Mecánica de Fluidos I - Beneyto (1)

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

Mecánica de Fluidos I

Jaime Beneyto Gómez de Barreda Curso 2011-2012 [email protected]

Imagen de portada: Chorro de aceite que rebota dos veces (¡!) al ser vertido en un depósito de aceite en movimiento. Este fenómeno se denomina efecto Kaye y fue descubierto en los años 60.

Introducción, consejos y cuestiones varias ¿Qué es esto? Como bien dice la portada, son los apuntes de la asignatura Mecánica de Fluidos I que se imparte en el primer cuatrimestre del tercer curso en la ETSI Aeronáuticos de la UPM. Los apuntes corresponden a las clases impartidas por Oscar Sanz (aprovecho para mencionar que Oscar es el mejor profesor de academia que hay) en la academia JC durante el curso 2011-2012.

Soy alumno de la EIAE, ¿me sirven estos apuntes? Por supuesto. Los tomos I y II de los apuntes disponibles en publicaciones para los alumnos de Mecánica de Fluidos de la EIAE son exactamente los mismos, salvo las tapas, que los apuntes de la ETSIA. Se entiende que el temario se va a mantener o reducir y por lo tanto estos apuntes son válidos (excluyo la posibilidad de que el temario aumente porque sería una locura y no tendría ningún sentido). El tomo III corresponde a los apuntes de la EUITA (sobre todo fluidos ideales)

¿Qué es la Mecánica de Fluidos? La Mecánica de Fluidos es la parte de la física que estudia la estática y la dinámica de los fluidos (líquidos y gases). En Mecánica de segundo aprendimos a estudiar la estática y la dinámica de un sólido rígido y en Elasticidad y Resistencia de Materiales las de un sólido deformable. Pues bien, los fluidos son muchísimo más complejos de estudiar que los sólidos pues las partículas que los forman no tienen que mantener las distancias entre sí, o no existe una relación “sencilla” que ligue las distancias entre las partículas con las fuerzas o momentos aplicados.

Y… ¿es muy difícil? Sí, no nos vamos a engañar. De hecho si hubiese que escoger una asignatura representativa de la dificultad de la carrera esta sería una seria candidata.

¡Qué miedo! ¡Voy a suspender!... ¿no? No. Por muy difícil que sea, la Mecánica de Fluidos es una asignatura a la que se le coge cariño. Y es que muchos de los alumnos que la han estudiado (yo incluido) afirman que es la asignatura que más les ha gustado y que más han disfrutado estudiando. No es sólo por el hecho de que sea una asignatura interesante por sí misma, sino porque también justifica toda la preparación anterior de los primeros cursos (“¡Aaah! ¡Qué eso de los autovectores servía para algo!”) y deja entrever lo que viene después. Es un “puente” entre las asignaturas teóricas de primero (Álgebra Lineal,

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Cálculo, etc.) y las asignaturas aplicadas y de contenido eminentemente aeronáutico de cuarto y quinto (Aerodinámica, Mecánica del Vuelo etc.). Así pues, hay que enfrentarse a esta asignatura con ganas, ilusión y con la actitud de disfrutarla, querer comprenderla y asimilarla.

¿Con estos apuntes apruebo? Depende de ti. De entrada si estás en esta carrera la capacidad intelectual necesaria para aprender Mecánica de Fluidos la tienes de sobra. Desde luego que si te tomas la asignatura como dije en el párrafo anterior y la estudias como diré más adelante tus probabilidades de aprobar serán muy elevadas. Si por el contrario intentas superar esta asignatura con el mínimo esfuerzo para no obtener ni una décima más del 5.0 e intentando aprender cuanto menos mejor… suspenderás seguro.

¿Qué conocimientos previos debería tener? Si reuniéramos las 22 asignaturas que constituyen los dos primeros cursos de la carrera (quitando Economía, Circuitos y alguna otra) y las juntáramos en una única asignatura cuatrimestral de 6 horas lectivas semanales y 9 créditos, el resultado no distaría mucho de lo que hoy es la asignatura Mecánica de Fluidos I. Lo que quiero decir con esta “exageración” es que en Mecánica de Fluidos hace falta una buena base matemática y física. Los que diseñaron el plan de estudios lo sabían perfectamente y por eso asignaron esta asignatura al tercer curso y no al primero o al segundo. Como en el nuevo plan de estudios de la EIAE la asignatura ha pasado al segundo curso es posible que muchos alumnos no tengan los conocimientos previos “ideales”. Por ello he incluido en los anexos unos apuntes de Cálculo Vectorial, en particular de los operadores diferenciales, que constituyen una herramienta matemática de uso continuo en la asignatura y conviene tenerlos “interiorizados”. La cátedra asume que tenemos una “vida anterior” como estudiantes y dan por sabidos muchos conceptos que tal vez hayamos olvidado. No se van a parar a explicar cómo se hace una derivada parcial, cómo se calcula un autovalor y su espacio propio asociado o cómo se integra por partes. Si, por ejemplo, en algún momento nos atascamos haciendo una integral la actitud más inteligente es invertir el tiempo que haga falta en desatascarnos, repasando incluso nuestros apuntes de matemáticas si es necesario. Si lo dejamos pasar confiando en que ese problema en concreto no caerá en el examen, estaremos tentando a la suerte…

¿Y cómo es el examen? El examen consiste en dos problemas y una parte de teoría. Cada problema cuenta 1/3 de la nota, y la parte de teoría también 1/3. No hay mínimos, lo que quiere decir que se suman todos los puntos obtenidos, se dividen entre la puntuación máxima y si el resultado es mayor o igual a 1/2 se aprueba. Todo esto es válido para la asignatura de la

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ETSIA en la que sólo hay un examen final sin parciales ni evaluación continua de ningún tipo. Cada problema suele ser de 75 minutos de duración. En ellos únicamente se pueden utilizar los apuntes oficiales de la cátedra y una calculadora (que puede ser programable como la HP). Hasta el año 2009 se podía llevar todo lo que se quisiera pero como la gente cargaba maletones con todos los problemas resueltos desde el año 250 a.C. aquello se había convertido en un “a ver quién tiene la mejor colección de problemas y copia más rápido”. A la cátedra no le hace ninguna gracia que la gente apruebe sin entender la asignatura y por ello tomaron esta medida. La parte de teoría (de 60-75 minutos de duración) consiste en dos o tres teóricoprácticos que pueden ser teoría pura y dura y/o un problema corto. En esta parte no se permiten apuntes de ningún tipo. En caso de tratarse de una cuestión de teoría pura, lo más probable es que sea una de las siete cuestiones recurrentes (disponibles en los anexos) que conviene estudiar de memoria poco antes del examen. Los problemas cortos de esta parte sólo se diferencian de los problemas largos en su duración y en que no se permiten apuntes. La asignatura tiene un temario muy extenso y en un examen de unas 4 horas de duración la cátedra intenta cubrir lo máximo posible del mismo. Hay que llevar toda la asignatura bien preparada. Esto no es como Física General II (por poner un ejemplo), donde el examen consiste en dos problemas que siempre son uno de electrostática y otro de inducción magnética. Aquí un problema puede cubrir 3 temas y el otro problema otros 3, y junto con la parte de teoría cubrir casi todo el programa. En general, el tiempo disponible es muy escaso y rara vez se consigue terminar el problema. Es parte del examen trabajar bajo la presión temporal. Es evidente que para poder hacer cualquier actividad rápido y bien se requieren muchas horas de preparación así es que cuantas más horas hayamos dedicado en casa a resolver problemas tanto mejor rendiremos en el aula de examen el día del examen.

Cómo enfrentarse a esta asignatura Se puede decir que el departamento de Motopropulsión y Termofluidodinámica (al que pertenece la asignatura) funciona satisfactoriamente. Los profesores son los mejores en su campo y además son, en general, buenos docentes. Los apuntes oficiales de Amable Liñán son excelentes, de hecho los apuntes de teoría incluidos aquí son los de Liñán con unas pocas modificaciones. Por tanto esta es una asignatura a la que da gusto ir a las clases de la escuela, lo cual recomiendo encarecidamente. También recomiendo acudir a las tutorías ya que los profesores se muestran dispuestos a ayudar. Así pues, estos apuntes deben tomarse como un COMPLEMENTO a la escuela, nunca como un sustituto. Como dije antes, esta puede ser la asignatura más difícil de la carrera. No es una asignatura que se pueda estudiar en 10 días (ni en 30) antes del examen corriendo y

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deprisa. Tiene un temario muy amplio, quizás excesivo para un cuatrimestre y requiere tiempo para estudiarla y para ir asimilando los conceptos poco a poco. Es mejor estudiar 1 hora cada día que 10 horas el fin de semana. Lo más importante de esta asignatura es LLEVARLA AL DÍA. No puedo dejar de insistir en este último punto. Además, no sólo con objeto de aprobar el examen conviene estudiar de forma continua, sino en vista a que la asignatura deje un “poso” que nos sirva para el resto de la carrera, tanto la académica como la profesional (vergüenza debería darnos si dentro de 20 años alguien nos preguntara en qué consiste el teorema del transporte de Reynolds y no supiéramos responder) “La cultura es el remanente que queda después de olvidar lo aprendido”

Cómo estudiar estos apuntes De un vistazo al índice puede comprobarse que he intercalado teoría y problemas. Lo he hecho así porque me parece lo más lógico y porque permite estudiar los apuntes en el orden en el que están. Primero la teoría y después los problemas (nunca al revés). Para la parte de teoría, hay tres fuentes, a saber: los apuntes oficiales de la cátedra (guiones), los apuntes de teoría de JC y los apuntes tomados en clase en JC. Como el día del examen sólo nos dejan llevar los guiones es vital familiarizarse con ellos. Recomiendo el siguiente estudio de la teoría en cuatro fases. Este es el método que a mí personalmente me ha sido de utilidad y que por ello aconsejo, pero ya se sabe, “cada maestrillo tiene su librillo”: Primero leer comprensivamente los apuntes de teoría de JC que están incluidos aquí. A continuación referirse a los apuntes de clase para ver en qué conceptos se enfatizó así como para seguir algunas deducciones que pueden estar explicadas más detenidamente (o de forma más práctica o “visual”). Después estudiar los guiones de la escuela y completarlos (en los márgenes, en las páginas en blanco etc.) con aquellos detalles, pasos matemáticos o incisos oportunos (los apuntes de JC son prácticamente los mismos que los de Liñán, frecuentemente hasta las ecuaciones tienen la misma numeración). Finalmente hacerse un resumen propio con todo lo importante del tema en cuestión. Lo importante de esto último no es el resumen en sí, sino el hecho de hacerlo uno mismo. Sintetizando la materia estudiada se adquiere un “mapa mental” de la misma y se aclaran las ideas. He adjuntado mis propios resúmenes en los anexos de estos apuntes, pero lo he hecho por no tirarlos y repito que estos me sirvieron sólo a mí cuando los hice, dudo mucho que le sean de utilidad a nadie puesto que no aportan nada nuevo sobre los apuntes de JC o de Liñán. En ningún caso hay que aprenderse nada de memoria, al menos en el día a día durante el cuatrimestre. Las deducciones (sobre todo en el tema de Ecuaciones Generales) no suelen preguntarse en el examen pero conviene comprenderlas y ser capaces de razonarlas (que no recitarlas) puesto que ello ayuda a “interiorizarlas”, importantísimo para poder trabajar rápido a la hora de hacer un problema. Es esencial saber siempre qué significa físicamente cada término de cada ecuación y comprender la física sin perderse

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en la matemática (evitar que los árboles nos impidan ver el bosque). Por ejemplo, si echamos ahora un vistazo a la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral nos asustaremos ante tantas integrales volumétricas y de superficie y momentáneamente pensaremos “¡quién me mandaba meterme aquí!”. Lo que nunca hay que perder de vista es que esta ecuación representa el clásico “F=m·a” que todos conocemos desde nuestra más tierna infancia, y que el miembro izquierdo de la ecuación representa el “m·a” mientras que el miembro derecho representa la “F”. Visto así todo parecerá más fácil. Después de estudiar la teoría vienen los problemas. Lo mejor es hacerlos en orden cronológico (orden en que se hizo cada problema en la academia atendiendo a las fechas que religiosamente he ido señalando). Hay que procurar hacer los problemas ayudándose únicamente de los guiones oficiales. Cada vez que en los guiones falte algún dato, que casi siempre es algo recogido en los anexos (por ejemplo, la expresión de la divergencia de un tensor en cilíndricas), se añade en un hueco del guión. Así poco a poco se irá completando para que al final no haga falta usar otros apuntes de teoría más que los guiones. Si bien en el examen sólo se dispone de 75 minutos por problema, durante la etapa de estudio el tiempo no debe nunca ser una preocupación. Cada problema ocupa de media cuatro caras y puede ser necesario dedicarle dos, tres o hasta cuatro horas. En cualquier caso hay que dedicar siempre el tiempo que haga falta y terminar los problemas con la seguridad de haberlos comprendido correctamente. Es infinitamente mejor hacer 20 problemas bien hechos, que “hojear” 200 problemas. Al principio es comprensible que haga falta echar mano de la solución, pero a medida que se vaya avanzando en cada tema habrá que ir evitándolo. Los problemas de autocontrol o los resueltos se dejarán para el final y se harán sin más ayuda que los guiones SIN mirar la solución hasta haberlos terminado.

¿Por dónde empiezo? Antes de empezar con cinemática, recomiendo dedicar una tarde a repasar (o aprender) cálculo vectorial con el libro de Marsden Tromba. En particular familiarizarse con los operadores diferenciales gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano. De este libro repasar también los teoremas integrales de Gauss o de la divergencia y de Stokes o del rotacional, así como las aplicaciones físicas a la mecánica de fluidos. Todo esto lo he incluido en los apéndices (extraído de la tercera edición y van por la quinta). Una vez hecho esto, comenzar a estudiar la teoría de cinemática y después resolver los teórico-prácticos y… lo que queda ya es self-explanatory. Yo sólo puedo mostrarte el camino, eres tú el que ha de recorrerlo.

Bibliografía Si con las clases, las tutorías, los apuntes de Amable Liñán y con todo lo que contiene este “tocho” no tienes suficiente… ¡enhorabuena! ¡Eres una persona curiosa y con ansias de aprender de distintas y variadas fuentes, aprobarás esta asignatura con nota y

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llegarás lejos en la vida! Aquí indico las referencias que he usado y me han sido útiles, todas ellas disponibles en la biblioteca de la escuela: -

“An Album of Fluid Motion” van Dyke. Es básicamente un álbum de fotos con multitud de imágenes muy chulas y “motivadoras”.

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“Fundamentos y aplicaciones de la Mecánica de Fluidos” A. Barrero, M. PérezSaborid. Es casi idéntico a los apuntes de Liñán. Los temas de cinemática, ecuaciones generales y fluidoestática están bien desarrollados.

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“Introducción a la dinámica de fluidos” G. K. Batchelor. Es el texto de referencia en Mecánica de Fluidos. Está disponible tanto en español como en inglés en nuestra biblioteca. Es de todo menos una simple “introducción”.

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“Modern Compressible Flow” J. D. Anderson. Excelente para la parte de ondas de choque y expansiones de Prandtl-Meyer (en estos temas podrían haberse extendido algo más en los guiones). También explica muy bien la deducción de las ecuaciones generales (pero sin términos viscosos). Este libro es mecánica de fluidos aplicada a la aeronáutica.

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“Cálculo Vectorial” Marsden, Tromba. Como se ha mencionado antes, este libro suplirá las carencias en operadores y teoremas diferenciales.

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“Análisis Matemático Vol. II” Julio Rey Pastor. Una joya proveniente de uno de los más importantes matemáticos españoles. En particular son de interés los epígrafes §91-93

Existen títulos, como el White, que son demasiado básicos para el nivel que se exige en esta asignatura. Otros, como el Landau Lifschitz, son demasiado teóricos y de nivel superior. Con los libros que he mencionado a cualquiera debería bastarle (y de sobra).

Enlaces de interés 1) Página web del departamento, con problemas y apuntes 2) Ficha con el programa de la asignatura 3) Artículo en Wikipedia 4) Colección de videos del NCFMF sobre mecánica de fluidos 5) Advanced Fluid Mechanics – web de la asignatura del MIT 6) Apuntes de J.L. Vázquez, profesor de fluidos en la UAM 7) Real Academia de la Ciencia – publicaciones de G. Millán y A. Liñán 8) Journal of Fluid Mechanics – Cambridge University Press 9) Artículo interesante sobre el efecto Kaye (imagen de la portada) 10) Foro de alumnos de la ETSIA 11) La cafetería de la escuela (sitio web con apuntes varios) 12) Foroaviones.com interesante foro de aviación para cogerle gustillo al asunto xD 13) TCAS Blog de anécdotas interesantísimas narradas por pilotos

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Un comentario final El curso está comenzando y todavía estás en la fase de encontrar buenos “tochos”, averiguar cuáles son los mejores profesores, dejarte aconsejar por los alumnos mayores… en fin, te estás “asentando”. Si estás leyendo esto es porque se te ha ocurrido “tal vez debería empezar a ir mirándome algo, pero con la calma”. Quieres empezar tranquilamente porque, ¡qué diablos!, no te vas a poner a estudiar 8 horas diarias nada más acabar los exámenes del cuatrimestre pasado. Esa no es la actitud correcta. La actitud correcta es “¡voy a aprobar todas las asignaturas de este cuatrimestre por mis santos cojones!”. Con esta actitud ahora ya habrías estudiado el tema de cinemática, y cuando lleguen los exámenes aprobarás todo y con buenas notas. Si por el contrario decides ir con la mentalidad de “la semana que viene empiezo con la calma, no sea que me despeine” te verás apurado en febrero, te dejarás asignaturas para septiembre, aprobarás con cincos raspados o peor, suspenderás; te tirarás todo el verano estudiando y mientras tus compañeros estarán de juerga haciendo viajes y viviendo la vida loca porque se lo habrán merecido (y tú no obviamente). Y después de todo ello te arrepentirás y pensarás “¿Por qué no me pondría a estudiar antes? ¿Por qué nadie me avisó? ¡Esas semanas de octubre que no di un palo al agua que bien me habrían venido!”. La buena noticia es que todavía estás a tiempo, así que:

¡¡¡PONTE A ESTUDIAR YA!!! Quedas avisado. Si suspendes no vayas a llorarle a tu abuelita para que te consuele con un “tranquilo hijo, tu carrera es muy dura, es normal suspender”.

Nota: Si has descargado estos apuntes desde la web de la delegación de alumnos en formato djvu y quieres el archivo original en pdf (sin comprimir, mejor calidad, marcadores, enlaces que funcionan etc…) no tienes más que pedírmelos por email (ver portada) y te facilitaré un enlace de descarga  También quiero que me avises de las erratas que encuentres, para dejarlas indicadas en el pdf y que así los siguientes lectores estén avisado.

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¿Cómo funciona el movimiento de los fluidos? Introducción cualitativa a las ecuaciones de Navier-Stokes En este artículo pretendo explicar de forma descriptiva en qué consisten las ecuaciones de Navier-Stokes, ecuaciones que gobiernan la mecánica de los fluidos. El lector podría erróneamente pensar que esto es un asunto de poca relevancia práctica y que solamente los físicos o matemáticos aburridos se entretienen con este conjunto de ecuaciones tan, a priori, complejas. Pensar de tal forma sería un grave error ya que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen aplicación en multitud de fenómenos físicos y son las que nos permiten realizar actividades que hoy en día damos por supuesto como volar en avión, consultar una previsión meteorológica, conducir un coche o navegar en un velero, o en general, cualquier fenómeno físico en el que los fluidos tengan importancia. Es por ello que el conocimiento de estas ecuaciones y el saber aplicarlas correctamente permite avanzar en aras de una mayor eficiencia en el sentido más amplio de la palabra.

¿Qué es un fluido? Primero de todo empiezo definiendo un término que vengo usando suponiendo ingenuamente que todo el mundo está familiarizado con él. Un fluido es una sustancia de la materia que no resiste esfuerzos cortantes o tangenciales. ¿Qué quiere decir esto? A ver, tú coge un palo, sujétalo por un extremo y aplica una ligera fuerza perpendicular al mismo por el otro extremo. ¿El palo se dobla verdad? Afirmativo. ¿Pero a que no se dobla indefinidamente? No, se dobla hasta un punto y ahí se queda; si voy aumentando la fuerza (pero manteniéndola por debajo de un cierto límite para evitar la rotura) el palo se dobla cada vez más, pero con una fuerza constante llega hasta un punto y deja de doblarse. ¡Exacto! Pues esa es precisamente la propiedad de la cual carecen los fluidos. A un fluido le aplicas una ligera fuerza como la descrita, y el fluido se "dobla" indefinidamente y sin parar, vamos que no resiste los esfuerzos tangenciales. Esta característica de los fluidos los hace especialmente antipáticos pues resultan infinitamente más complejos de analizar que los sólidos. Ejemplos de fluidos: las natillas, la miel, la glicerina, el nitrógeno, la gasolina, el café.... y otros menos conocidos como el agua y el aire. Los fluidos se dividen en dos tipos: líquidos y gases. Los líquidos se diferencian de los gases en que éstos no se dejan comprimir mientras que aquellos se comprimen muy fácilmente, por ello los líquidos suelen tomarse como fluidos incompresibles, esto es, su densidad (que no su presión) es constante y no varía (o varía muy poco). En algunas ocasiones no resulta del todo evidente la frontera entre líquido y sólido, sobre todo en el caso de líquidos de altísima viscosidad (¿qué será eso de la viscosidad?). Por ejemplo, el vidrio de las ventanas o botellas podría tomarse como un líquido extremadamente denso y viscoso. En cualquier caso, esto no debería suponernos problemas puesto que en la mayoría de las aplicaciones prácticas se trabaja con agua, aire o demás sustancias de carácter claramente fluido.

Otra clasificación importante de los fluidos consiste en distinguir entre aquellos cuya viscosidad se puede considerar constante y aquellos cuya viscosidad varía con la temperatura o con la fuerza cortante aplicada. A los primeros se les denomina fluidos newtonianos y a los segundos, fluidos no-newtonianos. Ejemplos de fluidos que pueden

considerarse newtonianos para grandes rangos de temperatura y presión son el agua, el aire y la gasolina mientras que fluidos no-newtonianos son las pinturas, la sangre, algunos lubricantes o la plastilina. La mecánica de los fluidos es entonces la parte de la física que se interesa en el estudio del movimiento de los fluidos (líquidos o gases), tales como el estudio del aire al atravesar un motor a reacción, el movimiento de un líquido como el petróleo al ser transportado por una oleoducto, el movimiento del aire al entrar a través de las válvulas en un cilindro, el flujo de aire alrededor de un gran rascacielos o alrededor de un ala en vuelo supersónico… Por último conviene indicar que para la mecánica de fluidos, los átomos no existen. ¿¡Cómo que no existen!? ¿¡Entonces no sirve de nada lo que contaron en química en el colegio sobre moléculas, átomos y demás historias…!? Efectivamente, aquí el modelo atómico no nos va a servir para nada y además por un buen motivo. Las escalas que son de interés en mecánica de fluidos son enormes en comparación con el tamaño característico molecular, es por ello que imaginamos al fluido como si fuera un “continuo” en el espacio en vez de un conjunto muy grande de átomos más o menos dispersos. Este “modelo” físico es de enorme ayuda pues nos permite trabajar con valores continuos de las variables (que ahora definiremos) en vez de valores discretos (asignar un valor a cada átomo), lo cual sería completamente inviable. La mecánica de los fluidos es también parte de la más amplia mecánica de los medios continuos, la cual estudia todos los medios que pueden considerarse continuos a escala macroscópica. Así pues no podremos aplicar las ecuaciones de la mecánica de fluidos en problemas de escala atómica. Esta limitación no nos supondrá ningún problema salvo en rarísimas excepciones, como el caso de gases enrarecidos y demás fenómenos en que los tamaños característicos son del mismo orden de la distancia entre átomos del fluido.

¿Qué es lo que nos interesa conocer para determinar completamente el movimiento de un fluido? Lo que necesitamos es conocer las siguientes 4 magnitudes: El vector velocidad (en sus 3 componentes x, y, z) del fluido, la presión, la densidad y la temperatura del mismo en todos los puntos del espacio que ocupa el fluido, y en todo instante. Tenemos por tanto 6 incógnitas, las 3 del vector velocidad, la presión, la densidad y la temperatura. Una vez que conozcamos estas 6 incógnitas podremos afirmar que sabemos exactamente lo que hace el fluido. ¡Ahh, sólo es eso! ¡Pues qué fácil!, ¿no? jeje, aguarda hombre, que ya verás que esto se complica un poco.

¿Qué quiere decir lo último que he dicho, "en todos los puntos y en todo instante"? Pues quiere decir que estas incógnitas no son "numeritos" que debemos calcular como cuando despejamos la x en "x+4=9", sino que dependen del punto del fluido en el que nos fijamos (un punto en el espacio viene dado por sus 3 coordenadas) y del tiempo. En el caso más general posible, si nos movemos de un punto a otro del fluido en un instante dado, las magnitudes (por ejemplo la temperatura) cambiarán. Esto es evidente, todos sabemos desde pequeñitos que la temperatura de la sopa no es igual en el centro del plato que en los bordes. Además, si nos fijamos en un punto concreto del fluido y dejamos pasar el tiempo, lo más normal es que las magnitudes vayan cambiando. En el ejemplo de la sopa según pasa el tiempo, se va enfriando. Así pues nuestras incógnitas son funciones

de 4 variables, las 3 coordenadas espaciales y el tiempo. ¿Se va complicando un poco la cosa no? ¡Ay Pedrín, saca el libro de cálculo en varias variables que te va a hacer falta! Vale, ya sabemos lo que queremos (las 6 magnitudes fluidas en función de las 4 variables), ahora viene la pregunta del millón:

¿Cómo obtenemos las 6 magnitudes en función de las 3 variables espaciales y la variable temporal? El movimiento de un fluido está gobernado por las ecuaciones de Navier - Stokes, que son un conjunto de 6 ecuaciones en derivadas parciales, de segundo orden, NO lineales (esto de por sí ya tiene tela…) y para rematar, está acopladas (vamos que todas las incógnitas aparecen en todas las ecuaciones). Que las ecuaciones sean en derivadas parciales quiere decir que las "derivadas" que en ellas aparecen son respecto de las 4 variables (no respecto de una sola variable) y que las derivadas parciales sean de segundo orden quiere decir que las magnitudes se relacionan respecto de sus variables DOS veces. ¡Ay la leche! ¿Se complica esto un poco no? ¡Pues espera que hay más! Que las ecuaciones sean NO lineales quiere decir que las magnitudes aparecen multiplicándose entre sí. Por ejemplo, todos aprendimos a resolver de pequeñitos un sistema de 2 ecuaciones lineales como el siguiente: x - 3y = 4 5x + 2y = -5 Pero si ahora la primera ecuación la cambio por "x·y - 3y·y = 4·y". ¿A que se complica bastante el sistema sólo con esa multiplicación tan inocente? Pues el hecho de que las ecuaciones de Navier-Stokes sean un sistema de ecuaciones NO lineales complica el asunto de su resolución un huevo... "Bueno vale, el sistema será matemáticamente todo lo complicado que tú quieras, pero en esencia es un problema cerrado ¿no? Tenemos 6 incógnitas y 6 ecuaciones, basta que le tiremos el problema a una jauría de matemáticos y nos lo resuelven" Si y no. Veamos, tenemos 6 incógnitas y 6 ecuaciones diferenciales, por tanto el problema está resuelto A FALTA de imponer condiciones iniciales y de contorno. Si le tiramos el problema a una jauría de matemáticos al momento nos preguntaran ¡¿Oye, qué pasa con las condiciones de integración?! Todos los que en su día aprendimos a calcular integrales en el colegio, sabemos que al integrar una ecuación aparece una "constante de integración", y que para determinar lo que vale dicha constante tenemos que imponer una CONDICIÓN. (Por ejemplo, que la solución pase por el origen de coordenadas). Pues bien, TODOS los movimientos de TODOS los fluidos vienen determinados por las ecuaciones de Navier Stokes. Lo que realmente distingue a unos movimientos de otros son las condiciones que imponemos a los mismos. Una condición puede ser, el fluido está en contacto con un sólido como puede ser una tubería, o el fluido inicialmente está en reposo (fluidoestática), el fluido fluye únicamente en una dirección (movimiento unidireccional), el movimiento del fluido no depende del tiempo (flujo estacionario). Las millones de posibilidades son las que diferencian unos movimientos de otros.

