DE NG NI R1
DEUNFLUIDO Bor
O F C IN I N A D E P U B L C A C IO IO N E
CENTRO errores
AN
DE
G EN I
[email protected] http://www.cei.fing.edu.uy
para La
sobr sobr
rigi rigi o.
on pt
de tors torsor or
I)
TORSORES.
a)
unto unto
fuerzas: tale tale qu
,'"
yB
B, F'A
FA
H, F'B
FB
b)
-H
(-H).
Lo
{(Pi,Ui):
vect vector ores es apli aplica cado dos. s. (La
apli apli da
).
,.
plic da ., plic
fluido.
tipos:
{(A,UI),(A,U2), {(A,UI),(A,U2), ...,(A,u
0. Ej mp
)},
rivi rivi l:
(A,O (A,O)} )}
i=1
°)
El sist sistem em
{A,u),
(S)
.,
su rimi rimien endo do
S, Yd un sist sist ma nulo nulo le enta ental. l.
,..., ,...,
Cn),
r, (T
cant cantid idad ad fini finita ta
un
{(B,u)}.
lueg lueg
upri upri iend iend
el sist sistem em nulo nulo
(A u),( u),( -un. -un. vector or apli aplica cado do un vect
(La
,. suma vect vector oria ia u, la suma
sea i=1
(S)
(T)
{(A,Rn.
Torsores.
ec eg ag eg nd el supr suprim imie iendo ndo el sist sistem em nulo: nulo: (S)u{(A,-R)}. pe
de pa ar de
em
no
uego uego
{(A,R),(A,-R)},
na
on
ec
es
do
tamb tambie ie de us frecu frecuent ente) e)
acue acue do co el ejem ejempl pl b).
El conj conjun unto to de lo is emas emas de vect vector ores es apli aplica cado do qued qued divi dividi dido do po ab a, clas clases es as eq ntes ntes La condu conduce ce la sigui siguient ent defi defini nici cion: on: nici nicion on Notaciones:
en
or
da
alen alen
re acio acio de equi equiva vale lenc ncia ia
as
ve
cont contie iene ne ), cons consti titu tuid id po odos odos lo iste istema ma de vect vector ores es qu on equi equiva vale lent ntes es co ). es ec q, ntal ntales es ue ul unir quit quitar ar iste istema ma nu os elem elemen enta tale le en cant cantid idad ad fini finita ta Ie en or nu EI conj conjun unto to form form sinop sinopti tica ca como como puede puede const constru ruir irse se una Sean 'T sistem emas as de vect vector ores es apli aplica cado do pert perten enec ecie ient ntes es (U) do sist espe espect ct vame vament nte. e. EI iste istema ma un 6n (W determ rmin in un tors torsor or 'W 'T (T)u(U) dete Esta Esta de inic inicio io no depe depend nd de os ep esen esen ante ante eleg elegid idos os ya qu 'T 'T (T') (D') so otro otro sist sistema ema perte pertenec necie ient ntes es resp respec ecti tiva vame ment nt ento entonce nce se tiene tiene difici ci comp compro roba ba que, que, en once onces, s, iene iene (T)u(U) =: (T')u(U'). (T) =: (T'), (0) :: (U'). No es difi Sea 'T (T) repr repres esen enta ta 'T, se desi design gn po A(T) A(T) al sist sistem em conf confor orma mado do su ti uyen uyendo do un pare pareja ja (P,u) arej arej (P,Au) ACf'. esto ::
(T'), entonce entonces: s: A(T
=::
A(T').
isma isma sera sera un cons consec ecue uenc ncia ia si pl de cons consid ider erac ac ones ones qu se ha an continuacion, Resultante camp camp de mome moment ntos os ea un sist sistem em de vect vector ores es apli aplica cado do (1)
S)
{(Pi,Ui):
'V'QeE
Q) i=
rt
Ejerc Ejercic icio io 1).1).-
(2)
MQ'
MQ
proposicion: Preposickin
(Rs,
1).-
Ms,Q
Ci (S), C, elemental.
2,... n)
facil
Preposlcien
al
greg greg nd
se cons conser erva va
(Rs,
Y(
2).-
MT,Q'
Ento Entonc nc s, si
Ms,Q
Demosrracton: (-
{(Pj,Ui), {(Pj {(Pj,,-Uj Uj), ), ,...,C
sist sistem emas as nulo nulo elem elemen enta tale les. s. en dena denami mi nt ntre ntre sist sistem em C1u( C1u(T) T) :: ::Cn ::Cnu( u(T) T)
cons consec ecut utiv ivos os
po
qu se ti ne nton nton es
ap
(S)u(-T), ), prob probar ar la Prop Propos osic icio ion. n.
