mecanica de fluidos 2

UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” – LIMA ESTE Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

TEMA

:

Ecuación de Euler Salto hidráulico Tanques Amortiguadores Energía Especifica - Tirante Critico Transición y flujo Gradualmente Variable Cinco Problemas propuestos

CURSO

:

MECANICA DE FLUIDOS

PROFE ROFESO SOR R

:

ING. ING. RICA RICARD RDO O PRIET RIETO O ABAN ABANTO TO

FECHA

:

LIMA, 06 DE FEBRERO DEL 2016

TORRES TUYA, CARLOS

2016

Carlos Alberto Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos

INDICE 1.-

PRESENTACIÓN ....................................................................................

4

2.-

INTRODUCCIÓN ....................................................................................

5

3.-

OBJETIVOS ............................................................................................

7

4.-

MARCO TEÓRICO..................................................................................

8

4.1

................................................................................... .............. 8 ECUACIONES DE EULER: .....................................................................

4.1.1

Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler....... 9

4.1.2

Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas ........................ 10

4.1.3

Ecuaciones de Euler en coordenadas cilíndricas .......................... 10

4.1.4

Ecuaciones de Euler en coordenadas esféricas.............................. 1 1

4.1.5

Mecánica clásica .......................................................................................... ......................................................................................... 1 1

4.1.6

Mecánica relativista ................................................................................... .................................................................................. 14

4.2

............................................................................................. ............. 16 SALTO HIDRULICO: ................................................................................

4.2.1

EL SALTO HIDRÁULICO EN CANALES RECTANGULARES ........ 17

4.3

........................................................................ ......................... 19 TANQUES AMORTIGUADORES ...............................................

4.4

............................................ 21 ENERGÍA ESPECÍFICA Y RÉGIMEN CRÍTICO .............................................

4.4.1

Curvas De Energía Especifica ................................................................ 22

4.4.2

................................................... ........... 22 Relación entre el Tirante “y” y “E”: ........................................

4.4.3

Regimen critico: ............................................................................... .......................................................................................... ........... 22

4.4.4

Caudal o gasto critico: ..................................................................... .............................................................................. ......... 22

4.4.5.Tirante critico: ............................................................................ ................................................................................................. ..................... 23 4.4.6

Velocidad crítica: .............................................. ........................................................................................ .......................................... 23

4.4.7 Pendiente crítica: .......................................................................................... ........................................................................................... .. 23 4.4.8

Régimen subcritico: .................................................................... ................................................................................... ............... 23

4.4.9

Régimen supercrítico: ......................................... ............................................................................... ...................................... 23

4.4.10

Tipos de flujo para el Regimen Critico .......................................... 23

4.4.11Ecuaciones del Régimen Critico: ........................................... ............................................................ ................. 24 4.4.12 4.5

Relaciones entre los Parametros ...................................................... ...................................................... 25

.............................................................. 27 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO ...............................................................

4.5.1

Clasificación de Canales en flujo gradualmente variado ........... 28

4.5.2

Perfiles de flujo en flujo Gradual Variado ......................................... ......................................... 30

5.5.1

PROBLEMAS PROPUESTOS ..............................................................

36

.................................................. 3 7 PROBLEMA PROPUESTO Y RESUELTO 1 ...................................................

PAg 2

-50


INDICE 1.-

PRESENTACIÓN ....................................................................................

4

2.-

INTRODUCCIÓN ....................................................................................

5

3.-

OBJETIVOS ............................................................................................

7

4.-

MARCO TEÓRICO..................................................................................

8

4.1

................................................................................... .............. 8 ECUACIONES DE EULER: .....................................................................

4.1.1

Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler....... 9

4.1.2

Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas ........................ 10

4.1.3

Ecuaciones de Euler en coordenadas cilíndricas .......................... 10

4.1.4

Ecuaciones de Euler en coordenadas esféricas.............................. 1 1

4.1.5

Mecánica clásica .......................................................................................... ......................................................................................... 1 1

4.1.6

Mecánica relativista ................................................................................... .................................................................................. 14

4.2

............................................................................................. ............. 16 SALTO HIDRULICO: ................................................................................

