GE
el curso
CAPILARIDAD
(I.M (I .M.F .F .I.A .I.A
1111111111
01070159
tu ie Ofic Oficin in de Publ Public icac acio ione ne
FLUIDOS
CAPILARIDAD li
Inge Ingeni nier eria ia
mbie mbient ntal al (I (I.M .M.F .F.I .I.A .A.) .) 2007
esfu esfuer erzo zo Algu Alguna na
inte intern rn
qu
bi rnan rnan en ic
it acio acio
defi defini nici cion ones es
instante t,
t, 0,
Observaciones:
1) ni viceve viceversa rsa el ns
el instante t.
el
para
t.
le
admii
(1)
f(P,n) ir
inte interv rval al
tien tiene: e:
el
ue son estaci estaciona onario rios; s; segundo ec acio acione ne
na ipot ipotes esis is no estr estric icta tame me te
glob global ales es de bala bala ce
(3)
H,
eces ecesar aria ia). ).
ecan ecanic ico: o:
f(PF)(P)dV
f-p(P)ndA aD
f(p-Q)1\
(pF)(P)dV
f
1\
ito H).
cnf gara garant ntic icen en el equi equili libr brio io
por camp camp
arbi arbitr trar ario io
(Vp )(P
que gene genera ra es impo imposi sibl ble. e.
Proposicien
1):
(pF)(P)
(Vp)(P) bast bast
eleg elegir ir
'll 'll
mane manera ra
escr escrib ibie iend ndo: o:
U(P)
-P(P)
(pF)(P), ie
V( ll
-(VU)(P);
p»(P) ('ll
P)(P)
'll(P)
el por
•• ortogonamente eo etri etrica ca
de
al ct
grad gradie ie te
Observaciones: ro le
li ri
erad erad
te io
en
un condicion
demostracion
siguiente: ie
es ri
ar
te ci
en ia
Sea V. camp camp esca escala la univalente, do vece vece dife difere renc ncia iabl bl co cont contin inui uida da en un regi region on (abi (abier erta ta H, el camp camp vect vector oria ia defi defini nido do en por: w(P)
EI
-(\7
(\7
es nece necesa sa 10 debe debe se simp simple leme ment nt im le ente ente co ex si es co ex el ed ef
1\
w)(P)
el reci recipr proc oc
si to ti
curv curv co ti ua cerr cerrad ad co te id en tr rl
regiones
Ejem Ejempl plos os infinit infinito, o, etc.
regi region ones es cone conexa xa pero pero no impl implem emen ente te co exas exas on el inter interio io de ani 11 el exte un exteri rior or
El reci recipr proc oc es el sigu siguie ient nt teor teorem em cuya cuya demo demost stra raci ci6n 6n no sera sera hech hech aqui aqui eore eore
is enci enci
poteneiah
Sea un camp camp vect vector oria ial, l, life lifere renc ncia iabl bl co dife difere renc ncia ia cont contin inuo uo en un regi regi6n 6n (\7I\w)(P) im emen emente te ce is campo campo esca escalar lar univ unival alen ente te 'l do eces eces ifer iferen enci ciab able le co co ti uida uida en H, ta -(~7'l1)(P). w(P)
or cone conexa xa la afirm afirmac aci6 i6 corre corre pondiente result result falsa. falsa.
defi defini nido do en un sist sistem em cili cili lric lrico, o, por: por: w(P) if de directo directo vale: vale: 21t, campo un curv curv cerrad cerrada. a.
(\7 I\w)(P)
(l/r) eO
O. in em ar o, la circ circ laci laci
qu desc descar arta ta la exis existe tenc ncia ia ep tenc tencia ia univ unival alen ente te ar el exis existe te ci cond conduc ucir iria ia na circ circ laci laci nula nula en
1°)
(P)
K,obviamente
po·
(1
F) P)
pog
-Pogk
-V(Pogz)
-(ViQ)(P),
con: 'U(P)
'U )(P)
(p
obtiene: (5)
Pogz
pcP)
po
K.