),
(S ta qu
Torsores.
qu
os co tien tiene, e,
(a).
(a),
so
in epen epen ie te
re pect pectiv ivam amen ente te i e (a), un punt punt
P',
Uj(A)
<:::
Uj(e).
to es tien tiene: e: {(Pj {(Pj,U ,Ui) i) <::: {(A,Ui {(A,Ui(A) (A) (B,Ui( (B,Ui(B) B) (C,Ui (C,Ui(C (C }. es paralelo al pl no (a), (a),
{A,B,C},
(W)
Uj(B)
(a),
{(A,a), (B,b (B,b), ), (C,e (C,e)} )} .En
al plano (a).
aB
Se descom descompon pon Yl
con aB (a
<:::
<1>,
Ejereieio
-T
<:::
Definicion:
<:::
so
(MQ) (MQ)QE QEE3es E3es un MQ
resu result ltan ante te de tors torsor or
me
(MQ)QE (MQ)QEE3, E3,se se denomi denomina na
'D. La
todo
definicion. La
defi defini nici cion on
corr corres espo pond nden en tors torsor ores es distintos,
distintos, la se un
defi defi icio icio
'D
re
definicion.
algun {(O,RH. (a
t:
(a), (A
O)I\U
(S)
Mo.
{(A,u), (O,-u
'D 'D de un
stru stru tura tura
lg br ica. ica.
Sean 'T Se defi define nen: n:
'T +V 'T R,
(R
R',
(M
M'Q)QeE3),
(AR (AMQ)Q (AMQ)QeE3 eE3
tran transp spor orte te de mome moment ntos os Ejercicio
'lJ
3).-
Observaciones: conjunto
'lJ 'D
'lJ,
C. C. conjunto
C, 'D
vectorial.
(0
de re torsores:
'T
11
A.
de
respectivamente.
C,
entonces
re (T)u(U)
A.(T)
posi posibl bl
Torsores.
'D eV
'D que 'D so
apli aplica cado do Si
qu
represente. Cle.
Estos
e) Mo. Si
:t
(a
(a),
Mo. RAMQ
RA(Mo
¢::>
Q-
¢::>
0,
R2 0,
otro otro plan plan
(a') (a').
de
MQ
0,
(a), aplicado (a n Q
tal
el vect vect R a
n Q
Observaciones:
(MQ)QEE3,
MQ'
MQ
v(P,t)
)es
resultante
b)
I)M,'Q,(e)
Si punto.
momento
c)
qu el sist sistem em
es nu o.
{(O,R)},
MQ punto Q' se ti ne nton nton es MQ, por
Ejemplos
ra
ejercicios:
so (c),
(n
R.
es
Torsores.
rs
un
rm
vector or unit unitar ario io k, un vect
un
(a
{(Pi, A.;k),
(~Ai},
,..., ,...,
2/"i:t:
k:
0.
i=
(a).
un
(a).
po
'#
(a
•...•
resp resp ctiv ctiv ment mente, e, esto esto s:
(~Ai}
1,...,n
~Ai(Pi
0)
sor tamb tambien ien para paralel leloy oy
lo vect vectore ores. s. Ejercicio
7).- Sea (O,i, j, k) ak)}.
si Vect Vector or desl desliz izan ante te
el Se
v(e,t)
t, ent. inst instan ante te dado dado t. (3)
M(G-O)
Jp(P Jp(P t)dV t)dV
lama lamasa sade de cuer cuerpo pori rigi gido do
(3), suponiendo
Si
MVG
p(P-O)dV
(P-O)dV
fpv(P,t)dV
fp(V(C,t)
Mv(C,t)
fijo fijo se btie btiene ne n(t)/\(p-C»)dV
Q(t)/\(M(G-C»). 1p
O.
0, pero
er
t,
dt
un
(Mv( (Mv(G, G,t» t»
ac 1mo
sor
en ningun deno denomi mina nada da
as
tens tensio ione nes. s.
). mo
Torsores.
MQ
Las
(P
an
R.esolta en efec efecto to
MQ'-~
f(Q-Q')Afs(P)dA
f(p-Q')
(Q-Q')A
ffs(P)dA
(Q-Q')AR
Do form formul ulas as Proposl Proposlclon clon 3).3).Sea
tangente.
