METODA KONAČNIH ELEMENATA Tabela 1.1. Fizičke osobine koje karakterišu razli čite inženjerske sisteme [2] Vrsta problema
Primjeri parametara koji karakterišu sistem
Primjeri mehanike čvrstog tijela Optere ćenje
E
modul elasti čnosti, E rešetka
Opterećenje
E
elastična ploča
modul elasti čnosti, E
Optere ćenje
modul elasti čnosti, E ; moment inercije popre čnog presjeka I
E, I greda Obrtni moment
G, J osovina
modul krutosti, G; polarni moment inercije popre čnog presjeka, J
1
Primjer prenosa topline visoka temp. toplinski tok
k niska temp. zid
koeficijent prolaza topline, k
Primjer protoka fluida
visoki pritisak
niski pritisak cjevovodi
viskozitet, ν
Tabela 1.2. Parametri koji uti ču na razne inženjerske sisteme [2] Vrsta problema Mehanika čvrstog tijela Prenos topline Protok fluida i cjevovodi
Primjeri parametara koji uti ču na sistem vanjske sile i momenti temperaturna razlika; utrošak topline razlika pritiska; brzina protoka
1.2. Numeričke metode Suština aproksimacije kontinuuma po metodi konačnih elemenata, sastoji se u sljedećem [1]: 1. Razmatrani domen kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površi, dijeli se na određeni broj poddomena konačnih dimenzija. Pojedini poddomeni se nazivaju konač ni ni elementi , a njihov skup za cio domen sistem ili mreža konač nih nih elemenata. elemenata. 2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju vorne tač ke ke ili č vorovi vorovi , č vorne 3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomjeranja, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konač nog nog broja parametra u č vorovima vorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veli čine u metodi konačnih elemenata. Poznate su dvije klase numeri čkih metoda: (1) metoda konač nih nih razlika i (2) metoda konač nih nih elemenata. elemenata.
2
Tabela 1.3. Primjeri mogu ćnosti ANSYS softwarea [2,8]
Prenos topline u V6 motoru, korišten u automobilima s pogonom na prednje to čkove, je analiziran pomoću ANSYS softwarea. Analizu s ciljem poboljšanja osobina proizvoda je obavila firma Analysis & Design Appl.Co.Ltd. (ADAPCO) za potrebe ameri čkog proizvođača automobila. Na slici su prikazane konture toplotnog napona u bloku motora.
Mogućnosti otkrivanja velikih pomaka pomo ću ANSYS-a su iskoristili inženjeri u firmi za proizvodnju igra čaka, Today’s Kids, kako bi utvrdili kritična mjesta na preoptere ćenom dječijem toboganu prikazanom na gornjoj slici. Ova mogućnost nelinearne analize je potrebna za otkrivanje napona zbog strukturnog ponašanja proizvoda.
Elektromagnete mogu ćnosti ANSYS-a, koje obuhvataju vektorske i skalarne potencijale međusobno vezane preko specijalnih elemenata, kao i trodimenzionalno grafi čko prikazivanje rasipanja el.mag. polja pomo ću beskonačnih graničnih elemenata su dati u analizi ploče na gornjoj slici.
Korporacija za strukturnu analizu je koristila ANSYS da odredi frekvenciju rotora kod sklopa disk kočnice. U ovoj analizi je prona đeno da postoji 50 oblika vibracije u rotoru ko čnice kamioneta.
3
1.4. Osnovni koraci u MKE Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po metodi konačnih elemenata uvijek se svode na tzv. proces korak po korak (Step by step process). Osnovni koraci svake analize konačnih elemenata se sastoje od sljede ćeg [2]:
Pretprocesna faza
1. Diskretizacija kontinuuma - stvoriti i diskretizirati domen rješenja u konačne 2. 3. 4. 5.
elemente, odnosno podijeliti problem u čvorišta i elemente. Izbor interpolacionih funkcija - pretpostaviti oblik funkcije koji predstavlja fizičko ponašanje elementa, odnosno pretpostavi se aproksimativna funkcija kontinuiteta za predstavljanje rješenja elementa. Srač unavanje karakteristika elementa - razviti jednačinu elementa. Formiranje jednač ina za mrežu konač nih elemenata - spojiti elemente tako da predstavljaju cjelokupan problem. Formirati globalnu matricu krutosti. Primjeniti granične uslove, početne uslove i opterećenje.
