tr-i tr-i Comp Compri rime ment nto, o, Area Area Volu Volume me Seme Semelh lhan anca ca
SO<" SO<"LE LEOA OADE DE BDOO BDOOAD AD PELA PELA <"\A <"\Asr srLE LEIR IR DE
ATRA ATRAVl Vl!s !s no CONv CONviA iATE TEMA MATI TICA CA
MECISESU/PROLICEN/UFNM ID
::I
::I
10
Conteudo
Copyright ©. 1991 1991 by Elon Elon Lage Lage Lima Lima
1. Comprimento Comprimento to
1.
t6ri t6ri 3. Exer Exerci ciei eios os
2. Area Area 1.
op o g
. D
e do do t
l d
11
. U
lh ne
3. 1.
2.
re
defi defini niea ea de semelhanca Teor Teorem em
3. . S
-II)
33 37
Fund Fundam amen enta ta
e a
4. Volum Volum 61
ta
62 70
D i ag ag ra ra m ac ac a
c o rn rn po po si si ca ca o
GRAFTEX Comunicacao Visual
No
is
79 89
Prefacio
"A prim primei eira ra regr regr doensin doensin
saber deve ensinar. ensinar. segunda, sabe sabe um poue poue mais mais doque aqui aquilo lo qu se deve deve ensi ensina nar. r. George George Poly
Este Este livr livrin inho ho
re
Impr Impres esso soes es pela pela SBM. SBM. vari varias as nota nota
os
revisao
ffo o feita 1991 1991 so patr patroe oein inio io de VITAE. Agradeeo pa ient ient pers perspi pi lare lareza za da corr corr cao, cao, qual qualid idad ad da apre aprese sent ntae aeao ao
ra
co abor aborac acao ao de ve
o off
arlo arlo Isna Isnard rd o orr
Elon Elon Lage Lage Lima Lima
Introducao
Etimo!ogicamente, geometria deno denomi mina naea ea greg greg just justif ific icad ad
pelo pelo hist histor oria iado do
Her6 Her6do doto to (see (seeul ul
atribui
Segu Segund nd ele, ele, Egit Egit ra dire direta ta ente ente do rio agricultores. Entao
ciencia. proprietaries
prop propor orci cion on
calcular volu volume me de ad depo deposi sito to de grao, Assim, ur ssun ssunto to ilen ilen r, rt gani gani da de od simp simple le em rela rela ao padr padroe oe atua atuais is Desc Descoh oher erta ta hist hist6r 6r ca re ente ente reve reve aram aram qu os conhecimendive divers rsos os povo povo que, que, dura durant nt 3000 anos anos ocup ocupar aram am suce sucess ssiv ivam amen ente te Meso Mesopo pota tami mia, a, regi regiao ao apro aproxi xima mada dame ment nt corr corres espo pond nden ente te ao Iraq Iraque ue do egip egipci cios os Isto Isto part partic icul ul rmen rmen verd verdad ad ir Alge Algebr br enos enos al ulos ulos nume numeri ri os
lh
er fami famili li
sa pr me ra homem.
il anos anos ante ante do pita pitag6 g6ri rico cos. s. noco noco
geom geomet etri ri as
desp desp rt re
inte intere ress ss
do
de seme semelh lhan anca ca
so
tigo tigo d~cu d~cume ment ntos os babi babilb lbni nico co rese rese ta
ante ante
so
os
fi ie es te emas emas se estruturada.
egip egipci cios os (que (que data data
rm de ecei eceita ta
eg
ra reso resolv lv
ul iv ra
coro corola lari ri
et
ss
ri ipio ipio
lica licare re
epet epet da ente ente
de apro aproxi xima mada da sses sses ro le as
erfe erfeic ic aram aram
co
il
el fo
otad otad
pela pela
seculo seculo dezessete dezessete Mais Mais expli explicit citam ament ente, e, cont conteu eudo do pass passam amos os desc descre reve ve suci sucint ntam amen ente te
reai reai posi positi tivo vos: s: inte inteir iros os raci racion onai ai tos Incom Incomens ensur urave aveis is
irra irraci cion onai ais. s.
noca noca de segm segmen en
quest questao ao da incom incomens ensura urabil bilida idade de
st
sa
retangulo comp comprim riment ent
geom geomet etri rico cos, s, quer quer prim primit itiv ivos os quer quer defi defini nido dos. s. st ivro ivro ntre ntreta ta to na corn cornee ee (por (por um ques questa ta de prin princi cipi pi ...). ...). Noss Noss obje objeti tivo vo medida trid tridim imen ensi sion onal al isto isto e, medi medida da de segm segmen ento to de reta reta (com (compr prim imen ento to), ), da como como medi medida da do obje objeto to geor georne netr tric icos os esta esta fort fortem emen ente te rela relaci cion onad ad
rn stra straea ea disc discus ussa sa
evol evoluc ucao ao
reve revela lare remo mo
as orig origen en da sa
adotad adotada. a.
ad
ca itul itul
er in
or Eu li es
um
ot
isto istori rica ca
ar
feit feit no Capi Capitu tulo lo 1.
de semelh semelhanc anc dada dada "com "comme me -.', co te ab rd ge tr icio icio al que
volu volume mes. s. Acom Acompa panh nhar arem emos os
es
numero
It,
'\
aut",
1,
di me ro No fina fina do apit apitul ul mimero 1t. s6lido s6lido
feit feit um
roni ronica ca resu resumi mida da sobr sobr
geomet geometric ricos, os, ra
pira pirami mide des, s, ou s6li s6lido do "red "redon ondo dos" s" qu
Principio
om ci indr indros os cone cone
odes odesto to
fera fera
upom upomos os esse essenc ncia ia ment ment
qu
om desdes-
le conh conh ea os
caso caso
rm duvi duvida dar, r, qu stio stiona nar, r, ndag ndag r, conj conj tura turar. r. ro ur gina gina cons constr truc ucoe oes, s, pesq pesqui uisa sa inte interc rcon on xo s, fore fore xerc xercit itar ar ment mente. e. Esse Esse proc proc ss ui cade cademi mias as de ginastica, prin princi cipi pi igua igua faze faze ex rcic rcicio ios. s. Temo Temo pois pois qu repe repeti ti part part
ng tula tulado do de Eucl Euclid ides es segu segund nd
refr refr sc fi ro
su
memo memori ria, a,
re ffo o
ri
sboe sboe hist hist6r 6ric ic da volu voluca ca da idei idei nele nele apre aprese sent nt da aque aque para para ontr ontrib ibui uieo eo de Arqu Arquim imed ed Cava Cavali li ri bern bern
pos-
inha inha reco recome mend ndae ae
reve reve
leit leitor or preci precisa sa sses sses ssun ssun
de
re
ra
dese ilustracoes, Os dese
o.
aqui aqui
ne essa essari ri In ro cami caminh nhos os imaimaraci racioc ocin inio io e-
qu todo todo auto auto
inte integr gr nt do ivro ivro lado lado hist hist6r 6ric ic da cois coisas as aqui aqui tr tada tada
se sign signif ific icad ad atua atual. l. tamo tamo sa in vita vitave velm lmen ente te br ve
refe refere renc ncia ia bibl biblio iogr graf afic icas as tugu tugues es sobr sobr assunto.
dest dest volu volume me De ou
urn resu result ltad ad
rc rn do hu pedi pedido do expl explic icit ito, o, como como "pro "prove ve", ", "mos "mostr tre" e" etc. etc. Acre Acresc scen ente te esse esse pedi pedido do mentalmente. Nao
sf ras. ras.
re da
ja
positivo.
ud
ri de Cava Cavali li ri co
dese desenh nh
sa
nota nota hist hist6r 6ric ic qu pr sensenEspe Espera ramo mo qu la desp desper erte te
1.
Comprimento
1. Me
id
Indi Indica care remo mo
ur se co
nt
simbolo AB o, AB segmento AB
AB.
rn
comp compri rime ment nto, o, ou como como segm segmen ento to unitario, expl expl caea caea qu demo demo cima cima
u, fixado
ra
vir
mate matema mati tica ca porq porque ue nifi nifi ad da expr expr ssao ssao contem segmento u".
sigsegroento AB
"0
om ri
deAB. Come Comeea eamo mo fixa fixand nd ur segm segmen en de reta reta u, qu cham chamar arem emos os segmento nto unitar unitario. io. (O unid de segme unid de de ompr omprim im nto. nto. or defi defini ni ao comp compri rime ment nt de 1. ra (a definicao) comp compri rime ment nt 1.
AB, AB)
AC
u, entao Escr Escrev ever erem emos os enta enta
AB
poss possiv ivel el ohte ohte
pontos inte interm rmed edia iario riosAj sAj.Az .Az ...
AC
CB
ri
AB
sera
2. n, An-l
CB 2.
C om om p m en en l
mento AB, prim primen ento to de AB sera
M e d d a d e u m s eg eg m Q O l
AAl,A1 A1A2 A2 ..., ...,An An~l ~l segmentos AAl, u, entao comEscr Escrev ever erem emos os nest nest caso caso A2
. . +An~lB F ig ig .
comensurdveis. Como esta veze veze cont contid id em u, weI/ e, orta orta to comp compri rime ment nt de AB vezes lin, ou seja seja AB min. es ixad ixad segm segmen ento to unit unitar ario io u, comp compri rime ment nt de in ur segm segmen ento to AB ur mime mimero ro raci racion onal al AB. segmento qu stej stej co ti submul ulti tipl pl comu comu de AB u, este Nest Nest caso caso cham chamaa-se se ur subm este dois dois segm segmen ento to se dize dize comensuraueis.
An-l
AB
porque AB
primento 1. nume numero ro inte inteir iros os Quan Quando do AB (n inteiro), AB contern vezes segme segmento nto unita unitario rio u. faci faci cons conseg egui ui ur segm segmen ento to AB qu na cont contem em segmento unitario segmento AB segm segmen ento to unit unitar ario io u. medida AB nta comp compri rime ment nt de Faca Facamo mo inic inicia ialm lmen ente te um hip6 hip6te tese se Supo Suponh nham amos os que, que, embo embora ra AB na cont conten enha ha im ro inte inteir ir ezes ezes exis exista ta ntre ntreta ta to ur segm segmen ento to meno menor, r, esteja veze veze cont contid id em em veze veze cont contid id em AB, sendo en mimero mimero inteir inteiros, os, subm submul ulti tipl pl comu comu de AB segmento AB sao u. F igig . e gm gm e n n ia n o n e m v ez ez e segmento wenquanto c on o n tete m v e ze z e s w. l o g o 5/3.
na exis existi tiss ssem em segm segmen ento to incomensuraveis, Eles Eles mesm mesmos os pore porem, m, desc descob obri rira ra
no dese desenv nvol olvi vime ment nt da Mate Matema mati tica ca greg grega. a. exem exempl pl de Pita Pitago gora ra quad quadra rado do na pode pode te comp compri rime ment nt Nout Noutra ra pala palavr vras as grandezas incomensuraveis,
raci racion onal al
Rg. P i a g o a s s e u d isis c p u o s d e sc s c ob o b r a m q u n e nh n h u s e gm gm e n t d e e t q u e e s tete j c o nt n t id i d o u r n u m e r n tet e i d e v e z e n o a d d e u r q ua u a d a d p od od e e s a r a m b e r c on o n t d o u r u m e r n lele i d e v e ze ze s n a d iaia g on o n a l d e s s q u ad a d ra ra d o
Comprimenlo
ia
M e d i d a de u m s e g m e nt nt o
onst onst aeao aeao trad tradic icio iona na esse esse at al foss foss co ns av is to an
lado lado como como unid unidad ad
Por exemp exemplo, lo, ..J2 (por (por defi defini niea eao: o: nume numero ro posi positi tivo vo cujo cujo quad quadra rado do 2) imer imer raci raci al co im aeim aeima. a. Os arie arie pr cesces-
plq.
..J2 1,41 ir Assi Assi em es re er ,4 1,415. 5. Isto Isto sign signif ific ic qu (1,4 (1,414 14)2 )2 (1,415)2, que corr corret eto, o, como como qual qualqu quer er pess pessoa oa pod verificar verificar esig esig ldad ldades es ,4 ..J2 ,4 si ific ific ,4 rn valo valo ro im po exce excess ss para para nu ro irra irraci ci al ..J2 ..J2.Co .Co ,4 ,4 0,001 ..J2 vemo vemo que, que, ao subs substi titu tuir irmo mo
tria triang ngul ulos os reta retang ngul ulos os da figu figura ra temo temos: s:
ou seja seja 2,
com
inteiros.
1,414
2q2.
..J2 ..J2 om
lgar lgaris is
deci deci
is
a-
..J2 deci decima mais is deve deve
eiros
se 414. 414. pi
deci decima mal, l, dois dois caso caso pode pode
seguinte, 2q p2.
Como Como defi defini ni enta enta comp compri rime ment nt de ur segm segmen ento to AB que inco income mens nsur urav avel el co segme segmento nto unita unitario rio u? AB sera ruimero irracional. sera st as que muito simp simple les. s. anto anto er aeio aeio al tern tern ress ressao ao "e at como como quoc quocie ient nt lq apro aproxi xima mado do (o quai quai Sa nume numero ro raci racion onai ais) s) atem atemat atic ic re do io prec precis is gran gran za nc ensu ensu avei aveis, s, avia avia resu resu
rn alor alor pr imad imad
ssim ssim
po excess excesso) o)
ar
hece hece
rn
er
es nv lvid lvid
ha
ir acio acio al bast bast eonh eonhee(sua (sua apro aproxi xima maeo eoes es po (suas (suas aprox aproxima imacoe coe
ocor ocorre rer: r: ou obte obtemo mo um fraC fraC;a ;aod odec ecim imal al
3/8 periodica (infinita) como 4111
ecip ecipro ro am nte, nte, deci decima ma dada dada te tica tica
ad
0,363636 0,363636 .... lq er frac fracao ao
ecim ecimal al peri period odic ica, a, e-
dese desenv nvol olvi vime ment nto. o. (Ver (Ver resp respei eito to "Meu "Meu Prof Profes esso so ag 19 42 .) Po em ta cara caract ct riza riza
deci decima mais is poss possue ue
expr expres esso soes es qu ne
sa fini finita ta ne
medi medida da do segm segmen ento tos. s. Temo Temo ur segm segmen ento to AB. co id de co imen imento to u. Su medi medida da AB
peri peri6d 6dic icas as
comensuravel port portan anto to ur
po exce excess sso) o) dess dess mime mimero ro irra irraci cion onal al AB? 1.00 1.00 ou
ur
milh milhao ao.) .) Divi Dividi dimo mo
(Por (Por exem exempl plo, o, segm segmen ento to unit unitar ario io em
Comprimento
N o l h i sl sl O O c a .
primento lin. Seja AB contern
rt segmen segmentos tos congru congruent entes es awe inda inda sobr sobr w, justapostos, segm segmen ento to ongr ongrue uent ntes es Quando do isto isto ocor ocorre rer, r, em AB. Quan
2.
~otahist6rica.
