de tales átomos, no pueden haber sido “almacenados” en el átomo de antemano. Para ver esto, notemos que un fotón “rebotando” en una caja de tama˜ no at´ omico tendr´ a el mismo ∆ p p como en la Ec. (1.22). Debido a que los fotones sin masa son necesariamente relativistas, la energ´ıa cinética correspondiente viene dada por

∼

(γ )

E 0 que es mucho más grande que 1

≈ pc ≈ 2000 eV

− 10 eV observado en las transiciones t´ıpicas.

(1.24)

18


ucleos radiactivos emiten part´ıculas alfa α (mα Part´ ıculas alfa en n´ ucleos? N´

≈ 4m p)

con energ´ıas cinéticas de unos pocos MeV. El momentum m´ınimo en un núcleo pesado de radio R 5 F es más o menos

≈

pc

F ≈  Rc ≈ 200 5MeV ≈ 40 MeV F

(1.25)

que corresponde a una energ´ıa (no relativista) de punto cero de (α)

E 0

2

2

( pc) (40 MeV) ≈ 2m ≈ ≈ 0.2 MeV 2 8 × 940 MeV αc

(1.26)

lo cual es coherente con las observaciones.

Electrones a partir del decaimiento β del neutr´ on? El decaimiento de neutrones

via el proceso n pe¯ νe donde el (anti–)neutrino electrón a menudo no se detecta directamente, pero el electrón emitido de unos pocos MeV se observa con facilidad. Un electrón “preexistente” en el neutrón, “esperando” decaer, tendr´ıa un valor de pc má s o menos cinco veces mayor que en la Ec. (1.25) (dado que el neutrón es aproximadamente cinco as peque˜ no que un n´ veces m´ ucleo pesado) lo que implica electrones relativistas con energ´ıas (e) cinéticas del orden de E 0 pc 200 MeV; por lo tanto, el decaimiento de los electrones son creados de la nada en el tiempo del decaimiento. Argumentos como éstos fueron los primeros elementos de evidencia usados para predecir que una nueva fuerza más allá de on débil , era requerido para explicar tales los conocidos clásicamente, llamado interacci´ decaimientos.

→

≈ ≈

Para las part´ıculas individuales, a menudo es claro cuando los efectos mecánicos ondulatorios son importantes. Por ejemplo, en el scattering de electrones desde planos cristalinos, la condición de Bragg para la interferencia constructiva se puede escribir en la forma nλ = D sen(φ) donde D es el espaciado interatómico y φ el ángulo de scattering; claramente λ debe ser comparable a las otras dimensiones espaciales en el problema de las propiedades ondulatorias de la materia para ser visible. Muchos problemas tienen alguna otra escala de longitud natural con la cual comparar la longitud de onda de De Broglie. Ejemplo 1.2. Sistemas de part´ ıculas: ¿Mec´ anica cl´ asica o cu´ antica?

A altas temperaturas y/o bajas densidades, el comportamiento de un gas se puede describir por la mecánica estad´ıstica clásica; los átomos, con una buena aproximaci´ on, se mueven a lo largo de trayectorias clásicas. A bajas temperaturas y/o altas densidades, los efectos cuánticos se vuelven importantes. La aproximación clásica se romper´ a cuando la longitud de onda de De Broglie de una part´ıcula t´ıpica es comparable a la distancia promedio entre part´ıculas; si la densidad n´ umero es n, esta 1/3 − distancia es más o menos d n que puede entonces ser comparado con λ = h/p. Para un sistema en equilibrio térmico, la energ´ıa térmica es E = p 2 /2M = k B T /2, donde k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura; esto da

∼

λ =

h = p

√ M2πk T

(1.27)

B

Para el aire en la condición t´ıpica de ambiente, se puede estimar que M 28 u (para nitr´ ogeno diat´ omico, N 2 ) y T 300 K para obtener λ 0.45 ˚ A; a una atmósfera de

∼

∼

∼

19

Richard W. Robinett

presi´ on, uno tiene P atm 10 5 N/m2 dando7 n 2.4 1025 m−3 o d = n −1/3 35 ˚ A. Dado que d λ el sistema se puede considerar clásicamente. Por otro lado, los electrones de conducción en un metal (que para muchos fines puede ser considerado como un gas) tienen una longitud de onda de De Broglie que es M/m e 225 veces mayor que para los átomos de gas, as´ı que λe 100 ˚ A. Las densidades mayores de materia sólida, sin embargo, implican distancias entre as peque˜ nas ; con algunos electrones de conducció n por a part´ıculas mucho m´ ´tomo, 28 3 − las densidades electrónicas de ne (1 10) 10 m son t´ıpicos, de modo que 1/3 − d = n e 2 5 ˚ A, da λ d en este caso.

∼





×

∼

≈

∼

≈ −

1.4

∼



≈ −

×

Modelo semicl´ asico del ´ atomo de Hidr´ ogeno

Un enfoque esencialmente clásico a la dinámica del estado ligado del sistema electrón–prot´ on (´ atomo de hidrógeno) se puede extender usando la idea de la mecánica ondulatoria de Broglie para derivar muchas de las caracter´ısticas m´ as importantes del espectro de hidrógeno, como en el modelo de Bohr. Notemos que otros sistemas se pueden describir de modo útil con las mismas técnicas, incluyendo (i) átomos ionizados multiples donde se ha eliminado todo, excepto un electrón y (ii) estados donde un electrón de valencia externo está en un estado altamente ´ excitado y lejos del núcleo ionico de modo que parezca hidrógeno, llamados estados de atomos de Rydberg . La fuerza de Coulomb entre dos part´ıculas se puede escribir en la forma 2

F(r) =

2

− 4π1 0 re2 ˆr = − Ke r2

ˆr

(1.28)

donde por convención escribiremos (en las unidades usadas en este libro) la constante fundamental de la electrostática en la forma K = 1/4π 0 . Esta fuerza puede derivarse del potencial de Coulomb, es decir, 2

V (r) =

− Ker

(1.29)

Antes de proceder, hagamos una pausa y hagamos algunos comentarios sobre las constantes dimensionales que aparecen en este y otros sistemas de f´ısica atómica y nuclear que involucran al electromagnetismo. La combinación de constantes que determina la fuerza electrost´ atica entre dos cargas fundamentales se puede escribir en la forma Ke2 =

Ke2  c

 

 c = α  c

donde

α =

Ke2  c

1 ≈ 137

y α es adimensional y se llama constante de estructura fina . La combinación dimensiones y valor numérico dado por  c

≈ 1973 eV˚A ≈ 197.3 MeVF ≈ 0.1973 GeVF

(1.30)  c tiene

(1.31)

que son u ´ tiles para los problemas de f´ısica at´ omica/molecular, nuclear y de part´ıculas elemental, respectivamente. Juntos, ellos dan 7

Uno usa la ley del gas ideal, P = nk B T

20

Ke2


≈ 14.4 eV˚A ≈ 1.44 MeVF ≈ 2.31 × 10−28 GeVF

(1.32)

A pesar de enfocarnos en sistemas no relativistas, a menudo manipularemos factores de c para hacer uso de estas combinaciones. Ahora de vuelta al átomo de hidrógeno. Para o´rbitas circulares en las que el electrón (masa m) se supone que orbita alrededor del protón (estacionario e infinitamente pesado), la ley de Newton implica que v2 Ke2 = ma C = F (r) = 2 (1.33) r r donde hemos usado la aceleración centr´ıfuga apropiada; esta relaci´ on es clásicamente consistente con cualquier valor de r. Si queremos incorporar las propiedades ondulatorias del electrón a trav´ es de la relación de De Broglie m

λ =

h 2π  = p p

(1.34)

entonces debemos presumiblemente insistir que el número apropiado de longitudes de onda de De Broglie se “ajusta” en la órbita circular, como en la Fig. 1.8, es decir, que nλ = 2πR donde

n = 1, 2, 3

···

(1.35)

Figura 1.8: Patrón de onda estacionaria en órbitas circulares para ondas de De Broglie . Cuando se combina con la Ec. (1.34), esto implica que n = pR = mvR = L

(1.36)

a la Bohr, y el momentum angular orbital debe ser cuantizado. Esta restricción adicional, junto

con la Ec. (1.33), da  2

 

n2 = a 0 n2

(1.37)

(197.3 eV˚ A)(137) ≈ ≈ 0.53 ˚A mc2 α (0.511 × 106 eV)

(1.38)

rn =

mKe 2

donde hemos definido el radio de Bohr como a0 =

2 

mKe 2

=

 c

Las rapideces correspondientes en el modelo de Bohr también se cuantizam y se dan por

21

Richard W. Robinett

n vn = = mrn

Ke2 1 αc =  n n

 

c

(1.39)

lo que nos recuerda que el movimiento orbital del electrón (al menos en el hidrógeno) no es relativista. El periodo (τ ) de la órbita cl´ asica y la frecuencia correspondiente (f ) están dados por



1 vn 1 = f n = = 2πr n 2π τ n

m(Ke2 )2  3



1 1 = 3 2π n



mc2 α2 



1 n3

(1.40)

que resultará u ´ til para comparaciones con otras escalas de tiempo en sistemas atómicos. Por ejemplo, los per´ıodos se pueden escribir en la forma 3

τ n = τ 0 n

2π  3 2π a0 τ 0 = = m(Ke2 )2 α c

donde

≈ 1.5 × 10−16 s

(1.41)

A´ un más importante, las energ´ıas del estado ligado también se cuantizan 1 K e2 mvn2 = 2 rn 1 2 2 1 = mc α 2 n2

E n =

−

−

(0.51

× 106 eV)

≈− 2 −13.6 eV E n ≈ n2



2 2

) − 12 m(Ke  2

2

  1 137

1 n2

1 n2

(1.42)

Si bien esto se ha derivado asumiendo órbitas circulares, se puede demostrar que las órbitas el´ıpticas, cuando están apropiadamente cuantizadas, son tambi´ en descritas por esta relaci´ on. El acuerdo de este simple resultado con los datos experimentales sobre el espectro del hidrógeno fue uno de los primeros triunfos de la teor´ıa cuántica. Ejemplo 1.3. “colador” para atomos ´ de Rydberg . Mientras que para va-

lores peque˜ nos de n, los tama˜ nos t´ıpicos de átomos, como se ejemplifica por la Ec. (1.37), son peque˜ nos, para valores grandes del n´ umero cuántico (el l´ımite del átomo de Rydberg), la extensión espacial del estado puede caer fácilmente en la gama del micró n o más grande. Los tama˜ nos grandes de tales átomos de Rydberg hacen posibles experimentos de “rendijas” en los que los resultados no dependen de las propiedades de ondas mecánicas cuánticas del sistema, sino más bien de su tama˜ no 8 f´ısico clásico. En un experimento de este tipo, se produjeron haces de átomos de Rydberg (en este caso átomos de sodio altamente excitados) con números cuánticos especificados en el intervalo 23 < n < 65. Estos se dejaron desplazar hacia una serie de rendijas rectangulares de tama˜ no micrométrico en laminas de oro; el tama˜ no promedio de la rendija era de 2 10 µm. Si se asume que los átomos de Rydberg tienen un radio clásico efectivo dado por ka0 n2 , donde k es una constante adimensional, se

×

8

Ver Fabre et al. (1983) para detalles

22


puede argumentar a partir de la Fig. 1.9 que si el centro del átomo est´ a más que 2 d = l/2 ka0 n desde el centro de la rendija, el átomo no lo atravesar´ a (siendo ionizado en cambio al contacto con la lámina). La probabilidad de transmisión, T , se determina solamente por la geometr´ıa, y est´ a dada por

−

T =

d =1 l/2

− k a2l0 n12

(1.43)

que predice una dependencia A B/n 2 de la transmisió n y un tamaño de “corte” para los a´tomos. Los datos se trazan en la Fig. 1.10 donde las cruces corresponden a la incidencia normal del haz atómico (haz perpendicular a la lámina), mientras que los diamantes son para incidencia en un ángulo tal que el ancho efectivo de la rendija, l, se reduce en un factor de dos. Las predicciones del modelo simple de “esfera dura” descrita anteriormente están indicadas por l´ıneas rectas para los dos casos.

−

Figura 1.9: Geometr´ıa del “tamiz” de Rydberg en el ejemplo 1.3.

Figura 1.10: Probabilidad de transmisión versus el cuadrado del número cuántico principal, n 2 , para el “tamiz” de Rydberg; los datos están tomados de Fabre et al. (1983). Un l´ımite importante es sugerido por Ec. (1.36) donde notamos que n >> 1 es requerido para obtener valores macroscópicamente grandes del momentum angular; el hecho de que los sistemas cuánticos se aproximen (en un sentido promedio que discutiremos en cap´ıtulos posteriores) a sus

23

Richard W. Robinett

contrapartes cl´ asicos en este l´ımite se llama principio de correspondencia , y Bohr lo utilizó en gran medida en sus análisis. Por ejemplo, se˜ nal´ o que los fotones emitidos en las transiciones entre los niveles de energ´ıa cuantizados en la Ec. (1.42) satisfacen la fórmula de Balmer, escrita aqu´ı en la forma 2π  fγ = hf γ = E γ = E n

−

m(Ke2 )2 E n = 2 2 



1 (n )2

−

1 n2



Para las transiciones entre estados vecinos, que es de la forma n = n grande, la radiación emitida es de frecuencia

(1.44)

− 1, en el l´ımite n

1 m(Ke2 )2 1 n>>1 (E n E n−1 ) (1.45) 2π  2π  3 n3 Una part´ıcula clásica sometida a aceleración circular emitir´ıa radiación a su frecuencia orbital, f , que desde la Ec. (1.40) está dado exactamente por el l´ımite anterior. Las conexiones e interpolaciones entre la mecánica cuántica y las descripciones clásicas del mundo f´ısico se destacan en este libro. Es interesante notar en este contexto el papel que juegan la mecánica ondulatoria y la ley de Coulomb (v´ıa  y e) en la determinación de las densidades de la materia sólida “ordinaria”.9 La masa de los átomos se debe principalmente a sus constituyentes nucleares (protones y neutrones), mientras que su tama˜ no está determinado por las propiedades cuánticas de sus electrones. Por ejemplo, se puede obtener una estimación del orden de magnitud de la densidad del hidrógeno atómico asumiendo que existe una masa de protón en un cubo de tama˜ no 2a0 1 ˚ A en un lado; esto da una densidad de aproximadamente f γ =

−

−→

≈

ρ

∼ (2am p0)3 ≈ 1.6 × 103 kg/m3 ∼ 1.6 gr/cm3

(1.46)

que está en el “estimación” correcta. Una cantidad de tales resultados útiles se derivaron usando tales ideas tempranas de la mec´ anicas cuánticas, pero para utilizar el poder predictivo completo de la mecánica cuántica moderna, incorporaremos nociones importantes de la f´ısica de ondas clásica (Cap´ıtulo 2) dentro de la formulación de la ecuación de Schrödinger (Cap´ıtulo 3 y más allá) de la f´ısica cuántica.

1.5

An´ alisis dimensional

Muchos problemas en f´ısica se relacionan en u ´ ltima instancia con cantidades mensurables en el “mundo real”, y por lo tanto tienen respuestas que llevan dimensiones. Para problemas puramente mecánicos, cualquier constante o variable que represente una propiedad f´ısica (llámese X ) tendrá dimensiones, que pueden construirse a partir de varias potencias de unidades fundamentales de masa (M ), longitud (L) y tiempo (T ). Podemos formalizar esta afirmación usando la notaci´ on [X ] = dimensión de X = M a Lb T c

(1.47)

9

La observación aparentemente comú n de que “ la materia mantenida unida por las fuerzas de Coulomb es estable ” es una consecuencia notable y bastante sutil de muchos aspectos de la teor´ıa cuántica; para una buena discusión, ver Lieb (1976). El correspondiente teorema clásico “prohibido” de Earnshaw (ver Jones 1980 para una breve historia) es algo as´ı como “ Ning´ un sistema de part´ıculas cargadas puede estar en equilibrio est´ atico estable ”.

24


donde a, b, c son exponentes reales, posiblemente fraccionarios. Los ejemplos conocidos como fuerza (F ), presión (P ) y densidad (ρ) corresponden a [F ] = M LT −2 ,

[P ] = M L−1 T −2 ,

y

[ρ] = M L−3

(1.48)

Las convenciones espec´ıficas que dan las unidades de observables f´ısicas (como el sistema MKS o el sistema de metro–kilogramo–segundo) se basan en esta observació n, pero es más general. A menudo se puede usar para “resolver” la dependencia de la cantidad f´ısica en cuestión en los parámetros dimensionales del problema. Ejemplo 1.3. Las dimensiones del oscilador arm´ onico cu´ antico. Las

u ´ nicas entradas dimensionales al problema clásico de un sistema de masa y resorte son la masa, m, y la constante de resorte, K , que tienen dimensiones [m] = M y [K ] = M T −2

(1.49)

El per´ıodo del movimiento oscilatorio, τ , deber´ıa presumiblemente depender de estos par´ ametros, m´ as constantes adimensionales adicionales; por lo tanto, esperamos que α β τ m K , as´ı escribimos

∝

T = [τ ] = [mα K β ] = M α (M T −2 )β

(1.50)

Comparando las potencias de M , L, T en cada lado de la ecuación, encontramos

M : 0 = α + β L:0= 0+0 T : 1 = 0 que da α = 1/2 y β =

(1.51)

− 2β

−1/2 o

 ∝

τ

m K

(1.52)

La respuesta “exacta” obtenida de la solución de las ecuaciones de movimiento es, por supuesto, 2π = τ = 2π ω



m K

(1.53)

Este resultado no es at´ıpico en el sentido de que la constante adimensional que queda sin especificar por el análisis dimensional a menudo está dentro de 1 2 órdenes de magnitud (ya sea mayor o menor) de unidad. Para el oscilador clásico, no hay una combinación de m y K , que naturalmente da una escala de longitud, o amplitud preferida. En la versión cuántica de este problema, sin embargo, tenemos otra constante de dimensión a nuestra disposición, a saber, la constante de Planck o  , que tiene dimensiones

−

[ ] = M L2 T −1

(1.54)

25

Richard W. Robinett

en contraste con el caso clásico, ahora tambi´ en podemos construir una longitud o α β amplitud fundamental escribiendo A m K  γ y procediendo como se indicó anteriormente encontramos que γ = 1/2 y α = β = 1/4 o

∝

A

−

 2

1/4

  ∝

(1.55)

mK

La energ´ıa del oscilador también debe tener las dimensiones t´ıpicas dadas por [E ] = [KA2 ]

 ∝ ∝ 

m K

 ω

(1.56)

Para problemas relacionados con la electricidad y el magnetismo, se introduce una cantidad dimensional fundamental adicional, a menudo la dimensión de carga,10 mientras que los problemas de termodinámica requieren una dimensión de temperatura, tomada de forma estándar como el grado Kelvin cuando se usa como unidad. Discutimos en el Apéndice A las dimensiones de muchos observables f´ısicos en un sistema de unidades de tipo MKS.

1.6

10

Preguntas y problemas

Recuerde que el sistema de unidades MKSA realmente usa el Amperio, es decir, actual, como la unidad de definici´ on para EM.

Cap´ıtulo 2

Ondas cl´ asicas 2.1

La ecuaci´ on de onda cl´ asica

Como al inicio nos acercaremos a la f´ısica cuántica mediante la introducción de la mecánica ondulatoria, es u ´ til comenzar por recordar algunos resultados estándar obtenidos del estudio de la ecuación de onda clásica. Por ejemplo, usando las leyes de Newton, uno puede derivar la ecuaci´ on de movimiento para el desplazamiento transversal de un pequeño trozo de una cuerda estirada unidimensional; obtenemos la ecuaci´ on ∂ 2 A(x, t) ∂ 2 A(x, t) ρ = T (2.1) ∂t 2 ∂x 2 donde T , ρ son la tensión y la densidad de masa lineal de la cuerda, y A(x, t) es la amplitud de la cuerda en la posición x y el tiempo t. Esto se puede escribir en la forma 2 ∂ 2 A(x, t) T ∂ 2 A(x, t) 2 ∂ A(x, t) = = v ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x 2

(2.2)



on de onda cl´ asica . donde v = T /ρ es la velocidad de la onda; esta es una versión de la ecuaci´ De modo similar, las ecuaciones de Maxwell (en el vac´ıo) se pueden combinar para producir la ecuación de onda, esta vez en tres dimensiones, para las componentes del campo eléctrico (o magnético), siendo, por ejemplo,

∂ 2 E(r, t) 1 = ∂t 2  0 µ0

∇2E(r, t) = c2∇2E(r, t)

(2.3)

donde las constantes fundamentales de la electricidad (0 ) y el magnetismo (µ0 ) se combinan para producir la rapidez de la luz. (Debido a la conexión cuántica entre las ondas electromagnéticas clásicas y su correspondiente cuántico corpuscular, llamados fotones, estaremos especialmente interesado en esta versión.) on de onda cl´ asica que vamos a estudiar en la forma Ambos casos producen la ecuaci´ 2 ∂ 2 φ(x, t) 2 ∂ φ(x, t) = v (2.4) ∂t 2 ∂x 2 para la amplitud de onda dependiente del tiempo y el espacio φ(x, t). Las soluciones más familiares de la Ec. (2.4) son funciones de la forma

26

27

Richard W. Robinett

sen(kx

± ωt)

o

cos(kx

± ωt)

(2.5)

donde el n´ umero de onda, k, y la frecuencia angular, ω, están relacionados con la longitud de onda familiar y frecuencia/periodo v´ıa k =

2π λ

y

ω = 2πf =

2π τ

(2.6)

Con el fin de resolver la Ec. (2.4), ω y k deben estar relacionados v´ıa ω = vk

(2.7)

Cualquier relación entre las razones de oscilación en el espacio (k) y el tiempo (ω) se llama una relaci´ on de dispersi´ on . Las dos opciones de signo corresponden respectivamente a ondas viajeras a rapidez constante a la derecha ( ) o a la izquierda (+); esto se puede ver examinando un punto de fase constante, θ = kx ωt = θ0 , lo que implica que el mismo punto en la onda satisface x(t) = vt + θ0 /k. Una relación lineal (relaci´ on de dispersión) entre ω y k es entonces una señal de movimiento de onda a rapidez constante. Mientras quizás no tan familiar, estas soluciones de onda via jera tambi´ en pueden escribirse de forma compacta en notaci´ on compleja; para ondas moviendose a la derecha uno tiene

∓

±

−

e+i(kx−ωt)

e−i(kx−ωt)

y

(2.8)

donde hemos utilizado el hecho de que e±iz = cos(z)

± i sen(z)

(2.9)

(Ver Apéndice C para una revisión de los n´ umeros y funciones complejas.) on diferencial Una de las caracter´ısticas más importantes de la Ec. (2.4) es que es una ecuaci´ lineal , definida por la propiedad de que si φ1 (x, t) y φ2 (x, t) son ambas soluciones, entonces la combinaci´ on lineal Φ(x, t) = a 1 φ1 (x, t) + a2 φ2 (x, t)

(2.10)

es también una solución. Esta noción se puede generalizar para demostrar que sumas (discretas) infinitas Φ(x, t) =

∞

an φn (x, t)

(2.11)

n=0

y sumas (continuas) infinitas (es decir, integrales) +

Φ(x, t) =

 ∞

a(k)φk (x, t)dk

(2.12)

−∞

on . de las soluciones son tambi´ en soluciones. Este es el principio de superposici´ Para problemas de onda con fronteras (y por lo tanto condiciones de contorno que deben satisfacerse), es a menudo más u ´ til considerar combinaciones lineales de ondas planas viajeras en direcciones opuestas, por ejemplo,

28

A sen(kx


− ωt) + A sen(kx + ωt) = 2A sen(kx)cos(ωt)

(2.13)

que da lugar a ondas estacionarias. Para problemas sin fronteras, es decir cuerdas infinitamente largas o regiones del espacio sin conductores presentes (en el que el campo el´ ectrico tendr´ıa que desaparecer), todos los valores de k (y por tanto ω) están permitidos, y uno tiene un “espectro” continuo. Sin embargo, si uno tiene que imponer condiciones de contorno, existen restricciones adicionales sobre las soluciones permitidas de las ecuaciones de onda; estos a menudo requieren que la amplitud de onda debe desaparecer en los “bordes”. Para una cuerda de longitud finita, fija en los extremos, por ejemplo en x = 0 y x = L, con una solución de onda estacionaria de la forma A(x, t) = A sen(kx)cos(ωt) es necesario que A(0, t) = 0 = A(L, t)

para todo

t

(2.14)

Esto implica que sen(kn L) = 0 o equivalentemente kn = nπ/L para n = 1, 2, . As´ı, la imposición de condiciones de contorno en las soluciones de la ecuación de onda puede dar lugar a valores cuantizados del número de onda k, y por tanto para la frecuencia ω. Estos efectos de cuantizaci´ on son una propiedad de las soluciones a la ecuación de onda y necesariamente aparecerá en mecánica cuántica tambi´ en, donde el origen de las cantidades cuantizadas t´ıpicamente se puede remontar a la imposición de condiciones de contorno.

···

2.2

Paquetes de onda y soluciones peri´ odicas

2.2.1

Soluciones de paquete de onda general

Las soluciones de onda plana, caracterizado por un número de onda y frecuencia bien definidos, son construcciones útiles para análizar las propiedades ondulatorias de un sistema. Ellos estan, sin embargo, lejos de ser la solución más general de la ecuación de onda clásica as´ı tendremos que extender nuestro análisis por varias razones: Dado que las soluciones de onda plana implican una amplitud distinta de cero en todo el espacio, sólo pueden ser idealizaciones correspondientes a pulsos de onda o trenes de ondas de muy larga duración pero finita. Como veremos, esto implica que cualquier forma de onda factible tendrá una extensión finita en longitud de onda o número de onda. La solución más general de la ecuación de onda (p. ej. ver P2.1) se puede demostrar que es dado por cualquier función (adecuadamente diferenciable) de la forma φ(x, t) = f (x vt), ya que satisface

±

( v)2 f  (x

±

2

2

t) 2 ∂ φ(x, t) ± vt) = ∂ φ(x, = v = v 2 f  (x ± vt) 2 2 ∂t ∂x

(2.15)

Esto implica que cualquier forma de onda inicial apropiada, f (x), se puede convertir en una solución de la Ec. (2.4), f (x vt), que se propaga a la derecha ( ) o a la izquierda (+) sin ning´ un cambio en la forma, como en la Fig. 2.1. Tal solución se puede llamar un paquete de onda .

±

−

29

Richard W. Robinett

Mientras tales paquetes de onda son útiles utiles para describir la evolución on espacio–temporal de los fenómenos omenos de ondas localizadas (pulsos de onda viajando por una cuerda, truenos, pulsos láser, aser, etc.), no producen el “contenido de onda” (dependencia k o ω) ω ) obvio.

on de onda clásica asica de paquete de onda moviendose a la izquierda y a Figura 2.1: Soluciones a la ecuación la derecha.

Para entender cómo omo extraer la dependencia del número umero de onda de una solución on de paquete de onda dada de la ecuación on de onda, es instructivo hacer la pregunta a la inversa y ver cómo omo construir paquetes de onda localizados usando soluciones de onda plana familiares. Tres efectos har´ an an que esto sea posible: 1. La linealidad linealidad de la ecuaci´ ecuaci´ on de onda asegura que uno puede añadir on nadir tantas soluciones como desee y a´ un un as´ as´ı tener una soluci´ soluci ón; on; 2. La posibi p osibilidad lidad de interfere interferencia ncia constructiv constructivaa y destructiva destructiva nos permite imaginar la construcci´ on on de una solución on localizada; localizada; 3. El hecho hecho de que todas las ondas planas componen componentes tes tienen tienen la misma velocida velocidad d com´ un un garantiza que el paquete de onda entero no se disperse a medida que viaja, consistente con la solución on general de la Fig. 2.1. Es suficiente estudiar el problema de obtener formas de onda espaciales localizadas, f ( f (x), ya que la solución on dependiente del tiempo completa entonces estará dada simplemente por f por f ((x vt). vt ). El ejemplo más as simple que muestra el uso de la linealidad y las ideas de interferencia es el fen´ omeno omeno de las pulsaciones , que es familiar de la acústica. ustica. Escribimos la suma de dos soluciones de onda plana como

−

f ( f (x) = A cos(k cos(k1 x) + A cos(k cos(k2 x)



 

(k1 + k2 )x (k1 k2 )x = 2A cos cos 2 2

−



(2.16)

que se ilustra en la Fig. 2.2. Para k1 k 2 k la forma de onda resultante es una onda plana, cos(kx cos(kx), ), modulada por la “pulsación on envolvente”, 2A 2A cos(∆kx cos(∆kx), ), donde ∆k ∆k = (k1 k2 )/2. Este factor da la interferencia destructiva completa cuando x = (2n (2n + 1)π/ 1) π/2∆ 2∆k k; esto implica que la interferencia sucesiva (“pulsación”) on” ) m´ınima ıni ma estar´ est ará separado por ∆x ∆x = π/∆ π/ ∆k o ∆x∆k π O(1). Este es nuestro primer ejemplo de una caracter´ıstica ıstica bastante general, a saber sab er que

≈ ≈

−

≈ ≥

30


El grado de localización on de un paquete de onda en el espacio (∆ x) haciendo uso de los efectos de interferencia se correlaciona inversamente con la extensión en los valores de k disponibles disponibles (∆k (∆k ).

Figura 2.2: Interferencia de soluciones sinusoidales dando “pulsaciones” .

2.2.2 2.2.2

Series Series de Fourier ourier

Una forma de onda más as compleja, generada por efectos selectivos de interferencia constructiva y destructiva, se puede obtener por el uso de una expansi´ on en serie de Fourier .1 Cualquier función on periódica odica (apropiadamente suave), que satisface f ( f (x) = f ( f (x + 2L 2 L) o, de modo equivalente, f lente, f ((x L) = f ( f (x + L), se puede expandir en una combinación on lineal de soluciones de onda v´ıa

−

a0 f ( f (x) = + 2

∞    n=1

nπx nπx an cos + bn sen L L

 

(2.17)

Esta solución on contendrá entonces diversas contribuciones (dado por los an , bn ) a partir de las soluciones de onda plana con números umeros de onda k onda k n = nπ/L = nπ/L.. Los coeficientes de expansión a on a n , b n se pueden obtener multiplicando ambos lados de la Ec. (2.17) por cos( mπx/L), mπx/L), sen(mπx/L sen(mπx/L), ), respectivamente y integrando durante un ciclo. Haciendo uso de las relaciones 1

Ver cualquier cualquier referencia referencia est´ andar andar en f´ısica matemática atica para más as detalle detalles, s, por ejemplo ejemplo,, Butkov Butkov (1968) o Mathews y Walker (1970).