4.2.1

EL SALTO HIDRÁULICO EN CANALES RECTANGULARES ........ 17

4.3

........................................................................ ......................... 19 TANQUES AMORTIGUADORES ...............................................

4.4

............................................ 21 ENERGÍA ESPECÍFICA Y RÉGIMEN CRÍTICO .............................................

4.4.1

Curvas De Energía Especifica ................................................................ 22

4.4.2

................................................... ........... 22 Relación entre el Tirante “y” y “E”: ........................................

4.4.3

Regimen critico: ............................................................................... .......................................................................................... ........... 22

4.4.4

Caudal o gasto critico: ..................................................................... .............................................................................. ......... 22

4.4.5.Tirante critico: ............................................................................ ................................................................................................. ..................... 23 4.4.6

Velocidad crítica: .............................................. ........................................................................................ .......................................... 23

4.4.7 Pendiente crítica: .......................................................................................... ........................................................................................... .. 23 4.4.8

Régimen subcritico: .................................................................... ................................................................................... ............... 23

4.4.9

Régimen supercrítico: ......................................... ............................................................................... ...................................... 23

4.4.10

Tipos de flujo para el Regimen Critico .......................................... 23

4.4.11Ecuaciones del Régimen Critico: ........................................... ............................................................ ................. 24 4.4.12 4.5

Relaciones entre los Parametros ...................................................... ...................................................... 25

.............................................................. 27 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO ...............................................................

4.5.1

Clasificación de Canales en flujo gradualmente variado ........... 28

4.5.2

Perfiles de flujo en flujo Gradual Variado ......................................... ......................................... 30

5.5.1

PROBLEMAS PROPUESTOS ..............................................................

36


PAg 2

-50

Carlos Alberto Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos 5.2


5.3


5.4


5.5


6.-

RECOMENDACIONES ......................................................................... 48

7.-

CONCLUSIONES ..................................................................................

49

8.-

BIBLIOGRAFIA .....................................................................................

50

PAg 3

-50


1.- PRESENTACIÓN Profesor del Curso de Mecánica de fluidos del programa de formación para Adultos de la facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Privada Cesar Vallejo lima Este, le remito el trabajo individual de Investigación del curso de Mecánica de Fluidos El presente trabajo pretende cubrir un importante campo de actuación de los Ingenieros como es el de obras hidráulicas, canalización de riego, represas, diques, centrales hidroeléctricas de todo tipo. De igual manera la mecánica de fluidos determina las cargas y esfuerzos sobre la estructura de soporte, para diseñar un canal debes de conocer todos los esfuerzos que se te presentan, como la presión mediante la ecuación de Bernoulli por ejemplo a fin de diseñar las obras hidráulicas.

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2.- INTRODUCCIÓN La Mecánica de Fluidos es la disciplina científica que se ocupa de la interacción de los fluidos con su entorno, así como de las aplicaciones de ingeniería que utilizan fluidos. La Mecánica de Fluidos es fundamental en todos los campos de la ingeniería: industrial, aeronáutica, naval, química, civil, entre otros, así como en disciplinas científicas: oceanografía, meteorología, acústica, Básicamente la Mecánica de Fluidos puede dividirse en: la estática de fluidos, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica o hidráulica se aplica al flujo de líquidos. El término aerodinámica se ocupa del comportamiento de los gases. 

La Ecuación de Euler es el estudio de las turbomáquinas y en particular en las Máquinas Hidráulicas hay una serie de notaciones y denominaciones que más o menos universalmente se han adoptado.



