UNIVERZITET U TUZLI Mašinski fakultet Odsjek: Proizvodno mašinstvo Predmet: CAD/CAM sistemi Tuzla, April 2014
Seminarski rad Tema: FEM analiza
SADRŽAJ:
1.0 Uvod..................................................................................................... ................................3 2.0 Primjena metode konačnih elemenata...............................................................................3 3.0 Osnove na kojima se zasniva MKE.......................................................................................5 3.1 Osnovni koraci u MKE...................................................................................................5 4.0 Relacija deformacija pomjeranja i napona deformacija.....................................................6 4.1 Naponi i deformacije.................................................................................................... .7 5.0 Matrica krutosti i jadnačina...............................................................................................10 5.1 Globalna matrica krutosti............................................................................................10 6.0 Opšta teorija MKE..............................................................................................................1 1 7.0 Fem analiza u programu CATIA..........................................................................................13 7.1 Interpretacija rezultata................................................................................................14
1.0
Uvod
Metoda konačnih elemenata (MKE) je najraširenija metoda za proračun inženjerskih konstrukcija. Njome se može rješavati svaka inženjerska zadaća. Pojavom sve snažnijih stolnih računala, danas inženjeri imaju velike mogućnosti za rješavanje različitih zadaća. Uz sve sofisticiranije statičke programe i jednostavnu grafičku prezentaciju rezultata, inženjeri mogu obraditi znatno više podataka nego prije. Osnova većine statičkih programa je upravo metoda konačnih elemenata. Metoda konačnih elemenata počela se razvijati u 50-tim godinama prošlog stoljeća. Isprva se počela primjenjivati metoda sila i metoda pomaka u matričnoj formi, koja je posebno pogodna za primjenu na računalima. Analogno tome su se proračunavale štapne konstrukcije, a ubrzo su se počeli rješavati površinski i prostorni problemi. Godine 1960. uvodi se i naziv Metoda konačnih elemenata (Clough). Do početka 60-tih godina razvijen je statički koncept MKE, a u tim godinama se počinju razvijati i varijacijski principi MKE. U 70-tim godinama prošlog stoljeća razvijaju se matematička pitanja točnosti metode i konvergencije rješenja. Metoda se razvija i dalje te se poboljšavaju postojeći konačni elementi, a pronalaze se i novi. U mehanici krutog tijela osnovne veze između naprezanja i deformacija postavljaju se na diferencijalno malom elementu. Te veze dovode do diferencijalnih jednadžbi koje s početnim i rubnim uvjetima definiraju odgovarajuću zadaću. Zbog složenog matematičkog modela nema puno rješenja u zatvorenom obliku. Zbog toga se vrlo često traže približna rješenja. Metodom konačnih elemenata se neko realno tijelo rastavlja (diskretizira) na konačni broj elemenata jednostavnog oblika. Elementi su međusobno spojeni samo u čvorovima. Nepoznanice problema su pomaci čvorova, a pomake unutar elementa se određuje interpolacijom. Iz određenih pomaka određuju se ostale veličine (sile, naprezanja, temperatura itd.). 2.0 Primjena metode konačnih elemenata Metoda konačnih elemenata (MKE) spade u grupu savremenih numeričkih metoda. Može se primijeniti i kod vrlo kompleksnih oblika mašinskih, građevinskih drugih dijelova i sklopova sa velikom statičkom neodređenošću izloženih složenim opterećenjima. Primjena analitičkih metoda za ove proračune bila bi neefikasna. MKE se zasniva na rješavanju sistema od velikog broja algebarskih linearnih jednačina u matričnoj formi.Osnovna ideja MKE se sastoji u podijeli kontinualne mase 2D iIi 3D
modela na diskretne (konačne) elemente. Metoda konačnih elemenata spada u metodu diskretne analize, kojom se geometrija nekog materijala dijeli na niz dovoljno malih elemenata koji su konačni i predstavljaju aproksimaciju stvarnog kontinuuma. Mogu biti linijski, ravanski iIi prostorni, a njihov uređeni skup jeste čvor ili mreža konačnih elemenata. Ravanski konačni elementi su najčešće trouglastog oblika, a prostorni u vidu osmočvornog geometrijskog tijela. Povezani su u čvornim tačkama koje predstavljaju zamišljene čvorne veze. Za svaku čvornu tačku gdje se spajaju konačni elementi, postavljaju se jednačine ravnoteže elastičnih sila koje definišu vezu napona i deformacije. Ravnoteža konačnih elemenata je analogna (ista) ravnoteži štapova u rešetkastom nosaču. Spoljšna opterećenja i ograničenja uključuju se u jednačinama za konačne elemente na konturi oblika (konturni usIovi). Rješavanjem sistema ovih jednačina dobijaju se vrijednosti pomijeranja, odnosno deformacije i napona u svim čvornim tačkama. Sama podjela mašinskog dijela na konačne elemente, numeracija čvornih tačaka i određivanje njihovih koordinata, vrlo je obiman zadatak. Osim toga sistemi jednačina koje treba postaviti i riješiti, u principu su ogromni. Stoga je primjena MKE postala široka tek pošto je postavljanje i rješavanje ovih sistema jednačina automatizovano, a kompjuteri postali moćni.
