METODE SIMPSON 1/3 DAN 3/8

ii

HALAMAN JUDUL
METODE NUMERIK
METODE SIMPSON 1/3 DAN METODE SIMPSON 3/8

Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc

Disusun oleh:
Kelompok 9
Agnes Puji Kurniati 14144100026
Riyanti 14144100040
Intan Nurul Hidayah 14144100061
7A2

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik Metode Simpson 1/3 dan Metode Simpson 3/8 dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita.
Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas UTS Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan.
Dalam penulisan Makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.

Yogyakarta, Desember 2017

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI iii
BAB I PENDAHULUAN 1
A. Latar Belakang 1
B. Rumusan Masalah 1
C. Tujuan 2
BAB II KAJIAN PUSTAKA 3
A. Metode Numerik 3
B. Angka Signifikan/Bena 3
C. Deret Taylor 6
D. Deret Mc.Laurin 7
E. Error/Galat 8
F. Interpolasi Polinom Newton-Gregory Maju 11
G. Interpolasi Polinom Newton-Gregory Mundur 13
H. Integrasi Numerik 15
I. Kaidah Trapesium 16
BAB III PEMBAHASAN 18
A. Kaidah Simpson 1/3 18
B. Kaidah Simpson 3/8 21
BAB IV STUDI KASUS 27
BAB V KESIMPULAN 29
DAFTAR PUSTAKA 30

BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi yang tinggi dan waktu pengerjaan yang singkat. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sains yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejati (exact solution).
Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harfiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.
Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, terdapat rumusan masalah diantaranya:
Apa pengertian Metode Simpson 1/3 dan 3/8?
Bagaimana algoritma dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8?
Bagaimana penyelesaian masalah dengan Metode Simpson?
Bagaimana aplikasi Metode Simpson dalam kehidupan sehari-hari?

Tujuan
Tujuan yang dapat dicapai sebagai berikut:
Memahami pengertian dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8.
Mengetahui algoritma dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8.
Memahami langkah-langkah penyelesaian dengan Metode Simpson.
Memahami penerapan dari Metode Simpson dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II
KAJIAN PUSTAKA

Metode Numerik
Metode numerik adalah satu-satunya metode alternatif yang ada dalam upaya menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Metode yang lain dikenal dengan sebutan metode analitik. Ada dua alasan umum mengapa pilihan dijatuhkan kepada metode numerik. Alasan pertama metode ini memberikan keefisienan dan keefektipan di dalam menyelesaikan perpersolan-persoalan matematis dikarenakan berkembangnya perangkat keras dan lunak komputer akhir-akhir ini. Alasan yang lain adalah metode numerik memungkinkan untuk mengkaji parametrik dari persoalan dengan medan yang bersifat sembarang. Alasan yang terakhir ini lebih bermakna ketidakmampuan metode analitik untuk menyelesaikan persolan-persoalan matematis aplikasi yang kompleks. Dalam banyak literatur analisa numerik diungkapkan bahwa di dalam metode numerik keputusan menerima atau menolak suatu jawaban aproksimasi berdasarkan kepada toleransi kedekatan yang disepakati. Toleransi yang dibuat menyangkut kesepakatan kesalahan/galat yang ditimbulkan oleh rumus/formula yang digunakan. Tentu semakin kecil kesalahan/galat yang ditimbulkan oleh penggunaan suatu rumus/formula maka semakin baik hasil aproksimasi yang dihasilkan.

Angka Signifikan/Bena
Angka signifikan (Bena atau angka penting) adalah bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran yang terdiri dari angka-angka penting yang sudah pasti (terbaca pada alat ukur) dan satu angka terakhir yang ditafsir atau diragukan. Sedangkan angka eksak atau pasti adalah angka yang sudah pasti (tidak diragukan nilainya), yang diperoleh dari kegiatan membilang (menghitung).

