1. Metode Numerik Transien Hingga sekarang ini, pada ilmu Perpindahan Kalor, sudah banyaak sekali analitis atas penyelesaian soal-soal yang berhubungan dengan ilmu Perpindahan Kalor konduksi. Namun demikian, dalam banyak hal situasi praktis dalam berbagai kondisi batas geometri (dimensi) sedemikian rupa sehingga penyelesaian analitisnya sangat sulit dilakukan. Maka, untuk situasi yang demikian, pendekatan yang paling berhasil dilakukan adalah yang berdasarkan atas teknik beda-berhingga ( finite-difference technique te chnique), ), yang akan kita jelaskan dasar-dasarnya di bawah ini. Dasar dari teknik peritungan Metode Numerik Transien ini adalah berawal dari benda dua-dimensi (dimensi rangkap) yang dibagi atas sejumlah jenjang tambahan kecil yang sama bentuk dan besarnya pada arah x x dan arah y, y, yang dimana dapat kita lihat pada gambar yang dibawah ini:
Sumber: J.P Holman, Perpindahan Kalor. Edisi ke enam (Halaman 79) Titik-titik node diberi tanda seperti gambar diatas, lokasi m menunjukan tambahan pada arah x arah x,, dan lokasi n menunjukan tambahan kalor pada arah y arah y.. Sehingga, untuk menentukan persamaan analisis Metode Numerik Transiennya, kita gunakan rumus dasar perpindahan kalor pada kondisi keadaan tak-tunak (unsteady ( unsteady state): state):
……. (1)
Dan jika pada dimensi rangkap (dua dimensi) rumusnya menjadi:
Dengan
…….(2)
(difusifitas termal), ρ (massa jenis), dan c (kalor jenis), maka rumusnya
menjadi suatu persamaan yang dimana disebut sebagai Persamaan Beda:
…….(3)
Pada analisis metode numerik dasar, terdapat suatu gradient atau landaian (temperature (temperature gradient ) dapat dituliskan dari beberapa pendekatan sebagai berikut:
Sehingga disini kita dapat membuat suatu persamaan beda mengenai perubahan suhu pada waktu tertentu (τ), bukan terhadap perubahan waktu:
Dalam persamaan beda diatas ditunjukkan suatu adanya pertambahan waktu ( time increment ). ). Dengan substitusi, maka kita peroleh persamaan Metode Numerik Transier pada keadaan tak-tunak dua dimensi:
Jika pada setiap node besar suhunya diketahui setiap waktu penambahan Δτ, maka besar suhu pada waktu penambahan itu dapat dicari, dengan menotasikan nilai suhu tersebut
. Selain itu, kita dapat menganggap Δ x Δ x = Δ y y jika kita melihat pada gambar diatas
memiliki ukuran yang sama panjang, sehingga rumus pada persamaan (4) dapat digunakan untuk mencari nilai
yang merupakan suhu pada saat penambahan tadi:
( )[ ]
Jika pada persamaan diatas dipilih suatu tambahan waktu dan jarak sedemikian rupa (sebarang), maka diasumsikan sistem berupa pada 4 arah (m+1, ( m+1, m-1, n+1, dan n-1), n-1 ), sehingga
Persamaan (5) dan asumsi dibawahnya digunakan ketika suatu sistem ditinjau berdasarkan dua dimensi ( x x dan y), y), sehingga memiliki node m dan node n. Jika suatu sistem ditinjau terhadap dimensi tunggal, maka persamaannya hanya terdapat satu node:
( )[ ]
Dapat dikatakan bahwa pada sistem tunggal persamaan (6) diatas sistem hanya berubah pada 2 arah, yaitu m positif (m+1) m+1) dan m negatif (m-1). m-1). Sehingga situasinya dapat dilihat pada gambar Catatan 1 pada lampiran.
