Mécanique Des Structures

Mécanique des structures et Résistance des Matériaux Résumé du cours

Par Jonathan Verlant-Chenet Version 1.1 (5 janvier 2006)

Table des matières

1.

A

2.

R APPELS ..............................................................................................................1

3.

4.

5.

PROPOS DU COURS ...............................................................................................1

2.1.

Contraintes .................... ......................................... ......................................... ......................................... .......................................... ........................ ... 1

2.2.

Déformations évanouissante s ................... ......................................... ........................................... ...................................... ................. 1

2.3.

Loi de Hooke (comportement élastique linéaire) ................... ........................................ ................................. ............ 1

S ECURITE STRUCTURALE ...........................................................................................1 3.1.

Approche déterministe ..................... .......................................... ........................................... ........................................... ......................... .... 2

3.2.

Approche semi probabiliste ...................... ........................................... ........................................... ....................................... ................. 2

3.3.

Types d’actions ................... ......................................... ........................................... ........................................... ...................................... ................ 3

S CHEMA STATIQUE .......................................................... ..................................................................................................3 ........................................3 4.1.

Appuis .................... ......................................... ......................................... ......................................... .......................................... ............................... .......... 3

4.2.

Réactions de liaison..................................... liaison.......................................................... .......................................... .................................... ............... 3

4.3.

Eléments struc turaux................................... turaux........................................................ .......................................... .................................... ............... 3

D IAGRAMMES MNT ........................................................ ................................................................................................4 ........................................4 5.1.

Forces i nternes ..................... ........................................... ........................................... .......................................... ..................................... ................ 4

5.2.

Déformée des poutres planes .................... ......................................... .......................................... ...................................... ................. 4

5.3.

Relation M-T .................. ....................................... .......................................... ......................................... ......................................... ........................ ... 5

5.4.

Cas de sollicitation (calculs élastiques des poutres) ..................... ........................................... ......................... ... 5

1.

I NTRODUCTION......................................................................................................6

2.

S ECURITE

DES PIECES TENDUES ....................................................................................6

2.1.

Modules de résistance et de rigid ité...................... ité........................................... .......................................... ........................... ...... 6

2.2.

Prise en compte du poids propre ..................... ........................................... ........................................... ............................... .......... 6

2.3.

Poutre composée de deux matériaux .................... ......................................... .......................................... ........................... ...... 7

2.4.

Effets thermiques ..................... .......................................... .......................................... ........................................... .................................. ............ 8

3.

T UBES

4.

T REILLIS ARTICULES ......................................................... ................................................................................................9 .......................................9

1.

F LEXION

PURE

1.1.

Définition .................... ......................................... ........................................... ........................................... .......................................... ....................... .. 10

1.2.

MNT et contraintes ..................... .......................................... .......................................... .......................................... .............................. ......... 10

1.3.

Sécurité des pièces fléchies .................... .......................................... ........................................... ...................................... ................. 11

1.4.

Poutres composées de deux matériaux ...................... ........................................... ......................................... .................... 11

F LEXION

SIMPLE ( CISAILLEMENT)

2.1.

Définition .................... ......................................... ........................................... ........................................... .......................................... ....................... .. 12

2.2.

Théorie de Jourawski ..................... ........................................... ............................................ ........................................... ......................... .... 12

2.3.

Moments statiques ..................... .......................................... .......................................... .......................................... .............................. ......... 13

2.4.

Parois minces .................... ......................................... ........................................... ........................................... ...................................... ................. 13

2.

ET ANNEAUX ......................................................... .................................................................................................9 ........................................9

: M Z ......................................................... ............................................................................................... ...................................... 10

: TY

ET

M Z ....................................................... .................................................................. ........... 12

3.

4.

2.5.

Déformation due au cisaillement ................... ......................................... ........................................... ............................... .......... 13

2.6.

Calcul des assemblages .................... ......................................... ........................................... ............................................ ........................ 14

F LEXION

OBLIQUE ( GAUCHE )

3.1.

Définition .................... ......................................... ........................................... ........................................... .......................................... ....................... .. 14

3.2.

Calcul des contraintes ................... ........................................ ........................................... ............................................ .......................... .... 14

F LEXION

COMPOSEE

4.1.

Définition .................... ......................................... ........................................... ........................................... .......................................... ....................... .. 14

4.2.

Position de l’axe neutre et noyau central ....................... ............................................. ..................................... ............... 15

4.3.

Flexion composée oblique .................... .......................................... ........................................... ........................................ ................... 15

: N, T Y

: T Y, TZ , MY

ET

ET

M Z ................................................... ............................................................. .......... 14

M Z ...................................................... ............................................................................. ....................... 14

1.

D EFINITION ...................................................... ........................................................................................................ .................................................. 16

2.

E SSAI

3.

S ECURITE

4.

A NALOGIE

5.

P AROIS

DE TORSION

................................................................................................ .......................................................... ...................................... 16

STRUCTURALE DES PIECES TORDUES

................................................................ ...................................................... .......... 17

DE L ’ HYDRODYNAMIQUE ..................................................... ............................................................................ ....................... 17

MINCES ................................................... .................................................................................................... ................................................. 17

5.1.

Section ouverte .................. ....................................... ........................................... ........................................... ..................................... ................ 17

5.2.

Section fermée .................... ......................................... .......................................... .......................................... ..................................... ................ 17

1.

M OTIVATION ..................................................... ...................................................................................................... ................................................. 18

2.

D EFORMEE

DUE A LA FLEXION

................................................................................... .......................................................... ......................... 18

2.1.

Equation différentielle et CL ...................... ........................................... ........................................... .................................... .............. 18

2.2.

Intégration directe .................. ........................................ ........................................... .......................................... ................................. ............ 18

3.

T HEOREMES

4.

E FFET

1.

E SSAIS ........................................................... .............................................................................................................. ................................................... 20

DES TRAVAUX VIRTUELS ET INTEGRALES DE

MOH R ............................................ 18

DE L ’ EFFORT TRANCHANT ........................................................ ................................................................................ ........................ 19

1.1.

Essai de traction/compressi on .................... ......................................... .......................................... ................................... .............. 20

1.2.

Essai de fatigue ..................... ........................................... ............................................ ........................................... ................................. ............ 21

2.

E FFETS

DE LA TEMPERATURE .................................................. ..................................................................................... ................................... 21

3.

E FFETS

DIFFERES

4.

M ODELES

1.

T RACTION PLASTIQUE ....................................................... ............................................................................................ ..................................... 22

.................................................................................................. .................................................. ................................................ 21

CONSTITUTIFS ..................................................... ......................................................................................... .................................... 21

1.1.

Calcul de la charge ultime et du gain ..................... ........................................... ........................................... ....................... .. 22

1.2.

Contraintes résiduelles ................... ......................................... ........................................... .......................................... ......................... .... 22

2.

F LEXION PLASTIQUE PLANE ................................................... ...................................................................................... ................................... 22

1.

T YPES D ’ INSTABILITES ....................................................... ............................................................................................ ..................................... 23

2.

F LAMBEMENT ELASTIQUE ..................................................... ......................................................................................... .................................... 23

3.

2.1.

Causes de flambement ................... ........................................ ........................................... ............................................ ......................... ... 23

2.2.

Calcul de la charge critique eulérienne ...................... ........................................... ......................................... .................... 23

I MPERFECTIONS INDUSTRIELLES ......................................................... ................................................................................. ........................ 24

Introduction

CHAPITRE 1.

1. A propos du cours L’objectif de ce cours est l’étude de la résistance (contraintes), de la rigidité (déformations) et des instabilités d’une structure à l’aide des lois de la mécanique et de la caractérisation expérimentale des matériaux. Par étude, on entend la vérification des structures (on connaît les actions, les dimensions et les matériaux, et on veut connaître les forces internes, les déplacements, ...) ou le dimensionnement des structures (on connaît les actions et le degré de sécurité à atteindre, et on détermine les dimensions et matériaux optimales).

