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CHAPTER
MECHANICS MECHA NICS OF OF MATERIALS Ferdinan Ferdi nand d P. P. Beer E. Russell Joh Johnst nst on, Jr. John Jo hn T. DeWol DeWolf f Lecture Lectur e Notes: Notes: J. Walt Oler Texas Tech Tech Univers it ity y
Flexió lexión n Pura
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Flex Fl exió ión n Pu Pura ra (P (Pág ág.. 18 182) 2) Pure Bending Other Loading Types Symmetric Member in Pure Bending Bending Deformations Strain Due to Bending Beam Section Properties Properties of American Standard Shapes Deformations in a Transverse Cross Section Sample Problem 4.2 Bendingg of Members Made of Several Bendin Materials Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material
Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material Plastic Deformations of Members With a Single Plane of S... Residual Stresses Example 4.05, 4.06 Eccentric Axial Axial Loading in a Plane of Symmetry Example 4.07 Sample Problem 4.8 Unsymmetric Bending Example 4.08 General Case of Eccentric Axial Loading
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Flex Fl exió ión n Pu Pura ra (P (Pág ág.. 18 182) 2) Pure Bending Other Loading Types Symmetric Member in Pure Bending Bending Deformations Strain Due to Bending Beam Section Properties Properties of American Standard Shapes Deformations in a Transverse Cross Section Sample Problem 4.2 Bendingg of Members Made of Several Bendin Materials Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material
Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material Plastic Deformations of Members With a Single Plane of S... Residual Stresses Example 4.05, 4.06 Eccentric Axial Axial Loading in a Plane of Symmetry Example 4.07 Sample Problem 4.8 Unsymmetric Bending Example 4.08 General Case of Eccentric Axial Loading
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Flexión Pura (Pág. 182)
Flexión Pura:
Miembros prismáticos sometidos a cargas iguales y opuestas actuando en el mismo plano longitudinal.
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Otros tipos de Cargas (Pág. 182-183) •
•
•
Carga Excéntrica:
Carga axial que no pasa por el centroide produce fuerzas internas equivalentes a una fuerza axial y a un par. Carga Transversal:
Concentrada o distribuida la carga transversal produce fuerzas internas equivalentes a una fuerza cortante y a un par. Principio de Superposición:
La tensión normal debido a la flexión pura se puede combinar con el esfuerzo normal debido a la carga axial y la tensión del cortante para encontrar el complete estado de esfuerzo.
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Elemento simétrico sometido a Flexión Pura •
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(Pág. 185)
Las fuerzas internas en cualquiera sección transversal de un elemento simétrico en flexión pura son equivalentes a un par. El momento de dicho par se conoce como Momento Flexionante
•
Por Estática, un par M consiste de dos fuerzas iguales y opuestas. La suma de los componentes de las fuerzas en cualquier dirección es cero.
•
•
•
El momento es el mismo sobre cualquier eje perpendicular al plano de la par y cero sobre cualquier eje contenida en el plano.
Estos requisitos pueden aplicarse a las sumas de los componentes y los momentos de las fuerzas internas elementales estáticamente indeterminadas. F x x dA 0 M y z x dA 0 M z y x dA M
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Deformaciones debido a flexión pura (Pág. 185-186) Deformaciones en un elemento simétrico sometido a flexión pura: •
•
•
•
•
•
El elemento debe de ser simétrico. Curvas uniformemente para formar un arco circular Plano transversal atraviesa el centro del arco y permanece plana. Longitud de superior disminuye y la longitud de fondo aumenta. Una superficie neutral debe existir, es paralela a las superficies superiores e inferiores y no cambia la longitud. La deformación y el esfuerzo son negativos (compresión) bajo el eje neutro son positivo (tensión).
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Tensión debido a la flexión (Pág. 185-186) Consideremos un segmento de viga de longitud L. Después de la deformación, la longitud de la superficie neutral permanece a la misma longitud L. En otras secciones, L y
L L y y y y (Deformación varía x L linealmente)
m
c
x
y c
or m
ρ
c
m
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Tensión debida a la flexión (Pág. 188) •
Para un material elástico lineal, y x E x E m c y m (Esfuerzo varía linealmente) c
•
Por el equilibrio estático, y
F x 0 x dA m dA c
0 m y dA c
Primer momento con respecto al plano neutro es cero. Por lo tanto, la superficie neutral debe pasar por el centroide de la sección.