.Gambar
Dari penjelasan di atas kita dapat menganggap suatu parameter M parameter M , dimana:
, sehingga Dimana jika nilai parameter M parameter M pada pada masing-masing dimensi bergerak kearah negatif (4 negatif, atau 2-negatif), maka nilai (pada dimensi rangkap) dan nilai (pada
dimensi tunggal) menjadi nilai negatif dan melanggar hukum Termodinamika II. Oleh karena itu kita harus membatasi nilai M nilai M tersebut, tersebut, dimana:
{ Untuk penerapan Metode Numerik Transien pada beberapa aplikasi akan dijelaskan pada bagian Catatan 1 pada lampiran. 2. Analisis Grafik dengan Grafik Schmidt Para pekerja teknik dan para ilmuan menggunakan metode analisis grafik sebelum dimana masa pada saat ditemukannya komputer, dengan ditemukannya komputer maka metode analisisnya beralih dari yang tadinya menggunakan grafik Schmidt ke Metode Numerik Transien yang menggunakan menggunakan komputer.
Metode analisis grafik Schmidt ini pada umumnya digunakan pada sistem yang ditinjau secara dimensi tunggal (node m). Metode node inilah yang nantinya selanjutnya diterapkan pada metode Numerik Transien. Penggunaan metode analisis grafik Schmidt yang lebih memilih sistem dimensi rangkap karena disebabkan nilai parameter M pada dimensi tunggal sama dengan 2.
Sehingga suhu pada setiap node m pada tambahan waktu Δτ ialah rata-rata rata-rata aritmetik dari suhu node-node disebelahnya pada awal penambahan waktu, dan disini kita dapat menganggap suhu pada awal penambahan waktu tersebut bervariasi, mari kita lihat gambar di hal 174 pada buku Perpindahan Kalor . Pada gambar diagram lapisan benda di lampiran kita melihat bahwa lapisan suatu benda dibagi atas beberapa bagian (Δ x) x) yang sama besar dengan arah m, dan garis paling kiri dapat kita anggap sebagai batas permukaan benda yang dimana berada pada titik m-1 dengan suhu
. Jika kita menganggap bahwa pada keadaan m adalah keadaan tinjauan
awal, maka pada titik m suhunya akan disebut sebagai
. Jika nilai
dan nilai
diketahui, dengan memplot nilai tersebut terhadap garis arah vertikal (sumbu suhu T ) pada diagram lapisan benda dan menarik garis lurus dari titik
(awal) ke titik
(arah negatif m), maka dengan meneruskan garis lurus tersebut ke arah m+1, m+1, maka kita dapat memperoleh nilai suhu yang terletak pada titik m+1 yang m+1 yang disebut sungguh sangat mdah dilakukan.
. Metode ini
Beberapa kondisi lainnya juga ditunjukkan pada buku Perpindahan Kalor halaman halaman 175. Dimana pada gambar gambar tersebut ditunjukkan situasi benda benda yang dibagi beberapa bagian Δ x atas diagram Schmidt dengan keadaan awalnya pada titik m. Pada situasi ini titik m merupakan titik pada permukaan benda, sehingga suhu pada permukaan disini dinotasitan sebagai T m. Pada kondisi ini suhu lingkungan luar benda diketahui dengan notasi .
Dengan memplot titik T m dan dan menarik garis lurus, dan jika garis itu diteruskan pada arah m+1, m+1, maka diperolehlah suhu bagian dalam benda pada titik m+1 m+1 dengan notasi .
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan metode analisis grafik Schmidt, maka dapat ditemukan suatu hubungan deret aritmatika dengan pembagi yang sama besar, sama besar, yaitu pada bagian jarak lapisan benda (Δ x). x). 3.
