Método de Búsqueda Fibonacci Este método determina el mínimo valor de una función f función f sobre sobre un intervalo cerrado [C1, C2]. Esta función puede estar definida en un dominio más amplio, pero el método requiere que dicho intervalo de búsqueda sea definido.
Se asume que f es es unimodal.
El mínimo es determinado (al menos aproximadamente) mediante la evaluación en un cierto número de puntos. Se pretende definir una estrategia de búsqueda que seleccione la observación siguiente basada en los valores funcionales de las observaciones anteriores.
Esto se define según el siguiente problema:
Encontrar como seleccionar sucesivamente N sucesivamente N observaciones, observaciones, sin contar con un conocimiento explícito de la función, de forma tal que podamos encontrar la más pequeña región de incertidumbre posible en donde se encuentre el mínimo.
Esta región de incertidumbre es determinada en cualquier caso por: las observaciones (sus valores funcionales) y la suposición de que f es es unimodal.
Luego que encontremos los valores funcionales en N puntos dentro del intervalo cerrado [C1, C2]
c1 ≤ x1≤…≤ x N -1 -1≤ x N ≤ c2
La región de incertidumbre es el intervalo [ xk -1 donde x es es el mínimo de los N los N puntos puntos -1, xk +1 +1] donde x evaluados. En ese intervalo de encuentra el mínimo.
La estrategia para seleccionar sucesivamente observaciones para ob tener la región de incertidumbre más pequeña se describe a continuación:
;
es la amplitud inicial de la incertidumbre.
d kEs la amplitud de la región de incertidumbre luego de k observaciones
Si son realizadas N observaciones se tiene que:
Donde
( )
son los números de la secuencia Fibonacci generados por la relación:
Donde Donde cada número después de los dos primeros representa la suma de los dos precedentes. Procedimiento para la reducción de la sección de incertidumbre
1. Especificar N
2. Calcular 3. Colocar simétricamente desde los extremos del intervalo inicial a distancia
, dos observaciones.
4. De acuerdo a donde se encuentre la muestra con menor valor funcional se determina la región de incertidumbre,
5. La tercera muestra es colocada simétricamente dentro de este n uevo intervalo con respecto a la observación ya incluida en el intervalo, de forma tal que la amplitud de la región de incertidumbre sea
Ejercicios
Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo de una función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en : 2
f(x) = 5.π .x – x ? → f '(x) = 5.π - 2.x = 0 → x = 5.π /2 y tenemos : f(x) = f(5.π /2) = 61,685
La búsqueda de Fibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre:
Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, el primer paso es establecer el nú mero de iteraciones a realizar:
Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos:
Si tomamos ahora:
y tenemos en cuenta que:
podemos formar el siguiente cuadro:
i
ua
u b
uc
ud
f(uc)
f(ud)
1
0
20
7,618
12,380
61,629
41,200
2
0
12,380
4,761
7,618
52,118
61,629
3
4,761
12,380
7,618
9,522
61,629
58,903
4
4,761
9,522
6,665
7,618
60,271
61,629
5
6,665
9,522
7,618
8,570
61,629
61,672
6
6,665
8,570
7,618
7,618
61,629
61,629
Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor: u = 7,618 → f(u) = 61,629 Y este valor se diferencia del máximo teórico en: 61,685 – 61,629 = 0,056 << 1 Tal como habíamos considerado.