En resumen, si les decimos a la jauría de matemáticos: "Oye, vosotros tomad condiciones genéricas, y resolvéis el problema para un caso general". Entonces si los matemáticos lo consiguen habrán resuelto la cuadratura del círculo. Es imposible dar una solución genérica del problema pues no es posible encontrar expresiones analíticas de velocidad, presión, densidad y temperatura que resuelvan la papeleta en todas las situaciones. En la gran mayoría de las veces la solución se obtiene mediante métodos numéricos, y aquí es donde entra en juego la mecánica de fluidos computacional o CFD (computational fluid dynamics). Esto quiere decir, grosso modo, que introducimos el sistema en un ordenador muy potente, con sus respectivas condiciones de contorno, y el ordenador va escupiendo las soluciones en forma de "numeritos". La CFD tiene actualmente una altísima importancia pues con el gran avance de los métodos numéricos y la potencia de cálculo moderna es posible encontrar soluciones de problemas que hace 40 años hubieran tomado millones de horas de operación continua para su solución. Y aún con todo, la CFD no es capaz de resolver las ecuaciones en todas las situaciones de flujo posibles. Existen tipos de flujo de tantísima complejidad, como aquellos que involucran fenómenos de turbulencia, separación, interacción de fluidos entre otros, que sólo son resolubles mediante métodos estadísticos o experimentales. Es por ello que los ensayos de laboratorio se siguen haciendo hoy en día y en base a ellos se sacan conclusiones para desarrollar una teoría coherente. También en la industria se emplean métodos experimentales, por ejemplo en los ensayos en túneles aerodinámicos en los cuales se ensayan maquetas a escala y se comparan los resultados calculados con los experimentales. Vale vale, pero basta ya de tanta cháchara, al lío...

¿Cuales son las dichosas ecuaciones de Navier - Stokes? Las ecuaciones de Navier-Stokes se derivan de los principios de conservación bien establecidos y conocidos de la mecánica clásica y de la termodinámica. No vamos a deducir aquí las ecuaciones, pero si indicar que realmente no añaden nada nuevo a la física. Constituyen una aplicación de la física conocida a los fluidos. Reciben su nombre en honor a los físicos George Gabriel Stokes y Claude-Louis Navier quienes las definieron a principios del siglo XIX. Las ecuaciones son 3 ecuaciones escalares y 1 ecuación vectorial. La ecuación vectorial se descompone a su vez en 3 ecuaciones escalares, que junto con las otras da las 6 ecuaciones que llevamos diciendo todo el rato. Hay que tener en cuenta que hay quién cuando habla de las ecuaciones de Navier-Stokes se refiere únicamente a las tres ecuaciones de cantidad de movimiento. Todas las ecuaciones tienen una formulación integral y una formulación diferencial, esto quiere decir que se pueden aplicar tanto a un volumen de fluido finito (forma integral) o a un volumen infinitamente pequeño, llamado partícula fluida (forma diferencial). Venga venga, ¿cuáles son?

- Ecuación de la continuidad: Esta es una ecuación escalar que impone la conservación de la masa. Básicamente lo que dice es que si nos fijamos en un recinto del espacio, la

variación de la masa en ese recinto se debe a que por las superficies que limitan nuestra región "entra y sale" masa. Físicamente es una condición muy obvia y se ve muy bien con el siguiente ejemplo: Si tomamos un autobús urbano como nuestro recinto que queremos estudiar, y la suma de todas las personas que hay en el autobús la llamamos "masa", la variación de la masa en el autobús se deberá a la suma de las personas que entran en el autobús y salen del mismo en cada parada. Una herramienta fundamental para definir esta ecuación (y todas las de Navier-Stokes realmente) es el Teorema del Transporte de Reynolds que relaciona expresiones integrales sobre masas de control (volúmenes cerrados o fluidos) con expresiones integrales sobre volúmenes de control. - Ecuación de la cantidad de movimiento: Esta es la segunda ley de Newton, la que todos conocemos como F=m·a. Es una ecuación vectorial porque nos da 3 ecuaciones escalares, una para cada dirección del espacio. La aceleración de un conjunto de partículas de nuestro fluido se debe a las fuerzas que actúan sobre dicho conjunto, y el análisis de estas fuerzas es bastante complejo. Las fuerzas son de 2 tipos, las fuerzas de largo alcance (como la gravedad) y las fuerzas de contacto que el resto del fluido ejerce sobre el conjunto de partículas que nosotros estudiamos. Estas últimas son las más complejas, en ellas entran los esfuerzos de viscosidad y de presión, un berenjenal de mucho cuidado. Pero lo importante es quedarse con que esta ecuación es en esencia el "F=ma" que todos conocemos de nuestra tierna infancia. Como curiosidad, el Teorema de Bernouilli que tanto se menciona cuando se habla de "porqué vuela un avión", no es más que la ecuación de la cantidad de movimiento pero MUY simplificada. - Ecuación de la energía: Esta es la ecuación de la conservación de la energía conocida de la Termodinámica y viene a decir que la variación de la energía de un conjunto de partículas de nuestro fluido se debe a la suma del calor que "entra o sale" de nuestro conjunto de partículas y del trabajo que las fuerzas de contacto y las fuerzas de largo alcance ejercen sobre el conjunto de partículas que estudiamos. Vamos que si pones una sopa al fuego la variación de la energía de la sopa se debe al calor que recibe la misma debida al fuego. Si además nos dedicamos a remover la sopa mientras la calentamos, estaremos realizando un trabajo sobre la misma que también hace variar su energía. Por tanto la variación global de la energía que contiene la sopa se debe a la suma de nuestro trabajo removiendo y del calor que recibe debido al fuego. - Ecuación térmica de estado: Esta ecuación nos la da la Termodinámica. Casi todos aprendimos en química del colegio la famosa formulita "pV=RnT" Esta es la ecuación de estado para gases perfectos y en unos rangos muy específicos de presión y temperatura, una ecuación muy simplificada. En general, si podemos determinar 2 variables de estado (como presión o temperatura) la termodinámica nos dará todas las demás en función de estás mediante ecuaciones de estado. La resolución de estas 6 ecuaciones, atendiendo a las condiciones de contorno que dependen de cada movimiento concreto, nos llevará a determinar la velocidad, la presión, la temperatura y la densidad de nuestro fluido en cada punto del espacio y en cada instante. Si bien puede parecer muy complicado, la física que hay detrás no es para tanto y se entiende muy bien (de hecho con palabras se entiende bastante bien), pero se requiere de un profundo conocimiento de las matemáticas para poder abordar el problema analíticamente. Tal es así que estas ecuaciones se estudian en muchas facultades de matemáticas como ejemplo de matemática aplicada y son muchos los matemáticos que se dedican a ellas.

En la vida real, este conjunto de ecuaciones es un pepino que ni el japonés más listo lo resuelve. Entonces lo que se hace es meter simplificaciones a tutiplén, por ejemplo que el movimiento no depende del tiempo, que la viscosidad del fluido es despreciable, que el movimiento es plano, que no hay fuerzas de largo alcance, que no hay transferencias de calor etc, porque de lo contrario esto sería imposible de resolver en la práctica. De hecho, los ingenieros estudian Mecánica de Fluidos casi única y exclusivamente para aprender las situaciones más típicas (fluidoestática, movimiento unidireccional etc.) en las que poder simplificar las ecuaciones todo lo posible. Meter un sistema de ecuaciones matemáticamente cerrado en un ordenador para que lo resuelva numéricamente no tiene demasiado mérito. Lo que tiene mérito de verdad es darse cuenta de que en tal problema podemos despreciar la viscosidad porque no es importante frente a la aceleración, o que podemos asumir que el líquido se mueve en una sola dirección o yo que sé.... y por ello la Mecánica de Fluidos nos enseña a estimar órdenes de magnitud, que consiste en ESTIMAR cómo de importante es cierta magnitud frente a las demás. Pegada a la chepa de la estimación de órdenes de magnitud vienen todos los números adimensionales que casi siempre resultan de "comparar" términos, por ejemplo, el "famoso" número de Reynolds compara los términos inerciales frente a los viscosos en la ecuación de cantidad de movimiento y por tanto en movimientos con números de Reynolds enormes (mucho mayores que 1) la viscosidad es despreciable. Así hay muchos números adimensionales, el de Bond (que mide la importancia relativa de las fuerzas de tensión superficial frente a la gravedad), el de Strouhal (relaciona el tiempo de residencia de las partículas fluidas en el recinto de estudio con el tiempo característico en que se modifican apreciablemente las condiciones en ese recinto), el de Mach (compara la velocidad del flujo con la velocidad del sonido) etc. y casi todos "comparan" dos términos para decir cuál es importante frente a cuál (o si ambos son igual de importantes).

Con esta breve introducción “cualitativa” espero haber allanado el terreno sobre el que ha de cimentarse el complejo edificio de la Mecánica de Fluidos. Me he propuesto no usar ni una sola expresión matemática en esta introducción con el convencimiento de que la física del problema ha de poder entenderse mediante “palabras”. Luego ya la matemática podrá ser todo lo compleja que uno quiera, pero ello no nos supondrá ningún dolor de cabeza si tenemos bien claro el trasfondo físico del asunto.

Así que ánimo, valor y… ¡al toro!

Índice de contenidos Cinemática 1.1 Concepto de Fluido………………………………………………..……………….27 1.2 Hipótesis de medio continuo. Concepto de partícula fluida……………………….27 1.3 Descripción Lagrangiana y Euleriana……………………………………………...28 1.4 Derivada local y sustancial………………………………………………………...29 1.5 Visualización del campo de velocidades…………………………………………..30 1.6 Movimiento estacionario. Movimiento uniforme………………………………….32 1.7 Sistemas fluidos……………………………………………………………………33 1.8 Vector diferencial de desplazamiento……………………………………………...34 1.9 Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva……………………………….35 1.10 Teorema del transporte de Reynolds…………………………………………...36 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

Ecuación de continuidad………………………………………………………..39 Función de corriente……………………………………………………………41 Función material (no entra)……………………………………………………..43 Vorticidad. Líneas y tubos de vorticidad……………………………………….43 Circulación. Movimientos irrotacionales o potenciales………………………...44 Teorema de Bjerkness – Kelvin………………………………………………...45 Análisis del campo de velocidades en el entorno de un punto…………………45

TP-1 TP-2 TP-3 TP-4 TP-5 TP-6 TP-7 TP-8

CIN Septiembre 2006 → 30.09.2011……………………………………………60 CIN Septiembre 2004 → 07.10.2011……………………………………………61 CIN Febrero 2004 → 11.10.2011………………………………………………..62 CIN Septiembre 2004 → 21.10.2011……………………………………………62 CIN Septiembre 2004 → 14.10.2011……………………………………………63 CIN Septiembre 2004 → Autocontrol…………………………………………...63 CIN Septiembre 2004 → Resuelto………………………………………………64 CIN Septiembre 1999 → Resuelto………………………………………………65

Ecuaciones Generales

10

2.1 2.2 2.3 2.4

Fuerzas en el seno de un fluido. Tensor de esfuerzos……………………………..95 Fuerza resultante sobre una superficie……………………………………………..98 Equilibrio termodinámica local. Ecuaciones de estado……………………………98 Relaciones constitutivas………………………………………………………….100

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Ecuación de la continuidad (conservación de la masa)…………………………..111 Ecuación de la cantidad de movimiento. Ecuación del momento cinético………111 Ecuación de la energía mecánica…………………………………………………113 Ecuación de Bernoulli……………………………………………………………114 Ecuación de la energía total (conservación de la energía)………………………..114

3.6 Ecuación de la energía interna……………………………………………………116 3.7 Ecuación de la entalpía…………………………………………………………...117 3.8 Ecuación de la entropía…………………………………………………………...117 3.9 Ecuación de la entalpía de remanso………………………………………………118 3.10 Ecuación de la vorticidad (no entra)…………………………………………….118 3.11 Planteamiento general de un problema………………………………………….119 3.12 Condiciones iniciales……………………………………………………………127 3.13 Condiciones de contorno (tensión superficial)………………………………….127 P-1 P-2 P-3 P-4 P-5 P-6 P-7

EG-FD Febrero 2002 → 25.10.2011 – Inyector…………………………………141 EG-FD Febrero 2007 → 28.10.2011…………………………………………….142 EG-FD Septiembre 1998 → 04.11.2011…………………………………………143 EG-FD Septiembre 2001 → 10.11.2011 – Chorro………………………………144 EG-FI Febrero 1998 → Resuelto………………………………………………...145 EG-FD Septiembre 2005 → 11.11.2011…………………………………………148 EG-FD Septiembre 1994 → Autocontrol………………………………………..149

Fluidoestática y Análisis Dimensional 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Introducción………………………………………………………………………182 Ecuaciones generales de la fluidoestática………………………………………...182 Condiciones iniciales y de contorno……………………………………………...183 Condiciones de equilibrio………………………………………………………...184 Equilibrio de gases perfectos. Atmósfera estándar (no entra)……………………186 Hidrostática……………………………………………………………………….188 Fuerzas sobre una superficie. Principio de Arquímedes (no entra)………………195

TP-9 AD Septiembre 2009 → 15.11.2011…………………………………………...198 TP-10 AD Febrero 2010 → 22.11.2011 - Barra metálica…………………………...198 TP-11 AD Febrero 2005 → Autocontrol……………………………………………..198 TP-12 AD Febrero 2011 → 25.11.2011 – Perfil……………………………………..199 TP-13 AD Febrero 2006 → 24.11.2011……………………………………………...200 TP-14 AD Febrero 2001 → Resuelto – Burbuja de aire……………………………..200 TP-15 AD Febrero 1985 → Resuelto – Termómetro………………………………...201 TP-16 TP-17 TP-18 TP-19 TP-20 TP-21 TP-22 P-1 P-2 P-3 P-4 P-5

11

FEST Febrero 2001 → 17.11.2011 – Teoría de la FEST……………………..214 FEST Septiembre 2003 → 18.11.2011………………………………………..214 FEST Febrero 1997 → Resuelto……………………………………………...214 FEST Febrero 2008 → 18.11.2011…………………………………………...214 FEST Junio 1999 → 22.11.2011 – Pompa de jabón…………………………215 FEST Septiembre 2002 → 22.11.2011 – Tubo capilar……………………….215 FEST Febrero 2006 → 24.11.2011 – Gota de aceite………………………….215

FEST Septiembre 2000 → 29.11.2011…………………………………………..228 FEST Febrero 1999 → 01.12.2011 – Cucurucho………………………………..229 FEST Septiembre 2003 → 02.12.2011…………………………………………..230 FEST Marzo 2011 → 09.12.2011………………………………………………..231 FEST Febrero 2004 → Autocontrol……………………………………………...232

Movimientos unidireccionales de fluidos incompresibles 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Introducción………………………………………………………………………252 Ecuaciones, condiciones iniciales y de contorno…………………………………252 Corriente de Couette……………………………………………………………...254 Corriente de Poiseuille en un tubo………………………………………………..257 Corriente en conductos de sección transversal no circular (no entra)……………260 Movimientos unidireccionales no estacionarios de fluidos incompresibles……...261

TP-23 MU Septiembre 2008 → Resuelto……………………………………………273 TP-24 MU Septiembre 2007 → Autocontrol………………………………………..274 P-1 P-2 P-3 P-4 P-5 P-6 P-7 P-8 P-9

MU Febrero 2006 → 08.12.2011………………………………………………..277 MU Febrero 2011 → 13.12.2011 – Manómetro………………………………...278 MU Febrero 2008 → 15.12.2011………………………………………………..279 MU Febrero 2007 → 16.12.2011………………………………………………..280 MU Febrero 2002 → Resuelto…………………………………………………..281 MU Febrero 2010 → 10.01.2012………………………………………………..285 MU Septiembre 2011 → 22.12.2011 - Disco duro……………………………...286 MU Septiembre 2009 → Resuelto – Viscosímetro……………………………...287 MU Febrero 2003 → Autocontrol………………………………………………288

Fluidos ideales Conceptos Generales 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Introducción………………………………………………………………………324 Movimientos a altos números de Reynolds………………………………………324 Ecuaciones de Euler para fluidos ideales………………………………………...328 Velocidad del sonido. Movimientos subsónico y supersónico…………………...329 Movimientos isoentrópicos y homoentrópicos…………………………………...330 Ecuación de Euler – Bernouilli…………………………………………………...331 Magnitudes de remanso…………………………………………………………..333 Magnitudes fluidas críticas……………………………………………………….334 Movimientos casi-estacionarios………………………………………………….335

Movimientos Irrotacionales 9.1 9.2 9.3 9.4

Movimientos irrotacionales. Definición………………………………………….337 Condiciones suficientes de irrotacionalidad……………………………………...337 Ecuaciones del movimiento irrotacional…………………………………………340 Condiciones iniciales y de contorno……………………………………………...341

Superficies de discontinuidad (ondas de choque) 10.1 Introducción……………………………………………………………………..344

12

10.2 Discontinuidades fuertes………………………………………………………...344 10.3 Ecuaciones del salto a través de una onda de choque…………………………...346 10.4 Relación de Hugoniot. Irreversibilidad y sentido de la transformación………...348 10.5 Ondas de choque normales……………………………………………………...351 10.6 Ondas de choque oblicuas………………………………………………………354 10.7 Relación de Prandtl (no entra)…………………………………………………..355 10.8 Ondas de choque muy débiles…………………………………………………..355 10.9 Ondas de choque muy intensas………………………………………………….356 10.10 Ondas de choque adheridas y desprendidas…………………………………...357 10.11 Reflexión de ondas de choque en una pared sólida……………………………358 10.12 Espesor de las ondas de choque (no entra)…………………………………….358 10.13 Interacción de ondas (no entra)………………………………………………..359

Expansiones de Prandtl – Meyer 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Corriente plana radial de Prandtl – Meyer………………………………………366 Ecuación del potencial de velocidades en coordenadas polares………………...366 Análisis de la deflexión infinitesimal de una corriente supersónica……………372 Expansiones consecutivas……………………………………………………….373 Expansiones alrededor de una pared curva……………………………………...373 Interacción entre una onda de choque y una expansión de Prandtl – Meyer……373 Reflexión de onda de choque sobre superficie de discontinuidad tangencial…..374

Toberas, Descarga y carga de depósitos 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Introducción……………………………………………………………………..381 Diferencias de comportamiento entre corrientes sub- y supersónicas…………..382 Conceptos generales sobre toberas……………………………………………...383 Determinación del gasto másico en una tobera…………………………………384 Tobera convergente – divergente (tobera de Laval)…………………………….385 Descarga de un depósito………………………………………………………...394 Carga de un depósito……………………………………………………………396

Tablas para problemas de ondas de choque, EPM y toberas………………...…..407-448 P-1 Septiembre 2011 → 19.01.2011…………………………………………………450 P-2 Septiembre 2009 → 19.01.2011 – Perfil triangular……………………………...451 P-3 Septiembre 2008 → 26.01.2011 – Pistón en tubo………………………………..452 P-4 Febrero 2005 → 20.01.2011……………………………………………………..453 P-5 Febrero 2008 → 24.01.2011 – Vehículo supersónico…………………………...454 P-6 Febrero 2007 → 01.02.2011……………………………………………………..455 P-7 Febrero 2010 → 30.01.2011 – Jeringuilla……………………………………….456 P-8 Septiembre 2008 → Resuelto……………………………………………………457 P-9 Febrero 2011 → 04.02.2011 – Descarga de tobera (aplicación teoría)………….458 P-10 Febrero 2006 → Autocontrol…………………………………………………...459 TP-25 TP-26 TP-27 TP-28

13

FI-CG Septiembre 2009 → Resuelto………………………………………….504 FI-CG Febrero 2009 → Resuelto……………………………………………..507 FI-CG Septiembre 2011 → Resuelto………………………………………….509 FI-CG Febrero 2008 (sin solución)…………………………………………...510

TP-29 FI-OC Septiembre 2007 → Resuelto………………………………………….510 TP-30 FI-OC Febrero 2010 → Resuelto……………………………………………..530

Introducción a la turbulencia 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Introducción……………………………………………………………………..517 Valores medios. Reglas de cálculo de valores medios………………………….518 Ecuaciones de Reynolds del mvto. turbulento de un fluido incompresible……..519 Viscosidad Turbulenta…………………………………………………………..522 Movimiento turbulento de líquidos en tubos de sección circular constante…….526 Movimiento turbulento en conductos de sección variable……………………...534

TP-31 TURB Febrero 1999 → Resuelto……………………………………………..548 TP-32 TURB Febrero 2003 → Resuelto……………………………………………..548 TP-33 TURB Febrero 2011 → Resuelto……………………………………………..549

Anexos -

Apéndice 1: Operadores diferenciales………………………………………...556 Apéndice 2: Ecuaciones generales……………………………………………562 Resúmenes de teoría…………………………………………………………..571 Siete cuestiones de teoría recurrentes en examen……………………………..630 Repaso de operadores vectoriales……………………………………………..641 Examen del 07 de Febrero de 2012…………………………………………...671 Examen del 11 de Septiembre de 2012……………………………………….684

Ingenieros Aeronáuticos

Mecánica de Fluídos 1

JC

z. 9.

lngemería, Arquitectura, Formación Técnica.

~

MECÁNICA DE FLUIDOS (1)

• Cuestiones Generales y Consejos. • Temario asignatura. • Preguntas teóricas de examen. • Estudio de la teoría a través de los resúmenes. • Calendario.

Osear Sanz. 15

~ ~JC


1

11

el Almirante Francisco Moreno, 5, 1° lzda., 28040 Madrid.

lngef
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Fluidos 1

l

Profesor

OscarSanz

DESARROLLO DE LA ASIGNATURA DE FLUIDOS 1 EN LA ACADEMIA. 1.· La asignatura de Fluidos 1.

•

Asignatura conceptualmente compleja, con problemas largos y complejos. Gran parte de los conceptos teóricos son imprescindibles para el planteamiento de los problemas (lo más importante de un problema), pero no es importante conocer la demostración de dichos conceptos teóricos, "a priort'.

•

Método de examen: 2 problemas (2/3 de la nota) + hoja de teorfa con 1, 2 o 3 teórico -prácticos (113 de la nota). En la corrección dan más importancia a los conceptos que a los valores numéricos, mientras sean físicamente coherentes, 110 se piden mínimos en ninguna de las partes, por ahora, y se corrige de modo bastante justo, en general.

•

NORMATIVA DE EXÁMENES A PARTIR DEL CURSO 2009/2010.

A partir del curso 2009/2010 sólo se permiten en los exámenes de problemas los apuntes oficiales de la asignatura junto con las posibles lecciones (en formato pdf) colgadas en la página web. Para la teoría no se permitirá ningún tipo de apuntes, libros, etc. •

Debido al extenso temario, se recomienda encarecidamente su estudio con continuidad. Sólo hay dos problemas en el examen para un temario amplio y eso supone que deben "controlarse" todos los temas. La experiencia demuestra que, "cuando se tiene tiempo para estudiarla, se aprueba", de modo que se recomienda ser consecuente con el número de asignaturas elegidas, y verificar las fechas de sus exámenes en Febrero.

2.· Desarrollo de la asignatura en la academia.

•

Se explicarán aquellos conceptos teóricos de compleja comprensión, que nos permitan afrontar la resolución de cualquier problema y de casi todas las preguntas de teoría, y se proporcionarán resúmenes teórico -prácticos (se recomienda localizar los conceptos teóricos básicos en las correspondientes lecciones de los dos volúmenes de teoría publicados por la ETSIA).

•

En el desarrollo de las clases se realizarán problemas y algunos teórico- prácticos de examen (casi la totalidad de los teórico prácticos son problemas muy cortos). Habrá trabajo para casa, que puede consistir en la realización de un problema y/o varios teórico- prácticos; las soluciones estarán a disposición del alumno en el tablón de anuncios de la academia.

•

El temario de la asignatura es excesivo para un cuatrimestre, de hecho la cátedra invierte casi el 90% del tiempo en conceptos teóricos mientras que el examen tienen un carácter fundamentalmente práctico. Este hecho provoca que se deban impartir clases extras, en las que se impartirá teoría v tendrán un carácter voluntario; se informará al alumno con una semana de antelación de la fecha en la que se impartirán estas clases (preferentemente Jos Jueves o Viernes; nunca es un horario caprichoso), y de los epígrafes teóricos que se explicarán, de modo que el alumno que no desee asistir pueda estudiarlo a través de los resúmenes teóricos proporcionados, o bien, a través de los guiones de teoría publicados por la escuela. En esta asignatura "no existen ni puentes ni fiestas de ningún tipo", independientemente de si en la escuela no hay clase; clase que se pierde por una fiesta, clase que se recupera.

16

•

No se modificarán los horarios de las clases debido a exámenes de asignaturas que no pertenezcan al 3er curso de la ETSJA.

•

El alumno no puede cambiarse de grupo cuando le apetezca, independientemente del motivo por el que lo haga (prácticas, exámenes, etc ... ). Si así ocurre se produce un colapso en alguno de los grupos, de modo que los alumnos matriculados en dicho grupo, al que tienen derecho, no podrán ocupar su lugar.

•

El examen final es el día 07/02/2012 (Martes), y terminaremos el 04/02/2012 (Sábado).

- 1-

Consejos generales. Temario. Planificación.

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~JC


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OscarSanz

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3.- Temario de la asignatura. Tema

Subte mas

Lecciones

Resúmenes en JC

(ETSI~

Cinemática de Fluidos

Ecuaciones Generales

9J~~~-~~~~i~~--------------- ------~~~----Cinemática (11). Relaciones Constitutivas. Ecuaciones Generales. Cond. iniciales y de contorno.

-------------------------------------------------------

Fluldoestátlca Análisis Dimensional. Movimientos Unidireccionales

_
3y4

Cinemática (11) Ec. Constitutivas ____5.!_6.!_8_~~--- Ec. Generales de la Dinámica 8 Cond. iniciales y de contorno. 10 Fluidoestática

_____s.!_6X!____

14 ----------------------------------------Semejanza Ffsica. 15 Estacionarlos. 11 ----------------------------------------No Estacionarlos. 12 'MO'V'.-C'asi-:-uñidlreccr'Oñ"iiies.---- -------------13

-------------------------------------------------------

Análisis Dimensional.

Efectos de la entrada.

Movimientos Unidireccionales Mov. casi- unidireccionales. Efectos de la entrada.

9-~~~~~~-~~~~!~~~~--------- -----~~!..~~---- _
31 Mov. lrrotacionales. -------------------------------------------------------------------27 f!0~_l!!~~~~~~~J~!~~~-~~~~~~~ -------------fJ~Lo_~!~~~é~-~~~~~~~~9~l~~~30 -~LP-~rf!..cl~~~~-c!i~9~~!!~~l
Fluidos Ideales

Turbulencia

----~~1EJ~--~~-~9~~-0~~-----------------En gases. XXIV

Turbulencia

4.- Preguntas teóricas de examen en Fluidos (1).

1. Enunciado y demostración del teorema de Bjerkness- Kelvin (Vol 1, Lección 2, apuntes ETSIA). 2. Enunciado y demostración del teorema del transporte de Reynolds que proporciona la variación con el tiempo de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido (Vol 1, Lección 2, apuntes ETSIA). 3. Condiciones suficientes para que un movimiento sea irrotacional. Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para este tipo de movimientos (Vol 11, Lección 31, apuntes ETSIA). 4. Definición y condiciones de conservación de las magnitudes fluidas de remanso en el movimiento de gases y de líquidos perfectos (Volll, Lección 24, apuntes ETSIA). 5. Definición de magnitudes fluidas críticas. Relación entre éstas y las magnitudes fluidas de remanso (Vol 11, Lección 24, apuntes ETSIA). 6. Ecuación de Bemouilli para gases y líquidos. Condiciones de validez (Vol 11, Lección 24, apuntes ETSIA). 7. Condiciones de salto a través de una onda de choque, en ejes ligados a la onda (Vol 11, Lección 30, apuntes ETSIA).

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OscarSanz

5.· Epígrafes de teoría imprescindibles para el desarrollo de la asignatura.

TEORÍA IMPORTANTE DE CINEMÁTICA DE FLUIDOS (1) V (11).

18

Apartado

Epigrafe

Comentario

1.4

1.4

Estudiar para diferenciar claramente entre los conceptos de variación local y variación convectiva de una magnitud fluida.

1.5

1.5.1, 1.5.2 y 1.5.3

Muy importante los conceptos de trayectorias, sendas y líneas de corriente para teórico prácticos de Cinemática.

1. 7

1.7.1 y 1.7.2

Muy importante los conceptos de líneas y superficies fluidas para teórico prácticos de Cinemática.

1.8

1.8

Se deben saber de memoria los factores de escala para los diferenciales de desplazamiento en todos los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales.

1.9

1.9

Leer detenidamente para entender de forma clara el concepto de flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.

1.10

1.10

Sólo es preciso conocer la relación que establece el Teorema del Transporte de Reynolds entre las variaciones temporales de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido y a un volumen de control ..

1.11

1.11

Conocer de memoria la Ecuación de Continuidad en forma integral para un volumen de control (significado fisico de los términos) y diferencial en sus dos formatos.

1.12

1.12

Muy importante el concepto de función de corriente para teórico prácticos de Cinemática.

1.15

1.15

Sólo es preciso conocer los conceptos de circulación y movimiento irrotacional. Su aplicación se verá en los teorico- prácticos de Cinemática.

1.16

1.16

1.17

1.17.1 y 1.17.2

Sólo conocer la expresión del Teorema de Bjerkness- Kelvin.

Conocer las definiciones del tensor de velocidades de deformación y del tensor de rotación, a la vez que su influencia en el movimiento de las partículas fluidas en torno a un punto.

-3-


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OscarSanz

TEOR(A IMPORTANTE DE ECUACIONES GENERALES. (RELACIONES CONSTITUTIVAS, ECUACIONES DE LA DINAMICA, CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO)

Apartado

Eplgrafe

Comentario

2.1.1

Conocer de memoria todas la expresión de las fuerzas máslcas que pueden aparecer en la asignatura.

