En este documento se explica como implementar el método de Gauss-Jordan, para la resolución de sistema de ecuaciones. Así también se explica como estructurar el algoritmo para la programació…Descripción completa
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR (METODE GAUSS JORDAN)
Pendahuluan
Karena adanya kelemahan pada model Gauss, seorang penemu bernama Jordan, membuat model baru yang dinamakan Metode Eliminasi Gauss Jordan. Pada model ini tidak lagi digunakan model substitusi, murni menggunakan reduksi baris.
Pengertian Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah variabel yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode GaussJordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan, sedang eliminasi Gauss merupakan matrik triangular. Prosedur untuk mengubah sebarang matriks ke bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan.
Dasar teori
Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
a11 a21 a 31 a41
a12
a13
a14
a22
a23
a24
a32
a33
a34
a42
a43
a44
b1
b2 b3 b4
1 0 0 0
0
0
0
b1
1
0
0
b2
0
1
0
0
0
1
b4 b3
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai b1,b2,b3,…,bn dan atau a1 = b1,a2 = b2,a3=b3,….,an=bn Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris . Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk melakukan ini,matriks koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan. Kemudian metode Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi sebuah matriks kesatuan. Jika telah selesai, ruas kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi.
Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan
1. Tentukan kolom tak nol paling kiri. 2. Jika unsur paling atas dari kolom tak nol paling kiri yang didapatkan pada langkah 1 adalah 0, pertukarkanlah baris teratas dengan baris lain. 3. Jika unsur teratas yang sekarang pada kolom yang didapatkan di dalam langkah 1 atau 2 adalah a, kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh 1 utama. 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris dibawahnya sehingga semua unsur di bawah 1 utama menjadi 0. 5. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 4 yang dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris. 6. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama.
Contoh Eliminasi Gauss-Jordan
x + y + 2z = 9
1 1 2
9
2x + 4y – 3z = 1
2 4 -3
1
3x + 6y – 5z = 0
3 6 -5
0
dan diusahakan berbentuk
1 0 0
?
0 1 0
?
0 0 1
?
Penyelesaian dari soal contoh 1. Lakukan Eliminasi Gauss