~.
ESFUERZOS
.INTERNOS I.M.F.I.A.
1 1 1 1 1 1 1 101020095 111
Of Ce
n a d e P ub ub l Es
ne
crrorcs(akci.cdu.LI\I _/ www.cci.cdu.uy
Fluidos
Redactor: lo
luid luidos os
2002
OFIC OFICIN IN
DE PUBL PUBLIC ICAC ACIO IONE NE
ABRIL ABRIL 200 Terc Tercer er
Edic Edicio io
ESFUERZOSINTERNOS
INTRODUCCION
re
cuer cuerpo po cont contin inuo uo
ra continuos. defo deform rmab ab es nomina la rm sinonimos.
guna guna
ract racter eris isti tica ca
conceptos calcul calcul vector vectorial ial
punt puntos os mate materi rial ales es
de la eoria. eoria.
de alge algebr br line lineal al
uerp uerpos os rigi rigido dos, s,
ra pren prende de caba cabalm lm nt
te ria. ria.
10
ni
10
EsJuer EsJuerzos zos intemos intemos
tan ri re llamado esta esta ensi ension onal al lo al lebr lebr omun omunic ic ci de A. Phil Philom omat atiq ique ue
pag. pag. 9-13 ) ( 1 ) ,
desa desarr rrol olla la
po di ho cien cienti tifi fico co
publ public icac acio ione ne
post post rior riores es
tensiones.
rg
ri
ra
qu se elig eligi6 i6 esta esta pres presen enta taci ci6n 6n
tensoriales, equilibrio
al unos unos asos asos simp simple les. s.
in luye luye
entr entr esto esto un desa desarr rrol ollo lo siqu siquie iera ra elem elemen enta tal, l, de la hidr hidros osta tati tica ca
-
(I
Cauchy A.
di trib tribuc ucio ione ne
ma
de
lera lera io
de
teri terial al t,
(t) ).
sist sist
part aislar un part
por
cual cualqu quie iera ra el exte exteri rior or
el cuer cuerpo po t, una
fini fini su rf ie tada tada posi positi tiva vame ment nt
(i 1,....m), lisas haci haci el exteri exterior or
on di mi
jerc jercid id
obre obre r : p , en el instante
ns
fi
os un co ti os
mi
categorias:
de D.
interior
frontera ccio ccione ne
dist dist ncia ncia
de D.
ejer ejerci cida das, s, so
Yp ca
gravitatorio
electromagnetico.
por
presiones
tracciones
fr
ra
ex er
EsJuer EsJuerzos zos Intern Internos os
La a cc cc iioo n d in in am am iicc a
je
t,
torsor
i) (1.1)
n(t)
&(t)
G(P,t)dV
ii)
f(P-Q)/\G(P,t)dV
:H
t.
cualquiera.
Observaciones volu volume me H(t).
(p
apli aplica ca os
unto untos, s, curv curvas as
uper uperfi fici cies es
Q) \G P,t) P,t)
te
H(t) H(t) ento entonc nces es SI
ejer ejer
c::
G(p, t)
V(D)
V(D)
t.
ns
si
o(V(D»
(1.2)
En form form ente entera rame ment nt
analoga,
(t)
resulta:
t)
)/
(1.3)
o(V(D»
Rn(t)N(D)
)/
infinitesimos
ccio ccio
,t).V(D)
dina dinami mica ca
de d ia ia m e tr tr o p e qu qu e fi fi o" o" . El
is
ti ne resu resu tant tant
fuerza
Observaci6n
volu volume me
pued pued ocur ocurri ri en mate materi rial ales es pola polari riza zado dos) s)
(G(P (G(P t) (D», (D»,
Esfu Esfuer erzo zo
Inte Interno rno
H(t),
GCP' GCP' t)dV t)dV
RDCt) .911CD,t)
/VCD)
GCP, GCP, t) pCP, pCP, t)
pCP', pCP', t)d /VCD)
G(~_Q, pep, t)
tambie tambien, n, abrevi abreviada adamen mente, te,
0,
F(P,t)
inte inte idad idad
el ca
gene gene a,
ar ca
in ta te t,
ra itat itat io (1
sigu siguie ient nt modo modo i)
(1.4)
Tn(t)
ii)
ante anteri rior or mues muestr tr
ci
co
aD ,e
(1.5)
fiJI fiJI(P (P t) dA iJI)
Ton(t)
f(P-Q)/\fiJI)(P,t)dA iJI)
aD. frontera aD, te funcion
aD. tambien: fiJI)(P,t)dA
(aD
Si
Si
rc
Observaciones
de un
od
senc sencia ia co
aD, la tens tensio io foD(P,t) na izar izar post poster erio iorm rm nt
aD
E s Ju Ju e r zo zo s I n e r n o
ific ific
aD
la
f o D ( • ,t)
aD,
pued inte interp rpre reta tars rs ToD(a,t), qu pued
ffaD(P,t)dA
aD; caD.
f o D ( • ,t)
se tien tiene: e: aD " -
A(a)
aD
A(a)
P,t-ca~. )
t.
ella pued pued a), ella
escr escrib ibir irse se
o(A(a»
foD(P,t) MoD,Q(a,t),
(1.9)
MoD,Q(a,t)
RoD(a,t)/A(a)
vect vector or tens tensio io
t.