Slika 1.
Savremene MKE omogućuju brze proračune napona i deformacije izazvane spoljnim silama, zagrijevanjem, ometanim toplotnim i drugim dilatacijama. Pri tome se može varirati oblik i dimenzije modela kako bi se postigao visok stepen racionalnosti mase, visoka pouzdanost u radu, a naročito
visoka tačnost rezultata proračuna. Brzi razvoj MKE posljednjih 60-tak godina (Hrenikoff, 1941.) išao je uporedo sa razvojem i primjenom kompjuterskih tehnologija. Prvi put MKE je bila primijenjena kod naponske analize trupa jednog aviona, a šira primjena počela je tek pošto su manualne operacije automatizovane. Primjenom softverskih paketa postupak je znatno ubrzan i pojednostavljen. Time je omogućeno da inženjer vrši korekcije na modelu kako bi predvidio njegovo ponašanje poslije izrade, odnosno korištenja. Ove metode široko se primjenjuju u području mašinogradnje, avioindustrije, građevinarstvu, u vojnoj industriji, nuklearnoj tehnologiji, proizvodnji kućanskih aparata, poljoprivredne opreme, alata i pribora, motornih vozila i sl. MKE omogućava konstruktoru danas da predvidi napone i deformacije, režime vibracija, formira optimalne oblike mašinskih dijelova i dr. Primjenjuje se u slučajevima kada je potrebna precizna analiza i kada cijena proizvoda ima značajnu ulogu. Proračuni sa primjenom MKE moraju biti racionalno izvedeni kako bi sama metoda bila što efikasnija.
3.0
Osnove na kojima se zasniva MKE
Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji razmatranog područja. Umesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja deo područja konačnih dimenzija, manje područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formuliše i problem u celini, umesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stanovišta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa beskonačno mnogo stepeni slobode, zamenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stepeni slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem. 3.1 Osnovni koraci u MKE Inžinjerski problemi mogu biti strukturalni i nestrukturalni (prenos toplote ili tok fluida). U strukturalnoj analizi cilj je da se odrede pomjeranja i naponi u cijeloj strukturi koja je izložena djelovanju opterećenja. Kako je za mnoge modele nemoguće naći matematičku funkciju koja opisuje raspodjelu opterećenja, pribjegava se korištenju MKE.
Postoje dva osnovna pristupa korištenja KME. Prvi metod je metod sila ili metod fleksibilnosti. nepoznate veličine su veličine koje se analiziraju jednačina strukture prvo se postavlja jednačina varijacija dobija se sistem algebarskih jednačina veličine sila.