Pog( Pog(Zo Zo z)
iv
ly ply) unid unidad ades es
el
lo gitu gitud) d)
ec
co
cota
pg.
aprox
de movi movimi mien ento to mole molecu cula lar. r.
N/m2, de va re
N/m
rc
aI F(P)
0, cons consta tant nt
ri un ampo ampo magn magn tico tico vert vertic ic l)
radi radi
lueg lueg
apli aplica cand nd
que ento entonc nces es se tien tien poF(P)
angulo: e, 21t,
0,
ri
pr
ntra ntra de camp camp
nu
de acel aceler erac acio ione nes. s. '#
.( ,(lH
el es facil
le
kp.,
H. p.
sa
30),
la
dinamicamente
pequefio
posible. 0::::;
'U(P)
donde: resi resi ne
2n,
la
:: t. (en
EI
es ahor ahora: a:
pep)
Pu(g Pu(g
V(P)
k9)
2n,
co st nte) nte)
:(e)
c",
heli helico coid id
Ejercicio
c-. (k/g)9 plan plan dire direct ctor or hori horizo zont ntal al
(ver (ver fi ura) ura)
1)
~ezeo Just Justif ific icar ar la resp respue uest stas as i)
(P
ii)
2(P)
a,
Kjr e) eo
~-----ii---i---r------, (---~--~)
siones exisn la presi6 presi6n. n.
presion
qu rela relaci cion on func funcio io
inve invert rtib ible le
ta
baretropieo si mismo
e:
pep)
(P(P»
ptp),
l1(P), tambien:
(p),
rela relaci ci
inve invers rs
pcp).
ion, turn
En el
(8)
_l_(Vp)(P) pep)
'v"PEH,
F(P) 11
(9)
'I'(P)
Po
-1
(u
}_l_dU
du
Pop(u)
'I (p(x (p(x,y ,y,x ,x a'l' ax
(10)
'P' (p)
a'P
_1
(VlJI(p»(P)
'1
(P) dp
(Vp)(P);
_1
pcp)
abreviad abreviadamen amente: te:
es lta: lta:
lJI'(p) dp
VlJI
_1
pep)
dp
-(Vp).
ie (11)
'v"PEH,
(Vqt)(P)
F(P) l/p(P) al ca po de fuer fuerza za
equivalente
'PCP) 'P-1(,¥(p(P»).
'P nter nterio iorm rmen ente te
gravit gravitari ari
aber aber
unifor uni forme me
pi Polpo, siendo
pi
o,
-gk -V(gz), el quil quilib ibri ri es di amic amicam amen ente te
'P(p)
du Po p(u)
Po
(V'P)(P)
du u/ Po
LOg(__£__J Po
gz)
gz lo
gz de densid densidade ades: s: (10)
(pog/ (pog/po) po)
Po
te
dens densid idad ad co stan stante te (isocoricas) son planes horizontales: vari vari ci
tes
de la re io
estimacion
variacion, 1.2 Kg/m
lor Po
10 N/m2,
ls
10 nm
numericos
me ramente
plpo
so lo sigu siguie ient ntes es
p/po
1000
0,89
2000
0,79
3000
0,70
4000
0,62
esta en
recipiente
lOS.
de
sume sumerg rgid id
en
desp despre reci ciab able le dond dond conoce la
(Arquimedes).
actuan los a p o y o s
ee cuerpo
denomina empuje E(Q)
Jfs(P)dA
tension: n.
(a) el
recipiente
iion Po 10
el
resu result lt
ser: ser:
se
adem
ar
region R(i!)
J-p(P)nda ejer ejerce ce sobr sobr GEs
iguales?
introducir el cuerpo
pensarse proc proc so
J(pg)(P)dV
El
R(i!)