•
Por el equilibrio estático, y M y x dA y m dA c M
m
m
c
2 y dA
Mc I
m I c
M S
y Substituting x m c
x
My I
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Propiedades de las sección transversal de las vigas (Pág. 189) •
La tensión normal máxima debido a la flexión, m
Mc
M
I S I section moment of inertia S
I c
section modulus
Una sección de la viga con un módulo de la sección más grande tendrá una menor tensión máxima •
Considere una viga se sección transversal rectangular, S
I c
1 12
bh3
h2
16 bh2 16 Ah
Entre dos vigas con la misma área seccional transversal, la viga con la mayor profundidad será más eficaz en la resistencia de flexión. •
Vigas de acero estructurales están diseñadas para tener un módulo de gran sección.
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Propiedades de perfiles laminados de acero (A-15…)
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Deformaciones en una sección transversal (Pág. 191) •
Deformación debido a la flexión momento M es cuantificada por la curvatura de la superficie neutral 1 m m 1 Mc Ec Ec I c
•
EI
Aunque los planos de sección transversal permanecen planas cuando es sometido a momentos de flexión, las deformaciones en el plano son distintos de cero, y
•
M
x
y
z
x
y
Expansión por encima de la superficie neutra y contracción debajo de él causa una curvatura en el plano, 1
Curvatura anticlástica
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Problema modelo 4.2 (Pág. 193) SOLUCIÓN: •
Basado en la geometría de la sección transversal, calcular la ubicación del centroide de la sección y momento de inercia. y A 2 Y
•
Una sección de una máquina de hierro colado se somete a un par de 3 kN-m. Si E = 165 GPa y se desprecia el efecto de los filetes, determine (a) los esfuerzos máximos de tensión y compresión en el elemento fundido, (b) su radio de curvatura.
I x I A d
Aplicar la fórmula de flexión elástica para encontrar las tensiones de tracción y compresión máximas. m
•
A
Mc I
Calcular la curvatura 1 M EI
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Problema modelo 4.2 (Pág. 193) SOLUCIÓN: Basado en la geometría de la sección transversal, calcular la ubicación del centroide de la sección y momento de inercia. Area, mm 2 y , mm
y A, mm3
1 20 90 1800
50
90 103
2 40 30 1200
20
24 103
A 3000
y A 114 103
y A 114 103 38 mm Y 3000 A I x I A d 2 1 bh3 A d 2 12
121 90 203 1800122 121 30 403 1200182
I 868 103 mm 868 10-9 m4
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Problema modelo 4.2 (Pág. 193) •
Aplicar la fórmula de flexión elástica para encontrar las tensiones de tracción y compresión máximas. m A
Mc I M c A
3 kN m 0.022 m
A 76.0 MPa
868 109 mm 4 M c B 3 kN m 0.038 m 131.3 MPa B B I 868109 mm4 •
I
Calcular la curvatura 1 M EI
3 kN m
165 GPa 86810-9 m4
1 20.95 103 m-1 47.7 m
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Flexión de elementos hechos de varios materiales (Pág. 198) •
•
Considere una viga compuesta formada de dos materiales con E 1 y E 2. La deformación normal es lineal. x
•
y
Por trozos variación lineal tensión normal. E y 1 E 1 x 1
E y 2 E 2 x 2
Eje neutro no pasa por el centroide de la sección de la sección compuesta. •
Son fuerzas elementales en la sección E y E y dF 1 1dA 1 dA dF 2 2dA 2 dA
x
My
1 x
•
I
2 n x
Definir una sección transformada tal que dF 2
nE 1 y
E y dA 1 n dA
n
E 2 E 1
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Example 4.03 (Pág. 200) SOLUCIÓN: •
•
•
Una barra obtenida uniendo piezas de acero (Steel) ( E s = 29x106 psi) y latón (Brass) ( E b = 15x106 psi). Determine los esfuerzos máximos en el acero y el latón cuando la barra se somete a flexión pura con un momento 40 kip*in es aplicado.
•
Transformar la barra con una sección transversal equivalente hecha de latón Evaluar las propiedades seccionales transversales de la sección transformada Calcular la tensión máxima en la sección transformada. Esta es la correcta tensión máxima para las piezas de latón de la barra. Determinar la tensión máxima en la porción de la barra de acero multiplicando la tensión máxima de la sección transformada por la relación de los módulos de elasticidad.
