República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil Departamento de Hidráulica Hidráulica (1366)
Profesor Sergio Silva
METODO DE CROSS CONVENCIONAL
TUBERIAS EN SERIE
Se habla de tuberías en serie cuando se quiere llevar el fluido de un punto a otro punto por un solo camino. En este caso se cumplen las leyes siguientes: Los caudales son los mismos para cada uno de los tramos de tubería: Q = Q1= Q2=K= Qi Las pérdidas de carga de cada una de las secciones s ecciones se suman: hL= hL1+hL2+K+hLi EJEMPLO
TUBERIAS EN SERIE
Se habla de tuberías en serie cuando se quiere llevar el fluido de un punto a otro punto por un solo camino. En este caso se cumplen las leyes siguientes: Los caudales son los mismos para cada uno de los tramos de tubería: Q = Q1= Q2=K= Qi Las pérdidas de carga de cada una de las secciones s ecciones se suman: hL= hL1+hL2+K+hLi EJEMPLO
TUBERIAS EN PARALELO
Se habla de tuberías paralelo cuando se establecen varios caminos para llevar el fluido fluido de un punto a otro. En este caso se cumplen las leyes siguientes: El caudal total será igual a la suma de los caudales de cada rama: Q = Q1+Q2=SKQi La pérdida de carga será la misma en cada una de las r amas: hL= hL1= hL2=ShLi EJEMPLO
REDES DE TUBERIAS
Se habla de redes de tuberías cuando el fluido se lleva de un punto hacia diversos puntos a través de varios caminos. Este tipo de configuración es común en sistemas de acueductos, en donde se forman ramificaciones complicadas formando mallas. Esta configuración posee la virtud de permitir realizar reparaciones a algún sector del sistema sin tener que interrumpir el suministro. El cálculo de sistemas de tuberías de este tipo es laborioso y se hace por el método de aproximaciones sucesivas de Hardy Cross
EJEMPLO
HARDY CROSS
Es el autor del método para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Es uno de los métodos más usuales para resolver una gran cantidad de problemas.
MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nodos. Ley de conservación de la energía en los circuitos. El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o, bien, la ecuación de Darcy Weisbach.
MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante para el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.
MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED El Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nodos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que hacerlo con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nodos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente
FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 1.
L ey d e c o n ti nu id ad en l os n o d os :
"La suma algebraica de los caudales en un nodo debe ser igual a cero"
Donde:
Qij: Caudal que parte del nodo i o que fluye hacia dicho nodo. qi: Caudal concentrado en el nodo i. m : Número de tramos que confluyen al nodo i.
FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS
2. Ley d e Con ser vac ión d e la energ ía en lo s c i r c u i t o s :
"La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
Donde:
hfij: Pérdida de carga por fricción en el tramo n : Número de tramos del circuito i
Ejercicio N º1:
Donde:
Hf perdida por fricción (m) Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s) K factor de rugosidad Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo) D Diámetro de cada tubería (m) L longitud de cada tubería (m)
Ejercicio N º1:
Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es: Donde:
Hf perdida por fricción (m) Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s) K factor de rugosidad Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo) D Diámetro de cada tubería (m) L longitud de cada tubería (m)
Ejercicio N º1: Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1que debe satisfacer una red. Se obtiene así:
Ejercicio N º1: Caudales distribuidos
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad encada nodo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.
Ejercicio N º1:
Valores de k MALLA I
MALLA II
BN
8.643,4753
CM
2.507,6762
NM
7.236,2295
NM
7.236,2295
MB
1.791,1973
NC
2.149,4367
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0h en cada malla aplicando la ecuación de descarga. MALLA I
MALLA II
BN (+0.07) +63,4052
CM (-0.11)
- 42,2521
NM ( -0.02) -5,2049
NM (0.02)
+5,2049
MB (-0.13)
NC (0.09)
+24,9847
-41,1092
+17,0911
- 12,0624
Ejercicio N º1: Aplicamos ahora la ecuación
Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito.