P - Q)I\(foD(P,t)A(a»
foo(P,t);
MoD,Q(a,t)/A(a)
o(A(a»
(P
Q ) l f o D( D ( P ,t,t )
foD(P,t) A(a),
el
ns t, la acci acci6n 6n dina dinami mica ca de cont contac acto to para para supe superf rfic icie ie de diam diamet etro ro 'peq 'peque uefi fio' o' f;n(P,t)
tiva tivame ment nt
(f
valor: r: fuerza de valo
(P,t (P,t)A )A(c (cr) r)
(P
Q) (f
(P,t (P,t)A )A(c (cr) r)), ), po
(faD(P,t)A(a)),
P.
Observecion MoD,p(a,t)
fr
re
ra
aex ro
fi
T,D( T,D(t) t),e ,eje jerc rcid ido, o, cualquiera
re
e1ins e1insta tant nt
sobr sobr un part part
D,
eontae aeto to accion dinamica de eont
dinamica
sobre (1.10)
T..D(t)
(1.11)
TT,D(t)
D(t)
oD(t)
son respec respectiv tivame amente nte
T.D(t)
ao
)= t,
otra otra form form de repr repres esen enta taci cion on
del
E s J ue ue r z o I n te te r n o s
Ba an
me an co
stab stable lece cerl rlas as se intr introd oduc uc
pr viam viam nt
iert iert
defi defini ni ione ione sobr sobr
fe inet inetic ic de cuer cuerpo po
.t).
(0
la part part dado dado resp respec ecti tiva vame ment nt
por: por: (pv) (pv)(P (P t)dV t)dV j(P-Q)A(pv)(P,t)dV
en
resp respec ecti tiva vame ment nt
por: por: i)
(1.13)
Ta(D,t) ii)
10
)I(D,t)
(p )(P, )(P, t)dV t)dV j(P-Q)A(pa)(p,t)dV
de
p}l(D,t) (j! 1,
jerc jercic icio io
.3
vame vament nt po (1 12)i 12)i
P\jl dV
_
po (1.13 (1.13)i )i). ).
dt
i)
}lCD, t)
t)
(1.14)
ii)
Esto Esto pu de resu resumi mirs rs (1.15)
t)
dt
erci ercici ci
esen esenci ci
simb simb6l 6lic ic ment ment
T,
asi: asi:
t)
(1.14)ii).
-'1(Q dt
od
(D t)
.4
Veri Verifi fica ca (1.1 (1.14)i 4)i
de
-'1(Q dt
fijo,
(t)
de marc marc
(D ).
de refe refere renc ncia ia
refe refere renc ncia ia re pe to de cu
referencial
se mide miden. n.
T)
dian dian trid tridim imen ensi sion onal al E,
cronologia. rp (c
rirs rirs
bora borato tori ri
fi ro om
rigi rigido do respecto
rd rp
rs
reloj
bien
un sist sist ma de relo reloje je sinc sincro roni ni ados ados
ro fe de acele acelerac racion iones es son difer (relac acio iona nado do diferent entes es (rel
resp resp ctiv ctivam amen ente te po la f6rm f6rmul ul
de Robe Roberv rval al
11
EsJuer EsJuerzos zos Infern Infernos os
el vect vector oria iale le
asoc asocia iado do
este este
nst s, or ej
pl deno deno in
rinc rincip ipio io fu dame dame ta
la inam inamic ic ', de
ig ie te mo
dlnarnlca alil alilea ea
uy de
t,
ns accio accio
dinam dinamica ica
efer efer cial cial ab olut olut dist distri ribu buci ci6n 6n de masa masa (1.16)
inercial,
H(t),
Ta(D,t)
TD(t)
ToD(t)
--------------------------------------------------------~ ----------~
bien bien en form form equi equiva vale lent nte: e:
H(t),
(1.17)
i)
i) jt(D,t) ii VQEE VQEE
RD(t)
RoD(t) oD (t)
Lo(D,t)
(pa) (pa)(P (P t)dV t)dV
(PF) (PF)(P (P t)dV t)dV
fa
(P, t)dA
(1.18) VtER,
cH(t cH(t eo
dinamica.
Q(D, t) (1.19)
RD(t)
H(t), dt
12
RoD(t) MD,Q(t)
(t)
'el
ci
cuer cuer
Observaciones
ie
taci tacion on espa espaci cial al util utiliz izad ada, a,
todo todo t.
incl inclui uida da en H(t),
en
ra
particular,
sist sist
do ecua ecuaci cion ones es inde indepe pend ndie ient ntes es es consec consecuen uencia cia
de
prim primer er
uaci uacion on de alan alance ce me ni o.
bala balanc nc meca mecani nico co tien tien cons consec ecue uenc ncia ia
baja bajand nd
cruciales para para
descr descripc ipcio io de
ccio ccio di amic amic
en un refe refere renc ncia ia iner inerci cial al
RECAPITULACION ri
fu
denomi denominad nados os inerci inerciale ale categorias: Esfu Esfu rzos rzos de volu volume me de
t, sobre
tensiones:
para para
fOD(
.,t) .,t)
defi defini nido do
da inst instan ante te t, rp
cion ciones es dina dinami mica ca externas
uerp uerp
so fr uent uent
en
datos
intern rn camente inte
dinamica
de cont contin inuo uo
0
13
2. tens tensio io
punto".
