Notación indicial.
El convenio de sumatoria de Einstein, notación de Einstein o notación indicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma griega sigma - Σ). El convenio fue introducido por Albert por Albert Einstein en 1916. Se aplica en matemáticas en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. la física. El El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios. Definición. Dada una expresión lineal en
en la que se escriben todos sus términos de
forma explícita:
11 + 22 +⋯+ Esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:
∑ =1
La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.
Operaciones de Tensores.
Producto tensorial y producto exterior. Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales. El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto llamado producto exterior. Por ejemplo:
Subir y bajar índices. En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedad cualquiera.
Esa operación permite substituir en los cálculos un tensor de tipo tipo
con tal que
por otro de
. Esta operación se denomina usualmente ley de subir
o bajar índices. Esa
operación
se
basa
de tensores covalentes
en
y
la
existencia
contra
de
un isomorfismos entre
variantes definidos
sobre
espacios
una variedad
riemanniana o pseudoriemanniana
. Por tanto para emplear, la subida y bajada de
índices es necesario usar el tensor métrico
(y su inverso
, llamado co-tensor métrico).
Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices":
Contracción. La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo
(,) a otro tipo (−,−). En términos
de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contra variante y un covalente. Por ejemplo, un tensor (1,1)
puede ser contraído a un escalar a través de
; donde el
convenio de sumatoria de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se lo interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza. Métodos para el cálculo de valores y vectores propios.
En álgebra
lineal,
los vectores
propios, auto
vectores o eigenvectores de
un operador
lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor
propio, auto
valor, valor
característico o eigenvalor.
A
menudo,
una
transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, auto espacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores.
Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en
el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una
dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real. Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V , v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que
Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V , el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un un espacio propio Z es
un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z. espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z. Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices. Si se quiere calcular los valores
propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando
el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico. Ejemplo de matriz sin valores propios reales. Un ejemplo de matriz sin valores propios reales
es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:
Cuyo polinomio característico es
y sus valores propios son el par de conjugados
complejos i , -i . Los vectores propios asociados tampoco son reales. Ejemplo
Considérese la matriz
Que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio caract erístico:
y porque p( x ) = - ( x - 2)( x - 1)( x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir:
Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que
De donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.
Gradiente, divergencia y rotacional.
Gradiente. En cálculo vectorial, el gradiente
vectorial. El vector gradiente de
evaluado en un punto genérico
), indica la dirección en la cual el campo ritmo de variación de
de un campo escalar
es un campo
del dominio de
,
(
varía más rápidamente y su módulo representa el
en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa
con el operador diferencial nabla
seguido de la función (cuidado de no confundir el
gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante notación
. La generalización del concepto de gradiente a campos
, o usando la vectoriales es
el concepto de matriz Jacobiana. Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
Divergencia. La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y
el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero. Divergencia de un campo vectorial. La divergencia de un campo vectorial en un punto es
un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
Donde símbolo
es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico. Se llaman fuentes escalares del campo
al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Coordenadas cartesianas. Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo
expresado en coordenadas cartesianas,
El resultado es sencillo:
Coordenadas ortogonales. Sin embargo, para un caso más general de coordenadas
ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a
la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:
Donde los
son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma
del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas ( Para coordenadas cilíndricas (
) se reduce a la expresión anterior. ) resulta:
Para coordenadas esféricas (
) resulta
Coordenadas generales. En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente
ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales
respecto a las coordenadas y el
determinante
del tensor métrico:
Rotacional. En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra
la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aquí,
es el área de la superficie apoyada en la curva
, que se reduce a un punto. El
resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a
y orientada según la regla de la mano derecha.
Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Fuente vectorial y escalar. Al campo vectorial, J, que se obtiene calculando el rotacional de un
campo F en cada punto,
∇× Se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia). Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial:
Expresión en formas cartesianas. Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
Que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.
Propiedades:
Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,
Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.
En
particular,
el
campo
electrostático
de
una
carga
puntual
(y
por
superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal , esto es, su divergencia siempre es nula:
Ejemplos:
En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas las partes del disco.
Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sería diferente de cero.
Teoremas de Green y de Stokes.
Teorema de Green. En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C . Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,
A veces la notación:
Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria) de la curva cerrada C .
Teorema de Stokes.
El teorema
de
Stokes en geometría
diferencial es
una
proposición
sobre
la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes. El teorema
fundamental
del
cálculo establece
que
la integral de
el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una anti derivada F de f :
una
función f en