2.1.2

Conocer los conceptos de esfuerzos de presión y esfuerzos viscosos; significado físico y cuando aparecen.

2.1.3 y 2.1.4

Entender el concepto de direcciones principales de esfuerzos. Saber cómo se calculan.

2.4.1

Conocer de memoria la expresión de la Ley de Navier - Poisson y la expresión de la resultante de las fuerzas viscosas sobre la unidad de volumen.

2.4.2

Conocer de memoria la expresión de la Ley de Fourier de la conducción del calor y saber calcular el calor recibido por un volumen fluido apoyándonos en dicha ley.

3.2

3.2.1 y 3.2.2

Conocer de memoria la Ecuación de la Cantidad de Movimiento en forma integral y diferencial (muy importante conocer el significado físico de los términos). Conocer las expresiones alternativas de la aceleración convectiva.

3.3.

3.3

Leer detenidamente para conocer la ecuación. Servirá para deducir otros conceptos teóricos de relevancia que si serán usados en la parte de fluidos ideales.

3.4

3.4

Leer detenidamente para conocer la ecuación. Se aplicará en teórico - prácticos de Cinemática y en problemas de la parte de Turbulencia.

3.5

3.5

Conocer de memoria la Ecuación de la Energía Total en forma integral (muy importante conocer el significado físico de los términos). Aparecerá en problemas de Ecuaciones Generales.

3.6

3.6

Conocer de memoria la Ecuación de la Energía Interna (muy importante conocer el significado físico de los términos). Aparecerá en problemas de Ecuaciones Generales.

3.8 y 3.9

3.8y 3.9

3.11

3.11

Sólo es preciso leer este epígrafe en el que se plantea de forma general el modo de atacar un problema. Se explicará detenidamente en el desarrollo de los problemas.

3.13

3.13

Conocer perfectamente todas las condiciones de contorno (cinemáticas, dinámicas y energéticas) que pueden aparecer en el desarrollo de un problema. No es preciso conocer su demostración.

2.1

2.4

Sólo serán ecuaciones que utilizaremos en la parte de Fluidos Ideales.

-419

Consejos generales. Temario. Planijicaci6n.

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1

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Fluidos 1

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Profesor

OscarSanz

TEOR(A IMPORTANTE DE FLUIDOESTÁTICA.

Apartado

Epígrafe

Comentarlo

4.2

4.2

Conocer de memoria las ecuaciones que establecen el equilibrio mecánico de los fluidos. Pueden ser necesarias en teórico- prácticos.

4.2

4.4

Conocer la condición que deben cumplir las fuerzas másicas en la fluidoestática y las consecuencias que de ello se derivan. Pueden ser necesarias en teórico- prácticos .

4.5

.4.5

4.6

4.6

Importante el equilibrio de gases para los teórico- prácticos. Todo el apartado de Hidrostátlca es fundamental en los problemas de examen que se ponen de esta parte. Especial atención debe prestarse al epígrafe 4.6.2, estudio del equilibrio de líquidos, con presencia de una interfase de separación con un gas, para distintos casos limite del número de Bond ..

TEORIA IMPORTANTE DE MOVIMIENTOS UNIDIRECCIONALES Y CASI- UNIDIRECCIONALES (EFECTOS DE LA ENTRADA) DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

Apartado

Epígrafe

Comentario

5.2

5.2.1

Conocer de memoria las ecuaciones que gobiernan el movimiento unidireccional de fluidos incompresibles. Pueden ser necesarias en teórico- prácticos.

5.3

5.3

Conocer las hipótesis del movimiento de Couette y la ecuación diferencial que gobierna el movimiento. No es preciso conocer el estudio térmico de este movimiento.

5.4

5.4

Conocer las hipótesis del movimiento de Poiseuiile y la ecuación diferencial que gobierna el movimiento. No es preciso conocer el estudio térmico de este movimiento.

5.6

5.6.2y 5.6.3

Conocer las hipótesis de los movimientos de Stokes y Rayleigh y las ecuaciones diferenciales que gobierna estos movimientos. Muy importante saber integrarlas y entender el concepto de solución de semejanza de la corriente de Rayleigh.

5.7

5.7.x

5.8

5.8.2.x

Conocer los órdenes de magnitud de todos los términos de la ecuación de cantidad de movimiento en el movimiento de fluidos incompresibles en conductos de sección lentamente variable. Conocer las simplificaciones de estas ecuaciones en función del orden de magnitud de los números de Re, St y ReSt. Conocer las simplificaciones del movimiento en función del orden de magnitud del número Re.

-520

Consejos generales. Temario. P/anificaci6n.

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TEORIA IMPORTANTE DE FLUIDOS IDEALES.

Lección 1 Subtema

Epigrafe

Leer

conocer los criterios que deben darse para despreciar los efectos viscosos y de la conducción del calor. Recordar el caso casi- estacionario (St« 1), sin fuerzas másicas. Particularización de las ecuaciones de Navier Stokes para fluidos ideales. Se deben conocer. Leer su definición y saber diferenciarlos. Ignorar, pero esta es una de las deducciones teóricas que podrían ser preguntadas.

8.2: Movimientos a Re>> 1.

Fluidos Ideales. Conceptos generales.

-

8.3: Ecuaciones de Euler. 8.5: Mov. lsoentrópicos y Homoentrópicos. 8.6: Ecuación de Euler- Bernouilli. 8. 7 y 8.8: Magnitudes de remanso y criticas.

Fluidos Ideales. Movimientos lrrotacionales.

9.2: Condiciones suficientes movimiento sea irrotacionalidad.

para

que

un

9.3: Ecuaciones de un mov. irrotacional.

Fluidos Ideales. Flujo a través de turbomáquinas.

Comentarlo detenidamente para

13.2: Ecuaciones para el flujo de fluidos ideales en turbomáquinas

Estudiar detenidamente. Leer detenidamente para

conocer de memoria las condiciones suficientes bajo las cuales el movimiento es irrotacional. Sólo es preciso conocer las ecuaciones de un movimiento homoentrópico irrotacional de gases (pág. 17) Sólo es preciso conocer el resultado de la ecuación de la energía para compresores,

turbinas y bombas. Concepto de altura manométrica en bombas

13.3: Efectos reales en turbomáquinas hidráulicas.

y altura neta de succl6n en turbinas. Conocer los parámetros de los que dependen.

Fluidos Ideales. Superficies de discontinuidad.

Expansiones Prandtl- Meyer.

10.1: Introducción. 10.2: Discontinuidades fuertes. 10.3: Ondas de choque. 10.4: Sentido de la transformación. 10.5 y 10.6: O. C. Normales y Oblicuas.

11: Expansiones de Prandtl- Meyer.

12.1: 12.2: 12.3: 12.4:

Introducción. Comportamiento subsónico 1 supersónico. Conceptos generales sobre toberas. Determinación del gasto másico.

12.5: Tobera convergente- divergente.

Fluidos Ideales. Toberas y Depósitos.

12.6: Descarga de depósitos.

Leer detenidamente. Leer detenidamente. Estudiar detenidamente. Estudiar detenidamente. Se explicarán los ¡¡ráficos en clase. 11.2.1: Estudiar detenidamente. 11.2.3: Estudiar detenidamente. 11.2.4: Estudiar detenidamente. 11.2.5: Estudiar detenidamente. 11.2.6,11.2.7,11.4 y 11.5: Se verán sobre los problemas.

Estudiar detenidamente. Son todos los casos de explicarán en clase.

. . .

.

12.7: Carga de depósitos.

-621

toberas; se

Leer detenidamente las págs. 57 - 58 para conocer lo que ocurre en el interior de un depósito que se descarga. Estudiar de memoria las ecuaciones (1) y (2)de una descarga (pág. 59) Leer detenidamente la pág. 59 para conocer lo que ocurre en el interior de un depósito que se carga. Estudiar de memoria las ecuaciones (3) y (4) de una carga (pág. 60)


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Profesor e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1° lzda., 28040 Madrid.

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TEORÍA IMPORTANTE DE TURBULENCIA (LiQUIDOS Y GASES).

Apartado

Epigrafe

1

1

3

3.1, 3. 2 y 3. 3

Comentarlo Leer bien para entender las características de un movimiento turbulento.

Leer bien el concepto de "Esfuerzos aparentes de Reynolds".

5.2

Estudiar zonas del movimiento turbulento en tubos de sección recta constante (subcapa laminar, zona transición, núcleo turbulento).

5.3y5.4

Concepto de "Coeficiente de Darcy- Welsbach, A." y su relación con la calda de presión entre dos secciones del conducto. Concepto de "Radio hidráulico".

6.1 y 6.2

Leer detenidamente para conocer el significado fisico de todos los términos de las ecuaciones que gobiernan el movimiento turbulento.

6.5

Ecuaciones del movimiento turbulento de liquldos en tubos de sección constante (muy Importante).

6.6

Movimiento turbulento y estacionario de gases en tubos de sección constante, adiabático y con fricción (Leer detenidamente).

6.7

Movimiento turbulento y estacionario de gases en tubos de sección constante, no adiabático y sin fricción (Leer detenidamente).

5

6

-722


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6.- Fechas de clase en la academia, no coincidentes con el calendario lectivo de la escuela. La clase A1 de L-05/Dic se dará el J-08/Dic, de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-06/Dic se dará el V-09/Dic, de 19:30 a 21 :30. Esta semana se impartirán las clases 81, 82, C1 y C2 en sus horarios habituales.

---

-------------~---~.

--------------~-~----

----------~----------~--

SEPTIEMBRE 1 OCTUBRE OCTUBRE 1 NOVIEMBRE L M X J Í -V S L X V S 29 ¡- -36 --¡- 1 - ! 5

1

3 10

f

4 11

1

5

6

1

8 ¡ 14 115

1

10

14

17

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21

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1

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Lo ,¡.., A1 do L-31/0't" d.,:-J::7/0,t,

1

16

11 18

23

24

25

30 1

Ex. Vibraciones (9:00 h)

1

J

V

12 19

(-~::·::·;~:::~:::·:·,::::B1

Ex. Métodos Matemáticos 11 (9:00 h)

L 1M

S

13 ' 14 20 21

M -01/ Nov

Fiesta Nacional

13 20

X 1

Cachondeo ETSIA Vuelta a clase en la academia.

15 22

2 9 ' 10

11

16 23

18 25

17 24

Fiesta Universitaria

M- 31/ Ene. V- 3/ Feb.

Ex. Vibraciones (9:00 h). Ex. Métodos Mat. 11 (9:00 h).

-------------------------------------Se impartirán las clases C1 y C2 de los Viernes en el horario habitual. No afecta a las clases en la academia. No afecta a las clases en la academia.

-----------------------------

Examen Final

-823

14 21

J

Modificación 1 Observaciones No afecta a las clases en la academia. La clase A1 de L-31/0ct se dará J-27/0ct, de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-1/Nov se dará V-28/0ct, de 19:30 a 21:30. La clase A 1 de L-05/Dic se dará el J-08/Dic, de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-06/Dic se dará el V-09/Dic, de 19:30 a 21:30. Esta semana se impartirán las clases 81, 82, C1 y C2 en sus horarios habituales. Esta semana se impartirán las clases A1, A2, 81, 82, C1 y C2 en sus horarios habituales.

Cachondeo ETSIA

V- 27/ Ene.

M - 07 1 02 12012

1

IEIIl¡ ~j Incidencia Fiesta Nacional

2• Happy week (del L-19/ Die al V-23/ Die) L - 9 1 Ene. 1 2012

1

FEBRERO

Fechas M-12/0et

1• Happy week (del L-05/ Die al V-9/ Die)

1

:~:..:.~.:..:.:j

11111111111111116 llis 10 17

1

112-•••••1-1ol 12 , f3- :-14- 15 1 is 1i 1

11 11a- ¡- 19

ENERO

X

1J 1V ~--- -- ~ 11___ T- ~ 3-- Í

P.(j i

82, C1 y C2 en sus horarios habituales.

Vuelta a las clases tras la Navidad

M

L

-- ª

1

de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-1/Nov se dará V-28/0ct, de 19:30 a 21:30

L

DICIEMBRE


Cinemática

24

Cinemática

25

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Concepto de Fluido………………………………………………………………27 Hipótesis de medio continuo. Concepto de partícula fluida……………………..27 Descripción Lagrangiana y Euleriana……………………………………………28 Derivada local y sustancial………………………………………………………29 Visualización del campo de velocidades………………………………………...30 Movimiento estacionario. Movimiento uniforme………………………………..32 Sistemas fluidos…………………………………………………………………33 Vector diferencial de desplazamiento…………………………………………...34 Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva…………………………….35 Teorema del transporte de Reynolds…………………………………………...36

1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

Ecuación de la continuidad (conservación de la masa)………………………...39 Función de corriente……………………………………………………………41 Función material (no entra)……………………………………………………..43 Vorticidad. Líneas y tubos de vorticidad……………………………………….43 Circulación. Movimientos irrotacionales o potenciales………………………...44 Teorema de Bjerkness – Kelvin………………………………………………...45 Análisis del campo de velocidades en el entorno de un punto…………………45

TP-1 TP-2 TP-3 TP-4 TP-5 TP-6 TP-7 TP-8

CIN Septiembre 2006 → 30.09.2011……………………………………………60 CIN Septiembre 2004 → 07.10.2011……………………………………………61 CIN Febrero 2004 → 11.10.2011………………………………………………..62 CIN Septiembre 2004 → 21.10.2011……………………………………………62 CIN Septiembre 2004 → 14.10.2011……………………………………………63 CIN Septiembre 2004 → Autocontrol…………………………………………...63 CIN Septiembre 2004 → Resuelto………………………………………………64 CIN Septiembre 1999 → Resuelto………………………………………………65



JC


~

Á¡'Z..

CONCEPTOS BÁSICOS. CINEMÁTICA (1). Pág. 1.1.- Concepto de fluido.

1

1.2.- Hipótesis de medio continuo. Concepto de partícula fluida.

1-2

1.3.- Descripción Lagrangiana y Euleriana.

2-3

1.4.- Derivada local y sustancial.

3-4

1.5.- Visualización del campo de velocidades. 1.5.1.- Trayectorias. 1.5.2.- Sendas. 1.5.3.- Líneas de corriente. Diferencia con las sendas. Representación. 1.5.4.- Superficies de corriente. 1.6.- Movimiento estacionario. Movimiento uniforme.

4 4 5-6 6 6

1. 7.- Sistemas fluidos. 1. 7.1.- Líneas fluidas. 1. 7.2.- Superficies fluidas. Velocidad normal de avance.

7 7-8

1.8.- Vector diferencial de desplazamiento.

8

1.9.- Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.

9

1.1 0.- Derivación de integrales extendidas a volúmenes fluidos.

10

*Teorema del transporte de Reynolds.

G

Osear Sanz. 26

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1.1.- Concepto de fluido.

Teniendo en cuenta la respuesta de la materia a un esfuerzo cortante aplicado sobre ella (punto de vista macroscópico), la Mecánica de Fluidos distingue entre:

• Sólidos: resisten los esfuerzos cortantes (tangenciales) mediante una defonnación estática permanente (la deformación estática está relacionada con el esfuerzo cortante aplicado). • Fluidos: no resisten los esfuerzos cortantes, ya que éstos provocan la deformación continua del fluido, es decir, sometido a un esfuerzo cortante el fluido responde deformándose continuamente mientras perdure el esfuerzo aplicado (la velocidad de deformación está relacionada con el esfuerzo - cortante aplicado) 1• A esta propiedad se le llama fluidez. Por lo tanto para que un fluido esté en reposo debe estar en un estado de esfuerzo cortante nulo en cualquiera de sus puntos. Teniendo en cuenta la estructura molecular de la materia y las fuerzas intermoleculares se puede realizar una distinción en los fluidos entre líquidos y gases. Si se representa la fuerza entre dos moléculas aisladas típicas en función de la distancia entre ellas observamos que para distancias de orden do (do "' 10 -to m en una molécula típica) o menores la fuerza es repulsiva mientras que para valores de d >> do la fuerza es de atracción débil. En los gases, en general y en condiciones normales, las moléculas son pequeñas, hay gran distancia entre ellas y las fuerzas intermoleculares son despreciables frente a la energía cinética, por lo que tienden a ocupar todo el espacio disponible hasta encontrar unas paredes que lo limiten (en primera aproximación las moléculas se mueven con independencia unas de otras; es lo que llamamos modelo de gas perfecto). En los líquidos, en general y en condiciones normales, las moléculas son grandes, hay poca distancia entre ellas (del orden del tamaño molecular) y las fuerzas intermoleculares son fuertes, por lo que tienden a ocupar un volumen finito. Macroscópicamente hay que destacar dos diferencias impot1antes entre líquidos y gases. En primer 3 lugar, los líquidos tienen una densidad mucho mayor que los gases, del orden de p¡¡q "' 10 Pgaso por lo que se precisan fuerzas mucho mayores en los líquidos que en los gases para producir aceleraciones del mismo orden de magnitud 2 • En segundo lugar la compresibilidad es muy diferente entre ambos, ya que los gases se comprimen mucho más fácilmente que los líquidos, y por tanto, en aquellos movimientos en los que las variaciones de presión sean importantes el cambio en la densidad del gas es muy superior al de los líquidos, casi es inapreciable.

1.2.- Hipótesis de medio continuo. Concepto de partícula fluida.

Todas las sustancias se componen de un gran número de moléculas que actúan entre si mediante colisiones y fuerzas intermoleculares. Describir el comportamiento de una muestra de fluido en ténninos de la dinámica de sus moléculas no resulta práctico debido al gran número de ellas. Por ello la Mecánica de Fluidos estudia el comportamiento a escala macroscópica, considerando que las distancias de interés práctico en nuestras aplicaciones son grandes frente a las distancias intermoleculares, suponiendo que las propiedades físicas de la materia contenida en un pequeño volumen están repat1idas uniformemente a través de él, en lugar de estar concentradas en algunas pat1es, pudiendo por tanto describir el compot1amiento del fluido mediante las propiedades que éste toma en dichos volúmenes elementales, consideradas como funciones continuas del espacio -tiempo, p( t), p( t), T( 1), etc. (modelo de medio continuo). La validez del modelo de medio continuo se justifica cuando el camino libre medio entre colisiones de las moléculas, A, es mucho menor que la longitud característica, Le, de las variaciones macroscópicas de las magnitudes fluidas, es decir, el número de Knudsen, Kn = A!Lc << l. En este caso es posible hablar del valor de las magnitudes de un fluido en un volumen infinitesimal en la escala macroscópica, y que en general estos valores son funciones continuas de la posición y del tiempo.

x,

1 2

x,

x,

Los fluidos si ofrecen una resistencia considerable cuando son comprimidos, sobre todo en el caso de líquidos. Esto ocurre en condiciones normales, ya que si nos encontramos en las proximidades del punto crítico de una sustancia las diferencias en las propiedades termodinámicas de las fases líquida y gaseosa se hacen inapreciables. - 1-

27

Conceptos básicos. Cinemática de fluidos.

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Bajo la hipótesis anterior podremos considerar en cada instante un elemento de volumen dV, grande a escala microscópica y pequeño a escala macroscópica, A << dV 113 << Le, con masa dm, con centro de gravedad en cada punto que llamaremos partícula fluida. Con este modelo la materia aparece distribuida de modo continuo, estando caracterizada en cada punto y en cada instante t (para cada partícula fluida), por la densidad p( t), la presión p( t), la temperatura 3 T( t), la velocidad macroscópica t), la energía interna e( t), etc.

x,

x

x,

v(x,

x,

x,

x,

1.3.- Descripción del campo fluido. Formulación Lagrangia y Euleriana.

Para estudiar el movimiento de un fluido, considerado como un medio continuo, es preciso escoger un sistema de coordenadas apropiado que sirva de referencia. A la hora de describir el movimiento hay dos enfoques clásicos del mismo fenómeno:

*.•

Descripción Lagrangiana.

Esta descripción identifica cada partícula fluida y la sigue en su movimiento, durante el cual describe una curva en el espacio a la que se le llama trayectoria. Para identificar cada partícula fluida se le asigna una tema de números, llamada identificador, y que corresponde a la posición que ocupa la partícula fluida en un cierto instante t = lo (que en general suele tomarse como instante inicial del estudio del movimiento del fluido), es decir, a cada partícula fluida se le hace corresponder, de forma biunívoca 4 , una tema,

que representa la posición ocupada por ésta en dicho instante /0 . Haciendo esto para todas las partículas fluidas, el campo fluido quedará descrito por, ( 1.1) Escogida una pmtícula fluida, es decir, fijado un identificador x0 , la expresión (1.1) representa el lugar geométrico de los puntos del espacio ocupados por dicha partícula al evolucionar el tiempo. Este lugar geométrico recibe el nombre de trayectoria descrita por dicha partícula fluida. En esta descripción las variables independientes son ( 0 , t). Además del movimiento de cada partícula fluida, interesa conocer la evolución de ciertas magnitudes fluidas asociadas a ella (densidad, cantidad de movimiento, energía interna, entropía, etc.), de modo que sif es una de estas variables, se necesitará,

x

(1.2) que nos informe del valor de f correspondiente a una partícula fluida cualquiera en un instante cualquiera. Se dirá que se dispone de una descripción Lagrangiana del movimiento si se conocen las ecuaciones,

para todas las magnitudes fluidas,/, que nos interesen.

3

El uso del modelo de medio continuo no impide la existencia de saltos discontinuos en las magnitudes fluidas a través de superficies libres, interfases entre fluidos o fluidos y sólidos, ondas de choque, etc. Cuando A. - Le el modelo de medio continuo deja de ser válido; es el caso de gases a bajas presiones, en el que se precisaría utilizar la teoría de gases enrarecidos. 4 Para que dicha conespondencia sea efectivamente biunívoca, y podamos obtener x 0 = x 0(x, t) de (1.1), es c.n y c.s. que el Jacobiano de la transformación, J = o(x¡)/O(x¡ 0) sea distinto de cero o "infinito". Si así ocune, al fijar una posición del espacio físico, x, la expresión x 0 = x 0(x, t) nos proporcionaría los identificadores x 0 de las distintas partículas fluidas que a lo largo del tiempo pasarán por el punto x (utilidad en el concepto de linea de traza).

- 228


4

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* •• Descripción Euleriana. Esta descripción se centra en determinar la evolución temporal de las magnitudes fluidas en un punto cualquiera del espacio físico, independientemente del hecho de que en cada instante haya una partícula fluida distinta ocupando dicho punto. Esta es la descripción utilizada por defecto, puesto que en la Mecánica de Fluidos no se está tan interesado en las trayectorias como en conocer las magnitudes fluidas en cualquier y en cualquier instante, t. Por tanto en la descripción Euleriana las variables posición espacial, independientes son ( t). Se dirá que se dispone de una descripción Euleriana del movimiento si se conocen las ecuaciones,

x,

x,

x,

J= J(x, t),

v=v(x,t);

(1.3)

para todas las magnitudes fluidas,/, que nos interesen. Descripción

Var. independientes

Var. dependientes

Lagrangiana

CXo' t)

Euleriana

c.x, t)

.X =xr ( .X0 , t) Y f=f(Xo,t) v =v (.X, t) y J= J(x, t)

El paso de una descripción a otra del movimiento requiere el conocimiento de las trayectorias de las partículas fluidas, es decir, .X= Xr ( x0 , t).

1.4.- Derivada sustancial.

Supongamos que disponemos de una descripción Euleriana del campo fluido, es decir, conocemos

v = v (.X, t) y f= f (.X, t). Se está interesado en conocer la variación temporal de cualquier magnitud fluida intensiva,¡, en un punto cualquiera del espacio. Para ello, se definen dos variaciones temporales: • Derivada local: es la variación temporal de la magnitud f asociada a la partícula fluida en el instante t como si dicha partícula ocupase siempre la posición .X (en un punto dado), es decir

a¡ at

.

(t..!)

óHO

f../

- = 11111

-

x~cte

=

. (f(x, t)- f(x, t + 11111 f..t

t..t))

,

óHO

y no representa toda la variación que sufre la magnitud f asociada a la pmiícula fluida debido a que la pmiícula sólo ocupa esa posición instantáneamente.

• Derivada sustancial (o derivada total): es la variación temporal de la magnitud f asociada a la partícula fluida en el instante t, manteniendo x0 constante, es decir, siguiendo a la partícula fluida en su movimiento,

(-t..!)

_D J[x(.Xo,t),t]= lim Dt óHO f..t

xu~cte

=-a¡ +_a¡_(_ax_¡) = aaift +v·Vf, at ax¡ at xu~cte

(1.4)

y por tanto, la derivada sustancial es igual a la derivada local más el producto contraído del campo de velocidades por el gradiente espacial de la magnitud fluida/ _, La derivada local tiene en cuenta las variaciones temporales de f en un punto fijo del espacio, debido al carácter no estacionario de los flujos, mientras que la derivada convectiva tiene en cuenta la posible variación espacial de J, en cada instante t, al moverse la partícula fluida entre dos posiciones adyacentes (este carácter convectivo se debe al movimiento de la partícula en el seno de un campo fluido no uniforme).

-329

Conceptos básicos. Ciuemática de fluidos.

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A la vista de estas derivadas, la derivadas sustancial del vector de posición de cada partícula fluida es, por definición, la velocidad,

_ Dx

v=Dt ' y la derivada sustancial del vector velocidad de cada partícula fluida es, por definición, la aceleración,

_ DV ov - n a=-=-+v vv, Dt

donde "V

(1.5)

at

v es un tensor de segundo orden que, en un sistema de coordenadas cartesianas, se expresa por, ( Vv) JI..

-

= avj

-

(v·Vv).

axi

1

av. axi

1

=V.J

,

mientras que en un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales (polares, cilíndricas, esféricas, etc.) tendremos otra expresión de la aceleración, ya que V . _

DI!

a =- = Dt

811

ar

'lv = V(v

(v

+V -

2

2

2

12)- V X (V X v) ' y por tanto,

l_ _ - v x (V x v) .

(1.6)

v v

El término "V es un término no lineal en las componentes del campo de velocidades y origina dificultades matemáticas en el análisis diferencial de los flujos.

1.5.- Visualización del campo de velocidades. 1.5.1.- Trayectorias.

Son aquellas curvas dadas por

x = xT ( x0, t), es decir, el lugar geométrico de los puntos del espacio

recorridos por cada partícula fluida (cada una identificada por x0 , en t = t 0) en (unción del tiempo. Es un concepto Lagrangiano, y en realidad representa la "lev horaria" con la que se mueve cada partícula fluida.

v v(x,

Desde un punto de vista Euleriano, conocido el campo de velocidades = t), las trayectorias se calcularán resolviendo un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden, donde el t es la variable independiente, y que en coordenadas curvilíneas ortogonales admite la forma:

1.5.2.- Sendas.

Se llaman sendas a las "travectorias reales" seguidas por las partículas fluidas, es decir, a las ecuaciones implícitas del lugar geométrico descrito por cada partícula fluida en su movimiento (con independencia de cómo lo recorren con t). Se obtienen a partir de las trayectorias eliminando el tiempo.

Eliminando el tiempo, t

- 430


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1

1.5.3.- Líneas de corriente.

Son aquellas curvas del espacio que, en un instante dado, son tangentes en todos sus puntos al correspondiente vector velocidad local. Concepto Euleriano, y el tiempo hace las (unciones de parámetro. Para su determinación matemática utilizamos su definición, imponiendo el paralelismo entre los t), admitiendo en coordenadas curvilíneas ortogonales la forma, vectores d y =

x v v(x ,

h1dx 1 v 1(x 1 ,x2 ,x3 ,t)

-

h 2 dx 2 v 2 (x 1 ,x2 ,x3 ,t)

-

h3 dx 3 v 3 (x 1 ,x2 ,x3 ,t)

,

teniendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden que permiten calcular dos cualesquiera de las variables X¡ en función de una tercera y de dos constantes de integración, que en general serán funciones de t (familia de curvas biparamétrica); las constantes de integración se determinarán si se desea calcular la línea de corriente que en cierto instante to pasa por el punto 0 , es decir,

x

x 2 = x 2 (x¡,a 1 ,a2 ,t) { x =x (x ,a¡,a ,t) 3 3 1 2

Xz

= Xz (x¡, X¡o ,to)

{ x = x (x¡,x¡ ,t ) 3 3 0 0

(siendo t un parámetro)

Diferencias entre líneas de corriente y sendas.

• Considerando intervalos de tiempo muy pequeños, dt, cada pattícula fluida se mueve sensiblemente a lo largo de su vector velocidad, por lo que se tendrá la impresión de que todas las partículas fluidas de una línea de corriente se mueven a lo largo de ella durante un tiempo dt. Pero para intervalos de tiempo finitos, si el campo de velocidades varía con el tiempo, lo mismo ocurrirá con las líneas de corriente, defmmándose continuamente. • Por tanto, las líneas de corriente nos indican cómo se mueven muchas partículas durante un intervalo de tiempo muy pequeño, mientras que las sendas nos muestran el movimiento de cada patiícula durante un tiempo muy grande.

• En un instante determinado las líneas de corriente son tangentes en cada punto, a la senda de la partícula que en ese instante ocupa dicho punto (ver figura 1).

Coincidencia entre líneas de corriente y sendas.