El salto hidráulico es un fenómeno de la ciencia en el área de la hidráulica que es frecuentemente observado en canales abiertos como ríos y rápidos. Cuando un fluido a altas velocidades descarga a zonas de menores velocidades, se presenta una ascensión abrupta en la superficie del fluido. Éste fluido es frenado bruscamente e incrementa la altura de su nivel, convirtiendo parte de la energía cinética inicial del flujo en energía potencial, sufriendo una inevitable pérdida de energía en forma de calor. En un canal abierto, este fenómeno se manifiesta como el fluido con altas velocidades rápidamente frenando y elevándose sobre él mismo, de manera similar a cómo se forma una onda-choque



El tanque amortiguación es el sistema más común de disipación de energía que convierte el flujo supercrítico del vertedero en un flujo subcrítico compatible con el régimen del rio aguas abajo. El método para lograr esta transición del flujo consiste en un simple resalto sumergido, formando un tanque de amortiguación de sección transversal rectangular. Pueden producirse variando la altura que cae PAg 5

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos el agua del vertedero o cambiando el ancho al pie de la estructura vertedora. 

La energía específica y régimen critico se aplica en el diseño de conductos abiertos como son los canales es importante definir la energía específica que presenta el flujo en una determinada sección, ya que esto nos permite definir la capacidad para desarrollar un trabajo, así mismo la determinación del tirante crítico tiene una aplicación directa en la definición del tipo de régimen que presenta un determinado escurrimiento, ya que si el tirante con que fluye un determinado caudal es menor que el tirante crítico, se sabe que el escurrimiento es en régimen supercrítico (rápido) y si es mayor que el crítico entonces el escurrimiento es en régimen subcrítico (lento).



El flujo gradualmente variado es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis: La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad y radio hidráulico. La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por presión ni por arrastre del aire. El canal es prismático. Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado.

La realización de este trabajo de investigación es muy importante en nuestra carrera, pues el cálculo de presión, caudal volumétrico, caudal másico entre otros, constituye una operación común en todos los trabajos de hidráulica.

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos

3.- OBJETIVOS •

•

•

•

Comprender los fenómenos relacionados con la Mecánica de Fluidos que se estudian en cada práctica. Comprobar en qué medida las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos concuerdan con los obtenidos en el Laboratorio y establecer las causas de posibles discrepancias. Emplear los fundamentos de la Mecánica de Fluidos para a partir de los datos obtenidos en el Laboratorio obtener el valor de ciertas magnitudes hidrodinámicas. Aprender a identificar un salto hidráulico, clasificarlo y calcular la pérdida de energía que genera, calcular y medir la longitud del mismo, asi como definir la necesidad de una estructura disipadora de energía.

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4.-

MARCO TEÓRICO 4.1 ECUACIONES DE EULER: Actualmente en el campo de la hidrodinámica y en general en cualquier campo de la ciencia, utilizamos una gran cantidad de conceptos, ecuaciones y metodologías cuyo origen no conocemos del todo. Muchos de estos conceptos y métodos llegan a ser fundamentales para el entendimiento de los problemas que se tratan de resolver y s´olo en ocasiones nos preguntamos por su origen. En el caso de la hidrodinámica nos preguntaríamos ¿cómo se llegó a la concepción de un fluido como medio continuo?, ¿cómo se pensó en construir ecuaciones en derivadas parciales para cuantificar el movimiento de los fluidos?, ¿las ecuaciones que se construyeron tenían un sustento experimental adecuado?, ¿quienes participaron en la elaboración de los conceptos fundamentales y la construcción de las ecuaciones básicas? y podríamos seguir con más preguntas. Es así como llegamos a Euler.

Euler

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las conectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

4.1.1 Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido seria (tercera propiedad del fluido ideal)

Entonces, si ∇ p es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida a la presión seria −∇ p. Si sobre el fluido actúa la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la fuerza total sobre una partícula de fluido de volumen δV será

Esta fuerza será igual a la masa de la partícula de fluido (que se conserva) por su aceleración

Las ecuaciones del movimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de Euler) serán

Tenemos una ecuación vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una ecuación escalar, las incógnitas son u, v, w, p.

