. Melukis Titik Tembus Garis ke Bidang Cata Catata tan n untu untuk k perk perkul ulia iaha han n 30 Mare Marett 2010 2010 Mata Mata kuli kuliah ah geom geomet etri ri ruan ruang. g. Pertemuan kemarin sedikit sudah saya singgung mengenai titik tembus. Catatan saya, Saudara masih belum dapat sepenuhnya melukis titik tembus, walaupun tahu pasti menembus. Silahkan periksa gambar berikut ini.
Jelas bahwa sinar garis tersebut menembus bidang merah. Dan titik tembusnya jelas tampak. Permasalahan Permasalahan tersebut akan menjadi sedikit susah ketika bidangnya bidangnya berupa objek geometri yang tembus pandang dan garis yang tampak secara fisik.
Pada Pada dasa dasarn rnya ya untu untuk k melu meluki kis s titi titik k temb tembus us pada pada bida bidang ng ada ada tiga tiga pros proses es:: 1. Tentuka Tentukan n bidang bidang yang yang memuat memuat garis garis tembu tembus. s. 2. Tentuka Tentukan n garis garis persekutu persekutuan an antara bidang bidang yang ditembus ditembus dengan dengan bidang bidang yang memuat garis tembus. 3. Tent Tentuka ukan n titik titik poton potong g garis garis tembu tembus s dan dan garis garis perseku persekutua tuan n dua dua bidan bidang g tersebut. 4. Titik Titik potong potong itulah itulah yang merupa merupaka kan n titik titik tembu tembus s garis garis ke bida bidang. ng. Kita langsung coba di objek ruang.
Permasalahan: Misalkan terdapat kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus BD ke ACGE.
Penyelesaian: Langkah pertama. Tentukan bidang yang memuat garis BD. Ada beberapa bidang yang memuat garis BD, antara lain ABCD dan BDHF. Kita pilih BDHF sebagai bidang yang memuat garis BD.
Langkah kedua. Tentukan garis persekutuan antara dua bidang yang dibentuk. Diperoleh, garis PQ adalah garis persekutuan bidang ACGE dan BDHF. ( Mengapa?)
Langkah ketiga.
Tentukan titik potong antara BD dan PQ. Yak jelas bahwa BD dan PQ berpotongan di Q. Jadi titik tembus BD ke ACGE adalah titik Q.
PERTANYAAN TUGAS (Silahkan buka tulisan lainnya di Blog ini yang berhubungan)
1. Lukiskan titik tembus CE ke BDG pada balok ABCD.EFGH. 2. Misalkan T adalah titik potong diagonal FH dan EG. K di EH sehingga EK : KH = 1 : 3. L di CG sehingga CL : LG = 1 : 2. Tunjukkan apakah KL menembus limas T.ABCD? Jika tidak menembus, tentukan dimana letak M di CG sehingga KM tepat menembus limas di satu titik saja.
Related Posts : April 21, 2009 georuang Kubus ABCD.EFGH, titik P terletak pada pertengahan BC, Q terletak pada pertengahan DH, dan R terletak pada perpanjangan AE sehingga AE=ER. Penyelesaian :
Langkah-langkah melukis bidang irisan alpha : 1. P terletak pada bidang alpha, R terletak pada bidang alpha, dan Q terletak pada bidang alpha. Maka QR terletak pada bidang alpha. 2. QR terletak pada bidang ADHE, AD terletak pada bidang ADHE, QR tidak sejajar AD sehingga QR bepotongan dengan AD di titik M. 3. M terletak pada bidang alpha, P terletak pada bidang alpha, maka MP terletak pada bidang alpha. 