J(pg)(P)dV
E(Q)
Observaciones:
11
el
flui fluido do inco incomp mpre resi sibl bles es como como para para flui fluido do baro barotr tr6p 6pic icos os
tr.rves
ocupa
f(p-O) 0)
1\
(pg)(P)dV
(-p(P)n)dA
Ju-O) (p _.0)
1\
n, se tien tiene: e:
(-p(P)n)dA (pg)(P)dV
n". cuan cuan
el tl id
es in mp esib esible le
presion
(b)
(a)
removido 0" 0'
0",
sean:
S'uS",
la fron fronte tera ra S'vS
12
S"vSo.
E(O)
p(P)ndA
f-pondA resulta:
fpgdV
f-pndA
PokdA
s·
S'
Ao
PoAok
re (S p,
--PoAok S"
En resu resume men: n: E(Q)
fl' de liqu liquid id
Ejercicio
Ejercicio
igua igual, l, asci ascien ende de
desciende?
Ejercicio
el jerc jercic icio io
con
AB ma prec precis isam amen ente te pnds
I-(po
apr J-pghnds AB
pgh pres presio io
mane maneme metr trie iea. a. ni
evaluar
rr
de la inte integr gral al
A'
D' L--------
'A
(b)
rm II
:J
14
sobre el
el
vert vertic ical al de valo valor: r: -pg( -pg(HH--R -Rse sena na)L )L(A (AD) D)
ez
e.;
sabe sabe
-- gA(Q gA(Q
_pg(7tR2/2
Por el
0, id
'F
-pgH.2Rsena
ig pg(2RHcosa
7tR2/2)
el
el
Ejercicio 7)
15
2R
IL
--(V
el fluido
(a)
pI'll
tiene:
PI
(1).
P2
(2).
(2)
el (2)
por
-Pl(P)(-n) P2 (c)
Pl(P)n ES
(1)
pz(P)
de cont contac acto to
Comb Combin inan ando do (a), (a),(b (b
(c), (c), se obti obtien en
VPES, Yasimismo: VPES,
Pl(P)
P2(P)
C"
inme inmedi diat atam amen ente te
El feno fenome meno no capi capila lar. r.
ne rf
part part
ri
ru
oc rr
notables
rt
fi
fi
ho
us
be
part part
-x-
oequefio
distinta
pa macrosc6picamente
hasta
contacto. moleculas ur comportamiento mecanico macroscopico diferente
(2)
de
tracciones fi
(J
interfase S, superficie
C. La
curva
(J
aves
curva C. de
In rf
epr
gua-arre
mercuno-aire cons consta ta te
una constante
apil apilar ar de
0.54 0.024
t\
denomina
0.073
interfase
interlase
18
glicerina-aire
0.065
curv curvat atur uras as gran grande des. s.
burb burbuj uja. a. Sean Sean euyo borde
Pl(1tR )k, vale: P2(1tR )(-k),
esta esta fu rzas rzas resu result lta: a:
(11)
"u
fi
ue
(2) esta esta orien orienta tada da
19
on
integral: ds
Ys(P)n)dA
1YJ., en curva VI, entonces:
ortogonales
mtre
C)
(Oi-P),n
¢:::>
¢:::>
(O)-P).n
']h,
O.
un Inva Invari ri nt
uper uperfi fici ci
ur
orie orient ntad ad
ur
Yz(Cl ia de
deno denomi mina na
C2),
}, de
el s. seudo-escalar).
equi equili li ri
~e
(J
12)
valen:
el
(l/R), por
UR.
1)
1S
da
(1)
actuan
12 2S
-A2
ls
2S
cos(9)
Al2 cos(9)
Al2
(O~9~TC)
10
rrJ2,
9::;
Po (y
al
llquido-gas,
1S
el
~J
La
21
el vector
negativas (liq (liqui uido do), ), es apro aproxi xima mada dame ment nte: e:
s.