Ketentuan penulisan angka penting:
Semua angka yang bukan nol adalah angka penting.
Contoh:
14569 = 5 angka penting
6,89 = 3 angka penting
Semua angka nol yang berada di antara angka bukan nol termasuk angka penting.
Contoh:
Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, tetapi terletak di depan tanda desimal adalah angka penting.
Contoh:
2500, = 4 angka penting
70000, = 5 angka penting
Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka penting.
Contoh:
Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tidak dengan tanda desimal adalah angka tidak penting.
Contoh:
Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama adalah angka tidak penting.
Contoh:

Kaidah Pembulatan
Jika angka pertama setelah angka yang hendak dipertahankan adalah 4 atau lebih kecil, maka angka itu dan seluruh angka disebelah kanannya ditiadakan.
Contoh:
75,494 = 75,49 (angka 4 yang dicetak tebal ditiadakan)
1,00839 = 1,008 (kedua angka yang dicetak tebal ditiadakan)
Jika angka pertama setelah angka yang akan dipertahankan adalah 5 atau lebih besar, maka angka tersebut dan seluruh angka di bagian kanannya ditiadakan. Angka terakhir yang dipertahankan bertambah satu.
Kaidah Penjumlahan dan Pengurangan
Apabila melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan, maka hasilnya hanya boleh mengandung satu angka taksiran. Angka taksiran adalah angka terakhir dari suatu angka penting.
Contoh:
Hasil dari 273,219 + 15,5 + 8,43!
Jawab:
Jumlahkan ketiga angka diatas seperti biasanya, diperoleh:
273,219 + 15,5 + 8,43 = 297,149
Selanjutnya bulatkan hasilnya hingga hanya terdapat satu angka taksiran. Dari hasil penjumlahan angka 4 dan 9 ditiadakan, hasilnya menjadi 297,1
Kaidah Perkalian dan Pembagian
Pada operasi perkalian atau pembagian, hasil yang diperoleh hanya boleh memiliki jumlah angka penting sebanyak bilangan yang angka pentingnya paling sedikit.
Contoh:
Hitunglah operasi perkalian dari 0,6283 2,2!
Jawab:
Lakukan prosedur perkalian dengan cara biasa, diperoleh:
0,6283 2,2 = 1,38226
Kemudian bulatkan hasilnya hingga memiliki angka penting sebanyak salah satu bilangan yang memiliki angka penting paling sedikit.
Jadi yang diambil adalah 2 angka penting. Sehingga 1,38226 hasilnya dibulatkan menjadi 1,4 (dua angka penting).
Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan bilangan eksak atau pasti hanya boleh memiliki angka penting sebanyak jumlah angka penting pada bilangan penting.
Contoh:
Hitung operasi perkalian dari 25 8,95!
Jawab:
25 8,95 = 223,75
Hasilnya dibulatkan menjadi 224 (tiga angka penting) agar sama dengan banyak angka penting pada bilangan penting 8,95.

Deret Taylor
Deret Taylor adalah deret pangkat yang analitik pada daerah .
Misal fungsi analitik pada (lingkaran dengan pusat di dan jari-jari ). Maka untuk setiap titik pada lingkaran itu, dapat dinyatakan sebagai:

dengan
atau dituliskan,

Contoh:
Tentukan deret Taylor dari di
Jawab:
Fungsi tidak analitik di , daerah keanalitikan

Deret Mc.Laurin
Deret Mc Laurin merupakan deret Taylor pada saat , berbentuk:

Teorema:

Contoh:
Perderetkan dalam deret Mc. Laurin.
Jawab:
Fungsi tidak analitik di , sehingga daerah keanalitikan .

Error/Galat
Data numerik adalah suatu aproksimasi (taksiran) yang sesusai sampai dengan dua, tiga, atau lebih tempat desimal. Kadang metode yang digunakanpun, adalah suatu aproksimasi. Oleh sebab itu galat dalam hasil perhitungan mungkin disebabkan oleh galat data, atau galat di dalam pemakaian suatu metode, atau kedua-duanya. Dalam bagian ini akan dibicarakan ide dasar tentang galat.
Tipe Galat
Galat Inheren (Inherent Error).
Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar adalah tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat inheren dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar, pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi dengan ketelitan yang tinggi.
Galat Pemotongan (Truncation Error)
Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan. Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan.
Jenis galat
Galat Mutlak
Galat mutlak adalah selisih numerik antara besar nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya. Jadi, bila besar nilai yang sebenarnya, dan nilai pendekatannya (aproksimasinya), maka galat mutlak (Absolut Error) didefinisikan dengan

Galat Relatif
Galat Relatif didefinisikan dengan

Kemudian persentase galat dihitung dari galat relatif yang diberikan dalam bentuk

Galat Global
Misal adalah fungsi dengan variabel banyak , dan misalkan galat dari tiap adalah . Galat dari diberikan dalam bentuk

Perluasan ruas kanan dari galat global tersebut oleh deret Taylor menghasilkan

+ semua suku yang memuat + semua suku yang lain
Anggap bahwa galat dalam adalah kecil dan . Kemudian semua suku setelah suku ke dua pada ruas kanan persamaan di atas diabaikan. Persamaan menjadi