Gambar 2. Aliran transien dalam benda padat semi-tak-berhingga Sumber: J.P. Holman. Perpindahan Kalor
Suatu benda padat semi tak-berhingga dengan suhu awal T 1. Suhu permukaannya tiba-tiba diturunkan hingga menjadi T 0. Untuk mendapat aliran kalor pada posisi x , digunakan persamaan
√
Sehingga, aliran kalor pada pada permukaan benda (x (x = 0) adalah
Bila distribusi suhu awal dianggap seragam. Dapat diberikan fluks kalor awal permukaan yang tetap sebesar q0/ A pada permukaan. Dengan demikian, kondisi awal dan kondisi batasnya menjadi ,0) T 1 = T ( x x ,0)
(3)
] Sehingga kasus ini dapat diselesaikan dengan
√
4. Pada keadaan tak-tunak ( unsteady state), terdapat suatu analisis yang dapat memudahkan dalam mencari nilai suhu terhadap suatu perubahan waktu tertentu. Seperti yang dibahas pada pemicu sebelumnya bahwa untuk mencari suatu nilai laju perpindahan kalor dapat menggunakan fungsi perubahan suhu terhadap waktu, tetapi penyelesaiannya sangat rumit. Oleh karena penyelesaian yang sangat rumit itulah dianjurkan untuk menggunakan metodemetode analisis tertentu untuk menghitung perubahan suhunya terhadap waktu terlebih dahulu. Perhitungan tersebut dapat secara manual (dengan menggunakan metode kapasitas tergabung), dan ada juga yang menggunakan komputerisasi, yang dimanasebagai contoh seperti metode numerik Transien. Selain dengan adanya Metode Mumerik Transien, juga terdapat metode analisis lainnya, yaitu analisis Grafik Schmidt dan analisis Tahanan Termal. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa ketiga analisis diatas merupakan metode analisis yang dapat memudahkan dalam menganalisis keadaan tak tunak.
3. Metode Numerik Transien
Dasar dari teknik peritungan Metode Numerik Transien ini berawal dari benda dua-dimensi (dimensi rangkap) yang dibagi atas sejumlah jenjang tambahan kecil yang sama bentuk dan besarnya pada arah x dan dan arah y , yang dimana dapat kita lihat pada gambar yang dibawah ini:
Gambar 3. Benda Dua Dimensi Sumber: J.P Holman, Perpindahan Kalor. Edisi ke enam (Halaman 79)
Titik-titik node diberi tanda seperti gambar diatas, lokasi m menunjukan tambahan pada arah x , dan lokasi n menunjukan tambahan kalor pada arah y . Untuk
menentukan persamaan analisis Metode Numerik Transiennya, dapat digunakan rumus dasar perpindahan kalor pada kondisi keadaan tak-tunak ( unsteady state ):
Dan jika pada dimensi rangkap (dua dimensi) rumusnya menjadi:
Dengan
(difusifitas termal), ρ (massa jenis), dan c (kalor jenis), maka
rumusnya menjadi suatu persamaan yang dimana disebut sebagai Persamaan Beda:
Pada analisis metode numerik dasar, terdapat suatu gradient atau landaian (temperature gradient ) dapat dituliskan dari beberapa pendekatan sebagai berikut:
( ) ( ) Kemudian kita dapat membuat suatu persamaan beda mengenai perubahan suhu pada waktu tertentu (τ), bukan terhadap perubahan waktu:
Dalam persamaan beda diatas ditunjukkan suatu ada nya pertambahan waktu (time ncrement ). ). Dengan substitusi, maka kita peroleh persamaan Metode Numerik Transier pada keadaan tak-tunak dua dimensi:
Jika pada setiap node besar suhunya diketahui setiap waktu penambahan Δτ,
maka besar suhu pada waktu penambahan itu dapat dicari, dengan menotasikan nilai suhu tersebut
. Selain itu, kita dapat menganggap Δ x = Δ y jika jika kita melihat
pada gambar diatas memiliki ukuran yang sama panjang, sehingga rumus pada
( ) [ ]
persamaan (21) dapat digunakan untuk mencari nilai
yang merupakan suhu
pada saat penambahan tadi:
Jika pada persamaan diatas dipilih suatu tambahan waktu dan jarak
sedemikian rupa (sebarang), maka diasumsikan sistem berupa pada 4 arah ( m+1, m1, n+1, dan n-1 ), sehingga
(24)
Persamaan (23) dan asumsi dibawahnya digunakan ketika suatu sistem ditinjau berdasarkan dua dimensi ( x dan y ), ), sehingga memiliki node m dan node n. Jika suatu sistem ditinjau terhadap dimensi tunggal, maka persamaannya hanya terdapat satu node:
( ) [ ]
Dapat dikatakan bahwa pada sistem tunggal persamaan (24) diatas sistem hanya berubah pada 2 arah, yaitu m positif (m+1) dan m negatif (m-1). Sehingga
.
