Mec Nica Newtoniana

Mecánica Newtoniana

28 de febrero de 2018

Vectores 1. Encontrar Encontrar el ángulo ángulo entre entre dos vectores vectores de 10 y 15 unidades unidades de longitud, longitud, cuando su resultan resultante te tiene (a) 20 unidades de longitud y (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada. 2. Dos vecto vectores res forman forman un ángulo ángulo de 110◦ . Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40 ◦  con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma. 3. El vector vector resultante resultante de dos vectores vectores tiene tiene 10 unidades unidades de longitud y hace un ángulo de 35 ◦ con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.   = (5;45◦ ; 0◦ ) y B   = (10;   + B  , 4. Dados los vector vectores es A (10; 30◦ ; 70◦ )   en coordenadas esféricas. Hallar A   B   y A   B  . A

−

·

5. Tres vectores vectores situados situados en un plano, plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. longitud. El primero primero y el segundo ◦ forman un ángulo de 50 , mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75 ◦ . Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor. 6. Encontrar Encontrar la distancia entre entre los puntos P  puntos  P 1 (4, (4, 5, 7) y 7)  y  P 2 ( 3, 6, 12). 12). Escribir también la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos.

−

−

7. Demostrar Demostrar que si las magnitudes magnitudes de la suma y la diferencia diferencia de dos vectores vectores son iguales, iguales, entonces entonces los vectores son perpendiculares. 8. Demostrar Demostrar que si la suma y la diferencia diferencia de dos vectores vectores son perpendiculares perpendiculares,, los vectores vectores tienen tienen magnitudes iguales. 9. Dados los vector vectores es

 − 5 k

  = 3    A i + 4 j

y

  =   B i + j +  j  + 2  k.

 −

Encontrar: (a) La magnitud y dirección de su resultante.   B  . (b) La diferencia, de su vector A   y B  . (c) El ángulo entre A

−

10. Demostrar Demostrar que si dos vectores vectores tienen tienen la misma magnitud magnitud V  y V  y hacen un ángulo θ, su suma tiene una magnitud S  magnitud  S  =  = 2V  cos(θ/   cos(θ/2) 2) y  y su diferencia  D  = 2V  sin(θ/   sin(θ/2) 2)..

√ 27  −→ →a = 27 unidades  unidades según las direcciones de los vectores  − −→ −→  −→  −→ −→  −→  −→ −→ →a + −→b + −→c = 0  probar que  ( −→a × −→b ) = (−→b × −→c ) = (−→c × −→a ) 12. Si − 11. Descomponer Descomponer un vector vector v   de módulo i +  j ,  j  , b =  j + k  , c = k + i  .

1

−→

−→ −→ − −→

13. Sea el vector deslizante a = 2 i +  j 2 k  que pasa por el punto  P (3  P (3,, 1, 2). 2). Calcular el producto   vectorial del vector deslizante con el vector P A  siendo A  siendo  A(1 (1,, 0, 1) y 1)  y con el vector perpendicular al eje que pasa por los puntos  A(1  A (1,, 0, 1) y 1)  y  B (1, (1, 2, 1) cuyo 1)  cuyo módulo es 5.

−

 −→ −→ × −→c ) es  )  es igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo de aristas

14. (a) Demostrar Demostrar que a ( b a , b y c  . (b) Comprobar Comprobar que:

−→  −→  −→

 a a a  −→a (−→b × −→c ) =  bxx byy bzz   cx cy cz  −→  −→ −→ →c = −→i + 2−→ −→ →a = 2−→i + −→ (c) Aplicación Aplicación para  −  j ,  j  , b = i − 2 k  , −  j − k . →a  × (−→b × −→c ) = (−→a · −→c ) −→b − (−→a · −→b )−→c 15. Demostrar Demostrar la relación relación vectorial: vectorial: −

(1)

16. Demostrar Demostrar vectorialme vectorialmente nte que el ángulo inscrito inscrito en una semicircunfer semicircunferencia encia es recto. recto. 17. Dado el conjunto conjunto de 3 vectores vectores no coplanares coplanares 1

a

=

a1

,

a2

a2

×

,

a2

a3

2

, los vectores

a3

· × × = · × × = · × · se denominan vectores   recíprocos . Demostrar que a1

a3

a3

a1

a

a1

a2

a1

3

a3

, ,

(2)

a2

a

a1

a2

i

a

a3

ai

los valores 1, 2, 3.

 = 1  y que

i

a

·

a j

= 0  donde i  donde  i  y j  y  j  toman

18. Demostrar Demostrar que si en un tetraedro tetraedro dos pares de aristas aristas opuestas son perpendiculare perpendicularess también también lo son las otras dos. 19. Utilizando métodos vectoriales, vectoriales, encontrar: encontrar: a) La longitud de las diagonales de un cubo de lado  a.  a . b) Sus ángulos con los lados adyacentes. c) Sus ángulos con las caras adyacentes. d) El ángulo entre las diagonales. 20. Las caras caras de un tetrae tetraedro dro regula regularr son triángulo triánguloss equilá equiláter teros os de lado lado a. Encontrar, utilizando métodos vectoriales, el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta y la distancia de un vértice a la cara opuesta. Derivadas Halle f  (x)  usando la definición de derivada.

1. f ( f (x) = 7x15 + 8x 8x−7 . +1 2. f ( f (x) = xx− 1.

3. f ( f (x) =

2 x2

+

3 x3

+

5 . x5

4. f ( f (x) = 7x cos x. 5. f ( f (x) =

sin x+cos x sin x−cos x .

2

Demostrar que:

6. Si f  Si  f ((x) =

g (x) entonces  f  (x) h(x)   entonces f 

=





g (x)h(x)−h (x)g (x) . h2 (x)

7. Si f  Si  f ((x) =  a x entonces  f  (x) =  a x ln a. 8. Si f  Si  f ((x) = sin(x sin(x)  entonces f   entonces  f  (x) = cos(x cos(x). 9. Si f  Si  f ((x) = tan( tan(x)  entonces f   entonces  f  (x) = sec2 (x). 10. Si f  Si  f ((x) = sec(x sec(x)  entonces f   entonces  f  (x) = sec(x sec(x)tan(x )tan(x). Calcule f  (x).

√ x + 1.1.     √  12. f ( f (x) = 2 + 3 + x. x  11. f ( f (x) = cos

13. f ( f (x) = ln 14. f ( f (x) =

2

5

.

tan x2 tan2 x

15. f ( f (x) =  Ae kx (a sin x + b cos x)  con   A, k, a, b.  en Calcule f (n) (x) con n

∈

R

N:

+1 16. f ( f (x) = xx− si  n  = 2. 1 si n

17. f ( f (x) =  ax 3 + bx2 + cx + d  si  n  = 3. 18. f ( f (x) = sin ax. 19. f ( f (x) = cos ax. 20. f ( f (x) = ln x Hallar el vector unitario tangente a cualquier punto de la curva:

x  = t  =  t 2 + 1 y  = 2t

−1 z  = 3t2 − 2t Cálculo integral Calcule las siguientes integrales indefinidas:

 √ x2 dx.  (3x + 2)(5x 2. (3x 2)(5x + 1)2 dx.   3. (2sin x + ex )  dx.  dx .  (5x√ x − 3cos x)  dx. 4. (5x   2x+3 dx. 5. x −√  1.

3

2

x

Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivación:

6.

 (√ x3 + 1) dx. 1)  dx. 4

3

 y2√ y dy.   4x dx. 8. √  16 − x2   x2 +√ 3x 3x + 7 9. dx. x  √ x5x−4/3(x3 − 1) d 10. 1)  dx. x. 7.

3

Use el cambio de variable u  = g  =  g((x)  para calcular:

 cos3 x sin x dx, dx,  u =  u  = cos x.   12. x2 ex dx, dx,  u =  u  = x  x 3 .   13. √ xx+3 dx, dx,  u =  u  = x  x 2 + 3. 3.   14. sec4 x tan3 x dx, dx,  u =  u  = tan x   15. √  x dx, dx,  u =  u  = 25 − x4 . 11.

3

2

3

25−x4

Calcule mediante integración por partes:

 ln(ax ln(ax))  dx.  dx .   dx. 17. x eax dx.   18. √ xx+3 dx. dx.   19. x cos2 x dx. dx.   √  1  dx.. 20. x x + 1 dx 16.

2

Calcule las siguientes integrales definidas:

  π π  cos2x dx. 0 cos2x dx.   0 0 dx . 22. −3 9+2x 9+2x   2 2 dx. 23. 1 5x−x dx.   1 1 (2t + 1)4 dt. 24. 0 (2t dt.   a a √  √  dx. 25.  ( a − x)2 dx. 21.

