A CU L A D D E N G N I R f
No No
perfecto
aplicaciones
(I.M (I.M.F .F .I.A .I.A.) .)
EN NT TR cOlT cOlTec ecci cion ones es suge sugeren renci cias as errores@cei,fing,edu,uy http://www.cei.fing.edu.uy
a:
D E E ST ST U UD D IA IA N E S
para para el curso
ot
FLUIDOS
perfecto
aplicaciones
2010
-
INTRODUCCION.
t, para para todo todo t.
(1)
fs(P,t) (est (est pres presio io
denomi mina nada dapr pres esi6 i6 tambien deno
abso absolu luta ta
ecua ecuaci cion on dina dinami mica ca punt puntua ua de Eule Eulerr-Ca Cauc uchy hy (2)
cani cani
dv dt
pF
Vp
de flui flui os perf perf to
co de ivad ivad
cont contin inua ua
escr escrib ibir ir
ento entonc nces es
(p),
(3
(p). lq
en (p(p,t».
(3
ia
p,
(3
escr escrib iben en ah ra 0b
i) (5)
il)
p(P).
dp dt dv dt
iii)
F pep)
lo
EI flui fluido do pe fect fect
inco incomp mpre resi si le
uniformemente incompresible).
inco incomp mpre resi sibl bl
(6)
es
i)
V.v
il)
dv p-=pF-Vp dt
~~~~-~~~~~~~~-
-
ci
rd
ci
ic
ci em ti
as
al co is
fi ie fija
movi movimi mien ento to cono conoci cido do
tal qu la
pueden ella, material.
arti articu cula la flui flui en cont contac acto to co dich dich aunq aunque ue pued pueden en deslizarse sobre
uper uperfi fici ci no la
fija,
ir nita nitari ri orma orma en ento ento ce la cond condic ici6 i6 denominada cond condic icio io de no atra atrave vesa sami mien ento to es:
,v(P,t) bord bord ci emat ematic ica, a,
v(P,t).n
(7)
Si la uper uperfi fici ci Set)es Set)es m6vi m6vil, l, ea en t. ce (v(P (v(P superfi superficie cie S(t). S(t).
(P
s(P, s(P,t) t)
es
v( ,t), ,t), re pect pectiv ivam amen ente te la velo veloci ci ades ades en el
velo veloci cida da
rela relati tiva va
La cond condic ici6 i6 de bord bord cine cinema mati tica ca esta establ blec ec ahor ahora, a, gene genera rali liza zand nd (7), (7), qu dich dich velo veloci cida da P, entonc entonces: es: , V
(8)
v(P, v(P,t) t)
vs(P vs(P,t ,t». ».
dato)
cono conoci cimi mien ento to de caudal velo veloci cida da
asin asinto toti tica ca
velocidad
r~ ie en el cono conoci cimi mien ento to la circ circul ulae aeie ie de camp camp de velo veloci cida dade de en algu alguna na curv curv dete determ rmin inad ada. a. Ifmite,
superfi superficie cie Set no presion es
debi debien endo dose se cump cumpli li adem ademas as la no es un
dato.
La cond condic icio ione ne inic inicia iale le cons consis iste te en el cono conoci cimi mien ento to en el algu algu inst instan ante te dado dado to camp campos os de velo veloci cida dade des, s, dens densid idad ades es pres presio ione nes, s, en dich dich inst instan ante te lo cual cuales es debe debe veri verifi fica ca la co io (5 (6 ar fl id co es r6 fl inco inco es es ct en e. as co icio icio ci le in ce ia cuan cuan ca luci luci es proces esos os mecan mecanic icos os estu estudi diado ados. s. estacionarias de lo proc
Observaciones: a)
barotr6pico no
ta
co
rtam rtamie ie
luid luid
er ec
ej
f(p T),
cual
no
menc mencio iona nada da
ante anteri rior orme ment nte. e.
b) consecueocias
t,
meeani niea ea tot~ tot~ potencia meea en
j(pF).vdV
porcion j(-pn).vdA.
el instante
energfa
c(
j(Yz)pv dV. 'D
ag
meeaniea; el inst instan ante te (9)
\itER,
i_Ec(D,t) dt
tamb tambie ien: n:
(10)
\itER,
H(t),
j(pF).vdV
j(-pn).vdA
j-p(V.v)dV
Demo Demost stra raei eien en La pote potenc ncia ia de la pres presio ione ne se tran transf sfon onna na de sigu siguie ient nt modo modo f(-pn).vdA
f(-pv).ndA
oD
aD
fV.(-pv)dV
f(-( f(-(Vp Vp). ).
