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Aitken al rescate Guillermo Guillermo Campelo Resumen
En este art´ art´ıculo analizo la diferencia de rapidez de convergencia entre el m´etodo etodo de punto fijo y el de Aitken.
1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
ansado ansado de usar el m´ etodo etodo de punto punto fijo que tiene convergenc convergencia ia lineal? lineal? No se preocupe, preocup e, hay un m´etodo etodo que se puede utilizar y converge cuadr´aticamente. aticamente. Alexander Aitken (1895-1967) descubri´o un m´etodo etod o para pa ra acelerar ace lerar la convergenco nvergencia de otro m´etodo etod o num´erico. erico. B´asicamente asicamente consiste en generar una secuencia ˆ } a partir de otra {x } que converge linealmente. {x C
n
n
i la secuencia {x } fue obtenida obtenida por el m´ etodo etodo de punto punto fijo, entonces el elemento x ˆ de la secuencia de Aitken se define como: S
n
n
ˆ = x n
x2 +1 − x x n
n
2x
+1
n
+2
n
−x −x n
, n = 0, 1, 2, 3,...
(1)
+2
n
n la secci´on on 2 voy a calcular el punto fijo de la ecuaci´on on φ(x) = e− usando el m´ etodo etodo de punto punto fijo y el de Aitken. Aitken. En la secci´ on on 3 voy a obtener los errores cometidos en cada iteraci´on on de d e ambos amb os m´etodos. etod os. En E n la secci´on on 4 muestro conclusiones. E
2.
x
C´ alculo alculo del punto punto fijo de φ(x)
nalic´ nal ic´e la funci´ fun ci´on on y busqu´e un posible valor de x(0, 1) con el cual empezar la iteraci´on on con el m´ etodo etodo de punto fijo. Usando x0 = 0,2 como valor inicial, calcul´e las secuencias secuenci as {x } y {x ˆ } hasta encontrar una precisi´on o n de 8 cifras decimales exactas. El c´alculo alculo lo realic´ e mediante un c´odigo odigo GNU-Octave( Ver Figuras 1 y 2 ). Los resultados para las primeras 18 iteraciones se pueden ver en el Cuadro 1. A
n
n
ientras que la secuencia generada por el m´etodo etodo de punto fijo necesita 36 iteraciones para obtener una aproximaci´on on al punto fijo con exactitud de 8 cifras decimales exactas, el m´ etodo etodo de Aitken la obtiene en 18 iteraciones. Se muestran los 18 primeros t´ erminos erminos porque luego el m´ etodo etodo de Aitken se ve afectado por errores de redondeo. M
1
Figura 1: C´odigo en GNU-Octave que dado una funci´o n, una semilla y dos condiciones de corte, devuelve una secuencia de valores usando el m´ etodo de punto fijo
Figura 2: C´odigo en GNU-Octave que dado una secuencia {x } y dos condiciones de corte, devuelve otra secuencia de valores usando el m´etodo de Aitken n
3.
Comparaci´ on de errores
btuve α = 0,567143290409784 como una aproximaci´on a la ra´ız obtenida usando el m´etodo de punto fijo luego de 1000 iteraciones. Us´e el m´etodo de punto fijo porque usando el de Aitken para n grandes, se comet´ıan errores de redondeo. O
L
uego calcul´e una aproximaci´on del error en la iteraci´on n usando punto fijo,
etodo de Aitken, ˆ = x ˆ − α. Los resultados para = x − α y usando el m´ n
n
n
n
las primeras 18 iteraciones se pueden ver en el Cuadro 2.
4.
Conclusiones
l m´etodo de Aitken nos provee un mecanismo para evitar iteraciones en el m´etodo de punto fijo, ya que converge m´as r´apidamente hacia el punto fijo y sin p´erdida de precisi´on en los c´alculos. E
