Método aproximado de compensación Este método se aplica en trabajos de ordinaria y mediana precisión, mas si se requiere una mayor precisión es recomendable utilizar el método de mínimos cuadrados. Tipos de figuras que suelen compensarse por la aplicación de este método:
Cadena de triángulos independientes. Cadena de cuadriláteros independientes. Figuras independientes con punto central.
Observación: En el caso de figuras independientes, con punto interior y diagonal extra, no es recomendable este método ya que por la forma de la figura y la cantidad de datos, los cuales se encuentran relacionados completamente entre sí, se recomienda utilizar el método de mínimos cuadrados.
Procedimiento: Como procedimiento general a la figura a compensar, primero se compensa cada figura que conforma la red de manera independiente.
Para un triángulo simple Se calcula la diferencia entre la suma de los ángulos medidos y 180 para calcular el error, este resultado se divide por tres y se resta a cada ángulo.
Para un cuadrilátero cuadrilátero
Condiciones de ángulo: es entendido como los requisitos que deberán cumplir los ángulos dados por las orientaciones de los lados. Condiciones de lado: es entendido como los requisitos que deberán cumplir las longitudes de los lados.
Ecuaciones de condición de ángulo En cualquier cuadrilátero que conforme la red, deberá cumplirse las siguientes siete condiciones: 1. 2. 3. 4.
a + b + c + h = 180ª b + c + d + e = 180ª d + e + f + g = 180ª f + g + h + a = 180ª
5. 6. 7.
a + b + c + d + e + f + g + h = 360ª (a + h) – (d + e) = 180ª (b + c) – (f + g) = 180ª
ecuaciones de condición de ángulo
Pero analizando las ecuaciones, solo es necesario el cumplimiento de las tres últimas, para garantizar el cumplimiento de las demás, la cuales reciben la denominación de ecuaciones de condición de ángulo. 1) Primero se compensa con la ecuación 5, distribuyendo el error que presente esta suma en igual magnitud a cada uno de los ángulos. 2) Luego la ecuación 6, deberá ser satisfecha. Esto se logrará repartiendo el error producido sumando la cuarta parte de este a cada uno de los dos primeros ángulos(a y h) y restando la cuarta parte del error a los ángulos restantes (d y e) con lo cual ya quedará satisfecha la ecuación 5 debido a que la suma sigue siendo cero. De manera similar se realizará para la ecuación 7.
Ecuaciones de condición de lado El giro de los lados, debido al aumento o reducción sea el caso, nos dará como resultado que algunos puntos tengan varias posiciones, lo cual no es una posibilidad geométricamente aceptable, por lo que se hace necesario una condición de lado.
Un cuadrilátero puede quedar determinado completamente por exactamente cinco de los seis lados (sus cuatro lados y sus dos diagonales). Por lo que el último lado resultaría redundante, que puede ser utilizado como comprobación. Esta comprobación es expresada mediante una ecuación de condición.
La figura adjunta muestra las seis posibilidades de poder determinar un cuadrilátero con cinco lados exactamente. Tomando dos cualesquiera de estas posibilidades e igualando sus resultados, se puede plantear la ecuación de condición de lado. Comúnmente se toman las figuras 2 y 5 o la 1 y la 4.
En la figura 2 se procedería como sigue:
Del triángulo ABD, se tiene:
Del triángulo ACD, se tiene:
Entonces, sustituyendo:
… (1)
En la figura 5, se procede de manera análoga a lo anterior:
Se obtiene:
… (2)
Igualando (1) y (2), se obtendrá:
Esta ecuación de condición de lado se puede expresar logarítmicamente, para ello sacamos el logaritmo miembro a miembro en la ecuación anterior:
Entonces lo que se necesitará para la satisfacción de esta condición es encontrar un valor tal que sumado a cada uno de los ángulos del primer miembro y restado a cada uno de los ángulos del segundo miembro, de tal manera que no altere la condición de ángulo ya compensada, satisfaga la ecuación anterior. Al mismo tiempo que se calculan los logaritmos de los ángulos, se anota la diferencia por segundo del logsen (diferencia entre el logaritmo del seno del
ángulo y el logaritmo del seno del ángulo aumentado o disminuido en 1’’) , se halla la suma de estas diferencias (∑d), se divide la corrección total requerida por ∑d y este será la cantidad de segundos que habrá que corregirse a cada ángulo.
*∑ () ∑ ()+ ∑
(La diferencia será a partir del sexto orden de los decimales) Por lo tanto se tendrá que corregirá cada ángulo una cantidad de segundos igual a: k*(d1’’), donde d1’’ es la diferencia del logaritmo del seno del ángulo y el logaritmo del seno del ángulo disminuido o aumentado 1’’. Observación: ∑d nos indica la variación que sufren los ángulos en la ecuación de condición de lado al aumentar o disminuir un segundo a cada ángulo.
Cálculo de los lados Para este paso, par cada triángulo se procede de la siguiente manera: 1. Se calcula el logaritmo del lado conocido. 2. Se calcula el cologaritmo del ángulo opuesto al lado conocido. 3. Se calcula el logaritmo del seno del ángulo apuesto al primer lado desconocido. 4. Se calcula el logaritmo del seno del ángulo opuesto al segundo lado desconocido. La suma 1 y 2; este resultado sumado con 3 nos dará el logaritmo de ese lado, y de manera similar si sumamos la suma de 1 y 2 a lo obtenido en 4 obtendremos el logaritmo del otro lado desconocido. Para el cálculo se utilizan los logaritmos de tres lados, los logaritmos de los otros tres lados se calculan dos veces.
Cálculo de coordenadas Para el cálculo final de las coordenadas, se utilizará la orientación conocida de un lado (por ejemplo la orientación de AB) y los ángulos corregidos. De manera similar al cálculo de las coordenadas de una poligonal. Observación: Se tendrá dos coordenadas de C, una será resultado del cálculo en base al lado BC y el ángulo ABC, y el otro será en base al lado AC y el ángulo BAC. Estos deberán ser iguales.