U metodu sila osnovne tj., sile. Da bi se dobila ravnoteže. Kao rezultat u kojima su nepoznate
Drugi pristup je metod pomijeranja ili metod krutosti gdje su osnovne nepoznate veličine pomjeranja u čvorovima. Kod rješavanja konkretnih problema zahtijeva se da su elementi povezani u čvorovima, duž stranica ili odgovarajućih površina prije i poslije djelovanja opterećenja. Osnovne jednačine kod ovog pristupa sadrže pomjeranja čvorova a koriste se jednačine ravnoteže i veze između sila i pomjeranja. Kod primjene MKE se koriste modeli struktura u kojima su međusobno povezani elemeti koji se zovu konačni elementi. Svakom od elemenata se pridružuje funkcija pomijeranja i ti elementi su međusobno povezani direktno ili indirektno preko čvorova ili dodirnih linija ili površina.Na osnovu poznatih vrijednosti napona i deformacije u jednom čvoru i elementu mogu se odrediti naponi i deformacije za bilo koji drugi čvor i element strukture koja se opterećuje. Ukupan broj jednačina strukture opisuje ponašanje svih čvorova i predstavlja sistem algebarskih jednačina koje je najbolje predstaviti u matričnom obliku. Prvi korak kod korištenja MKE jeste izrada modela odnosno modeliranje realnog sistema. Ostali koraci ce biti malo detaljnije opisani u narednim poglavljima. 4.0 Relacije deformacija pomijeranje i napon deformacija Za svaki konačni element treba postaviti jednačine. Ako je problem jednodimenzionaln tj., postoji deformacija u samo jednom (x osi) pravcu, tada je deformacija εx i ona je povezana sa pomjeranjem „u“ u x pravcu. Veza pomjeranja i deformacije deta je izrazom ispod i važi samo za aksijalno stanje. ε x=
du dx
Ova jednačina važi za samo male deformacije. Između napona i deformacija postoje i konstitutivne relacije a jedna takva je Hooke – ov zakon.
slika 2.
Napon je proporcionalan relativnoj deformaciji:
E gdje je :
σ - naprezanje
E – youngov modul elastičnosti l l relativna deformacija : gdje je :
δ- omjer produljenja Δl – produljenje l- dužina
n
F S
gdje je: S- poprečni presjek Iz gore navedenog odnosa slijedi da je :
E / Fl / Sl
4.1 Naponi i deformacije
Da bi definisali pojam napon pretpostavimo da imamo opterećeno elastično tijelo koje je nekom prozvoljnom ravni presječeno na dva dijela.
Odbačeni desni dio tijela 2, na posmatrani lijevi 1, na svakoj elementarnoj površini presjeka ΔA, djeluje unutrašnjom silom ΔFu. Srednji napon na toj elementarnoj površini je količnik ΔFu i ΔA :
Kada elementarna površina teži nuli srednji napon teži totalnom naponu p u tački M presjeka :
Komponente totalnog napona u pravcu normale na presjek n, predstavlja normalni napon σ, dok komponenta koja leži u ravni presjeka predstavlja tagencijalni napon τ.
Kroz svaku tačku može se provući beskonačno mnogo ravni . Za svaku ravan totalni napon,a time i normalni i tagencijalni , imat će drugačije vrijednosti. Skup napona za sve presjeke koji prolaze kroz tačku karakteriše stanje napona u tački. Napon je tenzorska veličina koja je određena sa devet komponenti tri normalne i šest tangencijalni.
Tangencijalni napon ima dva indeksa, prvi označava pravac djelovanja, a drugi površinu na kojoj napon djeluje. Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine, a normalni naponi koji djeluju u tim
površinama su glavni naponi. Složeno naponsko stanje se može predstaviti Von-Misesovim naponom:
Deformacija je veličina koja predstavlja mjeru deformisanosti materijala. Ovdje se razmatra tenzor male deformacije koji je najjednostavniji za definisanje, a osnova je za linearnu teoriju konačnih elemenata. Velike deformacije koriste se pri izučavanju problema gdje se materijal značajno deformiše, kao što su obrada plastičnim deformisanjem ili deformisanje elastomjera. Elastično tijelo se pod uticajem sila kreće i deformiše, te mijenja svoj položaj, oblik i zapreminu. Za bilo koju neprekidnu sredinu, posmatra se tačka A unutar djelića kontinuma B , u kojoj se želi da definiše veličina koja se naziva mala deformacija. Po svojoj prirodi, razlikuju se dvije vrste deformacija: normalna (linijska deformacija, dilatacija) i smičuća (ugaona, klizanje).