Na once oncepc pc
tual tual ur mime mimero ro (r al
resu result ltad ad
da comp compar arac acao ao
se AB
Ou seja seja p prr (m+1)/n
gr ndez ndeza: a: as discretas tempo,
m+
mimero mimero racion racional al fa ffo o lin. AB, um prox proxim imac acao ao po ex esso esso do mime mimero ro irra irraci cion on AB,
ro
lin.
continuas (como contagem;
ni
resultado
sempre continua, da comp comp raea raea
resu result ltad ad
medi-la:
(medida) medir in omen omensu sura rave vel, l,
su
medi medida da
ur
urn nume numero ro
irracional. re
Fi
e gm gm e u m d ec e c im o d a u n d ad ad e s eg e g m en e n t AB o n e m u m o u ma ue s eg e g m en e n toto s c on o n g u e n tete s o rere m n a c he he g o n e r 6 . L og o g o c o m p r i m e n t o de satisfaz p o a l e .p . p o e x ce ce s so so , a m b o 0, s a v a lo rere s a p o x m a d o d e t} 0,6. I s t o 0, c o e r n fefe r o r 0,1.
AB
(ou
ri gm AB. in eira eira fr cion cion ri ou irra irra iona ional. l. Os prim prim iros iros so oeor oeorre re qu ndo AB omen omensu sura rave ve co unid unid de de ompr omprim imen ento to scol scolhi hida da
oi
Eu lide lide (t rc ir se ul A.C. A.C.), ), na conh conh ci mime mimero ro irra irraci cion on is "Num "Num ro sign signif ific ic va nume numero ro natu natura ra mesm mesm um fr ~a era tos, tos, Euel Euelid ides es defi define ne "unid "unidad ad aqui aquilo lo pelo pelo qu ad obje objeto to urn" urn" "numero um ulti ultitu tude de de unid unid des" des" Evid Eviden en em nte, nte, desd desd Pita Pitago gora ra (qui (quint nt se ul A.C. A.C. os greg gregos os ra isto
AB
Ne o, racionais prim primen ento toAB AB de apro aproxi xima mado do
pode podemo mo
obte obte apro aproxi xima maeo eoes es comrr eome eometi tido do port port nto, nto, infe inferi rior or lin. Como li pe deseje desejemos mos (basta (bastando ndo poss possiv ivel el obte obte va or para para AB co rr ta insi insign gnif ifie iean ante te quan quanta ta se qu ira. ira. (m
l)ln,
quad quadra rado do foss foss come comens nsur ur ve
om
lado,
mesm mesm
mime mimero ro pode poderi ri
mime mimero ro qu refe refere re Aris Arist6 t6te tele le nume numero ro de veze veze fato fato pare parece ce na de ompo omposi sica ca de p2 em fato fatore re prim primos os.] .]
Exerclcios
Comprimento
pr cisa cisava va prov prov
isto isto pois pois
ropo roposi si ao
nu er
teiro ta be na imedia iata tame ment nt 'cluir imed
do Livr Livr
dos Elemen Elementos tos
(int (intei eiro ro na
qu ra que. que..J .J2, 2, - . 1 3 ,
ra rm etc. etc. sa numeros irracionais. ro reso resolv lver er
Eudo Eudoxi xio. o. Em ve de solu soluci cion onar ar problem problem estend estendend end nume numero ro rian riando do os mirn mirn ro re is om se tern tern hoje hoje ri
im-
conc concei eito to de le ncon ncontr trou ou
Eu
"num "numero ero signifi significa ca numer numer
ra de
medir
de expr exprim imir ir
resul-
un
:B
Na A:B
ua pe
rn equimultiplo qual qualqu qu up ri r,
de fe
eX
urn equimultiplo equimultiplo de BeY".
X: do 6x (p de ue n.A m.B m.X quan quando do exis existe te mime mimero ro natur naturais ais m, n.Y. mimeros reais ist signifi significa ca que nume numero ro re nume numero ro re X: quan quando do ex iste iste ur mime mimero ro raci racion onal al A:B
ud o,
re
ra
simplesre no oper operae aeoe oe arit aritme meti tica ca
ni epoca.
desi desigu gual alda dade de entr entr Se
ontr ontrad ad
duas duas razo razoes es
es
co be
Eu razo razoes es
muit muit pr6x pr6xim im
ra
fe
ri
di
da idei ideias as de Eudo Eudoxi xio. o.
:B sig-
B. Sejam rn nt
(m
Exercicios
eB).
DizDiz-se se qu ')
tem-se n.A
sa igua iguais is se tambem
X:
desco descobe bert rt
golp golp para para os pita pitag6 g6ri ri os qu adot adot varn varn teir teiros os gove governa rna univ univer erse se". ". Eles Eles na cons cons gu ra
:B eX:
ue os
m.B
X:
nd
(e le-s le-s "A st ro
n.X
m.Y.
para para
ssim ssim bi rari rari
rn
om
utro utro
urn nume numero ro irra irraci cion onal al 2.
irracionais, De
pl
do
nu
os
Comprimento
irra irraei eion onai ai naturais.
posi positi tivo vo
sa nume numero ro
x, y, se,
ra iona ionais is prov prov qu
diferenea,
form numeros da form
v-./2
v.
ey
4.
dest dest
2.
cuja
ro
quoe quoeie ient nt
b..J2, com
de do mimero
form forma. a.
5.
sucessivamente
figu figura ra plan plan
meno meno do maio maior, r, (isto e,
submultiple
proc proc ss
nune nune
egment ntos os sa incomensuraveis. term termina ina), ), entao entao os egme 6. Di -s qu pont pont C, obre obre extr extrem em razi raziio io quando IA
tomando medi medi estr estrem em
segmento AB, divide AB em media divisao em
segmento AB CB, ponto
divide
segmento AC em
razao,
AB em 7. Apli Aplica cand nd exerci exercicio cio anteri anterior, or, mostre razao entao entao AC AB sao incomensuraveis. medi medi extr extrem em razao 8. Caleule
divide
explicitarnente
segm segmen en
unit unit ri
9. Use exercicio quad quadra rado do sa gran grande deza za
em medi medi
resultado
F. Para isso, eompararemos
dessa
numero,
que devera
contem
Dare Dare os qu ur sign signif ific icad ad as formulas ra
prec precis is fi u urr
st id ia
es ab le er mo
conhecida idas. s. geometricas mai conhec
1. quadrado
re quadrado cujo quadrad ad chamado quadr
ex rema rema ra ao
inco income mens nsur urav avei eis. s.
comparacao
unita unitari rio, o, meea
1. Urn quadra quadrado do
era, por definieao,
cujo cujo lado lado tern tern para para medi medida da
ra da co area area 1. Segu Seguee-se se que quadrado
area
nume numero ro inte inteir ir
do deve deve te re
rt
De modo modo nalo nalogo go se ad de ur qu drad drad tern tern po medi medida da mt iro, iro, ntao ntao quad quadra rado do just justap apos osto tos, s, od ua on comQ. Estes
lin, onde
12
A re re a d o q ua ua dr dr ad ad o
Area
F igig . 1 . Q u a d a d d e a d 6 , d e c om o m p os os t 3 6 q u a d rara d o s u n itit ar a r io s .
Mais Mais gera geralm lm nte, nte, nume numero ro raci racion onal al em
Iado Iado de ur quad quadra rado do
d o e ta ta ng ng u o .
13
F i g . 2. N e s t g u r n a d o i p o s de q u a d rara d o s u n s c o m a d o s n c l n a c lo s , o u trtr o com ado horzon ai v e r c a isis . S e j q u a o r u n idid a c l de c o m p r m e n t o e s c o lh idi d a , p e l m e n o o s q u ad a d ra r a d o de u m p o e m a d irracional.
em
tern tern po medi medida da Q. Em segu seguid ida, a,
rn
lin.
prov provar arem emos os qu bt mo ma ecom ecompo posi si ao de qu is tern tern do lin. rt rnenores
li
em
2.
leitor. Seja Seja pois pois racional r,
(-2)
ou seja seja
Toma Tomarn rnos os ur mime mimero ro
a, F igig . 3 . 0 q ua u a d a d de a d e s i c on on t d o n o quadrado d e a d a . L O go go ; a re re a d e Q. Como..Jb r, t e m o s ;Z area
cujo ra rn expressao:
Ma xist xist qu dr do ujos ujos lado lado segmento unitario, Seja urn desses desses nu ro ir acio aciona na a. -s
ao in orne ornens nsur urav avei ei ad de er para para
co _edi _edida da
14
Area
Area do q ua u a dr d r ad ad o e d o r e l m g u o .
(Bas (Basta ta toma toma r,
r2
erro erro infe inferi rior or
a,
{fi. Entao..fli
portan portanto to
Q, toma tomamo mo ur quad quadra rado do acio acio al
area area
este este
adra adra
com
,2
.)
lado r, Como, de lado
Como
esta esta co ti
Q,
F ig ig . 4 . R e ta ta n g ul ul o R, c u o s l ad a d o m e de de m 8, s ub ub d iv iv id id ic ic l e m 8 ;;;; : 4 0 q u ad ad r ad ad o u n ilil ar ar io io s t em em - s a re re a de 40
in e-
ou seja seja,2 ,2 ,2. Conclusao:
Q.
Assim,
primento l/q.
Ia
ed
todo todo nume numero ro real real b, infe inferi rior or Q.
de
(p r)
ig ais, ais,
prim primen ento to
llq.
em pr
!_
P.!..
P . . . I:
q q
b.
Na fracio fracionar nario io ou irraei irraeion onal. al. Observaeao:
eonhec eonhecido ido com
d a e xa x a us us u o .
inteiros men, decompor em mn m.n.
segmen-
ll
Q,
cujo cujo lado lado mede mede a, deve deve se expr expres essa sa pela pela form formul ul
te
ento ento
retAngulo fica ficara ra subd subdiv ivid idid id q. lado
Por exclusao, deve-se entao
adri adrila late tero ro
ficara deco decomp mpos osto to em
l/q.
se
que
m e to to d
15
para para medi medida da pel f6rmu f6rmula: la:
nd tuim tu imer eros os raci ra cion onai ai os
ng expr expres essa sa
b,
areadeR
qu tr
ng lo et s. te para para
reuingulo edid edid
eros eros
altura. raci racion onai ais, s, ma
rm la
ral, ral,
li
es
sa ue
nume numero ro nu ro
racional). b, plq
em
escr escrev ev stes stes rlq, com mesmo
eria eria
sa
analogs ao
A re re a d o q ua u a dr dr ad ad o
quad quadra rado do Proc Proced eden endo do assi assim, m, fica ficamo mo incl inclus usiv iv side sidera ra sepa separa rada dame ment nt reta retang ngul ul tern tern medi medida da raci racion onai ais. s.
F igi g . 5 . q u ad a d ra ra d o O c o n e r m a t s u r q u a d rara d o de a d
disp dispen ensa sado do
de concon-
Indi Indiqu qu mo mede
om
17
(x y)
re
y.
(x', y)
d o i e ta t a n gu g u lolo s g u a o u t r o de l a d o b.
d o r e ta ta ng ng u o .
ou seja seja escr escrev even endo do x'
x'
x, vale: (c.x (c.x,y ,y
cons consid ider erad ad
1..._
como como base base Logo Logo temtem-se se tamb tambem em (r
___,I
Segu Seguee-se se enta enta A(x,y)
Dado
retangulo R, de base base b, qual qual cont contem em
rado
resp respec ecti tiva vame ment nte, e,
lt ra on trui truirn rnos os quadc6pi c6pias as de ai dois dois qu dsabemos, s, b. Com sabemo
-A (x,
y).
qu
(x-l (x-l,y ,y
x-
x-A (Ly-I)
(I,Y (I,Y
xy-A (1,1).
Ora, isto do qu drad drad unit unitar ario io or defi defini ni ao (1, 1) om base base no teor teor ma acim acima, a, on lu mo qu area area do reta retang ngul ul prod produt ut base base pe ltur ltur geom geomet etri rica ca ou ra todo todo nume numero ro natu natura ra
temo temo
d.y)
ritm ritm ti n,
. x , y)
n.
(x,y),
n.x
re -s Ha
re
R).
ab
ff6 6rm rm re
no seguin seguinte te
(x, y) entao reta retang ngul ul de ba
Portan an to, 1. Port x.y, isto
que obvi obvi pois pois reta retang ngul ulos os jusjus-
altu altura ra y. x' x, que evid eviden ente te porq porque ue quan quando do altu altura ra st onti onti no nt rior rior do reta retang ngul ul
(x', y),
de base base x' altu altura ra y. part part arit aritme meti ti ri "m todo todo da ex us ao", ao",
demo demo stra stra~a ~a rata rata-s -s
um
refo reforr rrnu nula la ao
do segu seguin in e. Indi Indiqu qu mo R+~R+ um
om R+ fu ea
A re re a d o p a ra ra le le lo lo g ra ra m o
afir afirma maea eao, o, veja veja
ex> livr livr ''Me ''Me Prof Profes esso so de Mate Matema mati tica ca", ", pagi pagina na 164. 164.
2.
lelo lelo
do
lo
para parale lelo logr gram amo. o. Ur paralelogramo lado lado opos oposto to sa para parale lelo los. s. an se to rn la rale ralelo lo ra co se altura liga liga base base ao lado lado opos oposto to (o ao se prol prolon onga game ment nto) o)
f:}
-.... -.... -....
~. .0 et A E D F , cuja a re r e a v a l a+ Iormado pelO p a rara lele lol o g a m o c u a re re a s a d e s e j c a lclc u lala r , r n a d o i t O O n g u lo s q u e , c o lolo c a d o u n to to s d iri r e itit a , f or o r m a m u r r e tA tA n g u l de base alur a.
c)a
ba
quere queremo mo
tur
calcul calcular, ar, DE tern
retangulo
ca.
de area area ca. Portanto ba area area de ur
ca
fo
ca, donde
ad
pelo pelo
ba.
aral aral logr logram am
corres correspon ponden dente. te.
corr corres espo pond nden ente te
E'
Seja ABDC ur para parale lelo logr gram amo, o, cuja cuja area area AB ter compr comprime imento nto comp compri rime ment nt a.
(b
ssim ssim
rn o s u m a ABDC, b a ixix a rn p e rp rp e n d c u la r d o p o nt nt o b a s e AB s e g rn rn e n t C E u m a a ltl t ur u r a d o p a ra r a lel e lo l o g ra r a m o . Se o m a s se s e m o s o u lr a E' l i g a n d o CD AS t e r a m o s o u lrlr a a 1 lulu ra r a . E v idi d e n tet e r n e nt n t e , c o m o AB CD s a o p a ra r a lel e l os os , o d a s a s a l u ra r a s e lal a l v a s base AS E' o u s e jaja , t od t e r n m e s m o c o m pr p r im e n lolo . P o c e r ia m o s e r considerado l a d o B D c o m o b a se s e . E n tA tA o p e r pe p e n d icic u lala r ur a , r e l a t v a AC BD s e r u r n a ltl t ur b a s e BD da qu n A o p re r e c isis a t e m e s m o c o m p r r ne n e n t o q u e a s a ltl t ur u r a s r e lala t iv a s b a s e AB
19
paralelogramo ABDC
retA retAng ngul ul
ase, ase, cham cham
d o lriangulo
cons consta tant nt
(nao (nao depe depend nd da base base esco escolh lhid ida) a) 1; segmento AB sobre T, todos todos os parale paralelog logram ramos os ABDC, sobr sobr et s, .)
paralelogramo. ABC,
respectivaAB AC. ponto forn fornec ecem em ur para parale lelo logr gram am ABDC. me altu altu CE dest CE dest aral aralel el ra o. Se AB ba. Ora, BCD sao congr de ABDC Ora, os tria tria lo ABC congruen uentes tes te la um pree pree dido dido entr entr dois dois an lo igua iguais is), ), og
I
F ig i g . 8 . O s r ia n g u lolo s c oo oo g u e n e s p o ~ m u m a d o c o n u n , c o m pr p r ee e e n d id o e n trtr e d o i A n gu g u lolo s g u a s ) og er m e sm s m a a rere a .
