UNIVERZITET U TUZLI Mašinski fakultet
METODA KONAČNIH ELEMENATA SEMINARSKI RAD
Student: Porobić Emir
Pojam MKE (FEM) i njen razvoj Metoda konačnih elemenata predstavlja numerički postupak rješavanja inženjerskih problema i problema matematičke fizike. FEM - finite element method -
-
Prvi radovi iz područja MKE pojavili su se četrdesetih godina ( Hrenikoff 1941. oblasti strukturalne analize i naponske analize čvrstog tijela) Nakon zastoja počela je primjena metoda konačnih elemenata u avionskoj industriji Posebnu ulogu odigrale su matrice kao vrlo pogodne za primjenu u metodi sila i deformacija 1960 prvi put korišteno ime konačni element (Argyris i saradnici) Saznanja u području MKE sumirana na konferenciji US Air Force (NASTRAN - Nasa Structural Analysis dalje SAP -Structural Analysis Program) Prvi univerzitetski udžbenik u oblasti MKE napisao je Cook 1974. godine, prihvaćen. Matematičari su sedamdesetih godina generalizirali (proširena primjenu na višedimenzionalno područje, euklidske prostore i područje nelinearne analize) Dalje se MKE razvija sa razvojem računara (omogućili rješavanje velikih problema složene geometrije i opterećenja) Do devedesetih nema vizualizacije problema. Sa današnjim mogućnostima računara moguće je dobiti potpunu sliku naponskog, deformacionog, termičkog polja ili nekog drugog problema MKE je odavno u masovnoj upotrebi za proračun različitih problema Nastavlja se razvoj alata i istražuju nove mogućnosti primjene MKE.
Klasifikacija metoda za analizu struktura -
Metoda analize o svojstva otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematsko i dinamičko ponašanje o postavljaju se uprošćeni mehanički modeli o usavršavaju strukturu po sistemu "korak po korak„ o nizom iteracija dolazi se do rješenja
-
Metoda sinteze o pogodnije za funkcionalne i geometrijske probleme o zahtjevaju najsavremeniji pristup, korištenje ekspertnih znanja i efikasnih računarskih sredstava o riješila je zahtjeve sistematskog predstavljanja kontinuuma, uvođenja polja spoljašnjih koncentrisanih sila, polja površinskih opterećenja, polja temperatura svojstvena za raketne konstrukcije, toplotne turbine i nuklearne reaktore o riješavanje zadataka plastičnosti, puzanja i ojačanja elemenata
KAKO MKE FUNKCIONIRA? Metoda konačnih elemenata (MKE) je zasnovana na diskretizaciji (kontinuuma) konstrukcije jednostavnim dijelovima konačnih dimenzija međusobno povezanim u čvorovima. Nad tim dijelovima - konačnim elementima, metodama i principima fizike uspostavljaju se osnove statičke, kinematičke, dinamičke i termodinamičke veze, koje se proširuju do granica kontinuuma. Osnovne jednadnačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima (formulira problem) umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem. Složenije probleme mehanike kontinuuma (nepravilne geometrija, nelinearno ponašanje materijala, rubni uvjeti i slično) nije moguće riješiti klasičnim načinom.
Moramo riješiti problem koji se sastoji od ukupno 15 jednačina, među kojima 9 parcijalnih diferencijalnih jednačina. Nemoguće.
OSNOVNI KORACI MKE Postoje dva osnovna pristupa u MKE : metod sila i metod pomjeranja ili metod krutosti (čvorovi) Na osnovu poznatih vrijednosti napona i deformacija u jednom čvoru i elementu mogu se odrediti naponi deformacije za bilo koji drugi čvor. Ukupan broj jednačina strukture opisuje ponašanje svih čvorova i predstavlja sistem algebarskih jednačina (najpogodnije predstaviti u matričnom obliku) KORAK 1. Diskretizacija domena i izbor vrste elementa Opšti kriterijumi diskretizacije: 1. Kriterijum broja stepeni slobode 2. Kriterijum manjih aproksimacija 3. Kriterijum spoljašnjeg oblika 4. Kriterijum poznavanja unutrašnje distribucije komponentnih napona članova kontinuuma 5. Kriterijum simetričnosti:
Trodimenzioni elementi imaju najčešće i dodatne čvorove po ivicama (3 stepena slobode u čvoru). Heksaedarski element sa 8 čvorova u uglovimaa i po jednim između svih uglova na konturi, ima ukupno 20 čvorova sa 60 stepeni slobode. Primena 3D elemenata dovodi do velikih dimenzija računskog modela.