-p(V -p(V.v .v») »)dV dV
(a)
igualdad (b) se ap ic de tida tidad: d: .(au .(au (Vnj.u dife dife enci enciab ab un ampo ampo ec oria oria dife difere renc nc able able
(V.u (V.u), ), va da ar un ampo ampo sc la
Para Para la pote potenc ncia ia mecanica tota tota sumi sumini nist stra rada da D, se tien tien ento entonc nces es Pot(D,t)
f((p f((pFF-
J-p(V.v)dV
dt
).
dt
p( v» dV
Jp(v /2)dV
J-p(V.v)dV
dt
(a
J-p(V.v)dV (b)
form formul ula: a:
dt
fp'Y
dV
Jp d' dt
La de os raci raci6n 6n esta esta tenn tenn nada.•• nada.••
Observaelenesr util util ze od cent cent al la ecua ecua io de Eule Eulerr- au hy en vers versio io gene gene al (2 po que el resu result ltad ad obte obteni nido do vale vale para para movi movimi mien ento to cual cuales esqu quie iera ra de flui fluido do perf perfec ecto tos, s, au lo qu compresi compresible ble barotr6pi barotr6pico. co. flui fluido do pe fect fecto, o, co el ba ance ance de nerg nerg ca ic ar un pa ticu ticula la un ua on se obse observ rvar aran an anal analog ogia ia dife difere renc ncia ias. s. En el caso caso de un part partic icul ul mate materi rial al de masa masa escr escrib ib un ov ient ient on eloc eloc da omet ometid id na fu rz to al ap icad icad gu se tien tien para para la pote potenc ncia ia sumi sumini nist stra rada da Pot
(por Newton) Newton) Se obse obse va ue
ar
na za
as st
dv dt). dt).
la part partic icul ul co
ltim ltim
ob erve erve
as
(m/2)(dv /dt) po en ia
E,
ca ic
qu la ot ncia ncia po unid unid
as que
mv'ln.
otal otal umin uminis istr trad ad se es na
de olum olumen en tili tiliza zada da en
diametro
1° si (V.v (V.v)( )(P, P,t) t) 0, nega negati tiva va en (P,t (P,t), ), ye flui fluido do entr entreg eg pote potenc ncia ia meca mecani nica ca
qu impl implic ic dila dilata taci cion on
su exte exteri rior or al dila dilata tars rse. e.
J-
t,
meca mecani nica ca se escr escrib ib (11)
.v
simp simple leme ment nte: e:
Pot(D,t)
-Ec(D,t) dt
el os
pr sion sion
se ti ne
J(-p'n).vdA
J(-pn);vdA, eo
aD
JV.vdV aD
el nu vo ca po de pr sion sion
-p(V.v)
p.
pote potenc nc
de comp comp esio esio
p(V. p(V.v) v)
resu resu
PJP( PJP(
du
o(p)
nton nton es .. Jpa( Jpa(p) p)dV dV
.. Edef Edef(D (D t) dt
PJP(~2du.
in gr
de {D,t {D,t o(p)
escr escrib ib
ener energf gf
de defo deform rmac aci6 i6
nerg nerg
de defo deform rm io
asi: asi:
(12)
ot D, t)
dt E, (D
dt de (D t)
tambien se eonserva la energfa
deformaci6n. (RT)p. (RT) (RT) Logt Logtp/ p/ps ps). ). Po
ener energi gi
Observaci6n:
io
por
por
no xist xist
onse onserv rv i6
no
meeaniea
-(VV)(P).
dV
(VV).v
dt
(pF).vdV
libr libr
dV p-dV
F.v
pVdV
--Ep(D,t), dt
la nerg nerg
me nica nica
donde: donde: Ep(D,t Ep(D,t
ener energi gi
pote potenc ncia ia
t.