Definisao geral d e a r e
ABDC
ABC)
po cons conseg egui ui te ABC
diag diagon onal al AD decompOe rape rape io no tria triang ngul ulos os ABD ACD, com bases bases bl bz resp respec ecti tiva vame ment nte, e, mesm mesm altu altura ra a. area area do trapez trapezio io ABDC ri
b-a. .(
bl
meta metade de do ro ut
de urna urna as pe
scol scolha ha para para
lt ra a.
ltur ltur ja qu
orre orre pond pond nt fo
scol scolha ha
produto b.a sera
triangulo, Sejam res ABC com BC b, vertice sobre r, base BC sobre (Fae (Fae urna urna figu figura ra ilus ilustr tran ando do esta esta afir afirma maea eao. o. ar rn poli poli on qu lque lquer, r,
igual
altu altura ra Obse Observ rv !8.o !8.o.0 .0 para parale lelo lo ramo ramos, s, mi er
etod etod .acima tria triang ngul ulos os tr pe io
semi semi-s -som om da base base veze veze
(cor (corta ta
desl desloc oc r)
od
er
Matematica
(198 (1987) 7) pagi pagina na 19
3. Definicao
xa
ra de re re
decompusemos. or ex mplo mplo seja seja ABDC um trapezio, Isto Isto sign signif ific ic CD sa para parale lelo los. s. Escrevamos AB entr entr as para parale lela la AB
bl, CD
CD, isto
bz
ompr ompr ment ment rn Fig 9.
qu AB
dist distan anci ci de ua qu perperCD.
co
as segu seguin inte te
P,
prop propri ried edad ades es
1)Polig 1)Poligon onos os cong congru ruen ente te
tern tern area area
iguais,
2)
1.
pode pode er de ompo ompost st
om reun reunia ia
de
poligonos
dOSPi.
olig oligon on
esta esta onti ontido do no olig oligon on Q.
D e f n i9i9 & o g e rara l d e
area
ur Iado Iado), ), area area de ur poli poligo gono no reta retang ngul ular ar reta retang ngul ulos os qu compoem. re
circ circul ulo, o,
li se
tc
poligon poligonos os retangu retangulares lares
arbitraria.
apro aproxi xima mado do
nega negati tive ve qu indi indica care rern rnos os co a(F). El ic ra er te inad inad se conh conhec ecer ermo mo seus seus valo valore re apro aproxi xirn rnad ados os po falt falt ou po exce excess sso. o. ar alta alta sa efln eflnie ie as a(F) ap xi ad F.
ap
a(F)
exce excess ss sa as area area li no P' qu cont contem em qu seja seja os poli poligo gono no (con (conti tido do em P' (contendo F), m.imero a(F) satisf satisfaz az as desigu desiguald aldade ade ir
os
po falt falt para para
lsto lsto si ific ific tem-se
e,
F. Po eons eonseg egui uint nte, e, quai quaisq sque ue
nume numero ro real real area ig
ra todo todo
es ja os
a(F).
como
reta reta
a(F),
imer imer
la
ea
P, onti ontido do em
iste iste
li no
P, cont contid id em a(p)
quai quaisq sque uer, r, limi limita tare remo mo noss noss aten atenca ca ao pohg pohgon onos os reta retang ngul ular ares es ar os is ai faci faci calc calc la area area pol(gon Urn pol(gon tapo tapost stos os (ist (ist
li
cuja cuja ar
a(P):: a(P)::;; ;; a(F). a(F).
retangular
a(p):: a(p)::;; ;; a(F ::;a(P ::;a(P'). ').
ig
contidos
a(F). ng u l a r conticlo A g 1 1 P o l ig o n o r e t a ng n u rnrn a f ig u r p lala n a a rere a de rn v a o r a p o x n ad a d o p o a l d a a rere a de
retang retangular ular F ig ig . 1 0 . U m a f igig u r plana (negra), c o nt nt id a n u r p o lk J on on o c o nt nt en en d o u r n p o lili g o n a rere a d e urna ap ox na Ao po al a re r e a de P' u rn rn a a p roro x i n a ltlt A p o r e x ce c e s so so , p a r a a r e a de
tambem em te definido Poderiamos, tamb reta retang ngul ular ares es
qu cont contem em
apro aproxi xima maca ca
po falt falta. a.
como
numero
N o t a h i s t6 t6 r icic a
4. Nota historica Como Como vimo vimo no
apit apitul ul
1,
fi em
co ce to
defi defini ni area area
sa soli soli os
sm aber abertu tura ra se sa
om imen imento to se sa se ng los. los.
ode
igur iguras as
hipo hipote te us ig lado lado os cate cateto tos. s. se inte inte em stra straea ea Eucl Euclid id s: No tria triang ngul ul reta retang ngul ul ABC, drad drad cons constr truf ufdo do sobr sobr hipo hipote tenu nusa sa BC ig al eAC, Eucl dosq dosqua uadr drad ados os cons constr trui uido do sobr sobr os cate cateto to AB eAC, Euclid ides es trac trac AF perp BC G. CD. perpen endi dicu cula la Os triang triangulo ulo
muito muito depois depois su rp sica sica
acim acima, a,
azao azao entr entr
Mate Matema mati tica ca greg greg orga organi niza zada da como como cien cienci ci dedu deduti tiva va
es
se ao
ABE
CBD iguais), Os triang triangulo ulo
rn asso asso inte interm rm di ri ra co cl ir ig ldad ldad io Elem Elemen ento to iz:" iz:" ua ue coin coinci ci su er sica sica sa ig ais" ais".) .) Assi Assim, m, er im
am condicoes, dados.
er
A~
gruentes. R g . 1 2 . E u c d e s p re r e fe f e r d e m o ns ns t a r T e o r e m a g u p o q u a ss i de P M g o a s c o b a s e n e s
Exercicios
ABE
te seme semelh lh nt rn nt disp dispos os as sobr sobr os cate cate os". os". (Aqui, "igu "igual al as sign signif ific ic "t rn area area igua igua soma soma da area area das" das".) .) Vide Vide Ex rcfc rcfcio io 13
FEB ABE
BEGF. Analogamente, do quad quadra rado do ABDH. area area do reta retang ngul ul BEGF.
27
A D B , que
meta metade de
-s
igual
do Capi Capitu tulo lo 3. Os "trr "trref efut ut veis veis
rgum rgumen ento to
ient ientif ific icos os do Livr Livr VI
onst onstit ituu-
teor teoria ia da seme seme hane hane
6. Exercicios resulta
Teore Teorema ma de Pita Pitago gora ras. s. di Eu (a re ri
no ra
ro
I, para
g grr
1. Urn loeango rove rove qu todo todo losa losang ng ur para parale lelo logr gram am qu ur quad quadri rila late tero ro ur losa losang ng se some soment nt se su di gona gonais is sa perp perpen endi di ular ulares es
igual
5.
do seus seus diam diamet etro ros. s.
rn co enta entari ri
3. Prol Prolon onga gand nd ra altura a'
de Proc Proclu lu
ro lu (410 (410-4 -485 85 D.C. D.C. fo utor utor de ur livr livr de come coment nt rios rios sobr sobr Livr Livr do Elem Elem ntos ntos de Eu lide lide onde onde xp ic ,_ omen omenta ta nali nalisa sa Proclu Proclu escrev escreveu eu
fo prov provad ad
os lado lado na para parale lelo los, s, cons consid ider er
altu altura ra a'. Ob enha enha
os pont pontos os medi medics cs do lado lado na para parale lelo lo
re
irre irrefu futa tave veis is argu argume ment ntos os cien cienti tifi fico co do Livr Livr VI". VI". re re ro
ra
propos proposica ica
ssim ssim
do trap trap zi
Prov qu A B D C . Prov
area(CDF)
area(ABF)
De
trap trapez ezio io de base base
no text texto. o.
4. Seja Seja
seguinte:
rq
do prod produt ut
das diagona diagonais. is.
fr ul como como os quad quadra rado do
me ad
5. Cham Chamaa-sa sa b a
m ed ed i
trap trap si
prod produt ut
igua igua
o orr duas duas para parale lela la Iden Identi tifi fiqu quee-os os
area(AEF)
area(CEF).
da base base medi medi pela pela ltur ltura. a.
bi ra rn ao lado lados, s, deco decomp mpon ondo do-o -o assi assi em prov prov
para parale lelo logr grar arno no
afir afirma maea eao. o. a,
Cami Caminh nhan ando do
29
Exercfcios
la s, alte altern rn am nt onde
rizo rizo tais tais
erti erti ais, ais,
Use
ed
alb
a,
x, quinto
x. clx. clx. (Metodo
circul ul de raio raio area do circ
2b
ab
ezes ezes
1.
12. area area do quad quadra rado do circ circun unsc scri rito to no mesm mesm cire cireul ulo. o. deco decomp mpoe oe
dados.)
seis seis tria triang ngul ulos os meno menore re co
8. No tria tria ul
ABC, se
em
area area igua iguais is
angulo LA lado AB
Teor Teorem em de Pita Pitago gora ras. s.
area area
AC. Conclua daf
ad ilat ilater er
15 Seja Seja
sist sist oo en da arte artesi sian an s, defi defini nido do po dois dois eixo eixo orto ortogo gona nais is OX OY. Da os um os ea positivos fi ~a T~ requ requer eren endo do qu r(p) P' b, (x, y) (ax, by). onde qu lq er ab plano IT tran transf sf ad numa numa figu figura ra euja euja area area
Ye
o.
X,
segmento ua ri at ro et da re
como como vert vertic ices es tern tern area area igua igua
16 Seja Seja la os Pe
to B,
sej parale paralelo lo er etan etan lo AG. Seja DC.
10.
rt
ai
la
.P ov
(x, ponto se f' some soment nt se
figura
Su stit stit la os obte obte ur poli poligo gono no co
fu ao form formad ad
triA triAng ngul ul co
AE
ED.
anterior.
mesm mesm area area qu ur poli poligo gono no conv convex ex dado dado
y2:s;1.
erci erci io nter nterio io tran transf sf rm pelo pelo pont pontos os tais tais ue (x,
tria triang ng lo is sc le
as
tern 1.
11. figura do exer exerci cici ci 10 ha a-sa a-sa medem 2a 2b. Supo Suponh nh a:?: a:?: b. Os pont pontos os .va
chamam-se focos
elipse cujo cujo eixo eixo A' (c 0),
(-c,
ponto
re la
la
insc inscri ri
ci ul
ai
enta enta
;>
toma toma-s -s
ur
segm segme~ e~to to de comp compri rime ment nt comprimento x. Most Mostre re qu se Ln ircu ircuns ns rito rito ao circ circul ul de ra
(-
nt
)/
Conclua daf que os
1. Introducao no~a no~a de seme semelh lhan an corr corr spon sponde de it de es al ", st se am nh se modi modifi fi ar suas suas prop propor oreo eo s. ri
No estu estudo do trad tradic icio iona na da Geom Geomet etri ria, a, ri oc rn ra rn ri
defi defini niea ea se este estend nd ntr ra o,
ha
ra ra
concei conceito to de semelh semelhanc anca, a, rn
lite litera ralm lmen ente te para para poli poligo gono nos. s. ha
ol semelhante
ra
figu figura ra qu
ez
eme an
k_.~~~ita$ll
A r ea ea s
no
,n
defini niea ea da um defi
t6pi t6pico co "sem "semel elha hanc nc;a ;a substi-
ma conh conhec ecim imen ento to mate matern rnat atic ic da epoc epoca. a. Muit Muitas as veze vezes, s, ao perc perceb eber ermo mo defi defici cien enci cies es ou impr improp opri ried edad ades es trat tratam amen ento to de cert certos os t6pi t6pico co em comp compen endi dios os de hoje hoje reco recorr rrem em as origens, co sult sultan an Eucl Eucl de ar er como como as ideias nasceram. Qu di Eucl Euclid ides es sobr sobr seme semelh lhan anc; c;a? a? Livro VI
2.
defini definicao caode de semelh semelhan an~a ~a
Sejam Fe F'
uand uand
F' sao semelhantes, com rasa rasa emel emel anca anca corr corres espo pond nd€m €mci ci biun biunfv fvoc oc a: F~ ', co segu seguin inte te prop propri ried edad ade: e:
exis existe te um
Y'
cionais".
enttio X'Y'
I, onde eomeea
silo a(y) sa
seus seus corr corres espo pond nden ente te
'. Se
eX' Evid Eviden ente teme ment nte, e, funeao funeao identi identidad dad
espe especf cffi fica ca Serv Serv apen apenas as para para prov provar ar qu
oi
egme egme to
emel emel an assunto
mOITe af.
F ig ig .
em F'
r. XY
corres correspon ponden dencia cia biunfv biunfvoca oca a:
ra
d-
quado.
proper-
seme semelh lhan ante tes" s"
ar pobg pobgon onos os en ua to
so
se angulos
al da apen apenas as
maior
-7
F', co a(X),
esta esta prop propri ried edad ad iz-s iz-s qu
on
51 pr~pna, toda toda figu figura ra pois um seme semelh lhan anc; c; de raza raza 1.
e me me I a ~
Areas
Tambem, se
is
ad
se
defin~
se nelh nelhan ante te F~ lhan lhanca ca
Outr Outr
entao
de raza raza
r,
fun~ fun~ao ao inve invers rs
urna urna seme semelh lhan anea ea de raza raza 1/r. se se nelh nelhan ante te F" entao F'. r' respeclhanea eas, s, razo razoes es F" sa se lhan F~ funeao composta am uma seme semelh lhan anca ca de raza raza r.r', isometria. Portanto, um isom isomet etri ri urna urna corr corres espo pond nden enci ci biun biuniv ivoc oc ta em F, X, X' 0(X) a(Y) igual diz-se congruentes. rn ernp ernplo lo si le fi as sern sernel el te r. AB, podemos CD. Se CD r, faze efin efinir ir rn se lhan lhanca ca 0': faze corcorCD resp respon on ca to se nt AB CX'=r.AX.
ar itra itrari riam amen ente te
ntos ntos
real real ente ente em AB.
sern sern lhan lhanea ea
om rn
tes. tes.
xe
lo si
le de se
efei efei o, seja seja
lhan lhanea ea
d e s e m e l ha h a o !(! ( 8
de se da
35
most most an
respectivamente. r, defi defini nire remo mo um seme semelh lhan anca ca raaa r, faze fazend nd rres rres de ca to em 80 8', de raaa O'X' pont pont X' O'(X) em r. OX. veri verifi fica caea ea de qu quai quaisq sque ue
O'
sa seme semelh lhan ante tes. s.
semelhaneas.
Lema. T o d a seme semelh lhan an colineares. Demonstra9io·: Seja
Dado Dado tres tres pont pontos os reta AB, (A) B' onde A' A'C'
C'B'
tran transf sfor or
olin olinea eare re
em ponios
r.
em ). Co
r.AC
pont pontos os
r. CB
efei efeito to temo temo AC
r, (AC
eB)
CB r.AR
A'B', A.B, logo A'B',
A'B'.