Posebno pogodni za modeliranje
Korak 2. Izbor funkcije pomjeranja - Izbor funkcije pomjeranja vrši se za svaki element. Funkcija je definirana unutar elementa i koristi vrijednosti izračunate u čvorovima. Kao funkcije pomjeranja biraju se linearni, kvadratni ili kubni polinomi. - Polinomi se koriste kao funkcije zato što su jedostavni za rad i primjenu u MKE. - Za dvodimenzionalni element funkcija pomjeranja je funkcija koordinata u xy ravni. - Funkcije su nepoznate veličine u čvorovima. Ista funkcija pomjeranja može se izabrati za svaki element u modelu - Nakon izbora funkcije pomjeranja uspostavi se veza između deformacija i pomjeranja kao i veza između napon i deformacija.
Korak 3. Definiranje relacije deformacija - pomjeranje i napon - deformacija Za svaki konačni element treba postaviti jednačine. Ako je problem jednodimenzionalan, tj. postoji deformacija
samo u jednom pravcu npr. u x pravcu,tada je deformacija sx i ona je povezana sa pomjeranjem "u" u x pravcu.
Jednačina važi za male deformacije
Između napona i deformacija također postoje relacije koje se zovu konstitutivne relacije. Jedna od najjednostavnijih je Hooke-ov zakon. Za jednodimenzionalni problem veza napona i deformacija je:
Korak 4. Matrica krutosti i jednačine Razvijeno je više metoda za određivanje matrice krutosti.
1. Direktni ravnotežni metod (Direct Finite Element Method) Matrica krutosti povezuje sile u čvorovima elementa i pomjeranja čvorova elementa. Ona se dobije iz uslova ravnoteže sila za svaki razmatrani element. Direktni pristup u računanju matrice krutosti dobar je samo u slučaju jednodimenzionalnih (štapnih) elemenata, 2. Varijacioni metodi (Variational Finite Element Methods) Zasnivaju se na principu stacionarnosti funkcionala. Osim toga varijacionim metodama mogu se odrediti matrice krutosti elemenata nestrukturalnih problema, analiza polja (napona, toplote). 3. Metodi težinskog reziduala (Methods of Weighted Residuals) Ovaj metod zasniva se na diferencijalnim jednačinama razmatranog problema. Od svih metoda reziduala najpoznatiji je Galerkinov metod. Na osnovu metoda reziduala dobiju se jednačine koje opisuju ponašanje elementa.
U matričnom obliku to je:
4. Metodi energetskog balansa (Energy Balance Finite Element Methods)
Zasnivaju se na balansu različitih vrsta energije. Koriste se u termostatičkoj termodinamičkoj analizi kontinuuma. Korak 5. Računanje globalne matrice krutosti - Dobije se primjenom nekog metoda navedenog u koraku 4. - Primjenom direktnog metoda i superpozicije, matrice pojedinih elemenata mogu se sabrati (globalna matrica krutosti) - Globalna matrica krutosti [K] je singularna matrica jer je njena determinanta jednaka nuli. Problem singulariteta matrice riješava se uvođenjem odgovarajućih graničnih uslova (ograničenja ili oslonci), tako da struktura zadrži postojeće mjesto i da se ne kreće kao kruto tijelo. - Poznata opterećenja unose se u globalnu matricu sila {f). Korak 6. Određivanje pomjeranja cijele strukture Matrična jednačina strukture - konstrukcije u koju su uneseni granični uslovi predstavlja spregnuti sistem algebarskih jednačina u obliku. - gdje je "n" ukupan broj nepoznatih stepeni slobode. Jednačine se mogu riješiti Gausovom metodom eliminacije ili primjenom nekog iterativnog metoda. Osnovne nepoznate su pomjeranja u čvorovima.