3

0

Ejercicios adicionales

  π π ex cos ex dx. dx. 0   π π sin2x cos2x 27. Calcular Calcular   sin2x cos2x dx. dx. 26. Calcular Calcular

0

28. Hallar Hallar el área comprendid comprendida a entre la curva  y  = 6x

− x2 y el eje  OX   O X 

29. Hacer Hacer un esquema esquema de la región acotada acotada superiorment superiormentee por p or la curva curva  y  = x la curva y curva  y  = , y determinar su área. 4

 √ x  e inferiormente por

 1 dy 30. Una curva curva que pasa por el punto punto  (4,  (4 , )  posee una pendiente variable de = 3 dx a) Hallar la ecuación de la curva. b) Representar gráficamente la curva. c) Calcular el área bajo la curva en el intervalo  [0,  [0 , 1]. 1]. 4

 −2√ x(1 1+ √ x)2 .

Problemas de Cinemática 1. Un aeroplano, aeroplano, al partir, recorre recorre 600m 600 m, en 15s 15s. Suponiendo Suponiendo una aceleración aceleración constante constante calcular calcular la − 2 velocidad velocidad de partida. partida. Calcular Calcular también también la aceleració aceleración n en  ms . 2. Un cuerpo se mueve mueve con una velocidad velocidad inicial de 3  m/s  y una aceleración constante de 4  m/s  en la misma dirección de la velocidad. ¿Cuál es la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida al final de 7 s? Resolver el mismo problema para un cuerpo cuya aceleración tiene dirección opuesta de la velocidad. Escribir la expresión del desplazamiento en función del tiempo. 3. Un auto viaja a lo largo de la línea OX  con OX  con un movimientouniformemente acelerado. En los tiempos t1 y t2 , sus posiciones son x1 y x2 , respectivamente. Demostrar que su aceleración es t −x t a  = 2  x t t (t −t ) 2 1

1 2

1 2

2

1

4. Dos autos, A y B, se mueven mueven en la misma misma dirección. dirección. Cuando t  = 0, sus velocidades respectivas son 1 pie/s y 3 pies/s, y sus respectivas aceleraciones son 2  pies/  pies/s2 y 1 pie/ pie/s2 . Si el auto A se encuentra 1,5 pies delante del auto B cuando  t  = 0, calcular cuándo se encontrarán lado a lado. 5. Una bola se lanza lanza direct directame ament ntee hacia hacia arriba arriba,, con una rapide rapidezz inicia iniciall de 8.00 8.00 m/s, m/s, desde una altura de 30.0 m 30.0  m.. ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo? 6. Un cuerpo que cae recorre 224 pies en el último segundo segundo de su movimien movimiento. to. Suponiendo Suponiendo que el cuerpo partió del reposo, determinar la altura desde la cual cayó el cuerpo y qué tiempo le tomó llegar al suelo. 7. Una piedra es lanzada verticalme verticalmente nte hacia arriba desde desde el techo techo de un edficio con una velocidad velocidad de 29,4 m/s. Otra piedra se deja caer 4 s después que se lanza la primera. Demostrar que la primera piedra pasará a la segunda exactamente 4 s después que se soltó la segunda. 8. Se deja caer una piedra desde desde lo alto de un edificio. El sonido de la piedra al chocar con el suelo se escucha 6,5 s más tarde. Si la velocidad del sonido es de 343 m/s, calcular la altura del edificio. 9. Un proyect proyectil il se dispara dispara en tal forma forma que su alcanc alcancee horizo horizont ntal al es igual igual a tres tres veces veces su altura altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección? 10. Un jugador de futbol patea una roca horizonta horizontalmen lmente te de un montículo montículo de 40.0  m  de alto en un estanque. estanque. Si el jugador escucha escucha el sonido sonido del chapoteo 3.00  s  después, ¿cuál fue la rapidez inicial dada a la roca? Suponga que la rapidez del sonido en el aire es 343  m/s.  m/s . 11. Una partícula partícula se mueve mueve a lo largo del eje x. Su posición posición está dada por la ecuación ecuación  x =  x  = 2+3t 2+3t 4t2 , con x con  x  en metros y  t  en segundos. Determine: a) Su posición cuando cambia de dirección. b) Su velocidad cuando regresa a la posición que tenía en  t  = 0.

−

12. Un cuerpo cuerpo se mueve mueve a lo largo de una recta recta de acuerd acuerdoo a la ley v =  t 3 + 4t 4 t2 + 2. 2 . Si x  = 4  pies cuando t cuando  t  = 2  s, encontrar el valor de  x  cuando t  cuando  t  = 3  s. Encontrar también su aceleración. 13. 13. La acel aceler erac ació ión n de un cuer cuerpo po que que se muev ueve a lo larg largoo de una una líne líneaa rect rectaa está está dada dada por a = 2 2 4 t , donde a  se da en m/s y t  en segundos. Encontrar las expresiones de la velocidad y el desplazam desplazamien iento to en función función del tiempo, suponiendo suponiendo que para  t  = 3  s,  v  = 2 m/s  y  x  = 9  m.

−

14. Un cuerpo se mueve mueve a lo largo de una recta. Su aceleración aceleración está dada por  a =  a  = 2x, donde x donde  x  está 2 en pies y a en pies en  pies/ /s . Encontrar la relación entre la velocidad y la distancia, suponiendo que cuando x cuando  x  = 0,  v  = 4 pies/ pies /s.

 −

15. La aceleración aceleración de un cuerpo que se mueve mueve a lo largo de una línea recta está dada por  a =  a  = K v 2 , donde K  es K  es una constante y suponiendo que cuando t  = 0, v =  v 0 . Encontrar la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo. Encontrar también  x  en función de  t  y  v  en función de  x.  x .

 −

5

16. Para Para un cuerpo en movimien movimiento to rectilíneo rectilíneo cuya cuya aceleración aceleración está dada por  a =  a  = 32 4v  (las condiciones iniciales son x  = 0 y v  = 4  cuando  t  = 0), encontrar v  en función de t, x  en función de t y  x  en función de  v .

−

17. Un cuerpo cae libremen libremente. te. Demostrar Demostrar que la distancia distancia que recorre durante durante el enésimo enésimo segundo es 1 (n 2 )g

−

18. Dos proyectil proyectiles es se lanzan lanzan verticalmen verticalmente te de abajo a arriba con 2 seg. de intervalo, intervalo, el primero primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con la velocidad inicial de 80 m/s. ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la misma altura? ¿A qué altura sucederá? ¿Qué velocidad tendrá cada uno en es momento? Tómese  g  = 9, 8  m/s 19. Una pelota pelota resbal resbalaa por un tejado tejado que forma un ángulo ángulo de 30o con la horizontal y al llegar a su extremo, queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado 30 m. Calcular: a) Las ecuaciones del movimiento de la pelota al quedar en libertad y la ecuación de la trayectoria. b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta? c) La posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de  45 o con la horizontal. 20. En un río cuya cuya anchu anchura ra es de 10 m y cuyas cuyas aguas llevan llevan una veloci velocidad dad constan constante te de 18 Km/h Km/h 1 intenta cruzar un fuera-borda, cuyo motor le impulsa con una aceleración constante de m/s2 . 30 Suponiendo que la posición del fuera-borda sea siempre perpendicular a las orillas. Calcular: El tiempo que tardará en cruzar. b) La desviación de la normal a la orilla que sufrirá el fuera-borda al cruzar el río. c) La ecuación del movimiento. 21. Las gotas de lluvia que caen verticalme verticalmente nte sobre el suelo suelo marcan marcan huellas huellas sobre las ventanill ventanillas as o laterales de un automóvil, cuya velocidad es de 60 Km/h, inclinados α = 45 respecto a la vertical. Calcular: a) La componente horizontal de la velocidad de una gota respecto al suelo y respecto al automóvil. b) La velocidad de las gotas respecto al suelo y respecto al automóvil. 22. Un automoto automotorr parte parte del reposo, reposo, en una vía circul circular ar de 400 m de radio, y va mo movié viéndo ndose se con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50 segundos de iniciada su marcha, alcanza la velocidad de 72 Km/h desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: a) La aceleración tangencial en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal, la aceleración toral y la longitud de la vía recorrida en ese tiempo, en el momento de cumplirse los 50 segundos. c) La velocidad angular media en la primera etapa, y la velocidad angular al cabo de 50 segundos. d) El tiempo que tarda el automotor en dar 100 vueltas al círculo. 23. Dos móviles móviles parten del mismo mismo punto punto de una circunferenci circunferenciaa y tienen tienen la misma misma velocidad velocidad inicial inicial vo  aunque salen en sentidos opuestos. Uno de los movimientos es acelerado y el otro retardado, pero el módulo de su aceleración y desaceleración respectivamente es el mismo. a) Calcular el valor de at  sabiendo que el móvil dotado de movimiento retardado en el instante del encuentro lleva velocidad nula. b) Hallar la aceleración toral de cada uno de los móviles en el momento del encuentro. 24. Un cuerpo, inicialme inicialmente nte en reposo ( θ  = 0  y  ω  = 0  cuando t  cuando  t  = 0) es acelerado en una trayectoria circular de 1,3 m de radio de acuerdo a la ecuación  α  = 120t 120t2 48 48tt + 16. 16. Encontrar la posición angular y la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo, y las componentes tangencial y centrípeta de su aceleración.