Faza rješavanja
6. Rješavanje sistema jednač ina - riješiti skup linearnih ili nelinearnih algebarskih jednačina kako bi se dobila rješenja u čvorovima, npr. vrijednosti pomijeranja u različitim čvorovima.
Postprocesna faza
7. Prorač un potrebnih uticaja - pribaviti ostale važne informacije, kao npr. vrijednosti glavnih napona.
4
ANALIZA MAŠINSKIH ELEMENATA 2.1.1. Veze deformacije – pomjeranja Veza između komponenata tenzora deformacije i komponenata vektora pomjeranja date su izrazima [1]:
ε ij =
1 2
(ui, j + u j,i )
(2.8)
odnosno:
ε xx = u,x
ε xy =
ε yy = v,y
ε yz =
ε zz = w,z
ε xz =
1 2 1 2 1 2
(u,y +v,x ) (v,z + w,y ) (u,z + w, x )
gdje indeks iza zareza uz osnovnu oznaku zna či diferenciranje, npr. u, x =
∂u . ∂x
Zavisnost (2.8), s obzirom na (2.3) i (2.4), mogu se prikazati u matričnom obliku
ε=Lu
(2.9)
gdje je: L - matrica operator u – vektor pomjeranja 0 0 ⎤ ⎡∂ ∂x ⎢ 0 ⎥ ∂ ∂ y 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ 0 L=⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ y x 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ∂ ∂y ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂x ⎥⎦ 0 ⎢⎣∂ ∂z
(2.10)
Pored tenzora deformacije εij uvodi se i tenzor rotacije ω ij:
ω 13 ⎤ ω 23 ⎥⎥ 0 21 ω 32 0 ⎥ 31 ⎦ čije su komponente date u zavisnosti od pomjeranja:
⎡ 0 ω ij = ⎢⎢ω ⎢⎣ω ω ij =
1 2
ω 12
(ui, j − u j,i )
(2.11)
Pošto je ω ij kososimetričan tenzor (ω ij = -ω ji), on se može prikazati kao vektor koji ima samo tri komponente
ω r =
1 2
(e rij ω ji )
(2.12)
erij – pseudo tenzor čije su komponente +1, za slučaj parnih, odnosno –1 neparnih permutacija brojeva 1, 2, 3 koje uzimaju indeksi r , i , j .
5
2.1.2. Uslovi kompatibilnosti deformacija Komponente tenzora deformacije nisu međusobno zavisne, već moraju ispunjavati uslove kompatibilnosti Saint-Venant-a [1]:
εil, jk + ε jk, il - εik, jl - ε jl, ik = 0
(2.13)
Matrični oblik uslova kompatibilnosti
L1 = 0
(2.14)
gdje je L1 – matrica operator:
⎡ ∂ 2 ∂y 2 ∂ 2 ∂x 2 ⎤ 0 0 0 − 2∂ 2 ∂x∂y ⎢ ⎥ ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 ∂y 2 − 2∂ 2 ∂y∂z 0 0 ⎢ 0 ⎥ 2 2 2 2 2 ⎢ ∂ ∂z ∂ ∂x − 2∂ ∂x∂z ⎥ 0 0 0 L1 = ⎢ 2 ⎥ 2 2 2 2 y z 0 z x x y ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ 0 x ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 ⎢ 0 ∂ ∂x∂z − ∂ ∂z∂y − ∂ ∂x∂y ∂ ∂y ⎥ 0 ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 ∂ ∂x∂y ∂ ∂z − ∂ ∂x∂z − ∂ ∂y∂z ⎦⎥ 0 ⎣⎢ 0
(2.15)
2.1.3. Uslovi ravnoteže Uslovi ravnoteže vanjskih i unutrašnjih sila koji se uspostavljaju na elementu diferencijalno malih dimenzija, sl. 3.1, su dati izrazom:
σij, j + Fi = 0
(2.16)
odnosno u matričnom obliku
L2
+F=0
(2.17)
gdje je L 2 matrica operator:
⎡∂ ⎢ ∂x ⎢ L2 = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣
0
0
∂ ∂y
0
0
∂ ∂z
∂ ∂y ∂ ∂x 0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
∂⎤ ∂z ⎥⎥ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎥⎦
(2.18)
Na osnovu poređenja (3.10) i (3.18) slijedi:
6
L2 = LT
(2.19)
Indeks T označava traspoziciju matrice. Uslovi ravnoteže između unutrašnjih i spoljašnjih sila, na dijelu konture gdje su konturni uslovi zadati po silama, dati su jednačinama Cauchy-a:
σij λ j = pi
(2.20)
odnosno:
σxx l + σxy m + σxz n = px σyx l + σyy m + σyz n = py σzx l + σzy m + σzz n = pz gdje su: λ j (l , m, n) kosinusi uglova koje normala n u tačkama konturne površi zaklapa sa osama x , y , z . Jednačine (2.20) mogu da se prikažu kao:
G -p=0
(2.21)
gdje je G matrica čiji su elementi kosinusi uglova
⎡ l 0 0 m 0 n⎤ G = ⎢⎢0 m 0 l n 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 n 0 m l ⎥⎦
(2.22)
Ako se uporede izrazi (2.18) i (2.22) lako je uočiti da se matrica G može dobiti preko matrice L 2 ako se na mjesto simbola za diferencijale po koordinatima stave kosinusi uglova normale sa odgovarajućim koordinatnim osama. Na dijelu konture Su, geometrijski konturni uslovi su: u=~ u v=~ v ~ w=w ~ , gdje je u ~ - vektor zadanih pomjeranja. ili kraće kao: u = u
(2.23)
2.1.4. Veze između napona i deformacija Jednačine koje predstavljaju konstitutivne veze komponenata napona i deformacija za elastičan materijal u opštem obliku su [1]:
σij = Dijkl εkl
(2.24)
Ovaj izraz predstavlja generalizaciju Hook-ovog zakona. Napisan u matričnom obliku će biti: =D
(2.25) 7
gdje je: D simetrična matrica koju nazivamo matrica krutosti materijala. Ova matrica ima 36 koeficijenta, a s obzirom na simetriju, samo je 21 koeficijent međusobno različit: d12 ⎡ d11 ⎢ d 22 ⎢ ⎢ D=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢simetr .
d13
d14
d15
d16 ⎤
d23
d24
d 25
d 26 ⎥
d33
d34
d35
d 36 ⎥
d 44
d 45
d 46 ⎥
d55
⎥ ⎥
(2.26)
d 56 ⎥
⎥
d 66 ⎦⎥
Inverzni oblik (2.25) = D-1
=C
(2.27)
gdje je: C – matrica fleksibilnosti. Za tijela sa ortotropnim osobinama, tj. osobinom simetrije u odnosu na tri međusobno normalne ravni, broj međusobno različitih koeficijenata u matrici D svodi se na devet, pa imamo: d12 d13 0 0 0 ⎤ ⎡ d11
⎢ d 22 ⎢ ⎢ D=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣simetr .
d 23
0
0
d33
0
0
d 44
0 d55
⎥
0 ⎥ 0 ⎥
⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ d 66 ⎥⎦
(2.28)
U slučaju homogenih izotropnih elastičnih tijela elementi matrice D i C mogu da se prikažu pomoću Lame-ovih koeficijenata λ i μ:
λ λ ⎡ λ + 2μ ⎢ λ + 2μ λ ⎢ ⎢ λ + 2μ D=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣simetr .
0 0
0⎤
0 0
0⎥
0 0
⎥
0⎥
⎥ μ 0 0⎥ μ 0⎥ ⎥ μ ⎥⎦
(2.29)
8
ili Young-ovim modulom elastičnosti E i Poisson-ovim koeficijentom ν: 2 ν 2 ν ⎡ 2(1 − ν ) ⎢ 1 − 2 ν 1 − 2 ν 1 − 2 ν ⎢ 2(1 − ν ) 2 ν ⎢ 1 − 2 ν 1 − 2 ν ⎢ E ⎢ 2(1 − ν ) D= 2(1 + ν ) ⎢ 1 − 2 ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ simetr . ⎣
⎤
0 0 0⎥ 0 0 0 0 1 0 1
⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥⎦
− ν − ν 0 0 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ 1 − ν 0 0 0 ⎥ ⎢ 1 0 0 0 ⎥ 1⎢ C= ⎢ ⎥ 2(1 + ν ) 0 0 ⎥ E⎢ ⎢ 2(1 + ν ) 0 ⎥ ⎢ ⎥ 2(1 + ν )⎥⎦ ⎢⎣simetr .