4. MP terletak pada bidang ABCD, CD terletak pada bidang ABCD, MP tidak sejajar CD sehingga MP dan CD berpotongan di titik S. 6. MP terletak pada bidang ABCD, AB terletak pad bidang ABCD, MP tidak sejajar dengan AB sehingga MP dan AB berpotongan di titik N. 7. N terletak pada bidang ABFE, R terletak pada bidang ABFE, maka NR terletak pada bidang ABFE. 8. NR terletak pada bidang ABFE, EF terletak pada bidang ABFE, NR tidak sejajar dengan EF sehingga NR dan EF berpotongan di O. 9. NR terletak pada bidang ABFE, BF terletak pada bidang ABFE, NR tidak sejajar BF sehingga NR dan BF berpotongan di titik V. 10. Bidang alpha yang dimaksud adalaha bidang PSQTUV. Entry Filed under: Uncategorized April 11, 2009 georuang TUGAS Geometri Ruang Hari Selasa, 31 Maret 2009 TITIK TEMBUS Tugas (1) Dipunyai kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus garis AC ke bidang BDG ! Penyelesaian:
Langkah-langkah: i. Lukis kubus ABCD.EFGH, ii. Lukis bidang BDG, iii. Lukis garis AC, iv. AC memotong BD di titik T
Karena T terdapat pada BDG, T terdapat pada AC, T merupakan titik tembus AC pada bidang BDG. Tugas (2) Dipunyai kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus garis PQ ke bidang ACH dengan P terletak pada garis AE sehingga AP : PE = 2 : 1, Q terletak pada BF sehinnga BQ : QF = 1 : 3. Penyelesaian:
Langkah-langkah: i. Lukis kubus ABCD.EFGH, ii. Letakkan titik P pada rusuk AE sehingga AP : PE = 2 : 1 dan letakkan titik Q pada rusuk BF sehingga BQ : BF = 1: 3. Tarik garis PQ, iii. Lukis bidang yang memuat garis PQ yaitu bidang PQRS sehingga didapat persekutuan antara bidang tersebut dengan bidang ACH, beri nama KL, iv. Karena KL tidak sejajar PQ dan KL sebidang PQ, maka PQ dan KL dapat diperpanjang sehingga berpotongan di T, v. T adalah titik tembus garis PQ ke bidang ACH.
April 21, 2009 georuang Dipunyai kubus ABCD.EFGH, P terletak pada EH sehingga EP:PH = 3:1, Q perpotongan diagonal AH dan DE, R terletak pada FG, sehingga FR:RG = 3:1. Tentukan titik tembus PR pada bidang ACQ. Penyelesaian :
Langkah-langkah mencari titik tembus PR pada bidang ACQ : 1. Lukis kubus ABCD.EFGH. 2. Perluas bidang ACQ menjadi bidang ACH (ACQ sebidang dengan ACH). 3. Lukis bidang yang memuat PR yaitu PP 2R1R. 4. PP2 memotong Ah di titik P1 dan P2R1 memotong AC di titik R2. P1R2 merupakan persekutuan bidang ACH dengan bidang PP2R1R. 5. Perpanjang PR dan P1R2 sehingga berpotongan di titik T. Titik T merupakan titik tembus PR pada bidang ACQ. Entry Filed under: Uncategorized Titik Tembus Garis ke Bidang - Solusi #1
Assalamu'alaikum wr.wb. Seorang mahasiswa saya memberi komentar dalam sebuah posting saya sebagai berikut: AsSaLamMuaLaikum. Pak ardhi. . Saya pRastoMo budiargo mhsw pend.Matematika unNes smt 2. MsiH ingatkah bpk dngan soaL ini. . SuaTu kubus ABCDEFGH. Titik P trLtak pda ruas garis FB. FP:PB=1:3. TenTukan titik tembus gris AP pda bdang BDG? MNuruT pndapat saya ti2k tmbus ada di atas(garis AP dperpanjang ke knan), tapi tman2 saya brPndapat ti2k tmbus di bwah (gris AP dpRpanjang k kiri). Tp saya sangat yakin dgan pndapat saya. toLoNg kLo bsa dbAhas d bLog bpak ini. . TrimakasiH.
Nah, untuk memenuhi pertanyaan saudara, saya buat langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut. Saudara pras, menuliskan permasalahan berikut:
Suatu kubus ABCDEFGH. Titik P terletak pada ruas garis FB. FP:PB=1:3. Tentukan titik tembus garis AP pada bidang BDG?