2. Rappels 2.1. Contraintes Pour une direction n, les contraintes sont modélisées par un  n

vecteur contraintes T

( )

 n

dF ( ) = lim dA →0 dA

Pour une facette, on utilise le tenseur des contraintes : Ti( ) = τij nj n

2.2. Déformations évanouissantes Les déformations sont évanouissantes lorsqu’elles sont lentes et petites : le 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ tenseur des déformations peut alors être linéarisé : aij = ⎜ i + j ⎟ . Pour 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ l’exemple ci-contre, on définit l’allongement relatif dû à la traction : dx∗ − dx εx = , et par effet Poisson il y a également un allongement selon z : εz . dx

2.3. Loi de Hooke (comportement élastique linéaire) La loi de Hooke est un lien linéaire entre les contraintes et l’allongement relatif : σx = E ε x où E est le module de Young. On peut définir les allongements dus à l’effet Poisson comme ceci :

−νεε x ⎧⎪ ε y = −ν (où ν est le coefficient de Poisson) ⎨ −νεx ⎪⎩ εz = −νε

3. Sécurité structurale Toute structure doit être conçue de manière à résister, avec une marge appropriée, à l’ensemble des sollicitations prévues durant les périodes de montage et d’exploitation. On parle alors du concept de durée de vie qui est influencée par la sécurité structurale. Pour quantifier cette notion de sécurité, on utilise des coefficients de sécurité qui modélisent une marge de réserve et des incertitudes. Ils prennent en compte :

Résistance des matériaux | Chapitre 1 :

1

• L’intensité, la durée, la nature (statique ou dynamique) et le point d’application des forces extérieures

• La dispersion des propriétés mécaniques (défauts, contraintes internes, etc) et leur modification dues au vieillissement, à la corrosion, etc. • Les imprécisions sur les dimensions (tolérances) • Les incertitudes sur la modélisation que l’on a utilisée pour calculer toutes les propriétés du matériau (hypothèses simplificatrices, calculs approchés) • Les malfaçons diverses

3.1. Approche déterministe On pose un coefficient de sécurité global γ (négligeant les détails locaux des incertitudes), et on utilise la méthode des contraintes admissibles :

γ σmax (en = σruine ⇒ σmax (en ≤ e n service) en service)

σruine = σ adm γ

Ci-contre, un exemple de résolution par la méthode des contraintes admissibles.

3.2. Approche semi probabiliste On tient ici compte des incertitudes de manière probabiliste. On définit des états limites, c’est-à-dire des états dans lesquels la structure ne peut être utilisable. Il en existe 2 :

• Etat Limite Ultime (ELU) : état dans lequel la structure est en ruine, à cause de : o

Rupture par contrainte excessive, matériau déficient, par fatigue (sollicitations répétées),...

o

Le système est instable (flambement : voir chapitre correspondant) ou en déséquilibre global (glissement ou renversement)

o

Déplacements excessifs (comme un toit trop flexible soumis au poids important de l’eau)

• Etat Limite de Service (ELS) : état dans lequel la structure est inutilisable mais récupérable, à cause de : o

Structure trop déformée bloquant les mécanismes (comme les portes qui ne peuvent plus s’ouvrir ou se fermer) ou faisant perdre de la précision

o

Déplacements localement excessifs (exemple : rupture des joints d’étanchéité par effet thermique)

o

Fissures ou vibrations exagérées (exemple : bâtiment oscillant)

o

Dégradations (corrosion, détérioration, rouille, éclatement « givré », ...)

Le principe est qu’on veut maintenir la probabilité d’atteindre un état limite inférieure à une certaine valeur (sauf en montage où on s’en fout de l’état limite de service, vu qu’on est en train de monter la structure). Ces états limites sont représentés par différentes valeurs :

• Valeurs caractéristiques (notées avec un indice k). Il existe une probabilité déterminée pour que les résistances effectives soient supérieures aux résistances caractéristiques et que les actions effectives soient inférieures aux actions caractéristiques.

• Valeurs de calcul (ou de dimensionnement, notées avec un indice dim ou d) : ce sont les valeurs caractéristiques modifiées par un coefficient de pondération modélisant les incertitudes. La condition de sécurité est Sd ≤ R dim Ci-contre, un exemple de conception à l’ELU.


2

3.3. Types d’actions Différentes actions (forces extérieures) peuvent jouer sur la sécurité structurale :

• Effets statiques (comme le vent) et dynamiques (comme l’excitation de la fréquence propre d’une structure

• • • •

Charges permanentes (poids propre, ...) Charges d’exploitation (foule, neige, vent, ...) Actions indirectes (effets thermiques, ...) Actions exceptionnelles (séismes, ...)

4. Schéma statique 4.1. Appuis

• Rouleau : bloque 1 translation, 2 degrés de liberté, 1 réaction de liaison • Articulation : bloque 2 translations, 1 degré de liberté, 2 réactions de liaison • Encastrement : bloque 2 translations et rotation, 0 degré de liberté, 3 réactions de liaison 4.2. Réactions de liaison 4.2.1

Calcul On calcule les réactions de liaison à partir des équations d’équilibre : ⎧ Fx = 0 • Equilibre de translation : ⎪⎨ ⎪⎩ Fy = 0

∑ ∑

• Equilibre de rotation (au point A) : 4.2.2

∑M

A

=0

Isostatique vs Hyperstatique Un système est isostatique lorsqu’il y a autant d’équations que d’inconnues (toutes les réactions de liaison peuvent être déterminées). Il est hyperstatique lorsqu’il y a trop d’inconnues par rapport aux équations. S’il manque n équations pour déterminer n inconnues « de trop », alors on dit que le système est n fois hyperstatique. Un système peut également être intérieurement hyperstatique sans l’être extérieurement. Des exemples sont donnés ci-contre. On voit que la deuxième structure, par exemple, est intérieurement hyperstatique : si on fait une coupe verticale en plein milieu, six inconnues sont libérées (3 en haut et 3 en bas).

4.3. Eléments structuraux Il y a différents types d’éléments structuraux :

• Solide 3D : toutes les dimensions sont du même ordre de grandeur, et il n’y a pas de simplification possible.

• Plaque et coque : une dimension (l’épaisseur) est plus petite que les deux autres o

La structure est plane et il n’y a pas d’effort dans le plan : plaque (flexion et cisaillement)

o

La structure est plane et il y a des efforts uniquement dans le plan : état plan (tension)


3

o

La structure est plane et il y a des efforts partout : coque plane (tension, flexion et cisaillement)

o

La structure est courbe : coque (tension, flexion et cisaillement)

• Poutre et arc : une dimension (la longueur) est plus grande que les deux autres o

La structure est rectiligne et il y a des efforts hors axe : poutre (effort normal, flexion et cisaillement). On dit qu’une poutre est prismatique lorsque son axe est droit (cet axe est en général x).

o

La structure est rectiligne et il y a des efforts uniquement dans l’axe : barre (effort normal)

o

La structure est rectiligne, il y a des efforts uniquement dans l’axe mais aucune résistance à la compression : câble (effort normal > 0)

o

La structure est courbe : arc (effort normal, flexion et cisaillement)

NB : une tension est comme une traction sauf qu’il n’y a une force que d’un côté et pas deux de chaque côté.

5. Diagrammes MNT 5.1. Forces internes Les différentes forces internes sont représentées ci-contre en 2D puis en 3D.

• Effort normal N Valeur : N = ∫ σxdA A o

o

Convention de signe : traction N>0 et compression N<0

• Effort tranchant T Valeur : Ty = ∫ τxy dA A o

o

Convention de signe : T>0 si la partie de droite descend

• Moment fléchissant M Valeur : Mz = ∫ σx ydA A o

o

Convention de signe : M>0 si les fibres du bas sont tendues.