A. (]
(pF)(. oD (.
aD.
aD se io
st dest destin in
su
tu io
dose
aH(t), H(t» H(t» (t)
PE
aD naD
(ver (ver figu figura ra
pect pectiv ivos os vect vector ores es tens tensio ione nes: s: foDl foDl(P (P,t ,t), ), fOD2 fOD2(P (P,t ,t). ).Si Si se inte interp rpre reta ta
re
(2.1)
foDl(P,t)
D2
(P,t),
ra
ejer ejerci cida da
lS~fuerzosinternos
os t.
la fron fron ra aD
comun alguna porcion
aD]nS =0"1, aD nS =0"2, esta incl inclui uida da en
D, interseccion:
hipotesis
0",de
0"=
(2.1 (2.1 tien tien la sigu siguie ient ntes es cons consec ecue uenc ncia ias: s:
1°)
aD (E inc1 inc1ui uida da en aH(t),
,t
cualqu quie ie aD de cual ,d analogas, fi (t ).
unicamente diametro
el
fini finito to camp campos os ve tori tori le
de tens tensio ione nes: s:
.t),
rm
acci accion on dina dinami mica ca
ra
(1 ): i) (2.2)
Si
ii)
MoD,Q(t)
:L
Si
del
accion
La ecua ecuaci cion on
H(t)
de bala balanc nc i)
f(pa)(p,t)dV
ii
VQEE,
se escr escrib iben en ahor ahora: a: f(pF)(P,t)dV
:Lffsi(p,t)dA Si
Si
16
,t
Estudio
fs(P,t)
la tens tensio ione ne
fs,(P,t)
rt
Observacion
modo: da
2.5)
fs(P,t)
f(P,ns(P),t)
17
EsJu EsJuer erzo zo inte intern rnos os
considerar:
el instante t.
3,
t.
Observecion
t. instante t.
om onen onen es
or al
(f.n)n,
f,
pued pued 0, Hama Hama resp respec ecti tiva vame ment nt
tien tien
de garr garrar ar el
llam llam asim asimis ismo mo tens tensio io
18
trac tracci cion on
presion.
,I tang tangen enci cial al
inte inte 0,
Estudio de la tens tensio ione ne
se cion cion
rect rect
term termin inal al
ie
fo
ra
on
rm ).
el
Tl,
el
term termin inal ales es so
0"1
O"n,
siendo
O"
TIn).
aD, 0"1
superficie O" tonc tonces es se tien tien
O"n,
fen)
0,
fen)
(F/An) er In
cualquiera.
O"
por A,
O"
nR
0"1,
en-
ye
na
es 0"1,
0"1
ra): ra):
La f6rm f6rmul ul (*)
en situacion.
19
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
Dye el
la maxi maxima ma comp compre resi sion ones es
11f."II. el
valo valo dado dado
'to,
peli peligr gr sas, sas,
or on
omie omie za la frac fractu tura ra
na
tacto: -n
expr expres es el sigu siguie ient nt teor teorem ema: a:
20
unitario
se debe debe cump cumpli lir: r: f(P,D,t)
(2.7)
f(P,-D,t)
Demostracion: (t G, con:
Eu
radio .:;; .:;;Eo Eo
Ee do supe superf rfic icie ie semi semies esfe feri rica ca 0"1, 0"1,0" 0"2, 2,re resp spec ecti tiva vame ment nt D,
aD
0"1U0"2, aD
O"IUCs(-D),
(-D)
corta fron fronte tera ra aDs en 0,
,D al (ver (ver figu figura ra). ). Se tien tien asi: asi: 0"2UCs(D).
aD
C, tiene
cual cual es fron fronte tera ra (-D)
0, respectivamente.
t, Se obti obtien en asi, asi, resp respec ecti tiva vame ment nte: e:
ffdA+
jf(P',-D,t)dA
Ol
CE
ffdA+ pa dV
jf(P',o,t)dA
dA aD
aD
in egra egral, l, resu result lta, a, po co bina binaci ci6n 6n de la tr (*)
f(P' ,0,
gual gualda dade de
nt rior rior s:
f(P' ,-0, A(Cs A(Cs
funciones: f( .n.t) f(P'
,0
7tG
f( ,-o,t): f(P'
t)dA
CE
CE
A(C
t)dA f(P,-o,t).
(* (P
o. 21
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
f. EI sigu siguie ient nt teor teorem em
gene genera rali liza za es resu result ltad ad
part partic icul ular ar
re cuer cuerpo po cont contin inuo uo en mo imie imie to ento entonc nces es exis existe te un tran tran forr forrna naci cion on line lineal al T(p,t):
le T(p,t)
(2.8)
Demostracion:
n2e2
n.e,
3,
n.e,
G= E::::;
,e osi an
PM
PM
an),
(* entr entr
fdA en
fdA en
da
an.
G~ ie
22
fdA en
Dc
-=:DE"------
por fdA
(*)
a)
entonces:
PM M3
Estudio
pu st
que: que:
0, y:
re rm
de (*)
Dl;
la tens tensio ione ne
~(p(a-F»(P,t).
V(D
fi
1pr
o(A); Gn
Si
-~
ffdA
o(A)
f(M,n,t)
= -
f(P,n,t) aI,
noel> 0,
0;
entonces: )e], t)dA t)dA sgnm, )e], CJj
oi Si
0,
-sgnm.)
superficies
(*"')
[n.e.]
Yq reac reacci ci6n 6n), ),
ulti ultimo mo limi limi
pu de tran transf sfor orma mars rs
de sigu siguie ient nt
odo: odo:
0'2
(n.e-) f(P,e2,t)
(n.e.) f(P,e3,t)
:-
0, n2
:-
0, n,
:-
0.
23
Esfu Esfuer erzo zo
inter interno no
f6 mula mula (* te
li odo
vale vale as si rest restri ricc ccio ione nes. s. demostraci6n. Observecion
de ostr ostrac aci6 i6
el Teor Teorem em
2.