(2.30)
(2.31)
Poznate veze između koeficijenata su:
λ =
E ν (1 + ν )(1 − 2ν )
μ=G=
μ(3λ + 2μ ) λ + μ
ν =
E 2(1 + ν )
(2.32)
ili: E=
λ 2(λ + μ )
(2.33)
odnosno u matričnom obliku
Λ c = ∫ u T δFdv + ∫ u T δpds = ∫ ε T δσdv V
S
(2.48)
V
gdje je komplementarni rad izražen preko spoljašnjih odnosno unutrašnjih sila. Ako se pretpostavi da je varijacija zapreminskih sila (δF = 0), a s obzirom da je δp = 0 na dijelu konture gdje su konturni uslovi zadati po silama, jednačina (2.47) postaje
∫ε
T
δσdv − ∫ u T δpds = 0
V
(2.49)
Su
i sa pomoćnim jednačinama: (δσij), j = 0 δpi = 0
uD na Sσ
(2.50)
definiše princip komplementarnog rada.
9
Na sl. 2.2. data je geometrijska interpretacija za deformacioni rad komplementarni rad c(δ).
Slika 2.2. Prikaz deformacionog (ε) i komplementarnog
c(δ)
(ε) i
rada [1]
10
5. MODELIRANJE KONZOLNOG NOSAČA I PLOČE SA OTVOROM U ovom poglavlju ćemo izvršiti analizu zakrivljene konzole primjenom programa za modeliranje metodom konačnih elemenata, ANSYS. Prije izrade zadatka razmotrićemo neke osnovne koncepte ANSYS programa. ANSYS je sveopšti paket modeliranja metodom konačnih elemenata za numeričko rješavanje širokog spektra mehani čkih problema [8]. Ovi problemi obuhvataju: statičke/dinamičke strukturne analize (linearne i nelinearne), probleme prenosa topline i fluida, kao i akustični i eletromagnetni problemi. Program je organiziran u dva nivoa [2]: (1) Početni nivo (Begin level ) i (2) Procesorski nivo (Processor level ). Početni nivo služi za ulazak/izlazak u/iz ANSYS procesora, sl. 5.1. Ulaz
Izlaz
POČETNI NIVO
PREP7 Opšti pretprocesor
SOLUTION Procesor
POST1 Opšti postprocesor
POST26 VremenskiHistorijski postprocesor
Itd.
PROCESORSKI NIVO
Slika 5.1. Organizacija ANSYS programa [2]
Uopšte, rješavanje metodom konačnih elemenata se može podijeliti u sljedeće tri faze [8]: definisanje problema (PREP7), osnovni koraci 1. Pretprocesiranje : pretprocesiranja su sljedeći: definisanje ključnih tačaka/linija/površina/zapremina definisanje vrste elementa i osobina materijala, kao i geometrijske osobine izrada mreže linija/površina/zapremina Broj potrebnih detalja će zavisiti od vrste analize (tj. 1D, 2D, 3D). 2. Rješen je : postavljanje opterećenja, ograničenja i rješavanje (SOLUTION); u ovoj fazi zadajemo opterećenja (koncentrisano ili kontinualno), ograničenja (translaciona i rotaciona) i na kraju rješavamo dobiveni skup jednačina. 3. Postprocesiranje : dodatno procesiranje i pregled rezultata (POST1 ili POST26); u ovoj fazi može se vidjeti: lista čvornih pomjeranja sile i momenti elementa prikaz deformacija/ugiba dijagram napona -
11
5.1. Opis problema Problem koji ćemo modelirati u ovom primjeru jeste konzolni nosa č izrađen iz čelične ploče prikazan na sljedećoj slici, sl. 5.2. Potrebno je odrediti pomjeranja, kao i mjesta koncentracije napona nosača.