−

25. Un punto punto se mueve mueve en un círculo de acuerdo a la ley s  =  t 3 + 2t 2 t2 , donde s  se mide en pies a lo largo del círculo y  t  en segundos. Si la aceleración total del punto es  16  1 6 2 pies/ pies/s2 cuando t cuando  t  = 2 s, calcular el radio del círculo.

√ 

26. Una partícula partícula se está moviendo moviendo en un círculo de acuerdo a la ley  θ  = 3t2 + 2t  donde θ  donde  θ  se mide en radianes y t y  t  en segundos. Calcular la velocidad angular y la aceleración angular después de 4 s.

6

27. La posición de una partícula partícula en el tiempo tiempo  t  está dada por  x  = A  =  A sin ωt. ωt. Encontrar Encontrar su velocidad velocidad y aceleración en función de  t  y de x de  x.. 28. Un móvil situado situado inicialmen inicialmente te en el origen de coordenadas coordenadas tiene una velocidad inicial inicial vo   en el sentido positivo del eje x, simultáneamente se le comunican dos aceleraciones constantes, una dirigida en el sentido de las x  negativas y otra en el sentido positivo del eje 0y. El módulo de ambos es a. Encontrar: a) La trayectoria del móvil. b) Las coordenadas del punto en que la velocidad sea mínima y calcular esta velocidad mínima. 29. Un punto se está moviend moviendoo con velocidad velocidad constante constante de 3 pies/s. pies/s. La velocidad velocidad tiene una dirección dirección tal que hace un ángulo de (π/2) π/2)tt  radianes con el eje positivo de las X . Si x = y = 0  cuando t  = 0, encontrar la ecuación de la trayectoria de la partícula. 30. Las coordenadas coordenadas de un cuerpo en movimien movimiento to son  x =  x  = t  t 2 ,  y  = (t 1)2 . (a) Encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria. (Ayuda: eliminar  t de  t  de las ecuaciones.) (b) Representar la trayectoria. (c) ¿Cuándo tiene la velocidad mínima? (d) Encontrar las coordenadas cuando la velocidad es 10 pies/s. (e) Calcular las aceleraciones tangencial y normal en cualquier instante. (f) Calcular las aceleraciones tangencial y normal cuando  t  = 1  s.

−

31. Encontrar Encontrar el radio de curvatura curvatura en el punto punto más alto de la traycetoria traycetoria de un proyectil proyectil disparado disparado haciendo haciendo un ángulo ángulo inicial inicial  α  con la horizontal.

 −→

32. Demostrar Demostrar que para un movimien movimiento to plano bajo aceleració aceleración n constant constantee a , se cumple la siguiente relación:

−→ · −→ − −→ ro )

v 2 = v o2 + 2 a ( r y

−→r = 1 (−→v + −→ → vo )t + − ro 2

33. Encontrar la magnitud de la velocidad y la aceleración de la tierra en su movimiento movimiento alrededor del sol. El radio de la órbita terrestre es de  1,  1 , 49 1011 m  y su periodo de revolución es de  3,  3 , 16 107 s.

×

×

34. La tierra tierra rota rota uniform uniformeme ement ntee con respecto respecto a su eje con una velocida velocidad d angula angularr ω = 7, 292 5 1 − − 10 s . Encontrar, en función de la latitud, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre.

 ×

35. Un disco disco de radio radio  R  rueda a lo largo de un plano horizontal. Demostrar que en cada instante la velocidad de cada punto es perpendicular a la línea que une el punto con el punto de contacto del disco y el plano. Si  ρ  es la distancia entre estos dos puntos, demostrar que la magnitud de la velocidad del punto que se mueve es  ωρ  ω ρ. ¿Qué conclusiones obtiene usted de estos resultados? 36. Una partícu partícula la se muev muevee a lo largo de la curva curva x = 2t2 , y = t2  4t  4 t, z = 3t  5,  5 , donde t  es el tiempo. Hallar las componentes de su velocidad y aceleración en la dirección dada por el vector r = i 3  j + 2 k   cuando t cuando  t  = 1

−

−

− −→ −→  −→ − →

37. Un móvil que parte del origen de coordenadas coordenadas recorre la parábola x2 = 2y, en que x y y  están expresados en metros, de tal forma que la proyección del movimiento sobre el eje x  es un movimiento uniforme con velocidad vo = 2  m/s. Hallar, al cabo de t = 2  seg.: a) El módulo de la velocidad. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración. c) El radio de curvatura para el instante considerado.

√ 

1 38. Un móvil describe describe una trayector trayectoria ia dada por las ecuaciones ecuaciones  x =  x  = pt  pt y  y y  y  =  pt2. Determinar: a) La 2 velocidad y aceleración del móvil. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración. c) El radio de curvatura.

7

39. Una partícula partícula se mueve mueve en el espacio con una velocidad velocidad dada por:

→  1 − −→v = et−→i + mt2−→  j − t3 k

(3)

3

siendo m siendo m una  una constante. Calcular: a) El vector de posición de la partícula en función de  t,  t, sabiendo que en el instante t  = 0  la partícula se encuentra en el punto (0, (0, 0, 1). 1). b) El radio de curvatura de la trayectoria en  t  = 0. c) El valor de la constante  m  para que la trayectoria fuera plana. 40. Un disco disco de radio radio R  R rueda  rueda con velocidad constante  v0  a lo largo de un plano horizontal. Demostrar que la posición de cualquier punto sobre su borde está dado por las ecuaciones  x =  x  = R  R((ωt sin ωt) ωt ) y y =  y  = R  R(1 (1 cos ωt) ωt ), donde ω donde  ω =  = v  v o /R es /R es la velocidad angular del disco y  t se  t  se mide desde el instante en que el punto se encuent encuentra ra en contacto contacto con el plano. plano. Encontrar Encontrar también también las componentes componentes de la velocidad y la aceleración del punto.

−

−

Problemas de Dinámica 1. Un aeroplan aeroplanoo A como como se muestr muestraa en la figura figura vuela hacia hacia el Norte Norte a 300 millas millas por hora hora con 0 respecto a la tierra. Simultáneamente otro avión B vuela en la dirección N60 W a 200 millas por hora con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad de A con respecto a B y de B con respecto a A.

2. La velocidad velocidad del sonido sonido en aire quieto quieto a 25 0 C es de 358 m/s. Encontrar la velocidad medida por un observador que se mueve a 90 Km/h a) alejándose de la fuente, b) acercándose hacia la fuente, c) perpendicular a la dirección de propagación en el aire, d) en una dirección tal que el sonido parece propagarse perpendicularmente a la dirección del observador. Suponer que la fuente se encuentra en reposo relativo a la tierra. 3. Dos trenes, trenes, A y B se desplaza desplazan n en rieles rieles parale paralelos los a 70 Km/h Km/h y a 90 Km/h, Km/h, respectiv respectivame ament nte. e. Calcular la velocidad relativa de B con respecto a A, cuando: a) se mueven en la misma dirección, b) cuando se mueven en direcciones opuestas, c) resolver el problema anterior si los rieles hacen entre si un ángulo de 60 0 . 4. Dos autos que se desplazan desplazan en caminos caminos perpendiculares perpendiculares viajan hacia el norte y el este respectivamente. Si sus velocidades con respecto a la tierra son de 60Km/h y de 80Km/h, calcular su velocidad relativa. ¿Depende la velocidad relativa de la posición de los autos en sus respectivos caminos? Repetir el problema, suponiendo que el segundo auto de desplaza hacia el oeste. 5. Una partícu partícula la con una veloci velocidad dad de 500 500m/s m/s con respecto respecto a la tierra tierra se dirige dirige hacia hacia el sur a 45 0 latitud N. a) Calcular la aceleración centrífuga de la partícula. b) Calcular la aceleración de Coriolis de la partícula. c) Repetir el problema para la posición de 45 0 latitud latitud S. 6. Un revólver revólver cuya masa es de 0.80Kg dispara una bala cuya masa es de 0.016Kg con una velocidad de 700m/s. calcular la velocidad de retroceso del revolver. 7. Una partícu partícula la de 3.2kg 3.2kg de masa se muev muevee hacia hacia el oeste con una veloci velocidad dad de 6.0m/s 6.0m/s.. Otra Otra partícula de 1.6kg de masa se desplaza hacia el norte con una velocidad de 5.0 m/s. Las dos partículas interactúan. Después de 2 segundos la primera partícula se mueve en la dirección 8