∫ σ zdA , un moment de torsion selon z ) dA , et un effort tranchant selon z : T = ∫ τ dA

En 3D, on ajoute un moment fléchissant selon y : My = x : Mx =

∫ ( τ A

xz

y − τxy

A

x

z

A

xz

La réalisation des diagrammes MNT se fait selon toutes ces notions. Mais avant de les appliquer, il faut toujours calculer les réactions de liaison !

5.2. Déformée des poutres planes Pour mieux se représenter ce qui se passe lors de la déformation de poutres planes, on exagère le déplacement (cf ci-contre) en respectant les règles suivantes :

• • • •

Lorsqu’il y a une rotule (articulation représentée par un rond) : M=0 Les angles sont conservés aux nœuds rigides Respecter les conditions cinématiques (il ne peut y avoir déplacement dans un encastrement) La portée d’une poutre est invariable


4

5.3. Relation M-T Ces relations se trouvent à partir du schéma ci-contre :

• Equilibre de translation vertical : 0=

−T +q ( x ) dx + ( T + dT dT ) = q (x ) dx + dT ⇒ 

force montante

 force descendante

dT = −q (x ) dx

• Equilibre de rotation autour de C : dx 2 

0 = M + Tdx

−q ( x ) dx

− (M + dM ) = Tdx −

q(x) 2

2 ( dx ) − dM ⇒

T=

dM dx

on substitue les forces répartie par une force dT située au milieu de AC

5.4. Cas de sollicitation (calculs élastiques des poutres) N Traction simple

Ty

Tz

Mx

My

x

Flexion pure

x

(M constant) Flexion simple (M variable)

Flexion composée

Mz

x

Flexion oblique

Torsion


x

x

x

x

x

x

x

x

x

5

Traction/compression N

CHAPITRE 2.

1. Introduction On parlera ici de traction/compression simples. En postulant un tenseur des contraintes ⎛ σ 0⎞ τij = ⎜ ⎟ , on peut vérifier si les équations d’équilibre et de compatibilité sont respectées : ⎝ 0 0⎠ ?

• Equation d’équilibre en volume ∂ jτijij + fi = 0 : oui si fi = 0 

?



• Equations d’équilibre en surface σ1x A = N1x : oui si il y a équilibre avec N, c’est-à-dire si σ =

N A

0 0 ⎞ ⎛ σ /E ⎜ ⎟ −ννσ /E • Equations de compatibilité δijk δpqr∂ jqakr = 0 : oui car aij = ⎜ 0 − 0 ⎟ = cste ⎜ 0 0 −νσ /E ⎟⎠ ⎝ ?

2.

Sécurité des pièces tendues 2.1. Modules de résistance et de rigidité

• On définit A en tant que module de résistance en traction/compression : σ =

N A

• On définit EA en tant que module de rigidité en traction/compression : Hooke σ NL NL = ε L = L= ⇒ u= u 



allo al long ngem emen entt

allo al long ngem emen entt relatif

E

EA

EA

2.2. Prise en compte du poids propre Si on ajoute le poids propre, les valeurs de sécurité en sont modifiées. Soit une poutre soumise à une force P, et de poids mg = ρ gV , et donc de poids linéique ρgV N P + px = ρ gA . L’effort normal total vaut donc : N = P + px ⇒ σx = = , et si p= L A A

on utilise la méthode des contraintes admissibles : x =L P + px σx ≤ σadm ⇒ ≤ σ adm ⇒ P + ρgAL ≤ Aσ adm ⇒ P ≤ A (σ adm − ρ gL ) ⇒ A

P

σadm − ρgL

≤A

Si on prend en compte le poids propre pour une poutre (ou un câble : imaginons que ce soit un très lourd et long cable), quel devrait être la variation de la section pour que la contrainte soit identique dans toute la longueur de la poutre ? Pour ça, on utilise le schéma ci-contre où : gAdx σ ( A + dA ) = σA + ρ ⇒ σ A + σdA = σA + ρgAdx  tractionN en tractionN A + dA

⇒



traction NenA

dA ρg = dx A σ

poids qui se rajoute entre A et A+dA

⇒ ln

A ρg = L ⇒ A0 σ


ρg

A = A 0e σ

L

6

2.3. Poutre composée de deux matériaux 2.3.1

Equations générales

⎧ N = N1 + N2 = A1σ1 + A2σ 2 ⎩ ε1 = ε 2

Lorsqu’une poutre est composée de deux matériaux, on a les équations : ⎨

On pose ici l’hypothèse que l’allongement des deux matériaux sera le même si ils sont suffisamment bien attachés ensemble. Ceci permet de lever l’hyperstaticité interne. La deuxième équation se développe comme ceci :

⎧ N1 N − N1 ⎛ 1 1 ⎞ N A1E1 N = ⇒ N1 ⎜ + ⇒ N1 = ⎪ ⎟= N =N +N A 1E 1 + A2E 2 N1 N2 σ1 σ2 ⎪ A1E1 A 2E2 ⎝ A1E1 A 2E 2 ⎠ A 2E 2 ε1 = ε2 ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎨ E1 E2 A1E1 A 2E2 A 2E2 ⎪ N − N2 = N2 ⇒ N ⎛ 1 + 1 ⎞ = N ⇒ N = N ⎟ 2⎜ 2 ⎪ AE A 2E2 A 1E1 + A 2E 2 ⎝ A1E1 A 2E 2 ⎠ A1E1 ⎩ 11 1

2

Et aussi :

ε1 = ε2 =

u L

⇒

N N u = 1 = 2 L A1E1 A 2E2

A1E1 u 1 ⎧ ⎪ N1 = A E + A E N ⇒ L = A E + A E N NL 1 1 2 2 1 1 2 2 ⇒ ⎪⎨ ⇒ u= A2E2 u 1 A1E1 + A 2E 2 ⎪N = N ⇒ = N ⎪⎩ 2 A1E1 + A2E2 L A1E1 + A2E 2

Principes qui se généralisent à toute poutre composée de n matériaux : AiEi NL Ni = N et u = A jE j A jE j

∑

∑

Appliquons ce principe, par exemple, au duo acier-béto acier-béton. n. On pose le coefficient d’équivalence σa σb σ E E (rapporté à l’acier) : n = a ⇒ ε a = εb ⇒ = ⇒ σa = σb a = nσ b ⇒ σ b = a Eb E a Eb Eb n

⎧ N ⎪ σa =  Aa ⎪ σ A ⎞ ⎛ On a donc l’effort normal : N = σa A a + σbAb = σ a Aa + a A b = σ a ⎜ A a + b ⎟ , ce qui donne : ⎨ n n ⎠ ⎝ ⎪ u = NL  ⎪ A  Ea A a ⎩ a

 = A + Ab avec A a a n

nommée la section homogénéisée.

NB : n est souvent pris comme étant le rapport du module de Young le plus grand sur le module de Young le plus petit (n est donc >1) 2.3.2

Principe de Saint-Venant Saint-Venant a observé que : « à une distance de l’extrémité égale à la plus grande dimension transversale de la pièce, la répartition des contraintes normales sur une section droite est pratiquement uniforme ». On énonce le principe de Saint-V Saint-Venant enant comme ceci : « ». Ceci n’et valable que pour les poutres massives (donc pas aux parois minces ou aux treillis).

2.3.3

Précontrainte La précontrainte consiste à utiliser deux matériaux pour une construction, dans l’unique but que si le premier matériau atteint sa limite de résistance, le deuxième « continue à résister » pour lui. Il existe deux types de précontraintes : la pré- et la post-tension.