'.Logo '. Logo
0,
X'Y'
CY
0'
CX'
r. AX
r. (AY -AX)
Y.
F ig . U m a e me l a n en segmentos ponto esta d ua u a s v e z e n a p ro ro x m o d e s e h om o m 6 1o 1o g d isis l d ua u a s v az a z e s m a i de Cd
Me mo s e g m e n l o de r e t q u e con em os ponos n a o e s lele j c o n l d o n a f igig u r s e u s h o m o lolo g o s ', ne a r e s . 8', s a o c o lili ne
36
S em em e a nq nq a e P le le a
T e o re r e m a F u n d am am e n l a l
Teorema 1. U m a s em e m e lh lh ar ar n ; 1) Todo
', de razdo r, transforma:
---7
segmento de e t c on on t d o e m
n u m e gm gm en en t
de reta
cont do em 2 ) U r c tr t r cu c u l de
c on on t
num ct cu
interior ircu irculo lo inte inteir ir ente ente ntid ntid lo ue im ae a, em Port Portan anto to X' to nter nterio io lg
de r ai ai o r .
Se hom6 hom6lo logo go X'
fi contorno se a, en F. Neste es-
contido em interi riore ore 3) Pontos inte 4)
Pontos
Demonstraeao:
C'
(A
e m v er e r t c e s de B'
a-
(C),
segm segmen ento to
do
de reta reta AB
F'.
B).
(C').
reun reunia ia r.a, portanto
a-I
AB
ntid ntid
A'B'
ternos
se elha elha ca
O'X, co
0'
ti a. Su (0),
imag imagem em
am
F'
go
logo, logo, po (X
vertice,
ponto pert perten ence ceri ri ao lado lado A'B' de F, send send dife difere rent nt de de B' AB de F, eX : J : . B, lo oX ao seri F. seri erti erti
A'
CA)
co
i:
---7 Se um seme semelh lhan anca ca qu tran transf sfor orma ma segm segmen ento to de reta AB, cont contid id em F, no segm segmen ento to A'B', cont contid id em F', es es se hom6logos. ento entoss ss iz
O'X'
r.a.
g.4 p on on t
up
F, AB, seu
A'B',
Como aAB. Assi Assi
F.
A'B',
do segm segmen ento to
(X
forem poligonos).
(s
a, su st por
caso,
e m p on o n to t o s do contorno de
c o n to to rn rn o d e
5) V e r titi c e s d e
sejam A'
pontos interiores
X)
r.a, contido
i n te te r io io r a o p o lili g on on o p e rtrt en en c e a o s e c on on lo lo rn rn o
3.
Teore Te orema ma Fu Fundam ndamenta enta
(o do espa espaco co E) ur nurn nurner er o.Il ---7 homotetia posi positi tivo vo a:E ---7 E) defi (0) defini nida da do segu seguin inte te modo modo 0, cr(X) =X' OX' r, OX.
Toda homotet homotetia ia
urna urna corr corres espo pond nden enci ci 1/r.
real real (ou
biun biunfv fvoc oca, a, cuja cuja inve invers rs
A r ea ea s
Sem&lha~
Rg
U m h om om o e t
t ra ra n s lo lo rm rm a flQura P.
T e o r em e m a F u nd nd a m e n a l
X'
de
l ig ig u r a
quai quaisq sque ue
na
r.
X? Y.
YeO
ar isso isso co si erem erem stiv stiver erem em so re sr
X'Y'
is et
to facil
X, YeO
triangulo [MNP] ea qualquer MNP. :! ,ais ,aissa po ci is as su ses, ses, de OX OX OY' conclu luim imos os qu [OXY'] OY conc r.[OXY] [OYX] r.[OXY]. Logo [OXY'] (OYX (OYX'] '] Subt Subtra rain indo do de ambo ambo os memb membro ro dest dest igua iguald ldad ad [XYY']. Como Como este este OXY, resulta (XYX1
0---
-:::::..---
XY, XY
siderando imag imager er ampl amplia iada da do slid slid Nu se
lhan lhan a,
vari varies es luga lugare re eore eore
qual qualqu qu
co
rn
jeto jeto
slid slides es
X', se F' pode pode ocup ocupar ar posi posieo eoes es quai quaisq sque uer, r,
ig as ma cont contin inua ua
¥'.
Most Mostre remo mo
agor agor qu X'¥'!XY
novamente tura tura sa po ci
is as su a,
seme semelh lhan ante tes. s.
Toda homot homotet etia ia 2. Toda reta reta em si prop propri ri au nu
r.(a
Na
as s, te pois ),
s:
OX'=r.OX
pois
OY'
r.OY.
reta reta paro parole lela la
F ig ig .
-........
/-<....... .......
X'
Seja triv trivia ial, l, lo
Demonstra980:
caso
39
y'
-........
-
de
su or :;t. :;t. 1. Most Mostre remo mo
qu
obtemos areas bee
r.b. Como XY
X'Y'
~ ~ -
40
S eem m e lh lh a
.---~~~--
-
_---- .. ._
---~-
A re re a
areas queri queriam amos os demon demonstr strar. ar.
X'Y'IXY
Tod parale paralela la ur lado lado de ur riti riting ngul ul ur tria triangu ngulo lo parci parcial al sern sernel elhan hante te ao tridn tridngu gulo lo tota total. l.
Corolario,
Co
efei efeito to no tria triang ngul ul
homotetia homotetia
de cent centro ro
ABC, seja seja
raza raza
araI araIeI eI
T,
....
eorema F u n d a m e n t a l
41
F ig ig .
como
dete determ rmin in
BC.
ABIAX
Fig. R'
seja
X'
R~ projec;a projec;a central central er en ic la ixad ixad
PA' PA BeY nurn nurn pont pont Y' situ situad ad na sern sernii-re reta ta AC. ess horno hornotet tetia ia segmento BY', Assirn rt ce reta reta BC AC, A, a(X)
cr(Y)
triangulos AXY
Portanto
a(A)
e,
ABC.
Recip Recipro roca ca do coro corola lari rio, o,
pontos para parale lelo lo aBC. aBC.
irna irnage gern rn de XY por
IA
Co efei efeito to cons consid ider eran ando do homo homote teti ti ABIAX ACIAY, vern vernos os qu )e Teor Teorer erna na qu XY BC sao paral paralelo elos. s.
de cent centro ro
raza raza
o(Y).
R'
proje9 proje9ao ao centra central, l,
sobre R'
fune funeao ao o: R ~
coin coinci cide de em R,
'Tho 'Thore rema ma no PX'IPX PA'/PA=r. An loga loga ente ente se TI TI' Sao planos para parale le os
PaR' PaR or teti teti ce tr raza raza A/X' paralelos or la io F ig ig . 1 0
TI TI' nao perten pertence ce roje roje ;a cent centra ral, l, arti arti TI sobre de P, plano TI' urn semelh semelhane ane
Dado
AB
vemo vemo qu
urna semelhanca. Com efeito, sobre R. Pondo
quociente 'p TI. Co efei efeito to seja seja pe perp perpen endi dicu cula la baix baixad ad
""-"" --------1--1---... ...... ...
S em em e llll an an lJ lJ a
Semelhant;a de lriangulos
A re re a s
(J
-r plano PX com ri otetia ia de entr entr fato IT da ho otet PA'/PA. De fato sendo IT segmento AX A'X'. Pelo IT paralelos, Coro Coroia iari ri do Teor Teorem em 2, temo temo PX/PX PA'/PA de do-s do-s qu "fig "figur uras as homo homote teti ti as sa figu figura ra seme seme hant hant s, seme semelh lhan an teme tement nt disp dispos osta tas" s" (J
(X)
teorema qual qual toda toda fune funeao ao cres cresce cent nt :[O, [0,+00), :[O,+o +oo) o) para qual qualqu quer er qu da nf(x) para x;:;: 0, f(1i.x) forma ((x) c.x. Vide Vide po exem exempl plo, o, "Meu "Meu Prof Profes esso so de Mate Matema mati tica ca", ", arit aritme meti tico co segu segund nd
4.
Semelha Semelhanea nea de triang triangulos ulos
apli aplica cada da
ta 1.
triA triAngu ngulo los, s, redu reduzz-se se
definicao definicao traditional traditional
(1 da Ha
rd
fm fi
rd Do
dn an Teorema 3. lados lados hom6 hom6lo logo go prop propor orci ciona onais is Reei Reeipr proc ocam amen ente te cu prem prem um da tree tree ondi ondi oe abai abai ntdo ntdo el
ra ",
seme semelh lhan ante te
quan quando do sao um eore eorema ma segu segund nd
on
a) 7!m
lado lado propo proporc rcio iona nais is
b) 7!
dngu dngulo lo
c)
igua igua s;
iguaL compre compreend endido ido entre entre Ladospr Ladospropor oporcio cionai nais. s. angulo iguaL
isometria. demons demonstra tracao cao imed imed at raziio r, centro rasa r. Seja t; rasa func funcao ao inve inversa rsa rasao
1/r.
seme semelh lh ne (J F ~ de re r, de po essa essa homo homote teti tia. a. rt
't
og
isome isometr tria ia Assi Assi isomet isometria ria om
dada dada
(J
't
't
Ac't
comp compos osta ta da homot homotet etia ia
't
-.
C'
uma
't
com
noss nossa. a. o orr
F ig ig . 1 1
de (J
ai doi triangu triangulos los sdo semelhantes:
uma
Demonstraeao: Seja (J entr entr os tria triang ngul ulos os ABC A'B'C', com A' C' (J ). Enta Entao, o, pela pela defi defini niea ea de seme semelh lhan anea ea
(A), (A),
(J (B)
44
Same~
Areas
semel~
1. homo homotet tetia ia de cent centro ro ABC B"C" B" C" com B"C" transforma triAngulo no tria triang ngul ul parc parcia ia B" paralela aBC. Entao C" C.
Ma os tria triang ngul ulos os
B" C"
A'B'C' sa cong congru ruen ente te
AB"
r.AB),
AC"
r.AC)
pois pois
os triangulo triangulo AB"C" ABC sa seme semelh lhan ante tes. s. Como Como AB"C" sa on ente entes, s, es lt qu ABC A'B'C' sao semelhan semelhantes. tes. triangulos ABC r.AB
ov ente ente om pontos B" C" com
so re as et
AB
Os triAng triAngulo ulo AB"e" teti teti entr entr AC" porque
Logo LA
a) Seja Seja
proporcionais.) no triang triang .110
r. AC
r.AB,
AC"
AB"C" 'B'C' 'B'C' AB"C" ABC, semelhantes. b) SejamABC eA'B'C' tria tria LA
azao azao
r. Be ra sf
A'B'C' sa
se e-se e-se
ue ABe
A'B'C'
sao
tais tais
B'
AC to po to B" resp respec ec ivaivaAB" A'B' AC" A'C'. Os triAng triAngulo ulo AB"C" A'B'C' sa cong LA') congru ruen ente te porq porque ue tern tern ur Angu Angulo lo igua igua (L donde B" AB
A'B'C'
r.AC.
AC, resp respec ecti tiva vame ment nte; e;
os
ruen ruente tes, s, co as ). AC em transforma AB em AB"
=r..
Lemb Lembre remo mo qu angulo
figu figu
fo
ad
or
as se i- ta lados
uertice do Angulo Angulo A, ponto erte erte ce ul isto isto sign signif ifie ie qu Pesta sobr sobr ur do lado lado dess dess Angu Angulo lo (Pod (Poden endo do esta esta so re am la s, se erti erti e. estao nta Angulo Angulo chama-se chama-se raso. Se Angulo LA nao raso, vertice ic se su orig origem em comu comu
BC
lo
ABC
r. BC.
r.AC
A'B'C'
Logo Logo essa essa homo homote teti ti se lhan lhan entr entr triAngulo ABC A'B'C' sa eong triAngulo AB"C". Como AB"C" eongru ruen ente tes, s, segu seguee-se se ABC A'B'C' que sao semelhan semelhantes. tes.
tais tais B'C'
homo homote teti ti de cent centro ro " C cujo cujo lado lado mede mede
AB"
AB
r.
A'B'C' tria triang ng lo
r.AB, A'C'
A'B'
A'C'
45
AC =A'C =A'C'. '.
B'
agor agor ABC
lriangulos
la Corolario
cham chamaa-se se
LA. 1.
Dois Dois angu angulo lo seme semelh lhan ante te
Evid Eviden ente teme ment nte, e, bast bast
cons consid ider erar ar
sa igua iguais is
46
Semelhaooa
A r ea ea s
angulo Angulo A' Em ser 0' (A) A' 0' (A) dife difere rent nt do vert vertic ic A', n t a
ro
ot
de A'
Noutr Noutras as pala palavr vras as palavra raio
Conra
LA' ---t LA, concluirfamos
0'-1:
que vertice reta YZ,
47
Semel~nocirculo
0'-1
oi
sign signif ific ic do semp sempre re fica fica laro laro
part partir ir
do contex contexto. to.
(X A, com
(J
(y
Y,
0'
(Z)
distancia do cfrc cfrcul ulo, o, cham chamaa-sa sa
Z'.
ns pont pontos os quai quaisq sque ue lade lade dist dist ntos ntos do Angu Angulo lo LA Sejam B' C', resp respec ecti tiva vame ment nte, e, os homo homolo logo go de =A'.
circunferencia.
gu gem. gem. Ve tamb tamb
(0 ro us "M Prof Prof ssor ssor de Mate Matema mati tica ca", ", pag. pag. 196. 196.
fig. 12
gruentes. Dois trcu trculo lo quai quaisq sque ue sd figu figura ra Teorema 4. Dois razd razd de seme semelh lhanc anc razd razd entr entr seus seus raio raios. s. C'
Demonstraeao: circ circul ul de ra a, eo cfrc cfrcul ul
ra
BC
re sa
comprimento a', fi triA triAng ngul ulos osAB AB
A'B'C'
seme semelh lhan ante tes. s.
particular, LA retAngulo
LA'.
ainda ainda ur retAn retAngu gulo lo
Semelh lhan anea ea no circ circul ul 5. Seme rn um de cent centro ro
ra
ctrculo
F ig ig . 1 3
de
o orr mesm mesm entr entr O. tran transf sfor orma ma cada cada segm segmen ento to
', de raio raio a', t€!m
'/
Pela Pela defi defini niea ea de seme semelh lhan anca ca tern ternos os ~=-==-=-=-=r
se elha elhant nt
re
ho
C'.
-~"8
S em em e lh lh a ny ny a
-
A re re a s - - ---- ---- -
reas reas de ci cunf cunfer eren enci ci SliD Te re 5. Do some soment nt se subt subten ende de mesm mesm dngu dngulo lo cent centra ral. l. Demonstraeao;
rc Jo de tr angu angulo lo cent centra rais is medio de
Sejam AB AOB
R e l at at ;a ;a o e n trtr e s e m e lh a n 9
-
-
- -
emel emel an es
eore eore
A'O'B'. Sejam
ponto
como
6.
si
quad quadra rado do da raza raza de seme semelh lhan anqa qa
Demonstra~iio: Seja o : F ~
as figu figura ra
F' verd verdad ad quan quando do
F'.