Ejercicio N º1: Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes CIRCUITO 1
CIRCUITO 2
CAUDAL TRAMO
ORIGINAL
CAUDAL
CORRECCION
BN
0.0700 +
NM
-0.0200 +
-0.006232655 -
-0.006232655
MB
-0.1300 +
-0.006232655
FINAL =
0.0638
HF
TRAMO
ORIGINAL
CORRECCION
53.3581164
CM
-0.1100 +
0.007072112 =
-0.0333 -13.3705473
NM
0.0200 +
0.007072112 -
=
-0.1362 -44.8294772
NC
0.0900 +
0.007072112
Σ
-4.84190814
Calculamos nuevamente la corrección
0 .007072112
FINAL =
HF
-0.1029 -37.3643655
-0.006232655 =
0.0333
13.3705473
=
0.0971
28.7375306
Σ
4.74371234
Ejercicio N º1: Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes CIRCUITO 1
CIRCUITO 2 CAUDAL
TRAMO
ORIGINAL
CAUDAL CORRECCION
BN
0.0638 +
0.001669921
NM
-0.0333 +
0.001669921 -
MB
-0.1362 +
0 .001669921
FINAL
HF
TRAMO
ORIGINAL
CM
-0.002417844 =
-0.0292 -10.4939331
NM
0.0333 +
-0.002417844 -
=
-0.1346 -43.8181767
NC
0.0971 +
-0.002417844
0.0654
Σ
1.65979519
Calculamos nuevamente la corrección - (1.6597/ 2.849,2924) = -0.000582529 - (-1,0830/ 1.885,4948) = 0,00057
-0.1029 +
CORRECCION
55.971905
=
-0.002417844
FINAL =
HF
-0.1053
-39.004328
0.001669921 =
0.0292
10.4939331
=
0.0947 Σ
27.4273615 -1.08303337
Ejercicio N º1: Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes CIRCUITO 1
CIRCUITO 2 CAUDAL
TRAMO
ORIGINAL
BN
0.0654 +
NM
-0.0292 +
MB
-0.1346 +
CAUDAL CORRECCION -0.000582529 -0.000582529 -0.000582529
FINAL = 0.000574403 = =
0.0649
HF 55.0535995
-0.0304 -11.2755896 -0.1351 -44.1697507 Σ
TRAMO CM
ORIGINAL -0.1053 +
CORRECCION 0.000574403
NM
0.0292 +
0.000574403 -
NC
0.0947 +
0.000574403
-0.39174089
Calculamos nuevamente la corrección - (- 0,3917/ 2.861,8261) = 0.000136885 - (0,3998 / 1.907,3822) = - 0,00020
FINAL =
-0.1048
HF -38.611795
-0.000582529 =
0.0304
11.2755896
=
0.0952
27.7360712
Σ
0.39986593
Ejercicio N º1: Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes CIRCUITO 1
CIRCUITO 2 CAUDAL
TRAMO
ORIGINAL
BN
0.0649 +
NM
-0.0304 +
MB
-0.1351 +
CAUDAL CORRECCION 0.000136885 0.000136885 0.000136885
FINAL = -0.000209641 = =
0.0650
HF 55.2687591
-0.0300 -11.0387612 -0.1350 -44.0870204 Σ
TRAMO CM
ORIGINAL -0.1048 +
CORRECCION -0.000209641
NM
0.0304 +
-0.000209641 -
NC
0.0952 +
-0.000209641
0.14297746
Calculamos nuevamente la corrección - ( 0,1429/ 2.857,4569) = - 0.00005 - (-0,0928 / 1.900,8676) = 0,000048
FINAL =
HF
-0.1050 -38.7548473
0.000136885 =
0.0300
11.0387612
=
0.0950
27.6232167
Σ
-0.09286944
Ejercicio N º1: Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes CIRCUITO 1
CIRCUITO 2 CAUDAL
TRAMO
ORIGINAL
BN
0.0650 +
NM
-0.0300 +
MB
-0.1350 +
CAUDAL CORRECCION -5.00366E-05 -5.00366E-05 -5.00366E-05
FINAL = 4.88563E-05 = =
0.0649
HF 55.1900654
-0.0301 -11.1061126 -0.1351 -44.1172532 Σ
-0.03330044
Finalizamos el calculo de la corrección
TRAMO CM
ORIGINAL -0.1050 +
CORRECCION 4.88563E-05
NM
0.0300 +
4.88563E-05 -
NC
0.0950 +
4.88563E-05
FINAL =
HF
-0.1049 -38.7214876
-5.00366E-05 =
0.0301
=
0.0951 Σ
11.1061126 27.6494983 0.03412328
Ejercicio N º1: En consecuencia los caudales son:
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsérvese que la condición 1,
Σhf =0
para cada circuito es la expresión de conceptos básicos
del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.
Ejercicio N º2:
300
300
200
Datos. A
• Longitud
C
B 450
450
• Fluido 2 0 0
0 0 2
transportado: agua.
• Viscosidad • Salidas
150
150 E
D
F 150
200
180
230
200 4 0 0
0 0 4
J
I 150
H
G 150
300
200
150
de cada tramo.