Slika 3. 5.0 Matrica krutosti i jednačine U početku su se matrice krutosti elemenata i jednačine elemenata određivale na osnovu uticajnih koeficijenata krutosti, što je u direktnoj vezi sa strukturnom analizom. Nakon toga je razvijeno više metoda određivanja matrica krutosti:
Direktni ravnotežni metod – matrica krutosti povezuje sile u čvorovima elementa i pomjeranja čvorova elementa, te se dobija iz uslova ravnoteže sila za svaki razmatrani element,
Varijacioni model – zasnivaju se na principu stacionarnosti funkcionala, ako se analiziraju problem mehanike čvrstog tijela onda je ovo i isto što i direktni metod. Varijacionim metodama se mogu odrediti matrice krutosti elemenata nestrukturalnih problema, analiza polja napona, toplote itd. Metod težinskog reziduala – zasniva se na diferencijalnim jednačinama razmatranog problema. Metod se kosristi tamo gdje nije moguće odrediti funkcional i u problemima u kojima funkcional u opšte ne postoji. Najpoznatiji je Galerkinov metod. Na osnovu njega se dobiju jednačine koje opisuju ponašanje elementa. U matričnom obliku to je:
{}[
]{ }
f1 k 11 k 12 k 13 … k 1 n d 1 f2 d = k 21 k 22 k 23 … k 2 n 2 ⋮ ⋮ k n 1 k n2 k n 3 … k nn d fn n
gdje su: -
f – vector sila u čvornim mjestima, d – vector pomjeranja čvorova elementa i k – matrica krutosti elementa.
5.1 Globalna matrica krutosti Matrica krutosti i jednačine pojedinih konačnih elemenata dobijaju se primjenom od nekih gore navedenih metoda. Primjenom direktnog metoda i superpozicije matrice pojedinih elemenata mogu se sabrati i na taj način dobije se globalna ili ukupna matrica krutosti strukture. Mora se ispoštovati uslov kontinuiteta ili kompaktibilnosti strukture.Globalna jednačina u matričnom obliku je data izrazom ispod:
{ F }={ K } { d } gdje su: -
F – vektor sila u globalnom koordinatnom sistemu, K – klobalna matrica krutosti d – vektor poznatih i nepoznatih pomjeranja svih čvorova strukture.
Globalna matrica krutosti je singularna jer je njena determinanta jednaka nuli. Problem singularnosti matrice se rješava uvođenjem odgovarajućih graničnih uslova (ograničenja, oslonci, sile, temperature, itd.). 6.0 Opšta teorija MKE
Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, sastoji se u podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područja, odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje se od posebnog ide ka opštem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područjima nauke. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opšta rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja. U okviru MKE, razmatrano područje zamenjuje se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka. Na ovaj način, područje sa beskonačno mnogo stepeni slobode, zamenjuje se diskretnim sistemom sa konačnim brojem stepeni slobode i analizira metodama diskretne analize. U matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz područja analize u područje algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeričke analize o okviru koje se definiše način prevođenja kontinuiranih fizičkih sistema u diskretne, odnosno način formiranja sistema algebarskih jednačina pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak. Na slici 4 prikazano je područje D elastičnog kontinuma, koji je ograničen konturom S, tako da su na dijelu konture
S
Su zadati konturni uslovi po silama, a na dijelu
konturni uslovi po
Fx Fy , Fz pomejranjima. U području D djeluju zapreminske sile F ( , ), a na S
px , p y , pz
konturi površinske sile p ( ). Za pomjeranja u području D se pretpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata, odnosno: u u ( x, y , z ) u u ( x , y , z ) u u ( x , y , z ) , , 2.1
Slika 4. Područje D elastičnog kontinuuma Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formuliše po pomjeranjima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomjeranja, koje zadovoljavaju uslove ravnoteže i uslove na konturi, odnosno diferencijalne jednačine i konturne uslove. Granični zadatak koji je formulisan na ovaj način, u kinematičkom smislu, predstavlja sistem s beskonačnim brojem stepeni slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sistema sa konačnim brojem stepeni slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sistema algebarskih jednačina Razmatrano područje D djeli se na konačan broj malih dijelova – konačnih elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se nazivaju čvorovi (Slika 4.1).