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Ejemplo 4.03 SOLUCIÓN: Transformar la barra con una sección transversal equivalente hecha de latón. •
n
E s E b
29 106 psi 6
15 10 psi
1.933
bT 0.4 in 1.933 0.75 in 0.4 in 2.25 in •
Evaluar las propiedades seccionales transversales transformadas. 3 I 1 bT h3 1 2.25 in.3 in 12
12
5.063 in 4 •
Calcular el esfuerzo máximo m
Mc I
40 kip in 1.5 in 5.063in
4
11.85 ksi
b max m s max n m 1.93311.85 ksi
b max 11.85 ksi s max 22.9 ksi
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Vigas con concreto reforzado (Pág. 200-201) •
•
•
•
Vigas de hormigón sometidas a flexión momentos son reforzadas por las barras de acero. Las barras de acero llevan toda la carga extensible debajo de la superficie neutra. La parte superior de la viga de hormigón lleva la carga compresiva. En la sección transformada, el área de sección transversal del acero (steel), As , se reemplaza por el área equivalente nAs donde n = E s /E c. Para determinar la localización del eje neutro, x
bx n As d x 0 2
1 b x 2 2 •
n As x n As d 0
La tensión normal en el hormigón y el acero x
My
c x
I
s n x
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Sample Problem 4.4 SOLUTION: •
•
•
A concrete floor slab is reinforced with 5/8-in-diameter steel rods. The modulus of elasticity is 29x106psi for steel and 3.6x106psi for concrete. With an applied bending moment of 40 kip*in for 1-ft width of the slab, determine the maximum stress in the concrete and steel.
Transform to a section made entirely of concrete. Evaluate geometric properties of transformed section. Calculate the maximum stresses in the concrete and steel.
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Sample Problem 4.4 SOLUTION: Transform to a section made entirely of concrete. •
n
E s
E c
29 106 psi 6
3.6 10 psi
8.06
2 5 nAs 8.06 2 in 4.95 in 2 4 8 •
Evaluate the geometric properties of the transformed section. x 12 x 4.954 x 0 2
x 1.450 in
3 2 I 1 12 in 1.45 in 4.95 in 2 2.55 in 44.4 in 4 3
•
Calculate the maximum stresses. c
Mc1 I
s n
Mc2 I
40 kip in 1.45in 44.4in
8.06
c 1.306 ksi
4
40 kip in 2.55 in 44.4in
4
s 18.52 ksi
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Concentración de esfuerzos (Pág. 201-202)
Concentración de esfuerzo puede ocurrir: en las cercanías de puntos donde las cargas se aplican
•
•
en las cercanías de cambios bruscos de sección transversal
Mc m K I
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Deformaciones Plásticas (Pág. 209) •
•
Para cualquier miembro sometidas a flexión pura y x m La deformación varia linealmente a c través del la sección transversal Si el miembro está hecho de un material elástico lineal, el eje neutro pasa por el centroide de la sección My x I
•
y Para un material con una curva del esfuerzodeformación, tiene que satisfacer la condición del eje neutro. En donde, F x x dA 0
•
M y x dA
Para un miembro con planos verticales y horizontales simétricos y un material con la misma relación de tensión de tracción y compresión, el eje neutro está situado en el centroide de la sección y la relación de tensión puede usarse para cartografiar la distribución de esfuerzos.
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Deformaciones Plásticas •
•
Cuando la tensión máxima es igual a la última fuerza del material, se produce el fallo y el correspondiente momento se conoce como el último momento de flexión . El modulo de ruptura en la flexión, R B, se encuentra un valor determinado experimentalmente de M U hace una distribución ficticia de esfuerzos. R B
•
M U c I
R B puede ser usada para determiner M U de
cualquier miembro de hecho del mismo material y con la misma forma seccional cruzada pero diferentes dimensiones.