31

Richard W. Robinett

+L

cos

nπx mπx cos dx = dx = Lδ Lδ nm nm L L

sen

nπx mπx sen dx = dx = Lδ Lδ nm nm L L

cos

nπx mπx sen dx = 0 L L

      −      −     L +L L +L

−L

encontramos que 1 an = L bn =

1 L

2L

  0

nπx 1 f ( f (x)cos dx = dx = L L

2L

0

f ( f (x)sen

   

nπx 1 dx = dx = L L

(2.18)

+L

  −

f ( f (x)cos

L +L

f ( f (x)sen

−L

nπx dx L

   

nπx dx L

(2.19)

Los an (bn ) as´ as´ı miden el “traslape” “traslape” de la forma de onda deseada con una de las soluciones b´ asicas asicas coseno o seno. Ejemp Ejemplo lo 2.1. 2.1. Forma orma de onda onda cuadr cuadrada ada : Como un ejemplo, considere la

forma de onda cuadrada periódica, odica, definida para un ciclo ( L, +L), por

−

(onda cuadrada) cuadrada) f ( f (x) =



+A para x < L/2 L/2 A para x > L/2 L/2

| | | |

−

(2.20)

Los coeficientes de Fourier a n y b n se pueden obtener fácilmente, acilmente, y encontramos sen(nπ/ sen(nπ/2) 2) (2.21) nπ donde n = 1, 2, etc. En este caso, los términos erminos impares sen( Nπx/L) Nπx/L) no pueden contribuir a una función on par, de modo que los b n se anulan a nulan por razones razone s de simetr´ıa. ıa. Trazamos las sumas parciales de de Fourier (onda cuadrada) cuadrada) bn = 0,

a0 = 0,

y an = 4A

···

N

F N N (x) =

nπx L

   an cos

n=1

(2.22)

para valores crecientes de N de N en en la Fig. 2.3; entonces, en la Fig. 2.4 se muestra cómo las ondas componentes contribuyen a una suma parcial en particular ( N N = 5). La serie de Fourier parece converger puntualmente a la función correspondiente donde deber´ deber´ıa, es decir, en los puntos puntos donde la funci´ on es apropiadamente suave. 2 Una on medida util u ´ til de la convergencia global se puede definir v´ıa ∆N = 2

+L 2 f (x) F N N (x)] dx L [f ( +L [f ((x)]2 dx L [f

 −

 −

−

(2.23)

Los “excedentes” “excedentes” en las discontinuidade discontinuidadess persisten aún un en la suma completa. Estos “picos de Gibbs” se discuten en muchos libros de texto sobre f´ısica ısica matem´ m atemática, atica, por ejemplo, Mathews y Walker (1970).

32


Figura 2.3: Aproximaciones de series de Fourier, F N (x), a un pulso de onda cuadrada para N = 1, 3, 10, 21.

Figura 2.4: Suma parcial de Fourier, F 5 (x), para la onda cuadrada y términos componentes. donde F N (x) es la N–´ esima suma parcial; esto mide la desviaci´ o n global de la N– ésima suma parcial de la función. Para la onda cuadrada, uno puede demostrar que est´ a dada por (onda cuadrada) ∆N = 1

−

8 π2

N



n=1

sen(nπ/2)2 n2

(2.24)

(2.25)

Si usamos el hecho de que 1 1 1+ 2 + 2 + 3 5

··· =

∞ k=1

1 (2k

−

π2 = 1)2 8

(discutido en el Ap´ endice D, bajo el tema “Funciones Zeta”), vemos que ∆ N 0 cuando N ; podemos aproximarnos cada vez más a la forma de onda deseada, excepto en puntos aislados.

→ ∞

→

33

Richard W. Robinett Ejemplo 2.2. Forma de onda triangular : Por comparaci´ on, on, tambi´ tamb ién en consicon si-

deramos una función on de mejor (ligeramente) comportamiento, a saber, una forma de onda triangular peri´ odica, odi ca, definida defin ida v´ıa (onda triangular) triangular) f ( f (x) = A( A (L

− |x|)

f a ra

−L

(2.26)

durante un ciclo. Esta función on es por lo menos continua en todos los puntos. Se deja como ejercicio (P2.4) demostrar que los coeficientes de Fourier no nulos está dado por

(onda triangular) an = (1

−

2AL cos(nπ cos(nπ)) )) 2 2 = 4AL n π



sen(nπ/ sen(nπ/2) 2) nπ



2

(2.27)

mientras que la medida correspondiente de la convergencia global está dado por (onda (onda trian triangu gular lar)) ∆N = 1

−

96 π4

N



(1

− cos(nπ cos(nπ)) ))2 n4

n=1

(2.28)

Este ejemplo implica que la convergencia es más a s r´ apida apida (como una función o n de N ) N ) para las funciones más as suaves; esto es claro a partir de la forma de los coeficientes de Fourier ya que a que a n 1/n2 (1/n (1/n)) para la onda triangular (cuadrada) que es continua (discontinua).

→

odica Vemos que con las series de Fourier, podemos producir cualquier forma de onda peri´ deseada y extraer su contenido de número umero de onda (v´ (v´ıa los a los a n y b n ). Pero aunque hemos usado un n´ umero umero infinito de ondas planas componentes, comp onentes, evidentemente todav´ todav´ıa no tenemos suficientes “grados de libertad” para producir un paquete de onda verdaderamente localizado. La combinación on de un gran n´ umero umero de diferentes n´ umeros de onda puede, sin embargo, ser umeros realizado de otras maneras. Por ejemplo, ejemplo, considere considere la com combinaci binaci´ oń lineal de soluciones coseno con números on umeros de onda,

kn = nK/N

con

n =

−N, −(N − − 1), − 1), 1), · · · , (N − 1), N

(2.29)

Podemos Podemo s considera con siderarr que éstos estos sean los l os n´ n umeros u ´ meros de onda muestreados uniformemente (p. ej. cada uno con peso idéntico entico 1/N ) N ) del intervalo ( K, K ); ); eventualmente eventua lmente consideraremo conside raremoss el caso l´ımite, con un espaciado cada vez más as fino, es decir, dejar N . Entonces Entonces tenemos la soluci´ solución on

−

1 ψN (x) = N

n=+ =+N N

→ ∞ →

N

       cos

n= N

−

nKx nK x 1 = 1+2 N N

cos

n=1

nKx nK x N

(2.30)

Esta suma en realidad se puede obtener en forma completa (P2.9) siendo



1 2cos(K 2cos(K x/2(1 x/2(1 + 1/N 1/N )) ) ) sen( sen(K K x/2) x/2) ψN (x) = 1+ N sin(K sin(K x/2 x/2N ) N )



(2.31)

Esta función on también en es peri´ per iódica odica en x, pero ahora con per´ per´ıodo 2πN/K πN/K (ver tambi´ tamb ién en P2.9); P2. 9); esto implica que puede ser localizado dejando N . Graficamos esta suma para N para N creciente creciente en la Fig. 2.5, y notamos que:

→ ∞ →

34


Las “repeticiones” periódicas odicas se alejan del origen a medida que N se N se incrementa, dando una forma f orma de onda o nda realmente r ealmente localizada en ese l´ımite. El paquete de onda todav´ todav´ıa tiene un ancho intr´ intr´ınseco, aún un cuando N , debido al rango finito de valores de k de k usados. usad os. Esto también en se puede ver anal a nal´´ıticamente ıticam ente notando notand o que

→∞

2cos(K 2cos(K x/2(1 x/2(1 + 1/N 1/N )) ) ) sen( sen(K K x/2) x/2) N →∞ N sen(K sen(K x/2 x/2N ) N ) 2sen(K 2sen(K x) = Kx

ψ(x) = l´ım ψN (x) = l´ım N

→∞ →∞

Esta forma f orma l´ımite ımite es instructiva instr uctiva ya que muestra muest ra claramente cla ramente que q ue ψ ψ((x)

(2.32)

→ 0 cuando |x| → ∞.

Para Para lograr lograr la inter interfere ferenci nciaa destru destructi ctiv va sutil sutil entre entre las ondas ondas planas planas com compone ponent ntes es para valores arbitrariamente grandes de x , parece que debemos usar un incontable (continuo) gran conjunto de n´ umeros umeros de onda.

| |

on de superposición on lineal, ψN (x), a partir de la Ec. (2.31) para N = 2, 4, 8, 16 que Figura 2.5: Solución muestra el aumento de localización on cando N cando N → → ∞.

2.3

Transfo ransforma rmadas das de Fourier ourier

Este Este l´ımite ımite de una suma suma contin continua ua en los números umeros de onda, as´ as´ı como la extensi´ extensi´ on o n para incluir soluciones de onda plana más as generales, se formaliza en la llamada integral de Fourier o o transformada de Fourier . f ( f (x) =

1 2π

√

+

 ∞ −∞

dkA( dkA(k)eikx

(2.33)

El A El A((k ) da la amplitud de cada contribución on de onda plana al paquete de onda resultante y es el análogo alogo continuo de los coeficientes discretos de Fourier, a n , b n . El factor de normalización on

35

Richard W. Robinett

√

aparentemente arbitrario (1/ (1/ 2π) se discutirá en la Sección on 2.4. Como siempre, la solución on final de la ecuación on de onda se obtiene dejando que f que f ((x) f ( f (x vt). vt ).

→

±

Ejemplo Ejemplo 2.3. Transformad ansformada a de Fourier ourier con valores valores de k “planos”: La

representaci´ on de integral de Fourier correspondiente al ejemplo en el final de la on Sección on 2.2.2 se puede escribir al considerar A(k) =



0 para k > K 1/ 2K para k para k < K

| | | |

√

,

(2.34)

que tiene la forma de onda resultante

f ( f (x) =

1 4πK

√

+K



K +K ikx e

−

1 4πK ix

=

√

=



eikx dk

 −

K

K sen(K sen(K x) π Kx

(2.35)

Se grafica tanto A(k ) y f ( f (x) en la Fig. 2.6 para dos valores diferentes de K y K y note que los anchos de las distribuciones k y x se correlacionan inversamente. Esto surge debido a que una muestra mues tra cada véz ez más as grande de n´ umeros umeros de onda (∆k (∆k más as grande) puede ser más as eficiente en la interferencia destructiva necesaria para producir un paquete de onda más as peque˜ no n o y más as localizado (∆x (∆x más as peque˜ no). no). De hecho, si hacemos la identificación o n de ∆k ∆k 2K y y se estima la extensión on en su posición on por la ubicaci´ on del primer conjunto de nodos de f ( on f (x), es decir, ∆x ∆ x 2π/K , encontramos que ∆k ∆k ∆x 4π o una vez más as que

≈

≈

≈

∆k ∆x > O(1)

(2.36)

independiente de K de K ..

f (x) del Ejemplo 2.3 para dos valores de K . Figura 2.6: A(k ) “cuadrado” y su transformada de Fourier f (

36


Ejemplo 2.4. Transformada de Fourier de una exponencial : Otro ejemplo

de una transformada de Fourier par se obtiene considerando A(k) =

√ 1K e−|k|/K

(2.37)

lo que da f (x) = = =

+

 ∞ −| | √ −∞   √   −∞  1 2πK 1 2πK

e

0

k /K ikx

e

dk

dkek(1/K +ix) +

2K 1 π 1 + (Kx)2

+

 ∞

dke−k(1/K −ix)

0

 (2.38)

ambos de los cuales se grafican en la Fig. 2.7; vemos que los anchos tambi´ en satisfacen la Ec. (2.36).

Figura 2.7: A(k) exponencial y su transformada de Fourier f (x) del Ejemplo 2.4 para dos valores de K . Esta restricción inevitable en la extención espacial y contenido del número de onda de un paquete de onda localizado, ∆k∆x 1, es una limitación fundamental en los sistemas f´ısicos. Restringe la habilidad de hacer mediciones o producir fenómenos f´ısicos de la misma manera que, por ejemplo, lo hace las leyes de la termodinámica o el valor l´ımite de la rapidez de la luz. Considere, por ejemplo, un pulso láser de duración finita (tanto en el espacio y el tiempo) con la distribución de n´ umero de onda (A(k)) mostrada en la Fig. 2.8(a); un tren de onda larga con una distribuci´ on k angosta correspondientemente tiene una longitud de onda relativamente bien definida y por tanto podr´ıa resolver las dos l´ıneas de emisión/absorci´ on mostrada como l´ıneas discontinuas; si uno quisiera obtener más informaci´ o n en “tiempo real” en el sistema excitandolo con pulsos láser de muy corta duración (Fig. 2.8(b)), la distribució n de n´ umero de onda correspondiente podr´ıa por tanto ensancharse , lo que ya no es posible para resolver diversas caracter´ısticas espectrales. Reconociendo la importancia de este resultado, podemos hacer una conexión inmediata con la mecánica cuántica usando la relació n de De Broglie p = h/λ =  k para argumentar que cualquier descripción ondulatoria de la materia necesariamente satisface

≥

37

Richard W. Robinett

Figura 2.8: Gráfica esquemática de la amplitud de onda de un pulso láser, f (x) versus x, para (a) largos y (b) cortos pulsos. Las correspondientes amplitudes de n´ umero de onda, A(k) versus k, se muestran y las l´ıneas discontinuas indican dos posibles l´ıneas espectrales .

∆x∆ p

≈ ∆x( ∆k)  

(2.39)

que es el contenido del principio de incertidumbre de Heisenberg. Este l´ımite en la habilidad de medir simultáneamente la posición y el momentum de una part´ıcula mecánico cuántica por tanto puede ser rastreada (en este idioma al menos) para una descripción ondulatoria de la mecánica.

2.4

Invirtiendo la transformada de Fourier: la funci´ on δ de Dirac

Hemos visto que un paquete de onda realmente localizado puede construirse a partir de soluciones de onda plana v´ıa la transformada de Fourier, es decir, f (x) =

1 2π

√

+

 ∞

A(k)eikx dk

(2.40)

−∞

Sin embargo, si se nos da una forma de onda espacial, f (x), podr´ıamos también ser capaces de extraer el número de onda o longitud de onda “componentes” de alguna manera invirtiendo la Ec. (2.40) para obtener A(k). El conocer A(k) permite determinar el comportamiento de un paquete de onda en, digamos, un experimento de difracción o interferencia, donde uno tiene reglas simples para el comportamiento de cada longitud de onda componente individual. Dedicamos esta sección a la cuestió n de cómo se obtiene una inversión de este tipo, al mismo tiempo se desarrolla las propiedades matemáticas de una nueva función que será de uso continuado, la on δ de Dirac . llamada funci´ El resultado final que obtendremos es bastante simple, a saber, que A(k) =

1 2π

√

+

 ∞ −∞

f (x)e−ikx dx

(2.41)

Esto puede llevar a interpretarse que son A(k) y f (x), en cierto sentido, inversas entre s´ı bajo la transformada de Fourier, y la similitud en forma aboga por el uso convencional de los factores comunes 1/ 2π.

√

38


√

A fin de derivar la Ec. (2.41) multiplicamos ambos lados de la Ec. (2.40) por exp( ik x)/ 2π y se integra sobre x. Al hacer esto, obtenemos

−

1 2π

√

+

 ∞

+

+

 ∞  ∞  ∞−∞ −∞  ∞ −∞  −∞∞ −  1 2π



f (x)e−ik x dx =

−∞

+

=



A(k)eikx e−ik x dk

dx

+

1 dkA(k) 2π



i(k k )x

e

−



dx

+

=

dkA(k)δ (k

k)

−∞ = A(k  )

(2.42)

on δ de Dirac v´ıa donde hemos definido impl´ıcitamente una nueva función llamada funci´

δ (k − k ) =

1 2π

+

 ∞



ei(k−k )x dx

(2.43)

−∞

As´ı, si la Ec. (2.41) es cierta, debemos tener +

 ∞

A(k)δ (k

−∞

− k)dk = A(k)

(2.44)

es decir, δ (k k  ) debe “elegir” el valor de A(k) s´ olo en k = k  de la integral continua. En este on discreta o δ de Kronecker definida como sentido, es similar en función (y nombre) a la funci´

−



0 1

δ nm =

si n = m si n = m



,

(2.45)

que tiene la propiedad +

∞

Ak δ nk = A n

(2.46)

k=

−∞

a saber, que elige un término espec´ıfico en una suma discreta. Para estudiar las propiedades de la función δ de Dirac, basta considerar el caso especial donde k  = 0, esto es 1 δ (k) = 2π

+

 ∞

eikx dx

(2.47)

−∞

Entonces podemos argumentar (no necesariamente probar) que δ (k) =

+

  −∞∞  −∞∞ 1 2π 1 2π

+

1dx = (cos(kx) + i sen(kx))dx = 0

∞

para k = 0 para k = 0



(2.48)

donde la anulación de las integrales de las funciones sen(kx) y cos(kx) ocurre a causa de su comportamiento oscilatorio, lo que lleva a las cancelaciones. Esta definición heur´ıstica de δ (k),

39

Richard W. Robinett

a saber, que se anula en todas partes excepto en k = 0, donde es infinita, demuestra que es una función de muy mal comportamiento3 y tiene que ser manipulada con cuidado. Podemos estudiarla con un poco más de rigor al considerar la familia de funciones auxiliares 1 δ  (k) = 2π asi que

+

 ∞ −

x2 ikx

e

e

−∞

1 dx = 2π

 − π e 

k2 /4

(2.49)

l´ım δ  (k) = δ (k)

(2.50)



→0

(Hemos incluido un simple factor de convergencia para que la integral se puede realizar en forma completa usando los resultados del Apéndice D.1.) Usando esta representaci´ on l´ımite, es más f´ acil argumentar que δ  (k) cuando 

∝



√

1/  2 e−k /2 / 

∞ √ → →0

para k = 0 para k = 0

(2.51)



→ 0; también podemos visualizar la aproximación al l´ımite singular en la Fig. 2.9.

Figura 2.9: Comportamiento l´ımite de δ  (k) en la Ec. (2.49); las curvas discontinuas (sólidas, punteadas) corresponden a  = 0.1(0.01, 0.001) respectivamente. Esta forma también nos permite investigar el grado de “infinitud” en k = 0 considerando +

 ∞ −∞

1 δ  (k)dk = 2π

+

  ∞ − π 

e

k2 /4

−∞

+

 ∞ − √

1 dk = π

e

q2

dq = 1

(2.52)

−∞

de modo que el área total bajo la familia de curvas funci´ on δ es siempre normalizada a la unidad. As´ı también tomamos +

 ∞ −∞

3

+

δ (k)dk = l´ım 

 ∞

→0 −∞

δ  (k)dk = 1

(2.53)

Esta es la clase de objetos matemáticos llamados distribuciones o funciones generalizadas para el cual la referencia est´ andar citada es Lighthill (1958) en la que discute, p or ejemplo, funciones buenas y funciones bastante buenas .

40


en la misma forma que +

∞

δ ij = 1

(2.54)

i=

−∞

(Uno puede decir (de modo informal) que δ (k = 0) = 1/dk, donde dk es la unidad infinitesimal de medida.) Tambi´ en se puede derivar el resultados tal que +

 ∞

+

kδ (k)dk = l´ım 

 ∞

→0 −∞

−∞

kδ  (k)dk = 0

(2.55)

y relaciones que involucran potencias superiores de k. Usando estos resultados, ahora podemos argumentar que +

 ∞ −∞

A(k)δ (k − k  )dk =

+

 ∞   −∞∞     −∞   ∞ 

A(q + k )δ (q )dq

+

=

q 2 A(k ) + qA (k ) + A  (k  ) + 2 +

= A(k ) = A(k  )

δ (q )dq + A (k)

−∞

+

 ∞

 ···

δ (q )dq



qδ (q )dq +

−∞

··· (2.56)

donde hemos cambiado las variables a q = k k y expandido A(k) en una expansión de Taylor alrededor de k = k  . Esta es la propiedad deseada de la función δ de Dirac y muestra que A(k) y f (x) están de hecho relacionados por las Ecs. (2.40) y (2.41). La similitud de una forma de onda espacial y su transformada de Fourier en términos de su contenido de informaci´ on se puede ver en otras formas. Ya que a menudo consideramos formas de onda complejas, encontraremos de utilidad el hecho de que

−

+

 ∞ | −∞

f (x) 2 dx =

|

+

 ∞ ∗  −∞∞ ∗  √  ∞  −∞∞  √  −∞∞ ∗  −∞∞  √  −∞∞  −∞∞ ∗ −∞  −∞∞ | | f (x)f (x)dx

+

=

dxf (x)

+

=

A(k)dk

+

=

A(k)dk

1 2π 1 2π 1 2π

+

+

+

A(k)eikx dk

f (x)eikx dx

f (x)e−ikx dx

+

= +

 ∞ | −∞

2

f (x) dx =

|

  ∗

A(k)A (k)dk

+

A(k) 2 dk

(2.57)

−∞

Este resultado es a veces llamado el teorema de Parseval . Notemos que ambos ejemplos conside+∞ rados en la Sección 2.3 fueron elegidos de modo que satisfacen −∞ A(k) 2 dk = 1 (compruebelo

 |

|

41

Richard W. Robinett

en P2.15) as´ı las formas de onda espaciales correspondientes est´ an garantizadas para obtener +∞ 2 −∞ f (x) dx = 1 también. También se puede demostrar una relación similar para la superposici´ on de dos formas de onda diferentes, a saber,

 |

|

+

+

 ∞ ∗ −∞

f 1 (x)f 2 (x)dx =

 ∞ −∞

A∗1 (k)A2 (k)dk

(2.58)

Mientras que la función δ de Dirac se utiliza aqu´ı como una herramienta para probar la conexi´ on f´ısica importante entre A(k) y f (x), su utilidad en la f´ısica matemática se hará más evidente, y haremos algunos comentarios adicionales aqu´ı; algunas de sus otras propiedades se discuten en el Apéndice E.8 a la que referiremos al lector interesado de vez en cuando. Los argumentos de δ (k k  ) son arbitrarios, como igualmente podr´ıamos haber considerado la definici´ on integral

−

δ (x − x ) =

1 2π

+

 ∞



eik(x−x ) dk

(2.59)

−∞

Las dimensiones de la función δ as´ı dependen de su argumento, a saber: [δ (z)] = 1/[z], donde [z] indica las dimensiones de z. Esto puede deducirse de la adimensionalidad de la +∞ integral −∞ δ (z)dz = 1.



Figura 2.10: Función de Heaviside o de paso θ(x) (curva sólida) y 2 − 3θ(1 − x) (curva de trazos) en funci´ on de x . La integral definida de la función δ , definida por x

θ(x) =



δ (x )dx

(2.60)

−∞

f´ acilmente satisface

θ(x) =



0 1

para x < 0 para x > 0

,

(2.61)

42


dependiendo de si el intervalo de integración incluye el punto singular o no. Esta función on de paso o funci´ on de Heaviside ) puede describir el “encendido” (a menudo llamada funci´ (y por tanto idealizado) instantáneo (o “apagado” si uno usa 1 θ(x)) de alg´ un fenómeno o función, como se muestra en la Fig. 2.10.

−

2.5 2.5.1

Dispersi´ on y tunelamiento Velocidades para los paquetes de onda

Hemos visto que los paquetes de onda construidos a partir de ondas planas satisfacen la simple relación de dispersión ω = ω(k) = kv

(2.62)

se propagan sin cambios en la forma debido a la rapidez constante, v, de cada componente. Muchos sistemas f´ısicos clásicos se caracterizan por relaciones de dispersión para las cuales esto no es cierto y que exhiben una variedad de nuevos fenómenos que tienen análogos en mecánica on y tunelamiento; revisamos estos aspectos de la f´ısica de ondas cuántica, especficamente dispersi´ clásicas en esta sección usando un sistema modelo como ejemplo. Un sistema importante en el que ocurren ambos fenómenos surge en el estudio de la propagación de la radiación electromagnética (en lo sucesivo EM) en una regi´ on de gas ionizado (es decir, un plasma). La aplicación auto consistente de las ecuaciones de Maxwell (para las ondas EM) y las leyes de Newton (para el movimiento de las part´ıculas cargadas, en este caso los electrones) implican4 que la relación de dispersión es ω 2 = (kc)2 + ω p2

(2.63)

Aqu´ı ω p es la la frecuencia de plasma ω p2 =

ne e2 0 me

(2.64)

y ne es la densidad numérica de electrones. La frecuencia del plasma es la frecuencia natural de oscilación del sistema de plasma, que surge, por ejemplo, cuando los iones positivos y los electrones negativos se separan ligeramente y oscilan alrededor de su configuración neutra de equilibrio. Esta relaci´ on de dispersión puede ser reescrita en la forma ω(k) =

c

 − 1

ω p2 /ω2

k = v φ k

(2.65)

donde hemos definido una velocidad de fase , vφ = ω(k)/k. Si nos restringimos al caso donde ω > ω p , está claro que vφ > c y esta velocidad excede la rapidez de la luz en el vac´ıo. Sin embargo, esto no entra en conflicto con los principios de la relatividad especial, ya que la velocidad de fase mide una propiedad de una sola onda plana componente, que, por definición, tiene una dependencia espacial y temporal sinusoidal trivial. Ya hemos argumentado que tal forma de onda es una abstracción; es, en promedio, uniforme en todo el espacio y el tiempo y, por tanto, 4

Ver, por ejemplo, Kittel (1971) para una derivación

43

Richard W. Robinett

no puede dar lugar a la transferencia de información. Cualquier cambio en el campo de ondas, que podr´ıa llevar una señal, será descrito por modulaciones en las señales de onda plana, y tales perturbaciones se propagar´ an a rapideces menores que c. Para ver esto, considere de nuevo una combinación lineal de dos ondas viajeras (como se hace para las pulsaciones) de diferentes números de onda y frecuencias, gobernadas por una relación de dispersión general, ω = ω(k). En este caso, φ(x, t) = A cos(k1 x ω1 t) + A cos(k2 x ω2 t) (k1 k2 )x (ω1 ω2 )t = 2A cos cos 2 2 ¯ = A efe (x, t)cos(kx ω ¯ t)

 −−

−

−

−

−

 

(k1 + k2 )x 2

−

(ω1 + ω2 )t 2



(2.66)

donde ω1 + ω2 ¯ k1 + k2 k = y ω ¯ = (2.67) 2 2 son algo as´ı como los n´ umeros de onda y frecuencias “promedio”. Hemos definido una amplitud efectiva Aefe (x, t) = 2A cos(∆kx

− ∆ωt)

(2.68)

con ∆k =

k1

− k2

y

∆ω =

ω1

− ω2

(2.69) 2 2 ¯ Si k 1 k2 , podemos considerar la Ec. (2.66) a ser una onda plana, cos(kx ω ¯ t), modulada por la amplitud A efe (x, t); la informaci´ on se llevará a lo largo de la cresta de la onda de modulación, a una raz´ on dada por la condición

≈

−

θefe = ∆kx ∆ωt = constante (2.70) es decir, examinando un punto de fase constante. Esto implica que la rapidez de la propagación de la información es

−

 

dx ∆ω = dt informaci´ ∆k on As´ı somos guiados a definir la velocidad de grupo

→

dω dk

(2.71)

dω(k) (2.72) dk y note que la información contenida en las formas de onda moduladas o paquetes de ondas, as´ı como la razón de flujo de la densidad de energ´ıa en una onda, están todos gobernados por la velocidad de grupo. Como ejemplo, para ondas EM en el vac´ıo tenemos vg (ω) =

dω = c (2.73) dk como se esperaba. Para el caso de la propagación en plasma, sin embargo, encontramos ω(k) = kc

asi que

vg =

44


dω(k) vg = = c 1 ω p2 /ω 2 c (2.74) dk consistente con la relatividad. Note que si ω/ω p 1, el plasma de fondo no puede “mantenerse” con la onda, y la radiación se propaga a la misma razón que en el vac´ıo; cuando ω/ω p 1, la rapidez efectiva puede volverse arbitrariamente pequeña e incluso puede volverse imaginaria cuando la relación es menor que la unidad.

 −

≤



2.5.2

→

Dispersi´ on

Para la relación de dispersió n en la Ec. (2.63), vg claramente depende de la frecuencia; esto refleja el hecho de que diferentes componentes de onda plana de un paquete de ondas viajar´ an a diferentes rapideces debido a diferentes velocidades de fase . Cualquier paquete de ondas inicialmente localizado contendrá necesariamente una gama de números de onda k (y, por tanto de frecuencias ω); dado que los componentes más rápidos superar´ a n a los más lentos, la onda se ensanchará o dispersará necesariamente a medida que se propaga. Usando la Ec. (2.74) como ejemplo, un ensanche en frecuencias, ∆ ω, implica un alcance en las velocidades de grupo 2 1/2 ω p ∆ω ω3

ω p2 ∆vg = c 1 c 3 ∆ω (2.75) ω asumiendo que ω ω p ; note que las frecuencias más altas viajan más rápido. Si un pulso inicial viaja una distancia fija D, se debe observar una diferencia en los tiempos de llegada debido a este efecto, los dos están relacionados por ∆vg = c2 ∆t/D (ya que los componentes de mayor velocidad llegan antes). Esto implica que las componentes de frecuencia más alta del pulso llegarán antes, satisfaciendo la relación

 − − ω p2 /ω2



≈

−

∆ω =

−

c ω3 ∆t D ω p2

(2.76)

Uno de los ejemplos más famosos de este fenómeno es evidente en la dispersión observada de pulsos de radiación de microondas emitidos por la Nebulosa del Cangrejo que debe viajar a través de una región del espacio ionizado. La Figura 2.11 ilustra una realizaci´ on experimental de 5 este efecto ; claramente las frecuencias más altas llegan antes. A partir de estos datos, se puede estimar la frecuencia de plasma (y la densidad promedio de electrones) (P2.22). Este fenómeno de dispersión se puede examinar con mayor detalle matemático mediante la construcción de paquetes de ondas que consisten en una superposición de soluciones de ondas planas, cada una satisfaciendo la Ec. (2.63); estos ser´ıan los an´ alogos de las soluciones de integrales de Fourier de la Ec. (2.40). Por ejemplo, podemos escribir f (x, t) =

1 2π

√

+

 ∞

dkA(k)ei(kx−ω(k)t)

(2.77)

−∞

Incluso si podemos calcular la transformada de Fourier expl´ıcitamente en t = 0 para obtener f (x, 0), ya no podemos asumir que f (x, t) = f (x ct) a menos que ω = ck. Para una relaci´ on de dispersión general, la integral generalmente debe hacerse num´ ericamente en cada momento

−

5

Datos tomados de Staelin y Reifenstein (1968).