2A -cos(S) pgR
(13)
liquido
),
desciende
eapilaridad
li
ia
Ejer Ejerci cici ci
necanico el
i6 ';
capilar generatrices
la
La intei Io 1tI2) ap la li sobre
esta
cilfndrica
~(x), (o
figura).
'" ,I
,~---------=~~----~~ C.
'Ys(P) C, siendo « ( 3 )
ll (n
,1
te
«(3)
(a
1+S'2(x)
(14)
sex)
s"(x) pg(l+s'2(x)t2 se prim primit itiv iviz izan an limS'(x)
(15)
(16)
la inte interf rfas as
C.
que el (b)
se obti obtien ene: e:
A.e.
;:.
23
A.N pgh~'", ....
.
(b) /2
rv
equi equili libr brio io (14) (14) (16) (16) apar aparec ec
el A/ (y
igni ignifi fi ativ ativos os lo fen6 fen6 enos enos
neno
vita vita qu el
Arquimede
considerar el ra
di
anteriormente y,
(2) ,"
''I
(1)
apil apilar ar s.
L.
p, si uien uiente te
do caso casos: s:
ns
N/m, ps
pl2,
30mm.
'I
(a)
(b)
,I
'I'
-zr-
NO INERCIALES
re
r,
re
de velo veloci cida dade de
aR,
relativas:
VR,
respectivamente.
(0
fl
ro(t).k ro(t).k
_5
ii
interior al ii
'(e)
rigi rigido do impu impues esto to
resp respec ecto to de es refe refere renc ncia ia
in rcia rcia
reci recipr proc ocam amen ente te
27
vi relativo
IT
estado tp
de presio presiones nes
relative.
rc
diaamicamente
eqailibrle
re
fl
de
ho
referencial.
pa aR
aT
ac
re
resp resp ctiv ctiv ment ment VR(P VR(P t) 0, aR(P,t) Eule Eulerr-Ca Cauc uchy hy se scri scribe be nton ntonce ces: s: (17)
0, por
paT ri
re
ri
(18)
(-aT)' de arrastre.
os onst onstan ante te ecua ecua i6
(18) (18) se rees rees ribe ribe asf:
po
(19)
f--du,
Pop(u)
Y''P
(20)
aT
'P
resp respect ectiv ivam amen ente te
aT),
nst vectorial:
F'
aT,
(J 8).
el campo
vectorial: (F
aT), en un
aT
6:>(t)ree 6:>(t)r ee __(02(tjr e.)
)-(
V(oi(t)r /2). (F
(6:>(t)ree)
2roe
por
aT)
roo.k
s610 «(t)
(Cte). (-ge
F-aT
(Oo2re
-Y'(gz-roo2r2/2). el
+pgz
po~?r2
'(e)
C"
ffiJ
el
eIu
F'
de esto esto para parabo bolo loid ides es
Se ui luid luid
br
ue po (Q
es cont contac acto to so resp respec ecti tiva vame ment nte: e: J- p( )ndA; )ndA;
E(Q)
J(P-O)I\(-p(P)n)dA
Mo(Q)
ao
Donde
iID
pep)
elativas (Q),
J-.p(P)ndA
Jp(F-aT)dV
0;
ao
J(P-O)1\ (-p(P»ndA
J(p.-O)l\p(F-aT)dV
iID
De aqui aqui resu result ltan an inme inmedi diat atam amen ente te JP(F JP(F
E(Q)
te
aT)d aT )d
J(P-O)l\p(F-aT)dV
Mc(Q)
ii rodea.
30
Ejer Ejerci cici ci
10
«(t)
ecip ecipie ient nt
flui fluido do
Ejer Ejerci cici ci
se dina dinami mica came ment nt
osib osible le
cuan cuando do «(t)
11 v(C,t)
o.(t)I\(P-C).
7I (Cte), es cond condic icie ie flui fluido do inco incomp mpre resi sibl bl la
31
necesaria
suficiente