La ecua ecuaci cion on de bala balanc nc de ener energi gi meca mecani nica ca (10) (10) en este este caso caso se tran transf sfor orma ma en (13)
H(t),
J(-pn).vdA
H(t),
f(-pn).vdA
_! f(Yz)pv dV
_! fpVdV
dt
dt
J-p(V.v)dV
bien bien (14)
Ejem Ejempl pl
de apli apliea eaci cion on
diversas hipo hipote tesi si simp simpli lifi fica cati tiva va al resp respec ecto to 1° EI tubo tubo supu supues esto to fijo fijo haran
cons consta tant nt de area area
diam diamet etro ro desp despre reci ciab able le fren frente te la long longit itud ud
volu volume me cons consta tant nt supondra perfecto
long longit itud ud
(1)
espe espeso sor) r) La velo veloci cida da de flui fluido do se supo supond ndra ra unif unifor orme me en cada cada bi camp camp grav gravit itat ator orio io supu supues esto to unif unifor orme me
-gk.
Se quie quiere re estu estudi diar ar el movi movimi mien ento to de flui fluido do dent dentro ro de tubo tubo
supo suponi nien endo do qu nunc nunc aban abando dona na
supe superf rfic icie ie libr libres es de flui fluido do cuan cuando do esta esta en repo reposo so Se D(t) D(t) la regi region on ocup ocupad ad po el flui fluido do en el instante t. Se et rmin rmin di ha re io or la co (t de la su erfi erfici ci ib (2 ra er ch del tubo. tubo. ue to qu la fu rz de
as pr vi ne
oten oten ia es ac on ri
ni al nt
-'7(gz),
porc porcio io tota tota de flui fluido do ocup ocupan ante te la regi region on D(t) D(t)
en ad se ci
el tubo tubo la velo velo id
va e:
h(t)
siendo
ec or un ta io ta ge te
gene genera ratr tric ices es de tubo tubo en dich dich secc seccio ion, n, orie orient ntad ad de (1 haci haci (2). (2). superf superfici ici corres correspon pondie diente nte
las seccio secciones nes (1)
(2), (2),
la supe superf rfic icie ie at ra (S ).
tien tien as
la
f(-pn).vdA
f(-pn).vdA
f(-pn).vdA
f(-pn).vdA
eo
,n
Poh(t)A. (1)
-poh(t)A. (2)
t)
que:
o.
f(-pn).vdA (SL)
O. en
1su
regi regi6n 6n mate materi rial al
ener energi gia. a. S6
falt falt
alcu alcula la la ener ener ia
0an inet inetic ic dV
Ep(D,t)
C",
pote pote cial cial (Yz)ph2V(D)
(Yz)ph2AL
esta
po
Do Eo
eali ealiza za
poni ponien en
(t lo te
t,
se obti obtien ene: e: 2gh
21t/
Ejer Ejerci cici ci 1).1).-
pequefio fr nt L.
ram izquie izquierda rda ba on la ra as erti ertica cale le se pide pide
abie abiert rtas as infe infe io ment ment
ram izquie izquierda rda
instante.
Ejer Ejerci cici ci
2)
R, A.
10
la tm fe a,
BERNOULLI
Ill)
(P,t (P,t), ), univ unival alen ente te pero pero no nece necesa sari riam amen ente te esta estaci cion onar ario io escribe: dv
(15)
-VV--Vp
'I'(p)
J-du p(u)
Po
(16)
La rela relaci ci (16)
V'I'
Vp
ante anteri ri
ab evia evia
V(p,t),
(V'I')(p(P, t)) tr
Ejercicio 3).-
dv dt
(17)
'I'(P)
Po
siguiente: p(p( p(p(P, P, t) ld
Vp)( Vp)(P, P, t)
(16).