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Miembros hechos de material elastoplásticos. (Pág. 210) •
Una viga hecha de material Elastoplásticos x Y
m
Mc I
I m Y M Y Y maximum elastic moment c •
Si se aumenta el momento más allá del máximo momento elástico, las zonas plásticas se desarrollan alrededor de un núcleo elástico. M
•
2 3 M 1 1 yY 2 Y 3 2
c
yY elastic core half - thickness
En el límite según el momento aumenta aún más, el espesor de núcleo elástico va a cero, correspondiente a una deformación plástica completamente. M p 3 M Y plastic moment 2
k
M p M Y
shape factor (depends only on cross section shape)
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Deformaciones plásticas de los miembros con un solo plano de simetría (Pág. 214) •
•
•
Totalmente plástico de la deformación de una viga con sólo un plano vertical de la simetría. El eje neutro no se puede suponer que pasa a través del centroide. Las Resultantes R1 y R2 de los elementos de compresión y tensión forman un par. R1 R2 A1 Y A2 Y
El eje neutro de la sección se divide en áreas iguales •
El momento plástico será, M p 1 A Y d 2
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Esfuerzos Residuales (Pág. 214) •
•
•
•
Zonas plásticas se convierten en un miembro hecho de un material elastoplásticos si el momento flector es bastante grande. Puesto que la relación lineal entre la deformación y el esfuerzo normal se aplica en todos los puntos durante la fase de descarga, podrán ser manipulados para que sea completamente elástico. Tensiones residuales se obtienen aplicando el principio de superposición para combinar las tensiones debido a la carga con un momento M (deformación elastoplásticos) y descarga con un momento - M (deformación elástica). El valor final del estrés en un punto en general, no será cero.
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Example 4.05, 4.06 A member of uniform rectangular cross section is subjected to a bending moment M = 36.8 kN-m. The member is made of an elastoplastic material with a yield strength of 240 MPa and a modulus of elasticity of 200 GPa. Determine (a) the thickness of the elastic core, (b) the radius of curvature of the neutral surface. After the loading has been reduced back to zero, determine (c) the distribution of residual stresses, (d) radius of curvature.
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Example 4.05, 4.06 •
Thickness of elastic core: 2 3 M 1 yY 1 2 Y 3 2
M
36.8 kN m yY c • •
Maximum elastic moment: I c
23 bc2 23 50 103 m 60 103 m 120 106 m3
I M Y Y 120 106 m3 240 MPa c 28.8 kN m
2
yY
60 mm
c
2 3 28.8kN m 1 1 yY 2 3 2
0.666
c
2 yY 80 mm
Radius of curvature: Y 240 106 Pa Y E 200 109 Pa
1.2 103 y Y Y
yY
Y
40 103 m 3
1.2 10
33.3 m
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Example 4.05, 4.06
•
M = 36.8 kN-m yY 40 mm
Y 240 MPa
•
M = -36.8 kN-m
m
Mc
36.8 kN m
120106 m3 306.7 MPa 2 Y I
•
M = 0 At the edge of the elastic core, x 35.5 106 Pa x E 200 109 Pa
177.5 106
yY
x
40 103 m 177.5 106
225m
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•
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Carga axial excéntrica en un plano de simetría. (Pág. 223) •
La distribución de esfuerzos debido a una carga excéntrica original puede obtenerse superponiendo la distribución uniforme del esfuerzo correspondiente a las cargas excéntricas (P` y P) y los pares flectores (M` y M) x x centric x bending
•
Carga excéntrica F P M Pd
•
P My A
I
Validez requiere tensiones por debajo del límite proporcional, las deformaciones tienen efecto insignificante en la geometría y tensiones no deben evaluarse cerca de los puntos de aplicación de carga.
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Example 4.07 SOLUTION: •
•
•
An open-link chain is obtained by bending low-carbon steel rods into the shape shown. For 160 lb load, determine (a) maximum tensile and compressive stresses, (b) distance between section centroid and neutral axis
•
Find the equivalent centric load and bending moment Superpose the uniform stress due to the centric load and the linear stress due to the bending moment. Evaluate the maximum tensile and compressive stresses at the inner and outer edges, respectively, of the superposed stress distribution. Find the neutral axis by determining the location where the normal stress is zero.
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Example 4.07 •
Normal stress due to a centric load 2 A c 2 0.25 in
0.1963in 2 0
P A
160 lb 0.1963in 2
815 psi •
Equivalent centric load and bending moment P 160 lb M Pd 160 lb0.6 in
104 lb in
•
Normal stress due to bending moment 4 I 1 c 4 1 0.25 4
4
3.068103 in 4 Mc 104 lb in 0.25 in m I .068103 in 4 8475 psi
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Example 4.07
•
Maximum tensile and compressive stresses t 0 m
815 8475 c 0 m 815 8475
t 9260 psi
c 7660 psi
•
Neutral axis location 0
P My0 A
I
3.068103 in 4 y0 815 psi 105lb in A M P I
y0 0.0240in
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Sample Problem 4.8 The largest allowable stresses for the cast iron link are 30 MPa in tension and 120 MPa in compression. Determine the largest force P which can be applied to the link. SOLUTION: •
•
•
From Sample Problem 2.4, A 3 103 m2 Y 0.038 m I 868109 m4
•
Determine an equivalent centric load and bending moment. Superpose the stress due to a centric load and the stress due to bending. Evaluate the critical loads for the allowable tensile and compressive stresses. The largest allowable load is the smallest of the two critical loads.