4)
a(P)ndA
5)
(Va) (Va)(P (P)d )d Aa
A(
el a(x,y,z).
ej.(a(P)n)dA e1·( e1·(Va Va)d )d
(a.(P)eJ).ndA
(*)
JV.(a(p)eJ)dV
e1.j e1.j (Va) (Va)dV dV
se segun gun ente entera rame ment nt
f~dV
anal analog oga, a, 11
es
re e,·fCP-O)AandA
JV.(ae
A(P-O»)dV
e1.J(P-O)A(Va)dV
er
f(ae,
fe,.(CP-O)Aan)dA
fV.(-za(x,y,z)e2
A(P-O»).ndA
ya(x,y,z)e dV
Jet.(p-O)ACVa»)dV
J(_zaa
=(*)=
f(-zaa
ay
y~~)dV
e3
presion
so
f-pondA,
MQ
f(P-Q)A(-pon)dA
o(P) rr
6)
(Va)(p)
nulo:
f(P-Q)A(-POD)dA
12
y~~)dV
dich dich
inst instan ante te
cont conten ener er aris arista ta
vert vertic ices es (ver (ver figu figura ra). ).
st flnido.
categorias: (0
Acci Accion ones es dind dindmi mica ca de cont contac acto to (0
lect lect omag omagne neti tico co En 10 orig origen en exte extern rn a1 fluido. aD por
exteri rior or dn, un exte
an
sn
'T o(t),
(jr)
~o(t) J(P-Q)I\(pF)(P,t)dV
ii)
t.
Ejercicio 10).ba tran transp spor orte te de mome moment ntos os
fo
definen en efec efecti tiva vame ment nt (7) defin
Observaciones:
vo
RD(t)
V(n) MD,Q(t)
V(n)
(P~Q (P~Q
(pF)(P;t) (p )(P' )(P' t)dV t)dV Q)
V(D)
(P
14
1\
(pF)(P, t)
un
(pF)(P', t)dV
Ro(t)
M(D, t)
-d-V---'-----.:J;-O-p-(P-',-t
-d(= -d(=-D -D))-----' -'>>-
(pF)(P, t) pep, t)
F(P, t)
V(D) V(D)
RD(t)
(pF)(P t)
RD (t M(D, t)
F(P, t)
La
se co oc n, en
ic
in ta te el camp camp
de dens densid idad ades es
(. 0g g,
si
'T a D (t(t ) cuya
(8
i)
RlD(t)
ii)
VQeE
'IaD(t) MaD,Q(t)
esta
J(P-Q)AfaD(P,t)dA aD
).
en cada
15
po
c:
ndi
Observaciones: 1)
La
vert vert ce
de la fr nt ra). ra).
an
t,
2)
mo
senc sencia ia
om
se vera vera po teri terior orme ment nte. e.
3)
aceten
la tension. 0'
La resu resu tant tant dado dado resp respec ecti tiva vame ment nt por: por: 0'
iene iene
0'
ff()D(P',t)dA;
R(O',t)
MaD,Q(t)
f(P'-Q)/\f()D(P',t)dA
(0 fa
t) se iene iene f,)D(P', f,)D(P', t)dA
RaD(O',t)
A(O')
(0')
M
A(cr)
(P
3D
faD(P, faD(P, t)
(P', t) dA
~---~--------------------A(O')
t.
establecidos: iO
MaD,Q MaD ,Q(0', (0 ', t) A(O')
(P-Q)Af()D(P,t)
16
t,
po (9
'In(t)
'IaD(t)
t,
La
t,
'T a(D,t), t, ualq ualq iera iera esta esta
(10)
i)
5l(D,t)
ii)
~(D,t)
(pa) (pa)(P (P t)dV t)dV
'Ia(D,t) (pa) (pa)(P (P t)dV t)dV
5l(D,t) region Ejercicio 12).-
17
1to ad
es ec iv me te
or
fluido.
so fe
re
ri
uc1i uc1idi di no trid tridim im nsio nsiona na
cronologia. 3pu ri
de coor coorde dena nada da
asoc asocia iado do). ). rp
sist sistem em
de relo reloje je
rs
sinc sincro roni niza zado dos. s.
re
de acele acelerac racion iones es ).