V(V '1')
J-du. Po que
Observaci6n:
11
no
una orientacion tomada v(P,t)
t, por
v(P, v(P,t) t) t(P, t(P,t) t) V;f:.
t(P,t)
v.t.
tener: r: 0, se pu de tene
yep, yep, )/ll )/llv( v(p, p, )l ismo ismo
v(P,t)
enti entido do que
Ilv(p t)ll
t(P,t) sent sentid id
hora hora resu result lt qu
Su nunc nunc ad
opue opuest st
v( ,t
es
-llv -llv(p (p t)11 t)11). ).
ig ient ient
comp compre resi sibl bl
Aprecede
flujo orientada de inst instan ante te
baro barotr trop opic ico, o, some someti tido do
B),
orient orientaci aci6n 6n consid considera erada: da: (18)
(*)
dV. dt
dV.
Sj
ds
(v22
\{'J
(B,t)
(- V(V+\{')~t
12)
d(vt).t
(b)
(a)
12
dv dt
8v (c)
(Vv),v
(Vv).(vf)
tran transf sf rm
en
ener energi gi
fN
(20)
.f
(vVv).f
espe especf cffi fica ca J{ por:
'P (J
J{
(VJ{).f lo
fijo t,
esta antes
orientada
dich dich orien orienta tacio cion) n) SB
fN
obte obteni nien endo dose se
SB
J(VJ{).fds SA
SA
la
(VJf)
J{
es: SB
(21) SA
fN
at
ds
(J{(B, t)
J{(A, t))
Observaciones:
a)
en
ie
b)
precede B, sigue SB
c)
arbitraria.
l3
ue im lica lica SA,
Yl
SA
SB.
Es
de
(21).
El ease ease esta estaci cion onar ario io qu sign sign fi or
qu
pote pote ia
Bern Bernou ou i:
compresible
(22)
Observaciones:
de flui fluido do plos plos de pl
ci n.
1°)
(2)
(18). una
14
(t)
t,
l)
ascendente
(B,t)
SA
(A,t)
(A,t)
~(B,t)
p(B,t)
Po
2gh(t)
(1) altura b(t)
ie
conf config igur urac aci6 i6
de inst instan ante te
supuesta (d nd
ho
na
pr si6n si6n
osfe osferi ri
ondu onduce ce
sigu siguie ient nt
ua 6n dife difere renc nc
h(t)(h(t) h(O) (4 de (1
st nt
t,
(**)
15
C"
fo ma og ca si J~h2dV
_!.ph A(h+L).
D2
/2 !_
c=, que, que,
ph
que simpli simplific ficada ada
gh
dV
dt
.£_P-ph
ao
(v.n)dA (1)u(2)
alli
(1) ~Ec(D,t) dt
dt
JpliiidV
pliiiV(D)
phiiA(h+L)
pgzdV
pghhA (1)u(2)
+L
el reco reconc ncil ilia iado do entr entr si fina finalm lmen ente te!! !!
16
po deri deriva vaci ci6n 6n
Ejer Ejerci cici ci
4).4).-
tram tramos os rect rect
erti ertica cale le abie abiert rt
la atmo atmosf sfer era. a. EI
frente te pequefio fren
circular. un in tant tant
ad
abre abre ru came came te la al
la
rect vertic vertical al inferio inferior. r. ca la ad ad id co ig ra al li ui se encu encuen entr tr en el tram tram rect rect erti ertica ca infe inferi rior or co su extr extrem em uper uperio io en V. tili tiliza za Bern Bern ll para para alla alla la ec acio acio ifer iferen enci cial al ar el aram aramet etro ro a(t), qu gobi gobier erna na el mo imie imient nt el li ui Inte Inte ra un ve esta esta ec acio acio ulti ulti lica licand nd re iame iament nt am miem miembr bros os po ci(t). am ci co ig ac menc mencio iona nada da en a) Datos: es Ejer Ejerci cici ci
es
5).5).-
diam diamet etro ro es pequefio
inco inco pres presib ible le de si ad se de ag ta po fe eg el fl el inst instan ante te t, el inte interi rior or de tubo. apli aplica cada da
ar hall hallar ar la ec acio acio
ifer iferen enci cial al qu
a(t).
apli aplicac cacio io de teorem teorem de Bern Bernou oulli lli
17
extr extrem em
erif erific ic
Rg
regu regu tars tars
si
trat trat de afir afirma maci cion ones es eq ival ivalen ente tes. s.