45

Richard W. Robinett

deseado. Mostramos en la Fig. 2.12 los resultados de dicho cálculo; la curva discontinua corresponde a un paquete de ondas que se propaga con ω p = 0, y lo comparamos con un paquete de ondas con la misma forma inicial pero que se propaga en el vac´ıo (donde ω p = 0); la extensión creciente y la rapidez más lenta (vg < c) son ambas evidentes.



Figura 2.11: Gráfico de la frecuencia (MHz) versus tiempo de llegada (seg) para los pulsos de radio de la Nebulosa del Cangrejo que muestran dispersión; las frecuencias más altas llegan más temprano. La figura usa los datos originales de Staelin y Reifenstein (1968) .

Figura 2.12: Paquete de ondas electromagnéticas en el vac´ıo (sólido) y en plasma (discontinuo) que muestra disminución en la rapidez y extensión debido a la relación de dispersión en la Ec. (2.63). Si elegimos que A(k) se encuentre en un punto máximo alrededor de k = k0 , entonces el paquete de ondas f (x, t) =

1 2π

√

+

 ∞

dkA(k

−∞

− k0)ei(kx−ω(k)t)

(2.78)

contendr´ a números de onda centrados alrededor de k 0 , con algo de extensión ∆k. Si cambiamos las variables a q = k k0 , es natural expandir el exponente alrededor de k 0 para obtener

−

kx

−

dω 1 2 d2 ω (k0 )t + q (k0 )t + dk 2 dk 2



− ωt = (k0x − ω(k0)t) + q x = (k0 x − ω0 t) + q (x − vg t) + q 2 βt + ···

··· (2.79)

46


donde β = d2 ω/dk2 /2. Para ondas EM en vac´ıo donde ω = kc, β = 0, el paquete de onda se puede escribir como

f (x, t) = e

i(k0 x ω0 t)

−

1 2π

√

+

 ∞

= e i(k0 x−ω(k0 )t) f (x

dqA(q )eiq(x−vg t)

−∞

− vg t)

(2.80)

de modo que f (x, t) 2 = f (x vg t) 2 como se esperaba. Para una relación de dispersión general, β = 0, y β mide la extensió n o alcance en las rapideces de propagaci´ on; podemos ver esto escribiendo

|

|

|

−

|



− vg t) + q 2βt + ··· = q (x − vg t − qβt) + ··· = q (x − (vg − qβ )t + ··· (2.81) Sabemos que la integral sobre q estará dominada por valores en el rango (−∆k, ∆k), por lo que q (x

asociamos

d2 ω ∆k 2 ∆vg (2.82) qβ dk como la extensión en velocidades, lo que implica una onda dispersiva. La raz´ on a la que se extiende el paquete de onda se puede estudiar al observar que el pico del paquete está dominado por partes de la integral de Fourier donde x vg t 0, de modo que siempre que el siguiente término de la expansión satisfaga

≈ ±

≈±

−

q 2 βt

≈ ∆k2βt << 1

≈

(2.83)

el paquete de ondas no se extenderá significativamente. Esta condición se puede reformular en términos de un tiempo de expansión, definido por t0 =

1 β ∆k 2

(2.84)

y notando que cuando t  t0 la extensión será importante. 2.5.3

Tunelamiento

Hasta ahora hemos supuesto que ω > ω p , pero podemos ver que cuando ω < ω p podemos escribir 1 i k = ω2 ω p2 κ = c c y las soluciones de onda plana ahora tienen las formas

 ± −

→

 ± −

φk (x, t) = e ±κx e−iωt

ω p2

ω2

(2.85)

(2.86)

En lugar de comportamiento oscilatorio, estas soluciones exhiben decaimiento exponencial (o crecimiento). Si, por ejemplo, una onda EM con ω < ω p propag´ andose hacia la derecha se encuentra con una pared de plasma semiinfinita en x = 0 las soluciones posibles para x > 0 se muestran en

47

Richard W. Robinett

la Fig. 2.13. Claramente, la solución de crecimiento exponencial es inaceptable si el plasma se extiende para siempre hacia la derecha y debe descartarse; esto deja solo la solución e −κx e−iωt . En este caso, no tenemos propagaci´ on, sino más bien amortiguamiento o atenuación exponencial de la amplitud de onda, φ(x, t). La densidad de energ´ıa correspondiente, que va como φ(x, t) 2 , penetrará en el plasma con una dependencia espacial e −2κx = e −x/d .

|

|

Figura 2.13: Onda electromagnética en vac´ıo (a la izquierda) que incide sobre una región de plasma (a la derecha); las soluciones que crecen exponencialmente (guiones) y en decaimiento (punteadas) están permitidas en el plasma.

Para los campos estáticos/independiente del tiempo (ω = 0 o DC) o muy lentamente variable (para los cuales podemos suponer que ω << ω p ), la profundidad de penetración se establece por la escala de distancia d = c/2ω p . Un ejemplo es el plasma en reactores de fusión donde ne 1012 1016 electrones/cm3 que dan ω p 6 1010 6 1012 s−1 o d 2 mm – 20 µm; los campos el´ ectricos y magnéticos son efectivamente expulsados de tales plasmas. Se produce una amortiguaci´ on exponencial similar para las ondas EM en los conductores (P2.25) donde los campos en la región no propagada a veces se denominan ondas “evanescentes”. En este contexto, es interesante notar que tales ondas, aunque atenuadas exponencialmente, pueden producir una amplitud de onda finita si se permite que se propaguen a través de un espesor finito de plasma o conductor. Este es el análogo de onda clásico del tunelamiento mecánico cuántico, que es discutido en los Cap´ıtulos 8 y 11.

≈

2.6

−

Preguntas y Problemas

≈ ×

− ×

≈

Cap´ıtulo 3

La ecuaci´ on de onda de Schr¨ odinger 3.1

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger

As´ı como es imposible derivar las ecuaciones de movimiento de Newton en mecánica clásica o las ecuaciones de Maxwell para la electricidad y magnetismo (EM) desde primeros principios, tampoco podemos demostrar a priori la validez del enfoque de la ecuación de Schrödinger (o cualquier otra equivalente) a la mecánica cuántica. Podemos, sin embargo, hacer uso de las primeras ideas cuánticas y la conexión entre la ecuación de onda clásica y el concepto de fotón para ayudar a entender su estructura. Consideremos una componente (en el espacio unidimensional) de la ecuación de onda EM clásica, es decir 2 ∂ 2 φ(x, t) 2 ∂ φ(x, t) = c ∂t 2 ∂x 2

(3.1)

con una solución de onda plana de la forma φ(x, t) = Ae i(kx−ωt)

(3.2)

Podemos utilizar el concepto de fotón identificando la energ´ıa del fotón con su frecuencia (a la Einstein), es decir E = hν =  ω

(3.3)

y su momentum con su longitud de onda (como de Broglie hizo para las part´ıculas materiales) p =

h  2π = =  k λ λ

(3.4)

Las soluciones de onda plana luego toman la forma φ(x, t) = Ae i( px−Et)/

(3.5)

que satisface la ecuación de onda original, Ec. (3.1), siempre que E 2 φ(x, t) = ( pc)2 φ(x, t) 48

o

E 2 = ( pc)2

(3.6)

49

Richard W. Robinett

Reconocemos esta condición como la relación energ´ıa–momentum apropiada para una part´ıcula sin masa (es decir, el fotón). Podemos formalizar esta “conexi´ on onda–part´ıcula”, no s´ olo para las soluciones, sino en el nivel más profundo de la ecuación de onda en s´ı, siempre que hagamos las identificaciones p

 ∂ → p = ˆ i ∂x

y

→ E ˆ = i ∂ ∂t

E

(3.7)

ˆ , que representan a los Al hacerlo, hemos introducido dos nuevos operadores diferenciales , p y ˆ E observables momentum y energ´ıa clásicos, p y E . (A menudo distinguiremos los operadores de la ˆ de su contraparte clásica, O, por el uso de esta notación; O puede ˆ mec´ anica cuántica, O, leerse como O–sombrero). Cuando act´ ua sobre las soluciones de onda plana, estos operadores tienen un efecto simple, ∂ i( px−Et)/ pφ(x, ˆ t) = e = pφ(x, t) i ∂x ∂ i( px−Et)/ ˆ Eφ(x, t) = i  e = Eφ(x, t) ∂t 

 

 

(3.8)

es decir, ellos devuelven los valores numéricos clásicos. Usando este formalismo, podemos escribir 2 ∂ 2 φ(x, t) 2 ∂ φ(x, t) ˆ 2 φ(x, t) = (ˆ = c = E pc)2 φ(x, t) (3.9) ∂t 2 ∂x 2 que es una versión nueva del operador de la ecuación de onda clásica. Podr´ıamos entonces ser tentados a generalizar este resultado a las part´ıculas materiales (es decir, part´ıculas con masa) asociando

⇒

E 2 = ( pc)2 + (mc2 )2

ˆ 2 φ(x, t) = (ˆ E pc)2 φ(x, t) + (mc2 )2 φ(x, t)

=

⇒

(3.10)

o 2 ∂ 2 φ(x, t) 2 ∂ φ(x, t) = c ∂t 2 ∂x 2

mc2

  − 

2

φ(x, t)

(3.11)

para obtener una ecuación de onda (relativista correcta) para part´ıculas masivas. Este procedion de Klein–Gordon que es, de hecho, una ecuación din´ miento produce la llamada ecuaci´ amica u ´ til para una cierta clase de part´ıculas. Surge un problema, sin embargo, en la interpretaci´ on ola part´ıcula. Hablando de modo probabil´ıstica de sus soluciones como representaci´ on de una s´ informal, la dificultad proviene de los dos posibles signos de la operación ra´ız cuadrada cuando escribimos E = ( pc)2 + (mc2 )2 ; se puede demostrar que ello da lugar a las antipart´ıculas que debe incluirse para ser auto consistente. (Ver Cap´ıtulo 4 y especialmente P4.11 para más detalles.) Como estamos más interesados en generar una ecuación de onda basado en la conexión no relativista entre E y p para part´ıculas, somos conducidos en cambio a escribir (para part´ıculas libres)

±



E = o

p2 2m

=

⇒

pˆ2 ˆ Eψ(x, t) = ψ(x, t) 2m

(3.12)

50


∂ψ(x, t) i = ∂t

−

2 

∂ 2 ψ(x, t) 2m ∂x 2

(3.13)

on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo para un part´ıclula libre . Notemos que: Esta es la ecuaci´

Como veremos, la ecuación de Schrödinger de la part´ıcula libre, junto con sus soluciones, da el analógo mec´ anico cuántico de la primera ley del movimiento de Newton. Esta es una ecuación de onda lineal y soporta la superposición y efectos de interferencia. Esto nos permitirá construir soluciones de paquete de onda localizados. Para permitir la posibilidad de interacciones, suponemos que cualquier fuerza, F (x, t), que la part´ıcula siente es derivable desde una función de energ´ıa potencial, V (x, t), dado por F (x, t) =

t) − ∂V (x, ∂x

(3.14)

en cuyo caso se generaliza E = p 2 /2m + V (x, t) para escribir ∂ψ(x, t) i = ∂t

2

2

 ∂ ψ(x, t) − 2m + V (x, t)ψ(x, t) ∂x 2

(3.15)

on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo para una part´ıcula en La ecuación (3.15) es la ecuaci´ interacci´ on ; es la ecuaci´ on dinámica básica de la mecánica cuántica que generaliza la segunda ley de Newton, F = ma. A diferencia de la ley de Newton, que tiene dos derivadas temporales en el término de aceleración, la Ec. (3.15) es lineal en la derivada temporal; esto implica que el conocimiento de una soluci´ on en t = 0, es decir, ψ(x, 0), es suficiente para determinar la función de onda ψ (x, t) en todos los tiempos posteriores.

3.2 3.2.1

Soluciones de ondas planas y paquete de ondas Ondas planas y paquetes de onda

Es fácil encontrar soluciones de onda plana a la ecuación de Schrödinger para la part´ıcula libre, como se puede demostrar que ψ p (x, t) = e i( px− p

2 t/2m)/

(3.16)

satisface la Ec. (3,13). Si queremos soluciones que puedan representar estados de “corpusculos”, podemos construir paquetes de onda localizados usando las ideas de linealidad, superposición y interferencia como antes. Debido a que el momentum p es más natural que el n´ umero de onda k para un estado de part´ıculas, elegimos escribir la solución de combinación lineal general en la forma

ψ(x, t) = =

1 2π  1 2π 

√ √

+

 ∞  −∞∞ +

−∞

dpφ( p)ψ p (x, t) dpφ( p)ei( px− p

2 t/2m)/

(3.17)

51

Richard W. Robinett

√

donde el factor de normalización (1/ 2π  ) se discute más adelante. Antes de estudiar un ejemplo expl´ıcito de tal paquete de onda, haremos las siguientes observaciones: Cada onda componente, ψ p (x, t), es ponderado por una “amplitud de momentum” diferente, φ( p); esta función con el tiempo nos proporciona información sobre el contenido del momentum de la solución, as´ı como A(k) codificó el conocimiento sobre la dependencia del n´ umero de onda de un paquete de onda. Dado que cada solución de onda plana designada por p ahora corresponde a una velocidad cl´ asica diferente, v = p/m, el paquete de onda será dispersivo y necesariamente se expandir´ a cuando este se propage. Si estos paquetes se destinan para representar soluciones de corp´ usculos en el l´ımite macroscópico, tendremos que asegurar de que esta expansión es consistente con nuestra intuición clásica y las observaciones. Una part´ıcula libre clásica, sufre movimiento uniforme con velocidad constante, y la descripción de paquete de onda supuestamente deber´ıa producir esto en el l´ımite macroscópico también. Para el caso de un paquete de onda de part´ıcula libre, tambi´ en podemos escribir

ψ(x, t) = = ψ(x, t) =

1 2π  1 2π  1 2π 

√ √ √

+

 ∞  −∞∞   −∞∞ +

dp

+

2 t/2m)/

dpφ( p)ei( px− p



2 φ( p)e−ip t/2m

eipx/

dpφ( p, t)eipx/

(3.18)

−∞

donde 2 t/2m

φ( p, t) = φ( p)e−ip

(3.19)

Notando la analog´ıa con la transformada de Fourier, podemos invertirlo para obtener φ( p, t) como es com´ un al escribir 1 2π 

√

+

 ∞



dxψ(x, t)e−ip x/ =

−∞

+

 ∞  −∞∞ +

=

+

  ∞

1 dpφ( p, t) 2π 

−∞ dpφ( p, t)δ ( p − p )

−∞ = φ( p , t)

e



i( p p )x/

−



dx

(3.20)

donde hemos ampliado la definición de la función δ de Dirac. Esta importante relación implica que ψ(x, t) y φ( p, t) son las transformadas de Fourier el uno del otro y motiva el factor de normalizaci´ on 1/ 2π  com´ un.

√

52


Si un paquete de onda inicial, ψ(x, 0), es dado, se puede obtener la distribución de momentum correspondiente, φ( p) = φ( p, 0), requerido para producirlo v´ıa la Ec. (3.20); la dependencia temporal posterior de la función de onda espacial, ψ(x, t), se da v´ıa la Ec. (3.18). Este es un método de resolver el problema de valor inicial definido por la ecuació n de Schrödinger unidimensional. Por otro lado, si ψ(x, t) se conoce de alguna modo, uno puede transladar esta información en conocimiento de la amplitud del momentum en cualquier tiempo t v´ıa la Ec. (3.20). Para el caso de una sóla part´ıcula libre, la amplitud del momentum tiene un dependencia del tiempo trivial lo cual implica que

|φ( p, t)|2 =



2 t/2m

φ( p)e−ip



2

= φ( p, 0) 2

|

(3.21)

dp φ( p, t) 2

(3.22)

dpφ∗ ( p, t)φ( p, 0)

(3.23)

dpφ∗1 ( p, t)φ2 ( p, t)

(3.24)

|

y la distribución del momentum no cambia en el tiempo. Esto es consistente con la mecánica Newtoniana, donde una part´ıcula que no siente la fuerza tendr´ıa un momentum constante (ya que F = dp/dt = 0). Esta conexión de la transformada de Fourier (y Ecs. (2.57) y (2.58)) inmediatamente implica que muchas integrales que involucran ψ (x, t) y φ( p, t) están relacionadas, es decir, +

+

 ∞  −∞∞ +

−∞

 ∞

2

dx ψ(x, t) =

|

−∞

|

dxψ ∗ (x, t)ψ(x, 0) =

dxψ ∗ (x, t)ψ2 (x, t) = 1

todos los cuales serán de utilidad más adelante. 3.2.2

+

 ∞  −∞∞  −∞∞ +

+

−∞

|

|

El paquete de onda Gaussiano

Para la mayor´ıa de formas de φ( p) la integral en la Ec. (3.18) debe hacerse numéricamente, y presentaremos algunos ejemplos de tales cálculos en la Sección 3.4. En el caso de una distribución gaussiana p, sin embargo, definido aqu´ı por α 2 2 e α ( p− p0 ) /2 (3.25) π las integrales pueden realizarce en forma completa, dando un resultado anal´ıtico fácil de analizar. Esta distribución selecciona componentes de momentum positivo con valores centrados alrededor de p 0 ; esto corresponder´ıa a una part´ıcula clásica con rapidez v 0 = p 0 /m, pero hay un extensión en las componentes del momentum de más o menos ∆ p 1/α. Entonces podemos escribir φ( p) =

 √ −

≈

ψ(x, t) = =

+

 √  ∞  √ −∞ −  ∞ − × α

2π  π α ei( p0 x 2π  π +

dqe

−∞

2 ( p

dpe−α

− p0)2 /2 ei( px− p2 t/2m)/

p20 t/2m)/

(usando p

− p0 = q )

q2 (α2 /2+it/2m ) iq(x p0 t/m)/

e

−

(3.26)

53

Richard W. Robinett

La integral es de la forma +

 ∞ − e

ax2

−bx =

−∞

donde



π b2 /4a e a

(3.27)

α2 it a = + y b = i(x p0 t/m)/ 2 2m que puede ser evaluado usando el resultado en el Apéndice D.1. Encontramos que

(3.28)

− −

ψ(x, t) = donde definimos

1

2 0

2

2  2 F

ei( p x− p t/2m)/ e−(x− p t/m) /2α √ α F π 0





0

(3.29)

it con t0 = m  α2 (3.30) t0 Para analizar mejor esta forma de onda compleja, evaluamos su módulo al cuadrado y encontramos que F = 1 +

|ψ(x, t)|2 = ψ ∗(x, t)ψ(x, t) 1 = √ πα  =

|

1

 √ 

−(x− p0 t/m)2/2α2  2 e



1 1 + 1−it/t 1+it/t0 0

(1 + it/t0 )(1 it/t0 ) 1 2 2 2 2 2 e−(x− p0 t/m) /α  (1+t /t0 ) π 1 + t2 /t20

−

α 1 −(x− p0 t/m)2 /βt2 ψ(x, t) 2 = e β t π

|



√

(3.31)

donde



β t = α 1 + t2 /t20

(3.32)

Este resultado ilustra varias caracter´ıstica notables: El valor central del paquete de onda (interpretado viendo a ψ(x, t) 2 ) se localiza en x p0 t/m = 0, de modo que el pico se mueve a rapidez constante p0 /m, consistente con una part´ıcula de momentum p 0 y masa m fijos. Uno tambi´ en puede demostrar muy en general (P3.2) que si dejamos

|

φ( p)

−→

φ( p)e−ipx0 /

|

−

(3.33)

la correspondiente función de onda de Schrödinger satisface ψ(x, t)

−→

ψ(x

− x0, t)

(3.34)

de modo que podemos cambiar la posición central inicial, y la ubicación pico está dado por x = x 0 + p0 t/m. Esto es equivalente a la fijación de todas las condiciones iniciales para una

54


part´ıcula libre. La solución de paquete de onda Gaussiana de part´ıcula libre dependiente del tiempo más general de este tipo es entonces dado por ψ(G) (x, t) =

1

2 0

2

2  2 F

ei( p (x−x )− p t/2m)/ e−(x−x − p t/m) /2α √ α F π 0

0





0

0

(3.35)

con la contraparte en el espacio de momentum ψ(G) ( p, t) =

α e π

 √ −

α2 ( p p0 )2 /2

−

2 t/2m

e−ipx0 / e−ip

(3.36)

y con frecuencia haremos uso de ambas expresiones como ejemplos anal´ıticos tratables. El ancho del paquete de onda, que es aproximadamente dado por β t , se incrementa con el tiempo debido a la variación en la rapidez de las ondas planas componentes. La escala de tiempo para la dispersión se establece por el “tiempo de expansión”, definido como t0 = m α2 . Para tiempos grandes (definidos cuando t t0 ), el ancho en la posición va como



∆xt

∼ β t −→

Usando m∆v = ∆ p de onda, vemos que

α



t t = t0 mα

(3.37)

≈ 1/α como el ancho en las componentes de la velocidad en el paquete ∆xt

∆vt

−→

  ∼ 1 mα

t

(3.38)

el cual proporciona una explicación muy intuitiva (clásica) para el comportamiento de la expansi´ on. La extensión inicial de la posición del paquete de onda es dado por ∆x0

≈ β 0 = α

(3.39)

as´ı el tiempo de expansión puede ser estimado como t0 = m  α2

0) ≈ (∆m p) 2 ≈ m(∆x 

2

(3.40)

Estas relaciones hacen claro las correlaciones (o anti–correlaciones) entre

• el pequeño (o grande) alcance espacial inicial del paquete de onda, • la gran (o pequeña) extensión en el momentum requerido para lograr la interferencia destructiva necesaria para formar el paquete,

• la gran (o pequeña) extensión en la rapidez de las ondas planas componentes, y • el corto (o largo) tiempo para exhibir la dispersión.

55

Richard W. Robinett

Figura 3.1: Expansión de paquetes de onda Gaussianos ilustrados graficando |ψ(x, t)|2 versus x en dos tiempos diferentes. Note que el paquete agudo inicial (curva sólida) se expande rapidamente.

Figura 3.2: La parte real (de puntos), parte imaginaria (discontinua), y el módulo o valor absoluto (s´ olido) de una expansión de paquete de onda Gaussiano: note cómo la “ondulación” se concentra en el borde delantero.

Vemos que los paquetes de onda espacialmente pequeños se expanden má s rápido que aquellos con grandes anchos iniciales y visualizamos este efecto en la Fig. 3.1. Notemos la sutil dependencia del tiempo tanto de las partes real (Re) y imaginaria (Im) de ψ(x, t), que se requiere para mantener la forma Gaussiana del paquete de onda (si no su ancho) mientras se mueve. Esto se muestra en la Fig. 3.2 donde trazamos Re( ψ(x, t)), Im(ψ(x, t)) también como ψ(x, t) . Destacamos que sólo para el paquete de onda Gaussiano el paquete de onda se mantienen en la misma “familia” de formas para tiempos posteriores, y otros ejemplos son considerados en la Sección 3.4.

|

|

Llegaremos a asociar la “ondulaci´ on” (o raz´ on de variación espacial) de la función de onda con la energ´ıa cinética local (véase la sección 4.3.3); la figura 3.2 entonces muestra que el

56


“borde delantero” del paquete de onda tiene una “energ´ıa cinética local” más grande (m´ as ondulada) que el “borde trasero”; compare este comportamiento a la expansión del pulso de onda discutido en la Sección 2.5.2, donde los componentes más rápidos superan a los más lentos. Para verificar que esta expansión del paquete de onda surge de una descripción de la mecánica ondulatoria (cu´ antica) también notemos que: En el esp´ıritu de la Sección 1.3, se encuentra que para una extensión inicial fija o incertidumbre en su posición, ∆x0 , que t0 cuando  0, as´ı que los efectos de expansión podr´ıan ser inobservables, consistente con ser un efecto puramente cuántico.

→ ∞

→

La extensión (o incertidumbre) en x y p satisface



∆xt ∆ pt

≈ (α

1 + t2 /t20 )

·  ≥ 1 α



(3.41)

como se esperaba del principio de incertidumbre. Las definiciones detalladas de ∆ x y ∆ p se presentarán en el próximo cap´ıtulo. Ejemplo 3.1. Ensanchamiento de paquetes de onda : Para ver si el en-

sanchamiento de tales paquetes de onda tiene algunas consecuencias observables, podemos hacer algunas estimaciones num´ ericas del tiempo de ensanchamiento en varios casos. Para una part´ıcula macrosc´ opica t´ıpica con m = 1 kg y una incertidumbre inicial en la posición de, digamos, ∆x0 0.1 mm, usando la Ec. (3.40) encontramos que t 0 1026 s 3 1016 años, que es más o menos un millón de veces la edad del universo. Otra vez, la pequeñez de  a escala macroscópica puede hacer muy poco observable los efectos cuánticos. Por otro lado, podemos considerar un electrón en una órbita circular de Bohr en un átomo de hidrógeno, con n´ umero cuántico n, como se describe en la Sección 1.4. (Esto no es una comparación perfectamente válida ya que hemos tratado aqu´ı sólo el movimiento en l´ınea recta, pero este es el punto.) El per´ıodo clásico, τ n , se da por la Ec. (1.41) y puede escribirse en la forma

≈

≈

≈ ×

2πrn τ n = = vn

  2πa 0 cα

n3

≈ (1.5 × 10−16 s)n3

(3.42)

Si imaginamos un paquete de onda de un electrón localizado dentro de un cuadrante de su órbita cl´ asica (con radio rn = a0 n2 como en la Ec. (1.37), es decir, con una (n) incertidumbre espacial de ∆x0 = (2πrn )/4), el tiempo de ensanchamiento implicado por la Ec. (3.40) ser´ıa (n) τ 0

(n)

∼

m(∆x0 )2 

=



π 2 ma20 4



n4

≈ (6 × 10−17 s)n4

(3.43)

La raz´ on del per´ıodo clásico al tiempo de ensanchamiento en una órbita de Bohr es entonces más o menos τ n

8 ≈ (n) πn

τ 0

(3.44)

57

Richard W. Robinett

Con en fin de que el comportamiento clásico sea observable durante muchos per´ıodos, (n) es necesario que t 0 τ n que, a su vez, requiere que n 1 en la Ec. (3.44); este es otro ejemplo del principio de correspondencia. Los experimentos que usan paquetes de onda de electrones Rydberg con estados n altos (40–70) han observado 20 o más per´ıodos orbitales. 1



3.3



Paquetes de onda “rebotando”

Otro caso de una part´ıcula cuasi–libre cuya solución de mecánica cuántica se puede obtener f´ acilmente es el correspondiente a una part´ıcula libre, incidente desde la izquierda, que golpea una pared impenetrable en x = 0. Podemos argumentar que la part´ıcula mec´ anico cuántica está sujeta a un potencial de la forma V (x) =



0

∞

para x < 0 para x > 0

(3.45)

Para resolver este problema, podemos buscar soluciones de onda plana de la ecuación de Schrödinger para x < 0 de la manera usual, pero luego tambi´ en aplicar la condición de frontera que ψ(x, t) = 0 para x

≥0

para todo t

(3.46)

Las soluciones exponenciales complejas exp( ipx/ ) ya no satisfacen la condición de frontera en el origen, pero s´ı la combinaci´ on lineal

±



e

ipx/

∝

− e−ipx/

sen( px/ )

(3.47)

˜ t), ahora son proporcionales a Las soluciones de onda plana relevantes, ψ(x, ψ˜ p (x, t) =



eipx/ 0

− e−ipx/

ip2 t/2m

−



e

para x para x

≤0 ≥0

(3.48)

Por lo tanto, tenemos que evaluar la integral ˜ t) = ψ(x,

1 2π 

√

+

 ∞

dpφ( p) ˜ ψ p (x, t)

(3.49)

−∞

para obtener el paquete de onda resultante. Las integrales sobre p se pueden hacer exactamente de la misma manera que en el caso de la part´ıcula libre, lo que nos permite escribir la solución del paquete de onda “rebotando” como ˜ t) = ψ(x,



ψ(x, t) 0

− ψ(−x, t)

para x para x

≤0 ≥0

(3.50)

Uno también puede derivar estas soluciones al señalar que si ψ(x, t) es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para la part´ıcula libre, entonces tambi´ en lo es ψ ( x, t), porque el operador de la segunda derivada “reduce dos signos menos”; entonces cualquier combinación lineal de los dos lo es tambi´ en, y esta solución de “diferencia” antisimétrica también

−

1

Por ejemplo, ver Yeazell et al. (1990) and Wals et al. (1994).

58


satisface la condición de frontera en x = 0. Tal solución ha sido llamada solución “espejo”2 y agenes utilizadas en electrostática para su uso aqu´ı es similar a las técnicas del método de im´ satisfacer condiciones de contorno similares, que, a su vez, están inspiradas en trucos de óptica que involucran múltiples espejos. Debido a la falta de simetr´ıa impuesta por las condiciones de ˜ t) en el espacio de momentum asociado no puede evaluarse usando los trucos contorno, el ψ(x, integrales Gaussianos estándar, y debe evaluarse numéricamente. Como un ejemplo del comportamiento dinámico más complejo posible en este sistema, se ˜ t) 2 versus x y el correspondiente φ( ˜ p, t) 2 versus p muestra en la Fig. 3.3(a) gráficas de ψ(x, para los tiempos anteriores y posteriores al “rebote” clásico en una pared infinita donde usamos la solución Gaussiana general de part´ıcula libre ψ(G) (x, t) en Ec. (3.35) con x0 < 0 y p0 > 0 correspondiente a una part´ıcula cl´ asica que incide en la pared desde la izquierda. La inversión clásica de la dirección, acompa˜ nado por el ensanchamiento mecánico cuántico es evidente en los gr´ aficos del espacio de posiciones, mientras que el cambio en el momentum (valores desde + p0 hasta p0 ) antes y después de la colisión impulsiva con la pared es tambi´ en evidente en las 2 ˜ gráficas φ( p, t) . En la Fig. 3.4(b), mostramos imágenes similares para tiempos más cercanos a la colisión clásica.

|

|

−

|

|

|

|

Figura 3.3: Paquete de ondas “rebotando” antes y después de una colisión con una pared impenetrable ˜ t) 2 versus x, mientras que el lado derecho muestra φ( ˜ p, t) 2 en x = 0. El lado izquierdo muestra ψ(x, versus p.

|

|

|

|

Estos ilustran los efectos de interferencia entre los términos ψ(x, t) y ψ( x, t) en la Ec. (3.50) cerca de la pared, cerca del tiempo de colisión clásico.