Bila diperhatikan formula (1.12) bentuknya sama dengan diferensial total dari . Formula untuk galat relatif adalah sebagai berikut:

Galat dalam Aproksimasi Deret
Galat yang ada dalam aproksimasi suatu deret dapat dievaluasi oleh sisa sesudah suku-suku ke . Pandang deret Taylor untuk pada yang diberikan dalam bentuk

Suku terakhir dalam deret di atas dikenal dengan sebutan suku sisa deret Taylor yang didefinisikan sebagai berikut

Untuk suatu barisan yang konvergen, suku-suku sisa akan mendekati nol untuk .
Jadi, bila kita mengaproksimasi oleh suku pertama dari deret tersebut maka galat maksimum yang dibuat dalam aproksimasi tersebut diberikan oleh suku sisa.

Interpolasi Polinom Newton-Gregory Maju
Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju. Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju dikembangkan berdasarkan pada tabel selisih maju.
Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju
Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju didasarkan pada tabel selisih maju.

Bentuk Umum:

dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai:

Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Gregory maju. Persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai:

dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

maka persamaan polinom Newton-Gregory maju dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai

yang menghasilkan

Alogaritma Polinom Interpolasi Maju:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan selang f(x)
Tentukan jarak antar selang atau h
Tentukan derajat n
Buatlah tabel selisih maju
Tentukan s

Cari

Interpolasi Polinom Newton-Gregory Mundur
Polinom Newton-Gregory mundur (Newton-Gregory backward) dibentuk dari tabel selisih mundur.Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan (derivatif) secara numerik. Titik-titik yang digunakan berjarak sama, yaitu
x0, x-1, x-2, …, x-n
yang dalam hal ini,
xi=x0+ih dengan i=0, -1, -2, …, -n
dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
x=x0-sh dengan s R
Penurunan Rumus Interpolasi Newton Gregory Mundur
Sekarang kita akan mengembangkan polinom Newton-Gregory Mundur yang didasarkan pada tabel selisih mundur.
fx0,x-1=f(x0)-f(x-1)x0-x-1= f0h= f01!h
fx0,x-1,x-2=f(x0)-f(x-1)x0-x-1-f(x-1)-f(x-2)x-1-x-2x0-x-2= f0h- f-1h2h= 2f02!h2
Bentuk umum:
fx0,x-1,x-2, ,x-n= nf(x0)n!hn= nf0n!hn
n=0,1,2, …
Selanjutnya,
fx Pnx
Pnx=fx0+x-x0fx0, x-1+x-x0x0-x-1fx0, x-1,x-2+ …+x-x0x0-x-1…x-x-n+1fx-n, x-n+1, …, x-1,x0
=fx0+x-x0 f01!h+x-x0x0-x-1 2f02!h2+ …+x-x0x0-x-1…x-x-n+1 nf0n!hn
=fx0+s f01!+ss+1 2f02!+ …+ss+1…s+n-1 nf0n!
Polinom Newton-Gregory mundur yang menginterpolasi (n+1) titik data adalah sebagai berikut:
fx Pnx=k=0ns+k-1s kf0
Pnx=f0+s f01!+ss+2-1 2f02!+ss+2-1s+3-1 3f03!+…+s(s+2-1)(s+3-1)…(s+n-1) nf0n!
=f0+s f0+ss+1 2f02!+ss+1s+2 3f03!+…+s(s+1)(s+2)…(s+n-1) nf0n!
Algoritma
Tentukan fungsi f(x)
Tentukan selang (xi),
Tentukan jarak antar selang atau h
Tentukan derajat n
Buatlah tabel selisih mundur
Tentukan s

Cari
pn(x)=f0+s f01!+ss+2-1 2f02!+ss+2-1s+3-1 3f03!+…+s(s+2-1)(s+3-1)…(s+n-1) nf0n!

Integrasi Numerik
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu pada selang tertutup . Jika dihampiri dengan polinomial , maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk,

Proses pencarian nilai hampiran dilakukan jika:
Fungsi disebut integran, mempunyai bentuk yang sulit untuk dilakukan proses integrasi.
Nilai dan hanya dalam bentuk tabel diskrit.
Gambar 2.1Luas bidang yang dibatasi Gambar 2.1Luas bidang yang dibatasi Gambar 2.2Hampiran luas bidang yang dibatasi Gambar 2.2Hampiran luas bidang yang dibatasi
Gambar 2.1
Luas bidang yang dibatasi
Gambar 2.1
Luas bidang yang dibatasi
Gambar 2.2
Hampiran luas bidang yang dibatasi
Gambar 2.2
Hampiran luas bidang yang dibatasi

Proses menentukan nilai hampiran integrasi numerik dilakukan dengan beberapa cara atau metode, yaitu kaidah trapesium, kaidah titik tengah, kaidah Simpson, serta Kuadratur Gauss.