7

• La prétension, décrite ci-contre, se modélise comme ceci : o

A l’étape 2, on tend le fil et on le met donc en traction

⎧⎪ N(a2) = P P: ⎨ 2 ⎪⎩ σ(a ) = P / A a

Nb( ) = 0 2

σb(2) = 0

o

A l’étape 3, on coule du béton

o

A l’étape 4, on relâche le fil et ce dernier a tendance à revenir à son état initial : il effectue donc une compression –P sur le béton par frottement (on applique les équations d’une poutre composée de 2 matériaux) : EaAa Eb A b ⎧ ( 4) 4 Nb( ) = −P ⎪ Na = −P E A + E A E a A a + Eb A b a a b b ⎨ 4 4 ⎪ σ(4) = N( 4) / A = −P / A ( ) ( )  σ = σ /n

⎩

o

a

a

a

a

b

a

Superposition des deux :

⎧ 0 ⎛ ⎞ Ea A a Eb A b (2) ( 4) ⎪ Na = Na + Na = P ⎜1− ⎟=P E a A a + Eb A b ⎪ ⎝ Ea A a + Eb A b ⎠ ⎨ ⎪ N0 = N(2) + N( 4) = −P EbAb b b ⎪ b E a A a + Eb A b ⎩

⇒ N0a + Nb0 = 0

On est donc dans un état d’autocontrainte, puisque les forces internes sont autoéquilibrées. P P ⎧ 0 (2) ( 4) ⎪ σa = σ a + σ a = A − A  ⎪ a a ⎨ ⎪ σ0 = σ(2) + σ( 4) = − P b b n ⎪⎩ b A a

o

P P Q ⎧ + ⎪ σa = A − A  A  ⎪ a a a Ainsi, si on applique maintenant une force extérieure Q : ⎨ ⎪ σ = − P + Q n A n ⎪⎩ b A a a   A ⇒ 1  1 ⇒ P  Q − P ⇒ P  Q , la force et comme A a a    Aa

Aa

Aa

Aa

Aa

Aa

extérieure modifie peu la précontrainte (mais il y a perte de stabilité dans le temps).

• La post-tension est décrite ci-contre. On tend ici le fil après le coulage du béton. Ceci se modélise comme ceci : o

o

⎧⎪ N(a2) = P A l’étape 2 : ⎨ 2 ⎪⎩ σ(a ) = P / A a

Nb( ) = −P 2

σ(b2) = −P / A b

Ainsi, si on applique maintenant une force extérieure Q : ⎧ σ = P + Q ⎪ a A A  ⎪ a a et on obtient le même résultat qu’au⎨ ⎪ σ = − P + Q n ⎪⎩ b Ab A a dessus : Q est négligeable

2.4. Effets thermiques La dilatation thermique s’exprime par ε th =

α



∆T



coeffi coef fici cien entt de élév él évat atio ion n unifo uniform rme e dilatation thermique de température

Si la structure est libre de se dilater (isostatique), aucune contrainte n’apparaît.


8

Mais si la dilatation est empêchée (hyperstatique), la structure va vouloir se dilater d’un coefficient ε th , mais il va apparaître des contraintes σréaction qui vont entièrement contrer cette dilatation en provoquant une compression de coefficient σréaction . Ainsi, la poutre ne bougera pas et il y aura équilibre :

εth + εréaction = 0 ⇒ ε th = −εréaction = −

σréaction E

⇒ α∆ T = −

σréaction E

⇒ σ réaction = −Eα∆ T

3. Tubes et anneaux • Modélisation générale : écrivons l’équation d’équilibre pour le schéma ci-contre :

∫

0 = −2N + 2

π /2

0

qr sin α dα = − 2N + 2qr

π /2

∫ sinα dα  0

⇒ N = qr

1

De plus, comme la section est beaucoup plus grande que l’épaisseur, l’épaisseur, on peut supposer que N qr ⎧ te ⎪⎪ σθ ≈ c = A = A l’allongement est identique partout, et donc : ⎨ 2 ⎪ ε = σθ = qr ⇒ u = ε r = qr θ ⎪⎩ θ E EA EA

• Tubes libres de se déformer longitudinalement r pr si t ≤ ⇒ σθ = 10 t o

o

Par effet Poisson : εz = −νε θ = −ν

σθ E

= −ν

pr Et

⇒ uz = ε zL = −ν

prL Et

• Récipient sous pression pAfond F pπr2 pr σθ pr On a toujours σθ = , mais en z : σz = = = = = t A circulaire Acirculaire 2πrt 2t 2 • Tubes longitudinalement indéformables pr On a toujours σθ = mais la déformation longitudinale est nulle εz = 0 (on se trouve dans un t état plan de déformation). De plus, si le matériau est élastique et isotrope : σz = νσθ

4. Treillis articulés Un treillis articulé est un ensemble de barres assemblées les unes aux autres à leurs extrémités articulées (aux nœuds). Rappelons que la présence de articulations annule la présence de moments, et fait bien d’un treillis une structure qui ne comporte que des efforts normaux N. La cellule de base d’un treillis est le triangle (le carré est instable, voir ci-contre). Pour qu’un treillis soit isostatique, il faut que barres + réactions = 2noeuds Ensuite, pour déterminer les équilibres aux nœuds, il faut isoler chaque nœud, y indiquer les efforts normaux (et efforts extérieurs), puis écrire les équations d’équilibre. [ ... Coupe de Ritter ?! ... ]


9

Flexion

CHAPITRE 3.

1. Flexion pure : M z 1.1. Définition Une flexion pure est une poutre soumise à un M constant, san s aucun effet ⎛ dM = T = 0 ⎞ . On va utiliser l ’hypothèse de Bernoulli qui consiste à poser tranchant ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ que les sections planes restent planes et perpendiculaires (la flexion se fait dans le plan). Mettons cette hypothèse en équation en se basant sur le schéma ci-contre. Les deux triangles étant semblables, leur rapport base/hauteur sont i dentiques : ds s = −y R y

⇒

εx =

ds −y = s Ry

ds s

⇒

εx = −

y Ry

⇒ σx = −

Ey Ry

où R y est le rayon de

courbure. On peut vérifier que la flexion pure (d’un matériau élastique linéaire) ⎛ −Ey /R y 0 ⎞ respecte les équations constitutives. Si on pose τij = ⎜ ⎟ , on a : 0⎠ ⎝ 0

⎧ ∂ τ + f =? 0 ⎪ j ij i ⎨ ? ⎪ δijkδpqr∂ jqakr = 0 ⎩

respecté si fi = 0 respecté ca car τ ij linéaire

1.2. MNT et contraintes • Effort normal : N =

E

ydA = ∫ σ dA = − R ∫  A

x

y

A

yGA

⇒ yG = 0

0 

on est en flexion pure, il n'y pas de N

yG étant la distance entre le centre de gravité de A et le centre de gravité global du matériau, on peut dire que l’on se trouve dans les axes principaux d’inertie. Il n’y a donc pas de τ

⎧ Ty = ∫ τxy dA = ⇒ τxy = 0 0 A ⎪ on est en flexion pure, il n'y pas de T ⎪ • Effort tranchant : ⎨ ⇒ τxz = 0 0 ⎪ Tz = ∫ A τxzdA = on est en flexion ⎪ pure, il n'y pas de T ⎩ ⎧ EI EI E 2 ⎪ Mz = ∫A σx ydA = − ∫ A y dA = − z ⇒ Mz = − z Ry Ry Ry ⎪ ⎪ E E ⎪ yzdA = Iyz = 0 • Moment fléchissant : ⎨ My = ∫ −σxzdA = ∫ A Ry A Ry ⎪ caraxes ⎪ principaux ⎪ dA = 0 ⎪⎩ Mx = ∫ A ( τxz y − τxy z ) dA 





• Contraintes : σx = −

Ey Ry

et Mz = −


E Iz Ry

⇒ σx = Ey

Mz E Iz

⇒

σx =

Mzy Iz

10

1.3. Sécurité des pièces fléchies Pour des calculs de sécurité, il faudra connaître la contrainte maximale. Comme σx =

Mzy , Iz

celle-ci est simplement la contrainte lorsque y est maximal : σx = Mz y sup/inf /Iz 1.3.1