N30o E con una velocidad de 3.0m/s. Encontrar: (a) la magnitud y dirección de la velocidad de la otra partícula, (b) el momento lineal total de las dos partículas tanto al comienzo como al final de los 2 segundos, (c) el cambio en el momento lineal de cada partícula, (d) el cambio en la velocidad de cada partícula y (e) las magnitudes de esos cambios en velocidad. 8. Un autóvil autóvil cuya masa es de 1000Kg sube por un camino cuya cuya inclinación inclinación es de 20 0 . Determinar la fuerza que ha de ejercer el motor si el auto debe moverse a) con movimiento uniforme, b) con aceleración de 0.2 m/s 2 . Encontrar también en cada caso la fuerza ejercida sobre el automóvil por el camino. 9. Una partícula partícula cuya cuya masa es de 0.2kg se está moviendo moviendo a 0.4m/s a lo largo del eje  X  cuando  X  cuando choca con otra partícula, de masa 0.3kg, que se encuentra en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve a 0.2m/s en una dirección que forma un ángulo de 40 o grados con el eje X . Determinar (a) la magnitud y la dirección de la velocidad de la segunda partícula después del choque y (b) el cambio en la velocidad y el momento lineal de cada partícula. Verificar la relación m2 ∆v1 = m1 ∆v2

 | |

| |

10. Encon Encontra trarr el momento momento adquirid adquiridoo por una masa masa de 1g, 1kg y 100 Kg cuando cuando cada una de ellas ellas car desde una altura de 100m. Considerando que el momento adquirido por la tierra es igual y opuesto, determinar la velocidad (hacia arriba) adquirida por la tierra. La masa de la tierra es 5,98 1024 . Determinar la magnitud de la fuerza en cada caso.

∗

11. Dos carros, carros, A y B, se empuja empujan n uno hacia hacia el otro. El primer primer carro carro se mueve mueve hacia hacia la derecha derecha a 0.5m/s mientras que el segundo carro se encuentra en reposo. Después de choque el primer carro rebota a 0.1m/s, mientras que el segundo carro se mueve hacia la derecha a 0.3m/s. En un segundo experimento, el primer carro está cargado con una masa de 1kg y se dirige hacia el segundo con una velocidad de 0.5m/s. después de la colisión, el primer carro permanece en reposo, mientras que B se desplaza hacia la derecha a 0.5m/s. encontrar la masa de cada carro. 12. Dos objetos, A y B, se mueven sin fricción en una línea horizontal, horizontal, donde interactúan. El momento momento de A es pA = po  bt,  bt, siendo po  y b constantes y t el tiempo. Encontrar el momento de B en función del tiempo si (a) B se encuentra inicialmente en reposo y (b) el momento inicial de B fue  po.  po.

 −

−

13. Una granada que se desplaza desplaza horizontalmen horizontalmente te a una velocidad velocidad de 8km/s con respecto respecto a la tierra explota en 3 segmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente a 16km/s, otro se desplaza hacia arriba haciendo un ángulo de  45 o con la horizontal y el tercero se desplaza haciendo un ángulo de 45 o bajo la horizontal. Encontrar la magnitud de las velocidades del segundo y tercer fragmentos. 14. Un vagón vagón vacío vacío cuya cuya masa es de  10 5 kg pasa a una velocidad de 0.5m/s bajo un deposito estacionario de carbón. Si se dejan caer 2 105 kg de carbón en el vagón. (a) Cuál es la velocidad del vagón? (b) Cual es la velocidad del vagón si el carbón sale del vagón mediante orificios en el suelo y el carbón cae verticalmente con respecto al vagón. (c) Suponiendo que fuera posible lanzar todo el carbón de una sola vez por detrás del vagón de modo que el carbón quede en reposo con respecto a la tierra, calcular la velocidad resultante del vagón. (d) en qué condiciones se tendría el mismo resultado que en (c) si el carbón fuese lanzado haciendo un ángulo con respecto al vagón de movimiento?

∗

15. Que fuerza constant constantee se requiere requiere a fin de aumentar aumentar el momento momento de un cuerpo de 2300kg.m/s 2300kg.m/s a 3000kg.m/s 3000kg.m/s en 50 segundos? segundos? 16. Calcular Calcular el momento momento cinético cinético de un sistema sistema de dos partículas partículas A1 y A2  cuyas masas respectivas son m1 = 3gr y m2 = 5gr, gr , con respecto al centro de masas del sistema, en un instante en que las posici p osiciones ones y velocidade velocidadess respectiv respectivas as están dadas por: 9

r1  = (2, (2, 0, −1)c 1)cm. r2  = (−2, 2, 3)cm. 3)cm. −→ → − v1 = (1, (1, 1, 1)cm/s 1)cm/s v2 = (−1, 2, 0)cm/s 0)cm/s

(4)

Calcular también la energía cinética del sistema respecto al centro de masas. 17. Un automóvil automóvil tiene una masa de 1500kg y su velocidad velocidad inicial inicial es de 60km/hr. 60km/hr. Cuando se aplican los frenos se produce una desaceleración constate, y el auto se detiene en 1.2 minutos. Determinar la fuerza aplicada al auto. 18. Durante Durante qué tiempo debe actuar una fuerza fuerza constate de 80N sobre un cuerpo cuerpo de 12.5kg a fin de detenerlo, considerando que la velocidad inicial del cuerpo es de 72km/hr? 19. Calcular Calcular el centro de masas y la velocidad velocidad del mismo, en el sistema sistema de masas m1  = 2K g r1  = (3t, (3t, 0, 4) m2  = 6K g r2  = (3 + t, t2 , 1) m3  = 1K g r3  = (0, (0, t2 + t, t)

(5)

20. Un cuerpo cuerpo con una masa masa de 10g cae desde una altura altura de 3m en una pila pila de arena. arena. El cuerpo cuerpo penetra una distancia de 3cm en la arena hasta detenerse. ¿Qué fuerza ha ejercido la arena sobre el cuerpo? 21. Un ascensor ascensor cuya masa es de 250kg lleva lleva tres person p ersonas as cuyas masas son 60kg. 80kg y 100kg, y la fuerza ejercida por el motor es de 5000N. ¿Con que aceleración subirá el ascensor? ¿Partiendo del reposo que altura alcanzará en 5 segundos? 22. Suponer en el problema previo que el hombre hombre de 100kg de masa esta parándose sobre una balanza. balanza. ¿Cuánto mide la balanza a medida que el ascensor acelera? 23. Un ascensor ascensor vacío vacío de una masa de 5000Kg se desplaza desplaza verticalm verticalment entee hacia abajo con una aceleración constante. Partiendo del reposo, recorre 100 pies en los primeros diez segundos. Calcular la tensión en el cable que sostiene el ascensor. 24. Una masa de 200 gramos se desplaza desplaza con una velocidad velocidad constant constantee v = 50 50u ux   cm/s. Cuando la masa se encuentra en r  = 10 10u ux  cm, actúa una fuerza constante F  = 400 400u ux  dinas sobre ella. Determinar: (a) el tiempo en que se detiene la masa y (b) la posición de la masa en el instante que se detiene.

 −

 −

25. Una partícu partícula la de masa masa m =  10Kg, sometida a la acción de una fuerza P   P   = (120t (120t  + 40)N  40)N ,, se desplaza en una trayectoria rectilínea. Cuando t  = 0  la partícula se encuentra en xo = 5m, con una velocidad  v o 6m/s. Encontrar Encontrar su velocidad velocidad y posición posición en cualquier cualquier instante instante posterior. posterior. 26. Tres cuerpos cuerpos A, B y C que están están unidos unidos median mediante te cuerda cuerdass inexte inextensi nsible bless y sin peso, tienen tienen de masas respectivas  m a = 10 10K K g,  m b  = 15 15K K g,  m c  = 20 20K K g . Se le aplica al cuerpo A una fuerza de 50N. Calcular la aceleración de cada uno de los cuerpos, así como las tensiones de las cuerdas que los unen. Repetir el problema cuando el sistema se mueve verticalmente en vez de hacerlo en un plano horizontal. (g = 10m/s 2 ). 27. Determina Determinarr la aceleració aceleración n con la cual se mueven mueven las masas  m y  m  y m  m   de la siguiente figura. Suponer que la rueda rota libremente alrededor de  O  y despreciar despreciar cualquier cualquier efecto que pueda deberse a la masa de la rueda.