Slika 4.1 Područje D podeljeno na konačan broj elemenata Ako se pretpostavi da se pomjeranja u bilo kojoj tački konačnog elementa mogu, na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomjeranja u
čvorovima, onda se problem određivanja polja pomjeranja u području D svodi na određivanje u čvorovima, a broj pomjeranja u čvorovima je S
konačan. Pomejranja u čvorovima u području D i na konturi određuju se iz sistema jednačina, koji predstavljaju uslove ravnoteže u čvorovima, S
uslove kontinuiteta u čvorovima i konturnih uslova na konturi . Na slici 4.2 prikazan je konačni element, koji je izdvojen iz sistema elemenata sa slike 4.1 Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne elemente sa ravnim i krivim konturama.
Slika 4.2 Konačni element izdvojen iz sastava elemenata Na elementu je usvojen određeni broj tačaka na konturi, koje se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … K, gde je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju spoljašnji čvorovi, da bi se razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R. U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri pomjeranja. Pod pomjeranjima, ovdje se podrazumjevaju pomjeranja u generalnom smislu, tj. komponente pomjeranja, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomjeranja u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod trodimenzionalnih problema u svakom
čvoru, za parametre pomjeranja se usvajaju po tri komponente pomjeranja (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dve (u, v), kod savijanja ploča najmanje po tri (w, θx=w,y, θy=w,x) itd. Parametri pomjeranja u čvorovima često se nazivaju stepeni slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine imaju u statici linijskih sistema. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara pomjeranja, element ima SxK spoljašnjih stepeni slobode i SxR unutrašnjih stepeni slobode.
7.0 FEM analiza u programu CATIA Na modelu je potrebno provesti ispitivanje metodom konačnih elemenata, koja se sastoji od: -
modeliranje objekta određivanje materijala i njegovih svojstava određivanje veličine mreže i njeno postavljanje definisanje oslonaca definisanje opterećenja analiza
Na ovaj način je moguće u ranom procesu dizajniranja proizvoda uočiti pogrešku i napraviti potrebne izmjene na vrijeme, i pri tome saminjiti troškove proizvoda i proizvodnje. Na slijedecem primjeru prikazat cemo primjer izvođenja FEM analize i interpretaciju rezultata. 7.0 Interpretacija rezultat Dobijeni rezultati primjenom MKE se analiziraju i interpretiraju. Zaključak svake analize se svodi na određivanje tačnog mjesta djelovanja najvećih napona i deformacija. Na osnovu poznavanja naponsko – deformacionog stanja kao jednog od važnih faktora, dizajner će donositi odluke. Podprocesorski kompjuterski programi pomažu korisniku da interpretira rezultate dobijene prikazujući ih u grafičkoj formi. 8.0 Fem analiza nosača Na modelu je potrebno provesti ispitivanje metodom konačnih elemenata. Koristit ćemo se opcijama i funkcijama unutar workbencha Generative Structural Analysis. Ova aplikacija je namijenjena za korisnike prosječnih zahtjeva. U nekoliko jednostavnih koraka je lako izračunati i zatim analizirati mehanička svojstva modela. Na taj način je moguće u ranom procesu dizajniranja uočiti pogrešku i napraviti potrebne izmjene na vrijeme. Predmet ispitivanja:
slika 5. Zatim ulazimo u workbench Generative Structural Analysis putem menija Start – Analysis & Simulation - Generative Structural Analysis. Pri tome se otvara prozor New Analyssis Case. Po defaultu je uklučena opcija Static Analysis. Kliknemo na OK i ulazimo u workbench, te se pojavljuju odgovarajuće funkcije.
slika 6.
Najprije kliknemo na oznaku Restraints. Zatim kliknemo na ikonu Clamp, te se otvara prozor Clamp. Selektiramo 1 površinu prikazanu na slici. U stablu se pojavljuje odgovarajuća oznaka.
slika 7. Selektiramo 1 površinu prikazanu na slici. U stablu se pojavljuje odgovarajuća oznaka.
slika 8. Zatim selektiramo opciju Loads. Kliknemo na ikonu Distributed Force i otvara se prozor u kojem definiramo parametre.
slika 9. Preostaje da kliknemo na ikonu Compute. CATIA će sada napraviti mesh na modelu i izračunati naprezanja i deformacije u modelu.