"equivalentes" "verdaderos"
todo todo tien tienen en
te
el
flui fluido do perf perfec ecto to ineo ineomp mpre resi sibl bl
re pues puesta ta po itiv itiv
eomp eompre resi sibl bl
baro barotr trop opic ico, o,
esta esta Ulti Ultima ma cues cuesti tion on eons eonsid ider eran ando do unic unicam amen ente te mo imie imient ntos os esta estaei eion oner erio io
perf perfec ecto to inco incomp mpre resi sibl bl
.D
(14) ti
Lema 1).- Se eump eumple le la igui iguien ente te equi equiva vale lene neia ia Bernou Bernoulli lli (estac (estacion ionari ario) o)
VPEH, J{
J{
18
dt
Lema
dJf
VPEH,
VDcH,
dt
dt
dJf dV.
dt
dt
dJf dV dt
dJf dt
od
nH ..
6)
UCIT
ento entonc nces es que: que:
Lema 3).- Se cump cumple le la sigu siguie ient nt equi equiva vale lenc ncia ia VDcH,
Ejercicio 7).dp dt
(Vp).v
emos emos ra
nton nton
qu
Lema VDcH,
dt
dt
dV
ro
Nota: le
ia
no
19
para
ecua ecuaci cion ones es equi equiva vale lent ntes es puesto
de transf transfonn onnac: ac:ion iones es invertibles equivalente
(A).
0q equivalente
(B).
V) T R A Y E C T O R IA IA .
ar tr
ico. ico. Se on ider ider
na part partic ic 1a cual cualqu quie ie
espe espect ctiv iv
'T
de 'I':
'T;
trayectoria
tray trayec ecto tori ri
(s),
T" terna
curva
(t,
o~
'T
'T
intrinseca
defi define ne
re et
se
por: por: IF'(s)
C(s)n(s);
t(s)/\n(s) curvatura
C(s)
sea sobre la tray trayec ecto tori ri
'T dP/dt
Pa
'(s(t»s(t)
set t(s(t» t(s(t»
s(t).
la acel aceler er ci6n ci6n esul esulta ta ento ento ce
a(P,t)
dv/dt
(dv/dt)t
v(dtldt)
(dv/dt)t
20
vt'(s(t»s(t)
(dv/dt)t
Cv2n.
V(V
dt
'P),
se
obteniendo:
-(V(V+'P)~t
dt
-(V(V+'P)).n -(V(V+'P)).b
iii)
}t
v; qu
el
tien tien ento entonc nc s: dJ{/dt
a1£IOt
(V1f).v
1£
te
(0 el unitario i, por
v(P,t)
v(P,t)
a(P,t)
(dv/dt)(P,t)
-V(V
'P).
(0
al
(0), se pued pued escr escrib ibir ir
vector
k, resp respec ecti tiva vame ment nte, e,
se obti obtien ene: e:
(V(V
'P).j
Oflay
Of/8z
0,
ento entonc nces es
el vect vector or unit unitar ario io
entonces
en (0), se tien tiene: e:
idir idirec ecci ci na
'P
eg
(V(V
f(x,t).
(L perpendicular
i, para para dich dich
'P inst instan ante te
21
'P
f(x,y,z,t).
A1guna A1guna consec consecuen uencia cias. s. e1
esta -g g~
'I
ply, es la de mi ad
cota cota
pip
e3
g(~
iezo iezome metr tric ica. a.
(L (L). Un
-(V(g~ (V(~
p/y)}n
velocidad
-Cy2/g.