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4.1.2 Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas

4.1.3 Ecuaciones de Euler en coordenadas cilíndricas

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4.1.4 Ecuaciones de Euler en coordenadas esféricas

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhard Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton (para el caso no-relativista).

4.1.5 Mecánica clásica Este sección contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar ecuaciones relativistas de Euler. Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la práctica, debido esencialmente a que la aproximación de incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente: PAg 11

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donde

E es la energía total por unidad de volumen (E es la energía interna por unidad de masa para el fluido), p es la presión, u la velocidad del fluido y \rho la densidad del fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádico y puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación:

Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:

aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente intuitivo por qué esta ecuación es correcta y no lo es). En formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas del siguiente modo:

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Esta forma deja más claro que F,G,H son caudales. Las ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de la masa, los tres componentes del momento y la energía. Hay por tanto cinco ecuaciones y seis incógnitas

Para cerrar el sistema se necesita una ecuación de estado; la ecuación de estado más comúnmente utilizada es la ley de los gases ideales ( p.e.

Una característica muy importante de las Ecuaciones de Euler es que debido a que proceden de una reducción de las Ecuaciones de Navier-Stokes despreciando los términos provenientes de los términos disipativos como hemos dicho al principio, estamos eliminando en las ecuaciones los términos en derivadas parciales de mayor grado: en la Ecuación de la Cantidad de movimiento así como y de la Ecuación de la Energía, estas ecuaciones no podrán cumplir con todas las condiciones de contorno naturales. En particular no cumplen con la condición de no deslizamiento en las superficies de contacto con sólidos o la condición de continuidad de la temperatura, estas discontinuidades carecen de PAg 13

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos importancia para muchas aplicaciones pero no para otras lo que conlleva a tratar en esas discontinuidades con otras ecuaciones que finalmente conllevarían a temas muy profusos dentro de esta disciplina como es la Teoría de la Capa Límite. Por último hay que decir que en flujos supersónicos se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las Ondas de Choque o las Ondas de Mach. Nótese la desigual forma para la ecuación de la energía; ver la ecuación de Rankine-Hugoniot. Los términos adicionales que contienen la expresión p (presión) pueden ser interpretados como el trabajo mecánico realizado por el fluido en un elemento de fluido por los elementos fluidos próximos que se mueven alrededor. Estos términos suman cero en un fluido incompresible. La más conocida ecuación de Bernoulli puede ser obtenida integrando la ecuación de Euler a través de una línea de corriente (líneas a las que la velocidad del fluido es tangente en cada punto) asumiendo que la densidad es constante y con una ecuación de estado adecuada.

4.1.6 Mecánica relativista La generalización al caso relativista de las ecuaciones de Euler parte de la ley de conservación del tensor energía-impulso. Usando el convenio de sumación de Einstein dicha ley de conservación viene dada por:

Donde:

es la derivada covariante. es el tensor dos veces contra variante de energía-impulso del fluido.

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En el caso de un fluido sensible al campo electromagnético entonces el segundo miembro de la anterior ecuación. Para el caso convencional de un fluido perfecto que no es influido por el campo electromagnético el tensor de energía-impulso viene dado por:1

Donde: es la densidad másica del fluido en cada punto. es la presión hidrostática en cada punto. son las componentes cuadrivelocidad.

de

la

es la velocidad de la luz. es el tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo. Si particularizamos las dos ecuaciones anteriores al caso de un fluido moviéndose en el espacio-tiempo plano, como en la teoría de la relatividad especial, las ecuaciones anteriores pueden escribirse más explícitamente. La componente temporal se reduce a una ecuación de continuidad:

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4.2 SALTO HIDRULICO: El salto hidráulico es un fenómeno que se presenta exclusivamente en canales, cuando un flujo de agua que viaja a régimen supercrítico, choca o alcanza a una masa de agua que fluye en régimen subcrítico; presentándose abruptamente el cambio de régimen, acompañado de una gran turbulencia, disipando energía y realizando una inclusión de aire en la masa líquida. Para que el salto hidráulico realmente se produzca, es necesario que los dos tirantes conjugados que lo acompañan (menor y mayor), sean diferentes del crítico.