• C=140
cinemática: 1e-6 m2/s
Ejercicio Nº2: 200
Se debe determinar el caudal de entrada a la red.
A
300
300
B
C
IV
I II
Elegir las mallas y un sentido de recorrido. (la numeración de las mallas se realiza
200
III
E
D
F 180
230
arbitrariamente)
H
G 200
V VI I 150
J
200
150
Ejercicio Nº2: Asignar un caudal a cada tramo asegurando
300
300
200
que se cumpla el principio de la conservación 100
A
de la masa en cada nodo. El signo del caudal
30
B
es negativo si se opone al sentido de recorrido
7 0
de la malla.
NOTA:
D 200
300
0 3 3
IV
I
Se debe garantizar que el mismo caudal que entra debe ser el mismo caudal que sale.
C
II
E
III
80
F
330
G
180
230 0 5 6
480 200
1 0 1 0
V VI
Q entra=Q sale
I 150
900
J
200
H
Ejercicio Nº2: Se supone una velocidad entre 0.60 y 3m/s, para con el tantear un diámetro comercial Formula para tantear el diámetro •Q:
caudal de que transita por el diámetro de la tubería •Vi: velocidad inicial para el tanteo del c audal.
NOTA: El diámetro de la tubería puede tantearse garantizando que la velocidad se encuentre entre 0.60 y 3 m/s.
Ejercicio Nº2: Luego que se tiene el diámetro, se procede a buscar un diámetro comercial teniendo como referencia el diámetro tanteado. Con el diámetro comercial encontrado se busca la velocidad real de cada tramo.
Formula para buscar la velocidad real
NOTA: La velocidad debe mantenerse entre 0.6 y 3 m/s
Ejercicio Nº2: Cada tubería tiene un factor de rugosidad, el cual se denota con la letra “K”; para el cálculo del factor de rugosidad es necesario un coeficiente de rugosidad, el cual depende de cada tubería, se denota con la letra “ c”.
Se calcula el factor de rugosidad “k”.
Formula para calcular K.
• L:
longitud del tramo. • c: coeficiente de rugosidad. (depende del tipo de tubería) • Ø: diámetro del tramo en desarrollo
Ejercicio Nº2: Después que se tiene el factor de rugosidad, se multiplica por el caudal de la siguiente forma:
•K:
factor de rugosidad •Q: caudal del tramo en desarrollo
El valor obtenido de la formula anterior se multiplica por 1.85.
Ejercicio Nº2: Por Último se debe obtener un factor de c orrección:
• El
error correcto no debe ser mayor a
0.0001
Ecuación para determinar el error:
NOTA: En caso de que el error en la primera corrida, no sea el deseado debe realizarse Tantas corridas como sea necesario hasta obtener el error correcto.
Ejercicio Nº2: En el momento de realizar otra corrida el caudal debe corregirse de acuerdo a la corrección obtenida en la anterior. En caso de ser un tramo único, es decir, que no se repite en alguna otra malla, solo se le sumara al caudal inicial ( en m3/s) la corrección de la malla.
En caso de ser un tramo común, es decir, que si se repite en alguna otra malla, al caudal inicial ( en m3/s) se le sumara la corrección de la malla en donde se encuentre el tramo en desarrollo, y se le restara la corrección de la malla en donde el tramo se repita. : Corrección de la malla en donde se encuentra el tramo en desarrollo • : corrección de la malla en la que se repite el tramo en desarrollo •
Ejercicio Nº2: Tramo único •1era
Corrida. (malla I)
•2da
Corrida. (malla I)
Ejercicio Nº2: Tramo común (B-E)
•2da
Corrida. (malla I)
•1era
Corrida. (malla I)
Ejercicio Nº2: Cada tramo genera una perdida por fricción la cual se calcula de la siguiente forma: •F:
(Hazen-William) O mediante Dárcy- Weisbach
factor de fricción •L: longitud del tramo en desarrollo. •Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •V: velocidad del flujo en el tramo. •g: gravedad
Para calcular el factor de fricción es necesario saber el numero de Reynolds y la rugosidad relativa, el cual se calcula de la siguiente forma Número de Reynolds
Rugosidad relativa
•Ø:
diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •V: velocidad del flujo en el tramo. •J: viscosidad del fluido •Ø:
diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •Ke: rugosidad relativa de la tuberia
Ejercicio Nº2: •Modelo
de la tabla para desarrollar el método de cross. (solución del ejercicio)
En la siguiente imagen se muestra el ejercicio presentado antes, desarrollado en su primera corrida,