La
re
r,
un
coor coorde dena nada das, s, po ejem ejempl plo. o. los
dlnamlca:
Existe instante
algun referencial,
denomlnado
t,
aI
masa (11)
\i bi n,
H(t),
'Ta(D,t)
form form equi equiva va en e:
(12)
H(t), MD,Q MD,Q(t (t
ii)
eR
vn
i)
f(pa)(p,t)dV
f(pF)(P,t)dV+
Ma (t
ffaD(P,t)dA ao
H(t)
ii)
\iQeE3,
f(p-Q)A(pa)(p,t)dV
f(p-Q)
(P,t)dA
rd na
1m (14)
1(Q(D,t)
QD,t)
ap
Av
dQ,(D,t)
(15)
i)
(16)
V'tER, V'QEE
Q)
(pv) dV
dv
Pd dt
dt dt
(P
dt
a,
)Aa
d~(D,t)
Dt)·
dt
~(D,t)
pF)
iliD EE3
ii)
f(P-Q)/\(pv)dV
f(P-Q)A(PF)dV
f(P-Q)/\filD(P,t)dA
Observaciones:
1in af
Q'
bala balanc nc
meca mecani nico co
3)
os
re
ne
19
apr
ie part part
ualq ualq iera iera de
vectorial:
is o.
(pF)(. .t),
an queda
camp campos os de tens tensio ione nes. s. La comp comp ejid ejid de rf
robl robl ma
tensioDes
es
(P,t).
rm
En importante.
de
rasante, respectivamente.
rasantes
eca
1mo
fr
ri
rf
rm fs(P,t)
(17)
el plano rf
func funcio ione ne
parc parcia iale le
cons consid ider erar ar
),
(18)
,t):
el inst instan ante te t.
esta establ bl ce 21
sigu siguie ient nt
teor teor ma
Pn(P,t)
(19)
Pn,(P,t)
t,
~I
Sean i,
fi2
ABeD
i,
re
os
na
re
ul
CDEF (-1I..J2)(i
t,
pa
¢: dD
(*)
Jp(a-F)(p')dV
-pj(P') -pj(P')idA idA
Pi(P')dA)
-(pi(P~»A(l»)
p~
A(l)
g2.
fo J-Pj(P')jdA
ra
ne -(Jpj(P')dA)j
g2
(P~)E(2».
g2..J2
h(
g2,
22
E(3
en
es
re p(a-F)(P')dV
p(a-F)(P')dV
0,
~D
£2
pu st
que: que: (El2)
(:--40
Ye
Y(
([p(a-F)(p')dV}
-p;( -p;( ~'
l)
A(3)
£2,
.( ;_
3) h.i) h.i)
h.i
£2...[2,
-1/..J2.·
Po tant tanto: o:
([p(a-F)(p')dV}
-PI(P~')E'
P.(P,!,")E'
£2,
(P~»--t
a:
pj(P). i, j, cual cuales esqu quie iera ra
j,
(j,
re
pkCP pkCP); ); Pj(P Pj(P
Observaciones:
R.
t:
23
2)
un
Teorema I)
P-n{P,t)
Pn(P,t),
cu lqui lqui ra debe debe
se igua igua es
-P-D(P,t) (-n)
Pn(P,t)
-p{-n)
reac reaccl clon on
action
segu segura ra Teorema
sigu siguie ient nt
2).-
(pa)(P,t)
(20)
(pa)(P (pa)(P)dV )dV
(pF) (pF)(P (P)d )d
-p(P)ndA
-p(P)ndA iID
)(P) )(P) dV
prim prim ra
ua io
de bala balanc nc
O.
meca mecani ni o,
1\
1\
(p )(
1\
1\
(-p(P)n)dA
iID
ecuaci cion on cons consid id rada rada se es ribe ribe ento entonc nc s: La ecua Vp){P)dV
O.
24
(P-Q)
1\
teor teor ma
ad
onal onal
on au nc
(P
Observaciones:
tens tensio iona nale le
de flui fluido do cual cuales esqu quie iera ra
(pa)(P', t) dV
pF (P', (P', t)dV t)dV
V(D)
V(D)
JpadV . . .: : ; D _
V(D)
JpFdV (pF)(P,t)
~D__
V(D)
-+
instante t,
-pCP -pCP', ', t)nd t)nd ..::::.:dd=.:dd=-----
V(D)
V(D)
-+ (-Vp)(P, t) 25
si ne
as nt
siguie siguiente nte aproxi aproximac macion ion f-pndA
(-Vp)(P,t)
aD
(Vp)(P,t)
__
V(D)
ns
p)
respectivos.
-------0-------
1111111111
01040159