A'B' AB A'M'B', log os angulo angulo (X
(X
2L
ea'
(x
2L
'.
rcos rcos me hant hant ubte ubtend ndem em mesm mesm Angu Angulo lo cent centra ral. l. A'B; AB Reci Recipr proc ocam amen ente te supo suponh nham amos os qu os arcos subtendem ng lo ntra ntra is igua iguais is em rd de gene genera rali lida dade de po em su or
Assim,
estao
ntre ntre os rcos rcos ados ados
concentricos.
tambem
re
quando
Sa
polf polfgo gono no P',
cont contid id em F', tran transf sfor orma mado do po a- nu vezes
P' Q', re poli poligo gono no reta retang ngul ular ar
',
P. cuja cuja area area
r2 vezes
r2
Tf
F. Dest Dest
temos: F'
(1/r)2
Assim,
ro
6.
ve~es_a sao
A'
os tria triang ngul ulos os
lh ne
r2
F ig ig . 1 5
----,
Neste caso, outro ma se
entre
]I"
F.
ig 14
seme semelh lhan anca ca entr entr eLM'
49
se
A'B'
ponto medic deA'B'.
are
F).
mane maneir ira, a,
50
S 9 1f 1f 1 8 l a n
Area
A r ea ea s
ra
Observaeao:
omen omenta tari rios os sobr sobr
eore eore
Teorema 4),
dos, dos, resp respec ec iv
eircunferencia
ur
c om om p r m e n t
d a c i c un u n fef e re re n c
51
nu er real real cuja cuja apro aproxi xi cu i5es i5es go to cujas ao as ar as do pol( pol(go gono no regu regula lare re ele
circu circu nscrit nscritos. os.
Demonstracao
esse esse raio raio Or
do exce excess ss
as ap oxim oximac aci5 i5es es po
Mate Matema mati tica ca", ", pag. pag. 182. 182.
7.
7.
d rc rc u
Indi Indiqu quem emos os co ente ente in cr to no
r. Ev dent dent
fr ul de raio raio
sern sernel elha hant nt
ente ente
os poli poligo gono no regu regula lare re ir un cr to o, ir ul
re de
de
Qn.
nr2
ig
-,-g
urna urna fune funeao ao ao cfrc cfrcul ul de raio raio
1, sendo
Indi Indi ar rnos rnos om tr di io l, om letr letr re ir ul de raio raio 1. Sabe Sabe-s -s qu ur im ro irra irraci cion on l, uj 1t prox prox mado mado om lg ri mo de imai imai xato xato 3,141592. de ur ir ul de raio raio dada dada pe form formul ul
lo
Q~ .........
A=1t A=1t.r .r onde
mimero
ra
1t
Qu remo remo
1.
de
prov provar ar qu
om nd P«
podem tornar-se ta pr6x pr6xim imas as
1tr
xe mime mimero ro de lado lado cres cresce ce inde indefi fini nida dame ment nte. e. re regular ur poli poligo gono no conv convex ex cujo cujo rito rito um ir ul quan quando do seus seus vert vertic ic
st
sobr sobr
ir unfe unfere renc ncia ia ao circ circul ul
circunscrito
quan quando do seus seus lado lado sa tang tangen ente te divi divide de poligono
eircunferencia.
circ circun unfe fere renc ncia ia er part partes es igua iguais is perp perpen endi dicu cula la baix baixad ad ei do lado lado hama hama-s -s ap6tema. Se inscrito, ap6tema
prov provar arem emos os qu
poss possiv ivel el acha acha
ex
Qn
Come Comeca camo mo obse observ rvan ando do qu rdivi divi em
ir unfe unfere re ci
do qu ur qu lque lque
nr2
qu
em
dess desses es rc s,
lado
~.
do poligo poligono no P« pode pode tortormimero de meno meno
S em em e llll an an l1 l1 3 -
A r e a do c iri r cu cu l
A re re a s
Dado
~al1t.
r. Port Portant anto, o,
1tS2
circulo
s,
de cent centro ro
ai
5,
Entao
tern tern area area
a. In/2
5.
Entao an+ln/2
De Logo a. area area do
donde
an+r-s,
an es lt
circ circul ul
s.
an
Veja Veja Qn. Tanto
eg la es insc inscri rito to ag
as area area como Qn
sa ap
olig oligon on
imac imacoe oe
eg lare lare
or
ci unsc unscri ri os
esse esse tr an lo
sa ig is
360 ln. Logo Logo os triA triAng ngul ulos os de
Qn,
L«
Assim, L«
an. Qn, teremos L«
la
(rlan)·ln.
2ln pois
ar-s ar-s
ta
de Qn raio t,
gran grande de na apen apenas as In com tambem tambem L« pode pode tortor-
eq en
anto anto se esej eseje. e. nr2. ~~/n. Entao
~, escrevemos
circulo Ce, r. a, n/
Qn. Temo Temo enta enta Ln/2
prirn prirnent ent
t, logo com queria queriamo mo
Ln/2 Qn
Ct
da eircu eircunfe nferen rencta cta
mimero
ap
real os po igon igonos os regu regula lare re insc inscri rito to cf culo culo ja pr imae imae es aQn dos polig xces xcesso so sa peri peri et poligon onos os regula regulare re Qn circu sc it apn ac aQn, para todo eore eore 8. igual 21tr. Demonstraeaor Prov Provar arem emos os inic inicia ialm lmen ente te qu
comprimento iJ om efei efeito to 21tr, da es lt ri 21tr.
(aCI2)·r<1tr.
regular s; de de P«. que comp compoe oem, m, os quai quai tern tern
Ln/2
Tomando poss possiv iv to na t. lsto lsto sign signif ific ic demon demonstr strar. ar.
area ri gulo gulo
aC.rl2
so
as reas reas apn.anI2,
2.ln
sufi sufici cien ente teme ment nt
e, po defi defini niea eao, o,
ac
Qn,
rt ce
da circunferencia
53
esta esta cont contid id no polf polfgo gono no P«.
P«.
li
comprimento
ac
comprimenlo da c i r c u n l e r e n c i a
p~te p~te (alt (altur ur do tria triang ngul ulos os), ), Assi Assim, m, aC.r/2 aPn.(anlr). Como anlT daf, iJ co clui clui os 21tr. rn absu absu o. Po ta to ao se te ac
onde an aPn.an/2 ac apn,
cu sc lt s, em ez ns rito ritos, s, cl irem irem ta em ue ao 2w. Logo, compr ac 21tr. ser dC comprime imento nto da circun circunfer ferenc encia ia Assim im ro t,qu t,qu fini finido do inic inicia ia ente ente co re ur ci cu~od cu~od raio raio sati satisf sf ta ig al 1t ac/r, ou seja seja diametro.
ac
Obscrvacaoe pr ce imen imento to
se inve invert rtid ido. o.
Figu Figu
21tr do compr comprime imento nto
st
om eheg eheg
$emelanc a,
Exercicios
A re re a s
aC(=2nr)
(8/9)2
da
circunferemcia. 70
r.
equi equila late tero ro
bi 2n lado lados. s. As im omec omecan ando do co triangulo de dupl duplic icac acao ao em dupl duplic icac acao ao cons conseg egui ui calc calcul ular ar lado
cmco cmco algar algaris ismo mo
estao que
cfrculos
mesm mesmo, o, dO seus seus raio raios. s. Indi Indi ando ando A(r)
qu
A(r)
valor
It
em valor
na 3,14 3,1415 159, 9, co
n,
para It ri de re in lusi lusive ve ganh ganhou ou novo novo impe impeto to co advento
ns
seculos dOB
om A(r)
dire direta ta ente ente
prop propor orci cion on
r2.
ou
r, Eucl Euclid ides es sabi sabi comp compri rime ment nt da eircunferencia seu indepe pend nden ente te da circ circun unfe fere renc ncia ia d, inde
c.r
ra
diametro
in-
comprimento 2n da ir unfe unfere renc nc
decimais exatos.
ro XII)
tambem
Ar
aproximaeoes
re
isto isto sign signif ifie ie
metodo
Mate Matema mati tica ca", ", pagi pagina na 256, 256,
Nota hist hist6r 6ric ic 8. Nota
r,
cent centes esim imos os
infe inferi rior or para para ques questa tao, o, logo logo 81 de n..
circ circul ul nu mimero se or s; rear rearra ranj nj m-se m-se sses sses seto setore re na form form most mostra rada da it aprox aproxim imad adam amen ente te ur para parale lelo logr gram am
raio
alga algari rism smos os deci decima mais is
exat exatos os at
aproximacao
Decompee-se
No ue
3,14 3,14 co
96
aC/2
r,
que
6. Ar rt se
revi revist st
re "Sci "Scien ence ce News News", ", de sete setemb mbro ro de 1989,
Umdo Umdos, s, calc calcul ular aram am urn valo valo apro aproxi xima mado do de garis garismo mo deci decima mais is exat exatos os
ffo o
com
bilhao de al-
d. Es de Euclid Euclides. es.
ns
qu
mil
pa
1737
n,
9. Exercicios 1.
0:
~F'
o":
ra
r'
56
S e m e lh an an q
Exercfcios
A re re a s
()-l:
seme semelh lhan anca ca de raza raza
11. Dois Dois
li on eg la es arti articu cula lar, r, is adra adrado dos) s) sa fi ra dois dois retA retAng ngul ulos os sa seme semelh lhan ante tes? s?
F'
l/r.
2.
57
lados (em
se
lh tes. tes. Quan Quan
que
12.
ur dele dele sa homo homolo logo go ao extr extrem emos os do outr outro. o.
do gulo gulo reto reto so pare pareia iais is seme seme1h 1han ante te
reta reta dado dados. s.
ip te sa deco decomp mpoe oe em dois dois tria triang ngul ulos os ao tria triang ngul ul tota total. l.
um isomet isometria ria
Pita Pitago gora ra
colineares, Nu sern sernel el nc nt fi ra soli soli as om lo pont pontos os naonao-eo eopl plan anar ares es sa pont pontos os naonao-co copl plan anar ares es
is poli poli
at
AB
E.
(Orientado
rele releva vant nte: e: prim primei eiro ro A, depo depois is B.) AB ---? E, defm defmid id po 't(X) X, de 't
transla~do
et rmin rminad ad ---?
(AB, (AB, XX') XX')
e, no segu segund nd
po Il, ou
caso caso obte obtenh nh
Pita Pitago gora ra
on ex
mesm mesmos os indi indice ce seja seja
prop propor orci cion onai ais. s.
R' 15 Seja Seja S, R'. Defi Defina na um
(AX, BX')
nao corr corres espo pond nden enci ci O'(X), ponto 0'
tod transl translaca aca
R'. Se
um isomet isometria ria
Rea
reflexiio ---?
Rea
ponto qu toda toda refl reflex exao ao 9.
simetria em torno do po to
sime simetr tr 10.
torno
medi mediat atri ri
do segm segmen ento to XX. Prove
um isomet isometria ria
rn po to
tran transf sf maca maca
XX. is metr metr a.
como como coro corola lari rio. o.
R' sa
aral aralel el s,
st
asso associ ci do R' urna urna seme semelh lhan anea ea entr entr 0' um isomet isometria ria
16 Seja Seja pIan pIanos os nenh nenhur ur dele dele para parale lelo lo Il', urna correspo corresponden ndeneia eia 0': O'(X), inte inte se ao lano lano assa assa X. Most Most 0'
para parale lelo lo an'. an'.
la
ponto
na
pe de
al ad se to ou co
Reo
ase. ase. nume numero ro real real
Areas
S e m e lh an an q
Exercicios
qu este este pr cess cess esse esse valo valor? r?
cont contem em R,
nd
al
ap oxim oximad ad
59
[?Qu [?Qu
25 tLun tLunul ulas as de Hip6 Hip6cr crat ates es.) .) X' da erpe erpe dicu dicula la perp perp ndic ndicul ul baix baixad ad
ai ad sobre
so plano O. Most Mostre re qu
X'YIX'X
O.
seja
'. (F'
sobre
plano
mimero em conj conjun unto to do
A(x,
triA triAng ngul ul
de vert vertic ic
XY, com OX
x, OY
y. Prov Prov
qu
(x,y) A(x y)IA( y)IA( ', ')
2.
qu
esen esen
rn semi semi-c -cir ir ul
onte ontend nd
triangulo, Prove
igual triangulo.
27
race race no la
as se i-re i-reta ta
arco ADC de (out (outro ro clotrianguloABC.
OX OY LXOY. Po
xylx'y'.
ponto A(x, y)
supo supond nd
ip te sa
ABC semi-circulo ABC. entr entr do tria triang ng lo tr ce BC. ci culo culo se lhan lhante te ao arco arco AB arco arcosA sABC BC eADC eADC te re igua igua
Fe
0'.)
so
Angulo XOY
90", 90", 60
k.x.y.
a(P2n)
[a(O [a(O
isto area/F), eITOcometido te an se sa ap oxim oximac acao ao area area
a(Pn) l,
Oq n).
P.
na depe depend nd
45°. 45°.
lado lado nele nele insc inscri rito to enta enta
ad sobre
OY
Determine
um tria tria gulo gulo is sc le ABC (cuj (cuj base base BC seja seja maio maio AD), reta retang ngul ul de base base BC altu altura ra AD arco arco de
circulo ABC. P« poli poligo gono no regu regula la de
em OZ, sejam do pont pont
28 Seja Seja
torn tornad ad em OZ. sp
segmento AC, tome tome
po to
LABE LDBC ABE BCD sao BeE. semelhantes, es corr corren ento to co tria tria lo ABD ("Num ("Num quadr quadrila ilater ter inscritivel, prod produt ut da diag diagon onal al igual so od to lados lados opo oposto stos". s".
de Pt lo
stre stre qu el po
se
2n
conh conhec ecid id como como Teorema sa ar xp imir imir la r, em
circulo. 30. Nu
adra adra o,
tend tend
t6
cujo cujo
erti ertice ce
sa
it po to
ci culo culo
raio raio
cons consid id re
diametro
dois dois pont pontos os
Areas
Semelh~
nte,
An
mostre re qu esta esta rela relaca ca BCD, most sen( f}
ex) sen
ra sign signif ific ic
4.
ol
coso coso seno seno os!> os!>
trigonometria .J 31 Dado Dado ur triA triAng ngul ul ABC ur reta retang ngul ul R, ache ache ur retA retAng ngul ul co ur vert vertic ic sobr sobr AB, outr outr sobr sobr AC lado BC. BC
rest restan ante te
1.