Además, el salto debe ser estable, con lo cual las fuerzas que lo acompañan deben estar en equilibrio y debe conservarse el momentum de una sección a otra (también conocida como “FUERZA ESPECÍFICA”). La función momentum depende únicamente de la sección del canal, del tirante y del gasto, por lo que, existen ecuaciones y procedimientos específicos de solución al problema del salto hidráulico para cada tipo de sección de canal.

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos Gráfica de la ecuación Momentum o de Fuerza Específica. La expresión empleada para calcular el momentum en cualquier sección i es:

Donde

Por lo general, en casi todos los problemas de salto hidráulico se conoce uno de los tirantes conjugados y es necesario calcular al otro. Con fines de notación, en todas las expresiones y cálculos posteriores, será llamado dk al tirante conocido y dj al que será necesario calcular.

4.2.1 EL SALTO HIDRÁULICO EN CANALES RECTANGULARES Por la condición de equilibrio y de conservación, los momentos correspondientes a los tirantes conjugados deberán ser iguales y de acuerdo a la geometría tan simple de la sección, el cálculo se reduce a la aplicación directa de la siguiente expresión:

La longitud del salto hidráulico puede ser calculado con las siguientes expresiones:

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos Además, existe otro método propuesto por el USBR(3):

Obviamente al existir el salto hidráulico y un “remanso” aguas abajo existen pérdidas de carga, las cuales pueden ser calculadas con la expresión siguiente:

Por otra parte, los saltos hidráulicos pueden ser clasificados en función de la “violencia“ con la cual se desarrollan, atendiendo principalmente a la “magnitud” del régimen hidráulico que se genera aguas arriba.

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4.3 TANQUES AMORTIGUADORES Disipa la energía cinética del flujo supercrítico al pie de la rápida de descarga, antes de que el agua retorne al cauce del río. Todos los diseños de tanques amortiguadores se basan en el principio del resalto hidráulico, el cual es la conversión de altas velocidades del flujo a velocidades que no puedan dañar el conducto de aguas abajo. La longitud del tanque debe ser aproximadamente la longitud del resalto. Ésta se puede disminuir construyendo bloques de concreto, dientes o sobre elevando la salida. Es muy importante tener en cuenta el número de Froude para saber la forma y características del resalto y del flujo y así definir el tipo de estanque.

Tanques de amortiguación La función de los tanques de amortiguación es disipar la energía del flujo supercrítico al pie de la rápida de descarga. El funcionamiento deestas estructuras se basa en el principio del resalto hidráulico, es decir, convertir las altas velocidades del flujo supercrítico en velocidades que no dañen a las estructuras o cauce aguas abajo, provocando una pérdida de energía.

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos Se recomienda el uso de tanques amortiguadores con sección rectangular; cuando por razones de economía se emplean tanques de sección trapecial se sugiere limitar lainclinación de los taludes a un máximo de 0.5:1. Siempre que se piense construir un tanque amortiguador, es necesario probar su diseño en un modelo hidráulico. Para tanques con sección rectangular es preferible el uso de los tanques amortiguadores siguientes:

•

TIPO I Para canales con pendiente moderada.

TIPO II Estanques amortiguadores para vertederos de presas grandes y de tierra con canales extensos, •

TIPO III Pequeños estaques amortiguadores para estructuras de canal, pequeñas estructuras de salida, y vertederos menores. •

TIPO IV Utilizado en estructuras de canal y en presas de derivación. Este diseño reduce las ondas excesivas creadas en resaltos imperfectos. •

TIPO V Estanques amortiguadores con pendientes pronunciadas. El principal objetivo en el diseño hidráulico de un estanque amortiguador es la determinación del ancho y elevación del estanque para formar un resalto hidráulico estable. Esto se obtiene cuando el nivel del agua de la altura conjugada es igual al nivel del tirante aguas abajo. •

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos 4.4

ENERGÍA ESPECÍFICA Y RÉGIMEN CRÍTICO

Se define como la energía por kilogramos de agua que fluye a través de la sección, medida con respecto al fondo del canal.