10

28. Un cuerpo cuya masa es de 2kg se desplaza desplaza sobre una superficie superficie horizontal horizontal lisa bajo la acción de 2 una fuerza fuerza horizonta horizontall F  = F  = 55 + t +  t donde F se expresa en newtons y t en segundos. Calcular la velocidad de la masa cuando t=5s (el cuerpo se encontraba en reposo en t=0) 29. Un bloque de 20Kg asciende asciende por un plano inclinado inclinado que forma forma un ángulo de 30 0 con la horizontal, con una velocidad de 12m/s. Se sabe que el cuerpo llega al punto de partida con una velocidad de 6m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento entre plano y cuerpo. 30. Dos bloques bloques de masas masas  m 1 y  m 2 , apoyados el uno contra el otro, descansan sobre un suelo perfectamente liso. Se aplica al bloque  m 1  una fuerza F  fuerza  F  horizont horizontal al y se pide: a) Acelerac Aceleración ión con la que se mueve el sistema. b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. Resolver el mismo problema para el caso en que el coeficiente de rozamiento de los bloques con el suelo sea 0.2. Considerar m1  = 20 20K K g,  m 2  = 15 15K K g y  F  = 40 40N  N  31. Un cuerpo cuerpo de masa masa m  m se  se mueve a lo largo del eje  X  de  X  de acuerdo a la ley  x =  x  = Acos  Acos((wt + Φ), Φ), donde A,  w  y  Φ  son constantes. Calcular la fuerza que actúa sobre el cuerpo en función de su posición. ¿Cuál es la dirección de la fuerza cuando x es (a) positivo, (b) negativo? 32. Determ Determina inarr la aceler aceleraci ación ón con la cual cual se mueven mueven los cuerpos cuerpos de la figura figura (a) y (b) tambié también n las tensiones en las cuerdas. Suponer que los cuerpos se deslizan sin fricción. Resolver el problema algebraicamente y luego aplicar la solución obtenida cuando m1   = 200g 200g , m2   = 180g 180g α = 30o β  =  = 60o .

33. Calcular Calcular la aceleració aceleración n de los cuerpos en la figura y la tensión tensión en la cuerda. Resuelv Resuelvaa algebraicaalgebraica5 mente y luego encuentre la solución cuando  m 1  = 50 50g, g, m  m 2  = 80 80gg y  F  = 10 dinas.

34. Determ Determina inarr la fuerza fuerza de fricci fricción ón ejerci ejercida da por el aire sobre sobre un cuerpo cuerpo cuya cuya masa masa es 0.4kg si cae 2 con una aceleración de  9,  9 ,0m/s 11

35. Un bloque de masa 0.2kg inicia su movimiento movimiento hacia arriba, sobre un plano inclinado 30o , con una velocidad de 12m/s. si el coeficiente de fricción de deslizamiento es de 0.16, determinar que distancia recorrerá el bloque sobre el plano antes de detenerse. ¿Qué velocidad tendrá el bloque al retornar (si retorna) a la base del plano? 36. Un cuerpo cuya masa es de 0.80Kg se encuent encuentra ra sobre un plano inclinado inclinado 30 0 . ¿Qué fuerza debe aplicarse al cuerpo de modo que se mueva a) hacia arriba b) hacia abajo? En ambos casos suponer que el cuerpo se mueve con movimiento uniforme y con aceleración de 0.10 m/s 2 . El coeficiente de fricción de deslizamiento con el plano es 0.30. 37. Un tren cuya masa es de 100 toneladas sube un terreno que se eleva eleva 1pie cada 224 pies de longitud. La tracción del tren es 9000lbf y su aceleración es de 1  pie/s 2 . Calcular la fuerza de fricción. 38. Encontrar Encontrar la aceleración aceleración de  m  en la figura si el coeficiente de fricción con el piso es  f .  f . Encontrar también la fuerza ejercida por el piso sobre el cuerpo. Resolver para  m  =  2.0Kg, f   2.0Kg,  f  =  0.2 y F  = 1.5 N.

39. Un bloque bloque cuya cuya masa masa es 3Kg está está colocad colocadoo encima encima de otro bloque bloque de masa masa de 5Kg como como se observa en la figura. Suponer que no hay fricción entre el bloque de 5Kg y la superficie sobre la cual reposa. Los coeficientes de fricción estático y de deslizamiento entre los bloques son 0.2 y 0.1 respectivamente. a) ¿Cuál es la máxima fuerza que puede aplicarse a cualquier bloque de modo de deslizar todo el sistema y mantener los bloques juntos? b) ¿Cuál es la aceleración cuando se aplica la fuerza máxima? c) ¿Cuál es la aceleración del bloque de 3Kg si la fuerza es mayor que la fuerza máxima y se aplica al bloque de 5 Kg? ¿Cuál es la aceleración si se aplica al bloque de 3Kg?

40. Encontrar Encontrar la velocidad límite límite de una esfera de 2cm de radio y una densidad de 1.50g/cm 3 que cae en glicerina (densidad  =  1.26g/cm3 ). Encontrar también la velocidad de la esfera cuando su aceleración es de 100 cm/s 2 . 41. Encontrar Encontrar la velocidad límite límite de una gota de lluvia. Suponer un diámetro diámetro de  10 −3 m. La densidad del aire con respecto al agua es 1 es  1,,30 103 . (Considerar que para una geometría esférica  K  = 6πr) πr )

×

42. Un cuerpo con una masa de 4Kg es lanzado vertical verticalmen mente te con una velocidad velocidad inicial inicial de 60m/s. 60m/s. El cuerpo encuentra una resistencia del aire de F  = 3v/100 v/ 100,, donde F  se F  se expresa en Newtons y  v es la velocidad del cuerpo en  m/s.  m/s . Calcular el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta que alcanza la máxima altura. ¿Cuál es la máxima altura?

 −

43. Obtener Obtener en función función del tiempo tiempo la velocidad velocidad de una partícula partícula que se mueve mueve en una trayector trayectoria ia rectilínea en un fluido viscoso, suponiendo que m a = F   K η v   es correcto y la fuerza es constante

−→

12

→ −−

−→

44. Un cuerpo cae desde una altura altura de 108cm en 5s, partiendo del reposo. Encontrar Encontrar su velocidad velocidad límite si la resistencia es proporcional a la velocidad. 45. Represen Representar tar la velocidad velocidad de un cuerpo que cae en un fluido viscos viscos en función del tiempo  t cuando  t  cuando la velocidad inicial es diferente de cero. Considerar ambos casos cuando  v o  es menor y mayor que F/Kη. F/Kη. ¿Qué sucede cuando  v o  = F/Kη  =  F/Kη 46. Un cuerpo cuerpo de masa de 1Kg reposa reposa sobre sobre otro de masa masa 10Kg, 10Kg, el cual a su vez reposa reposa sobre sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura. La fuerza F   F   varía con el tiempo t  (medido en segundos), de tal modo que F  = 0,2tN . tN . Si el coeficiente de fricción estática es de 0.2 y el coeficiente de fricción cinético es 0.15 entre todas las superficies, encontrar el movimiento de cada bloque en función del tiempo.

47. Sobre una una partícula partícula de masa masa  m,  m, inicialmente en reposo, actúa una fuerza  F  =  F o(1 (t T ) T )2 /T 2 ) durante el intervalo intervalo 0  0  t  2T   2 T .. demostrar que la velocidad de la partícula al final del intervalo es 4FoT/3 FoT/3m. Notar que la velocidad depende solamente del producto  F o(2T  (2T )) y, que si T disminuye, se obtiene la misma velocidad haciendo Fo proporcionalmente más grande. Representar F  en función de  t.  t . ¿Puede usted pensar en la situación física en la cual este problema proporcionaría una descripción adecuada?

− −

 ≤ ≤

48. Un cuerpo inicialm inicialmen ente te en reposo reposo en xo  se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza 2 F  = k/x . Demostrar que su velocidad en x es  v 2 = 2(k/m 2(k/m)(1 )(1/x /x 1/xo) /xo). Este método puede utilizarse para determinar la velocidad de un cuerpo que cae hacia la tierra desde una gran altura.

 −

−

49. Demostrar Demostrar que la viga AB de la figura se encontrará encontrará en equilibrio equilibrio cuando se cumpla la siguient siguientee ecuación: m ecuación:  m 1 (m2  + m3 )l1  = 4m2 m3 l2

50. Demostrar Demostrar que las aceleraciones aceleraciones de los cuerpos en la figura, figura, con P  =  g/  g /(m1 m2  + m1 m3  + 4m 4 m2 m3 )  son: caso (a) a1  = 4m2 m3 P  a2  = (m1 m3

− m1m2 − 4m2m3)P  a3  = (m1 m3 − m1 m2  + 4m 4 m2 m3 )P  caso (b) a1  = (4m (4m2 m3

− m1m2 − m1m3)P  a2  = (3m (3m1 m3 − m1 m2 − 4m2 m3 )P  a3  = (m1 m3 − 3m1 m2  + 4m 4 m2 m3 )P  13

51. Una cadena cadena flexible de longitud longitud  L  y peso  W  (ver  W  (ver la figura) está colocada inicialmente en reposo sobre una superficie sin fricción ABC, estando D a una distancia L  a  de B. Demostrar que cuando el extremo D llega al punto B la velocidad de la cadena es  v  = (g/L)( g/L )(L L2 a2 )senα

 − 

−

52. Un cuerpo se mueve mueve bajo la acción de una fuerza constant constantee  F  en  F  en un fluido que se opone al movi2 miento con una fuerza proporcional al cuadrado de la velocidad; esto es,  F f  f  = kv . Demostrar que la velocidad límite es  v L  = F /k. /k.