?

tú.

u.::~.~

Hay dos situaciones en el movimiento de un fluido en el que se produce una coincidencia entre las líneas de corriente y las sendas, que son:

• Movimiento estacionario, v= v(x). --:> diMiwtd"'• Campo de velocidades no estacionario del tipo, v=V (X )·f(t).

"'

o

Linea de corriente

Fig. 1

-531


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Representación de líneas de corriente.

La representación de las líneas de corriente pennite conocer el movimiento de las partículas fluidas en pequeños intervalos de tiempo y por tanto ayuda al estudio de las causas que dominan el comportamiento de las mismas. Un amplio conocimiento de la dinámica de los fluidos es esencial a la hora de representar las líneas de corriente, pero a título orientativo conviene tener en cuenta los siguientes aspectos: • Es muy interesante calcular el comportamiento de las líneas de corriente en el entorno de algunos puntos singulares, como pueden ser: en el infinito aguas arriba y aguas abajo, puntos de remanso, puntos singulares (manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes), etc .. • Las líneas de corriente sólo pueden cortarse en puntos de remanso o puntos de velocidad "infinita" (como manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes, etc.). • A las líneas de corriente que pasan por los puntos de remanso se les llama líneas de corriente divisorias. Tienen tanta importancia que en gran parte de las situaciones basta conocerlas para comprender el movimiento del fluido. • Si hay un cuerpo sólido e impermeable sumergido en el fluido, su contorno será línea de corriente 5 •

1.5.4.- Supeñicies de corriente.

Son aquellas superficies del espacio que, en un instante dado, están formadas por todas aquellas líneas de corriente que, en ese instante, se apoyan en una curva fija del espacio, Yo= Yo (A). Concepto Euleriano, y el tiempo hace las (unciones de parámetro. Para su determinación matemática basta con calcular la familia biparamétrica que constituyen las líneas de corriente e imponer que en cierto instante 10 éstas pasen por los puntos y0 (A), obteniéndose la superficie de corriente en forma paramétrica,

o bien en forma implícita,f(x¡, x2, X3, lo)= O. Si en un instante t = lo,
v·

1.6.- Movimiento estacionario. Movimiento uniforme.

Se dice que el movimiento de un fluido es estacionario si tanto el campo de velocidades como cualquier magnitud fluida no dependen del tiempo t, y así, = (_y) y f= f ( El carácter estacionario del movimiento puede depender del sistema de referencia elegido para describir el movimiento del campo 6 fluido • _., dtt c~
v v

x,

5

6

v v

Esto deja de ser cierto cuando existe desprendimiento de la corriente, como sucede por ejemplo en la capa límite alrededor de perfiles aerodinámicos a ángulos de ataque elevados. Posteriormente se explicarán los denominados movimientos casiestacionarios, aquellos en los que el tiempo de residencia de las partículas fluidas en la región del campo fluido sometida a estudio es pequefio frente al tiempo característico de variación de las magnitudes fluidas en el proceso que tiene lugar. En estos movimientos el tiempo, t, aparecerá en las ecuaciones del movimiento como un parámetro y no como una variable. - 6-

32

x).


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1.7.- Sistemas fluidos. 1.7.1.- Líneas fluidas.

Se llaman líneas fluidas a toda curva en el espacio que esté formada en todo instante por las mismas partículas fluidas. Concepto Lagrangiano.

x x

Consideremos todas las partículas fluidas que en un instante t = t 0 forman la curva 0 = 0 (A), de modo que para cada valor del parámetro A tenemos una partícula fluida. Siguiendo a cada una de las partículas que la forman en su movimiento, dejando pasar el tiempo, cada partícula realiza una trayectoria, de modo que para un instante posterior t = t 1 > t 0 , forman otra curva, distinta en general. Por tanto, la determinación de la línea fluida en un instante cualquiera posterior, t > t 0 vendrá dada, conociendo las trayectorias de las partículas, por = 0 (A), t], de modo que para cada valor de t se tiene la ecuación de una curva en el espacio (ver figura 2).

x x [x

de

Mj;f!-

d.\"'

Si una línea fluida es cerrada en t = t0 , admitiendo la continuidad del cam_Qo de velocidades, será cenada en cualquier instante posterior t 1 > t 0 •

LF(t=t, >1,) X= X

t=t,

\

1X,, (,\), 1 1

-----

--\

Trayectoria de P

Trayectoria de P X

Fig. 2

=x 1X, (,1, ,p,), 11

Fig. 3

1. 7 .2.- Supeñicies flqidas.

Se llaman superficies fluidas a toda superficie en el espacio que esté formada en todo instante por las mismas partículas fluidas. Concepto Lagrangiano.

x x

Consideremos todas las partículas fluidas que en un instante t = lo forman la superficie 0 = 0 (A, J1), de modo que para cada valor de los parámetros A y J1 tenemos una partícula fluida. Siguiendo a cada una de las partículas que la forman en su movimiento, dejando pasar el tiempo, cada patiícula realiza una trayectoria, de modo que para un instante posterior t = t 1 > t0 , fonnan otra superficie, distinta en general. Por tanto, la determinación de la superficie fluida en un instante cualquiera posterior, t > t0 vendrá dada, conociendo las trayectorias de las partículas, por ~:X:= 0 (A, J1), t], de modo que para cada valor de t se tiene la ecuación de una superficie en el espacio (ver figura 3).

x [x

Si una superficie fluida es cerrada en t = 10 , admitiendo la continuidad del campo de velocidades, será cerrada en cualquier instante posterior 11 > t 0 . Por ser superficie fluida cerrada, encierra un volumen, llamado volumen {luido, que contiene en todo instante el mismo número de patiículas fluidas, es decir, la masa

presente en un volumen fluido es invariante con el tiempo 7 .

7

Si el fluido presente en el volumen fluido es un gas, aunque la masa sea constante en su interior, puesto que la densidad p puede variar, variaría el volumen ocupado por dicha masa a lo largo de su movimiento. - 7-

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Condición de supeñicie fluida. Velocidad normal de avance de una supeñicie fluida.

x,

Sea J:., f = f ( t), una superficie fluida. Por ser superficie fluida, cualquier partícula fluida que se encontraba en un instante t sobre la posición x de superficie, en el instante t + dt, también se encontrará sobre la superficie fluida, en la posición + dX , siendo = t)dt, de modo que, f ( + dX , t + dt) = O. Por tanto, diferenciando/podemos asegurar que se verificará,

x

x v(x,

f ( x + dX , t + dt) = f ( x , t) + Vf · dX

+

oj dt = O => at

x

_ a¡ Df Vf·v +-=-=0. ot Dt

(1. 7)

Se llama velocidad normal de avance de una superficie (luida a la proyección de la velocidad local de los puntos de dicha superficie fluida sobre la normal/oca/ a dicha superficie, es decir,

_ v¡ ¡v¡¡

a¡ ¡v¡¡ ot · 1

=V·--=-----

V 11

1.8.- Vector diferencial de desplazamiento.

El vector diferencial de desplazamiento (longitud) en un sistema de coordenadas ortogonales genérico viene dado por:

donde los /t¡ son los factores de escala que afectan a todas aquellas coordenadas no lineales. Para calcular los factores /t¡ asociados a las coordenadas X¡, se "congelan" el resto de las coordenadas Xj, damos un desplazamiento infinitesimal, pasando del punto P(x¡) al punto P'(x¡ + dx¡), y el factor /t¡ toma el valor: h 1

=

desp. infinitesimal dx¡

El siguiente cuadro muestra las coordenadas miogonales X¡ y sus respectivos factores /t¡ más frecuentes en la práctica. Coordenadas

Xt

Cartesianas Cilíndricas Esféricas 1

X

r r

Xz y (}

X3

ht

z z

1 1 1

(}

hz 1 r r sen(}

h3 1 1

r

z

,;h 1

1

y

/ ¡//

X

-------------------.1'

Cartesianas

Cilíndricas

- 834

Esféricas I


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1.9.- Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva. Sea una magnitud fluida extensiva ligada al fluido, y

su magnitud específica por unidad de volumen asociada. Se llama flujo convectivo de una magnitud extensiva ligada al fluido, a través de una superficie fija al sistema de referencia, L( a la cantidad de dicha magnitud que "atraviesa", con el fluido, dicha superficie en la unidad de tiempo (ver figura 4), es decir,

x),

Flujo convectivo de <1> = J~ (v · ñ) dcr, 1:(x)

x).

siendo ñ e! vector unitario normal exterior a L( Si el valor de la integral anterior es positivo se dice que el flujo es "saliente"; si es negativo, se dice que el flujo es "entrante".

Fig.4

• Si L es una superficie móvil, L( x, t), habrá que tener en cuenta que el volumen de fluido que atraviesa d(T' por unidad de tiempo no es ( ñ d(T'), sino [( -vJ· ñ d(T'], es decir, considerando la velocidad normal de avance de la superficie, de modo que el flujo convectivo será,

v·

v

Flujo convectivo de <1>

=

J~ ((v-ve)· ñ) dcr, 1:(.1',1)

x,

siendo ve la velocidad local de desplazamiento de la superficie L( t). • Si L es una superficie fluida, Lr ( t), puesto que debe estar formada por las mismas partículas fluidas en todo instante, la superficie se debe mover como lo hace el fluido, =ve , y por tanto,

x,

v

Flujo convectivo de

f~ ((v -vJ · ñ) dcr =O,

=

<1>

l:r(x.t)

• Si L es una superficie de corriente, el flujo convectivo de a través de ella es nulo puesto que

v·ñ == -O y

-

ve =O . • Si L es una superficie cerrada (fija o móvil), I:( t), y (v-ve)· ñ es continua y derivable en todos los puntos de L y del volumen encerrado por ella, podremos aplicar el teorema de la divergencia (Gauss) para el cálculo de la integral que nos proporciona el flujo convectivo, de modo que: VM' MleX~

.- Si es un escalar:

x,

f

~

((v- vJ ·ñ) dcr ==

l:(.i',t)

.- Si es un vector:

f~ ((v- vJ ·ñ) dcr == l:(x.t)

donde

fV·

(~(v-

vJ) dO..

(magnitud escalar)

V(.'i,t)

fv ·(~(v-ve)) dO. .

(magnitud vectorial)

V(x,l)

~ (V -vJ es un tensor (2° orden), cuya divergencia vale:

{v. [~(v- vJ] L== a:.[~¡ (v- ve)J J

• Como casos particulares de flujos convectivos de uso frecuente podemos mencionar:

f ((v-ve)· ñ) dcr. .- Si =m, flujo convectivo másico o Gasto másico: G = G f p ((v-ve)· ñ) dcr.

.- Si = V, flujo convectivo volumétrico o Caudal: Q =

l:(x,l)

=

l:(x,t)

- 935

Conceptos bdsicos. Cinemdtica de fluidos.

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1.10.- Derivación de integrales extendidas a volúmenes fluidos.

Al estudiar el comportamiento de un fluido podemos estar interesados en el análisis de:

• Volúmenes fluidos: Este análisis estudia la evolución de una masa constante, masa de control (aunque el volumen que ocupe sea variable); visión Lagrangiana del estudio de un fluido.

• Volúmenes de control: Este análisis estudia la evolución del fluido a su paso por una región específica del espacio, que puede ser fija o móvil (la masa presente en el interior de dicha región es distinta en cada instante); es una visión Euleriana del estudio de un fluido. Las leyes de la Mecánica, la Termodinámica y los postulados de estado fueron deducidos para masas de control (volúmenes fluidos), y puesto que en la Mecánica de Fluidos interesa un planteamiento Euleriano, se debe buscar el vínculo matemático que nos permita evaluar las variaciones temporales de las magnitudes fluidas ligadas a un volumen fluido, examinando dichas variaciones en un volumen de control que coincida instantáneamente con el volumen fluido. Sea el>( t) una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido, Vr (t), y t/J( t) su magnitud intensiva por unidad de volumen asociada. Deseamos calcular la variación temporal de la magnitud ci> ligada al volumen fluido en su movimiento, es decir,

x,

x,

!!_rJJ(x,r) = !!___ f~c:r,r)dn. dt dt 1',(1) Se demuestra que dicha variación es,

!!__ f~(x,t)dn = f a~(x,r) dn + f~
1', (1)

at

(1.8)

l:r(l)

Deseamos calcular la variación temporal de la magnitud ci> ligada a un volumen de control cualquiera, Vc(t), variable con el tiempo, es decir,

d dt

f~cx,t)dn. l'c(t)

Se demuestra que dicha variación es, (1.9)

Si consideramos un volumen de control, Vc(t), que coincida en el instante considerado con el volumen fluido Vr(t), tal que I:r (t) = I:c(t), por diferencia entre las expresiones ( 1.8) y (1.9), tendremos,

!!__ f~
df Vc(t)

( 1.1 O)

l:c(tJ

de modo que la vanacton en la unidad de tiempo de la magnitud ci> ligada al volumen fluido en su movimiento (puesto que se mueve como lo hace el fluido, es igual a la variación local de ci> en el volumen de control que coincide en el instante considerado con el volumen fluido más el flujo convectivo de ci> a través de la superficie, I:c(t), de dicho volumen de control que se mueve como ve (puesto que nosotros

v),

elegimos el volumen de control, nosotros fijaremos cómo se desplaza, es decir, como es La expresión ( 1.1 O) se llama teorema del transporte de Revnolds.

- 1o36

ve).



Mecánica de Fluidos 1

JC


~

3,4

CONCEPTOS BÁSICOS. CINEMÁTICA (11). Pág. ob,\0

1.11.- Ecuación de continuidad (conservación de la masa).

* En forma integral. En forma diferencial.

o+.\O

1.12.- Función de corriente.

13-14

1.13.- Función material.

15

-?

1.14.- Vorticidad. Líneas y tubos de vorticidad. cr:t.IO

2.1. \0

11-12

-/

1

15-16

1.15.- Circulación. Movimientos irrotacionales o potenciales.

16-17

1.16.- Teorema de Bjerkness - Kelvin.

17

1.17.- Análisis del campo de velocidades en el entorno de un punto. 2.5.

¡e:>

1.17.1.- Influencia del tensor de rotación. 1.17.2.- Influencia del tensor de velocidades de deformación.

-?

L.EER.

17 18 18-20

Osear Sanz. 37

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(4.A

* En forma integral. La ecuación de continuidad no es más que el principio de conservación de la masa para un volumen fluido, Vr (t). Considerando como magnitud fluida extensiva = m, será l/J( ,t) = p( t), e imponiendo la conservación de la masa en un volumen fluido se tendrá,

x

!!_

f p(x,t) dn dt Vr(t)

=o

x,

!!_

fp(x,t) dO.+ fp(x,t){(v-vJ·ñ}dO"=O, df Ve(/) l:c(l)

T. de Reynolds

(1.11)

(Ec. de Continuidad en forma integral) que muestra que la variación en la unidad de tiempo de la masa contenida en un volumen de control Ve (t), se debe al flujo convecfivo de masa a través de sus paredes. ( tl&v¡o) --- -~-·---

* En forma diferencial. Las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos en forma integral no permiten evaluar las distribuciones de las magnitudes fluidas en puntos concretos del campo fluido; precisando para ello conocer las ecuaciones en forma diferencial. Para pasar las ecuaciones de forma integral a diferencial debemos seguir tres pasos: l. Escribir las ecuaciones en forma integral para un volumen de control fijo, V0 , cualquiera, pudiendo entonces intercambiar la integración por la derivación en la integral de volumen, y en la integral de superficie será

ve =O;

se ha admitido que el volumen de control contiene una sola fase fluida, de

modo que p( x, t), es continua y derivable.

2. Transformar las integrales de superficie en integrales de volumen mediante el teorema de la divergencia, admitiendo la derivabilidad del integrando en todos los puntos del volumen de control y de su superficie. Agrupar todas las integrales de volumen en una e imponer el cumplimiento de dicha ecuación para todo volumen de control. Siguiendo los pasos descritos para la ecuación de continuidad en forma integral ( 1.11 ), se tendrá,

8

8

f P dO.+ f p(v. ñ)dO" = f P dO.+ f v. (p)J) dO"= V Of ¡; V O{ V o o o (j

f( apO/ + v. (p)J))dn =o,

V o

y puesto que la expresión anterior debe ser cierta con independencia del volumen de control fijo elegido, Vo, se cumplirá,

ap + 'V·(pv) at

=o.

(1.12)

(Ec. de Continuidad en forma diferencial) Con el concepto derivada sustancial y desarrollando el segundo término de ( 1.12), podremos escribir, Dp

Dt

+ p('V· v) =O.

(1.13)

(Ec. de Continuidad en forma diferencial) - 11 39


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La expresión (1.13) nos permite dar un significado físico a la divergencia del campo de velocidades, pues si Vr es un volumen fluido infinitesimal, que denotaremos como 8Vr para indicar que 8Vr -+ O, puede ser reescrita en la forma,

lo que nos afirma que la divergencia del campo de velocidades es la variación del volumen de la unidad de volumen fluido, en la unidad de tiempo, o velocidad de dilatación cúbica unitaria. Proporciona una idea de la compresibilidad del fluido. Hay dos casos particulares que se presentan con frecuencia y que simplifican la ecuación de continuidad:

X

Fluidos incompresibles, p = cte., por lo que V· v= O.

X

Movimiento estacionario de gases, op/ot =O, por lo que V ·{pv) =O.

_., c--.

En el caso del movimiento estacionario de gases, el gasto másico es el mismo a través de cualquier sección de un tubo de corriente que no encierre singularidades de pv. Para comprobarlo basta con aplicar la ecuación de continuidad al volumen de control limitado por dos secciones transversales del tubo, L 1 y L 2 , y la superficie del tubo de corriente entre ambas secciones, LT:

y como, f(p¡l. ñ)dCJ =o,

(pues

v·ñ = O en LT)

E,

se tiene,

siendo G 1 y G2 los gastos másicos a través de las secciones L 1 y L 2, respectivamente.

Si el fluido tiene densidad p constante, lo dicho para el gasto másico es cierto, en cada instante, para el flujo volumétrico o caudal Q = G/p. En este caso no es necesaria la condición de que el movimiento sea estacionario. En ambos casos un tubo de corriente no puede terminar en el interior de un fluido, ya que como G (o bien Q) es constante, al tender el área de la sección del tubo de corriente a cero, p ó debería tender a infinito. Por lo tanto, en el movimiento estacionario de un fluido compresible, o en un movimiento cualquiera de un fluido incompresible, p = cte., los tubos de corriente se cierran sobre si mismos, o terminan en los límites del fluido, o se extienden hasta el infinito.

v ( v),

- 1240


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1.12.- Función de corriente. Z. ~ ) La función de corriente es una función escalar, en general dependiente de la posición y del tiempo, denotada por 'P = 'P( t), al menos de clase d en cierto dominio del campo fluido, cuyo conocimiento permite calcular el campo de velocidades (por derivación) y facilitar el cálculo de líneas de corriente, gastos másicos o caudales, en ciertas ocasiones.

x,

Para que el movimiento de un fluido admita la existencia de función de corriente es condición necesaria, aunque no suficiente, que la ecuación de continuidad se reduzca a la suma de dos términos, usando un sistema de coordenadas apropiado. En estos casos la propia ecuación de continuidad sirve para definir la función de corriente. Los casos en los que está asegurada la existencia de función de corriente son los siguientes:

*••

Movimiento bidimensional estacionario.

de

fluidos

incompresibles

o

compresibles

en

movimiento

v

En fluidos incompresibles la ecuación de continuidad se reduce a V· = O, y en fluidos compresibles en movimiento estacionario a V·(pv)= O; considerando que el movimiento plano se produce en x 3 =cte., como v3(X¡, t) =O y (ov¡/ox3) = (ov2/ox3) =O, la ecuación de continuidad se podrá expresar en cada uno de los dos casos por,

(1.14a)

(1.14b)

Estas ecuaciones de continuidad se cumplen idénticamente mediante una función escalar, 'P, o función de corriente, eligiéndola de modo que verifique las relaciones (J.l4a) y (1.14b), de la que se obtendrán las componentes de los campos v y pv por derivación. En el movimiento bidimensional las líneas de coJTiente son las soluciones, en cada instante, del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, h 1dx 1/v 1 = h 2dx2/v 2, de donde podemos escribir, para ambos casos, tfiP

=o.

tfiP

=o.

es decir, en cada instante, las curvas 'P =cte. son/as líneas de corriente (de ahí el nombre que recibe 'P). En el movimiento bidimensional, 'P también sirve para evaluar el caudal o el gasto másico, por unidad de longitud según X3, a través de una línea cualquiera que una dos puntos O y P, ya que se tiene,

y por tanto, la diferencia entre los valores que toma 'P en dos puntos es el caudal o el gasto másico, por

unidad de longitud según x 3, que atraviesa una línea cualquiera que una esos dos puntos.

41

- 13 -


~


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~./ * .•

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Movimiento axilsimétrico estacionario.

de

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incompresibles

o

compresibles

en

movimiento

v

En fluidos incompresibles la ecuación de continuidad se reduce a V· = O, y en fluidos compresibles en movimiento estacionario a V· (p )= O; considerando que el movimiento es axilsimétrico respecto de la coordenada x 3 =cte. (como si se trabajase con unas cilíndricas con, x 1 = z según eje simetría, x 2 = r, x 3 =O, siendo entonces, h 1 = lt 2 = 1, h 3 = r), como (8v 1/8x3) = (8v 2/ox3) = O, la ecuación de continuidad se podrá expresar en cada uno de los dos casos por,

v

(1.15a)

(1.15b)

Estas ecuaciones de continuidad se cumplen idénticamente mediante una función escalar, \fl, o función de corriente, eligiéndola de modo que verifique las relaciones (1.15a) y (1.15b), de la que se obtendrán las componentes de los campos v y p v por derivación 1•

* .• Nota sobre el cálculo de caudales y gastos másicos.

La ecuación de continuidad impone ciertas restricciones en el campo de velocidades de un fluido incompresible, pues V· v=O, y en un fluido compresible en movimiento estacionario, pues V·(pv )=O. Bajo estas condiciones, si se desean calcular caudales o gastos másicos, respectivamente, a través de superficies cerradas fijas, en el interior de las cuales los campos y (p respectivamente, presentan un número finito de singularidades, se puede demostrar que el valor de dichos caudales o gastos másicos, respectivamente, es independiente de las superficies cerradas jijas que rodeen a las singularidades mientras unas se puedan transformar en las otras por deformación continua sin cruzar ninguna singularidad.

v

1

v),

En el movimiento axilsimétrico queda garantizado que IJI permanece constante a lo largo de las líneas de corriente si se considera exclusivamente un campo de velocidades (v 1, v2) en cada plano meridiano que contenga al eje de simetría, es decir, en cada instante y en cada plano x 3 = cte., las curvas IJI = cte. son las "lineas de corriente" del campo restringido (v¡, v2 ) en dicho plano. Hay que tener en cuenta que el hecho de que el movimiento sea axilsimétrico 110 obliga a que sea nula v3 , de modo que si v3 t. O, aunque sea f)v 3 ff)x 3 = O, las curvas IJI = cte. no representan las auténticas líneas de corriente del movimiento, sino sólo las líneas de corriente en el movimiento restringido a cada plano meridiano. En el movimiento axilsimétrico, IJI también sirve para evaluar el caudal o el gasto másico, por unidad de ángulo girado alrededor del eje de simetría, a través de una línea cualquiera que una dos puntos O y P de un mismo plano meridiano, ya que se tiene;

y por tanto, la diferencia entre los valores que toma IJI e11 dos puntos de u11 mismo plano meridiano es el caudal o el gasto másico, por u11idad de ángulo girado, que atraviesa u11a lfnea cualquiera que una esos dos puntos. - 1442


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1.13.- Función material. C4.:!. Otro caso especial en el que la ecuación de la continuidad se puede escribir como la suma de dos sumandos es el del movimiento unidimensional no estacionario de un fluido compresible, es decir, aquel en

el que

v= u(x, t) i y p(x, t). En este caso se tiene op

ot

=o

+ o(pu)

ax

(1.16)

'

y de nuevo se puede encontrar una función M(x, t) tal que,

aM ox

p=-

aM at

pu=--.

y

(1.17)

Esta función se llama {unción material.

1.14.- Vorticidad. Líneas y tubos de vorticidad. La vorticidad del fluido es el rotor de la velocidad,

to

w=Vxv.

(1.18)

La vorticidad es un campo so/enoidal, pues se verifica que, V·

w=V· [Vx v] = O, V v.

( 1.19)

Se llaman líneas de vorticidad a las líneas que, en cada instante, son tangentes en todos sus puntos al vector vorticidad local. Son la soluciones, para un valor fijo de t, del sistema de ecuaciones,

dX de

-

=

w(x,t) lw(x,t) l, con x_ = x_

0

en x

e =

(1.20)

.

donde fes la longitud a lo largo de la línea de vorticidad. Las líneas de vorticidad que se apoyan en una curva continua cerrada forman una superficie llamada tubo de vorticidad. La integral,

x= x (A.) del 0

campo fluido,

extendida a una sección transversal :E de un tubo de vorticidad, es una propiedad del tubo de vorticidad, independiente de la sección que se considere. En efecto, sea la superficie cerrada formada por dos secciones transversales al tubo de vorticidad, 1: 1 y 1: 2, y la superficie del tubo entre ambas secciones, :ET. Se tiene:

fw·ñda+ fw·ñda+ fw·ñda=

fw·ñda= f
donde ñ es la normal exterior a la superficie cerrada 1: 1 + 1:2 + vorticidad, es

43

- 15 -

J'

:ET.

Como, por la definición de tubo de


4

~JC

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~J/

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resulta,

fm·(-ñ)da= fm·ñda.

(1.21)

Vemos pues que el flujo de la vorticidad a través de una sección cualquiera de un tubo de vorticidad es independiente de la sección elegida. Esta cantidad se llama intensidad del tubo de vorticidad. Un tubo de

vorticidad no puede terminar en el interior del fluido, de modo que, o terminan en los límites del fluido, o se extienden hasta el infinito.

o-:t. to 1.15.- Circulación. Movimientos irrotacionales o potenciales.

Se define la circulación de la velocidad, como la integral de línea,

r,

.1 ETS¡A) a lo largo de la línea L perteneciente a un dominio fluido

r= fv·Je.

(1.22)

L

x= x(A, t), el elemento diferencial de línea estará dado de= [o x(A, t)loA] dA, y la circulación entre los puntos extremos de la curva L, x(a, t) y x(b, t), será, Si la curva L está dada por la parametrización,

por,

r

=

fv[.x(A-,t),t]. [ax(A-,t)J dA-.

(1.23)

8A,

a

Si la curva L es cerrada y reducible a un punto sin salirnos del dominio en el que v es derivable, el teorema de Stokes asegura que,

r=fv·de= fcvxv)·ñda, L

( 1.24)

¡;

donde 1: es una superficie cualquiera, en el interior del campo fluido, que se apoye en la línea cerrada L. Por tanto, la circulación de la velocidad a lo largo de una línea cerrada es igual al flujo de la vorticidad a través de una superficie que se apoye en dicha línea.

v

Un movimiento se dice que es irrotacional en un dominio n del campo fluido cuando Vx =O en todos los puntos del dominio. Si el dominio es simplemente conexo (es decir, cualquier línea cerrada es reducible a un punto por deformación continua sin salimos del dominio), entonces la circulación de la

velocidad es nula para cualquier línea cerrada del dominio. Por otra parte, si la circulación,

para cualquier línea cerrada L, está garantizado que la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea que una dos puntos del campo fluido, O y P, es independiente de la línea que los una. Por tanto se puede definir una función escalar cp tal que, p

cp = 'Po +

Jv·de ,

( 1.25)

o

- 16-

44


'

~

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verificándose que Vcp =v, de modo que el campo de velocidades deriva del potencial cp y la diferencia del valor que toma el potencial entre dos puntos del campo fluido es la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea, incluida en el campo fluido, que los una.

En dominios que no sean simplemente conexos (caso de perfiles aerodinámicos), la circulación no tiene por qué ser cero a lo largo de líneas cerradas que no sean reducibles a un punto, si bien la circulación es igual a lo largo de dos líneas cerradas cualesquiera que puedan transformarse una en otra por deformación continua. Los valores no nulos de la circulación sobre líneas cerradas no reducibles se llaman constantes cíclicas, y en estos casos, el potencial cp está definido salvo múltiplos enteros de las constantes cíclicas.

1.16.- Teorema de Bjerknes- Kelvin. ( Z.f2. El teorema de Bjerknes - Kelvin establece que la variación en la unidad de tiempo de la circulación

de la velocidad a lo largo de cualquier línea fluida cerrada es igual a la circulación de la aceleración a lo largo de dicha línea fluida cerrada, es decir,

d ,r ~ ,rDv ~ - 1v·de= 1-·dt, dt L, L, Dt

(1.26)

siendo Lr una línea fluida cerrada. Una aplicación impotiante del teorema se da en el caso de que la aceleración derive de un potencial, D /Dt = Vcp., donde se tendrá,

v

de modo que la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea fluida cerrada se mantiene con un valor constante en el tiempo e igual a su valor inicial.

Si el movimiento fuese inicialmente irrotacional y la aceleración derivase de un potencial 2, la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea fluida cerrada se mantendrá nula al pasar el tiempo y por tanto el movimiento continuará siendo irrotacional y la velocidad derivará de llll potencial.