Consecuencias 1)
er,
e2 e3 ), la tran transf sfor orma maci ci6n 6n
eleg elegid ida, a, un matr matriz iz corr corres espo pond ndie ient nte: e:
T(P, T(P,t) t)(e (e3) 3) po que: (T13 (T13 T23, T23,T3 T33) 3) so la resp respec ecti ti as comp comp nent nentes es esto esto tres tres
(Tll,T (Tll,T2I, 2I,T31 T31), ), (T12,T22,T32 to io esas esas te sion siones es lo elem elemen ento to no iago iagona nale le j=
lxl,X2 lxl,X2,X3 ,X3,t) ,t) i,j
epre epre enta enta
1,2,3.
,en
t,
24
comp compon onen ente te
tang tangen enci cial ales es
Es udio udio de la
ensi ensi ne
re
ra
da inst inst nt
(t
,t
(2.9)
Demostracion:
I7j_
H(t).
sist sist ma rt si no de base base (Q se escr escrib ibir ira: a: xi=x xi=x 2= 3=
l,e2 l,e2,e ,e3) 3)
or om dida dida
Si
(Q
0'1,
a;, 0'2, a~, 0'3, a~, de
-e co
Co
el instante t,
(P
Q) J\ (P((P(-
F»)(P,
tU?-
Q) J\ f(p,e"
1.
Q) J\ f(p,-e"
t)dA)
ra
0'1
cara
0'2
25
E s Ju Ju er er z o i nt nt er er n o
Q, deben
T 21 21 Y T 1 se igua iguale le
ro
(A
r:
Dr.
(i)
; - O
(A)
el
para para abre abrevi viar ar
al
al
31
..
-.
Luego:
(1
cT21
cT21 (y,Z)EC
(J')
·((P'-Q)/\f(P',-e »dA a'l
(-Tl (-Tll( l(O, O,y, y,z) z)
-T21(O,y (O,y z) -T31
ra
yTll yTll (0 y.z)
3•
-TIl yTll yTll (0 (y,Z)EC
z) dydz dydz
Estudio
suma:
(1
(1')
(I),
ff[GT21(G,y (G,y,z ,z
(I)
la tens tensio ione ne
y(Tl y(Tll( l(G, G,y, y,z) z)-T -Tll ll(O (O,y ,y,z ,z)) ))]d ]dyd yd
(y,Z)EC
(I),
G-
tiene:
nc
Ym G,
Zm~
luego:
(Ym/G)~
21
0:
el t: (II) ))
dA
dA
de coor coorde dena nada das: s:
(X,8,Z),
entonces:
xT22
3•
T]2
Tn
8 ,Z ,Z )
T32
-xT22(x,0,z).
3•
-TI2
-T22
-T32
modo:
27
Esfu Esfuer erzo zo
(ll)=
inte intemo mo
ff(x ff(x T2 (X,~ (X,~,z ,z))- 22(X 22(X,0 ,0,Z ,Z
T1 (X,~ (X,~,z ,z»d »d dz
(x,z)EC
Luego:
(v)
-T (0,0,0)
-TdQ).
segun e3,
(Ill)
Af
Figura c)
0"3
»dA
YP esen esenci cial alme ment nt
(Ill)
(x.y.O) resp respec ecti tiva vame ment nte, e, un calc calcul ul
anal analog og
ff[x(T
al real realiz izad ad
para para (I)
23
(D) on uc
E)
a:
Tu(x, Tu(x, y,O ]dxdy ]dxdy
(x,y)EC
en
[O,~]x[O,~ [O,~]x[O,~]. ]. Luego: Luego:
(vii)
resultado: (Q) ei
siguient siguientes es resultado resultados: s:
e2,
sime simetr tric ic
(e],e2,e3),
10que 10que demu demu stra stra
teor teorem ema. a.
Comentario
os fisica fisicamen mente te compre comprensi nsible bles. s.
0,
Q,
un
aI c.
(a2, a~),
-T22(P')
T2 el eje. eje.
T12
T2
o.,
21
21 (P
2I
,e
2I
al.
E ~ 0.
21
(Pm)
(Q)
21
21
0(E
).
P')), resp respec ecti tiva vame ment nt
sobr sobr
al
o., P, ll
infi infini ni es mo para para
-> 0.
fi :o(E\ :o(E\
l1
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
0(e ). ti
lt
i) 2y
12(Q 12(Q)e )e
que:
0(E
).
i»
£3.
T2
iz(Q).
(Q) te
21
demo demost st aci6 aci6
el teor teorem em
3)
Consecuencias 1)
Sl
cual cuales esqu quie iera ra se debe debe cump cumpli lir: r: (2.10)
n, vn fen)
(a)
te
(a)
fen) escrib escrib entonc entonces: es: (*)
0q (n
30
(n'
(*)
0'
cuyo cuyo sign signif ific icad ad ya ha sido sido sufi sufici cien ente teme ment nt nt rior rior mues muestr tr
(Lo
un
it acio acio
21
12,
disc discut utid ido. o. iemp iempre re pr sent sent
stad stad
tens tensio iona nale le
de
ater ater ales ales
(a),
plano
(a),
).