−

2

Ver, por ejemplo, Andrews (1998) o Doncheski y Robinett (1999) o Belloni et al. (2005)

59

Richard W. Robinett

Figura 3.4: Igual que en la Fig. 3.3, excepto que para tiempos más cercanos al “impacto”; note que la distribuci´ on de momentum cambia solo durante la colisión impulsiva. Las l´ıneas discontinuas verticales corresponden al valor central del paquete de onda del momentum, p0 .

±

3.4

C´ alculo num´ erico de paquetes de ondas

Si bien es posible evaluar la integral del paquete de onda de la Ec. (3.18) en forma completa para solo unos cuantos casos especiales, uno siempre puede realizar la integral de p numéricamente en cada punto de x, t. Un método conceptualmente simple es aproximar

ψ(x, t) =

1 2π 

√

+

 ∞ −∞ 

dpφ( p)ei( px− p

2 t/2m)/

(3.51)

n=N

1 2 ∆ pφ( pn )ei( pn x− pn t/2m)/ 2π  n=−N

≈ √

donde p n = n∆ p se evalúa en un conjunto de valores discretizados que var´ıan desde pmax = N ∆ p a p min = N ∆ p. (No afirmamos que este método sea la forma m´ as eficiente desde el punto de vista computacional de calcular la dependencia del tiempo de un paquete de ondas. 3 ) Para examinar la generalidad de los resultados inferidos del ejemplo Gaussiano anal´ıtico, elegimos dos paquetes de onda iniciales dados por

−

(a) ψ1 (x, 0) =



0 para 1/ 2a para

√

|x| > a |x| < a

(3.52)

es decir, un pulso de onda cuadrada, y 3

Ver, por ejemplo, Press et al. (2002) para una discusión completa de los métodos numéricos de la transformada de Fourier.

60


√

(b) ψ2 (x, 0) = e −|x|/a / a

(3.53)

Estas formas de onda se pueden usar en la Ec. (3.20) para calcular la amplitud de momentum inicial, φ( p), requerida para reproducirlos, concretamente

 



 



φ1 ( p) = y φ2 ( p) =

a sen(ap/ ) π  ap/

2a 1 π  1 + (ap/ )2

(3.54)

(3.55)

Figura 3.5: Ensanchamiento de paquetes de onda dados por | ψ(x, t)|2 versus x en tiempos crecientes

para amplitudes de momentum no Gaussianos: (a) es para un pulso de onda “cuadrada” inicial, ψ 1 (x, 0) y (b) es para un pulso de onda “exponencial” inicial, ψ2 (x, 0). En cada caso, la curva punteada es un paquete de ondas Gaussiano del mismo ancho inicial .

Una vez que se conocen las amplitudes de momentum iniciales, las funciones de onda dependientes del tiempo resultantes se pueden obtener a través de la Ec. (3.18). Los valores correspondientes de ψ(x, t) 2 se grafican en la Figura 3.5(a) y (b) para ilustración. En cada caso, usamos φ( p p0 ) para que los paquetes se trasladen a la derecha. Además, también se grafica un paquete de ondas Gaussiano (curva discontinua) para comparación, y los valores de a en cada caso se eligen para obtener la misma “extensión” inicial. Observamos que:

−

|

|

Cada paquete de onda se propaga de forma similar al paquete de ondas Gaussiano obtenido anal´ıticamente.

61

Richard W. Robinett

La interacción sutil (interferencia constructiva y destructiva) entre las ondas planas componentes requeridas para formar las formas de onda iniciales particulares (por ejemplo, la protuberancia cuadrada) se altera r´ apidamente debido a la propagación dispersiva; esto da como resultado oscilaciones rápidas y cambios de forma con el tiempo. Las fases relativas entre los diversos componentes tienden a “aleatorizar” en cierto sentido, de modo que la forma a largo plazo de la forma de onda aparentemente se aproxima a una forma Gaussiana. Parece que la formulación de la ecuación de onda de Schrödinger discutida en este cap´ıtulo incorpora efectos mecánicos de onda en una ecuación dinámica consistente con la primera ley de Newton. La información sobre los fenómenos “ondulatorio” y “corpuscular” deseados parece estar contenido tanto en ψ(x, t) como en φ( p, t); no hemos discutido, sin embargo, la interpretaci´ on f´ısica precisa de cualquier amplitud de onda. Dado que tanto ψ(x, t) 2 como φ( p, t) 2 se interpretar´ an como densidades de probabilidad, iniciamos el siguiente cap´ıtulo con una breve revisi´ on de los conceptos de probabilidad.

|

3.5

Preguntas y problemas

|

|

|

Cap´ıtulo 4

Interpretando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger En completo contraste a la mecánica clásica Newtoniana, la interpretaci´ on estándar de la mec´ anica cuántica asocia la funci´ on de onda de Schrödinger, no de una manera determinista con predicciones definidas acerca de un resultado experimental espec´ıfico e individual, sino solamente en una manera probabil´ıstica, con ψ(x, t) 2 actuando como una densidad de probabilidad, en este caso, para las mediciones de posición. Antes de analizar este enfoque con más detalle, encontraremos rentable revisar brevemente algunos de los conceptos básicos de la teor´ıa de probabilidad discreta y continua.

|

4.1 4.1.1

|

Introducci´ on a la probabilidad Distribuciones de probabilidad discretas

Para una situaci´ on experimental dada en el cual los resultados son determinados aleatoriaon mente, la colección de las probabilidades de todos los posibles resultados definen una distribuci´ on de probabilidades para el cual los resultados forman un conjunto de probabilidad . Tal colecci´ on de probadiscreto, y por tanto pueden ser clasificados por un ´ındice entero, se llama distribuci´ bilidad discreta . Por tanto, podemos designar los posibles resultados como xi , i = 1, 2, , N y el l´ımite superior, N , puede ser finito o infinito; las probabilidades correspondientes se designan como P (xi ). Ejemplos com´ unes que son obviamente designados por enteros son el nú mero en la cara i ésima en el lanzamiento de un dado, o más práctico, el n´ umero de pasas halladas en una sola rebanada de pan de pasas; en ambos casos el l´ımite superior en N es finito. Un ejemplo en el contexto de la mecánica cuántica es el conjunto de los niveles de energ´ıa cuantizados de estados ligados, tal como los estados de energ´ıa permitidos de un átomo de hidr´ıgeno, E n = E 0 /n2 . Los xi en este caso son las energ´ıas y no son en s´ı mismos enteros (o incluso números adimensionales), pero una medici´ on de la energ´ıa de un átomo individual producirá sólo aquellos valores discretos; el l´ımite superior para el ´ındice entero en este caso es infinito. Un ejemplo sencillo que exhibe muchas de las caracter´ısticas más generales de una distribución de probabilidad discreta es el conjunto de probabilidades correspondientes al lanzamiento de un par de dados. En este caso, podemos definir x1 = 2, , x11 = 12 como los posibles resultados, con probabilidades dadas por

···

−

−

···

62

63

Richard W. Robinett

P (x1 = 2) =

1 36

··· P (x6 = 7) = 366 ··· P (x11 = 12) = 361

(4.1)

Estas probabilidades a priori , P (xi ) versus x i , se muestran en la Fig. 4.1; ellos se agrupan, como puede suceder a menudo, alrededor de un valor central, pero con una extensión caracter´ıstica.

Figura 4.1: Las probabilidades predichas para el lanzamiento de dos dados. Debido a que en cada medición, algo será medido, las probabilidades P (xi ) deben satisfacer la restricción obvia N



P (xi ) = 1

(4.2)

i=1

on . Mientras el conjunto completo de los que a menudo se denomina condició n de normalizaci´ P (xi ) codifica toda la información disponible acerca del sistema, las combinaciones espec´ıficas de los P (xi ) son a menudo útiles. El valor promedio o valor esperado de la variable discreta x se define por N

x =



xi P (xi )

(4.3)

i=1

de esto el valor promedio de cualquier función de x, N

f (x) =



f (xi )P (xi )

(4.4)

i=1

Ambos dan informaci´ on sobre los resultados esperados de muchas mediciones de cantidades que dependen de la variable. Estas predicciones a priori pueden, por supuesto, ser comparados con los valores experimentales dados por mediciones repetidas de x o f (x); si los valores de un conjunto de N T mediciones de la variable x se designan como x ¯s , s = 1, , N T , definimos

···

64

1 x esp = N T




N T



x ¯s

o



s=1

1 f (x) esp = N T



N T



f (¯ xs )

(4.5)

s=1

Mientras los valores de la variable x a menudo (pero no siempre) se agrupan alrededor del valor promedio, una medición dada muchas veces encontrará x dentro de un rango bien definido alrededor de x . La variable yi = xi x mide de modo natural la desviación de un valor individual desde el promedio, pero esto satisface

 

−  

y = x − x = x − x = 0

(4.6)

debido a que la desviación promedio fuera de la media se anula. Un mejor estimador de la extensi´ on o incertidumbre en x que surge de modo muy natural se llamada ra´ ız de desviaci´ on media cuadr´ atica o desviaci´ on RMS o desviaci´ on est´ andar definida por ∆xRMS = ∆x =



(x

x )2

1/2

1/2

N

  −   =

i=1

(xi



− x)2P (xi)

(4.7)

El nombre en s´ı es un nemotécnico útil para esta fórmula, ya que requiere que uno 1. primero tome la desviaci´ on (de cada x i desde el valor promedio x );

 

2. lo eleve al cuadrado 3. luego evalue la media (o promedio); 4. y finalmente tome la ra´ız (cuadrada). Una forma de c´ alculo más u ´ til de esta relación se obtiene notando que (∆x)2 = (x

 − x)2 = x2 − 2xx + x2  = x2  − x2

(4.8)

as´ı que una evaluación de x y x2 es suficiente para determinar ∆x.

   

Ejemplo 4.1. Valor esperado para dos dados: Para el caso del lanzamiento

de dos dados, facilmente encontramos que

x = 7

y

x2 = 1974 = 54.833 36

as´ı que

∆x = 2.415

(4.9)

Si sumamos las probabilidades correspondientes a los resultados que caen dentro de una desviación estándar de la media, es decir, en el intervalo ( x ∆x, x + ∆x), encontramos 24/36 = 2/3 0.67; similarmente encontramos que 34/36 0.94 de la (unidad de) probabilidad total se encuentra dentro de dos desviaciones estándar.

∼

 −

 ∼

Este patr´ on es bastante t´ıpico de las distribuciones de probabilidad que son más o menos centrados y algo puntiagudo alrededor de sus valores promedios (ver también P4.1 – P4.4). As´ı, el conocimiento de x y ∆x permite hacer predicciones razonables para el posible resultado de una medici´ on dada, as´ı como para la fiabilidad o la incertidumbre del resultado.

 

65

Richard W. Robinett

4.1.2

Distribuciones de probabilidad continua

Si la variable aleatoria x puede asumir valores continuos (p. ej. alturas de una población, la ubicación de una part´ıcula a lo largo de un segmento de l´ınea, etc.) podemos generalizar la distribución de probabilidad discreta anterior notando que la P (xi ) puede ser trivialmente reescrita como P (xi )∆xi si definimos la “distancia” entre las mediciones integralmente marcadas siendo ∆xi = 1, es decir, una caja de tamaño unidad centrado en x i . El caso continuo se puede obtener entonces por la analog´ıa P (xi )

∼ P (xi)∆xi

=

P (x)dx

⇒

(4.10)

donde dx es una unidad infinitesimalmente pequeña de medida de la variable x. Con esta identificación, llegamos a la interpretación de P (x): P (x)dx es la probabilidad de que una medición de la variable x, se encontrará en el intervalo (x, x + dx), lo que implica que la probabilidad de que una medición de x estará en el intervalo finito (a, b) es dado por b

Prob(a < x < b) =



P (x)dx

(4.11)

a

que se ilustra en la Fig. 4.2.

Figura 4.2: Una distribución de probabilidad continua genérica. La probabilidad predicha de que una medici´ on dará lugar a un valor en el intervalo ( a, b) est´ a dada por el área sombreada.

Asumiendo por generalidad que la variable puede tomar valores en cualquier lugar en el intervalo ( , + ), la condición de normalización en la distribución de probabilidad P (x) se convierte

−∞ ∞

N



+

P (xi ) = 1

=

⇒

i=1

 ∞

P (x)dx = 1

(4.12)

−∞

Las definiciones de valores promedio y desviaciones RMS se generalizan fácilmente a +

x = y

 ∞ −∞

+

xP (x)dx

o

f (x) =

 ∞ −∞

f (x)P (x)dx

(4.13)

66

+

2

(∆x) =

 ∞

(x

−∞


− x)2P (x)dx = x2 − x2

(4.14)

Ejemplo 4.2. La distribuci´ on Gaussiana : Una de las más frecuentes distribuciones de probabilidad continua es la distribución Gaussiana (o normal o “forma

de campana”), dado por P (x; µ, σ) =

1 √ e−(x−µ) /2σ σ 2π 2

2

(4.15)

que se muestra en la Fig. 4.3, y caracterizada por dos constantes µ, σ. Esta distribución surge de una manera fundamental en la teor´ıa de la estad´ıstica (v´ıa el llamado teorema del l´ımite central 1 ), pero además aparece en un modo importante y natural en la teor´ıa cu´ antica tambi´ en. Usando las integrales Gaussianas (oportunamente llamada) discutidas en el Apéndice D.1, es fácil demostrar que P (x; µ, σ) est´ a adecuadamente normalizada para cualquier valor de µ, σ y que

x = µ

y

x2 = µ2 + σ2,

as´ı que

∆x = σ

(4.16)

Figura 4.3: Distribución de probabilidad Gaussiana: se muestra el valor medio µ y los valores de una desviaci´ on est´ andar ( σ).

±

As´ı, los parámetros µ y σ caracterizan muy directamente los valores promedio y las desviaciones RMS. La probabilidad en cualquier intervalo finito (es decir, el área bajo P (x)) sólo se puede calcular numéricamente (ver Apéndice B.3) y uno encuentra Prob( x

| − µ| ≤ σ) ≈ 0.6826 ≈ 68.3 % Prob(|x − µ| ≤ 2σ) ≈ 0.9544 ≈ 95.5 % Prob(|x − µ| ≤ 3σ) ≈ 0.9974 ≈ 99.7 %

(4.17)

Por tanto, la medición de una cantidad descrita por una distribución Gaussiana encontrada que tienen un valor más de tres desviaciones estándar lejos del promedio es raro (menos de 0,3 % de las veces), pero no imposible, mientras que se espera más o menos los dos tercio de los eventos medidos a ser inferior a 1 σ lejos de la media. Varios puntos relativos a P (x) deben tenerse en cuenta: 1

Ver, por ejemplo, Mathews y Walker (1970).

67

Richard W. Robinett

P (x) es, por s´ı mismo, no una probabilidad, sino más bien una densidad de probabilidad , ya que se puede definir crudamente como dProb(x) (4.18) dx o la probabilidad por unidad de intervalo de x. La necesidad de la unidad infinitesimal de medida, dx, siempre debe tenerse en cuenta. P (x) =

Debido a esto, P (x) tiene dimensiones no triviales, a saber [P (x)] =

  1 dx

(4.19)

cualesquiera que resulten ser las unidades de x (altura, etc.). (Recuerde que [z] denota las dimensiones de la variable z .) Esto queda claro en el ejemplo espec´ıfico de la distribución Gaussiana en la Ec. (4.15), donde [x] = [σ] y [P (x)] = [1/σ].

Figura 4.4: Determinación “Experimental” (por computador) de una distribución de probabilidad Gaussiana para cada vez un gran número de mediciones. Las mediciones individuales se muestran como puntos, mientras que la curva suave de Gaussiana se aproxima por los datos agrupados, usando la Ec. (4.20).

La medición experimental de una distribución de probabilidad continua se puede realizar en un procedimiento limitado similar a la distribuciones discretas. Podemos “discretizar” el problema definiendo “cajas” de ancho finito en x, de alg´ un tama˜ no razonable, δx, centrado en el valor deseado de x. La razón del n´ umero de aciertos a las pruebas totales de esa caja pequeña, δ Prob = N S /N T , dividido por el “ancho de la caja” estima la densidad de probabilidad local P (x) =

N S /N T δx

−→

δ Prob δx

(4.20)

68


Uno puede disminuir el ancho de la caja apropiadamente cuando el número de eventos recogidos aumenta. Esto se muestra en la Fig. 4.4 donde una probabilidad Gaussiana es “construida” por mediciones repetidas. La distribución de los puntos medidos se muestra debajo de cada figura; la acumulaci´ on gradual de puntos de datos que dan lugar a la aparición del patrón probabil´ıstico debe ser un recordativo de la Fig. 1.2 y es una de las señas de identidad de muchos experimentos de mec´ anica cuántica.

4.2

Interpretaci´ on probabil´ıstica de la funci´ on de onda de Schr¨ odinger

Uno de nuestros ob jetivos planteados en el entendimiento de la f´ısica cuántica, ha sido incorporar las propiedades ondulatorias de la materia observadas en los experimentos de modo auto–consistente con las leyes dinámicas básicas (no relativista) del movimiento de las part´ıculas; esto nos ha llevado a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo ∂ψ(x, t) i = ∂t

−

 2

∂ 2 ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) 2m ∂x 2

(4.21)

Las derivaciones que conducen a otras ecuaciones de onda dejan claro que las soluciones representan diversas observables f´ısicas (desplazamientos de una cuerda, un campo eléctrico o magnético, o más en general la amplitud de algún fenómeno ondulatorio), pero los argumentos que llevan a la Ec. (4.21) no hacen obvia la interpretación apropiada de ψ(x, t). Aparte del hecho de que sabemos que ψ(x, t) (o más bien ψ(x, t) ya que ψ es compleja) para paquetes de onda se correlaciona con la posición de la part´ıcula, la ecuaci´ on de Schrödinger en s´ı no proporciona ninguna orientaci´ on evidente. Al mismo tiempo, tambi´ en queremos incorporar a nuestra descripción de los fenómenos microscópicos, la naturaleza estad´ıstica de los procesos de medici´ on mencionados en la Sección 1.1. Estas dos ideas se unen de un modo natural en la interpretaci´ on estándar de las soluciones de la función de onda de la ecuación de Schrödinger, a saber que hemos de interpretar a ψ(x, t) 2 como una densidad de probabilidad para la medición de la posición. Espec´ıficamente, si definimos

|

|

|

P (x, t) = ψ(x, t) 2 = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)

|

|

(4.22)

|

on de Born 2 establece que entonces la llamada interpretaci´

P (x, t)dx es la probabilidad de que una medición de la posición de la part´ıcula descrita por ψ (x, t), en el tiempo t, la encontrar´ a en la región (x, x + dx). En este punto de vista, parece que la función de onda en s´ı no hace una confrontaci´ on directa con las mediciones experimentales de la posición, sino que lo hace sólo a través de ψ(x, t) 2 . Este tipo de identificació n no es único a la mecánica cuántica; la amplitud al cuadrado de un campo se usa a menudo en la descripción de otro fenómeno ondulatorio donde aparece, por ejemplo, en expresiones para la densidad de energ´ıa almacenada en el campo eléctrico dado por uE (r, t) =  0 E(r, t) 2 /2 o el campo magnético por u B (r, t) = B(r, t) 2 /2µ0 .

|

|

2

|

En honor a M. Born, 1928.

|

|

|

69

Richard W. Robinett

on colectiva de ψ (x, t), que este tal vez más estrechaUna similar y relacionada interpretaci´ mente relacionado con la prueba experimental, se obtiene considerando un número (presumiblemente grande), N 0 , de part´ıculas preparadas idénticamente, todas descritas por la misma función de onda ψ (x, t). Entonces

dN (x, t) = N 0 P (x, t)dx = N 0 ψ(x, t) 2 dx es el número de part´ıculas encontradas con posición en el intervalo (x, x + dx) en el tiempo t.

|

|

De este modo, se puede imaginar la medición de la densidad de probabilidad al agrupar mediciones de la posición en pequeños incrementos δx, cada grupo teniendo δN (x, t) valores medidos, de modo que δN (x, t) = N 0 ψ(x, t) 2 δx

|

(4.23)

|

da ψ(x, t) 2 . Al igual que con cualquier otra distribución de probabilidad continua, luego se argumenta que

|

|

b

Prob[x

∈ (a, b)] =



b

P (x, t)dx =

a

 |

ψ(x, t) 2 dx

|

a

(4.24)

es la probabilidad de encontrar a la part´ıcula en el intervalo finito (a, b); esto a su vez implica que +

 ∞

+

P (x, t)dx =

−∞

 ∞ |

ψ(x, t) 2 dx = 1 para todo t

|

−∞

(4.25)

un lugar del universo unidimensional ya que la probabilidad de encontrar a la part´ıcula en alg´ (es decir, la recta real) debe ser la unidad. Esta u ´ ltima restricci´ o n de que la función de onda sea propiamente normalizada es muy importante, ya que no todas las soluciones de la ecuación de Schrödinger satisfacen este requisito de forma autom´ atica; por ejemplo, las soluciones de onda plana para una part´ıcula libre dan +

 ∞ | −∞

2

+

ψP (x, t) dx =

|

 ∞ 

e

i( px



p2 t/2m)/

−

−∞

2

+

dx =

 ∞ −∞

1dx =

∞

(4.26)

Mientras que las soluciones sean por lo menos de cuadrado integrable , es decir +

 ∞ | −∞

ψ(x, t) 2 dx = C = constante <

|

∞

(4.27)

entonces podemos usar la linealidad de la ecuación de Schrödinger para escribir ˜ t) = 1 ψ(x, t) ψ(x, C

√

(4.28)

˜ t) seguirá siendo una soluci´ Entonces ψ(x, on (debido a la linealidad) con las mismas propiedades f´ısicas, pero ahora satisface la Ec. (4.25) y será propiamente normalizada. Esta restricci´ on de probabilidad es la motivación para los factores de normalizaci´ on en todos nuestros ejemplos a través de los Cap´ıtulos 3 y 4. Subrayamos que las dos etapas de solución a la ecuación de Schrödinger

70


(aplicaci´ on de la f´ısica de ondas) y inicialmente normalizando las soluciones (garantizando una interpretaci´ on de probabilidad consistente), son independientes uno de otro. El requisito de cuadrado integrabilidad implica fuertes restricciones sobre ψ(x, t):

|ψ(x, t)| debe tender a cero con la suficiente rapidez cuando x → ±∞ de modo que la integral de |ψ(x, t)|2 converger´ a. Por lo general asumiremos que ψ es suficientemente de buen comportamiento, que varias derivadas espaciales de ψ también se anulen en el infinito. Para que sea válida una interpretación de probabilidad, debemos también exigir que ψ(x, t) sea continua en x ya que un ψ discontinuo dar´ıa lugar a predicciones ambiguas para las probabilidades cerca del “salto”, como en la Fig. 4.5. A menos que la función de energ´ıa potencial se comporte muy mal (ver la Sección 8.1.1 para un ejemplo de lo mal que tendr´ıa que ser), podemos tambi´ en asumir que ψ  (x, t) y sus derivadas espaciales superiores sean continuas en cualquier lugar.

Figura 4.5: Función de onda inaceptable en el espacio de posición. ψ(x) se asume real, as´ı puede ser dibujado f´ acilmente.

Hemos argumentado que el requisito de que ψ(x, t) sea propiamente normalizado en, por ejemplo, t = 0, es independiente del hecho de que es una solución de la ecuación de onda. No es obvio, por tanto, que una vez normalizada continuará siendo as´ı en tiempos futuros. Llegamos as´ı de modo natural a preguntarnos si +

 ∞ | −∞

+

2

ψ(x, t0 ) dx = 1

|

= en t0 = 0

⇒

 ∞ | −∞

ψ(x, t) 2 dx = 1

|

(4.29)

para todo tiempo posterior t

Queremos saber si la evolución temporal de la función de onda, dictada por la ecuació n de Schr¨ odinger, respeta la normalización impuesta por una interpretación probabil´ıstica. Para confirmar esto, asumamos que ψ(x, t) es una solución de la Ec. (4.21) (de forma que ∗ ψ (x, t) satisface la versión conjugada compleja de la Ec. (4.21)) y notemos que

71

Richard W. Robinett

∂P (x, t) = ∂t

 ∗  −  −



∂ψ ∂ψ ψ + ψ∗ ∂t ∂t 2 2 ∗ i  ∂ ψ = + V ∗ ψ ∗ 2m ∂x 2  ∂P (x, t) i ∂ 2 ψ ∗ ∂ 2 ψ ∗ = ψ ψ ∂t 2m ∂x 2 ∂x 2

−

 

ψ + ψ

∗ − − i



i + (ψ ∗ ψ)(V ∗ 

2 

∂ 2 ψ +Vψ 2m ∂x 2



− V )

(4.30)

Clásicamente, cualquier función de energ´ıa potencial con el que estemos familiarizados es real, por lo que V ∗ (x, t) V (x, t) = 0 y podemos luego escribir

−

∂P (x, t) = ∂t

−

 ∗

∂  ∂x 2mi

∂ψ ψ ∂x

−

∂ ψ ∗ ψ ∂x



=

− ∂x∂ j(x, t)

(4.31)

Hemos definido j(x, t) =



2mi

∗

∂ψ(x, t) ψ (x, t) ∂x

−

∂ ψ ∗ (x, t) ψ(x, t) ∂x



(4.32)

que se puede interpretar como una corriente de probabilidad o flujo. Esta relación, que relaciona on de cambio temporal de una densidad de probabilidad al cambio espacial en un flujo, la raz´ ∂P (x, t) ∂j (x, t) = (4.33) ∂t ∂x on de continuidad . Se basa en la conservación de la probabilidad de la misma se llama ecuaci´ manera que la ecuación similar llamada para el flujo de los fluidos incompresibles, es decir,

−

∂ρ(x, t) = ∂t

− ∂x∂ [ρ(x, t)vx(x, t)]

(4.34)

o, en tres dimensiones, ∂ρ(r, t) = [ρ(r, t)v(r, t)] (4.35) ∂t (donde ρ(x, t) es la densidad del fluido), está basado en la conservación de la masa del fluido o el enunciado similar en electromagnetismo basado en la conservación de la carga el´ ectrica. Integrando la Ec. (4.33) sobre una región finita del espacio, encontramos

−∇ ·

d dt

b



b

 − 

P (x, t)dx =

a

que puede ser interpretado diciendo

a

∂j (x, t) dx = j(a, t) ∂x

− j(b, t)

(4.36)

La raz´ on de cambio temporal de la probabilidad en un intervalo finito (a, b) en cualquier tiempo t dado (el lado izquierdo) viene dado por la diferencia en las razones del “flujo” de probabilidad que entra ( j(a, t)) y que sale ( j(b, t)) de ese intervalo (el lado derecho). Más importante, si nos especializamos a (a, b) = ( unidimensional, tenemos

−∞, +∞), es decir, todo el universo

72

d (t) d = dt dt

P

dado que


+

 ∞



P (x, t)dx = j(

−∞

−∞, t) − j(+∞, t) → 0

(4.37)

l´ım (ψ(x, t)) = 0 →±∞

(4.38)

x

si la función de onda va a ser normalizable. Aqui +

P (t) =

 ∞

P (x, t)dx

(4.39)

−∞

un lugar como una funci´ es la probabilidad de hallar a la part´ıcula en alg´ on del tiempo. As´ı, (t) = C es una constante para todos los tiempos, uno que ya hemos fijado a la unidad para implementar la conservación de la probabilidad. Esto muestra que la probabilidad total es de hecho constante en el tiempo, siempre que

P

1. las soluciones satisfacen la ecuaci´ on de Schrödinger; 2. las soluciones están localizadas de modo que la función de onda pueda ser normalizada inicialmente; 3. la funci´ on energ´ıa potencial es real. Bajo estas condiciones, el factor de normalización inicial se conserva por la subsiguiente evolución temporal dictada por la ecuación de Schrödinger; podemos “estableserlo y olv´ıdarnos de ello”. Si bien la normalización de la función de onda necesaria para una interpretación probabil´ıstica es inicialmente independiente de la aplicación de la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger garantiza que tal identificación se conserve. Esta conexión es una garant´ıa adicional de que la asociación de ψ(x, t) 2 con una densidad de probabilidad es muy natural. Si retiramos la restricción de que el potencial sea real y se permite que tenga, por ejemplo, una parte imaginaria negativa constante, V (x) = V R (x) iV I , podemos repetir el análisis anterior (P4.8). Encontramos que

|

|

−

d (t) 2V I = (t) = λ (t) = dt  donde λ = 2V I / = 1/τ ; esta tiene la solución trivial

P

−

P

− P

− τ 1 P (t)

(4.40)

P (t) = P (0)e−λt = P (0)e−t/τ

(4.41)

Visto en la interpretación de “conjunto”, donde N (t) = N (0)e−λt = N 0 e−t/τ

(4.42)

se hace evidente que esto representa la p´ erdida de probabilidad o part´ıculas con una ley de decaimiento exponencial familiar de la radiactividad. La razón de decaimiento, λ, y la vida promedio, τ , de una part´ıcula inestable (o colección de ellos) puede ser descrito en el lenguaje mec´ anico cuántico a costa de una no intuitiva (o al menos no cl´ asica) energ´ıa potencial compleja. La relación entre la energ´ıa compleja, V I , y el tiempo de vida, τ , es decir, V I τ =  /2, es recordativo de un principio de incertidumbre energ´ıa–tiempo.

·

73

Richard W. Robinett

4.3

Valores promedio

4.3.1

Valores promedio de la posici´ on

Dada una densidad de probabilidad para la posición, podemos evaluar de inmediato los valores esperados de cualquier cantidad relacionado con x; por ejemplo, se predice que el valor promedio resultante de muchas mediciones de la posición es +

 ∞

xt =

+

 ∞ |

xP (x, t)dx =

−∞

donce hacemos hincapié en que

x ψ(x, t) 2 dx

|

−∞

(4.43)

la dependencia temporal de x t proviene solamente de la información contenida en la funci´ on de onda, ψ (x, t).