Modules de résistance et de rigidité

• On définit

Iz y sup/inf

en tant que module de résistanc résistance e en flexion : σx =

• On définit E Iz en tant que module de rigidité en flexion : 1.3.2

M Iz / y sup/inf

1 M =− Ry E Iz

Moment d’inertie

• Pour un rectangle : Ix,base =

bh3 3

Ix,centre =

bh3 12

⎧ Ix = Ix + b2A ⎪ • Formule de Steiner : ⎪⎨ Iy = Iy + a2A ⎪ ⎪⎩ Ixy = Ix y + ab A • Calcul par décomposition : Ix = ∑ (Ix + bi2Ai ) C

C

C C

Ci

• Aux axes principaux : les moments Ix et Iy sont maximaux, Ixy = 0 1.3.3

Rendement géométrique Pour diminuer les contraintes σx = Iz =

My M I = , on doit augmenter z , mais en augmentant y Iz Iz / y

∫ y dA , on augmente y. On va donc tenter de trouver un juste milieu à l’aide du 2

A

rendement géométrique, comparant notre géométrie à la si tuation idéale. Ce 2

2

2

A ⎛h⎞ ⎛h⎞ profil idéal est celui où Ith = 2 ⎜ ⎟ = A ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

aire



⎛h⎞ A⎜ ⎟ ⎛ Ith ⎞ h 2 ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ ⎠ = A h 2 ⎝ ysup/inf ⎠th

y2G

2

On définit alors le rendement géométrique comme I/y I/ y sup/inf ceci : ηe = et on remarque que le profil en I (I/ ysup/inf )th possède le meilleur rendement.

1.4. Poutres composées de deux matériaux Comme pour le cas de la traction/compression où on avait posé une section de référence  = A + Ab (homogénéisation), on va ici poser un moment d’inertie de référence : I = I + Ib A a a a a n n


11

2.

Flexion simple (cisaillement) : T y et M z 2.1. Définition On a ici la présence d’un moment Mz variable (donné par σx = My/Iz , puisque T n’influence que peu σx ) et donc d’un effort tranchant T y, donné par Ty =

∫

τxy

A

dA . Remarquons que



contraintes de cisaillement

Ty n’intervient pas dans σx =

My , car il ne perturbe que peu les contraintes normales, de Iz

même pour la courbure. Si on compare les figures ci-contre, on trouve pour 1/2 : Iz = 2 3

I a4 a3 ; z =2 et 12 ymax 6

2

pour 3 : Iz = a ( 2a 2a ) /12 ; Iz /y / ymax = 2a (2a 2a ) / 6 , donc 3 est 4x plus rigide et 2x plus résistant.

2.2. Théorie de Jourawski On va ici déterminer les contraintes rasantes τyx , présentes à l’intérieur de la poutre fléchie (voir ci-contre), et on trouvera ensuite les contraintes de cisaillement car τxy = τyx . Pour ce faire, utilisons l’équation d’équilibre ∂ jτijij + fi = 0 : 

∇τij + fi = 0 ⇒



∫∫∫ ∇τ dV + ∫∫∫ f dV = 0 V

ij

V i



⇒  ∫∫ S τijn dS + ∫∫∫V f idV = 0 . Cette équation, 

T (n)

portée en x, où il n’existe aucune force de volume (le poids est en y), donne :

 ∫∫ S Tx

(n)

dS + dS

∫∫∫ f dV = 0 V x

n x n −x ⇒  ∫∫ S Tx( )dS = ∫∫Σ Tx( )dS + ∫∫Σ′ Tx( )dS + ∫∫coupe AA 'B 'B Tx( ) dS + ∫∫S

latérale

Tx( ) dS = 0 n

(NB : ici T n’est pas l’effort tranchant mais bien le tenseur des contraintes projeté selon une direction précisée en exposant) On va supposer ici qu’il n’y a pas de force tangentielle en surface (on s’en occupera par après), et que la poutre est prismatique ( Σ = Σ ′ ) :

∫∫ ⎡⎣T( Σ

x

− x)

+ Tx( x) ⎤⎦ dS + ∫∫coupe AA 'B ' B Tx(n) dS +

∫ ∫ T( ) dS Slatérale

n x

∫∫ ⎡⎣σ

=0 ⇒

Σ

x

( x + dx ) − σ x ( x )⎤⎦ dS + ∫∫co 'B τnxddx = 0 coupeAA'B upeAA'B

pas de force tangentielle en surface

⇒

∂σ ∫∫Σ ∂xx dxdS + ∫∫coupe AA 'B 'B τnxddx = 0

indépendant

⇒

de x

Mettons maintenant l’hypothèse de Bernoulli : ∂σx ∂Mz y My y σx = z ⇒ = = Ty ⇒ AB τnxd = − ∂x ∂x Iz Iz Iz

∫

∂σx dS + ∫ τnxd = 0 ⇒ AB Σ ∂x

∫∫

y

∫∫ T I Σ

y

dS = −

z

Ty

∫∫

ydS Σ Iz 

∫

τ d = − ∫∫Σ AB nx

∂σx dS ∂x

où S ( Σ ) est le moment

S( Σ)

statique de Σ . Afin de résoudre l’intégrale du membre de gauche, on va prendre ici la valeur Ty Ty S ( Σ ) moyenne (constante) de τnx ⇒ τ τ d ≈ d  = τ nx d = − S (Σ ) ⇒ τ nx = − n x n x AB AB AB Iz Iz 

∫

∫

∫





n =− y

Dans le cas particulier où AB est parallèle à Oz : τnx = − τyx = − τ xy


⇒

τ xy =

Ty S ( Σ ) Iz

b

( STIB )

12

2.3. Moments statiques Le moment statique défini au point précédent est un moment géométrique par rapport au xdA Sy centre. En effet, les coordonnées du centre géométrique sont : xc = A = A dA

∫ ∫

A

yc =

∫ ydA = S ∫ dA A A

x

⇒

S = A yc

A

Le moment statique d’une surface d’aire Σ est égal au produit de l’aire Σ par la distance de son centre géométrique à l’axe. Si cet axe passe par le centre géométrique, alors le moment statique est forcément nul. Ainsi, pour la section ci-contre, on aura deux choix de calcul :

• Méthode standard : S ( Σ ) =

∫

• Méthode simplifiée : S ( Σ ) =

b

0

dx

h/ 2

∫ y

ydy =

⎤ b 2 h/2 b ⎡h2 ⎡⎣y ⎤⎦ = ⎢ − y 2 ⎥ y 2 2⎣ 4 ⎦

h/2 + y ⎛ h ⎞ b⎜ − y ⎟ 2 ⎝2 ⎠   yG

Σ

On obtient alors les contraintes avec la formule de Jourawski : τxy =

Ty S ( Σ ) Iz

b

est une parabole valant 0 en ± h/2 et qui est maximum au centre : τmax = xy

=

Ty 1 ⎡ h2 ⎤ − y 2 ⎥ qui ⎢ Iz 2 ⎣ 4 ⎦

Ty h2 ???? 3 Ty = Iz 8 2A

2.4. Parois minces La formule de Jourawski donne une bonne précision pour les parois minces : T S (Σ) . La structure comporte un flux de cisaillement donné par τ xn ≈ τ xn = − y Iz t

τxnt = −

Ty Iz

S (Σ ) = −

Ty Iz

∫∫ A

t = cte

ydA = −

Ty Iz

s

∫ yt ds . Ce flux se conserve à travers les parois 0

comme le ferait un courant électrique ou un débit (loi des nœuds).