Z.Llo

1.17.- Análisis del campo de velocidades en el entorno de un punto. ~ '1.4i:TSIA) Pretendemos estudiar desde un punto de vista cinemático la distribución de velocidades en las proximidades de una partícula fluida dada. Para ello nos fijamos en una partícula fluida P, situada en el instante t en el punto y consideramos una partícula fluida cualquiera, Q, que en ese mismo instante se encuentre en las proximidades de P, es decir, en x +dx (como si Q fuese un punto cualquiera de un volumen fluido elemental centrado en P). Nuestro interés se centra en el estudio del desplazamiento relativo entre los puntos P y Q, de modo que, partiendo del conocimiento de una descripción Euleriana del movimiento, se tendrá,

x,

dvdt=(v0 -vp)dt=[v(x+dx,t)-v(X,t)]dt=dx

vv¡<_

x,t

)dt,

( 1.27)

donde podemos observar que el estudio del desplazamiento relativo en el entorno de un punto del campo evaluado en dicho punto, en el instante t, y fluido requiere el conocimiento del tensor de segundo orden "V 2 donde se han despreciado ténninos de orden Id 1 •

v,

x

2

En el tema de "fluidos ideales", que se verá posteriormente en el desarrollo de la asignatura, se estudiarán las condiciones suficientes para que la aceleración de un movimiento derive de una potencial.

- 1745


~

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Descomponemos el tensor gradiente de velocidades en suma de su simétrico y su antisimétrico, puesto que esta descomposición dará significado físico al movimiento relativo en el entorno de un punto. Sea y = S la parte simétrica, llamada tensor de velocidades de deformación y A la antisimétrica, tensor de rotación, es decir,

v v= y+ A=± rv v +V vTJ +± rv v -V vTJ,

(Ovj Ov.)

(1.28)

(Ovj Ov )

1 - + - ' ,yA¡i=-1 dondey¡i=-' . 2 OX¡ axj 2 OX¡ oxj A la vista de la descomposición efectuada en ( 1.28), reordenando la expresión ( 1.27), podemos afirmar que el desplazamiento de un punto Q en las proximidades de otro P, y respecto de éste, viene dado por,

v ( x + d x , t)dt = v ( x , t)dt + d v dt = v ( x , t)dt + (d x y) dt + (d x A) dt.

(1.29)

La expresión (1.29) nos afirma que podemos descomponer el movimiento de un punto Q en las proximidades de otro P en tres partes. Pasamos a estudiar el significado físico de los dos últimos términos.

1.17.1.- Influencia del tensor de rotación en el desplazamiento relativo.

Es conocido que a todo tensor antisimétrico de segundo orden se le puede asociar un vector iiJ = (wk) tal que se verifica, wk = 2Eijk Aii· De las propiedades del símbolo de permutación Eijk, y de la propia definición del tensor de rotación, se verifica que d A= ( iiJ 12) X d con lo que

x

dv a dt = (dx A) dt = [( iiJ /2)

x,

X

dx ]dt =((V~ v) x dX )dt,

(1.30)

donde podemos observar que el tercer término de ( 1.29) representa una rotación local como sólido rígido, alrededor de P, con velocidad angular iiJ 12. Se habla de "rotación local" por que el vector iiJ /2 está evaluado en el punto P, de modo que la velocidad angular de giro es distinta en cada punto del campo fluido considerado. Al vector iiJ = V x v se le denomina vector vorticidad local.

Z.'i>.IO

1.17.2.- Influencia del tensor de velocidades de deformación en el desplazamiento relativo.

Para ver la influencia del tensor de velocidades de deformación, y, sobre el movimiento de un punto Q en las proximidades de otro P conviene realizar un cambio de notación. Sea d

x= ij

el elemento de línea fluida que une los puntos P y Q. Sea <1> una forma cuadrática definida

sobre el espacio afín euclídeo ordinario, de modo que, en la referencia cartesiana rectangular {P; (e; ):=I }, centrada en P y cuyos ejes giran con la velocidad angular local iiJ /2, admite la expresión,

de modo que, para cada punto Q situado en las proximidades de P y en cada instante (para cada ij , y en cada instante) la forma cuadrática toma un valor constante, es decir, la expresión anterior representa una cuádrica centrada en P que pasa por Q,

±

Yii TJ¡ T/i

= <1>( ijQ)

- 18 46

= Cte(Q),


~

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~_/

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verificándose,

=> lo que nos garantiza que:

4>

'*'

La velocidad de deformación deriva de un potencial (potencial de velocidades de deformación), y dicho potencial es la forma cuadrática <1>. Por tanto, el movimiento inducido por el tensor de velocidades de deformación en el entorno de un punto P es un movimiento irrotacional. La velocidad de deformación de un punto Q en el entorno de P es ortogonal a la cuádrica con centro en P que pasa por Q, esto es, a la superficie equipotencial que pasa por Q (nótese que la constante depende del punto Q considerado).

e

<1>

=Cte(Q)

~ ·-·-·-·-+ 'h

Cuádrica de deformación que pasa por Q /

Fig. 5.

Estas cuádricas se llaman cuádricas de deformación, y en cada punto P del campo fluido, en cada instante, tendremos una familia de cuádricas afines (concéntricas) que pueden ser elipsoides, hiperboloides, etc. Teniendo en cuenta los resultados comentados, si en cada instante t consideramos un elemento de línea fluida, d = ij, que une los puntos P y Q, dicho elemento se deformará en la dirección de la normal local a la cuádrica que pasa por Q, sufriendo el elemento PQ una deformación en el tiempo dt que se compone de una

x

--

dilatación QB = [(e· V) e] dt, donde

e es el vector unitario en la dirección -PQ, más un giro alrededor de

P, que da lugar al desplazamiento BC = [V- (e· V) e] dt. Además, la velocidad de deformación de todos los puntos de dicha línea fluida sufre una variación lineal con respecto a P, como nos indica la expresión y ij. Obsérvese que el giro citado es diferente de un giro como sólido rígido, puesto que otro elemento de línea fluida que una el punto P con otro punto de la cuádrica, tal como el E, sufrirá un giro diferente.

- 1947


~.

~JC

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Por otro lado, como y es un tensor real y simétrico, está asegurado que es ortogonalmente diagonalizable, es decir, en cada punto P del campo fluido (y en cada instante) existen tres direcciones ortogonales entre si, llamadas direcciones principales de deformación, que coinciden con los ejes de las cuádricas de deformación, a lo largo de las cuales se producen exclusivamente dilataciones, y a= .A a. La localización de estas direcciones en cada punto P del campo fluido requiere la resolución de un sencillo problema de autovalores. Los autovalores son las tres raíces reales, "-+ de la ecuación característica de y, llamadas velocidades principales de deformación, y dada por,

donde A 1, A2 y A3 son los invariantes del tensor de velocidades de deformación y, dados por,

mientras que los autovectores otionormales asociados a los respectivos autovalores (direcciones principales de deformación) son las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos dados por,

Escogiendo un nuevo sistema de referencia local cuyos ejes coincidan con las direcciones principales de deformación, tendremos un tensor de velocidades de deformación diagonal, y su diagonal principal estará formada por los autovalores. Un observador ligado a estos ejes verá el movimiento de deformación local como una simple dilatación. Es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones:

+

Las direcciones principales de deformación en cada punto del campo fluido y en cada instante no dependen del sistema de coordenadas empleado, es decir, el movimiento de deformación en el entorno de un punto es intrínseco al movimiento del fluido, observándose del mismo modo en cualquier sistema de coordenadas centrado en el punto y cuyos ejes giren con la velocidad angular 12.

m

+

Los autovalores del tensor de velocidades de deformación son las velocidades de dilatación lineal en las tres direcciones principales, de modo que, los "-i > O indican alargamientos (expansiones) en sus direcciones principales asociadas y los "-i < O indican contracciones (compresiones) en las suyas. Uno de los invariantes del tensor, la traza, viene dado por Tr(y¡j) =y¡¡= V· = A. 1 + A.2 + .A3 (velocidad de dilatación cúbica unitaria). Si se trata del movimiento de un fluido incompresible, V· =O, luego debe haber autovalores de distinto signo, de modo que las cuádricas de deformación serán hiperboloides. Si los tres autovalores tienen el mismo signo las cuádricas de deformación serán elipsoides 3 .

v

v

Por lo tanto se concluye que, la descomposición instantánea del movimiento de un punto Q en las proximidades de otro P tiene tres partes:

• Traslación local con el punto P, dada por v(x, t)dt. • Rotación local como sólido rígido alrededor del punto P, dada por [(m /2) X d x ]dt. • Distorsión angular local (dilataciones más giros) entorno a P, dada por (dx y)dt.

dt

3

El que las cuádricas de deformación no sean siempre esferas nos indica que el movimiento de deformación no es exactamente una expansión o compresión por igual en todas las direcciones principales.

-2048


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dtJJ

-1

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.)

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JC

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ax

ax

aAx

aAY

Coordenadas cilíndricas:

ay

ay

aAx az

aA)'

aAz az

az

aA8 aAr ar or 1 aAr A8 1 aA 8 Ar VA= - - - - - - - + r ae r ae r r aA8 aAr az az

ax a A _z

ay

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Coordenadas cartesianas: aA< aA)' aAz VA=

1

aAz ar 1 aAz r ae aAz az

Coordenadas esféricas:

VA=

aA~

aA8

aAr ar _!_ aAr _ A 11 r ae r _1_aAr -~ rsene a~ 1'

ar 1 aA8 Ar --+r ae r aA 8 A~ cote rsene

a~

r

ar _!_ aA~

r ae aA, A A~ cote - - - - + - r +----'--r r rsene a~

Particularizando los tensores anteriores para el campo de velocidades, en cartesianas, A =(u, v, w), en cilíndricas, A=(vr,v8 ,v,), y en esféricas, A=(vr,v11 ,v,), tendremos el tensor gradiente del campo de

velocidades.

2.7.· Componentes del vector,

AVA.

Sea A= (Al'A 2 ,AJ un campo vectorial. Siendo VA el gradiente de un campo vectorial, (tensor de 2° orden), en ciertas ocasiones es necesario el cálculo del campo vectorial AVA , que puede obtenerse directamente multiplicando las componentes de A por las de VA. La expresión general viene dada por, --1--AVA =-V(A-A)-A A(V AA) 2 y haciendo el producto escalar 3

(AVA)¡

_LA 1 (VA) 1¡

=

¡,_¡

Un caso particular frecuente es el cálculo de del vector ñ ·VA, siendo ñ un vector unitario y

A= (A1 , A2 , AJ

un campo vectorial. Las componentes de dicho vector en los sistemas de coordenadas más

comunes son:

+

Cartesianas:

ñVA = (ñVA,, ñVA>, ñVAJ

+

Cilíndricas:

-nA- = (-nA -nAo+--, noAr n-nAz) nv nv r -noAo - - , nv y

+

Esféricas:

_ nVA

,.

=

1'

_ n 8 A0 n,A, _ n 8 Ar n,A, cote _ n,Ar n,A8 cote (nVA - - - - - nVA 8 +--nVA +--+ ) r r r' r r' "'r r

siendo VA¡ el gradiente de la componente i (campo escalar) del vector

- 4560

A.

Apéndice 1: Operadores diferenciales.

1~··º

Ingenieros Aeronáuticos 11

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/

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_./'/

2.8.- Divergencia de un tensor de segundo orden, 'V· A .

La divergencia de un tensor de 2° orden es un vector de tres componentes. Sea A= (a¡¡) un tensor de 2° orden. Llamando A 1 , A 2 y A 3 a los vectores formados por las columnas del tensor, su divergencia viene dada por, 'V · A = ('V · A 1' 'V · A 2' 'V · A 3 )

3.- PROPIEDADES DE LOS OPERADORES DIFERENCIALES.

En el cálculo vectorial es frecuente el uso de las relaciones entre los operadores diferenciales. Por ello se recogen en este punto aquellas relaciones más importantes o de uso frecuente. Sean l/J y 1/J campos escalares, A y B campos vectoriales y A un escalar.

* Conmutativldad de los operadores.

* Propiedades lineales. \7(,-trp) = -1(\7 r/J)

'V(rjJ + lf/) ='V rjJ +'V lf/

/1.(\7 r/J) = \1(/l.rjJ)

'V· (M)= ,-l(\7 ·A)

v. (A+ B) = v. A+ v. iJ v !\e A + B) = v !\A+ v !\ iJ /l.(rp+lf/)=/l.rjJ+/I.lf/

'V!\ (M)= A('V !\A) /1.(,-trjJ) = ,1(/l.rjJ)

/I.(A + B) =M+ ¡~.,jj

/I.(M)= A(M)

* Relaciones Importantes.

-

-

/1.(\1· A)= 'V· (M)

-

-

/1.(\1 A A)= \1 A (M)

* Campos centrales: rjJ = f(r) y A= f(r)r 'V· A= 3f(r) + r f'(r)

'V·('VAA)=Ü

\1 r/J = J'(r) iir

'V A('Vr/J)=O

'V A A= O, A deriva de un potencial, lf/ =- fl/(r)dr +cte.

-

2 /l.rjJ = - J'(r) + J"(r) r

-

- \1(\7 ·A)- M 'V A('V !\A)=

M= \1(\1· A)= ( 4f'(r) + r f"(r)) iir

*Expresiones de gradientes.

*Expresiones de divergencias.

\l(rjJ lf/) = lf/ (\1 rjJ) + rjJ (\llf/) 'V(A. B) = jj. \1A+;¡. 'V jj +A!\ ('V!\ B) + jj !\('V!\ A)

v. Cr/JA) = cv r/J). A+ r/J('V· A) v ·c4 !\ B) = cv !\A). iJ- cv !\ B). A

--1 --A· \1A = -'V (A ·A)- A A ('V A A) 2 *Expresiones de rotacionales.

-

'V A (rjJA)

-

*Expresiones de laplac/anas.

-

('V rjJ) A A+ rjJ(\1 A A)

;l.,(r/Jlf/) = lf/(/l.rjJ)+rjJ(/I.lf/)+2\lrjJ· 'Vlj/

v !\(A!\ B) = cv. E) A+ iJ. 'VA- cv. A) E- A. viJ

/l.(r/J A)= A (/l.r/J) + r/1 CM)+ 2v r/1. VA

- 5561

Apéndice 1: Operadores diferenciales.


JC



~

APÉNDICE 11. ECUACIONES GENERALES. __;:¡

;:.

Pág. .'

1.- TENSOR DE VELOCIDADES DE DEFORMACIÓN.

1

2.- TENSOR DE ESFUERZOS VISCOSOS.

1-2

3.- DERIVADA SUSTANCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL.

2

4.- ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN CARTESIANAS.

<

4.1.- Derivada sustancial (para campos escalares).

2

4.2.- Divergencia del campo de velocidades.

2


2

4.4.- Ecuación de la cantidad de movimiento.

2

4.5.- Ecuación de la energía interna.

3

4.6.- Ecuación de la energía total.

3

4.7.- Ecuación de la entalpía.

3

4.8.- Ecuación de la entropía.

3

.

5.- ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN CILÍNDRICAS. 5.1.- Derivada sustancial (para campos escalares).

4


4


4


4


4

l. 1

6.- ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN ESFÉRICAS. 6.1.- Derivada sustancial (para campos escalares).

5


5


5


5


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::::::

1.· COMPONENTES DEL TENSOR DE VELOCIDADES DE DEFORMACIÓN.

Es un tensor de orden dos, simétrico, y viene dado por

+ Cartesianas:

• Cilíndricas:

ou Yxx =

OX

Yyy =

Ov i3y

Yzz

Ow OZ

=

y= (y iJ) = ( Vv + Vvr) 12 .

Yxy

av] =21 [ou Oy + OX

av,. or

r,.,.=1 8v 8 roe=--; 88

v,.

+--;-

+ Esféricas:

r,.,. =ov- r or

v,.]

18v

8 reo=--+[

r

r

ae

r

1 av¡p v,. v8 cotg8] - ---+-+---"---=-¡p¡p - [ r sen e orjJ r r

2.- COMPONENTES DEL TENSOR DE ESFUERZOS VISCOSOS.

t:

USaM4e.>S

La expresión del tensor de esfuerzos viscosos, en su forma general, para fluidos Newtonianos es: =

=

r' = (r{¡) = 2JLr+(JL, -2JLI3)(V ·v)I donde y es el tensor de velocidades de deformación. Ambos tensores de orden dos son simétricos. Las componentes del tensor de esfuerzos viscosos en los tres sistemas de coordenadas más usuales son:

+ Cartesianas:

<,

=

2p ~~ + (JL,- 2p /3)(V. v)

+ Cilíndricas:

r;.,. = 2JL éJv,. or

<·(} = JL [__!_ av,. +OVe -~]

+ (p,- 2JL /3)(V · v)

r

or

r,.z, -_ Jl [ovz + av,.

r:z =2JL8vz +(JLv-2JL/3)(V·v)

, [OVe T(Jz=JL - +1- OZ rae

or

r

oz

r

J

r~8 =2p[__!_ Ove +S:_]+(JL,. -2p/3)(V ·v) rae

Ovz]

oz

- 1-

563

ae

Apéndice II: Ecuaciones Generales.

~

~JC


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Fluidos 1 1

11

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~/_

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+ Esféricas:
= 2j1 Ovr + (flv- 2J1 /3)(V. v)

or

T~B = 2j1 [+ ~; +V;. J+ (flv- 2j1 /3)(V ·V) r' H

= 2j1[_1_ Ovrp + Vr + VgCOtgB] +(flv- 2j1 /3)(V ·V) rsenB ot/J r

3.- DERIVADA SUSTANCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL, Siendo

A= (Al'A 2 ,A3 ).

A un campo vectorial cualquiera, su derivada sustancial viene dada por:

[-DAJ Dt

1 [V(v·A)-Ax(Vxv)-vx(VxA)-Vx(vxA)+v(V·A)-A(V·v) ]¡ =oA - ' +i

at

2

En el caso particular en el que

A= v, campo de velocidades del fluido, se tendrá

l

2

(v J-vx(Vxv)

=-' av +[ V( -Dv) Dt i at 2

.

1

4.- ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS. 4.1.· Derivada sustancial (para campos escalares).

D() =

Dt

ao + u ao + v ao + w ao at

ay

ax

az

4.2.· Divergencia del campo de velocidades.

V·v=au+av +aw ox ay oz 4.3.· Ecuación de continuidad (conservación de la masa).

Dp + pV. v = 0 Dt

ap + v. (pli) = 0 at

=>

ap + o(pu) + o(pv) + o(pw) = 0 at ax ay az

4.4.· Ecuación de la cantidad de movimiento.

Descomponemos la ecuación vectorial en sus tres ecuación escalares según los ejes Según

p Du Dt

(i, ],k).

T): =

Pfmx _ op ax

+_!}_{2Jl ou +(flv _ 2Jl 13 )(V. v)} +!}_{Ji ¡au + ov]} +!}_{Ji [ou + ax

ax

ay

ay

ax

az

az

aw]} ax

Según ] ):

p Dv Dt

=

p/,11 , _ op +!}_{Ji ¡au + ov]} + _!}_{2Jl fJv + (flv _ 2Jl 13)(V. v)} +!}_{Ji ¡av + ow]} ) ay ax ay ax ay ay az az ay

Según k): 1

p Dw lli

= p¡;nz- op +_!}_{Jl[au + aw]}+_!}_{Jl[CM' + Ov]}+_!}_{2j1 OM +(flv -2j1/3)(V ·v)} & fu & fu ay ay & & & - 2-

564

Apéndice 11: Ecuaciones Generales.

~

~JC

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1

11



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p

~; =- pV · v+ ,. -V· q+ Q

donde:

* Q es

la adición de calor por unidad de volumen y tiempo debido a fuentes externas, incluida la radiación térmica y las reacciones químicas, cuando en la energía interna e sólo se contabiliza la energía térmica (en general estos términos son despreciados en la práctica).

* de la Ley de Fourier:

_

ar]}

{ a [ ar] a [ ar] a [ . ax ax cy cy az az

V·q =-V·(kVT)=-- k - + - k - + - k -

* de la función de disipación de Rayleigh, v =2Ji

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r' : y = 2 JI(Y : y)+ (Jiv - 2 JI 13)( V · v) 2

au av aw au Ov au aw aw Ov [(-ax )2+ (-¿ry )2 +( az-)2] +Ji[(-ay+ax-)2 + (-az+ax- )2 + (-¿ry+az-)2] +(flv -2f1/3)(V·v)

2

4.6.- Ecuación de la energía total.

Esta ecuación en coordenadas cartesianas adopta la expresión,

donde los elementos del tensor de esfuerzos viscosos,

r~,

aparecen reflejados en la 1a página.

4. 7 .• Ecuación de la entalpía.

Dh Dp _ p-=-+, -V·q+Q. Dt Dt ' ' 4.8.- Ecuación de la entropía.

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5.· ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS. 5.1.- Derivada sustancial (para campos escalares).

D() =o() +v o()+ v8 o() +v o() Dt ot ,. or r o(} z oz 5.2.- Divergencia del campo de velocidades.

V . v = __!_ o( rv,. ) + __!_ éJv 8 + éJv z

r or

r ae

oz

5.3.· Ecuación de continuidad (conservación de la masa).

op +V·(p\1)=0 at

Dp +pV·v=O Dt 5.4.· Ecuación de la cantidad de movimiento.

Descomponemos la ecuación vectorial en sus tres ecuación escalares según los ejes Según

(ii,., Ü8 , ü z).

ii,. ):

p{Dv,. - v~} = Pfmr- op + o {2fl av,. + (flv- 2fl)V. Dt r or or or 3

+~{fl[avz oz

Según ü8

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v} + _!_~{fl [__!_ ov,. + OvfJ -~]} r ae r ae or r

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Dvz P.lmz ,r - op avz (flv p--= -+a - {2 fl-+ Dt oz oz oz

av,.]} 1 a { fl [1-ovz +-- +éJvoz r oB r oB oz

2p)n ·V-} +-1 a {fll·[avz -+-

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5.5.· Ecuación de la energía interna.

donde: *de la Ley de Fourier:

V· q =-V· (kVT) = -{_!_~[rk oT] + __!_~[~ oT] +~[k oT]} r or or r ae r ae oz oz * de la función de disipación de Rayleigh, éD l'

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- 4566


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6.- ECUACIONES DE NAVIER- STOKES EN COORDENADAS ESFÉRICAS. 6.1.· Derivada sustancial (para campos escalares).

D() o() o() Ve o() vif¡ o() --=-+v - + - - - + - - Dt ot r or r ae rsen() orp 6.2.- Divergencia del campo de velocidades. 2

V·v=-1 o(r v,.) + o(vesen()) +-¡_avif! r2 or rsene ae rsene orp 6.3.· Ecuación de continuidad (conservación de la masa).

Dp + p\7 · v =O Dt

op +V· (pli) =O at

6.4.· Ecuación de la cantidad de movimiento.

Descomponemos la ecuación vectorial en sus tres ecuación escalares según los ejes (ii,.,iie,iiif!). Según ii,. ): P{

Dv,. _ Dt

(v~ +vJ)} -_ P.J,+mr _ op + ~{ 2 Ji ov,. + ( Jlv r

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Según iie ): 1 op Dve P - +V,.Ve - - - vJcotg()} = Pfme - - +1-o- {2Ji - (Ove -+v,. ) +(Jiv -2JL/3)V ·V-} + { Dt r r r ae r o() r ae

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- 5567

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Apéndice Il: Ecuaciones Generales.

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lnge/.terfa, Arquitectura, Formación Técnica.

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De n n Q p-=-pv·V+
donde: * de la Ley de Fourier:

ar]}

_ {1a [ r 2 k-+ ar] 1 a [ ksenear] + 1 a [kY'·q=-Y'·(kVT)=r2 ar ar r 2 seneae ae r 2 sen 2 earp arp *de la función de disipación de Rayleigh, <1>1'

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v = 2

r': r :=: 2J1(Y: y)+ (Jlv- 2J1 13)( V. v) 2

2

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Jl[(Ov,.) +(__!_r_ Ovg +~) +( rsen() } Ov~ +~+ VgCotg()J ]+(Jlv _2 Jl/ 3)(\l·v)2 + ar ae r arp r r

+JI[[

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Apéndice JI: Ecuaciones Generales.

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220

FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

~ Esbozar el campo gradiente -VV para V(x, y) superficie equipotencial V = l.

= (x + y)/(x 2 + y2).

Esbozar la

S. Suponer que las isotermas en una región son esferas concéntricas con centro en el origen. Probar que el campo vectorial de flujo de energía apunta hacia el origen o hacia afuera.

~ Mostrar que D'(t) = {e 2 t, In ltl, 1/t) para t ::¡:.·O es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad F(x, y, z) = (2x, z, -z2 ). 7. Mostrar que D'(t) = (t 2 , 2t - 1, .Ji) para t > O es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad F(x, y, z) =(y+ 1, 2, 1/2z).

[!J

(a) Suponiendo que existe unicidad en las líneas de flujo que pasan por un punto dado en un tiempo dado, probar la siguiente propiedad del flujo tfo(x, t) de un campo vectorial F: ~(x, t + s) = tfo(~(x, s), t). {b) ¿Cuál es la propiedad correspondiente para Dxl/J? *9. Si f(x, t) es una función con valores reales de x y t, definamos la. derivada material

de

f respecto a un campo vectorial F como Df

a¡

-=-+Vf(x)•F. Dt at Mostrar que D f / Dt es la t derivada de/( ~(x, t), t) (i.e., la t derivada. de por el flujo de F).

r

f transportada

J

~ rru~.r

~ 3.4 DIVERGENCIA V ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C 1 F en R 3 el campo vectorial rot F definido como sigue: Sea 111

y hagamos

rot F =

(aayFa _aF2) ¡ + (aF1 _ a Fa) j + (aF2 _ aF az az ax 8x &y

1)

k.

(l)

Esta fórmula es más fácil de recordar si la reescribimos usando la notación de "operador". Introduzcamos formalmente el símbolo "del" (o "nabla"): V l¡

641

.a .a ka =1-+J-+ ax ay -. &z l¡

3.4

221

DIVERGENQA Y ROTAQONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

V es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales. Específicamente, V/, V operando sobre /, está dado por

v¡ = ia¡ +ja¡ +ka¡,

ox

ay

(2)

az

es el gradiente de f. Esta notación formal es bastante útil; si vemos V como vector con componentes {)j{)x, l)joy, a¡az, entonces podemos tomar también el producto cruz

VxF=

=

i 0

j

k

/¡

a a ax ay az F1 F2 F3 (oFa _ 8F2) i + (oF1 _ 8F3)j + (aF2 _ aF1) k ay oz az ox ax ay

= rotF. Así,. rot F = V x F,

.:::

17

A

y con frecuencia. usaremos esta. última expresión. (Nótese que rot F es de clase

Ck-l si Fes de clase Ck .)

EJEMPLO 1 SOLUCIÓN

Sea F(x,y,z) = xi+ xyj +k. Hallar V x F. Tenemos i

VxF=

Así, V

X

F

= yk.

j

k

a a a ax ay az xy 1 X

=(O- O)i- (O- O)j +(y- O)k.

A.

El teorema siguiente enuncia una relación básica entre el gradiente y el rotacional. Deber á compararse con el hecho de que para. cualquier vector v, tenemos V X V= 0.

TEOREMA 1

Para cualquier función

f de clase C 2 , tenemos

V x (V/)= O;

esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.

642

222


Escribamos las componentes del campo vectorial V x (V/). Como V/= (offlJx,of/oy,of/8z) tenemos, por definición,

DEMOSTRACIÓN

.

j

1

VxV/=

k

a a a ax ay az a¡ a¡ a¡ ax ay az 2

2

2

_ ( a ¡ _ a2 1 ) i + ( a 1 _ a 1 ) j + ( ¡p 1 _ a2 1 ) k - ayaz azay azax axaz axay ayax . Cada componente es cero debido a la propiedad simétrica de .las derivadas parciales mixtas; por lo tanto se sigue el resultado deseado. • El significado físico total del rotacional se verá con detalle en los ejercicios 12 y 13, también en el capítulo 8, donde se estudia el teorema de Stokes. Sin embargo, podemos ahora considerar una situación sencilla para mostrar por qué el rotacional está asociado con rotaciones.

EJEMPLO 2 Considerar un cuerpo rígido B que gira alrededor de un ejé L. El movimiento rotacional del cuerpo se puede describir mediante un vector w a lo largo del eje de rotación, la dirección se escoge de manera que el cuerpo gire alrededor de w como en la figura 3.4.1, con la longitud w llwll tomada como la rapidez angular del cuerpo B, esto es, la rapidez tangencial de cualquier punto

=

z L

w

Figura 3.4.1 La velocidad v y la velocidad angular w de un cuerpo en rotación están relacionadas por v = w x r.

643

223

3.4 DIVERGENOA Y ROTAQONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

en B dividida entre su distancia al eje L de rotación. Seleccionar un sistema coordenado de modo que L sea el eje z. Sea Q cualquier punto en B y sea a la distancia de Q a L. Claramente, Ot

= l!rll sen O,

donde r es el vector cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto terminal es Q. La velocidad tangencial v de Q se ,dirige en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, a lo largo de la tangente a un círculo paralelo al plano xy con radio a, con magnitud

llvll =

wa = wllrll sen 9 ::: llwllllrll sen 9.