(a) 't
fi 2)
escrib escribirs irs entonc entonces: es:
rm pIanos
,E 00
,E
re
se ejer ejerce ce tens tensio ione ne rasa rasant ntes es). ). se deno denorn rnin inan an tamb tambie ie
dire direcc ccio ione ne
prio prioci cipa pale le
respectivamente. re
,E ,E n3E3.
nl
n1
IIfl12 n3
1,10 1,10 qu
ue
T2
om ejer ejer icio icio
rc
rniden normal
Yu
t;2
fija. 31
EsJuerzos EsJuerzos infernos infernos
es el
meT) 000
(e®e) 3 ~ defi define ne po
\fUEV
(*)
ic
en
Qg
(FIA ),
la
il
Nota: ,E ,E en
tr
),
le
Esta Esta expr expres esi6 i6 tracci6n te
-'_
le
eg
3 ,
as
ne
cuya at iz en cier cierta ta as
rt
ig ific ificad ad ya isto isto
or al (el,e2,e3), tien tien la form forma: a:
imet imetri ria. a. son: ('1:, -'1:,0 -'1:,0),co ),co vector vectores es
prop propio io unit unitar ario io
resp respec ecti tivo vos: s: (E], (E],
,E ),
(e],e2).
la ig ient ient
or a:
(re/4)
st transformacien
as
co
lineal.
Nota: tangenciales: mate materi rial al (fig (figur ur c»
(-F), -F
Figura c)
33
Esju Esjuer erzo zo
inte intern rnos os
Si de la vari variab able le (P,t (P,t)) ))
f( eb te er
la tensi tension on corr corres espo pond ndie ient nt
ento entonc nces es
D,
debe
negativo).
-P. n=f{n)
to
la
li
se tien tien tamb tambie ien: n:
**
La relacion
f(D)
-p
Po
tens tensio iona na se deno denorn rnin in esfe esferi rico co ,t tend tend
34
(pre (presc scin indi dien endo do
asi: asi:
se
ermi ermite te escr escrib ibir ir
Es ud
de la te si ne
El stad stad te si na sf ri no os si uien uiente te sos: sos: 1°)
inercial usuales
qu
uede uede se
pr ia le pa
iq idos idos de stru struct ctur ur
ol cula cula
ompl ompl ja la xp ri
ta
nde
da
RECAPITULACION te
ensi ension on
(P t) faD(P,t),
faD( faD(P, P,t) t)
T(p, T(p,t) t)[n [naD aD T( ,t (P
equi equili libr brio io sera sera real realiz izad ad en la secc secci6 i6
sigu siguie ient nte. e.
0
ia
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
rendre
011
tens tensio io
en
te
sera sera semb sembl. l.ab able le
perpendiculairement rapp rappor or au plan plan
'if
te
(I
36
er
(1)
co rdon rdon es
st di
in ri bl '"
un pequ pequ fi
ella ellas, s, un pres presio io
tens tensio io
le
nt
de volu volu
dete determ rmin in da Es
li
de as ensi ension ones es
tado tado po cara cara
lesq lesqui ui ra
pr sion sion
tens tensio io
jerc jercid id
ta
refe refere renc ncia ia
em s, la pr sion sion
presiones
A. Cauc Cauc
se nu ci
ri text text
orig origin inal al). ). En
(2)
reposo"
st
inclinacion
En
(4)
se st bl
qu la tens tens on pu de
ta diri dirigi gida da "obl "obl ua
nt
obre obre re
uper uperfi fi ie
leyes. En (5) superficie. Fina Finalm lmen ente te en
(6)
0
37
la sigu siguie ient ntes es form formas as (3.1)
i)
fs(P,t)
f(P,ns(P),t) T(P,t)(ns(P))
Tm), pued pueden en rees reescr crib ibir irse se asi: asi: i) (3.2) VtER,
a)(P a)(P t)
(pF) (pF) P, t) eo
H(t)
ii VQEE VQEE f(P-Q)/\(pa)(p,t)dV
f(P-Q)/\(pF)(P,t)dV
f(p-Q)/\(T(p,t)(n))dA ao
.t)
sigu siguie ient nt modo modo (3.3)
(p )(P,t) )(P,t)
(pF) (pF)(P (P t)
~------~--------~--------------
(V T)(p T)(p t)
EsJu EsJuer erzos zos inter interno no
Demostracion:
fdA
T(p, T(p, t)(n t)(n)d )d
(V.
mecanico
\itER,
H(t),
\i
F - 1. T)(p T)(p t)
el (.
relacion (3.3).
(3.3)
pa
comp compon onen ente te
pF
'1.
de sigu siguie ient nt modo modo
(3.4)
lJ
L..J ]=
analoga
bala balanc nc
neca neca ic
nece nece it
es ltad ltad
re io
Proposicion T(
K(p)(u) as
rt no na
ir ct
region abierta
(p-Q)/\(T(p)(u»)
cual cual uier uier
entonces Ejercicio 3.1 Demo Demost stra ra 40
la prop propos osic icio io
ante anteri rior or
•)
ntua ntua
pa de ecua ecua ione ione
punt puntua uale les: s: (v.T).~
(3.6)
= T
Demostracion: ecua ecuaci cion on puntu puntual al equi equiva vale lent nte. e.
(P-Q)/\(T(p,t)(u»,
\iUEV
f(P-Q)i\(T(p,t)(n»dA
(Q fijo fijo
fK(p,t)(n)dA
f(V.K)(P,t)dV
00
dV
t)
.t),
modo:
(*)
\i ER
VPEH VPEH(t (t), ), 32
T2
l-
13
2=
T3
23
T2 T12
3=
31
1=
,e
41
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
tensiones.