• Pour les parois minces ouvertes, c’est-à-dire les parois pour lesquelles il n’existe pas de chemin fermé parcourant toute la section, τxn = −

Ty S ( Σ ) Iz

t

(qui est maximum en Smax ( Σ ) ). Par

contre, tout changement brutal induit des concentrations (et donc des discontinuités) de contraintes, ce qui est, selon Saint-Venant, mal interprété par les formules de Jourawski. On va donc y rajouter des facteurs de concentration de contraintes. 4 o Sous effort normal : σ P max = K t σno min ale = K t πd2 32 o Sous effort fléchissant : σ M max = K t σno min ale = K t πd3

• Pour les parois minces fermées (comme les poutres tubulaires), on a difficile à appliquer Jourawski car il n’existe plus d’endroit où le flux f de cisaillement est connu à priori.

2.5. Déformation due au cisaillement Selon la loi de Hooke, on a τxy = G γ xy . Seulement τxy n’est pas uniforme et donc γ xy (déformations) non plus. De ce fait, les sections vont gauchir (= être déformées) et l’hypothèse de Bernoulli n’est plus rigoureusement satisfaite. Seulement, dans le cas où h << L, cet effet de gauchissement est négligeable et on peut donc dire qu’à ce moment là, Bernoulli est applicable : c’est la généralisation de l’hypothèse de Bernoulli.


13

2.6. Calcul des assemblages Il existe trois types d’assemblages : longitudinaux, transversaux (joints) et les nœuds. L’analyse des assemblages est assez complexe donc on préfère faire des tests ELU en laboratoire (principalement des cisaillements directs et des ruptures d’assemblages).

• Cisaillement direct L’assemblage de deux poutres par un rivet ci-contre ne peut être modélisé par une poutre en traction N. En effet, le rivet génère des contraintes responsables de discontinuités qui ne plaisant pas vraiment à Saint-Venant. De plus, le cisaillement n’est pas pur. En pratique, on calcule comme ceci : τm =

F ≤ τadm A déterminé par 

des essais

• Assemblages longitudinaux Il est possible de résoudre analytiquement les assemblages longitudinaux... [???]

3.

Flexion oblique (gauche) : T y, T z, M y et M z 3.1. Définition La flexion oblique apparaît lorsque les sollicitations ne sont pas portées par les axes principaux mais selon des axes quelconques de direction α Du coup, on aura des moments fléchissant (pouvant être variables) selon deux directions : ⎧⎪ My = −M cos α où les M et les T respectent toujours les mêmes conventions de signes. ⎨ ⎪⎩ Mz = Msin α

3.2. Calcul des contraintes • L’effet de ces deux moments se superpose donc dans le calcul de la contrainte normale :

σx =

Mz y Myz . On trouve ainsi l’axe neutre (axe où les contraintes sont nulles σx = 0 ) + Iz Iy

comme ceci : σx =

Mz y Myz + =0 Iz Iy

⇒

Msin α y M cos α z − =0 Iz Iy

⇒ z=

I sin α y Iy = y y tan α Iz cos α Iz

• Pour le calcul des contraintes tangentielles, on utilise le théorème de Jourawski généralisé :

τnx = −

4.

Ty S ( Σ,z , z) Iz



−

Tz S ( Σ, y ) Iy 

Flexion composée : N, T y et M z 4.1. Définition La flexion composée apparaît dès qu’il existe une force qui n’est ni perpendiculaire, ni parallèle à la poutre considérée (exemple ci-contre). M, N et T sont ainsi présents. N My Pour une flexion composée ci-contre, on a σx = σN + σM = + z A Iz On voit sur le schéma que la superposition des deux effets peut donner trois solutions différentes : soit σx est positif partout, soit il est positif partout mais s’annule à l’extrémité supérieure, soit il est positif et négatif.


14

4.2. Position de l’axe neutre et noyau central Dans chacun des trois cas sur les schémas précédents, on définit un y 0 qui est la distance entre la force appliquée et l’annulation de σx . Il s’agit donc de y 0 tel que N Mz y 0 + =0 A Iz

⇒

Mzy 0 N =− Iz A

⇒ y0 = −

N Iz Mz A

On peut décrire cette double sollicitation M+N comme étant équivalente à la même force N excentrée en un point E d’une distance e (voir ci-contre). A ce N Iz I moment là, on a que Mz = Ne et l’axe neutre devient alors y 0 = − =− z Mz A eA On définit le noyau central comme étant la zone de la section telle que, si E s’y trouve, σx ne change pas de signe sur toute la section (deux premiers cas dans le schéma précédent).

4.3. Flexion composée oblique Si on a une flexion composée oblique, on a

σx =

⎛ 1 e y e z⎞ N Mz y Myz + + = N ⎜⎜ + y + z ⎟⎟ A Iz Iy Iy ⎠ ⎝ A Iz

Pour trouver la distance entre l’axe neutre ( σx = 0) et le point d’application E de la force :

⎛ 1 e y e z⎞ σx = N ⎜⎜ + y + z ⎟⎟ = 0 ⇒ d = dis tan ce (E, axe neutre ) = Iy ⎠ ⎝ A Iz


1 A

2

⎛ ey ⎞ ⎛ ez ⎞ ⎜ I ⎟ + ⎜⎜ I ⎟⎟ ⎝ z ⎠ ⎝ y ⎠

15

Torsion uniforme Mx

CHAPITRE 4.

1. Définition Définissons la torsion à partir de l’exemple d’un arbre cylindrique cicontre. Il s’agit d’une sollicitation où seul un moment M x selon l’axe longitudinal x apparaît. Dans l’exemple, ces moments sont notés T et sont appelés moments de torsion. Ils vont donc faire subir des rotations de sens opposé de part et d’autre du centre O. Remarquons que l’arbre cylindrique n’est attaché nulle part : on ne considère dans ce chapitre que des gauchissements libres. En effet, c’est le seul cas qui ne fait apparaître que M x, et donc τxy et τxz . Saint-Venant fait ici l’hypothèse que, en vue de toutes les symétries, chaque section droite doit tourner dans son plan autour de son centre O, comme un disque rigide. Ainsi, les sections planes restent planes et les angles au centre sont conservés.

• Les génératrices (« hauteur » du cylindre) vont donc se courber et devenir hélicoïdales, hélicoïdales, formant un angle α . On fait l’hypothèse que cet angle est très petit, de sorte que dx′ =

cos α ≈ 1 ⇒

dx ≈ dx (dx’ étant l’élément dx de la génératrice cos α

déformée). On voit donc qu’au niveau longitudinal, les longueurs se ⎧ε ≈0 conservent et il n’y a pas de contraintes qui apparaissent : ⎨ x ⎩ σx ≈ 0

• Par contre, au niveau de la section, il va y avoir des déformations. A une abscisse x, il y aura une rotation θx et à une abscisse x+dx plus loin, la rotation est plus importante : θx + dθx . Le fait que cette rotation soit plus importante en dx génère une déformation du rectangle abcd représenté dans le schéma ci-contre : il va devenir un parallélogramme abc’d’. Seulement, seuls les dθ angles changent : les cotés restent identiques : cc ' = dd ' = rd r dθx = γ dx ⇒ γrθ = r x dx dθx Comme on a du cisaillement pur, on applique la loi de Hooke : τrθ = Gγrθ = Gr qui se généralise dx en Mx = G J

dθx dx

(où J est la constante de torsion)

Pour Les poutres à section circulaire, J n’est rien d’autre que l’inertie polaire : πR 4 dθx dθx 2 avec I = Mx = r d A G r r d A G r d A τ = = p A rθ A A 2 dx dx 

∫∫

∫∫

∫∫ Ip

2. Essai de torsion Il est possible de déterminer G par des essais de torsion. Ces essais nous fournissent l’angle de torsion total θx = L

dθx dx

Mx = G J

=

dθx dx

L

Mx GJ

J =Ip =

πR4 2

= L

Mx 2 G πR 4

⇒ G=

2LMx θxπR 4

Or, on sait aussi que G = E /2 (1+ ν ) , donc on trouve ν (coefficient de Poisson) grâce à ces essais.


16

3.