Hemos. visto (pág. 36) que la dirección y magnitud de v implican que V =W X

r.

Debido a la selección de ejes, podemos escribir w modo que v = w x r = -wyi + wxj ,

,

y mas aun

. J.

1

rotv =

= wk, r = xi + yj + zk, de

k

a a a ax ay az -wy wx o

= 2wk = 2w.

Por lo tanto, para la rotación de un cuerpo rígido, el rotacional del campo vectorial de velocidad es un campo vectorial dirigido paralelo al eje de rotación con magnitud igual al doble de la rapidez angular. .& Si un campo vectorial F representa el flujo de un fluido (ver el ejemplo 1, sección 3.3), entonces rot F = O en P significa físicamente que el fluido no tiene rotaciones o es irrotacional en P; esto es, no tiene remolinos. La justificación de esta idea y, por lo tanto, del uso de la palabra "irrotacional" depende del teorema de Stokes (o del ejercicio 13). Sin embargo,. podemos decir informalmente O significa que si colocamos en el fluido una pequeña rueda con que rot F aspas se moverá c_?n el fluido, pero no girará alrededor de su eje. Por ejemplo, se ha determinado por medio de experimentos que el fluido drenado de una tina es, generalmente, irrotacional excepto justo en el centro, aunque el fluido "rote'' alrededor del hoyo en la tina (ver la figura 3.4.2). Así, el lector deberá tener cuidado con la confusión que pueda generar la palabra "irrotacionaY'. Consideremos algunos ejemplos de campos rotacionales e irrotacionales.

=

644

224


w

Flgura3.4.2 El campo de velocidad V(x,y, z) = (yi -xj)/(x 2 +y2 ) es irrotacional;. una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fl.uido no girará alrededor de su eje w.

Verificar que el campo vectorial del ejemplo 5, sección 3.3, es irrotaciona.l en cadapunto(x,y)-¡. (0,0).

EJEMPLO 3

SOLUCIÓN

El rotacional es

VxV=

i

j

k

8 8x

-8y8

8 8z

-z

o

11

z2

EJEMPLO 4

+ y2

x2

+.y2

Sea V(x, y, z) = yi- xj. Mostrar que V no es un campo gradiente.

SOLUCIÓN Si V fuera un campo gradiente, entonces por el teorema 1 tendríamos la ecuación rot V O. Pero

=

rotV

645

=

.

i

J

8 ox y

8 8y -z

k

8 = -2k:f:O. oz

o

3.4

226

DIVERGENCIA Y ROTACONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Las líneas de flujo para el campo vectorial en el ejemplo 4, así como para el del ejemplo 3, son círculos alrededor del origen en el plano xy, pero este campo de velocidad tiene rotación. En dicho flujo, una pequeña rueda con aspas gira una vez, conforme circula alrededor del origen (figura 3.4.3).

Figura3.4.3 El campo de velocidad V(x, y, z) = yi-xj es rotacional; una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido girará alrededor de su eje w (ver la figura 3.4.2). /)/VER.b'&N

Otra operación básica es la divergencia., definida como sigue: divF =V ·F =8Ft+ 8F2 ox

&y

+ 8F3. &z

(3)

En notación de opera'dor, divF es el producto punto de V y F. Nótese que V x F es un campo vectorial, mientras que V· F: R 3 --+- R, de modo que V· Fes un campo escalar. Leemos V· F como "divergencia de F". El significado completo de la divergencia se da en el suplemento a esta sección y también se presenta en conexión con el teorema de Gauss en el capítulo 8, pero podemos v.ef aquí parte de su si.gnificado físico ..si imaginamos F como el campo de veloctdad de un gas (o flmdo), entonces ·d1v F representa la tasa de expansión por unidad de volumen del gas (o fluido). Por ejemplo, si F(x, y,z) xi + yj + zk, entonces div F 3; esto significa que el gas se está expandiendo a la tasa de 3 unidades cúbicas por unidad de volumen por' unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso F es un vector radial hacia afuera, y conforme el gas se mueve hacia afuera a lo largo de las líneas de flujo, se expande. (Ver la sección 3.3 para un estudio de las líneas de flujo.) Si div F < O significa que el gas se comprime.· A contip.uación se presenta una relación básica entre las operaciones de divergEmcia y rotacional.

=

=

TEOREMA 2

Para cualquier campo vectorial F de clase C 2 , div rot F

= V • {V x F) = O;

esto es, la. divergencia de cualquier rotacional es cero.

646

226


Como con el teorema 1, la demostración se basa en la igualdad de las derivadas parciales mixtas. El· estudiante deberá. escribir los detalles. Hemos visto que V x F está relacionado con las rotaciones y V· F está relacionado con compresiones y expansiones. Esto conduce a la siguiente terminología. Si V· F =O, decimos que Fes incompresible, y decimos que Fes irrota.ciona.l si V X F=O.

EJEMPLO 5

Calcular la divergencia de F = x2 yi

+ zj + xyzk.

SOLUCIÓN

. dtv F

a 2) a( = ax (x y +&y z) +

a(

)

·

·

= 3xy.

&z xyz = 2xy +O+ xy

EJEMPLO 6 Del teorema 2 concluimos que F en el ejemplo 5 no puede ser el rotacional de otro campo vectorial, pues tendría divergencia cero. A

El operador de Laplace V 2 , que opera sobre funciones sigue: V

2

f

o2 f

o2 f

f,

está definido como

o2 f

= V • (V!) = 8x2 + &y2 + &z2 .

=

Si F F 1i +F 2j +F3 k es un campo vectorial C 2 , también podemos definir 'V 2F en términos de componentes: 2 2 2 2 V F = V F1i + V F2j + V F3k.

Como se señaló en la sección 2.6, este operador juega un papel importante en muchas leyes físicas. Continuaremos este estudio en el capítulo 8.

Suplemento de la sección 3.4 . Geometrra de la divergencia

Estudiaremos ahora con más detalle el significado de la divergencia. Este análisis depende del concepto de flujo t/J(x, t) de un campo vectorial F dado al final de la sección 3.3. Ver los ejercicios del 11 al 13 para el correspondiente estudio de rotacional. Fijar un punto x y considerar los tres vectores de la base usual i, j y k saliendo de x. Sea e > O un número pequeño y considerar los vectores de la base Vt = ei, V2 = ej y V3 = ek, que salen también de x. Estos vectores generan un paralelepípedo P(O). Conforme el tiempo crece o decrece, el flujo t!J(x, t) transforma P(O) en algún objeto. Para un tiempo lijo, 4> es una función diferenciable de x (esto es, f/J es una función diferenciable de R 3 a R 3 ). Cuando e es pequeño, la imagen de P(O) bajo f/J se puede aproximar por medio de su imagen bajo la derivada de f/J con respecto a x.

647

3.4 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

227

(Ver el análisis de la aproximación lineal a una función en la sección 2.3. En particular, recordar que si v es un vector corto andado en un punto P1, con extremo en P2, de modo que v = P 2 - Pt, entonces t/>(P2, t)- c,b{P 1 , t) : : : : Dxt/>(x, t) • v; ver el ejercicio 15.) Así, para un tiempo fijo y e: pequeño y positivo, P(O) se transforma aproximadamente en un paralelepípedo generado por los vectores Vt(t), v 2 (t) y V3('t) dados por V1

(t) = Dxt/>(x, t) • Vt

v2(t)

}

= Dxt/>(x, t) • V2

(4)

V3(t) = Dxt/>(x, t) • V3.

=

=

=

Como tf>(x, O) = x para todo x, se sigue que V¡ (O) Vt, v2(0) V2 y v 3 (0) v3 • (Esta fórmula para vectores transformados se estudió en la pág. 138.) Los vectores Vt(t), v2(t) y va(t) generan un paralelepípedo P(t) que se mueve en el tiempo (ver la figura 3.4.4).

Figura3.4.4 La base en movimiento

Vt(t), v2 (t) y v 3 (t) y el paralelepípedo asociado.

Denotemos por V(t) el volumen de P(t). El principal significado geométrico de la divergencia está dado por el teorema siguiente.

TEOREMA 3

O)~ V(t)

div F(x) = V;

DEMOSTRACIÓN

Por la ecuación (3) de la sección anterior,

d dt v¡(t) para i

648

= 1, 2, 3.

t=o

.

= DxF(t/>(x, t)) • Dxt/>(x, t) ·V¡

(5)

228


Como l/l{x, O)

= x, Dxl/l(x, O) es la matriz identidad, la evaluación en t =

:t v¡(t)

O da

= D~F(x)•v¡. t=O

El volumen V(t) está dado por el triple producto (ver pág. 39):

V(t)

= vl(t) • [v2(t) x v3(t)].

Usando los ejercicios 12 y 13 de la sección 3.1, y las identidades Vt • [v2 X v3] X Vt] = V3 • [v1 x v2], obtenemos

V2 • [v3

dV = dt dv1 • (v2(t) X dt

dv1 •[v2(t) = dt

X

V3(t)) + Vi(t) • (dv2 dt dv2 • [va(t) Va(t)) + dt

X

X

Va(t) ) + Vt(t) • [V2(t) dv3 •[Vt (t) Vt(t) ] + dt

En t = O, debido a la sustitución de la fórmula (4) y al hecho de que V3 X Vt éV2 y V2 X V3 = éVt, Se obtiene

=

dV

dt

X

X

dv3] dt

V2 (t )] .

V1

x

V2

= ev3,

(6) t=O

=

Pero V(O) e 3, F = F 1 i + F2j + Fak; [DxF(x)i] • i = 8Ft/8x y, análogamente, el segundo y tercer términos de la. ecuación (5) son e3 (8F2/oy) y e 3 (8Fa/8z). Al sustituir esto en la ecuación (6) y dividir entre e3 se prueba el teorema. • El lector más familiarizado con álgebra lineal puede probar esta generalización del teorema 3:* Sean Vt, v2 y Va cualesquiera tres vectores no coplanares que salgan de x y que fluyan de acuerdo con la fórmula

v¡(t) = Dxl/l(x, t) ·V¡,

i = 1, 2, 3.

Los vectores Vt (t), v2(t) y v3(t) generan un paralelepípedo P(t) con volumen V(t). Entonces

V(lo)

~~

= div F(x).

(7)

t=O

En otras palabras, la divergencia de F en x es la tasa a la cual cambia el volumen, por unidad de volumen. "Tasa" se refiere a la tasa de cambio respecto al tiempo conforme los volúmenes son transportados por el flujo. *El lector necesitará. saber cómo escribir la matriz de una transformación lineal respecto a una base dada y conocer el hecho de que la traza de una matriz es independiente de la base.

649

504

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

*27. Se dice que una función es subarmónica en D si V 2 u ~O donde sea, en D. Se dice que es supraarmónica si V 2 u :5O.

(a) Deducir un principio fuerte del máximo para funciones subarmónicas. (b) Deducir un principio fuerte del mínimo para funciones supraarmónicas. *28. Suponer queDes el disco {(x, y)!x 2 +y 2

< 1} y

e es el círculo {(x, y)lx 2 +y2 = 1}.

En la sección 8.5 mostraremos que si fes una función con valores reales continua en e, entonces existe una función continua u en Due que coincide con f en e y es armónica en D. Esto es, f tiene una extensión armónica al disco. Suponiendo esto, mostrar lo siguiente: (a) Si q es una función continua no constante en D U e que es su harmónica (pero no armónica) en D, entonces existe una función continua u en D U C que es armónica en D tal que u coincide con q en e y q < u donde sea, en D. (b) La misma afirmación se cumple si se reemplaza "subarmónica" con "supraarmónica" y "q < u" por "q > u". *29. Sea D como en el ejercicio 28. Sea f: D--+ R continua. Mostrar que una solución

a la ecuación V 2 u

=o que satisface u(x) =

f(x) para todo

X

E

an es única.

*30. Usar el teorema de Green para probar la fórmula de cambio de variables en el siguiente caso especial:

{ dxdy = {

Jv

para una transformación (u, v)

8.2

lv•

t-+

&(x,y) dudv &(u, v)

(x( u, v), y( u, v) ).

TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple C en R 3 , con la integral sobre una superficie S de la cual C es la frontera. En este aspecto, se parece mucho al teorema de Green. Comencemos recordando algunos hechos del capítulo 7. Considerar una superficie S que sea la gráfica de una función f(x, y), de modo que S está parametrizada por x=u y=v { z = f(u,v) = f(x,y) para (u,v) en algún dominio D. La integral de una función vectorial F sobre S se desarrolló en la sección 7.6 como

¡ donde F

650

F · dS

=

L[

= F1i + F2.i + F 3 k.

Ft (- ::)

+ F2

(-:; ) + F3]

dx dy,

(1)

8.2

505

TEOREMA DE STOKES

En la sección 8.1 supusimos que las regiones D consideradas eran del tipo 3; esto fue un requerimiento esencial para la demostración del teorema de Green, pero notamos que el teorema es válido para una clase más amplia de regiones. En esta sección supondremos que D es una región cuya frontera es una curva cerrada simple a la cual se puede aplicar el teorema de Green. Según se explicó en la sección 8.1, para aplicar el teorema de Green se necesita escoger una orientación de la frontera de D; pues bien, la orientación que haga que se cumpla el teorema se llamará positiva. Recordar que si D es del tipo 3, entonces la orientación positiva es en sentido contrario al que giran las manecill~ del reloj. Suponer que u: [a,b] -+ R 2 , u(t) = (x(t),y(t)) es una parametrización de an en dirección positiva. Definimos entonces curva fronteraaS como la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función 71: t H (x(t), y(t), f(x(t), y(t))) con la orientación inducida por 11 (figura 8.2.1). z

X

Figura 8.2.1 Orientación inducida en &S: Conforme se camina alrededor de la frontera,

la superficie debe estar a la izquierda.

Para recordar esta orientación (esto es, la dirección positiva) de as, imaginar un "observador'' caminando a lo largo de la frontera de la superficie donde la normal apunta para el mismo lado que su cabeza; se estará moviendo en la dirección positiva si la superficie está a su izquierda. Esta orientación de as suele llamarse orientación inducida por una normal n "hacía arriba". Ahora estamos preparados para enunciar y probar uno de las resultados fundamentales de esta sección. Sea S la superficie orientada definida por una función C , z:::::: f(x,y), (x, y) E D, y sea F un campo vectorial C 1 en S. Entonces, si {)S denota la curva frontera orientada de S según se definió

TEOREMA 5:

TEOREMA DE STOKES PARA GRÁFICAS 2

651

506


antes, tenemos

f rot F · dS = f (V x F) · dS = f F · ds. ls ls las Recordar que fas F · ds es la integral alrededor de aS de la componente tangencial de F, mientras que fs G · dS es la integral sobre S de G •n, la componente normal de G (ver las secciones 7.2 y 7.6). Así, el teorema de Stokes dice que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial F sobre una superficie S, es igual a la integral de la componente tangencial de F alrededor de la frontera 88.

Si F

DEMOSTRACIÓN

rotF=

= F 1i + F~ + F3 k, entonces

(oF3 _ 8F2)i+ (8Ft_ oF3)j+ (8F2 oy az az ax ax

_

8F1

ay

)k.

Por lo tanto, usamos la fórmula (1) para escribir

f rotF ·dS = f [(aF3 _ 8F2) (- az) ls lD oy OZ OX + (aF1

az

_

aF3) (- az) ox ay + (aF2 ox

_8Ft)] ay dA.

(

2)

Por otro la.do,

1 1

f F · ds = , F · ds = , F1 dx +{2 dy + F3 dz, las donde 11: [a, b] --+ R 3 , 11( t) = (x(t), y(t), f( x(t), y(t))) es la parametrización que preserva la orientación de la curva cerrada simple orientada {)S estudiada anteriormente. Así,

f F · ds = las

lb (Ft a

+ F2 dy + F3 dz)

dx dt

dt

dt

dt.

(3)

Pero, por la regla de la cadena dz

dt =

az dx oz dy ax dt + ay dt ·

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3), obtenemos

L

F • ds

= [ [(Ft +F• ;; ) =

=

652

1( + F3 :; ) L( Ft

~: + ( F>+ F

dx

3 :; )

+ (F2 + F3 : ; )

F, +F, ;; ) dx

+ ( F>+ F, :; )

~~] dt

dy

dy.

(4)

8.2

507

TEOREMA DE STOKES

Aplicando el teorema de Green a la ecuación (4) se obtiene (suponemos que el teorema de Green se aplica a D)

{ [8(F + F 8zf8y) _ 8(F1 + Fa8z/8x)l dA. 3

2

JD

&x

&y

Usamos ahora la regla de la cadena, recordando que F 1 , F2 y F3 son funciones de x, y y z, y que z es función de x y y, para obtener

{ [(8F2 + 8F2 8z + 8Fa &zoy + 8Faoz 8z 8zoy +· Foxoy 8 z ) )D 2

OX

OZ OX

_ (8F1 [)y

OX

OX

+ 8F1 oz + 8F3 ~z + ()z ()y

3

()y ux

8F3 fJz fJz ()z oy ax

+ F3

2

fJ : ) ] dA. oyux

Los últimos dos términos en cada paréntesis se cancelan entre sí, y podemos rearreglar los términos para obtener la integral de la ecuación (2), lo cual completa la demostración. •

=

Sea F yé'i+xezj+xyezk. Mostrar que la integral de F alrededor de una curva cerrada simple orientada que es la frontera de una superficie S es O. (Suponer que S es la gráfica de una función, como en el teorema 5.) EJEMPLO 1

e

En efecto, por el teorema de Stokes, fe F · ds Pero calculamos

SOLUCIÓN

. 1

VxF=

j

a

a

ax yez

()y xez

= J8 (V x F) · dS.

k

a &z

=0.

xyez

de modo que fe F · ds =O. (De manera alternativa, podemos observar que F = V(xyez), de modo que su integral alrededor de una curva cerrada es cero.) A

EJEMPLO 2

Usar el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea

donde C es la intersección deJ cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano X+ y+ Z == 1, y la orientación de corresponde al movimiento en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, en el plano xy.

e

e

=

La curva acota la superficie S definida por z 1- X- y == f (X' y) para (x,y) en D == {(x,y)jx 2 +y 2 < 1} (figura 8.2.2). Hacemos F = -y3 i+x 3j -

SOLUCIÓN

653

508

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁUSIS VECTORIAL

z

(0, l, O)

'-----·-~·---'1<>~

y

X

Figura 8.2.2 La curva C es la intersección del cilindro x 2

plano x

+ y + z = l.

z3 k, que tiene rotacional V x F

+ y2

= 1 y el

= (3x + 3y )k. Entonces, por el teorema de 2

2

Stokes, la integral de línea es igual a la integral de superficie

1

(V >< F) · dS.

Pero V x F tiene sólo componente k. Así, por la fórmula (1), tenemos

1

(V>< F) · dS

=

i

(3x

2

+ 3y2 )dxdy.

Esta integral se puede evaluar cambiando a coordenadas polares. Al hacerlo, obtenemos 3

f (:~? + y2 ) dx dy ~ 3

Jn

¡ !. 1

o

2 "' t

o

2

.

r dO dr = 671'

!.

1

o

r

3

6

dr =. 71' =

3

4

11".

2

Verifiquemos este resultado evaluando directamente la integral de línea 1-y3 dx + x 3 dy- z dz. 3

Podemos parametrizar la curva &D por las ecuaciones x = cost,

y= sent,

z

=o,

o$

t $ 271'.

Entonces la curva C está parametrizada por las ecuaciones x = cost,

654

y= sen t,

z = 1 - sen t - cos t,

o~

t $ 271'.

8.2

509

TEOREMA DE STOKES

Así,

¡

3

-y dx

+ x 3 dy -

3

z dz

=J.'"[(- sen3 t)(-sen t) + (oos3 l)(cost) - (1 -sen t - cos t) 3 ( - cos t +sen t)] dt {2~

=lo

4

{2~

4

(cos t + sen t) dt-

lo

(1- sen t - cos t)

3

(-

cos t +sen t) dt.

El segundo integrando es de la forma u 3 du, donde u= 1- sen t - cost, y así, la integral es igual a H(l- sen t - cos t) 4 ]~7r = O. Entonces nos quedamos con ¡;'/r (cos4 t + sen4 t) dt. Esto se puede evaluar usando las fórmulas (18) y (19) de la tabla de integrales. También podemos proceder como sigue. Usando las identidades trigonométricas 2

sen t

2t , = 1- cos 2

cos

reducimos la integral anterior a

211 '

2

2

t

=

1 + cos 2t 2 '

121 2

7r

2

(1 + cos 2t) dt =

11'

+

7r

2

cos 2tdt.

0

0

De nuevo usando el hecho de que 2 cos 2t =

l!a.llarnos que ..

1

1 + cos4t 2 '

7r

1 2

2

1 11'+¡

1 (l+cos4t)dt=1l'+¡

7r

0

0

1 2

dt+¡1

7r

cos4tdt

0

3?r

'Ir

=11'+2+0=2.

A

Para simplificar la demostración del anterior teorema de Stokes, supusimos que la superficie S podría describirse como la gráfica de una función z = /( x, y), (x, y) E D, donde D es alguna región a la que se aplica el teorema de Green. Sin embargo, sin mucho más esfuerzo podemos obtener un teorema más general para superficies parametrizadas orientadas S. La dificultad principal radica en la definición de {)S. Suponer que il: D-+ R 3 es una parametrización de una superficie S y u(t) = (u(t), v(t)) es una parametrización de D. Podríamos sentirnos tentados a definir aS como la curva parametrizada por t H TJ(t) il(u(t), v(t)). Sin embargo, con esta definición, 8S podría no ser la frontera de S en ningún sentido geométrico razonable.

a

655

=

510


Por ejemplo, llegaríamos a la conclusión de que la frontera de la esfera unitaria S parametrizada mediante coordenadas esféricas en R 3 , es la mitad del gran círculo en S que está en el plano xz, pero es claro que en un sentido geométrico S es una sup'erficie suave (ni puntas ni cúspides) sin fronteras ni lados (ver la figura 8.2.3 y el ejercicio 20). Así, este gran círculo es, en cierto sentido, la frontera "falsa" de S. z

(0, 1, O) ------·~y

X

Figura 8.2.3 La superficie

S es una parte de una esfera.

Podemos eludir esta dificultad suponiendo que ~ es uno a uno en todo D. Entonces la imagen de aD bajo~' a saber, ~(aD), será la frontera geométrica de S= ~(D). Si tT(t) (u(t),v(t)) es una parametrización de aD en dirección positiva, definimos as como la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función q:t ....... ~(u(t),v(t)) con la orientación de as inducida por., (ver la figura 8.2.1).

=

TEOREMA6: TEOREMA DE STOKES PARA SUPERFICIES PARAMETRIZADAS Sea S una superficie orientada delinída por·una parametrización uno a uno~: De R 2 -+ S. Denotemos por la frontera orientada de S y sea F un campo vectorial C 1

as

en S. Entonces

1

(V x F) · dS

s

= {

las

F · ds.

Esto se demuestra de la misma manera que el teorema 5. EJEMPLO 3 Sea S la superficie mostrada en la. figura 8.2.4, con la. orientación indicada.. Sea. F = yi- xj + e~zk. Evaluar J8 (V X F) • dS.

656

8.2

511

TEOREMA DE STOKES

z

X

Figurá 8.2.4 La frontera de una superficie S parametrizada por ~: D de la frontera de D sólo si ~ es uno a uno en D.

......¡.

R 3 es la imagen

SOLUCIÓN Ésta es una superficie parametrizada y pudo ser parametrizada usando coordenadas esféricas basadas en el centro de la esfera. Sin embargo, no necesitamos hallar explícitamente Cl para resolver este problema. Por el teorema 6, J8 (V x F) • dS = fas F • ds, de modo que si parametrizamos aS por x(t) cost, y(t) =sen t, O~ t ~ 271', determinamos

=

1 8S

¡

2

F • ds =

o

'11"

d d ) (v-=x.l!. ~ ~

dt

= ],'"(-sen 2 t-cos 2 t)dt=- ],'" dt= -2r

t"-'t::\

y entonces x • dS = -271'. A · SA . ¡ _..., f R Usemos ahora el teorema de Stokes para just~ar la interpretaci6n física de V x F en términos de ruedas con aspas propuesta en el capítulo 3. Parafraseando el teorema 6, tenenaos

f (rot F) • n dS = f (rot F) • dS = f F · ds = f FT ds, ls J8s J8s

Js

donde Fr es la componente tangencial de F. Esto significa que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie orientada S, es igual a la integral de línea de Fa lo largo de as, lo cual, a su vez, es igual a la integral de trayectoria de la componente tangencial de F sobre as. Supongamos que V representa un campo vectorial de vel~cidad de un fluido. Considerar un punto P y un vector unitario n. Denotemos por S P el disco de radio p y centro P, el cual es perpendicular a n. Por el teorema de Stokes,

f V • ds, 4f rot V • dS =4f rot V · n dS =k~

657

512


n

Figura 8.2.5 Una normal n induce una orientaci6n en la frontera

as, del disco Sp.

donde {)Sp tiene la orientación inducida por n (ver la figura 8.2.5). No es difícil mostrar (ver el ejercicio 12, sección 7.6) que existe un punto Q en Sp tal que { rot V • n dS = [rot V(Q) · n]A(Sp)

lsP (éste es el teorema del valor medio para integrales, su demostración es como en la página 340, donde A(Sp) = 1rp2 es el área de Sp, rot V(Q) es el valor de rot V en Q, y n también se evalúa en Q. Así, límite A(lS ) P- 0

P

f

lasp

V • ds =límite A(lS ) p-o

P

JfSp (rot V) • dS

::;: límite rot V(Q) • n(Q) p-o

= rot V(P) • n(P).

Así*

'

rot V(P) · n(P) =límite A(lS ) { V • ds. P-o P lasp

(5)

Hagamos una pausa para considerar el significado físico de fe V· ds cuando V es el campo de velocidad de un fluido. Suponer, por ejemplo, que V apunta en dirección tangente a la curva orientada (figura 8.2.6). Entonces, claramente fe V· ds > O, y las partículas en tienden a rotar en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Si V apunta en dirección opuesta, fe V· ds
e

e

e

*Algunos textos de física. adoptan la. ecuación (5) como definición de rota.ciona.l, y la. usan para. "demostrar" fácihnente el teorema. de Stokes. Sin embargo esto aumenta. el peligro de caer en un razonamiento drcula.r, pues para. demostrar que la. ecuación ( 5) define en realidad un vector ''rot V(P)" se requiere el teorema. de Stokes, o algún argumento similar.

658

8.2

513

TEOREMA DE STOKES

V

fc V·ds =O

fcv·ds >o Figura 8.2.6 Significado intuitivo de los signos posibles de

del reloj alrededor de C. Por lo tanto, nos referimos a de V alrededor de C (ver la figura 8.2.7).

fe V· ds.

fe V ·ds como la circulación movimiento de partículas del fluido

)

movimiento de partículas del fluido

V(x,y,z)

/

\

(x,y, z)

1 (a)

(b)

Figura 8.2.7 Circulación de una campo vectorial (campo de velocidad de un fluido): (a) circulación alrededor de O es cero; (b) circulación diferente de cero alrededor de C ("remolino").

Estos resultados nos permiten ver lo que significa rot V para el movimiento de un fluido. La circulación fas p V · ds es la velocidad neta del fluido alrededor de {)Sp, de modo que rot V· n representa el efecto de giro o rotación del fluido alrededor del eje n. De manera más precisa, la fórmula (5) dice que rot V(P)·n(P) es la circulación de V por unidad de área en P en una superficie perpendicular a n(P). Observar que la magnitud de rot V · n se maximiza cuando n = rot V /11 rot VIl· Por lo tanto, el efecto de rotación en P es mayor alrededor del eje paralelo a rot V /11 rot VIl· Así, rot V se llama, acertadamente, vector de vorticidad.

659

528

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL

17. ¿Es cada uno de los siguientes campos vectoriales el rotacional de algún otro campo vectorial? De ser así, hallar el campo vectorial. (a) F=xi+yj+zk (b) F=(x 2 +1)i+(z-2xy)j+yk

l1s.j

Sea F

= xzi- yzj + yk.

Verificar que V • F =O. Hallar G tal que F

19. Repetir el ejercicio 18 para F

= y2 i +

=V

x G.

z2 j + x 2 k.

20. Sea F = xeYi- (x cos z)j- zeYk. Hallar G tal que F =V x G. 21. Sea F = (xcosy)i- (seny)j + (senx)k. Hallar G tal que F =V x G. 22. Usando diferentes trayectorias de (O, O, O) a (x, y, z), mostrar que la función f definida en la demostración del teorema 7 para "condición (ii) implica condición (iii)'' satisface a!/ ax = Ft y af / 8y F2.

=

l2s:l Sea F el campo vectorial en R

dado por F = -yi + xj. (a) Mostrar que F es rotacional, esto es, que F no es irrotacional. (b) Suponer que F representa elcampo vectorial de velocidad de un fluido. Mostrar que si colocamos un corcho en este fluido, girará en un plano paralelo al plano xy, en una trayectoria circular alrededor del eje z. (e) ¿En qué dirección gira el corcho? 3

*24. Sea Gel campo vectorial en R 3 \{eje z} definido por

G::::;:

-y x2

•

X

•

+ y2 1 + x2 + y2J.