Kaidah Trapesium
Kaidah trapesium merupakan kaidah integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium.

Gambar 2.3
Luas satu trapesium/pias

Persamaan di atas dikenal dengan nama kaidah trapesium.

Gambar 2.4
Luas beberapa n buah pias

Dengan
Galat:
Galat total:

Algoritma Kaidah Trapesium
Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan

Menentukan batas bawah () dan batas atas () integrasi
Menentukan jumlah segmen atau pias n
Menghitung lebar segmen yaitu
Buatlah tabel kaidah trapesium
Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium

Menentukan nilai integrasi sejatinya
Menentukan galat kaidah trapesium

Menentukan nilai sejati (terletak diantara batas galat minimum dan maksimum)
Nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium – batas galat maksimum, dan Nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium – batas galat minimum
Menentukan galat hasil integrasi

BAB
III PEMBAHASAN

Kaidah Simpson 1/3
Kaidah simpson 1/3 adalah kaidah yang mencocokkan polinomial derajat 2 pada tiga titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola (Gambar 3.1). untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan , , dan .

Gambar 3.1 Kaidah Simpson 1/3
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga buah titik tersebut adalah

Integrasikan di dalam selang :

Mengingat

Dan

Maka selanjutnya

.................. (1)
Persamaan (1) ini dinamakan kaidah Simpson 1/3. Sebutan "1/3" muncul karena di dalam persamaan terdapat faktor "1/3".
Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi kita bagi menjadi buah titik diskrit dengan genap, dan setiap tiga buah titik (atau 2 pasang upselang) di kurva dihampiri dengan parabola (polinom interpolasi derajat 2), maka kita akan mempunyai buah potongan parabola. Bila masing-masing polinom derajat 2 tersebut kita integralkan di dalam upselang (sub-interval) integrasinya, maka jumlah seluruh integral tersebut membentuk kaidah Simpson 1/3 gabungan:

..................... (2)
Persamaan ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola koefisien suku-sukunya:
1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1
Namun penggunaan kaidah Simpson 1/3 mensyaratkan jumlah upselang (n) harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak memiliki persyaratan mengenai jumlah selang.

Algoritma Metode Integrasi Simpson 1/3:
Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat n genap
Buatlah tabel kaidah Simpson 1/3
Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah Simpson 1/3


Kaidah Simpson 3/8
Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (Gambar). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titk tersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h, f(3h)).

Gambar 3.2 Kaidah Simpson 3/8

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah

.................... (1)
Integrasi di dalam selang adalah

Mengingat

dan

maka selanjutnya:

................................. (2)
Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah

................................. (3)
Persamaan (3) ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:
1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ... , 2, 3, 3, 1
Namun penggunaan kaidah Simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upselang harus kelipatan 3.
Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah simpson 1/3 namun dalam parktek, kaidah simpson 1/3 lebih disukai daripada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n kelipatan tiga , kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan simpson 1/3.

Algoritma Metode Integrasi Simpson 3/8:
Menentukan batas bawah dan batas atas integrasi
Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat kelipatan 3
Buat tabel kaidah Simpson 3/8
Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah Simpson 3/8


Contoh soal:
Hitunglah integral dari
,
dengan menggunakan aturan simpson dan dan aturan simpson gunakan jarak antar titik h = 0,125
Penyelesaian:
Fungsi integrasinya adalah
Batas bawah (a) = 0
Batas atas (b) = 1
Jumlah pias adalah

Tabel aturan simpson dan dan aturan simpson
I

0
0
1
1
0.125
0.88889
2
0.250
0.80000
3
0.375
0.72727
4
0.500
0.66667
5
0.625
0.61538
6
0.750
0.57143
7
0.875
0.53333
8
1.000
0.50000
9
1.125
047059