Sécurité structurale des pièces tordues Selon le matériau utilisé, un type de critère est à appliquer :

• Matériaux ductiles Le critère de von Mises stipule que τe = o

o

Critère déterministe : τ ≤ τadm = Critère semi-probabiliste : Mx,d

σe 3

, ce qui donne :

σadm 3 ≤ Mx,dim

• Matériaux fragiles o

o

4.

τu γ Critère semi-probabiliste : Mx,d ≤ Mx,dim Critère déterministe : τ ≤ τadm =

Analogie de l’hydrodynamique Pour les sections qui ne sont pas circulaires, il n’existe pas de solution analytique : on doit trouver une solution approchée. Pour imaginer ce qu’il se passe au niveau du flux des contraintes de cisaillement dans les autres sections, on fait une analogie avec l’hydrodynamique. Par exemple, pour la section rectangulaire ci-contre, on imagine qu’il s’agit de la section du fond d’un bac d’eau que l’on fait tourner (effet de la torsion). L’eau va tourner autour du centre du bassin, et il va se développer un profil de vitesse. On va, dans notre analogie, dire que ce profil de vitesse est identique à celui des contraintes de cisaillement.

5. Parois minces 5.1. Section ouverte Dans le cas de parois minces, on a une épaisseur t beaucoup plus petite que la longueur b. On peut alors se permettre de dire que le profil des contraintes est linéaire, s’annulant au centre de l’épaisseur. Il faut remarquer que dans ce genre de configuration, il apparaît de forces contraintes dans les angles entrants (à la jonction des rectangles), que cette théorie ignore. On contre cet effet en rajoutant des congés de raccordement qui augmentent J.

5.2. Section fermée Si on veut comparer une section fermée (prenons la section tubulaire ci-contre) à une section ouverte, on utilise l’analogie de l’hydrodynamique. Dans le cas ouvert, « l’eau » va percuter les bords et va faire demi-tour. De ce fait, il y aura un flux dans les deux sens. Au contraire, dans le cas fermé, on a un flux qui ne va que dans un seul sens. De ce fait, ces contraintes peuvent développer un moment de torsion bien plus élevé : Mfxermé  Moxuvert . Ainsi, la section fermée est beaucoup plus résistante à la torsion que la section ouverte. Attention cependant aux instabilités (voir ci-contre).


17

CHAPITRE 5.

Calcul des déplacements

1. Motivation On utilise le calcul des déplacements pour déterminer les états limites de service point de vue rigidité (souvent plus exigeant que la résistance).

2.

Déformée due à la flexion Soit la poutre rectiligne ci-contre, soumise à des actions perpendiculaires à son axe, provoquant un déplacement. Si ce déplacement est petit, on pourra utiliser le tenseur des déformations évanouissantes. Cherchons donc l’équation de la déformée de l’axe (ou de la ligne élastique) à l’aide de cette hypothèse.

2.1. Equation différentielle et CL Comme les déplacements sont petits, la courbure est définie comme étant : 1 y ′′ = ≈ y′′ . Ainsi, on assimile la déformée (normalement étant parabolique) comme R y (1+ y′ 2 )3/2 étant un cercle. Comme on a 1 M =− = y′′ Ry EIz

⇒ EIzy ′′ = −M

dM =T dx

⇒

EIz y ′′′ = − T

dT =− q dx

⇒

EIzy ( ) = q ⇒ 4

y( ) = 4

q EIz

Cette équation se combine avec quatre conditions aux limites :

• Conditions sur y (position) : fixé par les appuis • Conditions sur y’ (rotation) : fixé par les appuis • Conditions sur y’’ (moment fléchissant M) • Conditions sur y’’’ (effort tranchant T) Certains exemples de conditions aux limites sont représentés ci-contre. Souvent, pour y et y’, on utilise les conditions de continuités (voir ci-contre).

2.2. Intégration directe Il est possible d’intégrer directement l’équation du quatrième ordre et de trouver ainsi y pour tout point x. Le problème c’est qu’on a besoin de y et θ en quelques points seulement (en général, les points où la flèche est maximale). Il faut donc trouver une autre méthode : c’est la méthode des travaux virtuels.

3.

Théorèmes des travaux virtuels et intégrales de Mohr Il existe deux types de théorèmes pour les travaux virtuels : soit on a des forces réelles et on fait apparaître des déplacements virtuels, soit on a des déplacements réels et on fait apparaître des forces virtuelles. virtuelles. L’idée de Mohr a été de considérer ce dernier cas en plaçant une force unitaire


18

dans le sens du déplacement cherché. Ainsi, on obtient comme équation d’équilibre de rotation : n f ′u dV +  Ti′( ) ui dS = aij dV = 1 . τi′j δ V i i S V

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ 

travail dû aux travail forces forc es virtu virtuelles elles de volume









force déplacement unitaire recherché

tenseurdes tens eurdes tenseu tenseurr de des s contraintes contr aintes déform déformations ations évanouissantes

travail dû aux travail forces force s virtu virtuelles elles de surface

Si on admet que M, N et T ne s’influencent pas, on peut dissocier leurs effets :

• Pour M :

∫∫∫

• Pour N :

∫∫∫

• Pour T :

∫∫∫

V

M′y My MM′ 2 MM′ dV = y dV = dx 2 V  I EI EI EI2 N′ N NN′ NN′ dV = dV = dx dA dA 2 V A EA V EA A  EA 2 T′S TS TT ′ A S2 TT ′ dV = dV = dx V Ib GIb V GA I2 b2  GA

τ′ij aij dV = ∫∫∫V

∫∫∫

τ′ a dV = ∫∫∫ V ij ij

V

∫

∫∫∫

τ′ij aij dV = ∫∫∫

∫∫

∫

∫∫

∫∫∫

∫

A

y 2dA =

MM′

∫ EI 

NN′ dx EA A S2 dA = A b2 I2      

= ∫

dx

∫∫

TT ′

∫ χ GA dx 

χ

Et donc : δ =

∫

MM′

∫

NN′

TT′

∫

dx + dx + χ dx  EA  EI GA Il y a aussi des effets dus à la température. Pour une élévation uniforme de température εx = α ∆T , 

et pour un gradient thermique ∆T′ ⇒ ε x = α

• Pour l’élévation de température ∆T : • Pour le gradient thermique ∆T′ :

Et donc : δ =

∫



MM′ dx + EI

∫



NN′ dx + EA

∫∫∫

V

∆T′ . On a donc : y h

N′ N′ α ∆T dV =  α ∆T dx A A M′ y ∆T′ M′∆T ′ y dV = α dx α V  I h hI

τ′ij aij dV = ∫∫∫V

∫∫∫

τ′ a dV = ∫∫∫ V ij i j

TT ′

M′∆T ′

∫ χ GA dx + ∫ N′ α ∆T dx + ∫ α h 





∫

∫∫

dA =

∫

∫∫

y 2 dA =

A

A

∫ N ′ α ∆T dx 

M′∆T ′ dx h

∫ α 

dx

Souvent, les différents effets sont négligeables devant celui de M et δ ≈

∫ 

MM′ dx EI

Les valeurs de ces intégrales, appelées intégrales de Mohr, sont tabulées selon la situation.

4.

Effet de l’effort tranchant L’effort tranchant implique un B=

A

T χ T gauchissement γ = χ = GA GB

où B est

l’aire réduite (différents exemples T d’aires réduites sont ci-contre). Ainsi, on a y ′ = GB


dT =− q dx

⇒

y ′′ = −

q GB

⇒ y ′′ = −

M q − EI GB

19

CHAPITRE 6.

Propriétés mécaniques des

matériaux

1. Essais Les propriétés mécaniques des matériaux sont des propriétés macroscopiques qui décrivent le comportement microscopique. Certaines de ces propriétés nécessitent des essais en laboratoires pour être connues.

1.1. Essai de traction/compression Ces essais sont purement unidimensionnels et les résultats sont également valables pour la flexion des poutres. Il existe des matériaux ductiles et des matériaux fragiles.