(a) Mostrar que G es irrotacional. (b) Mostrar que el resultado del ejercicio 23(b) también se cumple para G. ~ ¿Cómo podemos resolver el hecho de que las trayectorias de F y G sean iguales (circulares alrededor del eje z) pero que F sea rotacional y G no? (IDEA: La propiedad de ser rotacional es una condición local, esto es, una propiedad del fluido en la ve{:;indad de un punto.) *25. Sea F = -(GmMr/r 3 ) el campo de fuerza gravitacional definido en R 3 \{0}.

(a) Most:r:ar que div F = O. (b) Mostrar que F f:; rot G para cualquier campo vectorial G de clase C 1 en

R 3 \{0}. 8.~

TEOREMA DE GAUSS

El teorema de Gauss asegura que el flujo de un campo vectorial hacia afuera de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de ese campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie. Se trata de un resultado paralelo al teorema de Stokes y al de Green, en el sentido de que relaciona una integral sobre un objeto geométrico cerrado (curva o superficie) con una integral sobre una región contenida (superficie o volumen).

660

8.4

529

TEOREMA DE GAUSS

Comenzaremos pidiendo al lector que repase las diferentes regiones en el espacio que se introdujeron cúando estudiamos la integral de volumen; estas regiones se ilustran en la figura 6.1.3. Como lo indica la figura, la frontera de una región de tipo 1, 11 o 111 en R 3 es una superficie formada por un número finito (a lo más seis, por lo menos dos) de superficies que se pueden describir como gráficas de funciones de R 2 a R. Este tipo de superficie se llama superficíe cerrada. Las superficies sl, s2 ,... ' SN que componen dicha superficie cerrada se llaman sus caras. EJEMPLO 1 El cubo en la figura 8.4.1(a) es una región del tipo IV (recordar que esto significa que es simultáneamente de los tipos I, II y III), con seis rectángulos que componen su frontera. La esfera es la frontera de una bola sólida, que es además una región del tipo IV. A

(b) Figura 8.4.1 (a) Regiones del tipo IV y (b) las superficies S¡ que componen sus fronte-

ras.

Las superficies cerradas se pueden orientar de dos maneras. En la primera, la orientación exterior, la normal apunta hacia afuera en el espacio, y en la segunda, la orientación interior, la normal apunta hacia adentro de la región acotada (figura 8.4.2).

normal exterior

Figura 8.4.2 Dos posibles orientaciones para una superficie cerrada.

661

530


Suponer que S es una superficie cerrada orientada de alguna de estas dos maneras y F es un campo vectorial en S. Entonces, como lo definimos en la sección 7.6 (pág. 478).

1

F • dS =

1

L

F . dS.

¡

S

S;

Si S tiene la orientación exterior, la integral fs F · dS mide el flujo total de F hacia afuera a través de S. Esto es, si pensamos F como el campo de velocidad de un fluido, fs F • dS indica la cantidad de fluido que sale de la región acotada por S por unidad de tiempo. Si S tiene la orientación interior, la integral fs F · dS mide el flujo total de F hacia adentro a través de S. Recordemos otra manera común de escribir estas integrales de superficie, una manera que especifica explícitamente la orientación de S. Sea la orientación de S dada por un vector normal unitario n(x, y, z) en cada punto de S. Entonces tenemos la integral orientada

!.

F · dS

=

!.

(F · n) d8,

esto es, la integral de la componente normal de F sobre S. En el resto de esta sección, si S es una superficie cerrada que engloba una región O, adoptamos la convención de que S = 80 tiene dada la orientación exterior, con normal unitaria exterior n(x,y,z) en cada punto (x,y,z) E S. Más aún, denotamos la superficie con la orientación opuesta (interior) por 80op· Entonces la dirección normal unitaria asociada a esta orientación es -n. As(

f

J8n EJEMPLO 2

F. dS =

f (F · n) dS =- f [F · (-n)] d8 =- f

Js

Js

F. dS.

lanop

El cubo unitario Q dado por Ü $X$

1,

es una región en el espacio, del tipo IV (ver la figura 8.4.3). Escribimos las caras como 81: z =O, 0 ~X~ 1, O~y~1 82: z

= 1,

S3:X =0,

84:X

662

= 1,.

1,

O$y$1

y$

1,

O$z$1

o~ y~

1,

oszs1

S 1,

o~zsl

1,

osz~1

0

~X~

o$

8s: y= O,

oS

X

86: y= 1,

oS

X$

8.4

531

TEOREMA DE GAUSS

/

Rs= -j..,__ __

R1

Figura 8.4.3 Orientación

ext~rior

=-k

en el cubo.

En la figura 8.4.3 vemos que n2 =k= -n1,

D6

=j

= -ns,

de modo que ·para un campo vectorial continuo F

= F1i + F~ + Fak,

Llegamos ahora al último de los tres teoremas centrales de este capítulo. Este teorema relaciona integrales de superfitie con integrales de volumen; en palabras, el teorema asegura que si n es una región en R 3 , entonces el flujo de un campo F hacia el exterior a través de la superficie cerrada 80 es igual a la integral de div F sobre n. (Ver la página 479 para la interpretación de las integrales de superficie en términos de flujo.)

región en el espala superficie cerrada orientada que··acota a ü.

TEOREMA 9: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS Sea Ü una

cio, del tipo IV. Denotar por {)Q

663

532


n. Entonces

Sea F un campo vectorial suave definido en

{(V · F) dV = {

lan

Jn

F · dS

o, de manera alternativa, { (div F) dV

Jn

= {

lan

(F • n) dS.

=

Si F Pi+Qj+Rk, entonces por definición, divF = 8Pj8x+ 8Qj8y + 8R/8z, de modo que podemos escribir (usando la aditividad de la integral de volumen) DEMOSTRACIÓN

f . { aP f &Q f aR Jn div F dV = Jn &x dV + Jn &y dV + Jn &z dV. Por otro lado, la integral de superficie en cuestión es {

lan

F . n dS = { (Pi+ Qj + Rk) • n dS

lan

= { Pi·ndS+ { Qj·ndS+ { Rk·ndS.

lan

lan

lan

El teorema se sigue si logramos probar las tres igualdades { Pi • n dS = {

{

lan

(1)

= { ~Q dV,

(2)

Jn

Qj • n dS

~p

dV,

lan

ux

Jn

Y

y

¡an

Pk • n dS

=

l -z ·aR

n 8

dV.

(3)

Probaremos la ecuación (3); las otras dos igualdades se pueden probar de manera análoga. Como n es una región del tipo I (así como también de los tipos II y 111), existe un par de funciones z = f¡(x,y), z = h(x, y), cuyo dominio común es una región elemental Den el plano xy, tal que conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen ft(x, y) =::; z S h(x, y),

664

(x, y) E D.

n es el

8.4

TEOREMA DE GAUSS

533

Por la fórmula (4) de la sección 6.1, tenemos

¡

8R -dV=

f!

de modo que

8z

¡

(jz=f2(x,y) z=fl(x,y)

D

1~~ = i dV

8R ) - d z dxdy,

8z

[R(x, y, h(x, y))- R(x, y, f 1 (x, y))] dx dy.

(4)

es una superficie cerrada cuya tapa S2 es la gráfica de z = f 2 (x,y), (x,y) E D y cuya parte inferior S1 es la gráfica de z = f¡(x,y), (x, y) E D. Los otros cuatro lados de 8n están formados por las superficies S3, S4, Ss y S 6 , cuyas normales son siempre perpendiculares al eje z. (Ver, por ejemplo, la figura 8.4.4. Notar que pueden faltar algunos de los otros cuatro lados -por ejemplo, si es un bola sólida y es una esfera- pero esto no afectará el argumento.) Por definición, La frontera de

n

n

1

an

Rk · n d8 =

8f!

1

Rk · 111 d8 +

S¡

1

6

Rk · 112 d8

+L

¡= 3

S2

1

Rk • n¡ d8.

S¡

. Z =· f¡(X, y)

z

=

!2(x,y)

Figura 8.4.4 Una región O del tipo I para la cual fan Rk • d8 = fn(8R/8z)dV. Los cuatro lados de 80, que son 83, 84, S:-, y S a tienen normales perpendiculares al eje z.

Como en cada una de S 3 , S 4 , S 5 y S 6 la normal ni es perpendicular a k, tenemos k· n =O a lo largo de estas caras, de modo que la integral se reduce a

J

80

Rk·nds=

J

81

La. superficie S1 está definida por z

Rk•ntdS+

8ft. 8x

665

82

Rk·n 2 d8.

= fi(x,y), de modo que 8ft. 8y

-I+-Jllt

J k

= --;================

(5)

534


(como 8 1 es la parte inferior de n, para que n 1 apunte hacia afuera debe tener componente k negativa; ver el ejemplo 2). Así, llt •

k =

-1

--;================

y

f

Js

R(k • n 1 )dS 1

=

L

R(x,y,ft(x,y))

-

1

(~)' + (~ )' +1

(

(

~)

2

+(

: : :- L

~ )' + ¡)

dA

(6)

R(x, y, f(x, y)) dx dy.

Esta ecuación también se sigue de la fórmula (4), sección 7.5. De manera análoga, en la cara superior 82 tenemos

de modo que { R(k•n2)dS_= { R(x,y,h(x,y))dxdy.

Js

Jn

1

(7)

Al sustituir las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (5) y después comparar con la ecuación (4), obtenemos {

~R dV:::::

Jn uz

{

Jan

R(k ·n)dS.

Las igualdades restantes (1) y (2), se pueden probar de la misma manera para completar la demostración. • El lector deberá notar que la demostración es análoga a la del teorema de Green. Por el procedimiento usado en el ejercicio 8 de la sección 8.1, podemos extender el teorema de Gauss a cualquier región que pueda partirse en subregiones del tipo IV. Esto incluye todas las regiones que nos interesan aquí. Como ejemplo, considerar la región entre dos superficies cerradas, una dentro de la otra. La superficie de esta región consta de dos partes orientadas según se muestra en la figura 8.4.5. Aplicaremos el teorema de la divergencia a dicha región cuando probemos la ley de Gauss en el teorema 10, más adelante.

666

8.4

535

TEOREMA DE GAUSS

Figura 8.4.5 Región más general a la que se aplica el teorema de Gauss.

=

Considerar F 2xi + y 2j + z 2 k. Sea S la esfera unitaria definida 2 por x + y2 + z = l. Evaluar fs F · n dS. EJEMPLO 3 2

SOLUCIÓN

Por el teorema de Gauss, L(divF)dV= 1F·ndS,

donde O es la bola acotada por la esfera. La integral de la izquierda es

f (1 +y+ z) dV = 2 { dV + 2 {y dV + 2 f z dV. Jn Jn Jn Jn Por simetría, podemos argumentar que fn y dV = fn z dV = O (como ejemplo, 2

ver el ejercicio 15, sección 6.1). Así, 2

f (1 + y + z) dV = 2 { dV = S1r Jn Jn 3

(como la bola unitaria tiene volumen 47f/3; ver el ejemplo 1, sección 6.1). Los lectores se convencerán de lo difícil de manejar el cálculo directo de fs F · n dS .

...

EJEMPLO 4

Usar el teorema de la divergencia para evaluar { (x 2 +y+ z) dS,

low

donde W es la bola sólida x 2 + y 2 + z 2 ~ l. Para poder aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, debemos hallar algún campo vectorial SOLUCIÓN

667

536


en W con F·n=x 2 +y+z.

En cualquier punto (x, y, z) E 8W, la normal unitaria exterior na 8W es n

= xi + yj + zk

pues en &W, x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el radio vector r = xi + yj + zk es normal a la esfera 8W (figura 8.4.6). Por lo tanto, si F es el campo vectorial deseado, entonces F • n = F1 x

+ Fzy + F3z.

Hacemos Fzy =y,

F3Z

=z

y resolvemos para F1, F2 y F3 para hallar que

Calculando div F obtenemos div F = 1 +O+ O= l.

Así, por el teorema de la divergencia de Gauss,

1 (x J8w

2

+y+ z) dS =

1 dV =volumen (W) = !7r. lw 3 z

X

Figura 8.4.6 n es la normal unitaria a &W, la frontera de la bola W.

668

r ~

8.4

TEOREMA DE GAUSS

.

C4-.

537.

-rer.e..o

~

.1

_ El significado físico de la divergencia es que en un punto P, div F(P) es la tasa del flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. Esto se sigue del teorema de Gauss y del teorema del valor medio para integrales (así como del suplemento a la sección 3.4): Si Üp es una bola en R 3 de radio p con centro en P, entonces existe un punto Q E Üp tal que {

lanP

F • n dS

= {

JnP

div F dV

= div F(Q) • volumen (Op)

de modo que div F(P) =límite div F(Q) =límite p-+0

p-0

V(~ ) Jf80 p

F • n dS. p

Esto es análogo a la formulación del rotacional en términos de límite que se da al final de la sección 8.2. Así, sí div F(P) > O, consideramos P como una fuente, pues hay un flujo neto hacia el exterior cerca de P. Si div F(P) < O, P se llama sumidero de F. Un campo vectorial F de clase C 1 definido en R 3 se llama sin divergencia si div F O. Si F es sin divergencia, tenemos fs F · dS O para todas las superficies cerradas S. El recíproco también se puede demostrar rápidamente usando el teorema de Gauss: Si fs F · dS O para todas las superficies cerradas S, entonces F es sin divergencia. Si F es sin divergencia, vemos entonces que el flujo de F a través de cualquier superficie cerrada S es O, de modo que si F es el campo de velocidad de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye hada afuera de cualquier región será O. Así, la misma cantidad de fluido debe fluir hacia adentro de la región que la que sale (en unidad de tiempo). Por lo tanto, un fluido con esta propiedad se llama incompresible. (En el ejercicio 22 se da una justificación adicional de esta terminología.)

=

=

=

=

Evaluar fs F · dS, donde F(x, y, z) xy2 i + x 2 yj + yk y S es la superficie del cilindro x 2 + y 2 = 1, acotado por los planos z = 1 y z = -1 e incluyendo las porciones x 2 + y 2 ~ 1 cuando z = ±1. EJEMPLO 5

Es posible calcular directamente esta integral pero, como en muchos otros casos, es más fácil usar el teorema de la divergencia. Ahora, S es la frontera de la región n dada por x 2 + y 2 s; 1, -1 < z < l. Así, fs F · dS = f0 (divF)dV. Más aún,

SOLUCIÓN

f (div F) dV = f (x 2 + y 2 ) dx dy dz =

ln

ln

¡ (1 21 1

-1

=

(x

2

+ y 2 ) dx dy)

dz

x2+y2::;t 2

(x +y2 )dxdy.

x2+y2:-=;t

Antes de evaluar la integral doble notamos que la integral de superficie satisface fan F • n dS 2 fx 2 +y2~ 1 (x 2 + y 2 ) dx dy > O. Esto significa que J80 F · dS, el

=

669

538


flujo neto de F hacia afuera del cilindro, es positivo, lo cual concuerda con el hecho de que div F ::: x 2 + y 2 > O dentro del cilindro. Cambiamos variables a coordenadas polares para evaluar la integral doble:

Tenemos, por lo tanto, 8(x,y)/8(r,8)

Por lo tanto,

0$

y::::: r sen O,

x =reos O,

fn div F dV = 1r.

T ~

1,

= r y x 2 + y 2 = r 2 • Así,

A

Como señalamos antes, el teorema de la divergencia de Gauss se puede aplicar a regiones en el espacio más generales que las del tipo IV. Para concluir esta sección, usaremos esta observación para probar un resultado importante.

TEOREMA 10: LEY DE GAUSS

Sea M una región en R 3 del tipo IV. Entonces sí

(0, O, O)~ 8M, tenemos {

laM

r • n dS = { 411' r3 0

s1 SI

(O,O,O)EM

(o, o, o) f/. M

donde

r(x, y, z) == xi + yj

+ zk

y

r(x, y, z) == llr(x, y, z)ll == .Jx2 + y2 + z2.

SECCIÓN OPTATIVA: DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS

Primero suponer que (O, O, O) f/:. M. Entonces rfr 3 es un campo vectorial 0 &M, de modo que por el teorema de la divergencia

f

JaM

r ·3n dS r

= f

}M

V ·(

~)

1

en M y

dV.

r

Pero V· (r/r 3 ) = O para. r -:/::O, como el lector puede verificar fácilmente (ver el ejercicio 8, sección 3.5). Así,

f

r •3n dS =O.

laM r

670

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos I

Examen 070212

Un tubo en U, de diámetro D, contiene un líquido de densidad ρ y viscosidad µ en reposo. El líquido alcanza una altura h0 en cada una de las ramas. Una de las ramas está abierta y la otra está tapada. La burbuja atrapada en la rama tapada ocupa una extensión h0 y está, inicialmente, a la presión pa , lo mismo que el aire que está en la otra rama. A partir de un instante, que consideraremos como inicial, la presión del aire en la rama abierta se incrementa instantáneamente a un valor pg = 2pa . Esto fuerza al líquido a ascender por la rama tapada, comprimiendo la burbuja de aire encerrada en ella. Suponiendo que la compresión del aire de la burbuja es isoterma y que los efectos de tensión supercial son despreciables a la hora de determinar la forma de la entrefase líquido-aire, se pretende determinar la nueva posición de equilibrio y la presión pb en la burbuja. Para ello se pide: 1.- Escribir las ecuaciones que permiten determinar las incógnitas pb , xg y xb (véase gura adjunta). Obtengan una única ecuación que determine xb . 2.- Teniendo en cuenta que el parámetro adimensional ε = ρgh0 /pa 1, determinen los valores de las tres incógnitas en el límite ε → 0. Comenten el resultado obtenido para la diferencia de presiones pg − pb .

3.- Supongan que en el transitorio hasta alcanzar la nueva posición de equilibrio, el movimiento es unidireccional. Estimen el orden de magnitud de la velocidad del líquido y el orden de magnitud del tiempo que tarda en alcanzar el equilibrio en el supuesto en que los efectos viscosos son despreciables. Den el criterio para que esto ocurra.

671

SOLUCIÓN 1.- Las ecuaciones que determinan la solución son: Fluidostática pg + ρgxg = pb + ρgxb . Conservación del volumen de líquido xg + xb = 2h0 . Compresión isoterma pb (2h0 − xb ) = pa h0 . Estas tres ecuaciones permiten determinar las tres incógnitas: pb , xb y xg , ya que pg es conocido (pg = 2pa ). Combinando las tres ecuaciones anteriores se llega a la ecuación 2ε

cuya solución es

2h0 − xb h0

2

+

pg − 2ε pa

2h0 − xb h0

− 1 = 0,

(1)

  s 2   pg pg 2h0 − xb 1 − + 2ε + = − 2ε + 8ε ,  h0 4ε  pa pa

donde ε = ρgh0 /pa . 2.- En el límite ε = 0, la ecuación (1) se reduce a pg pa

lo que proporciona

2h0 − xb h0

= 1,

xb pa =2− . h0 pg

De la ecuación de la compresión isoterma se obtiene pb , una vez conocido xb pg pb h0 = = . pa 2h0 − xb pa

De la ecuación de conservación del volumen se obtiene el valor de xg xg 2h0 − xb pa = = . h0 h0 pg

Con los resultados obtenidos, resulta que la diferencia de presiones entre los extremos de la columna de líquido es nula, sin embargo la diferencia de alturas entre los extremos es del orden de h0 . Esto es debido a que la sobrepresión originada por la columna de líquido es muy pequeña frente a la presión estática. En efecto, de la ecuación de la uidostática se tiene pg − pb = ρg (xb − xg ) ∼ ρgh0 = εpa . Sería necesario retener términos de orden ε en la solución de (1) para determinar la diferencia pg − pb . 3.- En un movimiento unidireccional, la relación entre el término no estacionario y el viscoso es β= 672

ρvc /tc D2 = , µvc /D2 νtc

donde D es el diámetro del tubo, vc la velocidad característica y tc el tiempo característico, que es el orden de magnitud del tiempo que tarda en alcanzarse el equilibrio. Este tiempo característico es tc ∼ h0 /vc . Para que los efectos viscosos sean despreciables es necesario que β 1. En este caso ρ

vc 4p pa ∼ ∼ , tc h0 h0

lo que proporciona pa pa tc ∼ ⇒ vc ∼ vc ∼ ρh0 ρvc

de modo que el parámetro β es

s

ρD2 β= ∼ µtc

r

pa ; tc ∼ ρ

s

ρh20 , pa

ρpa D4 , µ2 h20

que debe ser muy grande para que los efectos viscosos sean despreciables.

ESTA PARTE NO SE PIDE EN EL ENUNCIADO Para obtener la corrección en la presión, utilizaremos la ecuación (1) escribiendo xb = xb0 +εxb1 , siendo xb0 el valor de xb calculado anteriormente(xb0 /h0 = 2 − pa /pg ). Nótese que 2h0 − xb xb0 xb1 =2− −ε = h0 h0 h0

pg xb1 xb0 xb1 /h0 pa 2− 1−ε = 1−ε , h0 1 − xb0 /h0 pg pa h0

con lo que se tiene pg xb1 pg xb1 2 pa pa 1−ε + 2ε 1−ε = 1, 1 − 2ε pg pa h0 pg pa h0

y reteniendo sólo hasta términos de orden ε se tiene 1 − 2ε

pg xb1 pa −ε + 2ε pg pa h0

lo que permite determinar xb1 xb1 = −2 h0

pa pg

pa pg

2 = 1,

2 pa 1− . pg

De la ecuación de la compresión isoterma se tiene pb pa

xb0 xb1 pb pa xb1 2− −ε =1 ⇒ −ε = 1, h0 h0 pa pg h0

lo que proporciona pb = pa

pa xb1 −ε pg h0

−1

pg ' pa

pg xb1 pg pa pa 1+ε = 1 − 2ε 1− . p a h0 pa pg pg

De la igualdad de volúmenes se obtiene xg xb pa =2− = + 2ε h0 h0 pg 673

pa pg

2 pa 1− . pg

Dado que pg /pa = 2, los resultados obtenidos son 3 xb ε = 1− , h0 2 6 ε pb =2 1− , pa 2 xg 1 ε = 1+ . h0 2 2

674

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Apellidos:................................................................ Nombre:......................D.N.I.:............. Mecánica de Fluidos I

Examen 07022012

(ATENCIÓN: RELLENE LA PARTE DE ATRÁS Y ENTREGUE ESTA HOJA JUNTO CON EL RESTO DEL EJERCICIO) La gura representa una tobera acoplada a un tubo por el que circula aire en condiciones ideales (g = 1.4), con presión y densidad de remanso p0 y r0 , cuyas áreas mínima Am , entrada Ae , y salida As , cumplen Am /Ae = 0.4162 y Am /As = 0.6535. El conjunto funciona en régimen estacionario, en ausencia de fuerzas másicas y está inmerso en una atmósfera a presión pa que supondremos en reposo, excepto el chorro que sale de la tobera. Se pide: 1.- Fuerza adimensional según el eje X, Fx /(p0 · Am ), que el ujo interior y el aire exterior ejercen sobre la pared comprendida entre las secciones e y s en función del gasto G en la tobera, presión de remanso p0 , velocidades del aire en las secciones de entrada y salida ue y us , presiones en dichas secciones pe y ps , presión atmosférica pa y áreas de la tobera Am , Ae , y As . 2.- Gasto adimensional G/

√

γ · ρ0 · p0 · Am en función de γ y el Mach en la sección

, M m.

m

3.- Obtengan pa /p0 para bloqueo sónico, onda de choque normal en la sección de salida y adaptación. Calculen los números de Mach en las secciones e, m y s. Calculen la velocidad adimensional p u/ γ · p0 /ρ0 y las presiones p/p0 en las secciones e y s. Calculen el gasto. 4.- Para la condición pa /p0 = 0,95, calculen lo mismo que en el apartado 3. 5.- Calculen la fuerza adimensional del apartado 1 para las cuatro condiciones enunciadas en los apartados 3 y 4. 6.- ¾Cómo se modica el valor de la fuerza calculada en el apartado 5 si la distancia L0 fuera el doble?. En el caso de onda de choque normal en la sección de salida, y considerando la expresión del apartado 1, ¾qué diferencia hay entre considerar la onda de choque dentro o fuera del volumen de control?.

675

ATENCIÓN: ESTA HOJA NO VALE DE NADA POR SÍ SOLA. LAS HOJAS EN LAS QUE ESTÁ DESARROLLADO EL PROBLEMA NO VALEN POR SÍ SOLAS. ES IMPERATIVO ENTREGAR TANTO ESTA HOJA COMO LAS HOJAS EN LAS QUE ESTÁ DESARROLLADA LA SOLUCIÓN. El profesor requiere ambas partes para realizar la corrección. Gracias por su colaboración. 1. Escriba el valor de la fuerza adimensional Fx /(p0 · Am ) = f (G, p0 , pa , pe , ps , ue , us , Am , Ae , As ) =

2. Escriba el valor del gasto adimensional G/

√

γ · ρ0 · p0 · Am = f (γ, Mm ) =

3. Escriba las relaciones de presión, números de Mach, velocidades y gasto pedidos en el apartado 3. p0 /pa

Me

Mm

Ms

ue /a0

us /a0

p0 /pe

p0 /ps

√

G γ·ρ0 ·p0 ·Am

4. Escriba las relaciones de presión, números de Mach, velocidades y gasto pedidos en el apartado 4. p0 /pa

Me

Mm

Ms

ue /a0

us /a0

p0 /pe

p0 /ps

√

G γ·ρ0 ·p0 ·Am

5. Escriba la fuerza pedida en el apartado 5. Caso Subsónica

p0 /pa

Fx /(p0 · Am )

Bloqueo Sónico Onda choque normal Adaptación 6. El valor de la fuerza calculada depende de la longitud L0 (conteste SÍ o NO, el profesor buscará el razonamiento en las hojas donde ha desarrollado la solución): El valor de la fuerza calculada depende de si el volumen de control incluye a la onda de choque o no la incluye (conteste SÍ o NO, el profesor buscará el razonamiento en las hojas donde ha desarrollado la solución): 676

Solución: 1.- La ecuación de cantidad de movimiento en forma integral, aplicada al volumen de control comprendido por las supercies propuestas nos dice que el ujo interior hace una fuerza de ˆ ~i ·

ˆ p · ~n · dA =

ΣL

ˆ Σe

ˆ p · ~n · dA − ~i ·

2

ρ · u · dA − Σs

ˆ ρ · u · dA + ~i ·

2

Σs

p · ~n · dA Σe

ˆ ~i ·

p · ~n · dA = G · us − G · ue + ps · As − pe · Ae

ΣL

mientras que el aire exterior ejerce una fuerza de valor ˆ ~i ·

pa · ~n · dA = pa · (Ae − As )

ΣL

la fuerza total según el eje X será

Fx = G · us − G · ue + ps · As − pe · Ae + pa · (Ae − As )

que en forma adimensional es la ecuación pedida Fx G · (us − ue ) (ps − pa ) As (pe − pa ) Ae = + · − · p0 · Am p0 · Am p0 Am p0 Am

(1)

2.- La ecuación de continuidad nos dice que

G = ρm · um · Am = ρ0 · a0 · Am ·

ρm um am · · ρ0 am a0

2 , que al ser ρ · a = donde Mm = um /am y (ρ0 /ρm )γ−1 = (a0 /am )2 = 1 + (γ − 1)/2 · Mm 0 0 obtenemos la ecuación pedida

−(γ+1)/2/(γ−1) G γ−1 2 = Mm · 1 + · Mm √ γ · p 0 · ρ0 · A m 2

√

γ · p0 · ρ0

(2)

3.- Para las condiciones de bloqueo sónico, onda de choque normal en la sección de salida y adaptación, el área mínima Am es el área crítica y el Mach Mm = 1. Bloqueo sónico corresponde a la rama subsónica de la tabla, que nos proporciona

Am /As = 0,6535 → Ms = 0,420 677

el Mach en la sección de entrada también se obtiene de la rama subsónica de la tabla

Ae /As = 0,4162 → Ms = 0,250

las presiones pedidas se obtienen de

γ/(γ−1) γ/(γ−1) (γ − 1) (γ − 1) 2 2 (p0 /pa ) = (p0 /ps ) = 1 + · Ms = 1,129; (p0 /pe ) = 1 + · Me = 1,044 2 2

y las velocidades de

−1/2 −1/2 (γ − 1) (γ − 1) 2 2 = 0,413; ue /a0 = Me · 1 + = 0,248 · Ms · Me us /a0 = Ms · 1 + 2 2

El gasto en la tobera se obtiene de la ecuación (2) sin más que particularizar para Mach igual a la unidad, obteniendo G = √ γ · p 0 · ρ0 · A m

γ+1 2

−(γ+1)/2/(γ−1) = 0,5787

valor que será igual para las condiciones de bloqueo sónico, onda de choque normal en la salida y adaptación. Para la condición de adaptación y onda de choque normal en la sección de salida, el área crítica sigue siendo Am y el Mach en la salida se obtiene de la rama supersónica

Am /As = 0,6535 → Ms = 1,880

El Mach en la sección de entrada sigue siendo Me = 0,25 ya que la relación área entrada - área crítica sigue siendo 0.4162, y en consecuencia la presión y velocidad en la sección de entrada es igual a la de bloqueo sónico. Para ambas condiciones la presión en la sección de salida será (p0 /ps ) =