2
2.- F(x)= X -6X+2 Tolerancia 30% Rango 0
A
B
i
Li-1
∆i
X1
X2
F(X1)
F(X2 )
X3
F(X3)
0
10
1
10
3,8235
3.8235
6,1765
-6,3218
3,0900
-
-
0
6,1765
2
6,1765
2,3529
2,3529
3,8235
-6,5812
-6,3218
2,3529
-6,5813
0
3,8235
3
3,8235
1,4706
1,4706
2,3529
-4,6609
-6,5813
1,4706
-4,6609
1,4706
3,8235
4
2,3529
0,8824
2,3529
2,9412
-6,5812
-6,9965
2,9412
-6,9965
2,3529
3,8235
5
1,4706
0,5882
2.9412
3,2353
-6,9972
-6,9446
3,2353
-6,9446
2,3529
3,2353
6
0,8824
0,2941
2,6471
2,9412
-6,8754
-6,9954
2,6471
-6,8754
2,6471
3,2353
7
0,5882
0,2941
2,9412
2,9412
-6,9965
-6,9954
2,9412
-6,9965
2
3.- F(x)= (-X) +3X-10 Tolerancia 30% Rango 0
A
B
i
Li-1
∆i
X1
X2
F(X1)
F(X2 )
X3
F(X3)
0
7
1
7
2,8
2,8
4,2
6,24
20,24
-
-
0
4,2
2
4,2
1,4
1,4
2,8
-3,84
6,24
1,4
-3,84
0
2,8
3
2,8
1,4
1,4
1,4
-3,84
-3,84
1,4
-3,84
2
3
4.- F(x)= 0,5X -X Tolerancia 30% Rango 0
A
B
i
Li-1
∆i
X1
X2
F(X1)
F(X2 )
X3
F(X3)
0
3,8235
3
3,8235
1,4706
1,4706
2,3529
-4,6609
-6,5813
1,4706
-4,6609
1,4706
3,8235
4
2,3529
0,8824
2,3529
2,9412
-6,5812
-6,9965
2,9412
-6,9965
2,3529
3,8235
5
1,4706
0,5882
2.9412
3,2353
-6,9972
-6,9446
3,2353
-6,9446
2,3529
3,2353
6
0,8824
0,2941
2,6471
2,9412
-6,8754
-6,9954
2,6471
-6,8754
2,6471
3,2353
7
0,5882
0,2941
2,9412
2,9412
-6,9965
-6,9954
2,9412
-6,9965
Introducción
La sucesión de fibonacci, la cual genero el método a tratar en esta presentación, es un algoritmo que se ha prestado para muchas investigaciones, demostraciones y experimentos. Al momento de empezar, esta lo hace desde 0 el cual no se podría discernir a simple vista que este numero pertenece al valor n=-1, y le sigue 1 que pertenece al valor n= 0; y de aquí se derivan todos los demás sumándose los 2 números anteriores a este.
De esta manera se crea la sucesión de fibonacci cuya ecuación general es: Fn= Fn-1+Fn-2. De esta manera se producen los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Hasta el infinito. Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera
es la función , es decir, una serie formal de
potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia (1) (2) (3)
para
De esta manera se tiene un conocimiento necesario para proseguir con el tema a tratar denominado “Método de Búsqueda de Fibonacci” el cual fue creado de esta sucesión.
Conclusión
Lo primero que se debe conocer con el método de Fibonacci es su gran veracidad en lo que a aproximación al valor real se refiere. Este valor real se obtiene mediante una derivada de orden 1, y posteriormente, el resultado obtenido se iguala a 0 obteniendo de esta manera una ecuación con una incógnita que dependiendo del grado del polinomio de la función sin derivar, dependerá si se tenga que realizar una ecuación de segundo grado, de tercer grado, si se deban aplicar logaritmos o si sencillamente se deba hacer un despeje. Es importante recalcar que su funcionamiento trata de encerrar el punto optimo que siempre va a ser minimizando (ya que no se puede maximizar con este método) a partir de dos valores dados que mas que cualquier par de números, es un intervalo el cual se reducirá para encontrar este valor aproximado al valor obtenido con la derivada de primer grado. El método en nuestra opinión es bastante provechoso ya que se obtienen muchos datos de este tal como la aproximación al valor real, el margen del error, el punto en el que se encuentra este valor y finalmente el valor mínimo que se puede obtener, notando que se puede observar que el método no es abstracto y en cada iteración se muestra como cambia el intervalo y el valor que toma en cada iteración puede que haya aparecido en cálculos previos.