Slika 5.2. Optere ćeni konzolni nosač
Nosač je u čvršćen za dva manja otvora na lijevoj strani i optere ćen na većem otvoru koncentrisanom silom F = 1000 N. Pri svakom ispitivanju nove vrste analize, potrebno nam je nešto (tj. analitičko rješenje ili eksperimentalni podatak) sa čime možemo usporediti dobivene rezultate. Na ovaj način možemo biti sigurni da smo dobili ispravnu vrstu analize, jedinice, faktor razmjere, itd. Pojednostavljena verzija, koja će se koristiti za ovaj problem, jeste ravna pravougaona ploča sa otvorom, prikazana na sljede ćoj slici, sl. 5.3.:
Slika 5.3. Opterećena pravougaona plo ča sa otvorom
12
5.2. Dvodimenzionalni elementi 5.2.1. Pravougaoni elementi T
Ti Tn
Tm T j
Y
n m i
baza
Slika 5.4. Opisivanje
j
dvodimenzionalne temp. raspodjele pomo ću pravougaonih elemenata [2]
X
Tn x , y lokalni koord. sistem X , Y globalni koord. sistem Ti
T
T j
Tm
y m
n w
Y i
j
x
X
Slika 5.5. Tipični pravougaoni element [2]
13
6.1.3.1. Konvergencija u ANSYS programu U ovom stadiju potrebno je pronaći da li je konačni rezultat konvergirao ili ne. To ćemo postići promatrajući otklon i napon u odre đenim čvorovima pri promjeni veličine elementa mreže. Izvršićemo provjeru napona u tački u kojoj smo analitički dobili njegovu maksimalnu vrijednost – vrh otvora. Najprije trebamo na ći broj čvora na vrhu otvora u ploči, a to ćemo učiniti tako što ćemo prikazati i numerisati sve čvorove ploče, kao na sl. 6.3.a.
Slika 6.3.a. Numerisani čvorovi modela
Traženi čvor je numerisan brojem 49 i označen crvenim kvadratom, sl. 6.3.b.
Slika 6.3.b. Čvor u kojem se pretpostavlja maksimalni napon
14
Na osnovu ispisa vrijednosti komponentnih napona u čvorovima, sl. 6.4.a i sl. 6.4.b, gdje su po kolonama: NODE , broj čvora, S1, naponi u pravcu x-ose, S2 , naponi u pravcu y-ose, S3, naponi u pravcu z-ose, SINT , ukupni intenzitet napona, SEQV , ekvivalentni/von Mises napon, vidimo da je maksimalna vrijednost (MAXIMUM VALUES) napona upravo u pretpostavljenom čvoru br. 49, koji se nalazi na vrhu otvora, i iznosi SMX = 3.0530MPa.
Slika 6.4.a. Ispis vrijednosti napona u čvorovima
15
Slika 6.4.b. Ispis vrijednosti napona u čvorovima (nastavak)
Pošto se u zadatku tražilo da se odrede i pomjeranja, to ćemo pretpostaviti da se njihova maksimalna vrijednost nalazi u središtu desnog kraja plo če, sl. 6.5.
Slika 6.5. Numerisani čvorovi s označenim čvorom u kojem se pretpostavlja maksimalno pomjeranje
16
Ispisom rezultata, sl. 6.6.a i sl. 6.6.b, gdje su po kolonama: UX , pomjeranja u pravcu X-ose, UY , pomjeranja u pravcu Y-ose, UZ , pomjeranja u pravcu Z-ose, USUM , ukupno pomjeranje, potvr đeno je da se max. vrijednost (MAXIMUM ABSOLUTE VALUES) pomjeranja nalazi u čvoru br. 22 i iznosi DMX = 0.0012257 mm.
Slika 6.6.a. Ispis vrijednosti pomjeranja u čvorovima
Slika 6.6.b. Ispis vrijednosti pomjeranja u čvorovima (nastavak)
17
Pošto smo dobili maksimalne vrijednosti napona 3.0530 MPa, odnosno pomjeranja .0012257 mm, pokušaćemo koristiti manje elemente da bismo dobili tačnije rješenje. Te nove vrijednosti napona i pomjeranja ćemo prikazati grafički, sl. 6.7. C
4,00 3,75 ) 3,50 a P M ( 3,25 n o3,00 p a N2,75
0,001245 0,001240
D B
A
) m 0,001235 ( m e j 0,001230 n a r e j 0,001225 m o P
2,50
0,001220
2,25
0,001215 50
100
150
200
250
300
Broj elemenata
Slika 6.7. Konvergiranje napona i pomjeranja sa povećanjem broja elemenata
Slika 6.8.a. Deformisani i nedeformisani oblik modela
Sa slike vidimo da je najveća deformacija tijela oko otvora u ploči i iznosi DMX = 0.00124 mm. Slika 6.8.b. daje uvećani prikaz deformisanog i nedeformisanog (isprekidane linije) oblika otvora.
18
Slika 6.8.b. Deformacija otvora plo če
Slika 6.9. Pomjeranja modela
19
Na prethodnoj slici možemo, na osnovu dijagrama i spektra boja, primjetiti da su svi translacioni stepeni slobode jednaki nula na lijevom kraju ploče, dok se max. pomak dat crvenom bojom nalazi na desnoj strani.