1+

(γ − 1) · Ms2 2

γ/(γ−1) = 6,497

Para la condición de adaptación la presión atmosférica coincide con la de la sección de salida, luego en adaptación será p0 /pa = 6,497. En la condición de onda de choque normal en la sección de salida, la presión en dicha sección es inferior a la atmosférica. La onda de choque normal es tal que eleva la presión desde ps hasta pa . Las tablas de onda de choque normal para Mach incidente normal igual a Ms nos proporciona 678

Ms = 1,88 → pa /ps = 3,957; pa /p0 = (pa /ps )·(ps /p0 ) = 3,957/6,497 = 0,609; p0 /pa = 1/0,609 = 1,642

4.- Para pa /p0 = 0,95, la tobera funciona en régimen subsónico y el área crítica es inferior a Am . Como la descarga es subsónica la presión en la sección de salida es la atmosférica. El Mach en la sección de salida se obtiene de v u u Ms = t

2 · γ−1

"

p0 pa

#

(γ−1)/γ

− 1 = 0,272

y la tabla de toberas para la rama subsónica nos proporciona el valor del área crítica referida al área de salida Ms = 0,272 → A∗ /As = 0,450

obteniendo los números de Mach entrando en la rama subsónica con los correspondientes valores de área A∗ /Am = (A∗ /As ) · (As /Am ) = 0,4497/0,6535 = 0,6882 → Mm = 0,448

A∗ /Ae = (A∗ /Am ) · (Am /Ae ) = 0,6882 · 0,4162 = 0,2864 → Me = 0,169

Particularizando las expresiones del apartado anterior para Mm = 0,448 obtenemos −(γ+1)/2/(γ−1) G γ−1 2 · M = 0,398 = M · 1 + √ m m γ · p 0 · ρ0 · A m 2

−1/2 −1/2 (γ − 1) (γ − 1) 2 2 · Ms = 0,270; ue /a0 = Me · 1 + · Me = 0,168 us /a0 = Ms · 1 + 2 2

5.- Con la información anterior se puede calcular el valor de la fuerza. Hay que tener en cuenta la adimensionalización del gasto en la ecuación de la fuerza G·u G · a0 u G u = · =γ·√ · p0 · Am p0 · Am a0 γ · ρ0 · p0 · Am a0

La tabla adjunta resume el valor de la fuerza y la contribución de cada término p0 /pa

1.053 (subsónico) 1.29 (B.S.) 1.456 (O.CH.N.) 6.497 (Adap.) 679

G·us p0 ·Am

−

G·ue p0 ·Am

0.0568 0.1337 0.9646 0.9646

ps p0

·

As Am

−

pe p0

-0.902 -0.946 -2.065 -2.065

·

Ae Am

pa p0

·

Ae Am

−

0.829 0.773 0.531 0.134

As Am

Fx p0 ·Am

-0.016 -0.039 -0.569 -0.966

6.- El valor calculado no cambia al cambiar la longitud desde L0 hasta 2·L0 porque la presión integrada en dicha área no da componente en el eje X. De hecho, dada la simetría del problema, la resultante es nula. El valor tampoco cambia al incluir o no incluir la onda de choque en el volumen de control porque la cantidad de movimiento en ejes relativos a la onda y a través de la onda de choque se conserva. PROPUESTA DE PUNTUACIÓN Apartado Puntuación 1 2 2 2 3 3 4 1 5 1 6 1

680


Examen 070212

1.- Condiciones que deben darse para que exista función de corriente. Condiciones para que el movimiento sea potencial. 2.- Simpliquen la ecuación de cantidad de movimiento para un líquido ρ

∂~v + ρ~v · ∇~v = −∇p − ρ∇U + µ4~v , ∂t

cuando el número de Strouhal es alto y el número de Reynolds de orden unidad. Estimen el orden de magnitud de las variaciones de presión motriz. Las magnitudes características de la velocidad, longitud y tiempo son vc , ` y tc respectivamente. 3.- El movimiento estacionario y turbulento de un gas en un tubo en el que λL/D 1 y la temperatura de la pared es Tp constante, responde a las ecuaciones ρv =

G , A

dv dp λ + =− ρv 2 , ds ds 2D d cp T + 21 v 2 λ 1 2 = cp (Tp − T ) − v . ds 2D 2 ρv

Se pide estimar el orden de magnitud del número de Mach del gas en el tubo. Determinen también la temperatura del gas en el tubo y reduzcan la ecuación de cantidad de movimiento a una ecuación que permite determinar la distribución de presiones. En el apartado 3, ρ es la densidad del gas, v su velocidad, p la presión, T la temperatura y G el gasto másico; cp es el calor especíco a presión constante, λ el coeciente de fricción, D el diámetro equivalente del tubo, A el área del tubo y L su longitud. Supongan que la presión a la entrada del tubo, p (0), y a la salida del mismo, p (L), son tales que p (L) /p (0) ∼ [p (L) − p (0)] /p (0) ∼ 1.

681

SOLUCIÓN 1.- Para que exista función de corriente es necesario que la ecuación de la continuidad se pueda escribir como suma de dos sumandos, lo que ocurre en un movimiento bidimensional estacionario de gases o en el movimiento bidimensional de líquidos. En el movimiento unidireccional no estacionario de un gas existe la denominada función material. Para que exista potencial de velocidades es necesario que el movimiento sea inicialmente irrotacional y que la aceleración derive de un potencial. Para que la aceleración derive de un potencial es necesario que el número de Reynolds sea alto para que los efectos viscosos, que no derivan de un potencial, sean despreciables; también es necesario que las fuerzas másicas deriven de un potencial y que dp/ρ pueda escribirse como una diferencial exacta. Para que esto último sea posible, es necesario que el calor añadido por radiación y/o reacción química sea nulo o despreciable, con lo que el movimiento sería isentrópico, y que la entropía inicial de las partículas sea la misma. En este caso se tiene dp/ρ = dh. 2.- La relación entre el término convectivo y el no estacionario es ρvc2 /` vc t c 1 ρ~v · ∇~v ∼ ∼ ∼ 1, ρ (∂~v /∂t) ρvc /tc ` St

la relación entre el término viscoso y el no estacionario es µ4~v µvc /`2 ∼ ∼ ρ (∂~v /∂t) ρvc /tc

µ ρvc `

vc tc `

∼

1 1 ∼ 1. Re St St

Por lo tanto, los términos convectivos y viscosos son despreciables frente a los no estacionarios, y la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a ρ

∂~v = −∇ (p + ρU ) , ∂t

de modo que los incrementos de presión motriz son 4 (p + ρU ) ρvc ∼ ` tc

⇒

4 (p + ρU ) ∼ ρvc

` . tc

3.- Comparando el término convectivo con el de fricción se tiene ρv (dv/ds) ρv 2 /L D ∼ ∼ 1, 2 2 λρv /2D λρv /D λL

esto signica que la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a dp λ =− ρv 2 , ds 2D

y, por lo tanto, se tiene

4p ∼ p

λL D

ρv 2 p

.

Dado que 4p/p es, a lo sumo, de orden unidad, y como ρv 2 /p ∼ M 2 , resulta que λL 2 M ∼1 D

682

⇒

M2 ∼

D 1. λL

En la ecuación de la energía el término v 2 /cp T ∼ M 2 1, de modo que la energía cinética es despreciable frente a la térmica. La ecuación de la energía se puede integrar, pero sin necesidad de hacerlo, la comparación entre los dos términos proporciona d (cp T ) /ds cp 4T /L D ∼ ∼ 1, λcp 4T /D λL [cp (Tp − T )]

λ 2D

y, en consecuencia, se tiene que la tempera del gas coincide con la de la pared excepto en una pequeña región de tamaño ` L a la entrada del tubo, tal que λ`/D ∼ 1, donde la temperatura del gas se adapta a la de la pared. En esta región de tamaño ` la caída de presión es despreciable frente a la caída a lo largo de todo el tubo. Dado que T = Tp la densidad es ρ = p/Rg Tp y la ecuación de cantidad de movimiento puede escribirse en la forma p

λ dp =− ds 2D

G A

2

Rg Tp ,

que puede integrarse para dar λs p (s) = p (0) − D 2

2

G A

2 Rg Tp .

La condición en s = L proporciona el gasto G = A

683

s

p2 (0) − p2 (L) . (λL/D) Rg Tp


Examen 110912

Mediante un compresor ideal de potencia W se toma aire del ambiente (presión pa y temperatura Ta ) y se introduce en un depósito, que a su vez se descarga al ambiente a través de una tobera convergente de área mínima AT a la salida. La sección de descarga del compresor al depósito es grande frente AT . Una vez que se ha alcanzado el régimen estacionario, se pide: 1.- Presión en el depósito cuando el Mach en la sección de salida de la tobera es MT = 0,5. 2.- Temperatura del aire en el depósito en las mismas condiciones del apartado anterior. 3.- Con MT = 0,5, determinar el gasto de aire a través de la tobera. 4.- Potencia del compresor cuando MT = 0,5. 5.- Potencia mínima del compresor, W = W ∗ para que la tobera esté adaptada. 6.- Presión en la sección de salida, pT , cuando la presión del depósito es el doble de la correspondiente al apartado anterior. NOTA: Consideren γ = 1,4 y utilicen las variables adimensionales pd ; pa

Td ; Ta

√ G ha g= ; p a AT

ω=

donde ha = cp Ta es la entalpía a la temperatura ambiente.

684

W √ , pa AT ha

RESPUESTAS VERSIÓN 1 P1 (1 punto) P2 (1 punto) P3 (2 puntos) P4 (2 puntos) P5 (2 puntos) P6 (2 puntos) a) b) c) d) e)

685

pd pa pd pa pd pa pd pa

= 3,051 = 1,620 = 2,000 = 1,186

Ninguna

Td Ta Td Ta Td Ta Td Ta

= 2,212 = 1,521 = 1,050 = 1,200

Ninguna

g g g g

= 2,214 = 1,107 = 1,715 = 0,252

Ninguna

ω ω ω ω

= 1,027 = 0,055 = 0,123 = 0,713

Ninguna

ω∗ = 0,700 ω∗ = 0,227 ω∗ = 0,443 ω∗ = 1,223

Ninguna

pT pa pT pa pT pa pT pa

= 3,012 = 2,525 = 2,000 = 1,118

Ninguna


686


= 3,051 = 1,620 = 1,186 = 2,000

Ninguna


= 2,212 = 1,521 = 1,200 = 1,050

Ninguna

g g g g

= 2,214 = 1,715 = 1,107 = 0,252

Ninguna

ω ω ω ω

= 1,027 = 0,713 = 0,123 = 0,055

Ninguna

ω∗ = 0,443 ω∗ = 0,227 ω∗ = 0,700 ω∗ = 1,223

Ninguna


= 3,012 = 2,000 = 2,525 = 1,118

Ninguna


687


= 1,186 = 1,620 = 3,051 = 2,000

Ninguna


= 2,212 = 1,050 = 1,200 = 1,521

Ninguna

g g g g

= 2,214 = 1,715 = 0,252 = 1,107

Ninguna

ω ω ω ω

= 1,027 = 0,055 = 0,123 = 0,713

Ninguna

ω∗ = 0,227 ω∗ = 0,443 ω∗ = 0,700 ω∗ = 1,223

Ninguna


= 3,012 = 1,118 = 2,525 = 2,000

Ninguna

SOLUCIÓN La potencia de la bomba proporciona T0e h0e − 1 = Gha −1 , W = G (h0e − ha ) = Gha ha Ta " γ−1 # Te pd γ W ≈ Gha − 1 = Gha −1 , Ta pa

ya que el proceso es isentrópico a través del compresor ideal, lo que implica Te = Ta

pe pa

γ−1

γ

=

pd pa

γ−1 γ

,

ya que pe = pd es la condición de contorno a la salida del compresor por ser el ujo subsónico allí. La ecuación de la energía aplicada entre la entrada y la salida del depósito proporciona h0e ≈ he = hd =⇒ Te = Td ,

donde las en talpías estáticas y de remanso son prácticamente iguales (h0e ≈ he ) por ser despreciable la energía cinética a la entrada del depósito, ya que el área de entrada es muy grande frente a AT . De acuerdo con esto tenemos γ−1 Td = Ta

pd pa

γ

.

El gasto está dado por γ+1 √ γpd AT γ − 1 2 − 2(γ−1) G= p MT 1 + , MT 2 Rg Td

o bien

√ γ+1 γ+1 G ha pd 2γ γ γ − 1 2 − 2(γ−1) g= =√ MT 1 + MT , p a AT 2 γ − 1 pa

que cuando MT < 1 se reduce a √

v " # u γ−1 γ γMT γ u p G ha d t2 g= =√ = −1 , p a AT γ−1 pa γ−1

ya que en ese caso la presión en la garganta es la exterior y por lo tanto pd = pa

γ γ − 1 2 γ−1 1+ MT . 2

Cuando MT = 0,5 se tiene pd /pa = 1,186 y como Td /Ta = (pd /pa )

γ−1 γ

= 1,050.

Cuando la tobera está bloqueada se tiene MT = 1 y por lo tanto ω = 0,027 √ γ+1 γ+1 2(γ−1) G ha γ 2 pd 2γ g= =√ . p a AT pa γ−1 γ+1 688

En todos los casos puede escribirse # " γ−1 # √ " γ−1 pd γ W G ha pd γ √ = −1 =g −1 . p a AT pa pa pa ha AT

El valor mínimo de W para que la tobera esté bloqueada se obtiene de la expresión anterior con pd = pa

por lo tanto

pd pa

∗

=

γ+1 2

γ γ−1

≈ 1,893

W∗ √ = 2,214 × 0,579 × 1,728 × (1,2 − 1) = 0,443. pa ha AT

En la tabla y gráco siguientes se dan los valores de las distintas magnitudes.

689


Examen nal 11-09-12

Una esfera de radio R = v0 t variable con el tiempo, desplaza radialmente a un líquido de densidad ρ, que se extiende hasta el innito donde la presión es p∞ . En la expresión de R , v0 es una contante con dimensiones de velocidad y t es el tiempo. La ecuación de la continuidad y la de cantidad de movimiento en la dirección radial, para el movimiento de un líquido en ausencia de fuerzas másicas y sin efectos viscosos son ∂ r2 v = 0 ; ∂r

∂v ∂ + ∂t ∂r

v 2 p − p∞ + 2 ρ

= 0,

donde v es la velocidad radial, p la presión y r la coordenada radial. Se pide: 1.- Escriban las condiciones de contorno que permiten determinar las dos incógnitas: v y (p − p∞ ) /ρ. 2.- Utilicen el análisis dimensional para obtener la dependencia de las incógnitas con el número mínimo de parámetros del problema. 3.- Determinen la velocidad v . 4.- Determinen la presión p = pe sobre la supercie de la esfera.

690

RESPUESTA EXAMEN VERSIÓN 1

691

Apartado 1 - (1 punto) (a) v = v0 en r = v0 t (a) p = p∞ en r → ∞

Apartado 2 - (4 puntos) (a) vv0 = ϕ1 rt (a) pp∞ = ϕ2 vr0 t

(b) v = v0 en r = 0

(b)

(b) p = p∞ en r = v0 t (c) v = v0 en r = v0 /t (c) p = p∞ en r = v0 /t

(b) (c) (c)

(d) v = 0 en r = v0 t (d) p = p∞ en r = 0 (e) Ninguna

(d) (d) (e) Ninguna

r v v0 = ϕ1 v0 t p−p∞ r = ϕ 2 v0 t ρv02 v0 t v = ϕ 1 v0 r p−p∞ r = ϕ 2 p∞ v t 0 v = ϕ1 vr0 t p−p∞ = ϕ2 vr0 t ρv02

Apartado3 (a)v = vr0 t

(2 puntos)

(b) v = v0

Apartado 4 (a)pe = p∞

(3 puntos)

(b)pe = p∞ + ρv02

(c) v = v0

v0 t r

(c)pe = p∞ + 12 ρv02

(d) v = v0

v0 t 2 r

(d)pe = p∞ + 32 ρv02

(e) Ninguna

(e) Ninguna

RESPUESTA EXAMEN VERSIÓN 2 Apartado 1 -

692

(1 punto)

Apartado 2

(a) v = v0 en r = 0

(a)

(a) p = p∞ en r = v0 t

(a)

(b) v = v0 en r = v0 t (b) p = p∞ en r → ∞ (c) v = v0 en r = v0 /t (c) p = p∞ en r = v0 /t (d) v = 0 en r = v0 t (d) p = p∞ en r = 0 (e) Ninguna

(b) (b) (c) (c) (d) (d) (e) Ninguna

(4 puntos)

r v v0 = ϕ1 v0 t p−p∞ r = ϕ 2 2 v t ρv0 0 r v = ϕ 1 t v0 p r = ϕ 2 p∞ v0 t v0 t v = ϕ 1 v0 r p−p∞ r = ϕ 2 v0 t p∞ v = ϕ1 vr0 t p−p∞ = ϕ2 vr0 t ρv02

Apartado3 - (2 (a)v =

v0 r

puntos)

Apartado 4 -

(3 puntos)

(a) pe = p∞ + 32 ρv02

t

(b) v = v0

v0 t 2 r

(b)pe = p∞ + ρv02

(c) v = v0

v0 t r

(c)pe = p∞ + 12 ρv02

(d) v = v0

(d) pe = p∞

(e) Ninguna

(e) Ninguna

RESPUESTA EXAMEN VERSIÓN 3 Apartado 1 -

693

(1 punto)

Apartado 2

(a) v = v0 en r = v0 t

(a)

(a) p = p∞ en r → ∞ (b) v = v0 en r = 0 (b) p = p∞ en r = v0 t (c) v = v0 en r = v0 /t (c) p = p∞ en r = v0 /t

(a) (b) (b) (c) (c)

(d) v = 0 en r = v0 t (d) p = p∞ en r = 0 (e) Ninguna

(d) (d) (e) Ninguna

(4 puntos)

r v v0 = ϕ1 v0 t p−p∞ r = ϕ 2 2 v t ρv0 0 v r = ϕ 1 v0 t p r = ϕ 2 v0 t p∞ v0 t v v0 = ϕ1 r p−p∞ r = ϕ 2 p∞ v t 0 v = ϕ1 vr0 t p−p∞ = ϕ2 vr0 t ρv02

Apartado3 (a)v =

v0 r

(2 puntos)

Apartado 4 -

(3 puntos)

(a)pe = p∞

t

(b) v = v0

(b)pe = p∞ + ρv02

(c) v = v0

v0 t r

(c)pe = p∞ + 12 ρv02

(d) v = v0

v0 t 2 r

(d)pe = p∞ + 32 ρv02

(e) Ninguna

(e) Ninguna

SOLUCIÓN 1.- La ecuación que determina la velocidad es la de la continuidad y está desacoplada de la de cantidad de movimiento. Por lo tanto no hay que imponer condiciones iniciales. Las condiciones de contorno son: v = v0 en r = v0 t, p − p∞ = 0 en r → ∞.

2.- A la vista de las ecuaciones y de las condiciones de contorno, la solución es de la forma p − p∞ = f2 (r, t, v0 ) , ρ

v = f1 (r, t, v0 ) ;

de modo que sólo hay longitud y tiempo. Eligiendo r y v0 como magnitudes dimensionalmente independientes, se obtiene v = ϕ1 v0

r v0 t

p − p∞ = ϕ2 ρv02

;

r v0 t

.

3.- Integrando la ecuación de la continuidad e imponiendo la condición de contorno v = v0 en r = v0 t, se obtiene v = v0

v0 t r

2

.

4.- Conocido v (r, t), de la ecuación de la cantidad de movimiento se tiene ∂ ∂r

p − p∞ ρ

=−

∂v ∂ − ∂t ∂r

lo que proporciona p − p∞ = 2v02 ρ

v0 t r

v2 2

v2 − 0 2

La presión en la supercie de la esfera, donde r = v0 t es 3 pe = p∞ + ρv02 . 2

694

=−

2v03 t 2v06 t4 + 5 , r2 r

v0 t r

4 .

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos I 1ª Pregunta.-

Examen nal 11-09-12

El campo bidimensional de velocidades de un uido incompresible está dado por u=a

x ; t

y v=b . t

Se pide: 1.- Determinar b en función de a. 2.- Determinar el punto o puntos de remanso (xR , yR ) 3.- Determinar la trayectoria de la partícula uida que en el instante t = t0 está situada en el punto (x0 , y0 ). 4.- Determinar la línea de traza que parte del punto (xp , yp ). 5.- Determinar la línea de corriente que pasa por (x0 , y0 ) . 6.- Determinar las sendas.

2ª Pregunta.-

Las ecuaciones que determinan la evolución de la entropía y entalpía de remanso son ρT

DS = ∇ · (k∇T ) + φv + Q, Dt

D h + 12 v 2 ∂p = + ρf~m · ~v + ∇ · τ 0 · ~v + ∇ · (k∇T ) + Q. ρ Dt ∂t

Se pide: 7.- Den las condiciones para que se conserven todas las magnitudes de remanso en el movimiento de un gas.

695

RESPUESTAS PRIMERA PREGUNTA VERSIÓN 1 Apartado 1

Apartado 2

Apartado3

(1 punto)

(1 punto)

(1.5 punto)

(a) b = a

(a) (xR , yR ) = (0, 0)

(b) b = −a

(b) (xR , yR ) = (0, −1) (b)

(c) b = a2 (c) (xR , yR ) = (−1, 0) √ (d) b = − a (d) (xR , yR ) = (1, 1)

(a) xx0 = (c) xx0 (d) xx0

Apartado 5

Apartado 6

(0.5 puntos)

(0.5 puntos)

(a) (b) xa0 y0−a (c) xy = x0 y0 (d) xy −a = x0 y0−a

(a) xa y −a = xa0 y0−a (b) xy = xy00 (c) xy −a = x0 y0−a (d) xy = x0 y0

= xy00 xa y −a = x y

x x0

a

Apartado 4 (1 puntos)

−a

y t y0 = t0 a a = tt0 ; yy0 = tt0 = tt0 ; yy0 = tt0 = a ; yy0 = −a t t0

RESPUESTAS SEGUNDA PREGUNTA VERSIÓN 1

;

(a) xy =

xp yp

(b)xy = xp yp (c)xa y = xap yp (d)xy −a = xp yp−a

(4.5 puntos)

7a.- Reynolds alto; Fuerzas másicas despreciables; Casi-estacionario 7b.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7c.-Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7d.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; A lo largo de las líneas de corriente. 7e.- Ninguna de las anteriores.

696


Apartado 2

Apartado3

(1 punto)

(1 punto)

(1.5 punto)

(a) b = a

(a) (xR , yR ) = (−1, 0)

(a)

(b) (xR , yR ) = (0, −1) (b)

x x0 x x0

(c) b = a2

(c) (xR , yR ) = (0, 0)

(c)

x x0

(d) b = −a

(d) (xR , yR ) = (1, 1)

(d)

x x0

√ (b) b = − a

Apartado 5

Apartado 6

(0.5 puntos)

(0.5 puntos)

(a) = (b) xy = x0 y0 (c) xa y −a = xa0 y0−a (d) xy −a = x0 y0−a

(a) xy = x0 y0 (b) xy = xy00 (c) xy −a = x0 y0−a (d) xa y −a = xa0 y0−a

x y

x0 y0

Apartado 4 (1 puntos) y y0 = a

=a; −a a = tt0 ; yy0 = tt0 = tt0 ; yy0 = tt0 a −a = tt0 ; yy0 = tt0


(a) xy = xp yp (b)

x y

=

xp yp

(c) xa y = xap yp (d)xy −a = xp yp−a

(4.5 puntos)

7a.- Reynolds alto; Fuerzas másicas despreciables; Casi-estacionario 7b.-Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7c.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; A lo largo de las líneas de corriente. 7d.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7e.- Ninguna de las anteriores

697


Apartado 2

Apartado3

(1 punto)

(1 punto)

(1.5 punto)

(a) b = a

(a) (xR , yR ) = (1, 1)

(a)

x x0

=

(b) b = a2

(b) (xR , yR ) = (0, −1) (b)

x x0

=

(c) b = −a (c) (xR , yR ) = (−1, 0) √ (d) b = − a (d) (xR , yR ) = (0, 0)

Apartado 4 t t0

a t t0

(c) xx0 = tt0 (d) xx0 = a ;

Apartado 5

Apartado 6

(0.5 puntos)

(0.5 puntos)

(a) xy = x0 y0 (b) xa y −a = xa0 y0−a (c) xy = xy00 (d) xy −a = x0 y0−a

(a) xa y −a = xa0 y0−a (b) xy = xy00 (c)xy = x0 y0 (d) xy −a = x0 y0−a

(1 puntos)

a

;

y y0


;

y y0

;

y y0

y y0

=

a t t0

−a = tt0 = tt0

= −a

(a) xy =

xp yp

(b) xa y = xap yp (c) xy = xp yp (d)xy −a = xp yp−a

(4.5 puntos)

7a.- Reynolds alto; Fuerzas másicas despreciables; Casi-estacionario 7b.-Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7c.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; Casi-estacionario; Sin calor añadido por radiación y/o reacción química; A lo largo de las líneas de corriente. 7d.- Reynolds alto; Sin trabajo de las fuerzas másicas; A lo largo de las líneas de corriente. 7e.- Ninguna de las anteriores.

698

SOLUCIÓN 1.- Al ser el movimiento de un uido incompresible ∇ · ~v = 0, de modo que ∂u ∂v a b + = + = 0 ⇒ b = −a. ∂x ∂y t t

2.- Los puntos de remanso se obtienen de u = 0 y v = 0, lo que proporciona (xR , yR ) = (0, 0). 3.- Las trayectorias se obtienen de x ∂x =u=a ; ∂t t

∂y x = v = −a , ∂t t

cuya integración, con la condición (x, y) = (x0 , y0 ) en t = t0 , proporciona x = x0

t t0

a ;

y = y0

t t0

−a .

4, 5 y 6.- Como u/v no depende del tiempo, las líneas de corriente, las sendas y las líneas de traza coinciden y son: 4.- Líneas de traza

5.- Líneas de corriente

x = xp

a t ; τ

y = yp

−a t ⇒ xy = xp yp . τ

dx dy dx dy = ⇒ =− ⇒ xy = x0 y0 . u v x y

6.- Sendas. Eliminando el tiempo de las trayectorias se obtiene xy = x0 y0 . 7.- Para que se conserven las magnitudes de remanso deben desaparecer los segundos miembros de las dos ecuaciones y, para que ello ocurra, es necesario que el número de Reynolds sea alto, que el movimiento sea casi estacionario, que el trabajo de las fuerzas másicas sea nulo o despreciable y que el calor añadido por radiación o reacción química sea nulo o despreciable. En estas condiciones las ecuaciones quedan ~v · ∇S = 0 ;

1 ~v · ∇ h + v 2 2

= 0,

que pueden integrarse para dar S = S0 y h + 12 v 2 = h0 a lo largo de las líneas de corriente.

699

Instrucciones para subir una escalera Nadie habrá dejado de observar que con frecuencia el suelo se pliega de manera tal que una parte sube en ángulo recto con el plano del suelo, y luego la parte siguiente se coloca paralela a este plano, para dar paso a una nueva perpendicular, conducta que se repite en espiral o en línea quebrada hasta alturas sumamente variables. Agachándose y poniendo la mano izquierda en una de las partes verticales, y la derecha en la horizontal correspondiente, se está en posesión momentánea de un peldaño o escalón. Cada uno de estos peldaños, formados como se ve por dos elementos, se situó un tanto más arriba y adelante que el anterior, principio que da sentido a la escalera, ya que cualquiera otra combinación producirá formas quizá más bellas o pintorescas, pero incapaces de trasladar de una planta baja a un primer piso. Las escaleras se suben de frente, pues hacia atrás o de costado resultan particularmente incómodas. La actitud natural consiste en mantenerse de pie, los brazos colgando sin esfuerzo, la cabeza erguida aunque no tanto que los ojos dejen de ver los peldaños inmediatamente superiores al que se pisa, y respirando lenta y regularmente. Para subir una escalera se comienza por levantar esa parte del cuerpo situada a la derecha abajo, envuelta casi siempre en cuero o gamuza, y que salvo excepciones cabe exactamente en el escalón. Puesta en el primer peldaño dicha parte, que para abreviar llamaremos pie, se recoge la parte equivalente de la izquierda (también llamada pie, pero que no ha de confundirse con el pie antes citado), y llevándola a la altura del pie, se le hace seguir hasta colocarla en el segundo peldaño, con lo cual en éste descansará el pie, y en el primero descansará el pie. (Los primeros peldaños son siempre los más difíciles, hasta adquirir la coordinación necesaria. La coincidencia de nombre entre el pie y el pie hace difícil la explicación. Cuídese especialmente de no levantar al mismo tiempo el pie y el pie). Llegando en esta forma al segundo peldaño, basta repetir alternadamente los movimientos hasta encontrarse con el final de la escalera. Se sale de ella fácilmente, con un ligero golpe de talón que la fija en su sitio, del que no se moverá hasta el momento del descenso.

Julio Cortázar

FIN

Mecánica de Fluidos I - Beneyto (1)

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