Nocao intuitiva de volume
sobr sobr AB
[Sug st o: tome tome ur pequ pequ no re Angu Angulo lo AC. [Sug BC quar quarto to verti vertice ce aA prol prolon ongu gu at enco encont ntra ra AC.] R,
Ligue
2b
33 Prov Prov qu
proj projec ec
orto ortogo gona na (v ja
defi defi ca
nab.
no Exer Exercf cf io 19
segm segmen ento to de reta reta 34 Nu
triA triAng ngul ul
onde onde
decompoe riAn riAn medi medi
do
qual qual deve devemo mo atri atribu buir ir ur sign signif ific icad ad prec precis iso. o. solido
xtre xtrema ma ra ao Exercicio 34 cfreulo
alcu alcula la
de sa comp comp ra ao sera sera ur lmer lmero: o: medi medida da do volu volume me Cost Costum umaa-se se toma toma como como unid unid de de volu volu ur cuba cuba cu resresqual qual sera sera deno denomi mina nado do 1. ub unit unit rio. rio. eu volu volume me po defi defini ni ao sera sera igua igua Assi Assi send sendo, o, qu expr exprim im qu ntas ntas veze veze solido contem cubo cubo unit unitar ario io Como Como soli solido do claro que significa contem cuba cuba unit unitar ario io
daf
re dess dess de agon agono, o,
36 Dotan Dotando do
pl no de ur
iste istema ma de eixo eixo orto ortogo gona nais is
ej
uma
subs substa tanc ncia ia impe imperm rmea eavs vsl. l. Merg Mergul ulha hand nd
nu
volume
ra
rese reserv rvat at6r 6rio io cont conten en ncha ncha at os bord bordos os
pare parede de do rese reserv rvat at6ri 6rio. o. Ur ta proc proc ss prat prat co de calc calcul ular ar volu volu es pode pode te util utilid id de re ui de ra
62
Volume
V o lu m e d e rn bloco refanguJar
63
volu volume me de ur el tron tron?) ?) AM pe se torn tornad ad ha li ro de gas? gas? re do
chama-se cuba cuba uniu uniuir irio io re
ri
feri feri
fi
po rt
calc calcul ul
indi indire reto to
ra
cret cretos os como como os abst abstra rato tos. s. Este Este obje objeti tivo vo
LS
logo
Afig Afigur ur
cubo cubo unit unitar ario io abai abaixo xo ilus ilustr tr caso
om vere veremo mos, s, no fore forear ar
olum olum de ur
just justap apos osto tos, s, 4.
Fig. 2 . C U b o de a re re s "4 decomposlo c u b o s u n ilil A riri o j U S lala p o S I O S .
defini~ao defini~ao precisa. precisa.
2.
urn
ra
loeo loeo re angu angu ar
Urn bloco bloco retangu retangular lar faces. arestas do bloco, Ur tijo tijolo lo
urn exer exernp nplo lo de ur bloc bloc reta retangu ngula lar. r.
F ig ig . 1 . arestas b, bIoco retangular. determinam
no mesm mesm
mime mimero ro inte inte ro
de part part
rn ri igua iguais is de ompo ompo-l -loo- mo em
rn
q3
11q.
o o))
um
qu llq3, ou
3.
medi medida da ur nume numero ro ra iona iona plq, pode podern rnos os deco decorn rnpo po eada eada um de rn fi ra conh conh cern cern de su ares ares as qu onco oncorr rr rn nu pont ponto. o. cuba od mesrno mesrno compri comprimen mento. to. As sa quad quadra rado do igua iguais is
do
primento volu volume me de
llq.
Dest Dest modo modo da
da cubo cubo meno meno
p3 llq. 11q3. Assim,
64
Volume
a, entao Sob oble oble
lu
al la
inte inteir ira, a, raci racion onal al ou irra irraci cion onal al
possivel,
usar usarem emos os nova novame ment nt
mesmo mesmo quand quand irracional, vol(C) meto metodo do da exau exaust stao ao most mostra rare remo mo prim primei eiro ro entao entao y> vol(C}. Concluirernos
y>
dida dida
ai se sf el
is
medida
co em
es
sim,
tant tant
itag itag as ja se sa ia
nume numero ro irra irraci cion onal al.. ..f2 f2
vz, ou 1t, como
el seja seja en ontr ontr
apro aproxi xima mado dos, s, como como 1,41 1,41 ou 3,14 3,1415 159. 9. Entr Entret etan anto to so to ista ista te ri raci raci
65
V o lu lu m e d e u m b Io Io o o r e ta ta n gu gu la la r .
(Cfr (Cfr Se~a Se~a
obte obte em
resu result ltad ados os te
e, om
tica tica lado
da qu vol(C) tal que
Podemo Podemo
aproxi aproxirn rnar ar
r3,
rq
raci raci
l.
lufm lufm
ci al ja
r3
esta esta
vol(C)
e,
vol(C).
fo
ladrilho 3. f or o r m a d p o r q u a dr d r ad ad o s de ad 1,e ao a r e s t a d o c ub ub a ta medida nt'smero irracional
rn alor alor
b, que r3 Entao ba tern tern medi medida da b, contem mime mimero ro raci racion onal al r. Segu Seguee-se se qu vol(D) vol(C).
que vol(D) portanto,
do Capitulo Capitulo 1.)
nume numero ro irra irraci cion onal al
imer imer
io
entao
vol(C).
Seja Seja ag ra tres
..n.
q, onde a, b, ceq sa mime rned rnedid idas as sa mimero ro inte inteir iros os co nd as tr rest restas as bloc bloc B, resp respec ecti tiva vame ment nt em a, bee segm segmen ento to igua iguais is cada cada ur dele dele de comp compri rime ment nt l/q, bloco fica ficara ra deco decorn rnpo post st em abc ub just justap ap st s, ad esse esse cu tend tend ares aresta ta l/q e, port portan anto to volu volume me 1/q3. SegueSegue-so so que A g 4 . B lol o c s ub u b d v id idid o e m c ub u b o u s a po p o s o s o de de s mesmo voume.
Qual entao medi medida da ur mime mimero ro irra irraci cion onal al ir e, in tem-se vol(C) Em cons conseq eque uenc ncia ia f6rm f6rmul ul C)
st
caso caso
66
Volume
De n~
voI(B)
Po cons conseg egui uint nte, e, pode podemo mo enun enunci ciar ar dess dessas as medi medida das, s, isto isto e, vol(B)
! ! . £.
abc
rst
Se um bloc bloc reta retang ngul ular ar
tem produto
c,
abc.
irracional,
Tem-se Tem-se portan portanto: to:
abc.
r.s.t
bloco logo vol(C)
resp respec ecti tiva vame ment nte. e. volume isto ar
xaus xausta tao. o. Evid Evid nt ment ment es form formul ul in lu que rt Dado bloco bloco retang retangula ula B, supo suponh nh mo qu mimero bet cont contra ra mime mimero ro raci racion onai ai a, resp respec ectI tIva vame ment nt qu
b,
c, abc. Pode Podemo mo en abe
s,
t,
rs.t, Portanto
voI(B). Anal Analog ogam am nt se most mostra ra qu od im ro volu volume me de B. Portanto, vol(B) abc.
pode podemm-se se obte obte nume numero ro rst abc. De
x/bc
raci racion onai ai
r, s,
abc resulta x/bc a. Entao rbe abc x/rc b. Segu Seguee-sa sa qu x/rc
x,
Z.
Vex,
Vex,y, z) Para Para od im ro
n.V(x,y, z)
pr meir meiros os nume numero ro
volu volume me de ur bloc bloc
z)
diss disso, o,
Vex, c.y, z)
V(x, V(x,y, y, c.z) c.z)
c.V(x, c.V(x, y,
z)
[Vej [Vej "Meu "Meu Prof Profes esso so de Mate Matema mati tica ca", ", pagi pagina na 165. 165. Enta Enta Vex,y, z)
V(x.l V(x.l y, z) =x.y.z.VO,
1;
Observacao 1.
V(c.x, V(c.x, y,
AM
rest rest
x.V( x.V(l, l, y, z)
x.VO, y. z)
x.y.V(l, 1, z)=x.y.V(I, I, z.I) z.I)
r.s.t r.s.t =.ool« =.ool«(;) (;) vol(B),
isto
co
evid eviden ente te qu Vex,y, z) um func funcao ao x, Segu -s nt qu Z. Segu Vex,y, z) dire z, direta tame ment nt prop propor orei eion onal al as ares aresta ta x, todo todo im ro re posi positi tive ve c, temtem-se se
abc.
vol(B). Mas ja vimo vimo qu vol(O)
x/rs prov provar ar
Vex,
z)
porq porque ue cada cada um do tr
cuja cuja ares aresta ta tem. dado dado pela pela or ul
67
Obser Observa va~ao ~ao 2.
volu volu do bloc bloc reta retang ngul ul natural temos
re
vol(B)
abc, como como se pret preten endi di
g e a l de v o l u m e
a,
b,
abc
abc,
3. Definicao
C.
volu volume me do cubo cubo unit unitar ario io
geral de volume
como bloco retangular retangular Abor Aborda dare remo mo
b. rsc, donde x/rs
pois V(l,
=x.y.z.
cub unitar unitario, io, alcu alculo lo do vo um de ur em segu seguid id
prob proble lema ma de calc calcul ular ar
olum olum
de
68
Volume
ch ga
D e f i n i 9 0 0 g e m l de v o l u m e
um ta defi defini ni
cont contid idos os em S.
gera geral. l. Fig. d e s e nh nh o a c i n a m o s t u r b lolo c r e tata n g u a r ( T rara t aa- s d a r e p r o d u Q a o s i rn rn p l ifif icic a d a de u rnrn a c a s a q u r e a lm lm e n t e e x i sts t e .
poli polied edro ro
69
vol(S) seja
aproximacoes reta retang ngul ular ares es cont contid idos os em S.
polied poliedro ro retang retangula ula cont contid id em vol(S), ro retangular Q, cont contid id em S, com
co
vol(S ;:::ol(P) ;:::ol(P) ta be dado dado qual qualqu quer er rn ro
vol(Q) vol(Q) :::;ol(S). :::;ol(S). R g .6.6 . P o l e d r r e a n gu g u lala r c u j volume uma aprox rnaQao i nf nf e r o r p a r a v o u m e d o s O l d o contem.
poliedro ro retang retangula ula Deflnieao, Chamaremos polied
todo todo soli solido do form formad ad
justapostos. faei faei obte obte bast bast so ar os volu volume me do bloc blocos os reta retang ngul ul re
qu
deseja jamo mo S, dese vol(S),
contem
defi defini ni
ro constituem.
prec precis isam amen ente te mimero idel idel inic inicia ial, l,
vol(S) cub unitar unitario. io.
sabe os S, sabe cular vol(P). satisfazer condicao vol(P)
Vpar
l-
vol(S), od poli polied edro ro re angu angula la
onti ontido do em S.
Os nume numero ro vol(P), re fornec ecem em apro aproxi xima maeo eoes es infe inferi rior ores es para para S, forn P, re P, vol(P') gular P', para vol(S). vol(S) re
(Aprox oxim im ca po ex sso. sso. Seja Seja Observaeao, (Apr volu volume me dese deseja jamo mo calc calcul ular ar Pode Podemo mos, s, aind ainda, a, cons consid ider erar ar os poli polied edro ro retangulares qu cont contem em s6lido S. Sabe Sabemo mo calc calcul ular ar volume voltS), deve ro ro tambem tambem satisf satisfaze aze condicao vol( vol(Q) Q) para para todo todo poli polied edro ro reta retang ngul ular ar
Os mime mimero ro eontem
ro
melh melhor or sera sera re
contendo S.
vol(Q),
apro aproxi xima maca ca
seguin seguinte te propri proprieda edade: de:
bloco retangular retangular contendo S, vol(Q) para olum olum de S. vol(S) mimero
P r in in c i pi pi a d e C a v a lili e r
Volume
ua sque sque vol( vol(P) P)
acim acim
cara caract cter eriz iz
qu
seja seja S, vol(Q).
os poli polied edro ro
volume
reta retang ngul ular ar S, tem-se
voleS) palavras, S, se
er
4.
ea
ue sati satisf sfaz az
Prin Princi cipi pi
Convenhamos ante anteri rior or sati satisf sfaz az calc calcul ulo, o, el
voleS) volu volu condie condieao ao acima acima desta destacad cada. a.
unico
de pouc pouc valo valo prat pratic ico. o. Seri Seri
Il
plana volu volume me de
volu volume me de
sao iguais iguais Enun Enunci ciar arem emos os enta entao: o:
de Cava Cavali lier er necessidade logica de
Esco Escolh lhar arno nos, s, de urna urna ve po toda todas, s, ur plan plano, o, qu cham chamar arer erno no plan plan hori horizo zont ntal al To planes sera sera ta be charna charnados dos planes planes horizontais. Sejam dois dois soli solido dos, s, Cada Cada plan plan hori horizo zont ntal al deterrnina B, se~o no s6li s6lido do se~oes es plan planas as qu indi indica care remo mo resp respec ecti tiva varn rnen ente te com co is
ecis ecisar ar
em on eito eito to i1~. i1~. extr extrem emam amen ente te labo labori rios os
Princ Principi ipi de Cava Cavali lier eri. i. Sejam plan plan hori horizo zont ntal al secc seccio iona na igua iguais is entn entn vol( vol(A) A) vol(B).
definieao, fig. $e, p a r c a c p lala n h o z on o n tata l D , a s s e ¢ e p la na na s D f ve em Dn m e s m a a re r e a , e n tata o P r i n c i p i a de C a v a l i e r i a ss s s e gu gu r q u o s s6 do tern m e s m o v o lu m e .
Princi cipi pi de Abor Aborda dare remo mo agor agor ur resu result ltad ado, o, conh conhec ecid id como como Prin Cavalieri, cujo cujo valo valo prat pratic ic para para calc calcul ul de volu volume me sera sera evid eviden en ciad ciad no para paragr graf afos os segu seguin inte tes. s.
li~ijes. ce ta em s, se rea, rea,
tern tern
rt
to, segu seguin inte te
duas duas
apro apro im darn darn te na
lu es as fati fatias as en vemo vemo qu vol(,A) vol(B).
ndic ndicac acao ao
el
tornar-se ao
verdadeiro.
ecis ecis
nt
se esej eseje, e,
Volume
Prin Princi cipi pi
I-'rinCipio
de Cava Cavali lier er redu redu
apli aplica cado do Aqui Aqui dare daremo mo as prim primei eira ra
calc calcul ul de volu volume me ao calc calcul ul apli aplica caco coes es
TI
befini~ao. Urn paralelepfpedo rale ralelo lo ra s: suas suas face faces. s. Esta Esta face face ag pa -s
ares ares em opostas. base,
altura correspondente seja face face opos oposta ta sobr sobr plan plan da base base
Isto Isto term termin in
Demonstraeao. To os base; este este la to os rn reta reta
altura h, igual retangular vol(B) a.h. quer querem emos os demo demons nstr trar ar apli aplica care remo mo
F ig ig . 8 . p ar a r a e le le p ip ip e d b lol o c o r e ta t a n g u lala r m e s m a a l u r he a s a se se s e m
produto da drea
aces aces do aral aralel el pipe pipe lo cuja cuja re
Prin Princi cipl pl
nn
B.
TI'
vol(B)
f',j
eRe
nrIP
R,
nn
n. Conclufrnos,
a.h.
demo demons nstr trac acao ao
f6rm f6rmul ul para para volu volume me de ur cili cilind ndro ro Defi Defina namo mos, s, inic inicia ialm lmen ente te qu ente entend ndem emos os po cilindro.
retangular. de um paraleleptpedo
P, enquanto
proiecao o:TI-7n', isom isom tria tria xerc xercic ic ap 3» Segu Segu -s plano plano horizo horizonta nta enta entao, o, pelo pelo Prin Princi cipi pi de Cava Cavali lier eri, i, qu vol(P)
As arestas para parale lelo logr gram amos os qu cons consti titu tuem em suas suas face faces. s.
volu volu Teorema 1. base ba se pela pe la altu al tura ra da
ad al er lano lano iz ta para parale lelo logr gram am cong congru ruen ente te reta retang ngul ulo, o, tamb tambem em cong congru ruen ente te it
cavalieri
seja seja igua igua
vol(P) a.h, como av lier lieri. i. Ora, Ora,
Deimicao. ecam ecam do cili cilind ndro ro Toma Tomare remo mo ci in fi eter eter in g, ao para parale lelo lo la se inte inte mo ca segm segmen ento to
eo cilindro
F, base igur igur la la onte onte om iz ta su as geratriz do cilind iz tal, tal, cham cham cilindro, ro, to le anta anta rn se nt g. reun reunia ia dess desses es as geratr geratriz iz g. c i l i n d r o C, q u e r F ig ig . 9 p o b as as e g u p la n F e p o g e r a t r j z s e g r n e n l o g, r e u n i a o de o d o o s s e gm g m e n lolo s g, p a rara lele lol o s c on o n g ruru e n e s e v a n a d o d o s p o n O s d e F.
