MÉTODO DE BROYDEN Universidad Nacional Nacional Mayor de San Marcos
Maestría en Matemática Aplicada Métodos Numéricos Profesora: Vilma Fajardo Profesora: Presentado por: Sergio Luque Mamani & Javier Valeriano Mamani
Métodos Numéricos
En análisis numérico, el método de Broyden es un método cuasinewtoniano para la solución numérica de sistemas ecuaciones no lineales con más de una variable. Fue descrito originalmente por C. G. Broyden en 1965.
Idea de la secante
No usa las derivadas parciales
Convergencia superlineal
f ' ( x1 ) a1 x
( 2)
x
(1)
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f ( x (1) ) a1
Formulación matricial DF ( x x
Sergio Luque & Javier Valeriano
( 2)
(1)
x
) A1
(1)
A1
1
( x (1) )
F
Métodos Numéricos
Un punto débil en el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales es la necesidad de calcular la matriz Jacobiana en cada iteración y resolver un sistema lineal × asociado a esta matriz. Para ilustrar la magnitud de esta debilidad, consideremos la cantidad de cálculos necesarios para llevar a cabo una iteración del método de Newton. La matriz Jacobiana asociada a un sistema de n ecuaciones no lineal escrita en la forma = requiere la determinación y evaluación de las n2 derivadas parciales de las n componentes de . En la mayoría de los casos, la evaluación exacta de las derivadas parciales es complicada y en muchas ocasiones imposible. Para superar esta dificultad se pueden usar aproximaciones de diferencia finita a las derivadas parciales.
donde h es pequeño en valor absoluto y es el vector cuyo único elemento diferente de cero es 1 en la é coordenada. Esta aproximación, sin embargo, requiere aún la realización de por lo menos n 2 evaluaciones funcionales escalares para aproximar el Jacobiano y no reduce la cantidad de cálculos, que es en general , para resolver el sistema lineal que contiene al Jacobiano aproximado. El esfuerzo computacional total para sólo una iteración del método de Newton es entonces de por lo menos, evaluaciones funcionales escalares ( para la evaluación de la matriz Jacobiana y n para la evaluación de ) junto con operaciones aritméticas para resolver el sistema lineal. Esta cantidad de esfuerzo computacional es prohibitiva excepto para valores relativamente pequeños de n y para funciones escalares fáciles de evaluar. En este apartado consideraremos una generalización del método de la secante en sistemas de ecuaciones no lineales y, en particular, consideraremos una técnica conocida como el método de Broyden. El método requiere solamente de n evaluaciones funcionales escalares por iteración y reduce también el número de cálculos aritméticos a . Es uno de los métodos conocidos como renovaciones de secante de mínimo cambio que producen los algoritmos llamados cuasi-Newton. Estos métodos reemplazan la matriz Jacobiana en el método de Newton por una matriz de aproximación que se renueva en cada iteración. La desventaja de estos métodos consiste en que s e pierde la convergencia cuadrática del método de Newton y se reemplaza por una convergencia llamada superlineal. Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Método de Broyden Iterar:
x (k 1)
Siendo:
A k A k 1
x (k) A k
1
F(x (k) )
(y k A k 1s k )
s k
2
T
s k
y k F(x (k) ) F(x (k 1) )
s k x (k) x (k 1)
Actualización de la inversa: 1
( yk Ak 1 sk ) T 1 Ak Ak 1 sk 2 sk
Ak 11
( sk Ak 11 y k ) sk Ak 11 T
sk Ak 11 y k T
Algoritmo de Broyden:
Entrada
0 , ,
Inicio
: 0
1 = ∗
,
Iteraciones:
= 1, 2,. ..
Actualizar M
+ = ∗
Sergio Luque & Javier Valeriano
%
− − −
k 1,2,...
Métodos Numéricos
Actualización de M:
= ;
% −
= ;
%
= ;
%
= ∗ ;
% − −
= ′ ∗ ;
% − − −
= ′ ∗ ;
% − −
−
= ∗/; % ó 1 = ;
% : −
= ∗ ;
% : +
Algoritmo de Broyden:
while
>
= ; % 1 = ; %
% = ;
= ; % 1
%
= ∗ ; % 1 ∗
= ( );
= ′ ∗ ;
= ∗ ;
= ′ ∗ ; % ′ ∗ 1
% = 0 ; = ;
% ó 1 = ∗/; = ; % − = ∗ ; % = ; = ;
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Implementación Computacional con MATLAB y su aplicación Se desea estimar la presión existente en el punto 2, así como los caudales , , que circulan por cada una de las ramas de la red de tuberías antes descrita. El sistema dado puede escribirse, de acuerdo a los datos del ejercicio, como:
El sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas puede aligerarse computacionalmente utilizando la última ecuación inyectada en la primera y reformulando el sistema como:
Se va a aplicar el método de Broyden a este último sistema, donde los valores iniciales son:
Con el método de Broyden implementado con MATLAB, se define la siguiente función para el sistema de ecuaciones no lineales:
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Luego, se llama a la función de Broyden con los valores iniciales proporcionados.
Obteniéndose el siguiente resultado:
Con los siguientes valores como solución:
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
También se ha implementado una aplicación GUI con interfaz de usuario de nombre _ , el cual nos muestra directamente los resultados al ejecutar con los valores iniciales dados.
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Conclusiones
El método de Broyden nos permite hallar la solución de un sistema no lineal, sin necesidad de recurrir repetidas veces al cálculo del jacobiano del sistema.
Su algoritmo es practico e intuitivo, por lo que no se necesita de un análisis fuerte, ni tampoco lleva a confusión.
Es un método de resolución numérica de fácil implementación computacional.
Sergio Luque & Javier Valeriano
Métodos Numéricos
Bibliografía
Conde C. y Schiavi E. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales. Departamento de Matemática Aplicada. España.
Ferrante J. Sistema de ecuaciones no lineales.
Burden R. y Faires D. Análisis numérico. Grupo editorial Iberoamérica.
Chapra S. y Canale R. Métodos numéricos para ingenieros. Mc Graw Hill.
MATLAB. https://la.mathworks.com/
Sergio Luque & Javier Valeriano