Nakon proračunavnja dobijamo sljedeće podatke: Prikaz Von Misesovog napona
slika 10. Von Missesov napon se često koristi pri određivanju da li materijal kada je podvrgnut nekom naprezanju može izdržati to naprezanje da ne dođe do plastične deformacije.To se postiže izračunavanjem Von Missesovog naprezanja u upoređujući ga sa materijalom i njegovom jačinom, što čini Von Misses kriterij.
Prikaz Von Misesovog napona ( minimalni )
slika 11. Prikaz Von Misesovog napona ( maximalni )
slika 12.
Pomjeranje nosača
slika 13. Prikaz tenzora napona
slika 14.
Izgled predmeta nakon opterećenja
slika 15. 9.0
Zaključak:
MKE prvo je počela imati primjenu u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Prikazani postupak postaje prilično složen kada se radi o sustavu s većim brojem elemenata, ili kada su elementi složenijeg oblika kao što su volumenski elementi (tip AB ploče). U tom slučaju problem postaje gotovo nerješiv bez upotrebe računalne tehnologije. Računala s jakim procesorima mogu vrlo brzo riješiti velike sustave jednadžbi u matričnoj formi i već za nekoliko sekundi generirati rješenje. Upravo zato metoda konačnih elemenata nalazi svoju široku primjenu u praksi te se teži daljnjem usavršavanju matematičkog modela koji bi se potom mogao implementirati unutar računalnog programa, a rezultati bi bili još precizniji i pouzdaniji.Osnovne karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE):Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize, jednostavna matematička formulacija i način za rješavanje problema, osnov za razmatranje problema (umjesto diferencijalno malog elementa) je dio domena konačnih dimenzija, poddomen, konačni element,jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima su obične algebarske jednačine, domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode (nepoznate veličine),usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom broju tačaka, čvorovima modela. Za ovaj slučaj prikazan gore možemo zaključiti, na osnovu slike 10. da je najveće opterećenje na krajevima noseće ploče, na kojim se ujedno i javalja najveći ( maximalni ) Von Misesov napon u vrijednosti od 18796056 (Pa), a najmanji napon slika 11. vidimo da se javlja na neopterećenom djelu gdje su postavljeni oslonci. S obzirom da za čelik napon na granici tečenja i zatezna čvrstoća
imaju veće vrijednosti od dobivene, možemo zaključiti da predmeta može izdržati opterećenje. 10.0 Popis slika : Slika 1. Tok modeliranja i simulacije......................................................................................... 4 Slika 2. Hukov zakon............................................................................................................. ......6 Slika 3. Prikaz deformacija.................................................................................................... .....9 Slika 4. Područije D elastičnog kontinuuma.............................................................................11 Slika 4.1 Područije D podjeljeno na konačne elemente...........................................................12 Slika 4.2 Konačni element izdvojen iz sastava.........................................................................13 Slika 5. Predmet ispitivanja...................................................................................................... 14 Slika 6. Prikaz izbora analize.....................................................................................................15 Slika 7. Zadavanje oslonoca.....................................................................................................1 5 Slika 8. Prikaz oslonoca na predmetu......................................................................................16 Slika 9. Zadavanje sile..............................................................................................................1 6 Slika 10. Von Missesov napon .................................................................................................17 Slika 11. Prikaz djelovanja minimalnog Von Missesovog napona............................................18
Slika 12. Prikaz djelovanja maximalnog Von Missesovog napona...........................................18 Slika 13. Pomjeranje nosača....................................................................................................19 Slika 14. Prikaz tenzora napona...............................................................................................19 Slika 15. Prikaz predmeta nakon opterećenja.........................................................................20 Literatura: https://www.google.ba/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCYQFjAA&url=http%3A%2F %2Fwww.am.unze.ba%2Fmkpr%2FMKE %25202.pdf&ei=1ZkwU4i5DoqbtAa_8oH4Bg&usg=AFQjCNFXOx8J61-8wq6apgg_AdXR1zz1A&bvm=bv.62922401,d.Yms&cad=rja https://www.google.ba/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCYQFjAA&url=http%3A%2F %2Fbs.scribd.com%2Fdoc %2F64926423%2FPredavanja&ei=9ZkwU42fE8rBtQaq0IDQBg&usg=AFQjCNHTerf oB06gd45xYbGzpMOTluJwRQ&bvm=bv.62922401,d.Yms&cad=rja