Observaciones
t,
),
ec acio acione ne
flui fluido do
perf perfec ecto to
T(p,t)
pa
42
al nc
-p(P,t)
pF
(-Vp)
ecan ecanic ic
.2). .2).
co tien tien
ol
ente ente
eriv erivad adas as es acia aciale le
nterpretaclon vectores. t,
SpadY
-----+
SpFdV
V(O)
V(D)
-----+
(P
-----+
limites
P, resulta:
SpadY
pFdV
V(D)
V(D) (d(D)-O)
t,
d(O)
-----+
(V. T)dV eo
V(D)
-----+
(V.
(V T)(p, t)
,t
accion de cont contac acto to
scribi bir, r, aD). Se pu de scri
ffdA (v.T)(p,t)
V(D)
(m re de lo para parame metr tros os resp respec ecti tivo vos. s.
da 43
EsJu EsJuer erzo zo inte intern rnos os
Ejemplo: expr expres esi6 i6 pa
pF
Fluido perfecto
luid luid er ecto ecto redu reduci cida da ya vist vist ante anteri rior orme ment nte: e:
(-Vp)
te
te
ig
cual dete determ rmin in la cual te
es ahor ahora: a:
ffdA iJD
V(D)
f(
f-pndA iJ
V(D)
V(D)
0, es
(-Vp (-Vp)( )(P, P,t) t) t,
t.
p)
co
nfo
Proc Proces esos os Meca Mecani nico co alan alance ce
dp
i) (3.7)
ec ni o, lo
uale uale pu de
sigu sigu en
ecua ecua ione ione punt puntua ua s:
pV.v
dt dv
ii)
resu resu irse irse
v.r
dt
iii) ),
p,
La
externo.
gnit gnitud ud cuerpo po cara caract cter eriz izan an resp respec ecti tiva vame ment nt T) son internas al cuer di trib trib cion cion de as su esfu esfuer er os de onta onta to
Definicion:
Un proc proceso eso meca mecani nico co (3 t,
T(.
rest rest nt
su movi movimi mien ento to
comp compat atib ible le co
el
mp
de eloc elocid id de
v(
,t)
el camp camp
simetrico
.t),
(for (formu mula la (6.7 (6.7)) )) fina finalm lm nt
la
.7)
T), con
forma,
arbitrarios).
cier cierta ta cond condic icio ione ne
mecan mecanico ico conoci conociend end
velo velo idad idades es
dens densid id de
i) (3.8)
ii)
de bord bord
refe refere rent ntes es
na ra
componentes:
inic inicia iale le
resp tiva tiva ente ente Vi), Vi), (Tij (Tij), ), (Fi) (Fi) resp
dato.
ti ne si tema tema (3 7) se scri scribe be nton nton s:
func funcio io es
dp -+PL~=O dt ox dv dt
"m L,_; Ox
ij
1=" 1 2
ii)
45
~~j1Jerzosinternos
siete rela relaci ci ne
(sie (sie esto esto
triv trivia iale le
ar
dete determ rmin inar ar trece
re qu ncie ncierr rren en inco inco pati patibi bili li ades ades el iste iste (3.8 (3.8 es am liam liamen ente te inde indete term rmin inad ado, o, exis exis en en ener eneral al in init init proc proces esos os meca meca ic qu um le lo requ requis isit it ados ados
materiales diferentes diferente desc proces esos os meca mecani nico co descri ribi bien endo do en cons consec ecue uenc ncia ia proc
dist distin into tos. s. todos los
mecanicos propios relaciones ecuac ecuacion iones es consti constitut tutiva ivas. s.
rd
prop propia ia as un
Ellas Ellas vincul vinculan an el st do te io al
luci luci n, even eventu tu lm nt
el
ica, ica, el roce roceso so
ater ateria ia en
in ta te actu actu
ec ni o.
el
kp(P,t).
T(p,t)
-kp(P,t)
Esta Esta rela relaci ci
cons consti titu tuye ye un
el estado
ecuacion constitutiva,
.7 auto auto atic aticam amen ente te dp dt p-
inic inicia iale le
la ig ie te orma orma pV.v
dv
dt
de bord bord
adec adecua uada das. s.
dlnamlco
tensional. 46
ce
ca co
nfo
ra aH(t) t,
superf rfic icie ie S(t) S(t) sign signif ific ic dinamica sobre la supe
por
esto esto
impl implic ic
onoc onoc
dist distri ribu buci ci6n 6n de tens tensio ione nes: s: da
(3.9)
el
t,
para el cuerpo
sigu siguie ient nt modo modo (3.10)
La (3.10) constituye
en onta onta to
cond condic icio io
dina dinami mica ca
uerp uerpo) o)
Equilibrio Definicion:
t.
todo todo
lo in tant tantes es de di ho inte interv rval al (3.2)
escrib iben en ahor ahora: a: mecanico se escr i)
(pF) (pF)(P (P t)dV t)dV aD
H(t),
t.
~s~uerzosinternos
rigido
om
inme inmedi di to
(3.12)
la ecua ecuaci ci ne i)
\fPEH(t),
nt ales ales
(pF)(P,t)
(v.T)(p,t) T(p,t)
el
atos atos
el
pu tu le de quil quilib ibri ri
.12) .12) Yla co di io es
orde orde
in mi
(3.1 (3.10) 0)
cumpla: (pF)(P)
(3.13)
8H,
T(P)(ns(P»
fs(P)
y:
conocida).
prob proble lema ma esta esta inde indete term rmin inad ad st en eq ilib ilibri ri enco encont ntra ra 48
ar trat trat
adrn adrnit itir ira, a, en gene genera ral, l, infi infini nita ta solu soluci cion ones es de limi limi ar la inde indete term rmin inac aci6 i6
solu soluci cion ones es senc sencil illa la de inte intere res. s.
po
ra it tori tori
unif unifor or
gravitatorio. s: -p
entonces: -pgk
(-Vp)
0, rm
fo -Vtpgz
pgz
ampo ampo de pres presio ione nes, s,
mp
de pr sion sion
nece necesa sari ri
valor: o, st do tens tensio iona na on os sigu siguie ient nt s: (P
suficiente o,
entonces
z))
nst re
segun vertical.