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Sample Problem 4.8 •
Determine an equivalent centric and bending loads. d 0.038 0.010 0.028 m P centric load M Pd 0.028 P bending moment
•
Superpose stresses due to centric and bending loads 0.028 P 0.022 P Mc A P 377 3
9
P
3 10 868 10 A I 0.028 P 0.038 P Mc B P B 1559 P 3 9 3 10 86810 A I A
•
•
Evaluate critical loads for allowable stresses. A 377 P 30 MPa
P 79.6 kN
B 1559 P 120 MPa
P 76.9 kN
The largest allowable load
P 76.9 kN
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Flexión Asimétrica (Pág. 231) •
•
•
•
•
•
Análisis de la flexión pura se ha limitado a los miembros sometidos a flexión debido a pares que actúan en un plano de simetría. Los miembros siguen siendo simétricos y la curva en el plano de simetría. El eje neutro de la sección transversal coincide con el eje en donde se aplica el par Ahora tendrá en cuenta las situaciones en las que los pares de flexión no actúan en un plano de simetría. No puede asumir que el miembro se doblará en el plano de los pares. En general, el eje neutro de la sección no coincide con el eje donde se aplica el par.
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Flexión Asimétrica •
y 0 F x x dA m dA c or 0 y dA
El eje neutro pasa por el centroide Se propone hallar las condiciones precisas para que el eje neutro de una sección transversal de forma arbitraria coincida con el eje del par M, como se muestra •
La fuerza resultante y el momento de la distribución de fuerzas elementales en la sección deben satisfacer F x 0 M y M z M applied couple
•
y M M z y m dA c σ I or M m I I z moment of inerti c
define la distribución de esfuerzo
•
y 0 M y z x dA z m dA c or 0 yz dA I yz product of inerti
vector de par debe ser dirigida a lo largo de un eje centroidal principal
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•
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Flexión Asimétrica La superposición se aplica para determinar las tensiones en el caso más general de flexión no simétricas. Resolver el vector del par en componentes a lo largo de los ejes centroidal del principal. •
M z M cos •
M y M sin
Superponer las distribuciones de esfuerzo en componente x •
M z y M y y I z I y
A lo largo del eje neutro, M z y M y y
x 0 tan
y z
I z I z I y
I y
tan
M cos y M sin y I z
I y
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•
Example 4.08 SOLUTION: •
Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes and calculate the corresponding maximum stresses. M z M cos
•
M y M sin
Combine the stresses from the component stress distributions. M z y M y y
A 1600 lb-in couple is applied to a rectangular wooden beam in a plane forming an angle of 30 deg. with the vertical. Determine (a) the maximum stress in the beam, (b) the angle that the neutral axis forms with the horizontal plane.
x •
I z
I y
Determine the angle of the neutral axis. tan
y z
I z I y
tan
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Example 4.08 •
Resolve the couple vector into components and calculate the corresponding maximum stresses. M z 1600lb in cos 30 1386lb in M y 1600lb in sin 30 800 lb in 3 I z 1 1.5 in 3.5 in 5.359 in 4 12
3 I y 1 3.5 in 1.5 in 0.9844in 4 12
The largest tensile stress due to M z occurs along AB 1
M z y I z
1386lb in 1.75in 5.359 in
4
452.6 psi
The largest tensile stress due to M z occurs along AD 2 •
M y z I y
800 lb in 0.75in 0.9844in
4
609.5 psi
The largest tensile stress due to the combined loading occurs at A. max 1 2 452.6 609.5
max 1062 psi
E d h i i r t i d o n
MECHANICS OF MATERIALS
Beer
•
Johnston
Example 4.08 •
Determine the angle of the neutral axis. tan
I z I y
tan
3.143 72.4o
5.359in 4 0.9844in
4
tan 30
•
DeWolf