Valores de E para diferente valores de y.

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4.4.1 Curvas De Energía Especifica

4.4.2 Relación entre el Tirante “y” y “E”:

4.4.3 Regimen critico: Se dice que un canal, o alguna sección de él, está trabajando bajo un régimen crítico, cuando: • Posee la energía especifica mínima para un caudal dado, o • Posee el caudal máximo para una energía especifica

dada.

4.4.4 Caudal o gasto critico: Es el caudal máximo para una energía especifica determinada, o el caudal que se producirá con una energía especifica mínima.

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4.4.5.Tirante critico: Es el tirante hidráulico que existe cuando el caudal es máximo, para una energía especifica determinada, o el tirante al que ocurre un caudal determinado con la energía especifica mínima. 4.4.6 Velocidad crítica: Es la velocidad media cuando el caudal es el critico. 4.4.7 Pendiente crítica: Es el valor particular de la pendiente del fondo del canal, para la cual éste conduce un caudal Q en régimen uniforme y con energía específica mínima. 4.4.8 Régimen subcritico: Son las condiciones en las que los tirantes son mayores que los críticos, las velocidades menores que las criticas y los números de Froude menores que 1. Es un régimen lento, tranquilo adecuado para canales principales o de navegación. 4.4.9 Régimen supercrítico: Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los críticos, las velocidades mayores que las criticas y los números de Froude mayores que 1. es un régimen rápido, torrencial pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos. 4.4.10

Tipos de flujo para el Regimen Critico

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RESUMEN a) Por medio de los tirantes: si yyC, el flujo es subcritico o lento. b) Por medio de la pendiente de fondo: si SfSC, el flujo es supercrítico o rápido. c) Por medio del número de Froude: si F<1, el flujo es subcritico o lento. si F=1, el flujo es critico si F>1, el flujo es supercrítico o rápido. d) Por medio de las velocidades medias: si VVC, el flujo es supercrítico o rápido.

4.4.11Ecuaciones del Régimen Critico: Condiciones para la energía específica mínima (Q constante)

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4.4.12 Relaciones entre los Parametros PARA UN REGIMEN CRITICO: SECCION RECTANGULAR:

a) Relación entre el tirante critico y el caudal: b) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: c) Relación entre la energía específica mínima y el tirante crítico: d) Número de Froude:

SECCION TRIANGULAR:

a) Relación entre el tirante critico y el caudal: b) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: c) Relación entre la energía específica mínima y el tirante crítico:

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SECCION TRAPEZOIDAL:

CURVAS PARA DETERMINAR EL TIRANTE CRITICO

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos 4.5

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Si el régimen de flujo es permanente es posible asignar a una línea de corriente de una sección de canal una energía respecto de un nivel de referencia cualquiera. Esta energía es la suma de dos términos conocidos: 1) la energía de posición de la sección z + y 2) la energía específica del propio fluido respecto de la solera del canal, E.

Por tanto la energía total y la específica están dadas respectivamente por:

Las variables ya han sido definidas con anterioridad. De aquí se concluye que la variación de energía total, H, respecto de las abscisas x de referencia del cauce, es decir, la pendiente motriz, es la suma de dos términos: 1) la variación de cota o pendiente del canal y 2) la variación de energía específica. Tanto la pendiente de la línea de energía como la pendiente del canal se considera que disminuyen a medida que se avanza en la dirección positiva dex . Así, la variación respecto de x de estos términos es respectivamente -Sf y – So. Es posible expresar la variación de la energía específica en el canal (sea éste prismático o no) como igual a la

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos diferencia entre la pendiente del canal y la línea de energía, de manera que:

Siendo dE /dx la variación o derivada total de la energía específica respecto de x, pues hay que tener en cuenta que E es una función de las variables (x, y), donde y es el calado de agua en la sección considerada. Realizando la derivada total de la energía específica encontramos que:

De esta derivada resultan dos términos. El primer término es el que distingue al cauce entre prismático y no prismático. Si el cauce fuese prismático este primer sumando es nulo, y por tanto la variación de energía específica es sólo función del calado en la sección. Así, es posible separar el estudio de la ecuación (5.6) en dos partes que detallamos a continuación (Simon, 1986)

4.5.1 Clasificación de Canales en flujo gradualmente variado A efectos de identificar el comportamiento de la superficie libre en flujo gradualmente variado, los canales se clasifican en función de su pendiente de fondo y también de su rugosidad y el caudal que circula por ellos. Definición: La pendiente crítica (Sc) resulta ser aquella pendiente para la cual en un canal de geometría y rugosidad conocidas, por el que circula un caudal Q, el tirante normal coincide con el tirante crítico.

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Clasificación: En el caso que la pendiente de fondo sea negativa (S0 < 0),, esto es la cota del fondo del canal crece en la dirección del flujo, se clasifica como canal tipo A (pendiente adversa). En el caso que la pendiente de fondo valga cero (S0 = 0), esto es canal de fondo horizontal, se clasifica como canal tipo H (pendiente nula). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta igual a la pendiente crítica (S0 = Sc), el canal se clasifica como tipo C (pendiente crítica). Obsérvese que esto implica (y0 = yc). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta mayor que la pendiente crítica (S0 > Sc), el canal se clasifica como tipo S (pendiente fuerte). Se verifica en este caso (y0 < yc). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta menor que la pendiente crítica (S0 < Sc), el canal se clasifica como tipo M (pendiente suave). En esta condición se cumple (y0 > yc). •

•

•

•

•

Observación: Para un canal ancho, de pendiente de fondo conocida, el canal se clasifica M o S dependiendo si

Al sustituir en la ecuación de flujo gradualmente variado las expresiones para el número de Froude y para la pendiente de la línea de energía resulta una ecuación diferencial de primer orden cuya primitiva no es PAg 29

obtenible -50

Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos analíticamente. En el caso en que la forma de la sección del canal no cambie con la progresiva, la función se simplifica

4.5.2 Perfiles de flujo en flujo Gradual Variado Dada la dificultad implícita en la resolución de la ecuación diferencial de Flujo Gradual variado, resulta de interés conocer a priori como es la forma de la superficie libre para las distintas posibilidades existentes. Este análisis se realiza identificando el signo del numerador y del denominador de dicha ecuación, y el comportamiento de la derivada de la superficie libre a medida que el tirante se acerca a valores característicos ( y → yc ; y → y0 ; y → α ; y → 0 ) Para el caso de canales de pendiente suave (canal M), se distinguen 3 casos. M1 si se encuentra por sobre el tirante normal; M2 si se encuentra entre el tirante normal y el tirante crítico y M3 si se encuentra por debajo del tirante crítico. Los perfiles resultantes en estos casos son:

M1 La curva M1 se denomina también curva de remanso. Usualmente se produce aguas arriba de un obstáculo o contracción en canal con pendiente suave.

M2 La curva M2 se denomina también curva de abatimiento y suele producirse en un canal que cambia la pendiente de suave a fuerte o en caídas libres.