As extr extrem emid idad ades es na pert perten ence cent ntes es base do segm segmen ento to qu geram cili cili co stit stit em ur ig ra lana lana F", cont contid id nu
Volume
V o u m e d e u m c on on e
F' sobre
pl no de
chama-se
altura do cilind cilindro ro C.
Demonstracao. Fe, tendo contem F, re este este reta retang ngul ul como como base base cons constr trui uimo mo ur bloc bloc reta retang ngul ular ar cuja altura seja seja igua igua plano IT horizontal Il, F, enquanto ur reta retang ngul ul cong congru ruen ente te Segue-se que plano horizontal Em virt virtud ud do Pr ncip ncip vali valier er on lu mo qu
vol(C)
qu demo demons nstr tr Note Note-s -s qu
vol(B)
Teor Teorem em 2. defi defini niea ea de
Em part partic icul ular ar
a.h,
li dr
Quan Quando do isso isso acon aconte tece ce cham chamaa-se se ur prisma. Assi Assim, m, temo temo Deflnieao, Prisma
5. tend tend Definieao, Urn cone cone como uertice ur pont pont se ment mentos os de reta reta qu liga liga
Teorema 2. base pela pela altu altura ra da base
nclu nclu
it segu seguin inte te
ur para parale lele lepi pipe pedo do Ob er e-
ue
de on tr oe
perp perpen endi dicu cula la
dist dist nc
om base
vert vertic ic sobre
altura do cone cone
de uertice Seja
Lema.
e,
sera sera cons consid ider erad ad complan plano, o, cham chamaa-se se
altura ho outr outr plan plan hori horizo zont ntal al ec distanci~ Fe uertice TemTem-se se
area (Fo) area (F
r a z a o e n t a s a rer e a s d e g ua u a l a o q ua ua d a d d a a za o e n t r a s a ltl t ur u r a s he 1 l J .
ur eili eilind ndro ro cuja cuja base base sa poli poligo gono nos. s.
ca part partic icul ul Te re inteir inteirame ameute ute semel semelhan hantes tes
o~ onta onta
relacao
ue ac ba os de da
75
sa
ao plan plan
cili cilind ndro ro reto reto base base ur ol go o, rnos ur prism reto. Ur para parale lele lepi pipe pedo do reto reto cuja cuja base base urn retang retangulo ulo simp simple le ment ment ur bloc bloc reta retang ngul ular ar Note Note-s -s aind aind que, que, como como cons conseq eque uenc ncia ia do Teor Teorem em 1, qual qualqu quer er produto de su re el tura tura corr corr pond ponden ente te mesmo. cr:n--tno, cr(X) no
76
Volume
V ok ok Jm Jm e d e
ob
PX com
11 Capi Capitu tulo lo 3. Ev dent dent ment ment lema segu seguee-se se doTeore doTeore Fo -logo lema
seme semelh lhan an 6, Capi Capi ul
plano TIo, ho h. (Vide (Vide Figu Figura ra transforma em 3.
Teore Teorema ma 3. tern tern volu volume me igua iguais is
gu
Demonstraeao, Sejam bases
ho
re
4.
volume de
on
Demonstraeao.
area area gu B'B
ABC
nd
ABCB' alturaBB'.
c on on e
gu
vo um do cone cone dado dado tern ABC qu tern segmento B' um
ABC pela
TIo
ra
ri
ve plano TIo, area area igua iguais is pois pois segu segund nd Lema, area(Fo)
onde plano n. como como quer querfa famo mo
rea (Go)
demo demons nstr trar ar
ra ri
KeG
situad situad
ntre ntre
F ig ig . 1 2 pr direita foi decomposlo p i r a m i d e s ABCB', A 'B 'B 'e 'e ' ACe'£! v o lu lu m e s i g u a is .
o)
(e igua igualm lm nt
rn fa ba
TI
do vert vert ce ao vol(K) vol(L),
ur poli poligo gono no hama hama-s -s um pirtimide. As ra ul Ur tetraedro. Levantemos F lg lg .1 .1 1 U m a p i r a m i d e c o m b a s p e n ta ta g on on a l
A'B'C'. Como
perpen endi dicu cula lare re ao plan plan ABC, de comcomCC', perp Obtern rnos os ur pris prisma ma reto reto de base base ABC BB'. Obte volu volume me dess dess pris prisma ma
AA_'
pira pirami mide de ABCB'. ABCB', (com base base cong congru ruen ente te A'B'C'A (com base ACC' congruente base ACC'B', uj base AA'C' B', igual al· ra AA'C'B', B'.
A r e a do cilindro.
Volume
cuja base
Co ol lo ctrculo d e
RJ
urn
volu volume me do cili cilind ndro ro (21tR
vol(T)
6. Volu Volume me da esfe esfera ra Definieao.
entr entr
esfera
Reo
conjunto
R. R.
Teorema
tR 3.
tR3.
Assim orem orem star star er onst onst ad se pr ar volume T. da esfe esfera ra Prin Princi cipi pi de Cava Cavali lier eri, i, s6lido dete determ rmin inam am secO secOes es T, horizontal Dado plano seja (0 que sfer sfer mesm mesmo) o) ao vert vertic ic comu comu do dois dois cone cones. s. Enta Enta
-.
ur cfrc cfrcul ul de raio raio R2
~emonstra~iioo cfre cfreul ul de raio raio es er ad :e se so base base do cili cilind ndro ro
2R.
la
iz tal, tal,
urn
th
r c( c( f
tf.).
enquanto
2,
um coro coro circ circul ular ar cujo cujo raio raio exte extern rn areaffl
S)
area area(O (O Is
co lu
de
stra straea ea
1t
(R
1t
(R
2)
).
eo em
m e s m o p lala n delermina e n t a s p a e d e cilindro, d irir e i a ) u r a n e l c irir cu cu lala r c u j a rere a a m e m m e d e
co ceit ceit
elem elemen enta ta s:ru s:ruam amos os dois dois ~o~e ~o~esJmt sJmter erio iore re ao cili cilind ndro ro co base base naqu naquel eles es dois dois c.lr c.lrc. c.ul ulos os qu limi limita ta cilind cilindro ro Consi Consider deremo emo solido que
igua igua aR
h. Segu Seguee-se se qu
esta esta co ti
esfera fig. 1 3 . C o r a n d p o u m plano h o r i z o n t a l que dista hd c e n r o o b tete m o s u m c i c u c u a rere a m e d
r c( c( f
d a e s fe fe r a
cones (21tR /3), ou seja seja
2h.
rr
dife difere rene ne
c on on e
su erfi erfici ci
an
ab da
co
io
proprio en rali rali ad
do caso caso clas classi sico cos. s.
Area Area do eilin eilindr dro. o. cuja cuja base base
circ circul ul
raio raio R. Su supe superf rfic icie ie
fo
ad
h, dois dois
Area do d lili ld ro ro , d o c o n e
Volume
cfrc cfrcul ulos os de raio raio ntos ntos s uupp er er f c i a te te ra ra l re ni comprimento h, perpendiculares pont pontos os da circ circun unfe fere renc ncia ia basi basica ca .Cortando ilin ilindr dr ao long long de ur dess dess segm segm ntos ntos pode podemo mo 21tH
supe superf rfic icie ie late latera ra vale 21tRh.
do ilin ilindr dr
h,
1[l2
21tH 21[l
donde
d a e sf sf er er a
niB.
[Uso [Usouu-se se acim acim
prop propor orci cion onai ais. s. Ve "Meu "Meu Prof Profes esso so de Mate Matema mati tica ca", ", pag. pag. 160. 160.
igual
cone F igig . 1 5 d e s e n v o l v i m e n t o de s u a s u p e rfrf icic i a t e rara l sobre plano.
F i g . 1 4 . 0 c ili l in d r o s u a s u p e r fkf k : i l a tete r a l a p l icic a d a sobre plano.
21fR
Em segu seguid id cons consid ider erem emos os rc de ra R. Su supe superf rfic icie ie form formad ad up rf reta reta igan igando do Di er qu rm reto todo todo os mesm mesm comp compri rime ment nt l, um
on
base h, co base pelo pelo circ circul ul basi basico co
geratriz
ul
dicu dicula la ao plan plan dess dess circ circul ulo. o. Evid Eviden ente teme ment nte, e, Cortando supe superf rfic icie ie late latera ra sobr sobr l, circ circun unfe fere renc ncia ia de comp compri rime ment nt 21tH. igual
on '"
rp R2
Area Area da esfe esfera ra
supe superfi rfici ci "des "desen envol volvi vive vel" l" isto isto depo depois is plic plicaa-la la sobr sobr ra re
e, nao ff
cone. Da re
ra nd da reun reun ao de segm segmen ento to
ua de reta reta de ompr omprim im nt
re ra on (dif (dif renc renc
h.
ntre ntre os
on e A r e a d o c i lili n d roro , do c on
Volume
de h,
h,
volume
R. simb simbol ol ""para ""para sign signif ific icar ar "apr "aprox oxim imad adam amen ente te
obte obtemm-se se no limi limite te
igua igua a" temo temos: s: "V
primento (= lado lado do poli poligo gono no insc inscri rito to). ). crita definidamente
~1t
3-
(R
1th(3R
re dess dess supe superf rf ci
F i g 1 6 . P o l ig o n o r e g u lala r n s cr c r itit o n u m s e m i-i - c r cu cu l s up up e r c i d e r o a c a p a r e l g e ra ra d a .
).
pequ pequen eno, o, as parc parcel elas as 3Rh
ns
re da esfe esfera ra
Assi Assim, m, para para valo valore re pequ pequen enos os de h, temos
he real realme ment nt
ci e s l e r a
sa insi insigg-
nifi nifica cant ntes es logo logo
'3
41tR
1t
ue
fi
igual
41tR
ra
ri
fa rg
tron tron
ri
fr do tron tronco co
41tR2
demo demons ns raea raea da f6rm f6rmul ul de Calc Calcul ulo, o, como como apli aplica caca ca
41tR2
do conc concei eito to de inte integr gral al Demo Demons nstr trae aeoe oe
41tR2
mane maneir ir rc
2n
form formad ad
po
ados ados
raio r. altu altura ra Seja comp compre reen endi dido do entr entr aeim aeim
idei ideias as origi origina nais is de Arqui Arquime mede des. s. f6rm f6rmul ul
de one. one. Po defi defini ni ao ur tronco de cone (reto)
desc descri rito to
Reo
topo ntre ntre
ba 1tR(1
ro y) -?tr -?try, y,
onde l+ fi
niei nieial alme ment nt
de Arqui Arquime mede des. s. rn
ro
In
or rota rota o, essa essa poli poligo gona na gera gera um supe superf rfic icie ie
para para elim elimin inar ar y. Come Comeea eamo mo co
drea drea late latera ra do al Lema 1. gera geratr triz iz pelo pelo comp compri rime ment nt da circ circun unfe fere renc ncia ia medi media. a. Demonstra9io: (R
reta retang ngul ul
ha na Figu Figura ra 17forne 17fornece ce
r)/2.
maio maio
tria triang ngul ul
Area d o c i lili n d roro ,
21tml
y), ou aind ainda, a, rl Ry gu ldad ldad ul ipli iplica ca
1t(R
r)l
7tR(1 y)
eser
85
p r im e n t Fig.18.0 a p 6 l e m a , de c o m pr
a , perpendicular a r e st s t a a te t e r a l d o t roro n c o de c on o n e , p as a s sa sa n d o p e s e p o n t m e d io io . g u a ldld a d e ah p e rm rm i e x p m i a re r e a d o ! roro n c de c o n e de m o d o c on o n v en e n ieie n t p a r c a lc u la r a re r e a ia e s f e r a .
+y
isto e, Ry r(l ro dest dest
c on on e
ry.
Somando RI or 1t, resulta
-1try
F ig ig . 1 7 .
s e g m e n t o de m e d i d a I, g irir an an d o e m o m o d o e b o v e c a g e u m o nc nc o cone d e a ioio s re R. s e gm g m e n h o z on o n tata l q u g a m e i o ia a l u r a o m e i d a a re re s a tete ra ra l d o o nc n c o d e c on o n e e r c om om p r m e n (R r ) / 2 .
\y
ou seja seja
ml=ah, Portanto, 2rrah
Observaeao, ml hi
Teorema. Nu tr ne ne cham cham do segm segmen ento to de reta reta perp perpen endi dicu cula la to edic edic term termin in do ixo. ixo.
2rrah do
area lateral do nt M ) da
ao comprim comprimento ento evan evanta ta lo se
ap6tema
geratriz
21tm1
area area late latera ra do tr co
rm la 2rrah
area area late late al
al
on am em nest nest
Adrea da superficie esferica de raio raio
igual
caso caso 47tR
Demonstraeaos
semi semi-c -cir ircu cunf nfer eren enci ci
de raio raio
2n
4rraR, if
igual ao produto
numero para Rea que
Demo Demonstr nstra~i a~io: o: tria triang ngul ul reta retang ngul ul de hipo hipote tenu nusa sa cate cateto to seme semelh lhan ante te ao tria triang ngul ul retA retAng ngul ul de hipo hipote tenu nusa sa cate cateto to na figu figu (p is perp perpen endi dicu cula la em perp perpen endi dicu cula la h). Logo
rt to ig al
41tR
faci faci obte obte R. nu ro cuja cuja ap xi acoe acoe po alta alta sa lu es li ro insc insc it es er isto isto poli polied edro ro nela nela cont contid idos os os quai quai tern tern seus seus
Observaeao,
Volume
N o t a hist6rica
Os um s e u s d ia ia m e tr tr o s apro aproxi xima mada dame ment nt igua iguais is ao raio raio suas suas se apro aproxi xima mada dame ment nt igua igua isto
41tR
Como
area area
su erfi erfi ie es eric eric
volu volume me de cada cada pira pirami mide de
'3 base base se ue-s ue-s ue so do polied poliedro ro inscri inscrito, to,
altu altura ra
er
do cili cilind ndro ro sa prop propor orci cion onai ai exis existe te co st nt
es
nt
as
c om om o
lt a. Mais Mais
c ub ub o
ecis ecisam am nte, nte,
expressao
lu es dess dessas as iram iram des, des, isto isto apro aproxi xima mada dame ment nt igua igua
volume
'3
se
al ura. ura.
Escolhendo 1.