 −

 

Problemas de Sistemas de Partículas, Trabajo y Energía 1. Una bola de masa masa 0.1kg 0.1kg es soltad soltadaa desde desde una altura altura de 2m y, después después de chocar chocar con el suelo, suelo, rebota hasta 1.8m de Altura. Determinar el impulso debido a la gravedad al caer la bola y el impulso recibido al chocar con el suelo. 2. Se aplica una fuerza fuerza F, que dura 20s, a un cuerpo de 500kg de masa. El cuerpo inicialment inicialmentee en reposo, adquiere una velocidad de 0.5m/s como resultado de la fuerza. Si esta aumenta durante 15s linealmente con el tiempo a partir de 0 y entonces disminuye a cero en 5s, a) Hallar el impulso en el cuerpo causado por la fuerza, b) Hallar la máxima fuerza ejercida en el cuerpo, c) Representar F contra t encontrando el área bajo la curva. ¿Coincide el valor de dicha área con el resultado de a)? 3. Calcul Calcular ar el trabajo trabajo efectu efectuado ado por un hombre hombre que arrast arrastra ra un saco de harina harina de 65kg 65kg por 10m a lo largo del piso con una fuerza de 25kgf y que luego lo levanta hasta un camión de 75cm de altura. ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada si el proceso entero tomó 2 minutos? 4. Un auto cuya cuya masa es de 1200kg sube por una colina de 5 o de inclinación con velocidad constante de 36km/h. Calcular el trabajo efectuado por el motor en 5 minutos y la potencia desarrollada por él. 5. Una fuerz fuerzaa  F  = 6tN  actúa tN  actúa sobre una partícula de 2kg de masa. Si la partícula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante los primeros 2s. 6. Una masa masa de 2kg colgada colgada de un hilo de 1m de longit longitud, ud, es desplaz desplazada ada en 30 o de la vertical y entonces soltada. Hallar su velocidad cuando la cuerda forma un ángulo de 10 o con la vertical tanto en el mismo lado como en el lado opuesto. 7. Un anillo de masa m resbala a lo largo de un arco metálico metálico ABC muy muy pulido que es arco de una circunferencia de 4 pies de radio. Sobre el anillo actúan dos fuerzas F  y F ? F ?, cuyas magnitudes son 40N y 150N respectivamen respectivamente. te. La fuerza fuerza  F  es  F  es siempre tangente a la circunferencia. La fuerza 14

F ? F ?  actúa en dirección constante formando un ángulo de 30 o con la horizonta horizontal. l. Calcular el trabajo total efectuado por el sistema de fuerzas sobre el anillo al moverse de A a B y de A a C.

8. Un cuerpo con 1000kg de masa cae de una altura de 10m sobre la cabeza de una barreta barreta metálica clavada perpendicularmente en el suelo hundiéndola 1cm más. Calcular la fuerza resistente promedio ejercida por el terreno contra la barreta. 9. un hombre hombre de 80kg de masa sube por un plano inclinado inclinado 10 con respecto a la horizontal. horizontal. A una velocidad velocidad de 6km/h. 6km/h. Calcular Calcular la potencia potencia desarrollad desarrollada. a. 10. Una fuerza fuerza constan constante te de 60dina 60dinass actúa actúa por 12s en un cuerpo cuya cuya masa masa es de 10g. El cuerpo cuerpo tiene una velocidad inicial de 60cm/s en la misma dirección de la fuerza. Calcular: a) El trabajo efectuado por la fuerza. b) La energía cinética final. c) La potencia desarrollada. d) El aumento de la energía cinética. 11. a) Que fuerza constante constante debe ejercer ejercer el motor de un automóvil automóvil de 1500kg de masa para aumentar aumentar la velocidad de 4km/h a 40km/h en 8s? b) Determine la variación de momento lineal y la energía cinética. c) Determine el impulso recibido y el trabajo efectuado por la fuerza. d) Calcule la potencia promedio del motor. 12. Un cuerpo de masa m se mueve mueve con velocidad velocidad  V  relativa  V   relativa a un observador  O  y con velocidad  V ?  V  ? relativa a O a  O??. La velocidad relativa entre  O y  O?  O ?  es v. Hallar la relación entre energías cinéticas E k y  E k ?  de la partícula medidas por  O y  O?  O ?. 13. Hallar Hallar la veloci velocidad dad de un electrón electrón que llega a una pantal pantalla la de un tubo de televisi televisión ón con una 4 energía 1 energía  1,,8 10 eV.

∗

 −→

−→

− −→

14. Una masa masa de 10Kg se muev muevee bajo la acción acción de la fuerza fuerza F  = (5t (5t)ux  + (3t (3t2 1)uy N . N . Cuando t  = 0  el cuerpo está en reposo en el origen. a) Hallar el momentum y la energía cinética del cuerpo cuanto  t  = 10 10ss. b) Calcular el impulso y el trabajo efectuado por la fuerza de  t  = 0  a  t  = 10 10ss  y comparar con el resultado en el literal a).

→ −

− −→

−→

15. Sobre una una partícula partícula actúa la fuerza F  = (y 2 x2 )ux + (3xy (3xy))uy . Hallar el trabajo efectuado por la fuerza al moverse la partícula del punto  (0,  (0 , 0) al 0) al punto (2 punto  (2,, 4) siguiendo 4) siguiendo las siguientes trayectorias: a) A lo largo del eje  X  desde  X  desde (0  (0,, 0) hasta 0)  hasta (2  (2,, 0) y, 0)  y, paralelamente al eje  Y    Y    hasta (2 hasta  (2,, 4). 4). b) A lo largo de la recta que une ambos puntos. c) A lo largo de la parábola  y  = x  =  x 2 . d) ¿Es conservativa esta fuerza? 16. Una partícula se mueve mueve bajo la acción de una fuerza atractiva atractiva que varía con el inverso inverso del cuadrado 2 de r de  r::  F  = k/r . La trayectoria es una circunferencia de radio  r.  r . Demostrar que la energía total 1 / 2 es E  es  E  =  = k/2 k/2r, que la velocidad es  v  = (k/mr) k/mr) , y que el momento angular es  L =  L  = (mkr) mkr )1/2 .

 −

 −

17. Represen Representar tar las energías energías potencial y cinética cinética como función de: a) El tiempo 15

b) La altura Para un cuerpo que cae a partir del reposo desde una altura h. Verificar que la suma de las energías es constante. 18. Un muchac muchacho ho de masa m  está sentado sobre un montículo esférico de nieve como se muestra en la figura. Si empieza a resbalar desde el reposo (suponiendo que el hielo es perfectamente liso) ¿en qué punto  P  deja  P  deja el muchacho de tener contacto con el hielo?

19. Un cuerpo de 5Kg de masa cuelga de un resorte cuya constant constantee elástica es 2 108 N m−1 . Si se permite que el resorte se expanda lentamente, ¿a qué distancia llegará a desplazarse el cuerpo? Se suelta ahora el cuerpo para que caiga libremente. Hallar: a) La aceleración inicial. b) La aceleración y la velocidad cuando ha caído 0.010m, 0.0245m y 0.030m.  Hacer consideracion consideraciones  es 

×

energéticas siempre que sea posible 

20. El cuerpo cuerpo A  en la figura tiene una masa de 0.5Kg. Partiendo del reposo resbala 3m sobre un plano muy liso, inclinado 45 o sobre la horizontal, hasta que choca con el resorte  M ,  M , cuyo extremo 1 − B  está fijo al final del plano. La constante del resorte es k   = 400N 400N m . Calcular su máxima deformación.

21. Un trineo de 20Kg de masa se desliza desliza colina abajo empezando empezando desde una altura altura de 20m. El trineo 1 − parte del reposo y tiene una velocidad de 16ms al llegar al final de la pendiente. Calcular la pérdida de energía debida al rozamiento. 22. Un cuerpo cuerpo de masa m  se desliza hacia abajo por un plano de inclinación α. El coeficiente de fricción es f  es  f .. Hallar la rapidez con que se disipan las energías potencial y cinética combinadas. 2 23. Una partícula partícula está sujeta a una fuerza asociada asociada con la energía potencial potencial  E  p x3 .  p (x) = 3x a) Trazar un gráfico de  E  p  p (x). b) Determinar la dirección de la fuerza en rangos apropiados de la variable  x.  x . c) Discutir los posibles movimientos de la partícula para diferentes valores de su energía total y hallar hallar sus posiciones de equilibri equilibrioo (estable (estable e inestable) inestable)..