Korak 7. Računanje deformacija i napona - Naponi i deformacije su nepoznate veličine koje se određuju u strukturalnoj analizi. - Pomjeranja se izračunaju u koraku 6. - Nakon toga korištenjem veze između deformacija i pomjeranja i napona i deformacija koja je data u koraku 3 izračunaju se deformacije i naponi.
Korak 8. Interpretacija rezultata - Dobiveni rezultati primjenom MKE se analiziraju i interpretiraju.
- Zaključak svake analize se svodi na određivanje tačnog mjesta djelovanja najvećih napona i deformacija. - Na osnovu poznavanja naponsko-deformacionog stanja kao jednog od važnih faktora, dizajner će donositi odluke. - Postprocesorski kompjuterski programi pomažu korisniku da intepretira rezultate prikazujući ih u grafičkoj formi. PROVJERA REZULTATA -
Provjere modela i ispravke vrši se računanjem ( broj elemata)
-
Provjera rezultata se vrši prije analize (provjera funkcija)
-
Ukoliko je moguće analitički dobiti neke rezultate oni se porede sa numeričkim rezultatima dobivenim iz modela.
-
Drugi način je eventualno poređenje sa eksperimentalno dobivenim naponima i deformacijama
ZADATAK: Geometrijska složenost lamelaste kuke, nameće zahtjev tačnog određivanja napona po cijelom kontinumu. Za analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, sa osam lamela pojedinačne debljine 25 mm. Potrebno je proračunati napone i odrediti procenjenu grešku modela.
2660 konačnih elemenata
Procjenjena greška
5674 konačnih elemenata
Von-Mises napon
Procjenjena greška Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu čega se može prihvatiti i tačnost Modela-1. Model-2 ima manje relativno odstupanje (procenjenu grešku)
PRIMER FEM ANALIZE Dato je tijelo (kućište) dimenzija 200x100x60 mm. Konzola je uklještena na jednom kraju a na drugom kraju je (donjom ivicom)
opterečena vertikalnom silom od F=10000. N. Kučište je složene geometrije, forme lake konstrukcije sa 16 otvora po obimu I uzdužne cevaste konstrukcije. Debljina uzdužnih zidova se kreće od 4-10 mm. - uraditi statičku FEM proveru i utvrditi rezerve u materijalu, naponsku distribuciju, stepen deformacije.
Vrijeme realizacije: 39s
CATIA NOSTRAN VIZUELNI PRIKAZ
REZULTATI
-
U modernom konstrukcionom mašinstvu koriste se različiti kompjuterski software CAE (kinematičkih ili dinamičkih karakteristika konstrukcije)
-
Prvi programi nisu imali mogućnost vizualizacije (NASTRAN, SAP)
-
Danas: ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, ADINA, PAFEC, SAMFEC, ELFEN, IDEAS, FLOW, ALGOR, CATIA, SOLID WORKS itd
-
Ranija primjena MKE odnosila se samo na strukturalnu mehaniku - kasnije i riješavanje problema prenosa toplote, elektrostatički potencijal, mehaniku fluida, vibracionu analizu i razne druge probleme u mašinstvu.
-
MOLDFLOW, C-MOLD softwari koji simuliraju tok tečne plastike kod ubrizganja plastike
-
U razvoju elektromašinstva, nuklearne tehnike, magnetizma i za analize tokova fluida, simulaciju nelinearnih problema koriste se superračunari (kao što je CRAY).
-
Dalji razvoj MKE
FEM simulation of the damage of San Francisco Oakland Bay Bridge caused by the 1989 Loma Prieta earthquake
Literatura: o
PROJEKTOVANJE RAĈUNAROM – DR. MIOMIR JOVANOVIĆ, Mašinski fakultet Niš, predavanja, 2010 g.
o
http://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.html
o
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages
o
Modeliranje ravanskih problema i analiza rezultata, UNZE predavanja