49
EsJu EsJuer erzo zo inte interno rno te io al
igue igue iend iend
fe ic
-p
aT
(_Q2 (_Q2
.)
e,
p(-gk)
( Q r e
gk)
(-Vp) (e) ~Ok
-aT
cone conexa xa pr si
cuac cuacio ione ne
el ig ient ient
do
la orma orma
el
paraboloidica).
homoqeneo liquido
os el vect vector or unit unitar ario io vert vertic ical al asce ascend nden ente te
in efin efinid id
en la dire dire ci
orma orma al rnis rnis o. 0qu
sola solame ment nt
50
se cons consid ider erar ar
la subm submat atri riz: z:
an
ni
o-
pu
al
(y
.1 e2 se obti obtien en resp respec ecti tiva vame ment nte: e:
segu segu
0;
proyectan-
8T!2
Of!!
--
(a)
0,
v'(x v'(x.y .y), ),
8Tn
-La co di io la
or
-x
Psg bo de
perf perfic icie ie li e:
.13) .13)
on la
ig ie te
=0
e2
(b)
o - pgy,
2:
=T21=Dx+Ey+F,
22
l2
Gx
(c)
Hy
co duce duce (a')
A+E=O
l2
Se obti obtien en ento entonc nces es
(y
l2
T2
D=F=
(b')
+F
12)
(y
D-
(T21
+F
cond conduc ucen en
(y
Tn) (y = -
o+ pgx)
2:
H)x
(G
ultimas iden identi tida dade de
(c')
-Po.
ji
-x)
Tn) (y = =
+C
0,
22
2:
la sigu siguie ient ntes es igua iguald ldad ades es po po
pg
constantes: C=-
H=
=(
A=
s-
=2 51
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os ir
lor
la
oj si 61 exis existi tier er li uido uido alli alli Ps facil de planos
0, se btie btiene ne el esta esta al terraplen
en au enci enci
tens tensio iona na co re po dien diente te
liqu liquid ido. o.
homoqeneo, R, (1
ib asumira
as para para la ecci ecci6n 6n (1), la form forma: a:
es lt nt
ul
cu
r.(kr)dA
M3
mome moment nt
61 tien tien
2nkL
(kr2)rdrd8
(1)
om onen onente te segun dr
lo
nkR
I)
Para Para tene tener: r:
M3
M,
bast bast
eleg elegir ir
k, la
nR analoga
secci6n (2),
xist xist un
istr istrib ibuc uci6 i6
-kr ea
(**)
52
de tens tensio ione ne pura purarn rnen ente te tang tangen enci cial al
-k(-y el
es)
se supondra ad por: por:
an
nfo
(v.T
i)
rf
ii
T(P)(e3)
iii)
T,
iv]
).
en (1). (1).
T',
una
e3), es la sigu siguie ient nte: e: (e., e2 e3),
m(T(P)
Ejer Ejerci cici ci
3.
a)
), r,
rinc rinc
c)
tracciones
la fractu fractura. ra. Ejer Ejerci cici ci
3.
a)
ta ento entonc nc
c6mo c6mo se inic inicia iari ri un ro ur
po desl desliz izam amie ient nto. o.
va
Esfu Esfuer erzo zo
inte intern rnos os
RECAPITULACION
T(
corn cornpo port rtam amie ient nt
meca mecani nico co prop estudi dio. o. propio io de mate materi rial al en estu
complementaria, es
cifi cifica ca
el
is o,
en se
some somete te
cond condic icio ione ne
exte extema ma
dete determ rmin inad adas as
gl bale bale equi equili li ri tili tiliza za do hi otes otesis is impl imples es qu solo solo pued pued para para mate materi rial ales es espe especi cifi fico co en situ situac acio ione ne part partic icul ular ares es
se vali vali as
0
54
TENSORIAL
se cu pl e111 e111am amad adote ote re (v.n)dA
(A.I)
la iv rgen rgenci cia: a:
(V.v)dV
iJD
(AI).
se
I)
R,
\1'UEV unci unci imageries:
3. ei
2+ )+
+U3 I).
Nota:
f.
line lineal al
Esju Esjuer erzo zo
inte intern rnos os
tran transf sfor or acio acio
li eal, eal, nota nota a:
T, (6 T*), ta
e:
os
un unico
.2 (Tij), (TiT), dich dich base base ento entonc nces es
re pect pectiv iv ment ment
tras tras ue tas. tas.
re ip oc
de ta ie
cu pl
qued qued
om ejer ejerci cici ci
T(
T(
si (0, el, ez,
U2e2 U3e3,entonces:
T( ecto ecto iale iale
T(el T(el), ), T(e2 T(e2), ), T(e3 T(e3). ). ,X ,Y
(Tij(x (Tij(xl, l, X2,X3» X2,X3» entonc entonces: es: T2j{XI,X2,X3)e2 if re ci bili bili ad en xj
2,X3 2,X3), ),de de lo camp camp
ifer iferen enci ciab abil ilid idad ad en
2, 3)de 3)de lo
.,
el tens tensor or
56
T3j{XI,X2,X3)e3,
scal scalar ares es (Tlj T2j,T3 T2j,T3j) j)
ueve ueve camp camp
es alar alares es Ti
i,j= i,j= ,2,3 ,2,3
co
onen onente te
AnexoA tras traspo posi sici ci6n 6n (seg (segun un 10 entonces el camp camp
tamb tambie ie
10 es.