 

El valor promedio definido de este modo es lo más parecido que se puede llegar en la mecánica cuántica al concepto de una trayectoria clásica, x(t). De manera similar, podemos evaluar +

x t =

 ∞

f (x)t =

 ∞

n

as´ı como

xn P (x, t)dx

(4.44)

−∞ +

f (x)P (x, t)dx

(4.45)

−∞

para una funci´ on arbitraria de la posici´ on. Haciendo uso de ellos, podemos volver al ejemplo de un paquete de onda Gaussiano en expansi´ on considerado en la Sección 3.2.2, donde estudiamos 1 −(x− p t/m) /β |ψ(x, t)|2 = β t√ e π 2

0

  ∞ | |  −∞∞ −  −∞∞  −  −∞√  ∞ − 

2 t

(4.46)

con β t = α 1 + t2 /t20 ; podemos ahora evaluar el valor esperado de cualquier potencia de x. Usando el Apéndice D.1 encontramos que +

xt =

dxx ψ(x, t) 2

+

=

dx(x

+

=

1 π p0 t x t = m =



dx x +

ze

−∞

   ∞  − − √  √  ∞ −  −∞

p0 t/m + p0 t/m) p 0 t m z2

1

β t π

e



1

√ e−(x− p0t/m)2/βt2

β t π

(x p0 t/m)2 /βt2

dz + ( p0 t/m)

1 π

p 0 t + m

+

e

z2

+

dx

1

√ e−(x− p0t/m)2/βt2

β t π



dz

−∞

(4.47) 2

como se esperaba, donde hemos utilizado el hecho de que el integrando Gaussino impar (ze −z ) se anula cuando se integra en todo el espacio. Usando integrales similares, encontramos que

74


 

p0 t x t = m 2

 

2

+

β t2 2

(4.48)

por lo que la extensión en la posición de hecho aumentar con el tiempo via ∆xt =

   −   x2

t

x

2 t

α = 2

 √

1 + t2 /t20 =

β t √ 2

(4.49)

Podemos “muestrear” esta función de onda midiendo aleatoriamente la posición de una part´ıcula en diferentes tiempos y comparando estas mediciones a la trayectoria clásica de l´ınea recta en la Fig. 4.6. Notemos que las mediciones tienden a agruparse alrededor del camino clásico, pero con excursiones cada vez más grandes debido a la expansión.

Figura 4.6: Grafica de contorno de |ψ(x, t)|2 versus (x, t) para un paquete de onda Gaussiano de part´ıcula

libre. Superpuesto esta la trayectoria cl´ asica de l´ınea recta, x(t) = vt (l´ınea discontinua), as´ı como las mediciones aleatorias de posición de la part´ıcula para tiempos crecientes (conectado por las l´ıneas “err´ aticas” s´ olida) para ilustrar la expansión del paquete de onda.

4.3.2

Valores promedio del momentum

Inicialmente est´ a lejos de ser obvio cómo extraer informaci´ on adicional de ψ(x, t) sobre otras cantidades fisicamente observables, como el momentum y la energ´ıa, que est´ an ahora representados por operadores. Por ejemplo, en la Secci´ on 3.1 identificamos el momentum con un operador via p = ˆ ( /i)∂/∂x. Uno entonces define +

 pˆt =

 ∞ −∞

2

dxˆ p ψ(x, t) =

|

|

+

 ∞

dxψ ∗ (x, t)ˆ pψ(x, t)

(4.50)

−∞

o de alguna otra manera? No surge tal ambiguedad, por supuesto, para la propia variable de posición como +

xt =

 ∞ −∞

2

dxx ψ(x, t) =

|

|

+

 ∞

dxψ ∗ (x, t)xψ(x, t)

−∞

Para tener alguna orientaci´ on, notamos que clásicamente la trayectoria x(t) satisface

(4.51)

75

Richard W. Robinett

dx(t) p(t) = (4.52) dt m as´ı examinamos más completamente la dependencia del tiempo de su análogo cu´ antico, x t . Podemos escribir

 

+

 ∞ | |   ∞−∞  ∗ ∗  −∞   ∞  ∗ ∗ −

d d x t = dt dt



x ψ(x, t) 2 dx

+

= =

dxx +



2mi

−∞

∂ψ ∂ψ ψ + ψ ∂t ∂t ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ dx xψ ψ x 2 ∂x 2 ∂x

(4.53)

donde una vez más hemos usado el hecho de que ψ (x, t) satisface la ecuación de Schrödinger (y su conjugado ψ ∗ ) y hemos asumido que V (x, t) es real. Para simplificar esto, considere +

 ∞ −∞

∂ψ (xψ) ∂x +

=

+

 ∗  ∞ −  ∞ −∞ −∞   ∞ ∗ −

∂ 2 ψ ∗ IPP dx xψ = ∂x 2

dx

−∞

+

dx

∂ψ ∂x

ψ + x

∂ψ ∗ ∂ (xψ) ∂x ∂x

∂ψ ∂x

(4.54)

donde hemos usado una integración por partes (IPP) y eliminado los t´ erminos de “superficie” (los evaluados en ), usando el hecho de que la función de onda se anula con rapidez suficiente en en el infinito. Podemos repetir este artificio una vez más para obtener

±∞

+

 ∞ −∞

∂ 2 ψ ∗ dx xψ = 2 ∂x 2

+

 ∞ −∞

∂ψ dxψ ∗ ∂x

+

+

por lo que la sustitución de vuelta en la Ec. (4.53) da dx dt

 t =

dx dt

+

 ∞ −∞

 ∞  ∗ ∗  −∞∞ ∗    −∞∞ ∗



∂ 2 ψ ∂x 2

∂ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ dx 2ψ + ψ x 2 ψ∗x 2 ∂x ∂x ∂x  ∂ dxψ (x, t) ψ(x, t) i ∂x

2mi 1 + = m 1 + = dxψ (x, t)ˆ pψ(x, t) m −∞ pˆ t = m

 t  

dxψ ∗ x

−

(4.55)

 (4.56)

Esta identificació n de los valores promedio, que es similar a la clásica para las variables de trayectoria, es válida siempre que adoptemos la siguiente definición general: El valor promedio resultante de un gran número de mediciones de una cantidad f´ısicamenˆ en un estado te observable, O, correspondiente a alg´ un operador mec´ anico cuántico, O, descrito por una función de onda ψ (x, t), es

76

ˆ t = O

 


+

 ∞

ˆ dx[ψ ∗ (x, t)]O[ψ(x, t)]

(4.57)

−∞

de modo que el operador está “intercalado” entre ψ ∗ y ψ, pero act´ u a “sólo a la derecha”. ˆ t como el valor promedio o esperado de tal operador en el estado ψ(x, t). Hablaremos de O Claramente, esta definició n se reduce a la estándar para cualquier función del “operador” de posición x. Dado este resultado general, ahora podemos extraer algo de (pero no toda) la información contenida en ψ(x, t) acerca de cualquier otra observable f´ısica O para el cual tenemos un operador ˆ El valor esperado de cualquier potencia de un operador arbitrario, O ˆ n, cuántico asociado, O. se define de forma similar, y podemos generalizar esto en adelante a cualquier función de un ˆ previsto de que tenemos una representación en serie bien definida para la función operador, f (O), f (y). Por tanto, si

 

∞ f  (0)y 2  + ··· = f (y) = f (0) + f (0)y +



2

n=0

entonces

∞

ˆ t = f (O)





n=0

f (n) (0) n y n!

f (n) (0) ˆ n O n!

(4.58)

 t

(4.59)

que a veces es útil. La necesidad de valores bien definidos de los momentos del operador momentum, implicados por la Ec. (4.59), ayuda a justificar la continuación de nuestras suposiciones de que las derivadas espaciales de ψ(x, t) existen y se comportan bien en el infinito. 4.3.3

Valores promedio de otros operadores

Podemos generalizar la definició n de pˆ t para incluir cualquier potencia del operador momentum via

 

∂ n pˆ t = ψ(x, t) i ∂x −∞ −∞ as´ı, por ejemplo, la extensión RMS en las mediciones del momentum será dada por n

 

+

 ∞

dxψ ∗ (x, t)ˆ pn ψ(x, t) =

∆ pt =

+

 ∞

dxψ ∗ (x, t)

 

(4.60)

(4.61)



   −   pˆ2

t

pˆ

2 t

Volviendo al paquete de onda Gaussiano de la Ec. (3.29), podemos evaluar pˆ t (P4.13) y encontrar que +

 pˆt =

 ∞ ∗    −∞∞  − −  | −∞  ∞ | | dx p0

+

= p 0

 pˆt = p0

∂ ψ(x, t) i ∂x 2(x p0 t/m) ψ(x, t) 2 2 iαF

dxψ (x, t)

+

=

 

−∞



|

dx ψ(x, t) 2

(4.62)

77

Richard W. Robinett

donde surgen los dos t´ erminos de la diferenciación de la “fase” y del término “Gaussiano”, respectivamente. En el caso de mediciones de la posición, el término de “fase” no desempeño ning´ un papel importante, ya que sólo ψ(x, t) 2 apareció. Para cálculos del valor promedio más generales donde el operador debe actuar sobre ψ (x, t) antes de un cuadrado, sus efectos pueden obviamente ser importantes. En este sentido, ψ(x, t), con toda su información de fase intacta, es claramente más fundamental que ψ(x, t) 2 . Un cálculo similar (y sólo ligeramente largo) muestra que

|

|

|

|

√

 pˆ2t = p20 + 2α1 2

as´ı que ∆ pt = 1/ 2α

(4.63)

es de hecho constante en el tiempo, de acuerdo con la Ec. (3.21). Combinando este resultado y el de la Ec. (4.49) encontramos que ∆xt ∆ pt =



2

≥  2



1 + t2 /t20

(4.64)

y en t = 0, este paquete de onda realmente alcance el producto m´ınimo de extensión en x y p permitido por el principio de incertidumbre. La evaluación de pˆ2 es especialmente interesante, ya que está relacionado con el operador ˆ y podemos escribir de manera general de energ´ıa cinética T ,

 

ˆ t = 1 pˆ2 t = T 2m

 

 

+

 ∞ − −∞  ∗ −  ∞  −∞ 2 

dxψ ∗

2m

2 

IPP =

2m

2 

T ˆt = 2m

∂ 2 ψ(x, t) ∂x 2

∂ψ(x, t) ψ (x, t) ∂x

+

dx

∂ψ(x, t) ∂x



2

+

∞

+

−∞

2 

2m

+

 ∞

dx

−∞

∂ψ ∗ ∂ψ ∂x ∂x (4.65)

Esto no sólo simplifica el cálculo de pˆ2 en cierta medida (una derivada en lugar de dos), sino también muestra que la energ´ıa cinética asociada con una función de onda mecánico cuántica puede ser relacionada con su variación espacial, es decir, su “ondulación”. Esto justifica la declaración hecha en la discusión de la Fig. 3.2. La cantidad

 

2 

 

∂ψ(x, t) (x, t) = 2m ∂x

T

2

 

+

donde

 ∞ T −∞

(x, t)dx = ˆ

T t

(4.66)

on de energ´ıa cinética . Si bien no es tan fundamentalmente puede ser asociado con una distribuci´ 2 importante como ψ(x, t) , (x, t) es a veces de uso en la visualización de la distribución de la energ´ıa cinética en funciones de onda cuántica. Una cantidad similar es la distribuci´ on de la energ´ıa potencial , que podemos definir como

|

| T

V (x, t) = |ψ(x, t)|2V (x, t)

(4.67)

cuya integral da el valor esperado de V (x, t). Finalmente, el valor esperado de la energ´ıa total, representado por el valor promedio del ˆ = i  ∂ /∂t, se puede evaluar para cualquier estado via operador E

78


+

 ∞

E ˆ t =

−∞

 

∂ dxψ ∗ (x, t) i ∂t

ψ(x, t)

(4.68)

y para el paquete de onda Gaussiano un cálculo expl´ıcito da 2 ˆ t = 1 p2 + 1 = pˆ t E 0 2m 2α2 2m



 



 

(4.69)

consistente con la Ec. (4.63) y el hecho de que el paquete de onda es una solución de la ecuación de Schrödinger de la part´ıcula libre.

4.4

Valores promedio reales y operadores Herm´ıticos

Si bien hemos introducido un procedimiento operacional bien definido para el cálculo de los valores esperados de los operadores mecánico cuánticos, muchas preguntas acerca de la conexión entre cantidades observables clásicas y sus contrapartes de operador mecánico cuántico siguen sin respuesta. Por ejemplo, para x t y los promedios de posición relacionados, se desprende claramente de las Ecs. (4.43) y (4.45) que siempre vamos a encontrar valores reales, como debe ser si queremos confrontar los resultados de las mediciones de cantidades observables. Por el contrario, las formas para los operadores de momentum y energ´ıa, por ejemplo,

 

∂ ˆ = i  ∂ y E (4.70) i ∂x ∂t con sus factores expl´ıcitos de i, quedan lejos de ser evidentes que sus valores esperados no serán complejos, y por tanto no tienen relación con las mediciones reales. Probablemente deseamos ˆ para los que podamos garantizar que los valores esperados satislimitarnos a los operadores, O, fagan p = ˆ



Oˆ  = Oˆ ∗

(4.71)

o +

 ∞

ˆ dxψ ∗ (x, t)Oψ(x, t) =

−∞

+

 ∞

∗

ˆ dxψ ∗ (x, t)Oψ(x, t)

−∞

(4.72)

para cualquier función de onda f´ısicamente admisible, ψ(x, t). Los operadores que satisfacen la Ec. (4.72) son llamados Herm´ıticos , el cual podemos tomar a ser una extensió n de la noción de “realida” para los operadores. La declaración similar para los números complejos generales ser´ıa, por supuesto, ser que un n´ umero complejo, z, es real previsto que z = z ∗ . As´ı, una primera prueba de cualquier identificación de un operador con un observable clásico será comprobar si la Ec. (4.72) se cumple. Notemos que esta definici´ o n se puede extender fácilmente (P4.20) para mostrar que un ˆ realmente satisface la condición más general operador Herm´ıtico, O, +

 ∞ −∞

ˆ dxψ ∗ (x, t)Oφ(x, t) =

+

 ∞

∗

ˆ dxφ∗ (x, t)Oψ(x, t)

−∞

para cualquier dos funciones de onda admisibles ψ(x, t), φ(x, t).

(4.73)

79

Richard W. Robinett

Mientras la Ec. (4.56) indica impl´ıcitamente que pˆ t es real (dado que x t es manifiestamente real), es instructivo para demostrar esto de una modo más expl´ıcito. Podemos escribir



 pˆ∗ =

 ∞ ∗   ∗  −∞∞ − ∗  −∞   ∞ ∞ ∗ − −∞ −  ∞ ∗   −∞ +

dxψ

+

=

dxψ



IPP =

∂ ψ i ∂x  ∂ψ i ∂x 

+

(ψ ψ)+

i

+

=



dxψ

−∞

∂ i ∂x



∂ψ dxψ ∗ ∂x



ψ

 pˆ∗ =  pˆ

(4.74)

Un factor expl´ıcito de 1 que surge del complejo conjugado ha sido cancelado por uno similar de una IPP. Este artificio se puede ampliar para mostrar que pˆn es real para cualquier potencia del operador momentum si se asume que todos los términos de superficie relevantes generados p or las distintas integraciones por partes se anulan debido al comportamiento de ψ y sus derivadas espaciales en x = . Usando la Ec. (4.59) luego se muestra que una función arbitraria de pˆ también tendr´ a valores esperados reales. As´ı, hemos encontrado que x y f (x) (trivialmente) y pˆ y f (ˆ p) son todos Herm´ıticos. La prueba de que el operador de energ´ıa es Herm´ıtico es algo diferente, como lo examinamos

−

 

±∞

E ˆ  − E ˆ ∗ =

 ∞ ∗   −  ∞ ∗   ∗ −∞  ∞  ∗ ∗ −∞ −∞  ∞ ∗   −∞∞  +

+ ∂ i ψ dxψ ∂t ∂ψ ∂ ψ dx ψ + ψ ∂t ∂t

dxψ

+

= i 

∂ i ∂t

ψ

+ d = i  dxψ (x, t)ψ(x, t) dt + d = i  dxP (x, t) dt −∞ d = i  [ (t)] dt ∗ ˆ E = 0

P

E ˆ  −  

(4.75)

ˆ es un operador Herm´ıtico siempre que la probabilidad total, (t), sea constante de modo que E en el tiempo. Hemos visto que la única situación en la que esto no es cierto, es cuando la función de energ´ıa potencial, V (x, t), de hecho, tiene una parte imaginaria; en tal caso podemos esperar que la energ´ıa clásica no este bien definida.

P

4.5

La interpretaci´ on f´ısica de φ( p)

Ahora podemos calcular los valores promedio (y los momentos superiores) del operador momentum, pero a´ un está disponible información más detallada sobre el “contenido del momentum”

80


de la función de onda ψ(x, t). Con el fin de extraer esto de un modo simple, analizaremos con más cuidado el papel de φ( p). Hasta ahora, hemos construido paquetes de onda localizados a partir de soluciones de onda plana usando

ψ(x) =

1 2π 

√

+

 ∞

dpφ( p)eipx/

(4.76)

−∞

donde φ( p) simplemente jugó el papel de una función de ponderación, la amplitud asociada con cada onda plana componente de momentum definido, p. Dada una solución de la ecuación de Schr¨ odinger, ψ (x, t) podemos invertir esto para obtener 1 2π 

φ( p, t) = √

+

 ∞

dxψ(x, t)e−ipx/

(4.77)

−∞

de modo que esta amplitud de momentum se puede obtener de cualquier solución de la ecuación de Schrödinger. Recuerde que las normalizaciones de ψ(x, t) y φ( p, t) están completamente correlacionadas cuando +

 ∞ −∞

2

dp φ( p, t) =

|

|

+

 ∞

dx ψ(x, t) 2 = 1

|

−∞

|

(4.78)

Esto es cierto siempre que hemos aplicado la normalización para ψ(x, t) como una consecuencia de su interpretaci´ on dando una densidad de probabilidad para las mediciones de posición. Este hecho sugiere fuertemente que hacemos la asociación adicional de que P QM ( p, t) = φ( p, t) 2 = φ ∗ ( p, t)φ( p, t)

|

|

(4.79)

es una densidad de probabilidad para las mediciones del momentum, y que

|φ( p, t)|2dp es la probabilidad de que una medición del momentum de una part´ıcula descrita por φ( p, t) (obtenido posible via la transformada de Fourier de ψ(x, t)) se encuentre en un valor del intervalo ( p, p + dp) en el tiempo t.

on de onda en el espacio del momentum por analog´ıa con ψ(x, t) Podemos llamar a φ( p, t) la funci´ on de onda en el espacio de la posici´ on o de configuraci´ on . Esto nos permite hacer que es la funci´ predicciones más detalladas acerca de la distribución de los valores del momentum, usando, por ejemplo, pb

Prob[ p

∈ ( pa, pb)] =



pa

dp φ( p, t) 2

|

|

siendo la probabilidad de medir el momentum a estar en el intervalo finito ( pa , pb ). Esta identificación se hace más convincente por la observación de que

(4.80)

81

Richard W. Robinett

+

 pˆt =

 ∞ ∗   −∞∞ ∗  −∞√  ∞ ∗  ∞ −∞  √  −∞∞ ∗  −∞∞ | |

∂ i ∂x  ∂ i ∂x 

dxψ (x, t)

+

= = = = =

dxψ (x, t)

1 2π 

+

  √  ∞   ∞ −∞  ∗  −∞∞ − ψ(x, t)

+

dxψ (x, t) 1 2π 

dppφ( p, t)

+

1 2π 

dpφ( p, t)eipx/

dppφ( p, t)eipx/

+

dxψ(x, t)e

ipx/

−∞

dppφ( p, t)φ ( p, t) dpp φ( p, t) 2

−∞

 pˆt =  pt

(4.81)

donde hemos escrito el valor promedio ahora como p t (i.e. sin el “sombrero” o s´ımbolo de operador) cuando se evaluó usando la función de onda en el espacio del momentum. En esta representaci´ on de la solución mecánico cuántica, el observable momentum se representa por un operador “trivial”, p. La informaci´ o n de la posición es ahora menos directamente obtenible, como podemos escribir

 

+

xt =

 ∞ ∗  −∞∞  √  −∞∞ ∗  −∞∞ ∗  −∞∞ ∗  −∞∞ ∗

dxψ (x, t)xψ(x, t)

+

=

+

= = = =

1 2π 

+

 ∞ ∗ −  ∗ −∞  √  ∞ −   −∞√  ∞ −    −∞ dpφ ( p, t)e

ipx/

xψ (x, t)dx

+ 1 dxxψ(x)e ipx/ 2π  + ∂ 1 dpφ ( p, t) i dxψ(x)e ∂p 2π  ∂ dpφ ( p, t) i φ( p, t) ∂p

dpφ ( p, t)

ipx/

dpφ ( p, t)ˆ xφ( p, t)

−∞

xt = xˆt

(4.82)

on en la representaci´ donde ahora identificamos al operador posici´ on del espacio del momentum como

∂ x ˆ = i  ∂p

La interpretaci´ on de probabilidad de φ( p, t) también implica que: φ( p, t) debe ser de cuadrado integrable (como una función de p) y continua en p y

(4.83)

82


φ(x, t) (y sus derivadas espaciales) deber´ıa ser continuas y debe anularse suficientemente rapido cuando p de manera que sea de cuadrado integrable.

→ ±∞

Los valores esperados de potencias superiores o funciones de x también son fáciles de obtener, generalizando las ideas en las Secciones 4.3.2 y 4.3.3. Por ejemplo, una expresió n a veces u ´ til 2 para el valor promedio de x está dada por 2

2 

xˆ t = −

+

 ∞ ∗ −∞

∂ 2 φ( p, t) φ ( p, t) dp = + 2 ∂p 2

+

 ∞  −∞ 

∂φ( p, t) ∂p

donde la segunda forma se obtiene por una IPP, como en la Ec. (4.65).

4.6

 

2

dp

(4.84)

Eigenestados de energ´ıa, estados estacionarios, y el operador Hamiltoniano

De la misma manera que la segunda ley de Newton relaciona la dependencia del tiempo de la trayectoria de una part´ıcula con la fuerza externa, la ecuaci´ on de Schrödinger dependiente del tiempo 2 2 ∂  ∂ ψ(x, t) i ψ(x, t) = + V (x, t)ψ(x, t) (4.85) ∂t 2m ∂x 2 dicta el desarrollo temporal de la función de onda de una part´ıcula en presencia de un potencial externo. Si V (x, t) es realmente dependiente del tiempo, la ecuación diferencial parcial resultante puede ser dif´ıcil de resolver, pero a menudo podemos considerar el caso especial, pero muy importante, de un potencial independiente del tiempo, es decir, uno para el cual

−

V (x, t) = V (x)

(4.86)

solamente. En este caso, la ecuación de Schrödinger puede separarse en la forma ∂ i ψ(x, t) = ∂t

−

2 

∂ 2 ˆ + V (x) ψ(x, t) = Hψ(x, t) 2m ∂x 2



(4.87)

donde hemos introducido el operador Hamiltoniano, que puede escribirse como ∂ 2 pˆ2 + V (x) = + V (x) (4.88) 2m ∂x 2 2m y se considera que es una función de las coordenadas de posición solamente. Este operador es la versión mecánico cuántica de la función Hamiltoniana cl´ asica correspondiente.3 on diferencial separable y un m´ La ecuació n (4.87) es ahora una ecuaci´ etodo estándar de solución es asumir una función de onda producto de la forma ˆ = H

−

2 

ψ(x, t) = ψ(x)T (t)

(4.89)

Si sustituimos esta forma en la Ec. (4.87) y dividimos por ψ (x, t), encontramos que 3

Vea muchos textos de pregrado, por ejemplo, Marion y Thornton (2003), para una introducción a la formulaci´ on hamiltoniana de la mecánica cl´ asica; una breve revisión también está contenida en el Apéndice G.

83

Richard W. Robinett

dT (t) i ˆ dt = Hψ(x) T (t) ψ(x)

(4.90)

debe ser verdadero, por supuesto, para todos los valores posibles de x y t. La restricción de que dos funciones de variables independientes diferentes sean idénticas, es decir, F (t) = G(x)

para todo x y t

(4.91)

puede satisfacerse solo si ambas funciones son iguales a una constante. Esto se muestra fácilmente al notar que ∂F (t) ∂G(x) = ∂x ∂x ∂F (t) ∂G(x) = =0 ∂t ∂t

0=

=

⇒ =⇒

G(x) = constante F (t) = la misma constante

(4.92)

Notando las dimensiones, podemos entonces escribir la constante común como E dando

 

ˆ Hψ(x) [i (dT (t)/dt)] = = E T (t) ψ(x)

(4.93)

para que la dependencia del tiempo se encuentre fcilmente como T (t) = e −iEt/

(4.94)

La función de onda completa es entonces ψ(x, t) = ψ E (x)e−iEt/

(4.95)

on de Schr¨ odinger independiente del tiempo donde ψ E (x) ahora satisface la ecuaci´

ˆ E (x) = Hψ

−

2 

∂ 2 + V (x) ψE (x) = EψE (x) 2m ∂x 2



(4.96)

Dedicaremos gran parte del resto del libro a examinar las propiedades matemáticas y el significado f´ısico de las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Notemos que: umero E puede ciertamente identificarse como la energ´ıa del estado definido de manera El n´ ˆ , da u ´ nica, ya que la aplicación del operador de energ´ıa, E

ˆ E (x, t) = i  ∂ ψE (x)e−iEt/ = EψE (x, t) Eψ ∂t





(4.97)

Adem´ as, los cálculos de los valores de experados de las potencias del operador de energ´ıa dan

84

+

ˆn

E  =


 ∞ ∗  −∞∞  ∗ −∞ ∞ |

ˆ n ψ(x, t) dxψ (x, t)E

+

=

dx ψE (x)e

= E n = E n

+

n

   ∂ i ∂t

iEt/



ψE (x)e−iEt/

dx ψE (x) 2

|

−∞

(4.98)

Esto implica que la incertidumbre en la energ´ıa de este estado es ∆E =

 

ˆ2 E

 − E ˆ 2 = 0

(4.99)

Tal estado, con un valor de energ´ıa definido con precisión, se puede llamar un eigenestado de energ´ıa con eigenvalor de energ´ıa dado por E . (El uso del significado caracter´ıstico del alem´ an “eigen” o “perteneciente a” o, coloquialmente, “propio” es apropiado aqu´ı.) El eigenvalor de energ´ıa aparece como un par´ ametro en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, por lo que deben encontrarse soluciones separadas para cada valor diferente de E , de ah´ı la designación ψE (x). Para el caso de una part´ıcula libre, donde V (x) = 0, por ejemplo, resolvemos ˆ E (x) = Hψ

−

 2

d2 ψE (x) = EψE (x) 2m dx2

(4.100)

para obtener ψE (x) = e ±i

√ 2mEx/

(4.101)

o ψE (x, t) = e ±i

√ 2mEx/ −iEt/ i( px− p2t/2m)/ e = e = ψ p (x, t)

(4.102)

que son las soluciones estándar de onda plana, con la identificación E = p 2 /2m para los par´ ametros E , p. ˆ E (x) = EψE (x), de la forma Una ecuación tal como Hψ operador actuando sobre funci´ on = n´ umero por una función

(4.103)

se llama un problema de eigenvalores . Problemas similares surgen en el álgebra matricial y en otros lugares; en tal contexto, a menudo tienen la forma M v = λ v

·

donde M es una matriz y v es un vector.

·

(4.104)

85

Richard W. Robinett

La dependencia temporal trivial de tales estados implica que las densidades de probabilidad correspondientes son independientes del tiempo, ya que P (x, t) = ψE (x, t) 2 = ψE (x) 2 e−iEt/ e+iEt/ = ψE (x) 2

|

|

|

|

|

(4.105)

|

ˆ para tales estados Por lo tanto, los valores esperados de la mayor´ıa de los operadores, O, satisfar´ an

ˆ t = O

 

+

 ∞  ∗  −∞∞ ∗

dx ψE (x)e

+

=



+iEt/



ˆ ψE (x)e−iEt/ O

dxψE (x) ˆ OψE (x)

−∞

Oˆ t = Oˆ t=0

(4.106)

Tales estados para los que la densidad de probabilidad y otros observables se “congelan en el tiempo” se denominan estados estacionarios . Debido a la linealidad de la ecuació n de Schrödinger, la soluci´ o n más general consistir´ a en combinaciones lineales de tales estados estacionarios o soluciones de eigenestados de energ´ıa, es decir,

ψ(x, t) =

  

dE ψE (x)e−iEt/

+

(4.107)

E

donde la suma es sobre todos los posibles valores discretos y continuos de E . Debido a que esta función contiene soluciones de diferentes energ´ıas, ya no será un eigenstado de energ´ıa y, en general, tendrá ∆E = 0. Además, debido a la posibilidad de “términos cruzados” en ψ(x, t) 2 , la densidad de probabilidad (y los observables f´ısicos) puede tener una dependencia temporal no trivial, y entonces tampoco es un estado estacionario. Ejemplos de este tipo incluyen el paquete de ondas Gaussiano construido a partir de soluciones de part´ıcula libre en la Sección 3.2.2 o el paquete de ondas aceleradas considerado en la siguiente secci´ on.

|

|



Un caso especialmente simple de tal dependencia del tiempo es una solución que consiste en una combinación lineal de dos eigenestados de energ´ıa normalizados, es decir 1 ψ(x, t) = ψE 1 (x)e−iE 1 t/ + ψE 2 (x)e−iE 2 t/ 2

 √



(4.108)

donde asumimos que ψE 1 (x) y ψE 2 (x) son reales por simplicidad. Tambi´ en asumiremos que los dos estados tienen una integral de traslape que se anula (lo que se probará en general en la Sección 6.3). En este caso tenemos

E ˆ  = E 1 +2 E 2 de modo que

2

y

2

E ˆ 2 = E 1 +2 E 2

(4.109)

86

∆E = mientras que


 

ˆ2 E

 − E ˆ 2 = |E 1 −2 E 2|

(4.110)

P (x, t) = ψ(x, t) 2

|

|

2 2 = ψ E (x) + ψE (x) + 2ψE 1 (x)ψE 2 (x) cos( E 1 1 2

| − E 2|t/ )

(4.111)

Este ejemplo sirve para recordarnos que el valor real de E en s´ı mismo no es importante, ya que para los eigenestados individuales el efecto de la fase dependiente del tiempo, e −iEt/ , es irrelevante. En estados mixtos, solo aparecen diferencias de energ´ıa , y este hecho es un reflejo de la arbitrariedad inherente a la elecció n de la función energ´ıa potencial, V (x); en mecánica clásica, dejar que V (x) V (x) + V 0 no modifica la fuerza aplicada (y por tanto la f´ısica), y la elección de V 0 puede cambiar la escala de energ´ıa total, pero no las diferencias de energ´ıa (P6.4).