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Para el caso de canales de pendiente fuerte (canal S) se distinguen 3 casos. S1 si se encuentra por sobre el tirante crítico; S2 si se encuentra entre el tirante crítico y el tirante normal y S3 si se encuentra por debajo del tirante normal. Los perfiles resultantes en estos casos son: curva de tirante creciente S1 con asíntota horizontal para tirantes muy grandes; curva de tirante decreciente S2 asintótica al tirante normal y curva de tirante creciente S3 también asintótica al tirante normal. En el caso de canales de pendiente crítica (canal C) se distinguen solo 2 casos, dado que no existe la zona entre y0 e yc pues ambos son coincidentes. El caso C1 (curva de tirante creciente) si se encuentra por sobre el tirante crítico y el caso C3 (curva de tirante creciente) si se encuentra por debajo del tirante normal o crítico. Si el canal tiene pendiente nula o adversa no existe la condición de flujo uniforme, dado que nunca es PAg 31

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos posible balancear la pérdida de carga por fricción contra las paredes del canal con la diferencia de cota de fondo originada por la pendiente del canal. En el caso de canales de pendiente horizontal (canal H) se distinguen también solo 2 casos. El caso H2 (curva de tirante decreciente) si se encuentra por sobre el tirante crítico y el caso H3 (curva de tirante creciente) si se encuentra por debajo del tirante crítico. En el caso de canales de pendiente adversa o negativa (canal A) se distinguen igualmente solo 2 casos. El caso A2 (curva de tirante decreciente) si se encuentra por sobre el tirante crítico y el caso A3 (curva de tirante creciente) si se encuentra por debajo del tirante crítico. A continuación se presenta gráficamente los perfiles de flujo resultantes en los diversos casos.

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Los ejemplos en los cuales ocurre flujo gradualmente variado son muy diversos. A continuación se presentan tan solo algunos de los más usuales para canales de pendiente suave (mild slope) y fuerte (steep slope).

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos Otros ejemplos de perfiles de flujo gradualmente variado para canales de pendiente crítica, horizontal y adversa respectivamente son:

Los primeros métodos desarrollados parten de plantear la ecuación de la energía entre dos secciones suficientemente próximas, como para que la tasa de disipación por unidad de longitud se pueda estimar adecuadamente a través de sus valores en esas dos secciones y el problema de resolver la ecuación diferencial se transforme en la resolución de una ecuación algebraica no lineal. Un ejemplo de este tipo de métodos es el conocido como Paso Directo, a través del cual es posible estimar la progresiva a la que se tendrá un tirante objetivo partiendo de una condición de progresiva y tirante conocidas:

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A través de un procedimiento iterativo entonces se puede completar el perfil de flujo para todo un tramo de interés, subdividiendo siempre en tramos pequeños (o de pequeña variación del tirante entre cada uno de ellos). Otro conjunto de métodos para la resolución de esta ecuación general del FGV devienen de la utilización del desarrollo de Taylor de la función y(x), obteniéndose precisiones mayores cuanto mayor sea el orden del término para el cual se trunca el desarrollo. Dentro de este grupo de métodos se encuentran los métodos de Runge Kutta, el cual en su versión más simple (orden 2) permite calcular el tirante en la progresiva (i+1) –conocido el tirante en la progresiva (i)- como:

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5.-

PROBLEMAS PROPUESTOS

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5.1 PROBLEMA PROPUESTO Y RESUELTO 1

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos ENERGIA ESPECÍFICA Y FLUJJO CRITICO

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Carlos Alberto Torres Tuya - Mecánica de Fluidos ECUACION DE EULER

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6.- RECOMENDACIONES Para aplicar los principios de la física que rigen el movimiento de los fluidos, al estudio teórico de las máquinas hidráulicas y otros dispositivos así como su aplicación a la solución de problemas prácticos de aplicación industrial, y la solución de problemas de transporte de fluidos entre otras aplicaciones. También se recomienda solicitar un laboratorio donde se practique las propiedades de los fluidos como el salto hidráulico y los tanques amortiguadores

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7.- CONCLUSIONES Pocos sistemas mecánicos industriales pueden prescindir de la acción dinámica y/o térmica de un fluido, esto hace que la profundización en el estudio de la ciencia de la Mecánica de Fluidos, sea imprescindible en la formación integral de un ingeniero mecánico, pues desarrolla competencias técnicoespecificas necesarias para que su desempeño profesional en el ámbito laboral sea significativo, eficiente y eficaz.

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