Saya merumuskan sekurangnya ada dua cara yang harus dipahami oleh saudara dan kawan-kawan. Namun prinsipnya, untuk menentukan titik tembus garis m ke bidang U adalah mencari titik potong antara garis m dan perpotongan bidang U dan V (bidang V memuat garis m). Baiklah akan saya coba bahas ketiga cara tersebut: Cara Pertama : Gambaran umum soal tersebut adalah sebagai berikut:
Bangun bidang yang memuat AP dengan cara membangun garis yang sejajar AP pada bidang CDHG. Hasil dari peristiwa tersebut adalah terbangun bidang ADP’Psebagai berikut:
Pertanyaan konsep: Apakah PP’ terletak pada bidang BCGF? Apakah BG terletak pada bidang BCGF? Apakah BG dan PP’ sejajar? Sebut titik potong BG dan PP’ dengan titik T. Jelaslah bahwa garis potong bidang ADP’P (yang memuat AP) dan bidang BDG adalah garis DT. ( Why? )
Langkah terakhir adalah memotongkan garis AP dengan DT. ( Kenapa hal ini diperbolehkan? ) Sesuai dengan pertanyaan Saudara Pras, apakah titik tembusnya disebelah kanan atau kiri, saya secara sederhana menjawab bahwa titik tembusnya ada di perpanjangan DT dan perpanjangan AP di sebelah kanan. Barangkali dengan cara yang kedua, pemahaman tersebut dapat dipermudah. Cara Kedua:
Tulis bidang yang memuat AP adalah bidang ABFE. Jelas salah satu titik persekutuan ABFE dan BDG adalah titik B. ( Why? ) Selanjutnya tinggal mencari satu titik persekutuan yang lain. (ingat aksioma bahwa melalui 2 titik dapat dibuat tepat 1 garis). Langkahnya adalah sebagai berikut: Perluas bidang ABFE ke bawah dan bangun bidang ACGE ke bawah pula, (hal ini merupakan intuisi saya, Saudara bisa mempertajam intuisi dengan memperbanyak latihan) menjadi sebagai berikut:
Pertanyaan konsep: Apakah GO terletak pada ACGE? Apakah EA terletak pada ACGE? Apakah EA dan GO sejajar? Tulis titik potong EA dan GO adalah X. Jelas X merupakan titik persekutuan bidang ACGE dan ABFE. ( Why? ) Maka anda akan bisa melanjutkan langkah berikutnya sesuai dengan materi yang diatas.
SELESAI.
Bagaimana Saudara Pras? Masih juga belum paham?
Irisan bidang dengan suatu bangun ruang
Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α). Definisi 1: Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian. Definisi 2: Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.
Pertanyaan konsep: Manakah alas dari sebuah kerucut? Manakah alas dari sebuah limas? Manakah alas dari sebuah kubus? Manakah alas dari sebuah balok?
Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan
Catatan: Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.
Materi Irisan #1 Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris. Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang. Bukti: (diserahkan mahasiswa sebagai latihan)
Permasalahan (1) Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm. Penyelesaian : Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkahper-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin. Langkah 1: Melukis kubus lengkap.
Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.
Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.
Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.
Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan: Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain (dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)
Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. ( Why? ) Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis) Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas ( Why? ), sebut titik potongnya adalah titik M1.
Pertanyaan: Apakah M1 terletak di ADHE? Apakah P terletak di ADHE? Tugas: Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P dan HE dengan nama titik U.
Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan: Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG. Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Seperangkat tugas yang harus dikerjakan: Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2. (Mengapa hal ini diperbolehkan?) Perpanjang DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.
Pertanyaan: Apakah M2 terletak di CDHG? Apakah M2 terletak di bidang alpha? Kalau begitu, disebut apakah M2? Apakah M3 terletak di CDHG? Apakah M3 terletak di bidang alpha? Kalau begitu, disebut apakah M3?
Saya akan menghubungkan M2 dengan M3. Apakah M2.M3 memotong GH? Apakah M2.M3 memotong CG?
Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S. Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?
Catatan: Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.
SELESAI, BAGAIMANA? MUDAH BUKAN?
Nah, sekarang pertanyaan tugas untuk saudara adalah tentukan luas daerah bidang alpha tersebut! Kerjakan lengkap dengan lukisan gambar pada buku kerja saudara.
TUGAS UNTUK DIDISKUSIKAN DAN DIKERJAKAN:
TUGAS (1) Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik pada perpanjangan BF sehingga BP = BF, dan Q adalah titik potong diagonal AH dan DE, R titik pada rusuk GH sehingga GR:RH = 2:1. TUGAS (2)
Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada limas segiempat beraturan T.ABCD. P adalah titik pada rusuk TA dan Q adalah titik pada bidang TBC, R adalah titik tengah rusuk CD.