→

Los eigenestados de energ´ıa, caracterizados por ∆E = 0, para ser consistentes con el principio de incertidumbre energ´ıa–tiempo, ∆E ∆t  /2 requieren que ∆t = en alg´ un sentido; esto es plausible dado el carácter estático de los estados estacionarios. Para el sistema de dos estados anterior, la periodicidad caracter´ıstica del sistema de la Ec. (4.111) es

≥

τ = 2π



|E 1 − E 2|

∞

(4.112)

que de hecho es perfectamente consistente con ∆E ∆t

4.7 4.7.1

≈ |E 1 −2 E 2| τ ≈ π

(4.113)

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger en el espacio de momentum Transformando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger en el espacio de momentum

A menudo nos concentraremos en la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en el espacio de la posición o de configuración, concretamente, resolviendo ∂ 2 ψ(x, t) ∂ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) = i  (4.114) 2m ∂x 2 ∂t para ψ(x, t) y luego obteniendo φ( p, t), si as´ı lo desea, por la transformada de Fourier apropiada

−

2 

φ( p, t) =

1 2π 

√

+

 ∞ −∞

ψ(x, t)e−ipx/ dx

(4.115)

Sin embargo, es posible transformar la ecuación de Schrödinger en s´ı misma al espacio de momentum y resolver para φ( p, t) directamente, y esta estrategia a veces produce una solución más simple y más directamente interpretable. (Para otra variaci´ on de este enfoque, ver P4.22). Para

87

Richard W. Robinett

√

este fin, multiplicamos ambos lados de la Ec. (4.114) por exp ( ipx/ )/ 2π  e integramos sobre dx para obtener

−

+∞ 1 ∂ψ(x, t) −ipx/ i e dx ∂t 2π  −∞ +∞ 2 1  ∂ ψ(x, t) = 2m ∂x 2 2π  −∞



√

√

 −

 −  ipx/

e

dx +

1 2π 

√

+

 ∞

V (x)ψ(x, t)e−ipx/ dx (4.116)

−∞

El orden de integración y diferenciación con respecto al tiempo en el lado derecho puede ser intercambiado de modo que 1 2π 

+

 ∞

√

+

 √  ∞

∂ψ(x, t) −ipx/ ∂ 1 i e dx = i  ∂t ∂t 2π  −∞ ∂φ( p, t) = i  ∂t El término de derivada espacial puede escribirse como 1 2π 

√

IPP =

+

 ∞ − −∞

2m

ψ(x, t)e−ipx/ dx

−∞

(4.117)

∂ 2 ψ(x, t) −ipx/ e dx 2m ∂x 2

   −   −



+

 ∞ − √  √  −∞∞ 2 



1 2π 

ψ(x, t)

d2 e ipx/ dx2

dx

+ p2 1 ψ(x, t)e ipx/ dx 2m 2π  −∞ 2 p = φ( p, t) (4.118) 2m donde hemos usado dos integraciones por partes para mover las derivadas al término exponencial. Finalmente, la función de energ´ıa potencial puede expandirse formalmente en una serie de Taylor para producir

=

1 2π 

√ =

∞



n=0

y podemos usar

+

 ∞

V (x)ψ(x, t)e−ipx/ dx

−∞

V (n) (0) n!

1 2π 

√

+

 ∞

xn ψ(x, t)e−ipx/ dx

+∞ 1 ψ(x, t)xn e−ipx/ dx 2π  −∞ +∞ 1 ∂ n −ipx/ = ψ(x, t) i e dx ∂p 2π  −∞ ∂ n = i φ( p, t) ∂p

√



 √  

(4.119)

−∞

  

(4.120)

88


en cuyo caso el término potencial se convierte

 ∞

n=0

V (n) (0) n!

  ∂ i ∂p

n

 

∂ φ( p, t) = V i ∂p

φ( p, t)

(4.121)

donde una vez más hemos identificado x ˆ = i  ∂ /∂p. As´ı, la ecuaci´ on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo en el espacio de momentum se puede escribir como p2 ∂ φ( p, t) + V i 2m ∂p

 

∂φ( p, t) φ( p, t) = i  ∂t

(4.122)

donde usamos impl´ıcitamente la expansión de series para V (ˆ x) = V (i ∂ /∂p). Si la funció n de energ´ıa potencial no depende expl´ıcitamente del tiempo, podemos escribir φ( p, t) = φ( p)e−iEt/

(4.123)

on de Schr¨ odinger independiente del tiempo en el espacio de momentum y obtener la ecuaci´

p2 ∂ φ( p) + V i 2m ∂p

 

φ( p) = Eφ( p)

(4.124)

de la manera habitual. Para el caso simple de una part´ıcula libre (V (x) = 0), tenemos ∂φ( p, t) = ∂t que se integra fácilmente para producir

p 2 i φ( p, t) 2m

(4.125)

−

2 t/2m

φ( p, t) = φ 0 ( p)e−ip

(4.126)

donde φ0 ( p) es una distribución de momentum inicial arbitraria; esto produce el paquete de onda estándar en espacio de la posición a trav´ es de la transformada de Fourier desde +

ψ(x, t) =

 ∞  −∞∞  − −∞  ∞ √

dpφ( p, t)eipx/

+

= =

φ0 ( p)e

1 2π 

+



ip2 t/2m

eipx/ dp 2 t/2m)/

φ0 ( p)ei( px− p

dp

(4.127)

−∞

como en la Sección 3.2.1. 4.7.2

Part´ıcula uniformemente acelerada

Un sistema modelo (con un análogo cl´ asico muy familiar) donde las soluciones de la ecuación de Schrödinger son más fáciles de obtener y analizar usando métodos en el espacio de momentum es el caso de una part´ıcula actuada por una fuerza uniforme o constante. Tomamos la fuerza a ser dada por F (x) = F , de modo que la función de energ´ıa potencial sea V (x) = F x. Podemos suponer por definición que F > 0, correspondiendo en el caso cl´ sico a la aceleración uniforme a

−

89

Richard W. Robinett

la derecha. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en el espacio– p de la Ec. (4.122) tiene la forma p2 φ( p, t) 2m o i



  − · F

∂ ∂φ( p, t) i φ( p, t) = i  ∂p ∂t

∂φ( p, t) ∂ φ( p, t) p2 F + = φ( p, t) ∂p ∂t 2m



(4.128)

(4.129)

Notemos que la combinación simple de derivadas garantiza que una función de la forma Φ( p F t) hará anular el lado izquierdo, por lo que asumimos una solución de la forma φ( p, t) = Φ( p ˜ p), con Φ( p) arbitrario y φ( ˜ p) a determinar. Usando esta forma, la Ec. (4.129) reduce a F t)φ(

−

˜ p) ∂ φ( = ∂p

−

i p2 ˜ φ( p) 2m F

−

(4.130)

con la solución ˜ p) = e −ip3 /6mF  φ(

(4.131)

Entonces podemos escribir la solución general como φ( p, t) = Φ( p

3

− F t)e−ip /6mF



(4.132)

o, usando la arbitrariedad de Φ( p), como φ( p, t) = φ 0 ( p

3

3

− F t)ei(( p−F t) − p )/6mF



(4.133)

donde ahora φ 0 ( p) es la amplitud inicial del espacio de momentum, ya que φ( p, t = 0) = φ 0 ( p). Si la distribución de momentum inicial se caracteriza por p 0 = p 0 , entonces (usando un cambio obvio de variables) encontramos que



+

 pt =

 ∞ |  −∞∞ |  −∞∞ |

p φ( p, t) 2 dp

|

+

=

p φ0 ( p

− F t)|2dp

+

=

2

q φ0 (q ) dq + F t

−∞

 pt =  p0 + F t

|

(y usando q = p +

 ∞ |

− F t)

φ0 (q ) 2 dq

−∞

|

(4.134)

As´ı, el valor promedio del momentum aumenta linealmente con el tiempo, en consistencia con el resultado clásico para una fuerza constante, F = dp/dt; la distribución del momentum simplemente se “traslada” uniformemente a la derecha sin ningún cambio en la forma ya que de la Ec. (4.133)

|φ( p, t)|2 = |φ0( p − F t)|2 La correspondiente funci´ on de onda en el espacio de la posición se puede escribir como

(4.135)

90

ψ(x, t) =

1 2π 

√


+

 ∞

φ0 ( p

−∞

3

3

− F t)ei(( p−F t) − p )/6mF eipx/ dp 



(4.136)

y, debido a que los términos p 3 se cancelan en el exponente, esta transformación puede realizarse anal´ıticamente (P4.24) para una distribuci´ on de momentum Gaussiana. En ese caso, tenemos φ0 ( p) =

α e π

 √ −

α2 p2 /2

(4.137)

asi que φ( p, t) =

α e π

 √ −

α2 ( p F t)2 /2 i(( p F t)3 p3 )/6mF 

−

e

−

−

(4.138)

y ψ(x, t) =

 √

1

2 /6m)/

α π(1 + it/t0 )

eiF t(x−F t

2 /2m)2 /2 2 α2 (1+it/t

e−(x−F t

0)

(4.139)

donde el tiempo de propagación se define por t 0 m α2 , al igual que en el caso del paquete de ondas de part´ıculas libres de la Sección 3.2.2. La densidad de probabilidad correspondiente es entonces

≡

1 −(x−F t /2m) /β |ψ(x, t)|2 = β t√ e π 2



2

2 t

(4.140)

donde β t =  α 1 + t2 /t20 , también como antes. Es fácil ver (P4.25) que

xt = F t2/2m

 p2t = (F t)2 + 2α1 2

y

(4.141)

para que el producto del principio de incertidumbre sea dado por ∆x∆ p =



2



1 + t2 /t20

(4.142)

como antes. Luego se puede obtener un paquete de ondas en el espacio de la posición con posición (x0 ) y momentum ( p0 ) iniciales arbitrariaa φ0 ( p)

−→

e−ipx0 / φ0 ( p

− p0)

(4.143)

que da la solución Gaussiana más general con condiciones iniciales arbitrarias. Al igual que en la Sección 3.2.2, la integral en la Ec. (4.136) se puede realizar numéricamente para otras distribuciones de momentum iniciales. Para φ( p, 0) que no sea Gaussiano, el paquete de ondas del espacio de la posición cambiar´ a de forma, pero la Ec. (4.135) garantiza que la distribución del momentum no se dispersará.

91

Richard W. Robinett

4.8

Conmutadores

En los ejemplos anal´ıticos de paquetes de onda considerados hasta ahora, los paquetes Gaussianos de part´ıcula libre y de aceleración, hemos demostrado expl´ıcitamente la validez del principio de incertidumbre posici´ on–momentum, ∆x∆ p

≥  2

(4.144)

Hemos entendido previamente que esto surge de una limitación fundamental impuesta a los paquetes de ondas formados por interferencia constructiva/destructiva por la relacin ∆ x∆k > (1) de la Sección 2.3 y la identificación (via de Broglie) p =  k , es decir, como una restricción básica que surge de una descripción mecánica de ondas de la dinámica de part´ıculas. Podemos abordar esta relació n de una manera más formal, usando la noción de operadores mecánico cuánticos, como una vista previa de la prueba más rigurosa del principio de incertidumbre en el Cap´ıtulo 12. Si elegimos trabajar en la representación del espacio de posición, notamos que como pˆ se asocia con un operador no trivial, el resultado de la aplicación de p y x a una función de onda dependerá de su orden, especficamente

O

xˆ pψ(x) = pxψ(x) ˆ Podemos mostrar bastante generalmente que

(xˆ p px)ψ(x) ˆ = x

−

 

 dψ(x)

i

dx  dψ(x) = x i dx = i  ψ(x) = 0



(4.145)



−  −  −

d (xψ(x)) i dx  dψ(x)  x ψ(x) i dx i 

(4.146)

Como esto es cierto para un ψ (x) arbitrario, podemos escribir un operador identidad, es decir [x, ˆ p] = x pˆ px = i ˆ 

−

(4.147)

(4.148)

donde hemos introducido el conmutador de dos operadores, definido por ˆ B] ˆ =A ˆB ˆ [A,

− Bˆ A ˆ

Es fácil mostrar (P4.28) que este mismo resultado también se obtiene en el espacio de momentum donde x ˆ = i  ∂ /∂p es ahora el operador “no trivial”, por lo que esta relación no depende de una representaci´ on espec´ıfica. Para previsualizar la conexión entre esta falta de conmutatividad (medida por el conmutador no nulo) y el principio de incertidumbre, podemos volver a ver la Ec. (4.146). Si las mediciones de x y p dan el mismo resultado hecho en cualquier orden, podr´ıamos argumentar que los procedimientos de medición para estas dos cantidades f´ısicas no “interfieren” entre s´ı, y son posibles mediciones independientes de ambos. Entonces uno podr´ıa imaginar hacer mediciones cada vez más precisas de ambas cantidades hasta que el producto ∆x∆ p del principio de incertidumbre fuera tan pequeõ como se desee. El contenido de la Ec. (4.145), no obstante, dice que una medición de, digamos, p alterar´ a necesariamente parte de la información con respecto a la posición x

92


de la part´ıcula, o viceversa. Esta declaración formal es importante, ya que codifica los resultados de una gran variedad de experimentos “gedanken” (experimentos mentales) diseñados para violar la Ec. (4.146) (por ejemplo, ver P4.29) pero que no lo hace despu´ es de una cuidadosa consideración.

4.9

La distribuci´ on de cuasi–probabilidad de Wigner

Cap´ıtulo 5

El pozo infinito: Aspectos f´ısicos 5.1

El pozo infinito en la mec´ anica cl´ asica: Distribuciones de probabilidad cl´ asica

El problema de una part´ıcula movi´ endose en un pozo infinito o caja unidimensional, definido por el potencial V (x) =



0 para 0 < x < +a + para x < 0 o

∞

(5.1)

+a
es uno de los más conocidos y má s fácil de resolver de todos los problemas en introducción a la mecánica cuántica. Es el caso má s simple en el que se estudia el fenómeno de los niveles de energ´ıa cuantizados en los estados ligados, una de las “pruebas irrefutables” de la mec´ anica ondulatoria. En este cap´ıtulo y el siguiente, usamos este problema (y algunos otros relacionados) como una herramienta para entender el formalismo usado al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para estados ligados en un potencial, comprendiendo su interpretación f´ısica, as´ı como algunas de las propiedades formales de sus soluciones. En el Cap´ıtulo 7, también usamos el pozo infinito como un sistema modelo en el que se examina el rol que juega el esp´ın y el principio de exclusión de Pauli en los sistemas cuánticos multipart´ıculas. También queremos desarrollar cierta intuición acerca de las funciones de onda de la mecánica cuántica, tanto en el l´ımite ‘cuántico’ de n´ umeros cuánticos peque˜ nos y especialmente en el l´ımite cuasicl´ asico de grandes n´ umero cuánticos. Para tal fin, primero discutimos el problema de una part´ıcula moviéndoce en este potencial de pozo, tratado clásicamente, y introducir la noción de una distribución de probabilidad clásica. Clásicamente, una part´ıcula en tal potencial se mover´ıa a una rapidez constante dentro de la caja, experimentando colisiones elásticas con las paredes. La rapidez (v0 ) y el periodo (τ ) del movimiento se determinan fcilmente en términos de la energ´ıa como v0 =



2E/m



2a τ = = 2a v0

y

m 2E

(5.2)

La posición, x(t), y la velocidad, v (t), de una part´ıcula en tal pozo1 se muestran en la Fig. 5.1. 1

Ver Styer (2001) para una discusión de la representación matemática de estas trayectorias clásicas, y sus an´ alogos cuánticos.

93

94


Notemos que las mediciones de la velocidad de la part´ıcula en cualquier tiempo sólo dan valores de v0 .

±

Figura 5.1: Trayectorias clásicas en el pozo infinito, x(t) y v(t) versus t . Aunque conocemos la trayectoria exacta, x(t), para todos los tiempos, podemos aún preguntar por la probabilidad de que una medición de la posición de la part´ıcula (usando, por ejemplo, un gran n´ umero de fotograf´ıas estrobosc´ opicas del sistema tomados en tiempos aletorios) lo encontrar´ a en una región dada dentro del pozo. Puesto que la part´ıcula se mueve a rapidez constante, y por lo tanto lleva igual cantidad de tiempo en todas las regiones del pozo, debemos tener P CL (x)dx = Probabilidad[(x, x + dx)] = C dx

(5.3)

on de probabilidad donde C es una constante, y hemos introducido la noció n de una distribuci´ un lugar de la caja, P CL (x) debe cl´ asica , P CL (x). Dado que la part´ıcula debe encontrarse en alg´ normalizarse en la forma habitual de manera que a

1 (5.4) a 0 Usando esta distribución de probabilidad clásica, podemos calcular los valores promedios como de costumbre y encontrar, por ejemplo, 1=



P CL (x)dx = aC

=

P CL (x) = C =

⇒

a

xCL = y 2

x CL = √ = a/ 12.

a

 0



xP CL (x)dx =

0

1 x P CL (x)dx = a 2

a



a 2

x2 dx =

0

a2 3

(5.5)

(5.6)

de modo que ∆xCL También se puede definir una distribución de probabilidad clásica para el momentum, P CL ( p) y, en este caso sencillo donde sólo los valores p = p0 = v0 m son permitidos, con igual probabilidad, tal distribuci´ on puede escribirse como

±

±

95

Richard W. Robinett

1 P CL ( p) = [δ ( p 2

− p0) + δ ( p − p0)] y es sencillo demostrar (P5.1) que  pCL = 0,  p2 CL = p 20 , y ∆ pCL = p 0 .

(5.7)

Figura 5.2: Potencial unidimensional genérico con estados ligados. Para la energ´ıa E 1 , a y b son puntos de inflexi´ on clásicos para el movimiento ligado. Para la energ´ıa E 2 , c y d son puntos de inflexión para el movimiento no ligado; part´ıculas incidentes desde la izquierda (derecha) rebotarán en el punto c (d). Para la energ´ıa E 3 , las part´ıculas clásicas se ralentizan (aceleran) a medida que viajan sobre la “protuberancia” (“pozo”) en el potencial, pero no rebotarán.

La noción de una distribución de probabilidad clásica para la posición2 se puede generalizar para cualquier problema estado ligado con un potencial V (x). Considere una part´ıcula de masa m y energ´ıa E moviéndoce en un potencial de confinamiento general, tal como en la Fig. 5.2 (para el caso E 1 al menos). El movimiento en tal potencial es periódico, la part´ıcula rebota ida y vuelta entre los puntos de inflexión clásico a y b; el tiempo para un recorrido del pozo (de, digamos, izquierda a derecha) es la mitad del per´ıodo, τ /2. La cantidad de tiempo, dt, la partácula pasando la peque˜ na regi´ on del espacio, dx, cerca del punto x es dado por la rapidez all´ı, v (x), via dt =

dx dx = dx/dt v(x)

(5.8)

de modo que el per´ıodo clásico es dado por la suma de todos estos tiempos infinitesimales por un recorrido, a saber, τ = tiempo de ida y vuelta = 2

tb

b

  dt =

ta

a

dx v(x)

(5.9)

La probabilidad de encontrar a la part´ıcula en la peque˜ na regi´ on (x, x + dx) es simplemente la raz´ on entre el tiempo que pasó all´ı, dt, al tiempo total durante un recorrido, es decir P CL (x)dx = Probabilidad[(x, x + dx)] =

dt 2 dx = τ /2 τ v(x)

(5.10)

de manera que la densidad de probabilidad clásica es 2

La comparación de las distribuciones de probabilidad clásica y cuántica, tanto en el espacio de posición y del momentum, para muchos sistemas simples se discute en Robinett (1995).

96


P CL (x) =

2 1 τ v(x)

(5.11)

que es normalizado apropiadamente desde b

 a

2 P CL (x)dx = τ

b

 a

dx 2 τ = =1 v(x) τ 2



(5.12)

de la Ec. (5.9). Esta definición muestra que la part´ıcula pasará má s tiempo (y por tanto se encuentra más a menudo) en regiones donde la rapidez clásica es baja; esto es especialmente cierto en los puntos de inflexión clásico, donde la part´ıcula está cambiando de dirección, con el signo de velocidad cambiante, lo que implica que v (x) 0 en tales puntos. Puesto que la rapidez clásica está relacionado con la energ´ıa cinética por T (x) = mv(x)2 /2 y por tanto para la energ´ıa potencial, podemos escribir

→

2 P CL (x) = τ

m 2 = 2T (x) τ



m 2(E V (x))



−

para un estado ligado general

(5.13)

As´ı la densidad de probabilidad clásica es grande (pequeña) donde la energ´ıa cinética es peque˜ na (grande) o la energ´ıa potencial es grande (peque˜ no). Para el caso del pozo infinito, donde el potencial anula el interior del pozo, esto se reduce a 2 P CL (x) = τ



m 1 = 2E a

para el pozo infinito

(5.14)

como se esperaba.

5.2 5.2.1

Estados estacionarios para el pozo infinito Funciones de onda en el espacio de posici´ on para el pozo infinito est´ andar

Ahora discutimos las soluciones del problema mecánico cuántico de una part´ıcula en un potencial de pozo infinito. Comenzamos centrándonos en el potencial de pozo de la forma V (x) =



0 para 0 < x < +a + para x < 0 o + a < x

(5.15)

∞

que describiremos como el problema del pozo infinito “estándar”. La ecuaci´ on de Schrödinger independiente del tiempo dentro del potencial de pozo (donde V (x) = 0) se convierte en 2

2

2

2

 d ψ(x)  d ψ(x) − 2m + V (x)ψ(x) = Eψ(x) → − = Eψ(x) dx2 2m dx2

(5.16)

Esto es de la forma d2 ψ(x) = dx2

−k2ψ(x)

donde

k =



2mE  2

(5.17)

Las soluciones de la Ec. (5.17), que son más parecidas a las ondas estacionarias (y por tanto relevantes para problemas de estados ligados) son

97

Richard W. Robinett

ψ(x) = A sen(kx) + B cos(kx)

(5.18)

donde A, B son (por el momento) constantes arbitrarias. Como la part´ıcula no est´ a permitida afuera (es decir, ψ(x) = 0 para x < 0, a < x), y la función de onda debe ser continua, también debemos implementar los requisitos de que ψ(0) = ψ(a) = 0; la aplicación de estas condiciones de frontera requieren que

ψ(0) = A sen(0) + B cos(0) = 0 ψ(a) = A sen(ka) + B cos(ka) = 0

(5.19)

o B = 0

y

A sen(ka) = 0

(5.20)

Si A = 0 también, entonces ψ(x) se anula de manera idéntica (el caso poco interesante de probabilidad total cero, correspondiente a ninguna part´ıcula en el pozo), as´ı debemos tener sen(ka) = 0

o

kn a = nπ donde

n = 1, 2, 3,

···

(5.21)

dando las energ´ıas cuantizadas E n =

2 2  kn

=

2m

2 2 2  n π

2ma2

pozo infinito est´ andar

(5.22)

Este resultado también se puede obtener de ideas simples de “adaptación de la onda de Broglie”, como en la Sec. 1.3. Las funciones de onda de estado estacionario, escritas aqu´ı en la forma ψ(x) = u n (x), deben satisfacer la condición de normalización que 1=



P M C (x)dx =

a

 | 0

un (x) 2 dx = 1

|

(5.23)

y las funciones de onda apropiadamente normalizadas se escriben convencionalmente en la forma un (x) =

   2 nπ sen x a a

pozo infinito est´ andar

(5.24)

Notemos que esta normalización tiene la dimensionalidad apropiada para una función de onda unidimensional, pero que el signo (o más generalmente la fase) de la constante de normalización es puramente convencional, y 2/a o exp(iθ) 2/a podrian servir tambi´ en. Las primeras funciones de onda espaciales, un (x), se muestra en la Fig. 5.3 (junto con aquellos para el pozo infinito simétrico relacionado, discutido en la Secci´ on 5.2.3). Notemos la caracter´ıstica general de que el número de nodos aumenta con la energ´ıa, iniciando por un estado base sin nodos. Estos resultados ejemplifican un enfoque anal´ıtico est´ andar para las soluciones de un problema mecánico cuántico de una part´ıcula en un potencial de pozo:



−



1. Uno resuelve la ecuaci´ on de Schrödinger independiente del tiempo en el espacio de posición que da las formas funcionales apropiados para ψ (x).

98


2. Uno aplica las condiciones de contorno, que en general involucra la condici´ o n, ya sea expl´ıcita o impl´ıcitamente, de que la función de onda se nula con suficiente rapidez en el infinito, y esta restricción da lugar a niveles de energ´ıa cuantizados; este es el análogo de “adaptaci´ on de las ondas de De Broglie” (como en la Sección 1.3) para un potencial general. 3. Finalmente, uno normaliza las funciones de onda para asegurar que una interpretaci´ on de probabilidad sea válida. Otra informaci´ on, tal como los valores promedios de diversos operadores o la correspondiente función de onda en el espacio de momentum, φ( p), se calculan f´ acilmente. Cada paso es independiente de los otros, y todos son requeridos para obtener la información completa posible de las soluciones de estado estacionario.

Figura 5.3: Eigenvalores de energ´ıa y eigenfunciones para el pozo infinito estándar y simétrico . Las soluciones más generales serán las combinaciones lineales de estos eigenestados de energ´ıa con su dependencia temporal asociado, a saber ψ(x, t) =



an ψn (x, t) =

n



an un (x)e−iE n t/

(5.25)

n

Hacemos hincapié una vez más que, debido a que un (x) son soluciones de estados estacionarios, el módulo al cuadrado de las funciones de onda individuales, ψn (x, t) 2 = un (x) 2 , son independientes del tiempo.

|

5.2.2

| |

|

Valores esperados y funciones de onda en el espacio del momentum para el pozo infinito est´ andar

Para establecer contacto con las distribuciones de probabilidad clásica en la Sección 5.1, evaluamos los valores esperados de la mecánica cuántica

x = y

 |

2

x ψ(x) dx =

|

a

 0

x[un (x)]2 dx =

a 2

(5.26)

99

Richard W. Robinett

x2 =



x2 ψ(x) 2 dx =

|

|

a

 0

a2 x2 [un (x)]2 dx = 3

− 1

3 2(nπ)2



(5.27)

Notemos que el segundo resultado está de acuerdo con la expectativa clásica sólo en el l´ımite de grandes n´ umeros cuánticos (n ). Este efecto se ilustra en la Fig. 5.4, donde notamos que (n) las densidades de probabilidad cuántica, P MC (x) = un (x) 2 , que corresponde a los eigenestados de energ´ıa individuales, no se aproxima al l´ımite clásico P CL (a) = 1/a en el sentido usual de la convergencia uniforme, sino que oscila incrementandose rápidamente alredeor del resultado clásico cuando n aumenta (como se discutió en P5.5), promediando localmente al resultado clásico.

→ ∞

|

|

(n) (x) = | un (x)|2 , para el pozo infinito estándar para gran Figura 5.4: Densidad de probabilidad, P MC (n)

n´ umero cuántico (n = 40). P MC (x) localmente promedia a la distribución de probabilidad clásica plana, P CL (x) = 1/a.

El valor esperado del momentum en un estado estacionario del pozo infinito está dada por a

 pˆ =



[un (x)]∗ p[u ˆ n (x)]dx =

0

=

a

     

i



2i

un (x)

0

un (x)2

a 0

dun (x) dx dx

=0

(5.28)

ya que las eigenfunciones se anulan en las fronteras. As´ı, el valor promedio del momentum se anula en cada eigenstado. Si bien este cálculo espec´ıfico proporciona la respuesta correcta, este resultado importante (y m´ as general) puede ser entendido de forma más intuitiva y f´ısicamente de varias maneras: 1. Los eigenestados de energ´ıa en este (o cualquier) sistema de estado ligado pueden ser elegidos para ser funciones puramente reales (o real con fases complejas multiplicativa que sea independiente de la posición). Como se ilustra en el cálculo de la Ec. (5.28), esto

100


implica que el valor esperado de pˆ , que sabemos debe ser real, se puede escribir como una integral puramente real por i. Por coherencia, esto implica que la integral debe anularse, lo que se logra haciendo el integrando [un (x)]2 /2, evaluado en los l´ımites apropiados, donde la función de onda se anula. Para el caso simple del pozo infinito, estos l´ımites son x = 0, a, mientras que para un caso más general (y realista), los l´ımites ser´ıan x = , + , donde ψ(x) debe anularse con el fin de que la solución sea f´ısicamente acceptable. Notemos que la inclusión de la exponencial dependiente del tiempo exp( iE n t/ ) no afecta al argumento. Uno también puede demostrar que el flujo de probabilidad o corriente, j(x, t), para tales eigenestados de energ´ıa puramente reales tambi´ en se anulan por razones similares.



−∞ ∞

−

2. El hecho de que los eigenestados pueden elegirse como funciones reales también pueden ser entendidos en términos de resultados clásicos para ondas estacionarias, donde soluciones de ondas viejeras (complejas) de la forma exp( ikx) pueden combinarse para formar soluciones reales sen(kx), cos(kx) usados en la Ec. (5,18).

±

3. La anulaci´ on del valor promedio del momentum también puede pensarse heur´ısticamente en términos clásicos como la simetr´ıa de la velocidad durante recorridos de “ida y vuelta” subsiguientes de un potencial durante su movimiento periódico, como la misma rapidez conseguida dos veces durante cada per´ıodo. La velocidad clásica se relaciona con la energ´ıa y el potencial en un punto via

v(x) =

±



2 (E m

− V (x))

(5.29)

de modo que la distribución de velocidad clásica es necesariamente simétrica entre +v(x) y v(x), lo que implica que p CL = m v(x) CL = 0.

−

 





4. Si bien este resultado es v´ alido para los eigenestados de energ´ıa, las combinaciones lineales de estos eigenestados que forman una solución general contendr´ an fases dependientes del tiempo no triviales entre eigenestados y pueden dar valores no nulos de pˆ t . Ejemplos incluyen los sistemas de dos estados discutidos en la Sección 5.4.1 o paquetes de onda como en la Sección 5.4.2.

 

De manera similar, se puede evaluar el valor esperado de las potencias del momentum, incluiyendo el caso útil de 2

a

 pˆ  =



[un (x)]∗ pˆ2 [un (x)]dx =

0

  nπ  a

2

= p 2n

(5.30)

que es consistente con el hecho de que la energ´ıa cinética para este sistema 2 2 2

1 2 π n T ˆ = 2m  pˆ  =  2ma 2

p2n = = E n 2m

(5.31)

deber´ıa ser igual a la energ´ıa total. Para efectuar relación con los conceptos clásicos de velocidad, podemos evaluar las funciones de onda del espacio de momentum que corresponden a la u n (x) v´ıa

101

Richard W. Robinett

+∞ 1 dxψ(x)e−ipx/ 2π  −∞ i −ipa/2 +inπ/2 sen[(nπ pa/ )/2] e e (nπ/a p/ ) π  a sen[(nπ + pa/ )/2] e−inπ/2 (nπ/a + p/ )

√ − = √

φn ( p) = 1 2π 

√

a

 0

dxun (x)e−ipx/







−





− −



(5.32)

Figura 5.5: Densidad de probabilidad del espacio de momentum, |φn ( p)|2 versus p, para el pozo infinito

estándar para valores de n = 1, 3, y 10. Las l´ıneas de puntos corresponden a valores de p dados por pn = 2mE n .