−

24. Calcular Calcular la energía energía potenc p otencial ial asociada con las siguientes siguientes fuerzas centrales: centrales: a) F  a)  F  =  K r b) F  b)  F  =  K/r 2 25. Resolve Resolverr el problema de movimie movimiento nto rectilíneo rectilíneo bajo ba jo una fuerza fuerza constante constante utilizando: utilizando: dx (2/m (2/m)[ )[E  E  E  p (x)]

{

 −  −

16

}1/2 = dt

26. La energí energíaa potenci potencial al para para la inter interacc acción ión entre entre 2 molécu moléculas las de gas puede puede aprox aproxima imarse rse por la expresión: ro ro E  p (r) = E  p,o [2(  ) 6 (  ) 12 ] r r Donde E  Donde E  po  y r  y  ro  son constantes positivas y  r es  r  es la separación entre las moléculas. Hallar la posición de equilibrio y el valor de la energía potencial en dicho punto.

 −

−

27. La interacción entre entre dos nucleones puede puede ser representada representada con cierta aproximación por el  potencial  r/r − de Yukawa  E   E  p /r)e , donde V  donde  V o  vale alrededor de 50MeV y  ro  1,  1 ,5 10−15 m. Hallar  p (r ) = V o (ro /r) la fuerza entre los dos nucleones como función de  r.  r . Hallar el valor de la fuerza para  r  = r  =  r o .

 −

×

o

28. Una granada que cae verticalmen verticalmente te explota en 2 fragmentos fragmentos iguales iguales cuando se halla a una altura de 2000m y tiene una velocidad dirigida hacia debajo de 60m/s. Inicialmente después de la explosión uno de los fragmentos se mueve hacia abajo a 80m/s. Hallar la posición del centro de masa del sistema 10s después de la explosión. 29. Un observador observador mide la velocidad velocidad de dos partículas partículas de masas  m 1 y  m 2  y obtiene respectivamente los valores de v1 y v2 . Determinar la velocidad del centro de masa relativa al observador y la velocidad de cada partícula relativa al centro de masa. 30. Encuent Encuentre re la relación relación entre la energía energía cinética de un sistema de partículas partículas relativ relativa al laboratorio y la energía cinética interna relativa al centro de masas. 31. Expresar Expresar la energía energía cinética interna interna de 2 partículas partículas en términos de su masa reducida reducida y velocidad velocidad relativa. 32. Las masas masas m1 = 10 10K K g y m2 = 6K g   están unidas por una barra rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo, se hallan bajo la acción de las fuerzas F 1  = 8ux N y F 2  = 6uy N, como se muestra en la figura. a) Hallar las coordenadas de su centro de masa como función del tiempo. b) Expresar el momento total como función del tiempo.

 −→

−→

−−−−−−→ −→

33. Se dispara dispara un proyectil proyectil en un ángulo ángulo de 60 o con la horizontal con una velocidad inicial de 400m/s. En el punto más alto de su trayectoria explota en dos fragmentos de igual masa, uno de los cuales cae verticalmente. a) ¿Cuán lejos del punto de disparo choca el otro fragmento con el suelo, suponiendo que el terreno esté nivelado? b) ¿Cuál fue la energía liberada en la explosión? 34. La siguiente siguiente figura ilustra un péndulo péndulo balístico. balístico. Este dispositivo dispositivo se usa para determinar determinar la velovelocidad de una bala midiendo la altura  h  a la que el bloque se eleva después de que la bala se ha incrustado en el bloque. Demostrar que la velocidad de la bala está dada por:

 2gh( gh (m  + m )/m , 1

2

1

donde m donde  m 1  es la masa de la bala y  m 2  la masa del bloque.

35. Una bala bala de masa masa  m  y velocidad  v  pasa a través de la esfera de un péndulo de masa  M  saliendo  M  saliendo con una velocidad de v/2 v/ 2  como se muestra en la figura. La esfera pendular cuelga del extremo 17

de la cuerda de longitud  l.  l . ¿Cuál es el menor valor de  v  para el cual el péndulo completará una circunferencia entera?

 −→

−→

36. Para Para los dos partículas partículas de la siguiente siguiente figura, sabemos que  m 1  = 4K g ,  m 2  = 6K g , v1 = 2ux ms−1 y v2 = 3uy ms−1 . a) Determinar el momento angular total del sistema relativo a  0  y relativo al  C M  y M  y verificar la relación entre ambos valores. b) Determinar la energía cinética total relativa a  0  y relativa al  C M  y M  y verificar la relación entre ambas.

 −→

−→

 −→

37. Un observador observador mide la velocidad velocidad de dos partículas partículas de masas m1 y m2  y obtiene los valores v1 y v2 , respectivamente. Determinar la velocidad del centro de masa relativa al observador y la velocidad de cada partícula relativa al centro de masa.

 −→

38. Encontrar Encontrar la relación relación entre el momento momento angular de un sistema de partículas partículas relativo relativo al centro centro de masa y el el momento angular relativo al sistema de laboratorio. 39. Encontrar Encontrar la relación relación entre el torque externo alrededor alrededor del centro de masa y el momento momento angular interno de un sistema de partículas. 40. Probar que si la energía cinética cinética interna de un sistema de dos partículas es  E k ,CM , las magnitudes de las velocidades de las partículas relativas al  C M   M   son: v1  = [2m [2m2 E k ,CM  /m 1 (m1  + m2 )]1/2 y v2  = [2m [2m1 E k ,CM  /m 2 (m1  + m2 )]1/2 Problemas de Sólido Rígido: 1. Calcular el momento de inercia de una varilla varilla delgada cuya densidad varía varía de acuerdo a la relación 2 4x , con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a través de: a) Un extremo de la varilla. b) Su centro de masa. 18

2. Calcular Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo, homogéneo, con respecto a: a) Un eje perpendicular que pasa por su centro. b) Un eje que coincida con su diámetro. 3. Una varilla varilla delgada delgada de 1m de largo tiene una masa de 0.2kg. Se colocan 5 cuerpos a lo largo de ella cada uno con una masa de 1kg, y situados a 0cm, 25cm, 50cm, 75cm y 100cm de uno de sus extremos. Calcular el momento de inercia del sistema con respecto a un eje perpendicular a la varilla, el cual pasa a través de: a) Un extremo. b) La segunda masa. c) El centro de masa. 4. Tres masas, masas, cada cada una de 2kg, 2kg, están están situad situadas as en los vértice vérticess de un triáng triángulo ulo equiláte equilátero ro cuyos cuyos lados miden cada uno 10cm. Calcular el momento de inercia del sistema con respecto a un eje perpendicular al plano determinado por el triángulo y que pase a través de: a) Un vértice. b) El centro de masa. 5. Demostrar que el momento momento de inercia de un sistema constituido constituido por dos masas  m1  y m  y  m2 , separadas por una distancia  r  con respecto a un eje que pasa a través de su centro de masa y perpendicular a la línea que une las dos masas, es  µr 2 , siendo  µ  la masa reducida del sistema. 6. Dos niños, cada uno con una masa de 25kg están sentados sentados en extremos extremos opuestos opuestos de una plancha plancha horizontal de 2.6m de largo y una masa de 10Kg. La plancha está rotando a 5rpm con respecto a un eje que pasa por su centro y perpendicular a la plancha. ¿Cuál es el cambio de velocidad angular y de energía cinética de rotación del sistema? 7. El momento momento de inercia de una rueda es de 1000lb.pie 1000lb.pie 2 . En un cierto instante su velocidad angular es de 10rad.s −1 . Después que rota 100 radianes, su velocidad angular es de 100rad.s −1 , Calcular Calcular el torque aplicado a la rueda y el aumento en la energía cinética. 8. Una rueda que rota está está sometida sometida a un torque de 10N debido debido a la fricción fricción en su eje. El radio de la rueda es de 0.6m , su masa es de 100kg, y está rotando a 175rad.s −1 . ¿Cuántas revoluciones dará antes de detenerse? 9. Un cilindr cilindroo de 20Kg de masa masa y 0.25m 0.25m de radio radio está rotando rotando a 120 1200rp 0rpm m con respect respectoo a un eje que pasa por su centro. ¿Cuál es la fuerza tangencial necesaria para detenerla después de 1800 revoluciones? 10. Un disco disco con una masa masa  m  y un radio  r  puede girar con respecto a un eje que pasa por su centro y perpendicular al disco. Se ejerce una fuerza constante F  en F  en el borde del disco y en dirección paralela al borde. Calcular: a) Su aceleración aceleración angular. b) El ángulo que describe. c) Su momento angular. d) Su energía cinética después de un intervalo de tiempo  ∆t  ∆ t. 11. La velocidad velocidad de un automóvi automóvill aumenta aumenta de  v i a vf  en un tiempo  T .  T . El radio de sus llantas es  R.  R . ¿Cuál es su aceleración angular? La masa de cada llanta es m  y su radio de giro  K .  K . ¿Cuál es el momento angular inicial y cuál es el momento angular final de cada llanta? 12. El volante volante de una máquina de vapor tiene tiene una masa  m  y un radio de giro  K .  K . Cuando rota a  ω 0 rpm la válvula de entrada del vapor se cierra. Suponiendo que el volante se detiene en un tiempo T , T , ¿cuál es el torque debido a la fricción en el eje del volante? ¿Cuál es el trabajo realizado por el torque durante este tiempo? 13. Una carret carretaa con una masa M  tiene M  tiene cuatro ruedas, cada una de radio r  y masa m. Calcular la aceleración lineal de la carreta cuando se ejerce sobre ella una fuerza  F .  F . 19

