Modelo de Asignación
1
Modelo de Asignación Situación: Asignar m trabajos (o trabajadores) a n actividades (máquinas). Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina j (=1, (= 1,2 2,. ,..... ..,n ,n)) inc ncur urrre en un co cost sto o cij. El objetivo es asignar los trabajos a las actividades uno a uno al meno me norr co cost sto. o. La formulación de este problema puede considerarse como un caso ca so es espe peci cia al de dell mo mode delo lo de tr tra ans nspo port rte. e. 2
3
Descripción Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los “destinos”
La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo es la demanda en cada destino. cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la máquina j El costo puede representar también características de competencia de cada trabajador 4
Descripción En el caso que un trabajo no deba ser asignado (porque no cumple con los requisitos) a una actividad (máquina) en particular, este costo debe tener un valor alto (M) En el caso de existir desequilibrio, esto es, más trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos, hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados (ficticios), logrando de esta forma que m = n 5
Expresión matemática del modelo 0, si el i-ésimo trabajador no se asigna a la j-ésima actividad Xij = 1, si el i-ésimo trabajador se asigna a la j-ésima actividad Actividad 1 2 ….. n 1 1 C 11 C 12 C 1n 2 1 C 21 C 22 C 2n Trabajador ... …. …..
…..
n
…..
…..
C n1
C n2
1
1
…..
…..
…..
C nn 1
1 6
Por lo tanto el modelo está dado por: n
minimizar z =
n
c
x ij
ij
i 1 j 1
n
sujeto a
x
ij
1
i=1,2, ...,n
j 1
n
x
ij
i 1
1
j=1,2,..n xij = 0 ó bien 1 7
Método Húngaro: Paso 0: Construir la matriz de asignación Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación debe satisfacer: Propiedad 1: Todos los números son no negativos Propiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con un valor cero
Paso 1: a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila correspondiente y/o b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna a la columna correspondiente Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2
8
Método Húngaro:
Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad). Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas para cubrir todos los ceros. Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice que esta matriz es reducida. Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4
9
Método Húngaro:
Paso 3: Movimiento De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor valor y haga lo siguiente: a) Restar el valor a cada celda no cruzada b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas Volver al paso 2
10
Método Húngaro:
Paso 4: Solución óptima (Asignación) Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van marcando y así sucesivamente Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y q j). ¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron en las reducciones de filas y columnas?
11
Aplicación del Método Húngaro Paso 0: Matriz de Asignación ACTIVIDADES T R A B A J A D O R
F M O P q j
1 24 14 15 11
2 10
22 17 19
3 21 10
20 14
4 11 15 19 13
pi
Nota: En rojo los menores de cada fila 12
Paso 1: Reducción de filas y columnas F M O P q j
F M O P q j
1
2
3
4
pi
14 4
0
11
1
10
12 2 8
0
5 4 2
10
0 0
5 3
15 11
1
1 14 4 0 0
2 0
12 2 8
3 11 0
5 3
4
pi
0
10
4 3 1
10 15 11
1 13
Paso 2: Determinar si la matriz es reducida F M O P q j
1 14 4 0 0
2 0
12 2 8
3 11 0
5 3
4
pi
0
10
4 3 1
10 15 11
1
No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4) Ir al paso 3
Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las no tachadas, sumar a las intersecciones)
F M O P
1 14 4 0
2 0
0
3 11
4
0
pi 10 10 15 11
12 2
5
4 3
8
3
1
q j
F M O P q j
0
1
1 15 4 0 0
2 0
11 1 7
3 12
4
0
3 2 0
5 3
0
pi 10 10 15 11
1+1
Volver al paso 2 !!
15
Iteración paso 2: F M O P
1
2
3
4
pi
15 4
0
12
0
11 1 7
0
3 2
10 10 15 11
0 0
5 3
q j
0
1+1
Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima Ir al paso 4 !!
16
Paso 4: Asignación
F M O P
1
2
3
4
pi
15 4 0
0 11 1 7
12 0 5 3
0
10 10 15 11
0
q j
3 2 0 1+1
Costo = c12 + c23 + c31 +c44
= 10+10+15+13 = 48 Costo pi q j
=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48
COSTO MINIMO
Modelo de Asignación: Otras consideraciones El modelo de asignación ANTERIOR es un modelo de minimización en el cual el número de INDIVIDUOS es igual al número de ACTIVIDADES, y todas las asignaciones posibles son aceptables. Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán situaciones en las que: 1 Hay una desigualdad entre el número de “PERSONAS” por asignar y el número de “ACTIVIDADES” que requieren personas asignadas. 2 Hay un modelo de MAXIMIZACION 3 Existen asignaciones inaceptables
18
Soluciones alternativas a las situaciones anteriores de los Modelos de Asignación 1. Ofertas y demandas desiguales a) Oferta mayor que la demanda Solución: Se elimina la restricción que requería un individuo para alguna actividad en particular. El resultado de este cambio es que la holgura para uno de los n idividuos será 1 en la nueva solución óptima. b) Demanda mayor que la oferta Solución: Se agrega una actividad o un individuo ficticio (matriz nxm) para obtener una solución factible, pero es claro que una de las actividades quedará sin realizarse. 19
Soluciones alternativas a las situaciones anteriores de los Modelos de Asignación 2. Hay un modelo de maximización La respuesta de asignación es un beneficio y no un costo Ejemplo: Suponga que una empresa tiene que asignar vendedores a sus territorios de venta. Existen cuatro personas bien capacitadas listas para ser asignadas y tres territorios requieren un nuevo vendedor. Uno de los vendedores no será asignado. En este caso la asignación de un vendedor cualquiera a un territorio se mide por el incremento marginal esperado en la contribución de dicha asignación a las ganancias.
20
Modelo de Asignación: Otras consideraciones 2. Hay un modelo de maximización La matriz de ganancia es la siguiente
Contribución del Vendedor\a A B C D
Territorio 1 $ 40 $ 18 $ 12 $ 25
Territorio 2 $ 30 $ 28 $ 16 $ 24
Territorio 3 $ 20 $ 22 $ 20 $ 27 21
Modelo de Asignación: Otras consideraciones 3. Situaciones con asignaciones inaceptables
Ejemplo: Suponga que el presidente de la empresa RPG no tiene el menor deseo de que el vicepresidente de Operaciones realice una auditoría a una de sus Plantas.
Solución: Asignar un costo arbitrariamente alto a esta “ruta”, de tal modo que al restar de él cualquier número finito se obtiene siempre un valor mayor que otros números relevantes 22
Notas: 1. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) y resolver el problema como uno de minimización. 2. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método Húngaro. 23
3. En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas.
24
Actividad 1. Una cadena de restaurantes de servicio rápido desea construir cuatro tiendas. Anteriormente, la compañía ha empleado 4 diferentes compañías y, estando satisfecha con todas ellas, las ha invitado a concursar para cada trabajo. Las ofertas finales en miles de dólares son las que se muestran. tienda constructoras
25
Ya que la cadena desea tener listos los nuevos establecimientos tan pronto como sea posible otorgará cuando más un trabajo a cada compañía constructora, ¿que asignación da como resultado un costo total mínimo para la cadena de restaurantes?
26