√

±

2 ( p) = φ ( p) 2 , se eval´ La distribución de probabilidad del espacio de momentum, P MC ua n f´ acilmente y graficamos en la Fig. 5.5 los resultados para n = 1, 3, 10. Notemos que incluso para valores más bien pequeños del n´ umero cuántico hay dos picos bien definidos en p = pn , consistentes con las explicaciones clásicas, donde uno encontrar´ıa u ńicamente valores vn = pn /m = 2E n /m como resultado de las mediciones de velocidad. Para facilitar la comparación con la distribución de probabilidad clásica en la Ec. (5.7), podemos reescribir la función de onda en e el espacio de momentum en la forma equivalente

|

±

±

−i e−ip/∆ p φn ( p) = √ 2π∆ p



+inπ/2

e



sen[( pn p)/∆ p] ( pn p)/∆ p

− −

− −  e

inπ/2

| ±

sen[( pn + p)/∆ p] ( pn + p)/∆ p

±



(5.33)

donde ∆ p = 2 /a. Si tomamos la distribución de momentum correspondiente, φn ( p) 2 , en el l´ımite que ∆ p 0 (ya sea  0oa ) y usamos la representación de la función δ en el Apéndice E.8, encontramos (P5.10) que

→

→

→ ∞

1 (n) l´ım P MC ( p) = l´ım φn ( p) 2 = [δ ( p ∆ p→0 ∆ p→0 2

|

|

|

− pn) + δ ( p + pn)] = P CL ( pn)

|

(5.34)

Tambi´ en notemos que las distribuciones de momentum mecánico cuántico reflejan la misma simetr´ıa que sus contrapartes clásicos, ya que tenemos

102


(n) (n) |φn(− p)|2 = P MC (− p) = P MC (+ p) = |φn (+ p)|2

(5.35)

lo cual es consistente con nuestras observaciones sobre las distribuciones de rapidez que surgen de la equivalencia de los movimientos de “ida y vuelta” en un sistema de estado ligado. Este hecho también se puede usar para mostrar que +

 p =

 ∞ |

p φn ( p) 2 dp = 0

−∞

|

(5.36)

usando la representación del espacio de momentum, dado que el integrando ahora es manifiestamente impar en la variable p. Otras propiedades de la representación del espacio de momentum se exploran en los problemas (P5.6 y P5.8). 5.2.3

El pozo infinito sim´ etrico

Una variaci´ on en el problema del pozo infinito estándar, que encontraremos u ´ til es el pozo infinito simétrico, definido por V (x) =



0 +

∞

para x < a para x > a

| | | |

(5.37)

es decir, una caja unidimensional de ancho 2 a, centrado en el origen. Discutimos este caso bastante similar por varias razones: 1. Los dos potenciales y sus soluciones (tanto en espacio de posición como el de momentum) se pueden obtener unos de otros mediante simples argumentos de escala y relaciones de simetr´ıa. 2. El pozo infinito simétrico nos introduce a la noci´ on de paridad, que estudiaremos más a fondo en la Sección 6.6. 3. Es un caso l´ımite del pozo infinito asimétrico considerado en la Sección 5.3. 4. Finalmente, las eigenfunciones del pozo simétrico son muy similares a las utilizadas en los an´ alisis estándar de series de Fourier, donde tenemos experiencia en su uso en la expansión de funciones arbitrarias. Para este caso, encontramos la misma ecuación de Schrödinger y soluciones como en las Ec. (5.16) y (5.18), pero las condiciones de contorno se implementan de una manera ligeramente diferente. Ahora dado que ψ(x) = 0 para x a, debemos imponer las condiciones de continuidad en las paredes

| |≥

ψ(+a) = A sen(ka) + B cos(ka) = 0 ψ( a) =

−

−A sen(ka) + B cos(ka) = 0

(5.38)

o A sen(ka) = 0

B cos(ka) = 0

(5.39)

103

Richard W. Robinett

Una vez más, si A = B = 0, entonces ψ(x) se anula de modo identico, as´ı podemos considerar dos casos por separado: Soluciones pares, A = 0: En este caso, solo sobreviven las soluciones cos( kx) (es decir, el par, cos( kx) = cos( kx)). Por lo tanto, establecemos cos(ka) = 0, que tiene soluciones

−

−

(n

kn(+) =

− 1/2)π

con n = 1, 2, 3,

a

(5.40)

(pozo infinito simétrico)

(5.41)

···

para que los eigenvalores de la energ´ıa sean E n(+)

=

2 (+) 2  (kn )

=

2m

2  (2n

− 1)2π2

8ma2

donde el super´ındice ( +) denota los estados pares. Las eigenfunciones normalizadas correspondientes son



1 u(+) cos n (x) = a

√

(n

− 1/2)πx a



(pozo infinito simé trico)

(5.42)

Soluciones inpares, B = 0: En este caso, donde solo se usan las soluciones sen( kx) (o las

impares, sen( kx) =

−

− sen(kx)), establecemos sen(ka) = 0, que tiene soluciones kn(−) =

nπ a

con n = 1, 2, 3,

···

(5.43)

con eigenvalores de energ´ıa E n( )

−

=

2 2 2  n π

2ma2


(5.44)

y eigenfunciones normalizadas u(n ) (x)

−

1 nπx = sen a a

√

 


(5.45)

Notemos que estas soluciones pueden obtenerse de las del pozo estándar (en la Ec. (5.24) dejando primero a 2a (doblando el ancho del pozo, por lo que cubre el rango (0 , 2a)) y luego dejando x x a (desplazando el centro del origen); vea la Fig. 5.3 para una comparación. Note que las soluciones para los pozos estándar y simétricos estan necesariamente normalizadas diferentemente, ya que se definen en diferentes longitudes de cajas. Estas soluciones poseen la propiedad adicional de paridad e imparidad, es decir

→ −

→

(+) u(+) n ( x) = +un (+x)

−

y

u(n−) ( x) =

−

−u(n−)(+x)

(5.46)

que están obviamente relacionados con la simetr´ıa del pozo, V ( x) = V (+x); introduciremos la importante noci´ on de paridad en este contexto en el próximo cap´ıtulo.

−

5.3

El pozo infinito asim´ etrico

Un potencial de pozo infinito asimétrico puede definirse por

104

V (x) =


 ∞  + 0 V 0

para x > a para a < x < 0 para 0 < x < +a

| | −

(5.47)

correspondiente a un cambio en el potencial en la mitad derecha del pozo infinito simétrico; por definici´ on, asumiremos que V > 0 en lo que sigue. Esta pequeña variaci´ on es interesante ya que brinda la oportunidad de estudiar varias caracter´ısticas nuevas, a saber: 1. Para el caso donde E > V 0 , una variación en el potencial corresponde a una variaci´ on en la rapidez para que la probabilidad clásica de encontrar a la part´ıcula no se distribuya uniformemente (P5.11) a través del potencial, proporcionando otro ejemplo de la correlaci´ on entre la función de energ´ıa potencial y la distribución de probabilidad (mecánico clásico y cu´ antico).3 2. Para E < V 0 , encontraremos soluciones no clásicas, que no se anulan en la región clásicaantico, que se discumente prohibida (0 < x < +a), que corresponde al tunelamiento cu´ tir´ a en el Cap´ıtulo 8. Un ejemplo del potencial (y niveles de energ´ıa representativos para ambos casos) se muestra en la Fig. 5.6 y consideramos los casos E > V 0 > 0 y V 0 > E > 0 por separado.

Figura 5.6: Función de energ´ıa potencial, V (x), para el pozo infinito asimétrico, con eigenvalores de energ´ıa representativos para una elección particular de parámetros del pozo. Los estados resaltados, E A , E B , E C , E D , correspondientes a n = 1, 4, 5, 7 se visualizan con más detalle en la Fig. 5.7 . El caso E > V 0 > 0. Para el lado izquierdo del pozo, donde V (x) = 0, el problema puede

ser analizado como antes, pero para el lado derecho donde hay un potencial distinto de cero, la ecuaci´ on de Schrödinger se convierte en 2

2

 d ψ(x) − 2m + V 0 ψ(x) = Eψ(x) dx2

o 3

El pozo asimétrico se discute en Doncheski y Robinett (2000) y Gilbert et al. (2005).

(5.48)

105

Richard W. Robinett

d2 ψ(x) = dx2

−q 2ψ(x)



2m(E

donde

− V 0) ≡ q < k =

 2



2mE  2

(5.49)

con soluciones evidentes sen(qx), cos(qx). La solución general para ambos lados del pozo se puede escribir en la forma

ψ(x) =

  

0 para x > a A sen(kx) + C  cos(kx) para a < x < 0 B sen(qx) + D cos(qx) para 0 < x < +a

| | −

(5.50)

Las condiciones de frontera sobre la funció n de onda en x = a, +a (a saber, ψ( a) = 0 = ψ(+a)) da como resultado una simplificación considerable, dando ψ(x) =

−



A sen(k(x + a)) para a < x < 0 B sen(q (x a)) para 0 < x < +a

−

−

−

(5.51)

Recordando las discusiones en la Sección 4.2, insistimos que ψ(x) (y las derivadas superiores) deben ser continuas incluso en fronteras discontinuas 4 ; haciendo coincidir ambos ψ(x) y ψ  (x) en x = 0 impone las restricciones adicionales A sen(ka) =

−B sen(qa)

(5.52)

Ak cos(ka) = qB cos(qa)

(5.53)

que luego pueden combinarse para producir la condición de eigenvalores de energ´ıa, a saber k cos(ka) sen(qa) + q sen(ka)cos(qa) = 0

(5.54)

independientemente de las constantes de normalización A, B . En el l´ımite V 0 0, donde q k, esto reduce a la condición 2k sen(ka)cos(ka) = 0 , consistente con nuestra discusión del pozo simétrico y la Ec. (5.39). Sin embargo, para V > 0, la ecuaci´ on ya no tiene una forma terminada simple o soluciones anal´ıticas como se encontró antes, y los valores de E (que dan k, q ), que satisfacen la Ec. (5.54) debe obtenerse numéricamente. Por ejemplo, para valores fijos de  , m , a, el k(E ) y q (E ) son funciones de la energ´ıa y se uno puede definir

→

F (E )

→

≡ k(E )cos[k(E )a] sen[q (E )a] + q (E ) sen[k(E )a] cos[q (E )a]

(5.55)

luego graficar F (E ) como una función de la energ´ıa, buscando los ceros, y finalmente usar algoritmos de b´ usqueda de ra´ıces para localizar valores de E , que satisfacen la Ec. (5.54). Escojiendo un conjunto representativo de parámetros, hemos seguido este enfoque, y en la Fig. 5.6 se indicó varios eigenvalores de energ´ıa para el caso E > V 0 (estados indicados 5 y superiores); tambi´ en graficamos en la Fig. 5.7 (lado izquierdo) las distribuciones de probabilidad (normalizadas) correspondientes ψn (x) 2 versus x para estados con n = 5, 7 (indicados E C y E D ). La l´ınea vertical discontinua designa el centro del pozo, mientras que la l´ınea de puntos horizontal indica la densidad de probabilidad clásica para un pozo simétrico de ancho 2a, es

|

4

|



La discontinuidad en V (x) en x = 0 no es “bastante mala” para hacer ψ (x) discontinua; ver la Secci´ on 8.1.1.

106


decir, P CL (x) = 1/2a. Notemos varias caracter´ısticas de estos estados, que son ejemplares de las correlaciones más bien generales entre la magnitud y “ondulación” de las funciones de onda cuánticas, a saber: 1. La funci´ on de onda (y, por tanto, la densidad de probabilidad cuántica) es más grande (m´ as peque˜ na) en magnitud en las regiones donde la part´ıcula se mueve más lenta (más r´ apida), como en la Ec. (5.11), o donde la energ´ıa cin´ etica es m´ as peque˜ na (m´ as grande) o la energ´ıa potencial es más grande (m´ as peque˜ na), como en la Ec. (5.13). La densidad de probabilidad en la mitad derecha del pozo es mayor que la del potencial simétrico sin paso potencial, ya que la part´ıcula clásica ir´ıa más lentamente en ese lado. 2. La funci´ on de onda se “contornea” (menos “ondulante”), con una longitud de onda local de Broglie más peque˜ na (m´ as grande) en regiones donde la rapidez clásica o cinética es más grande (más peque˜ na), consistente con λ = 2π  /p. 3. Por tanto, para las funciones de onda de estado ligado, en general esperamos soluciones con gran magnitud y pocos “meneos” ... o ... peque˜ na magnitud y más “meneos”.

Figura 5.7: Gráficos de la densidad de probabilidad en el espacio de posición |ψn (x)|2 versus x (izquier-

da) y densidad de probabilidad en el espacio de momentum φn ( p) 2 versus p (izquierda) para cuatro eigenvalores de energ´ıa en el pozo infinito asimétrico correspondiente a valores de E < V 0 (E A (n = 1) y E B (n = 4) y E > V 0 (E C (n = 5) y E D (n = 7).) Para las gráficas de la izquierda, el centro del potencial de pozo está indicado por las l´ıneas discontinuas verticales, mientras que las l´ıneas horizontales punteadas corresponden a la densidad de probabilidad clásica en un pozo infinito de ancho a(n = 1, 4) y 2a(n = 5, 7). Para la gráfica de la derecha, las l´ıneas punteadas verticales indican los valores de  kn (movimiento en el lado izquierdo del pozo) mientras que las l´ıneas de puntos verticales indican  qn (movimiento a la derecha) .

|

|

± ±

107

Richard W. Robinett

La diferencia dramática entre las funciones de onda en los lados izquierdo y derecho del potencial visto aqu´ı se volverá menos notoria a medida que aumente el eigenvalor de la energ´ıa, ya que para E n >> V 0 la presencia del potencial de paso tendrá un efecto cada vez menor. Las funciones de onda en el espacio de momentum correspondientes a estos dos casos, obtenidas por la transformada de Fourier como es habitual, tambi´ en se muestran en la Fig. 5.7 2 (lado derecho), donde el carácter simétrico de φn ( p) es nuevamente aparente. Para el caso E D (n = 7), hay caracter´ısticas obvias que corresponden tanto al movimiento hacia atr´ as y adelante en el lado derecho del pozo, con momenta p =  q (localización indicada por las l´ıneas de puntos verticales), as´ı como valores de momentum más grandes correspondientes a p  k (l´ıneas discontinuas) y movimiento (“atrás” o “adelante”) en la mitad izquierda del pozo. La correlación entre sus alturas, a saber, que los picos  q son más altos que los picos  k , es de nuevo consistente con encontrar a la part´ıcula m´ as frecuentemente con “movimiento” en el lado derecho del pozo. Para el caso n = 5, los dos picos  q se han fusionado, similar al caso n = 1 en la Fig. 5.5. on de Schrödinger y sus soluciones en el lado El caso V 0 > E > 0. Para este caso, la ecuaci´ izquierdo del pozo todav´ıa están dadas por la Ec. (5.18), mientras que para 0 < x < +a, tenemos

|

| ±

±

± ±

d2 ψ(x) =+ dx2



2m(V 0

− E )

 2



±

ψ(x) = q˜ 2 ψ(x)

(5.56)

donde q˜

≡



2m(V 0

− E )

 2

(5.57)

Las soluciones ahora son cualitativamente diferentes a las funciones oscilatorias sen( qx), cos(qx), ya que se pueden escribir en la forma ˜ cosh(˜ ˜ senh(˜ ψ(x) = B qx) + C qx)

para

0 < x < +a

(5.58)

correspondiente a combinaciones lineales de funciones exponenciales (exp( q˜x)). A diferencia del caso clásico, donde la part´ıcula no estar´ıa permitida en una regi´ on donde E < V 0 , existe una función de onda cuántica no nula (y probabilidad) en la región clásicamente prhibida. (Este mismo tipo de comportamiento se ve en la reflexión de ondas electromagnéticas en fronteras donde el ´ındice de refracción en el primer medio es más grande que en el segundo (n1 > n2 ) u ópticamente denso a ópticamente delgado. En este caso, todav´ıa existen campos5 distintos de cero en el medio 2, que se atenúan exponencialmente, las llamadas ondas evanescentes . El emparejamiento en condiciones de frontera/continuidad en x = +a y x = 0 sigue como antes, con la nueva condición de eigenvalor

±

k cos(ka) senh(˜ qa) + q˜ sen(ka) cosh(˜ qa) = 0

para

E < V 0

(5.59)

que también se puede resolver numéricamente. Los eigenvalores de energ´ıa para este caso tambi´ en se muestran en la Fig. 5.6 (los indicados con n = 1 4) y los gráficos de ψn (x) 2 versus x correspondientes a n = 1 (E A ) y 4 (E C ) se muestran en la Fig. 5.7. En esta región, el comportamiento de las funciones de onda cuánticas son muy similares al del pozo infinito estándar

−

5

Por ejemplo, ver Griffiths (1998).

|

|

108


(oscilando alrededor de la predicció n clásica P CL (x) = 1/a relevante para una part´ıcula restringida a la mitad izquierda del pozo), pero con una clara “cola” exponencial en la región clásicamente prohibida. El comportamiento de la funci´ on de onda cuántica en esta región se puede aproximar a partir de la solución aqu´ı como ˜ senh(˜ ψ(x) B q (a x)) exp(˜ q (a x)) = = ˜ senh(˜ ψ(0) exp(˜ qa) B qa)

−

−

− exp(−q˜ (a − x)) ≈ e−q˜x − exp(−qã)

(5.60)

o una supresión exponencial a medida que uno penetra en la región no clássica. Este comportamiento se puede escribir en la forma ψ(x) ψ(0)

≈ e−q˜x = e−x/L

donde

L

≡ 1q˜ =





2m(V 0

(5.61)

− E )

y L es una profundidad de penetración. Se considera que este efecto es de origen mecánico cuántico en una variedad de formas: Esta forma implica inmediatamente que si dejamos formalmente  0 como un l´ımite efectivo de la f´ısica clásica, entonces L 0, y la part´ıcula esta restringida a permanecer en el lado izquierdo del pozo.

→

→

La forma de la profundidad de penetración se puede entender a partir de un argumento heur´ıstico simple usando el principio de incertidumbre de energ´ıa–tiempo. Una part´ıcula con energ´ıa E < V 0 puede “fluctuar” a una que tenga energ´ıa E  V 0 , que está entonces “por encima” del potencial de paso; esto solo es plausible siempre que lo haga a lo largo de un intervalo de tiempo consistente con el principio de incertidumbre, ∆ E ∆t   . Dada esta “excursión”, la part´ıcula necesariamente tendrá una incertidumbre en su energ´ıa medida de ∆E = V 0 E , as´ı la fluctuación solo puede durar un tiempo ∆t  / V 0 E . Puede entonces, m´ o n clásicamente prohibida y “volver” as o menos , “entrar” a la regi´ nuevamente por la mitad del tiempo, es decir, ∆tafuera ∆tregreso E . Si  /2 V 0 2 asociamos una velocidad clásica de V 0 E = mv /2 durante este “movimiento”, dando v = 2 V 0 E /m, la part´ıcula podr´ıa viajar una distancia

·

| − |

 |

∼

| − |

− |

L

∼ ∆xafuera ∼ ∆tafuerav ∼

1 ∼ q˜ 2m V − E | 

 |

∼ | − | ∼ | − |

(5.62)

0

Aunque no debe tomarse como una prueba rigurosa en ning´ un sentido, este argumento (o dispositivo mnemotécnico) puntualiza una forma u ´til de pensar sobre la escala de longitud en la función de onda evanescente cuántica. Notamos que la penetració n en la región clásicamente prohibida en la Fig. 5.7 es claramente mayor para el estado n = 4 (estados de valor q˜ peque˜ nos, por lo tanto requieren menos “trampa”) que para el estado base n = 1.

109

Richard W. Robinett

5.4 5.4.1

Dependencia temporal de soluciones generales Sistema de dos estados

En todas las variaciones del problema del pozo infinito que hemos discutido, nos hemos centrado en las soluciones de estado estacionario y su interpretación f´ısica. Debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger, la soluci´ on más general dependiente del tiempo consistir´ a en una combinaci´ on lineal de cualquiera, o todas, de tales soluciones. En el caso del pozo estándar, por ejemplo, esto implica que ψ(x, t) =

∞


(5.63)

n=1

mientras que para el pozo sim´ etrico, ψ(x, t) =

∞ 

(+)

(+) iE n t/ a(+) + n un (x)e

−

(−)



a(n ) u(n ) (x)e iE n t/

− −

−

n=1 ( )

±

(5.64)

donde an o an son, por el momento, simplemente n´ umeros arbitrarios (posiblemente complejos). Como un simple ejemplo del desarrollo del tiempo más complicado posible con tales soluciones generales, consideremos que un sistema simple de dos estados (2 S ) consiste en una combinación igualmente ponderada de las eigenfunciones del estado base y el primer estado excitado del pozo simétrico, ψ 2S (x, t), es decir, ψ2S (x, t) = (+)

√

( )

−

√ 12



(+)

(+)

u1 (x)e−iE 1

t/

( )

−

(−)

+ u1 (x)e−iE 1



t/

(5.65)

es decir, a1 = a1 = 1/ 2. La consistencia de esta elección de normalización se aclarará en breve. Notemos que dichos estados pueden producirse experimentalmente cuando se excitan simult´ aneamente dos niveles de energ´ıa estrechamente espaciados de un sistema (por ejemplo, mediante un pulso de láser). Recuerde primero que (+)

E 1

=

2 2  π 8ma2

( )

−

E 1

=

4 2 π 2 8ma2

(5.66)

y (+) u1 (x)

1 πx = cos a 2a

√

 

( ) u1 (x)

−

1 πx = sen a a

√

 

(5.67)

La densidad de probabilidad para esta solución tiene una dependencia temporal no trivial, dado que P 2S (x, t) = ψ2S (x, t) 2 1 ∆Et (+) (−) (+) (−) = [u1 (x)]2 + [u1 (x)]2 + 2[u1 (x)][u1 (x)]cos 2 

|

( )

−

(+)



|

 

(5.68)

donde ∆E = E 1 E 1 = 3 2 π 2 /8ma2 as´ı este no es una solución de estado estacionario, sino una con periodicidad dada por τ = 2π  /∆E .

−

110


Es fácil demostrar que este estado está correctamente normalizado para todo el tiempo, dado que +a



−a

1 P 2S (x, t)dx = 2

+a



−a

1 +a (−) + [u1 (x)]2 dx 2 −a +a ∆Et (+) (−) + cos [u1 (x)u1 (x)]dx

(+) [u1 (x)]2 dx



   

1 1 = + + 0 = 1 2 2

−a

(5.69)

ya que las dos eigenfunciones se normalizan individualmente, y la integral que contiene el término cruzado se anula; este último hecho podr´ıa, en este caso, argumentarse que se debe a que el integrando es una función impar integrada en un intervalo simétrico, pero veremos en el siguiente cap´ıtulo que tiene un significado más profundo. Un cálculo sencillo (P5.16) muestra que la posición promedio de la part´ıcula descrita por esta función de onda oscila, alternando entre estar más o menos localizado en los lados derecho e izquierdo del pozo, especficamente +a

xt =



x ψ(2S ) (x, t) 2 dx = a

|

−a

|

    32 9π 2

cos

∆Et



(5.70)

que surge solamente del término cruzado en la Ec. (5.68). El correspondiente valor promedio del operador momentum se puede calcular del modo estándar, y uno encuentra +

 pˆt =

 ∞ −∞

∗ (x, t)ˆ dxψ2S pψ2S (x, t) =

    − 4  sen 3a

∆Et



(5.71)

que también es consistente con pˆ t = md x t /dt, como debe ser. La correspondiente densidad de probabilidad de espacio de momentum para este estado, obtenida tomando la transformada (±) de Fourier de cada espacio de posición un (x), muestra una estructura similar, ya que

 

1 φ2S ( p, t) = √ 2 lo que da



(+) (+) φ1 ( p)e iE 1 t/ +



−

( ( ) φ1 ( p)e iE 1

−

−

)

−



t/

(5.72)

P 2S ( p, t) = φ2S ( p, t) 2

|

1 = 2

|

|

(+) φ1 ( p) 2

| +|

( ) φ1 ( p) 2

−

|

(+) + 2Re[φ1 ( p)

∗ φ(−)( p)] sen 1

  ∆Et



(5.73)

Finalmente, el flujo de probabilidad se puede calcular usando la Ec. (4.32), y uno encuentra j2S (x, t) = F 2S (x)sen donde F 2S (x) =

 π

− 2ma2

    

  ∆Et 

   

πx πx 1 πx πx cos cos + sen sen 2a a 2 2a a

(5.74)

(5.75)

111

Richard W. Robinett

Figura 5.8: Evolución temporal de la función de onda de dos estados en la Ec. (5.65), en el pozo simétrico infinito. Se muestran la densidad de probabilidad del espacio de posición ( ψ(x, t) 2 versus x); la densidad de probabilidad del espacio de momentum ( φ( p, t) 2 versus p); y el flujo de probabilidad ( j(x, t) versus x) para varios tiempos durante el primer medio ciclo. Se muestran los valores esperados dependientes del tiempo de x t y pˆ t (como l´ıneas de puntos verticales) en las figuras respectivas.

|

|

|

|

   

Las densidades de probabilidad en el espacio de posición y en el espacio de momentum dependientes del tiempo resultantes, P 2S (x, t) versus x y P 2S ( p, t) versus p, as´ı como el flujo, se muestran en la Fig. 5.8 para varios tiempos durante medio ciclo. Las l´ıneas punteadas indican la localizaci´ on de los valores promedio de la posición ( x t ) y el momentum ( pˆ t ) en los gráficos respectivos. A medida que la densidad de probabilidad “se desplaza” de derecha a izquierda, el flujo es negativo en todas partes (corresponde al flujo de probabilidad hacia la izquierda), mientras que el valor promedio del momentum (la l´ınea de puntos vertical) tambi´ en indica “movimiento” hacia la izquierda, dado que pˆ t 0; este comportamiento luego se invierte en el segundo medio ciclo. Claramente, se permite un comportamiento más dinámico para estados generales dependientes del tiempo que para los estados estacionarios.



  ≤

5.4.2

Paquetes de ondas en el pozo infinito



Cap´ıtulo 6

El pozo infinito: Aspectos formales En el cap´ıtulo previo, nos concentramos en los aspectos f´ısicos más importantes de las soluciones de la ecuación de Schrödinger en varias versiones del pozo infinito, a saber, la cuantización de los niveles de energ´ıa en un potencial de confinamiento, la conexión entre las funciones de onda cuánticas (tanto en el espacio de la posición y del momentum) y sus análogos cl´ asicos, y paquetes de ondas. Pasamos ahora a examinar las propiedades más formales de las soluciones de los eigenestados de energ´ıa, a saber, las eigenfunciones de un operador Hamiltoniano. Muchas de estas propiedades se pueden generalizar inmediatamente para incluir las eigenfunciones de otros operadores Herm´ıticos. Iniciamos, sin embargo, introduciendo una sencilla pero u ´ til notación.

6.1

Notaci´ on Bracket de Dirac

Motivada inicialmente por la notación para los valores promedio utilizados antes, definimos el bracket de Dirac de una función de onda en el espacio de la posición +

ψ|ψ =

 ∞

dxψ ∗ (x, t)ψ(x, t)

(6.1)

−∞

Una función de onda correctamente normalizada tendrá entonces ψ ψ = 1. Este se extiende f´ acilmente para incluir las integrales de traslape de dos funciones de onda diferentes, es decir

 | 

+

ψ1|ψ2 =

 ∞ −∞

dxψ1∗ (x, t)ψ2 (x, t)

(6.2)

Notemos la sencilla relación

ψ1|ψ2∗ = ψ2|ψ1

(6.3)

puesto que tales integrales de traslape no son necesariamente reales; por otro lado, ψ ψ es evidentemente real y definido positivo para cualquier ψ . Una definición equivalente para la representaci´ on en el espacio del momentum es

| 

+

φ1|φ2 =

 ∞ −∞

dpφ∗1 ( p, t)φ2 ( p, t)

112

 | 

(6.4)

113

Richard W. Robinett

y el teorema de Parseval (Ec. (3.24)) garantiza que el bracket de Dirac de dos funciones de onda diferentes, ya sea evaluado en el espacio de la posición o del momentum, será igual pues +

φ1|φ2 =

 ∞  −∞∞ +

=

−∞

dpφ∗1 ( p, t)φ2 ( p, t) dxψ1∗ (x, t)ψ2 (x, t)

= ψ1 ψ2

 | 

(6.5)

Los valores esperados de los operadores son escritos como ˆ = ψO ˆψ = O

  | |

+

 ∞

ˆ dxψ ∗ (x, t)Oψ(x, t)

(6.6)

−∞

de modo que, en esta forma simplificada, un operador es Herm´ıtico si

ψ|Oˆ |ψ = ψ|Oˆ |ψ∗

(6.7)

De la Ec. (4.73), tambi´ en sabemos que los operadores Herm´ıticos satisfar´ an

ψ1|Oˆ |ψ2∗ = ψ2|Oˆ |ψ1

(6.8)

Además de ser de conveniencia tipográfica, la notación bracket de Dirac tiene un significado geométrico, que será discutido en el Cap´ıtulo 12.

6.2

Eigenvalores de operadores Herm´ıticos

La ecuació n básica de la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ˆ E (x) = EψE (x) Hψ

(6.9)

requiere que uno encuentre los eigenvalores de un operador Herm´ıtico, a saber el Hamiltoniano (recordemos P4.19). Los eigenvalores de la energ´ıa as´ı obtenidos son reales, el cual es un ejemplo de un resultado general: Los eigenvalores de un operador Herm´ıtico son números reales. ˆ Esto se prueba fácilmente considerando un operador Herm´ıtico A que satisface ˆ a (x) = aψ a (x) Aψ

(6.10)

donde trabajamos en una representació n del espacio de la posición por definición. Si multiplicamos ambos lados de la Ec. (6.10) por ψa∗ (x) (a la izquierda) e integramos, encontramos que

114


Aˆ = ψa Aˆ ψa =

   | | 

+

 ∞  −∞∞ +

=

−∞

ˆ a (x) dxψa∗ (x)Aψ dxψa∗ (x)aψa (x)

= a ψa ψa

 | 

(6.11)

de modo que a =

ψa|Aˆ|ψa ψa|ψa

(6.12)

que es obviamente real ya que Aˆ es Herm´ıtico. Como se esperaba, entonces, los eigenvalores asociados con operadores que corresponden a observables f´ısicos son reales; ejemplos familiares considerados hasta ahora incluyen los operadores de momentum y energ´ıa.