Nilai Integrasi menggunakan aturan simpson dan aturan simpson
Aturan simpson

Aturan simpson

Nilai Integrasi sejatinya

= ln 2,125 + ln 1 = 0.75377 – 0
= 0.75377
BAB IV
STUDI KASUS

Aplikasi yang dibuat adalah aplikasi untuk menghitung medan magnet yang dihasilkan dari arus listrik pada lintasan-lintasan tertentu. Lintasan yang digunakan adalah lintasan pada kawat lurus dan panjang, kawat lurus dan panjgan setengah dari total panjang, dan kawat yang melingkar. Aplikasi akan dibuat menggunakan bahasa pemrograman C#.
Aplikasi C# akan mengimplementasikan fungsi-fungsi atau metode-metode pada integrasi numerik. Fungsi-fungsi yang diimplementasikan adalah kaidah simpson 1/3 dan kaidah simpson 3/8. Kasus khusus yang ditangani oleh aplikasi C# adalah integral dengan batas tak hingga ( ) pada medan magnet karena arus listirk pada kawat panjang. Pada aplikasi, batas tak hingga akan digantikan dengan bilangan 1.000.000.
Hasil integrasi dengan kaidah simpson 1/3, simpson 3/8 hampir mendekati hasil integrasi secara analitik daripada hasil integrasi dengan kaidah trapesium dan titik tengah. Perbedaan tersebut dikarenakan galat perhitungan atau galat hampiran pada kaidah trapesium dan titik tengah adalah O(h2) > O(h4) > O(h6). O(h4) merupakan galat hampiran pada kaidah Simpson 1/3 dan kaidah Simpson 3/8. O(h6) merupakan galat hampiran. Dengan demikian, perbedaan tersebut juga terbuktikan oleh teori galat pada perhitungan integrasi numerik.
Jika nilai n yang digunakan lebih besar lagi, hasil integrasi tentu akan menjadi lebih baik. Jika jarak antara titik data h yang ingin digunakan adalah 0,25 atau hampirannya, maka nilai n yang digunakan pada kaidah simpson 1/3 dan simpson 3/8 adalah 4.050.000 dengan nilai h adalah (1.000.000 - 0)/4.050.000 = 0,246914 0.25.
Dengan menggunakan jarak antara titik data h yang bernilai 0,25 atau mendekatinya, hasil integrasi secara numerik sudah cukup dekat dengan hasil integrasi secara analitik.
Pada kasus ini, kaidah trapesium dan kaidah titik tengah mungkin saja menghasilkan nilai integrasi yang lebih baik jika jarak antara titik data h < 0,25, misalnya h = 0,1. 0,25 merupakan nilai h yang digunakan untuk kaidah simpson 1/3, simpson 3/8 dan boole, dan dengan h = 0,25 hasil integrasi pada kaidah simpson 1/3, dan simpson 3/8.
Hal yang menarik untuk diperhatikan nilai n yang cukup besar, mencapai jutaan, harus diberikan untuk mendapatkan hasil integrasi yang cukup baik, walaupun nilai h yang ingin digunakan adalah 0,25. Hal ini dapat disebabkan oleh definisi atau asumsi penggunaan bilangan tak hingga ( ). Pada aplikasi, bilangan tak hingga ( ) akan digantikan dengan bilangan 1.000.000. Jika bilangan tak hingga ( ) akan digantikan dengan bilangan 1.000, nilai h = 0,25 dapat diperoleh dengan menggunakan nilai n = 4.000.

BAB V
KESIMPULAN

Kaidah simpson 1/3 adalah kaidah yang mencocokkan polinomial derajat 2 pada tiga titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama.
Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, kaidah Simpson 3/8 adalah hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom 3 pada empat titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama.
Algoritma Metode Integrasi Simpson:
Menentukan jumlah segmen atau pias n
Untuk Simpson 1/3 n genap
Untuk Simpson 3/8 n kelipatan 3
Buatlah tabel kaidah Simpson
Menentukan nilai integrasi menggunakan aturan Simpson
Untuk Simpson 1/3 gunakan rumus

Untuk Simpson 3/8 gunakan rumus


DAFTAR PUSTAKA

Munir, R. (2010). Metode Numerik. Bandung: Infomatika.
http://alfaruqi.lecturer.pens.ac.id/mnumerik/bab6tm.pdf (diunduh pada tanggal 18 Desember 2017 pukul 19.48 WIB)

http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb-%2006%20Integrasi%20Numerik.pdf (diunduh pada tanggal 18 Desember 2017 pukul 20.00 WIB)

https://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iv-diferensiasi-integrasi-komputasi-nume.pdf (di unduh pada tanggal 28 Desember 2017 pukul 16.05 WIB)

METODE SIMPSON 1/3 DAN 3/8

Recommend Documents