Este Este argu argume ment nt ri en
nter nteres essa sant nte, e, tr tras tras cois cois s, inad inad esta esta rm la
ue ex li
se volu volume me tern tern
8. Nota Nota hist hist6r 6ric ic
ta
lu es sa trat trat
li es
Li
le ento entos. s.
ha
teor teorer erna na
A s p i m id id e
T od od o p r m a equivalentes.
me ma ba
spr ma ent
ne a l u ra ra .
me ma ba
c om o m o u a a l u ra ra s
a ng ng u a r
cones c i n d o s d e m e m a b a c om o m o u a a l u ra ra s o u b a e s
Os
qu
41t/3.
ao al la
imei imei rq imed imed
reso reso vess vess rnai rnai nota notave ve
Ia
ci nd
o u a l u ra ra ) e s
ro
problema.
ou ba es
vo um
cRa, onde Reo raio raio Ma Eucl Euclid ides es
expr expres essa sa
ge io
me ma
d ec e c om o m p o e m r e p i a m id id e
u m e rc rc o
quim quim es
sa face facets ts
demo demons nstr trad ados os sa os segu seguin inte te
a l u ra ra ) e s
calc calcul ular ar os volu volume me dess desses es s6li s6lido dos. s. anto anto es era, era,
ent
ida. ida. Euclides. vi Ar ui edes edes co te epis epis io itor itores es s, co de sair sair eorr eorren endo do mi el as ir cusa cusa rita rita Eu ek !" ac ei nceb nceb r, nq to se ava, ava, se co ecid ecid inci inci io so re rp lutu lutuan ante tes. s. su fi naea naea stic stic ei Si ac sa
Volume
800re
Ar~
e o si si n d e a re re a s
v o lu m e s
redo redond ndos os (cil (cilin indr dro, o, cone cone sfer sfer calc calcul ul nf nite nitesi sima mal, l, om inte integr grae aeao ao de funeo funeoes es elem elemen enta tare res. s. ealc ealcul ul fo dese desenv nvol olvi vido do na segu segund nd et de do se ul 17 po partir
cart cartes es Arqu Arquim imed edes es entr entret etan anto to ja pode pode se cons consid ider erad ad precursor do etod etodos os infi infini nite tesi si ai qu cond conduz uzir iram am no de inte integr gr l. padr padr it li no Bona Bonave vent ntur ur Cava Cava ieri ieri disc discfp fpul ul de Gali Galile leu, u, de ur pass pass mpor mpor tant tant na es dire dire co se livr livr "Geo "Geome metr tria ia do Indi Indivi visi sive veis is". ".
ro pres presen enea ea de Marc Marcel elo. o. Arqu Arquim imed edes es fo
r, fe
rf
seguin seguintes tes teorem teoremas: as: igua igua
quat quatro ro ueze ueze
maior
ctrc ctrcul ul nela nela cont contid ido. o.
esfera
igua igua
quat quatro ro ueze ueze
maio maio circ circul ul nela nela cont contid id
re se orgu orgulh lhav av
cuja cuja altu altura ra
cone cone cuja cuja base base eo raio da esfera.
fa qu qu ri M-Iogr M-Iograv av do se tu ulo: ulo: ma or do tr ulos ulos onti ontido do na esfe esfera ra po altu altura ra diam diamet etro ro dess dess esfe esfera ra sm sf ra su supe superf rfic icie ie incl inclui uind nd as base bases, s, tamb tambem em igua igua meia meia supe superf rfic icie ie da esfe esfera ra". ". Este Este enun enun iado iado onte onte form formul ulas as tant tant
43
V=31tR
duzi duzida da po Cava Cavali lier eri. i.
Sobre form form la para para volu volu es area area do orpo orpo as segu seguin inte te alte altern rnat ativ ivas as se apre aprese sent ntam am perfei ei oada oada po Arquimedes, perf
S=4nR
R. re
ra pl na para parale lela las. s. As id ia de Cava Cavali li ri xerc xercer eram am fort fort nf uenc uencia ia em Leib Leibni niz. z. Mesm Mesm Newt Newton on ou ro ri do do alcu alculo lo embo embora ra as
rq
olid olidos os ma
onhe onheci cido dos, s,
utor utores es mode modern rn os om Lege Legend ndre re
re ra requ requer er prox prox ma oe po poli poli dros dros re angu angula lare res. s. Comp Comp rand rand (com (com pare parece ceri ri natu natura ral) l) co stud stud da re do para parale lelo logr gram am
Soci Socied edad ad Bras Brasil ilei eira ra de Mate Matema mati tica ca intrigou
rt
Exerc K : K l S
Volume
do Eucli Euclide de pira pirami mide de
do para parale lele lepi pipe pedo do
apro apro im nd os po
ir
rito rito
ides ides
is as
rota rotaea ea torn torn ur ia tr circ circul ul eq at ial. ial. ss ig a,
bras brasil ilei ei s, salv salv
ra te ur inte inte al
alte altern rnat ativ iva, a, qu desc descre reve vemo mo B) Usar
Calculo
movi movime ment nt
no sent sentid id
do
al ul
C)
imer imer
fundo,
onte onte do
la
po co
ai
de mode modern rniz izar ar
pres presti tigi gios os
mate matema mati tico co
nsi
esco escola la do anos anos corr corres espo pond nden ente te
fsic fsicos os co
le enta entar, r,
loci loci ad
em
lu es eram eram
mpli mplica ca
em lo
ac le aeao aeao ar
ot ei
pois pois ar
il st ar
tilizar tilizar
estu estu
al lo
if re ci
(4 (2 anos),
fo ma ti
Deri Deriva vada da (gin (ginas asio io ltim ltim an
inte integr grai ai cole colegi gio) o) cu so
prin princi cipi pi
prin princi cipi pi
ntui ntui ivam ivamen ente te pont pont frac frac
arie arieda da
de Cava Cavali lier eri. i.
de Cava Cavali lier er
ce ta el
nd
rn resu result ltad ad
so re inte inte ais. ais.
ra idam idamen ente te ao o,
fizemos, es lt dos. dos. eu
ampl amplam amen ente te
comp compen ensa sada da
po suas suas vant vantag agen ens. s.
10 Exercicios 1.
volu volume me de ur soli solido do raza raza entr entr lu es cuba cuba da raza raza de seme semelh lhan anea ea is ub 4. Nu
divi divi id r~ cu sos: sos: prim primar ario io comple complemen mentar tar ou pre-u pre-univ nivers ersita itario rio
gran gran
nos fundame fundamentos ntos
eg la insc insc it seea seea for-
az do
Inim Inimit ites esim imal. al.
cert certos os co ceit ceit
reas reas
li im
Ja
segu seguir ir
Calc Calcul ulo, o, suav suav ment mente, e, no curr curric icul ul
ur assu assu to
es ctiv ctiv me te
form form
se .eal .eal la ep is se ss limi limite te do pohg pohgon on aume aument ntar ar inde indefm fmid idam amen ente te
defi defini ni iv
Arquim Arquimede edes. s.
as sf ra
bloc bloc reta retang ngul ular ar drad drad ares aresta ta
oi soli soli
se el ante ante
aisq aisq er sa fi ad ad di ue nc rrem rrem
as se
lhan lhante tes. s.
na erti ertice ce
adas adas as semi semi-r -ret et ao co la re OX OY OZ, co es -origem seja V(x,y, z) cuja x, z. XYZ, OX OY base triangulo com OZ Prov Prov qu V(x, V(x, y, z) dire direta tame ment nt prop propor orci cion onal al x, conc conclu lu qu
Volume
ExefCi:ios
V(x,y,z) V(x, s', Z f
6. V(x, y, z)
resu result ltad ad acim acim enun enunci ciad ado. o. Prov Prov tamb tambem em para para figu figura ra plan planas as
LYOZ xyz/6.
7. Decomponha sendo
ru
re
aV2. aV2.
re
mesmo
de
aoz
LYOZ sao XYZ igual XOY, XOY, XO YOZ. Exer Exerc. c. acim acima. a.
LXOY, ri
re
(Sug (Suges esta tao: o: us o orr
nllB
seec seecio iona na os s6li s6lido do
um const constan ante te enta enta
nnA.e
uol(A)
na og
rp
do Exer Exerci cici ci
OX OX.
ra
etra etraed edro ro just just post postos os re ra quin quinto to tetr tetrae aedr dr regular, eta /6V2. Obtenha
et
figu figura ra plan planas as de fll\8, onde
no
11.
ro 8. re
ra
x fy fy 'Z 'Z "
OY, que
OA, plana segm segmen ento to de comp compri rime ment nt
parale lelo lo h, para
ix OY(v
igur igur
20). 20).
Ag.20
segundo
ve k.vol(B).
de tern egui eguint nt enun enun iado iado (v igur igur 19): 19): r, as "Sejam figu figura ra pl nas. nas. Se para para toda toda reta reta hori horizo zont nt interseeoes rr.A rr-B 10.
em rnA. iguais".
igual
rr-B, entao
tern tern
reas reas
12. Seja flO
ri s6li s6lido do forma formado do segmen ento to vert vertic ical al S, ur segm particular: Seja de C? Caso particular: nd plan plan hori horizo zont ntal al S.
FIg.19
de comprim compriment ent
h. Qual
rn
comprimento 1. Qual
volu volu ri
volu volume me do s6li s6lido do assi assi
obti obtido do
Exerci:ios
Volume
1t/4 vezes
to ad is ao as
segm segm to de igua igua co rime rime to h. Prov Prov qu volume tria tria la assi assi ti pe ri nt mas si oe os segm segm to so re as reta retas. s.
14. Chama Chama-se -se sec;ao reta de ur cili cilind ndro ro
fi
lana lana
Prov Prov olum olum rn ilin ilin ro su seea seea reta reta pelo pelo comp compri rime ment nt da gera geratr triz iz
R, r,
expressao (R
usti ustifi fi alie alieri ri
eixo eixo
aior aior
as afir afir ae rech rech ci Exer Exerci cici ci 21 do Capi Capitu tulo lo 3.
el
sa
ti co geratriz. geratriz.)
ostr ostr
eix menor. menor. Ex li it ri ipio ipio de
duto duto
Rr).
diametro etir etirad ad
lt ra ea
ci indr indr ai
lc le ta em volu volume me da part part sf ra do ilin ilin ro
18 No espa espaeo eo trid tridim imen ensi sion onal al cons consid ider er sist sistem em de coor coorde dena nada da cart cartes esia iana na defi defini nido do pelo pelo eixo eixo orto ortogo gona nais is OX, OY OZ. Dados a, b, f:E.....:,E, defi defini nida da po f(P) =P', onde P' (ax, by, cz). Most Mostre re qu (x, tran transf sf rmad rmad or vol(F') abc.vol(F}. numa numa figu figura ra ortog ortogon onais ais no espaco espaco tridim tridimens ension ional al E. Prove: (a Qu
do qu os chin chines eses es cham chamav avam am
ponto P=
(x,y,
z) perte pertence nce y2
"met "metod od do elem elemen ento to cele celest stia ial" l" qu (b Qu
n9
igur igur
esfera z2
de cent centro ro
1.
do exer exerci cici ci ante anteri rior or tran transf sfor orma ma
esfe esfera ra
na
or ad pelo pelo po to (x, y, 2+
t.
z2
abc
figu figura ra Seki Seki escr escrit it
po Akir Akir Kobo Kobori ri lemo lemo
que
2a 2b. segu seguin inte te
sobre
enta enta eixo OZ.
sses sses
is edae edaeos os
ilin ilin ro Se
te
es lt
plano
2c. ConcIua
4abcI31t.
inte inters rsee eeao ao do elip elips6 s6id id
oriz oriz ta (z
el rota rotaca ca volu volu
elips6ide de eixo eixo 2a, 2b
volu volume me dess dess elip elips6 s6id id
(c Qu se lano lano
cham chamaa-se se
constante)
ncIu ncIu qu
ur circ circul ul co
este este caso caso
torn torn do ix OZ 2a
com qualque qualque cent centro ro
solid gerado gerado
Volume
Exercbos
altura ra p ar a r ab ab o lo lo id id e d e r eo e o o u c a de altu plano OYZ) coorde coordenad nadas as cartes cartesian ianas as ,? y2
eo
soli solido do gera gerado do pela pela
da para parabo bola la OZ. (x, y, z) ss arab arab loid loid
9)
y2
volum volum do elips6 elips6ide ide
em
conj conjun unto to do distancia
h.
Obse Observ rv qu cada cada plan plan hori horizo zont ntal al z= constante arab arab loid loid se nd um ir lo ai .vi.
cili cilind nd
toro toro epou epousa sa
volu volume me do toro toro
1t,
th /2 volume volume do parabo parabol6i l6ide de 21 Comp Compar aran ando do as sece seceoe oe hori horizo zont ntai ai
tern tern alie alie
base base ra
toro.
>a
intersecta
Ag.21
si er rn rism rism de lt ra reta reta lo is scel sceles es la OYZ, (0,0 (0,0 h) h, h) Use Prin Princi ci io
4Mbc13.
sobr sobr
es
2 1 t b . Su la o, perp perpen en icul icul
ao
21
triangulo
nclu ncluir ir
da elip elipse se
_+.L_$_
co
as sece sece
iz tais tais
ci culo culo
y2 $.
nab.
22 Comp Compar ar as seeo seeoes es hori horizo zont ntai ai
do elip elips6 s6id id Z2
_+L+-$.l
use
Principio
F igi g . 2 2 . U r p lala n o h o r z o n a l uma a l t u r a ( a p a rtr t i d o s c e n trtr o s d o s c frf r cu c u lol o s q u e g e ra ra m or c ili l in d r o j s e c c ioio n a t o r o s e gu g u nd nd o u m a n e c i c u a r d e a i interno exem ~. m e sm s m o p la n segundo h o r iziz o n ta t a l s e c c ioio n a c i n d r r e t a n g u l o de b a s e 2 . . f i 1 7 a ltl t u r 2 J ta t a b . E s ta ta s s e ¢e ¢e s mesmaarea.
h o r z o n tata i
tern
98
Leitur Leituras as
recome recomenda ndadas das
eit ras rec recomen omendada dada
G eo e o me me t
1. J o a n Publ Public icac acao ao da Soci Socied edad ad
E uc u c l d ia ia n
P la la na na .
Bras Brasil ilei eira ra de Mare Marema mati tica ca (SBM (SBM). ).
ig a d a M a te te m d i c Episodios da Historia A n t ig
(traducao
Bras Brasil ilei eira ra de Mate Matema mati tica ca (SBM (SBM). ). 3.
M e u P ro ro fe fe s o r d e M a e m d c a Ou as Hi ar as Publicacao da Socied Sociedade ade Brasileira de Matematica (SBM). Historia da Matemdtica Edit Editor or Edga Edga Bluc Bluche he
(tra (tra uc
de
Go id ).
Edit Editor or da Univ Univer ersi sida dade de de Sa Paul Paulo. o.
H is is to to r
C on on c i
da
M a e md md t c a
(tra (tradu duca ca
de J o a o
Cosm Cosm Sant Santos os Guer Guerre reir iro) o) Grad Gradiv iv Publicacoes Ltda, Ltda, Lisboa Lisboa 1 9 8 9 . Os leit leitor ores es inte intere ress ssad ados os numa numa apresentacao mais mais conc concei eitu tual al do rnimeros reais poderao consultar livro livro abaixo abaixo espec especial ialme mente nte Capi Capitu tulo lo 2:
Ana dist distri ribu buid id
R eeaa l
pela pela SBM. SBM.
pode pode se adqu adquir irid idos os na secr secret etar aria ia regi region onai ai da SB ou escr escrev even endo do-s -s diretamente se So ie ad stra strada da on Cast Castor orin ina, a, 110, CEP 22460, Rio de Janeir Janeiro, o, J.