6.3

Ortogonalidad de las eigenfunciones de la energ´ıa

A partir del p ozo infinito est´ andar, se encontro que tuvimos que normalizar las eigenfunciones de la energ´ıa manualmente, debido a que la relación a

un|un =

 | 0

2 un (x) 2 dx = a

|

a

nπ x dx = 1 a

   sen2

0

(6.13)

no era una propiedad autom´ atica de las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Ahora notemos que el traslape de dos soluciones diferentes de este problema, esto es a

un|um =

 ∗      [un (x)] um (x)dx

0

2 a nπ mπ = sen x sen x dx a 0 a a sen[(m n)π] sen[(m + n)π] = + (m n)π (m + n)π = δ nm

− −

(6.14)

se anula si las eigenfunciones corresponden a diferentes eigenvalores, esto es, si n = m. En contraste con la Ec. (6.13), este hecho es aparentemente una consecuencia del hecho de que las eigenfunciones satisfacen la ecuación de Schrödinger. Podemos visualizar cómo se produce esto examinando los integrandos para un par de estados con n = 2, m = 3 en la Fig. 6.1; esta figura ilustra c´ omo el “área” total bajo el producto u n (x)um (x) de alguna manera conspira para anularse. Un resultado similar se puede ver mantenerse para el pozo infinito simétrico,



(−) u(+) n |um  = 0

para todo n, m,

(+) u(+) n |um  = δ nm

y

u(n−)|u(m−) = δ nm

(6.15)

115

Richard W. Robinett

Figura 6.1: El producto u m (x)un (x) versus x para el pozo infinito estándar para (n, m) = (2, 3). El u nm (x) esta normalizado, pero la integral de traslape es cero debido a cancelaciones; el “área bajo la curva” total se anula. donde la primera condición tambi´ en se desprende del hecho de que el integrando es el producto de una función par por una impar. De la Ec. (3.24), sabemos que los traslapes equivalentes de las funciones de onda en el espacio del momentum también cumplirán esta condición de ortonormalidad; por ejemplo, para el pozo infinito est´ andar debemos tener

φn|φm =

 ∞  −∞

[φn ( p)]∗ φm ( p)dp

+a

=

[un (x)]∗ um (x)dx

0

= un um = δ nm

 | 

(6.16)

Las integrales en el espacio del momentum tambi´ en pueden realizarse anal´ıticamente (P6.1) como un chequeo adicional. Finalmente, tambi´ en notemos que el pozo infinito no es especial en este aspecto como podemos demostrar (P6.2), despu´ es de un poco de álgebra, que las funciones de onda en el espacio de la posición del pozo “asimétrico” corresponden a diferentes energ´ıas también tienen traslape que se anulan. Podemos entonces decir que Dos funciones son ortogonales si su integral de traslape se anula, y no necesitamos especificar si trabajamos con funciones de onda en el espacio de la posición o el espacio del momentum a causa de la Ec. (3.24). Estamos encontrando que Las eigenfunciones de la energ´ıa forman un conjunto ortonormal , es decir, ellos son mutuamente ortogonales y normalizados (o se pueden hacer) bajo una forma generalizada del producto punto o interno (a saber, la integral de traslape). Este concepto es muy similar al caso de un conjunto de vectores unitarios en un espacio vectorial î , i = 1, , N , donde e î e ˆ j = δ ij o los más familiares vectores unitarios N dimensional, e x ˆ, ˆ y, zˆ mutuamente perpendiculares entre s´ı de la geometr´ıa tridimensional. Para ver que este fenómeno no se limita a las soluciones de la ecuación de Schrödinger, es decir, las eigenfunciones de un operador Hamiltoniano, considere las eigenfunciones del operador momentum ,

−

{

··· }

·

116


 dψ p (x)

pψ ˆ p (x) =

i

= pψ p (x)

dx

(6.17)

con soluciones ψ p (x) =

1 √ 2π eipx/ 



(6.18)

para cualquier valor real de la variable p. Estas soluciones tiene integrales de traslape dado por +

ψ p|ψ p  = 

=

 ∞  √ −∞  ∞ 1 2π 

∗  √

1 eipx/ 2π 

+



1 eip x/ dx 2π  



ei( p − p)x/ dx

−∞ = δ ( p − p )

(6.19)

que también se anula si los eigenvalores son diferentes. En este caso, la condición de normalización es apropiada para una designación continua. Por tanto, esta ortogonalidad generalizada no es aparentemente una propiedad espec´ıfica ya sea de la representación del espacio de la posición o del espacio del momentum, o aú n de las eigenfunciones de un Hamiltoniano, sino un resultado más general. Todas las funciones anteriores comparten la propiedad de que son eigenfunciones de algún operador Herm´ıtico, y el resultado más general que podemos derivar puede establecerse simplemente como Las eigenfunciones de un operador Herm´ıtico correspondientes a diferentes eigenvalores ser´ an ortogonales, ˆ que podemos probar como sigue: Considere dos eigenfunciones de un operador Herm´ıtico, A, correspondiente a dos eigenvalores distintos, ˆ a (x) = aψ a (x) Aψ

y

ˆ b (x) = bψ b (x) Aψ

(6.20)

donde a = b son ambos reales (de la Sección 6.2) ya que Aˆ es Herm´ıtico; trabajamos con las funciones del espacio de la posición por definición. Sabemos de la Ec. (6.8) que cualquier operador Herm´ıtico satisface la relaci´ on



ψ|Aˆ|φ = φ|Aˆ|ψ∗

(6.21)

as´ı podemos escribir

ψa Aˆ ψb =

 | | 

+

 ∞  −∞∞ +

=

−∞

mientras

ˆ b (x)] dxψa∗ (x)[Aψ dxψa∗ (x)bψb (x) = b ψa ψb

 | 

(6.22)

117

Richard W. Robinett

ψb |Aˆ|ψa∗ =

+

 ∞  −∞∞ −∞  ∞ ∗ +

=

∗

ˆ a (x)] dxψ ∗ (x)[Aψ b

∗

dxψ ∗ (x)aψa (x)

+

= a

−∞

b

dxψa∗ (x)ψb (x) = a ψa ψb

 | 

(6.23)

ya que a es real. Comparando estas dos cantidades vemos que 0 = ψa Aˆ ψb

 | |  − ψb|Aˆ|ψa∗ = (b − a)ψa|ψb (6.24) de modo que  ψa |ψb  = 0 si b =  a y las eigenfunciones son de hecho ortogonales si sus co-

rrespondientes eigenvalores son diferentes. (Notemos que si existen más de una eigenfunción correspondiente al mismo eigenvector, el conjunto de tales eigenfunciones se puede hacer ortogonal “manualmente”). El uso de los operadores Herm´ıticos, que naturalmente corresponden a los observables f´ısicos, induce automáticamente una rica estructura geométrica y algebraica en las soluciones de la ecuaci´ on de Schrödinger y otros sistemas, y haremos uso frecuente de estas propiedades.

6.4

Expansiones en eigenestados

Iniciando con nuestro ejemplo canónico del pozo infinito estándar, vimos que la solución general dependiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger podr´ıa escribirse como una combinación lineal de los eigenestados de la energ´ıa via ψ(x, t) =

∞


(6.25)

n=1

donde el an son (por el momento) constantes arbitrarias y posiblemente complejas. Deseamos explorar la interpretaci´ on f´ısica de los coeficientes de “expansión”, an . Primero notemos que si la solución esta apropiadamente normalizada, debemos tener a

1= ψψ =

|

 ∗   ∞ ∞ ∞ ∗ ∞ ∞ ∗ ∞ | |

ψ (x, t)ψ(x, t)dx

0

a

=

0

=


n=1

an am e−i(E m −E n )t/

n=1 m=1

=

∗  ∞ 



am um (x)e−iE m t/ dx

m=1 a

un (x)um (x)dx

0

an am e−i(E m −E n )t/ δ nm

n=1 m=1

1=

an

n=1

2

(6.26)

118


y los coeficientes de expansión deben satisfacer su propia condición de normalización. As´ı, vemos que Para una expansi´ on en los eigenestados de la forma en la Ec. (6.25) para ser propiamente normalizado, los an 2 que aparecen en la expansión deben sumar a la unidad.

| |

Mientras una part´ıcula en cualquier eigenestado de energa particular tendr´ a una energ´ıa definida de forma u ´ nica, esta solución general tiene un valor esperado para la energ´ıa dado por ˆψ = ψ E

| |

a

 ∗   ∞ ∞ ∞ ∗ ∞ ∞ ∗ ∞ | |

ˆ ψ (x, t)Eψ(x, t)dx

0

a

=

0

=

∂ i ∂t


n=1

an am E m e−i(E m

n=1 m=1

=

∗    ∞  −



am um (x)e−iE m t/ dx

m=1

a

E n )t/

un (x)um (x)dx

0

an am E m e−i(E m −E n )t/ δ nm

n=1 m=1

E ˆ  =

E n an

2

(6.27)

n=1

independiente del tiempo. As´ı, mientras que muchas de las propiedades importantes de tal estado general puede variar en el tiempo, por ejemplo, valores promedio de ˆx y p, ˆ el valor promedio ˆ , no lo hace. Resultados similares pueden obtenerse para cualquier del operador de energ´ıa, E potencia del operador de energ´ıa, ˆ k = ψ E ˆk ψ = E

  | |

∞

(E n )k an

| |2

n=1

(6.28)

y esto permite calcular la extensión de la energ´ıa, dado por ∆E =

 

ˆ2 E

 − E ˆ 2

(6.29)

para cualquier estado. Un estado general tal como la Ec. (6.25) tendrá ∆E = 0, a menos que, por supuesto, a n = δ nk , por lo que es en realidad un eigenestado de la energ´ıa. En conjunto, estos resultados implican que los cuadrados de los coeficientes de expansión están relacionados con la probabilidad de “encontrar” a la part´ıcula en uno de los eigenestados de la energ´ıa dada. Debido a que la cantidad medible asociada con las soluciones de la ecuación de Schrödinger es su eigenvalor de energ´ıa, tenemos la declaración más precisa,



En una expansión de una función de onda ψ(x, t) en términos de los eigenestados de la energ´ıa, an 2 es la probabilidad de que una medición de la energ´ıa de la part´ıcula descrita por ψ (x, t) producir´ a la energ´ıa E n como resultado de tal medición.

| |

ˆ en la Ec. (6.27) como un valor promedio Esta definición es consistente con la expresión para E de una distribución de probabilidad discreta. Dado que los an 2 son en s´ı mismos probabilidades

 

| |

119

Richard W. Robinett

reales (en contraste a, digamos, ψ(x, t) 2 , que es una densidad de probabilidad), ello debe ser adimensional.

|

|

Ejemplo 6.1. Energ´ ıa promedio en una expansi´ on de eigenestados: Con-

sidere el estado no normalizado en el pozo infinito estándar dado por ψ(x, t) = N





2u1 (x)e−iE 1 t/ + (1 − 2i)u2 (x)e−iE 2 t/ − 3iu3 (x)e−iE 3 t/

(6.30)

donde E n =  2 π 2 n2 /2ma2 . El factor de normalización N es determinado por el hecho de que 1=

∞ |

an

|2 = N 2(4 + 5 + 9) = 18N 2

(6.31)

n=1 √ as´ı N = 1/ 18. Las medidas repetidas de la energ´ıa de una colectividad de tales

estados sólo encontrar´ıan los valores E 1 , E 2 , y E 3 con probabilidades 2/9, 5/18 y 1/2, respectivamente; el valor promedio de la energ´ıa despu´ es de muchas de estas 2 2 2 ˆ medidas ser´ıa E = (35/12)( π )/ma o aproximadamente 5.83E 1 .

 

Esta misma interpretación para los coeficientes de expansión se mantendrá para cualquier expansi´ on en términos de los eigenestados de la energ´ıa (es decir, soluciones de la ecuación de Schrödinger), pero, una vez más, es mucho más general. Por ejemplo, hemos visto que los eigenestados del operador momentum se pueden escribir como ψ p (x) =

1 √ 2π eipx/ 



(6.32)

y podemos escribir una función general como una suma ponderada (continua) de tales soluciones via +

ψ(x) =

 ∞ −∞

=

φ( p)ψ p (x)dp

1 2π 

√

+

 ∞

φ( p)eipx/ dp

(6.33)

−∞

que es simplemente la transformada de Fourier. Los coeficientes de expansión en este caso son los φ( p) y tienen una designación continua, de modo que la probabilidad de hacer una medición de la observable f´ısica (en este caso del momentum) viene dado por Prob[( p, p + dp)] = φ( p) 2 dp

|

|

(6.34)

como se esperaba. Llegamos as´ı a argumentar: ˆ Si expandimos una función en términos de los eigenestados de un operador Herm´ıtico, A, es decir ψ(x) =

 a

ˆ a (x) = aψ a (x) ca ψa (x) donde Aψ

(6.35)

120


el cuadrado de los coeficientes de expansión, ca 2 , da la probabilidad de observar aquel estado con el valor del observable, a; tal expansión puede ser discreta o continua.

| |

Esta discusión puntualiza de nuevo la utilidad de tener muchas representaciones diferentes del mismo sistema mecánico cuántico. Ya hemos argumentado que la función de onda en el espacio de la posición, ψ(x), y la función de onda en el espacio del momentum, φ( p), son equivalentes en su contenido de información, y ahora podemos añadir a esta lista los coeficientes de expansión de un sistema cuántico en términos de algún conjunto de eigenestados de la energ´ıa, a saber, los an . Estos tres conjuntos de números dan información complementaria sobre las probabilidades de medición de la posición, momentum, y energ´ıa, respectivamente, de la part´ıcula descrita por ellos. Las diferentes descripciones tienen una estructura geométrica equivalente, ya que sus normas satisfacen

{ }

+

 ∞ |

2

+

ψa (x) dx =

|

−∞

 ∞ |

2

φa ( p) dp =

|

−∞

∞ |

an

n=1

|2 = 1

(6.36)

y los productos internos generalizados están relacionados por +

+

 ∞ ∗ −∞

ψa (x)ψb (x)dx =

 ∞ ∗ −∞

φa ( p)φb ( p)dp =

ψa (x) =

an un (x)

y

an bn

(6.37)

n=1

si

∞

∞ ∗

ψb (x) =

n=1

∞

bn un (x)

(6.38)

n=1

Hemos explorado en el Cap´ıtulo 4 cómo los valores promedios de los operadores de la posición y el momentum se pueden obtener en las representaciones ψ(x) y φ( p); la Sección 10.4 explora como tal informaci´ on se obtiene a partir de a n .

6.5

Postulado de expansi´ on y dependencia del tiempo

Ahora hemos visto que una combinación lineal arbitraria de soluciones de eigenestados de la energ´ıa (cada uno con su dependencia del tiempo trivial) tambi´ en será una solució n, y hemos encontrado una interpretación de los coeficientes correspondientes. Deseamos examinar si podemos invertir el proceso, a saber, si nos dan un estado inicial arbitrario (pero f´ısicamente aceptable), ψ (x, 0), si podemos expandirlo en términos de los eigenestados de la energ´ıa. Este procedimiento, si es posible, entonces nos permitir´ıa resolver el problema de valor inicial general, ya que la dependencia temporal resultante ser´ıa simplemente la de la Ec. (6.25). Para el pozo infinito, esto es el análogo mec´ anico cuántico de puntear una cuerda estirada en alguna configuración inicial y preguntar acerca de sus vibraciones futuras. Si formalmente escribimos ψ(x, 0) =

∞

n=1

an un (x)

(6.39)

121

Richard W. Robinett

podemos tratar de “invertir” “invertir” esto para encontrar encontrar los a los a n multiplicando ambos lados por u por u ∗m (x)dx y integrando. Encontramos a



u∗ (x)ψ (x, 0)dx 0)dx = = m

0

∞  ∞

a

an

n=1

=

um (x)un (x)dx

0

an δ nm = a m nm = a

(6.40)

n=1

Hemos retirado la conjugación on compleja en este caso porque los um (x) pueden hacerse reales. As´ As´ı, la contribuci´ contribu ción o n del m esimo eigenestado (u (um (x)) a la expansión o n de la función o n de onda inicial, ψ inicial, ψ((x, 0), viene dado por su superposición on mutua, definida por la integral de la Ec. (6.40). Otra similitud inmediata con un conjunto completo o conjunto base de de vectores unitarios es î , podemos extraer los por tanto evidente. Si escribimos un vector general como A = i Ai e coeficientes de expansión on via el producto interno como

−

ˆ j = A e

·

   · î Ai e

ˆ j = e

i

î e ˆ j ) = Ai (e

i

·

 

Ai δ ij ij = A j

(6.41)

i

Con algunos cambios triviales, esta expansión on tambi´ t ambién en funcio fu nciona na para pa ra el e l pozo po zo sim´ si métrico etr ico,, donde do nde escribimos ψ (x, 0) =

∞ 



an(+) un(+) (x) + an(−) un(−)(x)

n=1

con

( ) am

±

+a

=



−a

(±) um (x)ψ (x, 0)dx 0)dx

(6.42)

(6.43)

Esta expansión on en particular puede verse como formalmente for malmente idéntica entica a la expansión on de la serie de Fourier discutida discutida en la Sección on 2.2.2. Las únicas unicas diferencias son que el término ermino constante no está permitido debido a las condiciones de frontera en las paredes del pozo, y que la expansión en serie se define para anularse fuera del pozo. En general, las funciones de onda pueden ser complejas, de modo que para una expansión arbitraria ψ (x, t) =



an ψn (x)e−iE n t/

(6.44)

n

las integrales de traslape dan los coeficientes de expansión debe ser cuidadosamente escrita como +

an =

 ∞ ∗ −∞

ψn (x)ψ (x, 0)dx 0)dx

(6.45)

Por ultimo, u ´ ltimo, este proceso de inversión on no se limita a sumas de eigenestado eigenestadoss de la energ´ energ´ıa mientras la expansión on en eigenestados del momentum ψ (x) =

1 2π 

√

+

 ∞ −∞

φ( p) p)eipx/ dp

(6.46)

122


tiene el inverso bien conocido φ( p) p) =

1 2π 

√

+

 ∞

ψ (x)e−ipx/ dx

(6.47)

−∞

Tomados en conjunto, y generalizado para incluir los operadores Herm´ Herm´ıticos generales, genera les, estos resultados son ejemplos del llamado postulado de expansi´ on , que establece que Las eigenfunciones de un operador op erador Herm´ Herm´ıtico forman un conjunto completo ya que cualquier función on de onda admisible se puede expandir en tales eigenfunciones. Ejemplo 6.2. Por que malas funciones de onda son malas: Ejemplo 6.3. La caja en expansi´ on :

Si este problema parece algo artificial (el movimiento repentino de las paredes de un pozo infinito en un sistema microscópico opico es ciertament ciertamentee algo dif´ dif´ıcil de imaginar imaginar realizarlo realizarlo experimental), esto es representativo de una clase de problemas de la vida real interesantes en los que alg´ un un parámetro ametro del potencial sufre un cambio repentino; veremos un ejemplo más as realista en P17.8. Seguidamente mostramos cómo omo un paquete de onda Gaussiano se puede construir (aproximadamente) en el pozo infinito estándar andar usando el postulado de expansión. on. Ejemplo 6.4. Paquetes de onda de Gaussiano en el pozo infinito est´ andar :

6.6

Parida

6.7

Eigenfunciones simult´ aneas aneas

.

Cap´ıtulo 7

Scattering 7.1 7.1. 7.1.1 1

Scatte Scatterin ring g en sistema sistemass unidi unidimen mensio sional nales es Esta Estado doss ligad ligados os y no liga ligado doss

Además as del movimiento periódico odico clásico asico de part´ part´ıculas ligadas en los potenciales potenciales como se muestra muestra en la Fig. 5.2 (para la energ´ energ´ıa E 1 ), tambi´ tambi´ en en existe existe la posibilidad posibilidad de estados estados no ligados que no están an localizados en el espacio y no repetitivos en el tiempo; estos corresponden a part´ part´ıculas incidentes sobre el potencial y que posteriormente “rebotan” (energ´ (energ´ıa E 2 en la Fig. 5.2) o temporalmente cambian su rapides a medida que avanzan sobre el potencial p otencial (energ´ıa E ıa E 3 ). La mecánica anica clásica, asica, la cual resuelve para las trayectorias exactas en cualquiera de los casos, hace poca distinción on entre los lo s dos tipos de movimiento aparte de algunos detalles técnicos, ecnicos, tales como el uso de series de Fourier en el estudio del movimiento periódico. En la meánica anica cuántiantica, por el contrario, las realizaciones experimentales de estas dos clases de movimiento clásico son muy diferentes, de modo que el formalismo teórico y métodos etodos usados para analizarlos son necesariamente algo diferente. Una fuente principal de información on experimental en sistemas microscópicos opicos que nos permite probar las ideas de la mecánica anica cuántic anticaa es la espectr espectrosc oscopi opia, a, el estudi estudioo de estado estadoss ligados ligados y sus decaimientos radioctivos. Esto corresponde más as estrechamente a los estados ligados ya estudiados estudiados en los Cap´ Cap´ıtulos 5–10. La cuantizaci cuantizaci´ on oń de los niveles de energ´ energ´ıa para part´ part´ıculas ligadas en los potenciales pot enciales da lugar a un espectro discreto de fotones (u otras part´ part´ıculas) cuando los estados excitados decaen a los lo s niveles de energ´ıa ıa más ba jos. Un mapa preciso de las energ´ıas ıas de los fotones puede permitirnos p ermitirnos reconstruir el diagrama de nivel de energ´ energ´ıa, que, por p or supuesto, entonces conyevan información on sobre la naturaleza de las la s part´ıculas ıculas ligadas liga das y sus interacciones. Los experimentos experimentos de scattering cuántico, antico, sin embargo, hacen ha cen uso de técnicas ecnicas experimentales bastante diferentes. T´ıpicamente, un haz de part´ part´ıculas incidente es dirigido hacia un objetivo y las part´ıculas ıculas esparcidas son reco jidas (detectadas) y se cuentan en varias ubicaciones angulares. Una colección on de trayectorias clásicas asicas correspondientes a los movimientos no ligados, digamos como una función on de la energ´ıa ıa de la part´ıula ıula y del parámetro ame tro de impact imp acto, o, tambi´ tamb ién en permi pe rmitir´ tir´ıa ıa mapear la fuerza de scattering. En mecánica anica cuántica, antica, las trayectorias de las part´ part´ıculas son reemplazadas reemplazadas,, en el mejor caso, por el movimien movimiento to de un paquete paquete de onda probabil´ probabil´ıtico, pero las variaciones de la probabilidad de scattering a diferentes ángulos angulos y energ´ energ´ıas sigue dando información on sobre la naturaleza del potencial de scattering. Se discute el formalismo de la teor´ teor´ıa de scattering con mucho más as detalle d etalle en el Cap´ Cap´ıtulo 19, 123

124


pero encontramos u ´ tili aqui introducir algunas de las ideas y la notación del scattering en tres dimensiones antes de especializarse en problemas unidimensionales. En un experimento de scattering tridimensional, una intensidad dada de part´ıculas incidentes dN inci (7.1) dtdA es decir, el número de part´ıculas (dN inci ) incidente sobre un objetivo por unidad de tiempo ( dt) por unidad de área (dA), se puede asociar directamente con la probabilidad de flujo, definido en tres dimensiones via (3)

jinci (r, t) =



j(r, t) =

[ψ ∗ (r, t) ψ(r, t)

− ∇ψ∗(r, t)ψ(r, t)]

(7.2) 2mi que es una generalización evidente del resultado unidimensional en la Ec. (4,32). El número de part´ıculas esparcidas en un peque˜ no ángulo s´ olido dado (dΩ) en una posición angular espec´ıfica especificada por (θ, φ), por unidad de tiempo, como en la Fig. 11.1, se describe por

∇

dN espar (7.3) dtdΩ y sin duda dependerá de la intensidad incidente. Una razón apropiada que mide la probabilidad de un evento de scattering es (3) jespar (θ, φ) =

(3)

jespar (3) jinci

=



dN espar dtdΩ

 

dN inci dσ(θ, φ) = dtdA dΩ

/

(7.4)

on transversal diferencial para el scattering, dσ(θ, φ), que tiene las dimensioque define una secci´ nes de un área efectiva; esta cantidad se puede calcular a partir del conocimiento del potencial de scattering, V (r), y tambi´ en puede ser directamente comparado con el experimento. Para scattering cl´ asico “especular” (igual ángulo reflexivo), idealizado por el scattering de peque˜ nas masas (por ejemplo, el BBs o canicas) en formas más grandes y pesadas (por ejemplo, bolas de billar), la sección transversal diferencial da informaci´ on directa sobre el tama˜ no y la forma de los dispersores, por eso la noción de “área transversal” o sección transversal. En mecánica cuántica, las propiedades ondulatorias de los dispersores tambi´ en serán importantes y los análogos de tales efectos como la interferencia y la difracción serán evidentes. Para el scattering en dos dimensiones, la cantidad similar implica razones de part´ıculas incidentes por unidad de tiempo (dt) por unidad de longitud (dx) y el número de part´ıculas esparcidas por unidad de tiempo por unidad de ángulo (dθ), es decir, (2)

jespar (2)

jinci

=



dN espar dtdθ

  /

dN inci dσ(θ) = dtdx dθ

(7.5)

Esto es una “anchura” eficaz o tamaño lateral del objetivo por scattering a través de varios ángulos θ en el plano. En una dimensión, que consideramos en este cap´ıtulo, la situación geométrica es mucho más sencilla ya que hay sólo dos posibles direcciones. En este caso, las part´ıculas incidentes que siguen adelante son “transmitidas”, mientras aquellos sometidos a esparcirse hacia atras se llaman “reflejados”. Las partculas incidentes se describen por el número entrante por unidad de tiempo

125

Richard W. Robinett

dN inci dt con expresiones similares para los flujos esparcido (es decir reflejado) y transmitido, (1)

jinci =

(1)

jrefle =

dN refle dt (1)

y

(1)

jtrans =

dN trans dt

(7.6)

(7.7)

(1)

La raz´ on del flujo reflejado al incidente, jrefle /jinci es entonces el análogo de la sección transversal de scattering o el tamaño, pero sin dimensiones. Una descripcin del scattering en una, dos o tres dimensiones que involucran paquetes de onda (con conexiones obvias a las trayectorias de las part´ıculas clásicas) es posible, pero despus de nuestra discusión para las part´ıculas libres en el Cap´ıtulo 3, empezamos considerando los flujos (y sus razones) correspondientes al scattering de las soluciones de onda plana, ya que contiene la mayor parte de la f´ısica implicada. 7.1.2

Soluciones de onda plana

SCATTERING: Proceso en que las par´ıculas son deflectadas como resultado de una colisión. Scattering = diseminaci´ on, aspersión (salpicadura, rociada). Scatter = esparcir. Scattered = diseminado, desperdigado.

Ap´ endice A

126

Ap´ endice B

127

Ap´ endice C

N´ umeros complejos y funciones Debido a que el formalismo de la mecánica cuántica requiere la manipulación de variables complejas, se revisan aqu´ı algunas de las definiciones y fórmulas b´ asicas que gobiernan sus 1 umero complejo en general propiedades. La unidad imaginaria, i, se define via i = 1, y un n´ está dada por

√ −

z = a + ib

(C.1)

donde a, b en si mismos tienen valores puramente reales. Los valores de a y b se denominan las partes real e imaginaria de z , respectivamente; éstos se escriben a menudo en la forma a = Re(z)

y

b = I m(z)

(C.2)

Los n´ umeros complejos obedecen las relaciones algebraicas estándar. Por ejemplo, si z1,2 = a1,2 + ib1,2 , tenemos la adición y sustracción dada por z1

± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2)

(C.3)

mientras que la multiplicación se lleva a cabo utilizando la ley distributiva, dando z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1 a2

− b1b2) + i(a1b2 + a2b1)

(C.4)

Funciones más complicadas a menudo se pueden evaluar utilizando expanciones en serie. Por ejemplo, para θ real podemos escribir (iθ)2 (iθ)3 e = 1 + (iθ) + + + 2! 3! θ 2 θ 3 = 1 + +i θ + 2 3! iθ

···

−

  ··· −

eiθ = cos(θ) + i sen(θ)

utilizando las expanciones en serie en el Apéndice D.2. El complejo conjugado de un n´ umero complejo se define via √ 1 Los ingenieros a menudo utilizan la notación j = −1 128

 ···

(C.5)

129

Richard W. Robinett

z ∗ = a es decir, dejando que i

− ib

(C.6)

→ −i. Una relación u´til es |z|2 = zz∗ = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2

(C.7)

odulo, z , de un n´ que define el m´ umero complejo via

| |

|z | =



a2 + b2

(C.8)

Esta cantidad es el análogo del valor absoluto de un número real. Podemos hacer uso de la identidad (C.5) para escribir también a + ib = z = z eiθ = z cos(θ) + i z sen(θ)

||

||

(C.9)

||

donde θ se llama la fase o el argumento del n´ umero complejo z ; es dado por tan(θ) =

b Im(z) = a Re(z)

(C.10)

Esta forma para los n´ umeros complejos es útil ya que muestra que

|z1z2| = |z1||z2|

(C.11)

Obviamente tenemos z ∗ = z e−iθ , por lo que la conjugación compleja “invierte la fase” de z, pero mantiene su módulo fijo. Un n´ umero complejo con z = 1, es decir, de la forma z = e iθ , a menudo se dice que es “sólo una fase”. Un n´ umero complejo general puede ser representado como un punto (o vector) en el plano complejo, como se muestra en la Fig. C.1, y la adición y sustracci´ on pueden ser objeto de una interpretación vectorial. Algunas formulas u ´ tiles (para θ real) son

| |

| |

eiθ + e−iθ cos(θ) = 2

y

sen(θ) =

eiθ

− e−iθ 2i

(C.12)

que se derivan fácilmente combinando la Ec. (C.5) y su complejo conjugado. Uno también tiene cos(iθ) = cosh(θ)

y

sen(iθ) = i senh(θ)

(C.13)

Otras identidades trigonométricas familiares se prueban f´ acilmente usando la notaci´ on compleja. Por ejemplo, uno tiene

2sen

  −  α + β cos 2

α

β

2

= 2

ei(α+β)/2

− e−i(α+β)/2 2i

= sen(α) + sen(β ) Uno también tiene



ei(α−β)/2 + e−i(α−β)/2 2

 (C.14)

MC Robinett2E

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