Ilvll I v l . (ply),
el
al de avio avion, n,
problema equivalente constante
22
p/p)}n,
ovim ovimie ient nt
reposo co si erar erar refe refere renc ncia ia iner inerci cial al soli solida dari ri es refe refere renc ncia ial) l)
este estela la irre irre ular ular ve figu figura ra
decrecen inferior
el arco
sobrepresiones depresiones fuerza
f1uido~
perfil
vertical ascendente segun k.
ia
ll
la
Nota:
teorema flui fluido do entonces exis existe te (Esta
na fuer fuer
fluido-s perfil,
erfe erfect ct
inco inco
normal
fuerza de arra arrast stre re
tr
aero aerodi dina nami mica ca te6r te6ric ic
VI) REALES.
co lo resu result ltad ados os expe experi rime ment ntal ales es
23
id
id
ia
im
re ible ible
(L
superficie (L),
Ento Ento ce
ply),
ti en la
ig ie te
p/y)(A)
(C;+ p/y)(B)
.Se
igua iguald ldad ades es (C;+ p/y)(C)
(C;+ p/y)(D). Y(
(L)
tuba
poly poly), ), sien siendo do Po (L)
(L es
de piezo piezomet metro. ro.
°)
edid edid
eloc elocid idad ades es
ga o)
24
po
estancamiento).
~J(A)
~J(B)
2g
Pues Puesto to
ue
2g
0, esul esulta ta
VB
tubo im
2g Finalmente: (24)
.j2gh
figu figura ra (man (manom omet etro ro
diferencial)
el de circ circul ulac acio ion: n:
;+
~}A)~
~}
;+
-l)h
25
l-
-
~ ~
-
En resu resume men: n:
3°) Me id
caud caudal ales es (contraeeion
de Vent Ventur uri) i)
aumento fuerte dism dismin inuc ucio io
piezom omet etri rica ca fuer fuerte te de la piez de
entu enturi ri
(1)-(2),
expa expans nsi6 i6
grad gradua ua
)-(2) se
(2)-(3).
el (2)-(3), de mayo mayo
alli no (1 )-(2) tambien
(2), por
ue la piez piezom omet etri rica ca el caso
ie VI
=
qu resu result lta: a:
;!-;~~ ( Y ; - I }
(*) Sea
que: (**)
SIVI
S2V2. y, Y s
(26)
Q~
fillY 26
4°)
atmosfera. ua
ra
(a
c, e,
(*)
~J(A) 2g
0.5.
~J(B) 2g
27
(~
En re umen umen re ulta ulta
p/y)(A)
(**)
H=
Luego: VB
(27)
secc secci6 i6
2gH
cont contra raid ida. a. Ento Entonc nces es el caud caudal al desc descar arga gado do se obti obtien en
inme inmedi diat atam amen ente te
(28)
te
(***)
2g
(A)
lo
id
+- +-
2g
lo id
(B)
2g
siendo
coefic icie ient nt 0) un deno denomi mina nado do coef
(*** (***
ad
VR
de perdida
lo id de carga
obti obtien ene: e: (l+k)
-vl+k
2g
coefic icie ient nt es el deno denomi mina nado do coef
de velo veloci cida da
(0
1).
lo to
el
de inge ingeni nier eria ia
(29)
QR
SVR
(ccSo)(cy~2gH)
cqSofigH CcC denominado
lor
28
gasto,
ot
el ecip ecipie ie te no estaci estaciona onario rio
if movimiento
cuasi-estacionarios).
V(H)
t,
Jcr(z)dz
H(t)
(30)
cr(H(t))H(t)
cqS ~2gH(t)
nivel
(31)
Ejer Ejerci ci io
).
29
c)
cu
--.,(----
determinada
la hidro hidrosta statl tlca ca
el ti ante ante proyec ecta tand nd (0), proy
eg
el ecto ecto hori hori onta onta
i,
el peso
no tien tien cont contri ribu buci ci6n 6n (*)
i. Ipv(v.n)dA
contraida AJ
encu encuen entr tr
br
i.
dA
ier
el
h.
pon .(***)
(32)
2gh
cc
nR2
30
).