14. La parte rotante rotante de una máquina tiene una masa  m  y un radio de giro  K .  K . Calcular el momento angular y la energía cinética cuando rotan a  ω 0 . ¿Qué torque y qué potencia son necesarios para alcanzar esta velocidad en un tiempo  T ?  T ? 15. El radio de una moneda de 5 centav centavos os es de 5cm y su masa es de 5g. La moneda rueda sobre un plano inclinado inclinado a 6rps. Encontrar: Encontrar: a) Su energía cinética de rotación. b) Su energía cinética de traslación. c) Su energía cinética total. d) ¿Cuál es la distancia vertical de la cual tendría que caer a fin de adquirir dicha energía cinética? 16. Un camión con una masa de 10 toneladas toneladas se mueve mueve con una velocidad velocidad de 6.6m.s −1 . El radio de cada llanta es de 0.45m, su masa de 100kg y su radio de giro es de 30cm. Calcular la energía cinética cinética total del camión. camión. 17. Un anillo de hierro hierro cuyos radios radios miden  R 1 y  R 2 con R con  R 1  < R2  tiene una masa  m.  m . Rueda sobre un plano inclinado, llegando a la base con una velocidad de vf . Calcular la energía cinética total y la altura vertical de la cual cae. 18. Una varilla varilla cuya cuya longitud es L  y cuya masa es m, puede rotar libremente en un plano vertical alrededor de su extremo A. Inicialmente se coloca en una posición horizontal y luego se suelta. Cuando hace un ángulo  α  con la vertical, calcular: a) Su aceleración aceleración angular. b) Su velocidad angular.

19. Una varilla varilla uniforme, uniforme, que cuelga cuelga vertical verticalmen mente te de un pivote pivote tiene una longitud longitud l  y masa m. Se le golpea en la base con una fuerza horizontal  F  la  F  la que actúa durante un intervalo muy corto de tiempo ∆ tiempo  ∆tt. a) Encontrar el momento angular adquirido por la varilla. b) ¿Adquirirá la varilla una posición vertical con el extremo libre sobre el pivote? 20. Una escale escalera ra AB  AB  de longitud l longitud  l  y masa M  masa  M  reposa  reposa sobre una pared sin fricción como se muestra en la figura. El piso es liso y, para prevenir el deslizamiento, se le coloca la cuerda  OA  O A. Un hombre cuya masa es m  está parado a dos de la base de la escalera. La soga se rompe repentinamente. Calcular: a) La aceleración inicial del centro de masa del sistema escalera-hombre. b) La aceleración angular inicial alrededor del centro de masa.

20

21. Una varilla varilla cuya cuya longitud es  L  y masa M  masa  M  puede puede rotar libremente libremente en un plano vertical vertical alrededor alrededor de su extremo A. Una bala de masa m  y velocidad v  golpea la varilla a una distancia a  de A y se incrusta en ella. a) Encontrar el momento angular del sistema con respecto a  A  inmediatamente antes y después de que la bala impacte contra la varilla. b) Determinar el momento del sistema inmediatamente antes y después de la colisión. c) Bajo que condiciones se conserva el momento? ¿Cuál es la energía liberada en la colisión?

22. Una varilla varilla cuya cuya longitud es L es  L y  y masa M  masa  M  puede  puede rotar libremente en un plano horizontal. Durante un intervalo muy corto de tiempo  ∆t  ∆ t, una fuerza F  fuerza  F  que  que actúa sobre la varilla produce un impulso I . La fuerza actúa en el punto  P  situado  P  situado a una distancia a del centro de masa. a) Encontrar la velocidad del centro de masa. b) La velocidad angular respecto al centro de masa. c) Determinar el punto Q  que inicialmente permanece en reposo en el sistema L, demostrando que b que  b =  = K   K 2 /a siendo /a  siendo K   K  el  el radio de giro con respecto al centro de masa. El punto  Q  se denomina centro de percusión. Demostrar también que si la fuerza actúa en Q, el centro de percusión se encuentra en  P .  P .

23. La rueda de la figura figura tiene un radio de 0.5m y una masa de 25kg, puede puede girar con respecto respecto a un eje horizontal que pasa por su centro. Una cuerda enrollada alrededor de la rueda de masa despreciable cuelga de su extremo una masa de 10kg. Calcular: a) La aceleración angular de la rueda. b) La aceleración lineal del cuerpo. c) La tensión de la cuerda.

24. Calcul Calcular ar la aceler aceleraci ación ón del sistem sistemaa si el radio radio de la polea es R, su masa es m   y está girando debido a la fricción sobre la cuerda. 21

25. Una cuerda esta enrollada enrollada en un cilindro. cilindro. Suponiendo Suponiendo que tiramos tiramos con una fuerza F , F , calcular la aceleración del cilindro. Determinar el sentido del movimiento. En este caso r=3cm, R=5cm, F=0.1kgf y m=1kg.

26. En el sistema de la figura calcular calcular la aceleración aceleración lineal de la masa m, la aceleración angular del cilindro de masa  M  y  M  y radio r radio  r,, y la tensión de la cuerda. Considerar que la polea tiene una masa despreciable.

27. Un disco de 0.5m de radio y 20kg de masa puede rotar libremen libremente te alrededor alrededor de un eje horizontal horizontal fijo que pasa por su centro. Se aplica una fuerza  F  de  F  de 9.8N tirando de una cuerda atada alrededor del borde del disco. Encontrar la aceleración angular del disco y su velocidad angular después de 2s. 28. Encontrar Encontrar la aceleración aceleración angular del sistema ilustrado ilustrado en la figura para un cuerpo cuya masa es  m. El eje Z eje  Z Z   está fijo y es un eje principal.

29. Determina Determinarr la aceleració aceleración n angular del disco de la figura, así como la aceleración aceleración hacia hacia abajo aba jo de su centro de masa.

22

30. Una esfera, esfera, un cilindro cilindro y un aro, todos del mismo radio, parten del mismo mismo punto y ruedan hacia abajo sobre un plano inclinado partiendo de una altura  y o . Encontrar en cada caso la velocidad con la que llegan a la base del plano. 31. Determina Determinarr en el sistema sistema la velocidad velocidad angular angular del disco, y la velocidad velocidad lineal de  m y  m  y m  m  . Calcular la tensión de cada cuerda.

32. Determina Determinarr en el sistema sistema la aceleración aceleración de la masa  m  y la tensión de la cuerda, suponiendo que el momento de inercia del pequeño disco de radio  r  es despreciable.

33. En una polea que tiene tiene una masa masa M   M   y radio R   cuelgan dos cuerpos de masas m y m   como se muestra en la figura. Calcular la energía cinética total ganada por el sistema después de un tiempo T  tiempo  T  y  y la tensión de la cuerda.

34. Los discos discos de la figura tienen tienen iguales masas masas m  m y  y radios R radios  R.. El disco superior puede girar libremente alrededor de un eje horizontal a través de su centro. Una cuerda está enrollada alrededor de ambos 23

discos y el disco inferior se deja caer. Encontrar: a) La aceleración del centro de masa del disco inferior. b) La tensión de la cuerda. c) La aceleración angular de cada disco con respecto a su centro de masa.

 −→ · −→τ  .  . Esta ecuación demuestra que  −→ω · −→τ  τ   es la

35. Demostrar Demostrar que para un cuerpo cuerpo rígido dE  rígido  dE k /dt = /dt = ω potencia rotacional.

36. Demostrar Demostrar que el momento momento de inercia inercia de un cuerpo rígido con respecto respecto a un eje que hace ángulos α,  β  y  γ  con  γ  con tres ejes principales es: I  =  I 1 cos2 α + I 2 cos2 β  +  + I 3 cos2 γ  37. Un bloque bloque sólido sólido de lados lados a, b y c  y de masa m  está rotando con respecto a un eje que pasa a través de la diagonal mayor a  ω  rpm. a) Encontrar el momento angular con referencia a los ejes principales. b) Determinar el ángulo entre el momento angular y el eje de rotación. c) Encontrar la energía cinética de rotación. 38. Una partícu partícula la de masa masa m  se mueve alrededor de un eje con una velocidad angular ω  de modo que su velocidad es  v  = ω  =  ω r . Demostrar que las componentes de su momento angular son:

×

Lx  = m  =  m ωx (y 2 + z 2 )

 − ωy yx − ωz zx  xy + ω (z2 + x2) − ω zy  Ly =  m −ωx xy + y z   Lz =  m ωx xz − ωy yz − ωz (x2 + y 2 )

24