Slika 6.10.a. Raspored napona modela
Upravo kako smo i pretpostavili, maksimalna vrijednost napona (SMX = 3.894 MPa) se nalazi na gornjem i donjem vrhu otvora, što je prikazano crvenom bojom, sl.6.10.a i sl. 6.10.b. Minimalna vrijednost napona je označena sa SMN = 0.31619 MPa i nalazi se sa lijeve strane otvora.
Slika 6.10.b. Uvećan prikaz napona oko otvora plo če
20
6.2. Model konzolnog nosača
debljina = 20 mm
20 0 0 1
modul elasti čnosti, E = 200 GPa
0 6
Poisson-ov koef., ν = 0.3 60
R20
80 150
Slika 6.11. Dimenzije konzolnog nosa ča
21
Nakon ovih podataka izrađuje se mreža od 289 elemenata čime bi se dobila sljedeća slika, sl. 6.12.
Slika 6.12. Izgled nosača nakon generiranja mreže
Faza rješavanja: Ova faza obuhvata zadavanje ograničenja stepena slobode u otvorima manjeg prečnika (plavi trokutovi) i postavljanje vertikalne sile od F = 1000 N u pravcu Y-ose na dno većeg otvora (crvena strelica), sl. 6.13. Radi boljeg uočavanja ograničenja i sile generirana mreža je prikazana pomoću čvorova u vidu bijelih tačaka.
Slika 6.13. Izgled nosača nakon zadavanja ograni čenja i opterećenja
22
U cilju analiziranja na slici 6.14. dati su uvećano numerisani čvorovi na dnu većeg otvora nosača gdje se usljed djelovanja sile (crvena strelica) o čekuju koncentracija napona i maksimalna pomjeranja.
Slika 6.14. Numerisani čvorovi na dnu otvora nosa ča
Postprocesiranje - pregled rezultata: Da bi se potvrdile iznešene pretpostavke, izvrši ćemo ispis maksimalnih vrijednosti rezultata napona i pomjeranja. Na temelju rezultata uočava se da se maksimalni napon nalazi u čvoru br. 164 i iznosi SMX = 12.104 MPa, sl. 6.15.
Slika 6.15. Ispis maksimalne vrijednosti napona i broja čvora u kojem se nalazi
Isto tako, dobiva se broj čvora 8 u kojem vrijednost pomaka dostiže maksimalnu vrijednost, DMX = 0.0035469 mm, sl. 6.16.
Slika 6.16. Ispis maksimalne vrijednosti pomaka i broja čvora u kojem se nalazi
Preostaje da se još grafički prikažu traženi rezultati analize modela nosača metodom konačnih elemenata: deformacije, sl. 6.17, pomjeranja, sl. 6.18, i naponi, sl. 6.19.a i sl. 6.19.b. 23
Na sljedećoj slici, sl. 6.17., upoređen je deformisani i nedeformisani oblik (prikazan isprekidanom linijom) i data vrijednost maksimalnog pomjeranja (DMX = 0.003547 mm). Također, model pokazuje da mreža elemenata nije deformisana oko otvora manjeg promjera zbog zadanog ograničenja u slobodi kretanja.
Slika 6.17. Deformisani i nedeformisani oblik nosača
Plastičan prikaz vrijednosti pomjeranja dat je na slici 6.18., krećući se od nulte vrijednosti na lijevoj strani nosača i oko manjih otvora – oznaka MN na plavoj podlozi, do maksimalne (DMX = 0.003547 mm) na desnom donjem zaobljenju nosača – oznaka MX na crvenoj podlozi.
Slika 6.18. Prikaz pomjeranja modela
24
Vrijednosti napona na našem modelu možemo vizuelno odrediti sa slike 6.19.a na osnovu dijagrama boja. Ukoliko je potrebno odrediti tačne vrijednosti napona na pojedinim mjestima modela, tada jednostavno vršimo ispis svih čvorova sa njihovim odgovarajućim naponima. Maksimalna vrijednost napona iznosi SMX = 12.104 MPa, minimalna SMN = 0.054325 MPa, a njihovi položaji na slici modela su označi sa MX , odnosno MN , respektivno. Uvećan prikaz dna većeg otvora, gdje je i koncentrisan napon usljed djelovanja sile, dat je na slici 6.19.b.
Slika 6.19.a. Raspored napona nosača
Slika 6.19.b. Uvećani prikaz položaja max. napona MX na dnu većeg otvora nosača
25