UE
10
(V.T\u»(p).
ea hora hora
func funci6 i6
\iUEV
feu)
(A.3)
f:
que: R, al que:
(V.TT(u»(p)
or
(A.4)
\iUEV
feu)
a.u
Definicion:
Notacion:
(A.5)
\iUEV
ij),
(V.TT(u»(p)
ento entonc nces es el vect vector or .)
st
uede uede resu resurn rn rs
.u
)(P) rv.r )(P)
tien tien comp compon onen ente tes: s: (V.TT(ei)(P)
si
Asi,
57
Esju Esjuer erzo zo
inte intern rnos os
.T T(
iv
Pr po
(A.7)
r em em a
ig
v er er g
te
p ar ar a
a mp mp o
r ia ia l
fT(n)dA eo
Demostracion: eo
u.a
(2)
(I
u. fT(n fT(n)d )d eo
aD
aD
.T
la
ie
(A2) (AI), (A5).
58
AnexoA
7) Ejemplo: defi defini nido do en por:
el camp camp
tens tensor oria ia
T(p)
(A.8)
Ejercicio A.l se cump cumple le (Va)(P).
tensorial:
or
(aI)( (aI)(n) n)dA dA
(Va) (Va)dV dV
rg
.7)
bien bien en form form equi equiva vale lent nte: e:
ao
(A.I0)
dV 00
1, resultando: (A.H)
fodA ao
0
59
ANEXO
(B)
traves
(B.l)
H_(_t)_,V_P_E_S,~_r._s(_P,_t)_=~ti_(p_,n_s_(p_),_t)~--,
esta cond condic icio ione nes. s. as en esta
(1).
orig origin in lm nt
po
ol
(1).
de bala balanc nc me an co se greg greg la sigu siguie ient nt prop propie ieda da
re ular ularid idad ad
(PR)
Il.,
t.
od
(t
Se cons consid ider er
e1
(1)
ht of
p.p.
nt
dv
uu
me hani hani ".
nt
Esfu Esfuer erzo zo Sea
infe infern rnos os (-a)
D2
(c/2)a);
(-b)
(c/2)b)
P - (c/2)b);
limita limitado do inferi inferioror-
(-D)
Sea
0"1
0,
D2.
0"2
D2
supe superf rfic icie ie late latera ral) l) qu even eventu tual alme ment nt tien tiene: e:
(aD
0"1)
0" ),
respectivamente,
pued pueden en se vaci vacias as
aD
aD
"1;
"2 0"2 DO
infi infi it simo simo
de
0"1
yo
de
0"2
comunes:
E2,
so infi infini nite tesi simo mo equi equiva vale lent ntes es esto esto es
,y), ,y), co
(0,0)
(0,0)
P(O,O,O).
&=
E I2 I2 , c /2 /2 ]x ]x [ c /2 /2 ,
A(0"2) (X,Y)EC:;
Luego:
ii(X,y)EC&
62
( a- ---- p-a-a y)
dxdy
E /2 /2 ]
0"2
ie
ad
or
interior
D,
estan incluidas
:e ue
oJ
in ta te t,
padV
fpFdV
fpadV
fpFdV
Dl
mbin mbinan an
YD ffdA
ffdA
I'..
1'..1
ffdA
ffdA
I'..
1'..2
esta esta rela relaci ci
es
obten obtenien iendos dos
as respec respectiv tivame amente nte
en
ti ne ffdA Dl
acotada en
~l
1'..2
en
~2.
en ).
r, dA A(cr
r,
r,
dA
dA
A(cr
A(cr
E-
E2
re
oman oman
li ites ites para para
ta
todas
mism mism norm normal al n.
B. 1)
0 ----------
63
SUMARIO
1.
Aceto»
DINA DINAMr MrCA CA DE VOLU VOLU EN
Tors Tors
elem elemen enta ta
vo umen umen
ACCI ACCION ON DINA DINAMr MrCA CA DE CONT CONTAC ACTO TO
Tors Tors
elem elemen enta ta
ACCI ACCION ONDI DINA NAMI MICA CA BALA BALANC NC
co tact tact TOTA TOTA
10
MECA MECANI NIco co
Pnncipio
cc
LA IDPO IDPOTE TE
15
DE CAUC CAUC
PARA PARA
17
AS lE SION SION
l d
20 tens tens imet imetri ri
22 25
te sion siones es de te so de ensi ensi ne
EJEM EJEMPL PLOS OS DE ESTA ESTADO DO
32
TENS TENSIO IONA NALE LE
1) Esta Estado do tens tensio iona na unia uniaxi xial al.. ..
32 e t
Ec acio acio Ca ch In er reta retaci cion on de (VT) (VT)
39 43
45
PROC PROCES ESOS OS MECA MECANI NICO CO
Equilibrio El pr blem blem
47 el eq ilib ilibri ri
EJEM EJEMPL PLOS OS DE ESTA ESTADO DO
48
TENS TENSIO IONA NALE LE
1) Fluido ) E
49
DE EQUI EQUILI LIBR BRIO IO
ci es e un un t
en
ri
49 49
cc n c
n un un l
n r er
eo
et
52