• Matériaux ductiles Toutes les déformations vont apparaître sous forme d’une variation de section (voir ci-contre). S’il y a rupture, elle aura lieu à cet endroit. Lors d’un essai de traction, le matériau va suivre plusieurs phases dans le plan des contraintes en fonction de l’allongement. o

La première phase est la phase linéaire élastique σ = ε E

o

La deuxième est le palier d’étirement (allongement sans variation de contrainte). Lorsque l’on traverse ce palier, il apparaît des bandes de Lüders (plans atomiques qui glissent successivement par cisaillement, voir ci-contre). Ces paliers disparaissent à la troisième phase et le matériau redevient mat.

o

La troisième est l’écrouissage : le matériau est en phase plastique et sa contrainte continue d’augmenter avec la déformation.

o

Si on stoppe cette déformation plastique, le matériau va suivre la courbe 4 dite de déchargement élastique

o

La cinquième phase est la striction : la contrainte est de moins en moins forte et le matériau finit par rompre en 6

• Matériaux fragiles Ces matériaux se rompent dès que la limite élastique est dépassée (le matériau ne peut être rendu plastique). On les caractérise par une limite de rupture en traction et une limite de rupture en compression (souvent plus importante). Les essais de compressions sont difficiles sur les matériaux fragiles : ils se fissurent (voir cicontre) juste avant la rupture mais on a pas le temps de voir apparaître ces fissures. On procède donc à des essais en traction nommés essais brésiliens (deuxième photo ci-contre). On trouve comme cela l’élongation axiale qui nous permet de trouver les autres élongations.


20

1.2. Essai de fatigue La fatigue est la diminution de la résistance à cause d’actions répétitives. Elle est d’autant plus forte si ces actions sont cycliques. Les résultats de ces essais se décrivent sur les courbes de Wöhler, assez difficiles et longues à réaliser. On sait qu’il existe toujours une contrainte σfat au-dessous de laquelle le matériau ne se rompt jamais. Pour les métaux, on a que σfat = 0,37 σt + 77MPa

2.

Effets de la température La température joue sur deux choses :

• La fragilité du matériau : si un matériau ductile possède un défaut, qu’il est sollicité dynamiquement par traction et qu’il est à basse température, il peut se rompre comme un matériau fragile. On détecte la température en réalisant un teste de résilience (résistance aux chocs), en calculant à chaque fois l’énergie utile à la rupture W = mg (h0 − h) pour une certaine température. On repère donc facilement la température de transition TTDF.

• La variation des propriétés mécaniques : la norme définit pour chaque matériau une résistance au feu RF.

3.

Effets différés • Fluage : il s’agit de l’accroissement de ε dans le temps lors d’un σ constant. Si la contrainte est élevée, on a le graphe cicontre de ε ( t ) . Par contre, si la contrainte est modérée (celle de l’état de service), alors ε se stabilise à une valeur ε∞

• Relaxation : il s’agit de la diminution de σ dans une pièce soumise à un ε constant (premier schéma ci-contre). • Recouvrance : récupération, après fluage, des propriétés initiales (deuxième schéma ci-contre).

4.

Modèles constitutifs • Modèle élastique : ce modèle est régi par la loi de Hooke : σ = εE en linéaire et σ = f ( ε ) en non linéaire. Il est caractérisé par le fait que le chemin de charge est le chemin de décharge (les déformations sont réversibles).

• Modèles élastoplastiques o

Parfaitement plastiques : le palier plastique est ici important (comme pour l’acier). On se sert de ces modèles pour faire des calculs plastiques. Ci-contre, un exemple de modèle élastique parfaitement plastique et un exemple de modèle rigide parfaitement plastique.

o

Avec écrouissage : on a ici une zone d’écrouissage et non plus une zone de palier.

Résistance des matériaux | Chapitre 5 : Propriétés mécaniques des matériaux

21

CHAPITRE 7.

1.

Calculs plastiques

Traction plastique 1.1. Calcul de la charge ultime et du gain On applique ici le modèle élastoplastique parfaitement plastique, et non plus le modèle élastique étant donné que la loi de Hooke ne prend pas en compte la placticité.

• Pour une pièce homogène, on a : Npl = Ne = Aσe • Pour une pièce composée de deux matériaux, on a la condition ε1 = ε 2 qui donne les valeurs σ Ne = A 1 e1

= A + avec A 1 1

A2 n

et Npl = A1σe1 + A 2 σe2

La plasticité offre un plus donné par le gain Gain =

Npl Ne

1.2. Contraintes résiduelles Une des propriétés intéressantes de la traction plastique sont les Npl ⎧

⎪ σrés 1 = σe1 −  A1 contraintes résiduelles. Elles sont définies par : ⎪⎨ . De ⎪ σ = σ − Npl e2 ⎪ rés 2  nA 1 ⎩ ce fait, on est dans état d’autocontraintes : A1 σrés 1 + A 2 σrés 2 = 0 . On voit sur le diagramme cicontre que le matériau 2 ne peut reprendre sa forme initiale à cause de ses déformations permanentes (il empêche donc l’autre de revenir à sa configuration initiale). Une structure ne se comporte plastiquement qu’à sa première mise en charge, après quoi elle se comporte élastiquement grâce aux contraintes résiduelles produites par la déformation plastique initiale.

2.

Flexion plastique plane [???]

Résistance des matériaux | Chapitre 6 : Calculs plastiques

22

CHAPITRE 8.

1.

Instabilités

Types d’instabilités Il peut y avoir des instabilités dans toute structure en compression :

• Flambement par compression pure • Déversement par flexion • Voilement par torsion Les phénomènes d’instabilités sont soit locaux, soit globaux.

2.

Flambement élastique Le flambement apparaît par divergence : la poutre se dérobe à l’effort normal de compression en fléchissant transversalement. L’étude de ce phénomène doit prendre en compte le fait que les déplacements sont importants (on dira qu’ils le sont mais que les rotations sont modérées) et qu’il y a des non-linéarité matérielles (que l’on ne considérera pas). On dit qu’un flambement est stable si la poutre reprend sa forme initiale lorsqu’on supprime la force de compression.

2.1. Causes de flambement Le flambement apparaît si :

• Il existe déjà une courbure initiale : en compression, la courbure augmente et donc M augmente • Il y a excentrement de la charge de compression : un moment se rajoute et donc le moment sur Ω′ devient M= F e 



forcede distance compression d'excentricité

M = F (e + y )

• Il existe des charges axiales transversales : un moment M = rajoute et donc le moment sur Ω′ devient M = Fy +

Qx se 2

Qx 2

2.2. Calcul de la charge critique eulérienne Puisque les rotations sont modérées, on a

1 M = y′′ = − R EI

⇒ y ′′ = −

M où M est une fonction de F, EI

de y, ... Dans le cas de la poutre comprimée excentriquement : on a trouvé F EIπ2 M = F ( e + y ) ⇒ y ′′ = − ( e + y ) , ce qui amène à trouver que Fcr = 2 . Ainsi, la charge critique EI L est indépendante de l’excentricité e. Cette charge existe toujours, même si la poutre est parfaite et parfaitement sollicitée (compression non excentrée). Dans le cas parfait, on parle

Résistance des matériaux | Chapitre 7 : Flambement

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de flambement eulérien et on trouve une charge critique eulérienne : Fcr =

EI π2 L2k

où L k est la longueur

de flambement (exemples ci-contre), et I est pris comme le plus faible de la section (l’axe de ce I est l’axe de flambement). Cette théorie d’Euler est valable uniquement si

3.

σcr =

Fcr ≤ σp A

Imperfections industrielles Les pièces industrielles ont des imperfections inévitables, aussi bien géométriques (forces toujours excentrées, dimensions réelles différentes des dimensions nominales) que matérielles (contraintes résiduelles, matériau non homogène).

Résistance des matériaux | Chapitre 7 : Flambement

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Mécanique Des Structures

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