Dari penjelasan di atas kita dapat menganggap suatu parameter M, dimana:
, sehingga
Dimana jika nilai parameter M pada masing-masing dimensi bergerak kearah negatif (4-negatif, atau 2-negatif), maka nilai
(pada dimensi rangkap) dan nilai
(pada dimensi tunggal) menjadi nilai negatif dan melanggar hukum
Termodinamika II. Oleh karena itu kita harus membatasi nilai M tersebut, dimana:
{
4.
Analisis Grafik dengan Grafik Schmidt
Metode analisis grafik Schmidt ini pada umumnya digunakan pada sistem yang ditinjau secara dimensi tunggal (node m). Metode node inilah yang nantinya selanjutnya diterapkan pada metode Numerik Transien. Penggunaan metode analisis grafik Schmidt yang lebih memilih sistem dimensi rangkap karena disebabkan nilai parameter M pada dimensi tunggal sama dengan 2.
Suhu pada setiap node m pada tambahan waktu Δτ ialah rata -rata aritmetik dari suhu node-node disebelahnya pada awal penambahan waktu, dan disini kita dapat menganggap suhu pada awal penambahan waktu tersebut bervariasi. Pada gambar diagram lapisan lapisan benda pada halaman halaman 174 Holman, kita melihat bahwa lapisan suatu benda dibagi atas beberapa bagian (Δ x ) yang sama besar dengan arah m, dan garis paling kiri dapat kita anggap sebagai batas permukaan benda yang dimana berada pada titik m-1 dengan suhu
. Jika kita menganggap
bahwa pada keadaan m adalah keadaan tinjauan awal, maka pada titik m suhunya akan disebut sebagai
. Jika nilai
dan nilai
diketahui, dengan memplot nilai
tersebut terhadap garis arah vertikal (sumbu suhu T ) pada diagram lapisan benda dan menarik garis lurus dari titik
(awal) ke titik
(arah negatif m), maka
dengan meneruskan garis lurus tersebut ke arah m+1, maka kita dapat memperoleh nilai suhu yang terletak pada titik m+1 yang disebut
. Metode ini sungguh sangat
mdah dilakukan.
Beberapa kondisi lainnya juga ditunjukkan pada buku Perpindahan Kalor halaman 175. Dimana pada gambar gambar tersebut ditunjukkan ditunjukkan situasi benda yang yang dibagi beberapa bagian Δ x atas Diagram Schmidt dengan keadaan awalnya pada titik m.
Pada situasi ini titik m merupakan titik pada permukaan benda, sehingga suhu pada permukaan disini dinotasitan sebagai T m. Pada kondisi ini suhu lingkungan luar benda diketahui dengan notasi
. Dengan memplot titik T m dan
dan menarik garis lurus,
dan jika garis itu diteruskan pada arah m+1, maka diperolehlah suhu bagian dalam benda pada titik m+1 dengan notasi
.
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan metode analisis grafik Schmidt, maka dapat ditemukan suatu hubungan deret aritmatika dengan pembagi yang sama besar, yaitu pada bagian jarak lapisan benda (Δ x ). ).