INTRODUCCIÓN Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máqu máquin inas as para para trab trabaj ajos os de prec precis isió ión, n, tale tales s como como torno tornos, s, pren prensa sas, s, limaduras, etc. Las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de eso o escalona, se suel suele e li limi mita tarr la de!e de!e"i "ión ón má"i má"ima ma a #$%& #$%&' ' de clar claro, o, para para que que no aparezcan grietas en el eso. (na de las más importantes aplicaciones del del estu estudi dio o de la defo deform rmac ació ión n de las las viga vigas s es, es, por por otra otra part parte e la obtención de ecuaciones de deformación que, junto con las condiciones de equi equilib libri rio o está estáti tico co,, perm permit itan an reso resolv lver er las las viga vigas s está estáti tica came ment nte e indeterminadas. )e utilizan varios m*todos para determinar la deformación de las vigas. Aunque basados en los mismos principios, di+eren en su t*cnica en sus objetivos inmediatos. n primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del m*todo de la doble integración, que simpli+ca muc-o su aplicación. tro m*todo, el del área de momentos, se considera el más directo de todos en especial si se desea conocer la deformación en un punto determinado, es no solamente sencillo sino e"tremadamente rápido. tra variante de este m*todo es que es mu cómodo de aplicar. tros m*todos son el de la viga conjugada el de superposición. l m*todo de la viga conjugada es realmente una variante del m*todo del área de momentos, pero di+ere en su aplicación práctica. l m*todo de superposición no es un m*todo distinto, utiliza las fórmulas obtenidas para las deformaciones, en ciertos tipos fundamentales de cargas, para obtener las soluc luciones corre rrespondientes a cargas que sean combinaciones de estos tipos fundamentales. La vista lateral de la super+cie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. s la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente neutro. n esta sección se deduce la ecuación de dic-a curva, como calcular el desplazamiento vertical o de!e"ión de cualquier punto en función de su abscisa ". )e toma el e"tremo izquierdo como origen del eje /, dirigido seg0n la dirección inicial de la viga sin deformar, el eje 1 positivo -acia arriba. )e supone siempre que las deformaciones son tan
pequeñas que no -a diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga la proección de su longitud deformada. n consecuencia la curva elástica es mu llana su pendiente en cualquier punto tambi*n es mu pequeña. l valor de esta pendiente, tan 2 3 d$d", puede -acerse sin error apreciable, igual a 2. l prod produc ucto to 4 que que se llama llama rigid rigidez ez a la !e !e"i "ion on,, es norm normal alme ment nte e constante a lo largo de la viga. Las apro"imaciones -ec-as, el ángulo por la tangente d" por ds no tien tienen en in!u in!uen enci cia a apre apreci ciab able le en la e"ac e"acti titu tud d de la e"pr e"pres esió ión n de la ecuación de la elástica de una viga en efecto sustituendo #$ 5 por su valor e"acto. )i las condiciones de carga var6an a lo largo de la viga, la ecuación de momentos tambi*n tendrá la variación correspondiente. sto requerir6a una una ecua ecuaci ción ón de mome moment ntos os entr entre e cada cada dos dos punt puntos os suce sucesi sivo vos s de discontinuidad de cargas 7cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas8, lo que dar6a lugar a dos integraciones para cada tramo , por consiguiente dos constantes para cada cada tramo tramo tambi* tambi*n. n. La determ determina inació ción n de estas estas const constant antes es se -ace -ace labo labori rios osa a se está está e"pu e"pues esto to a erro errore res. s. Afort fortun unad adam amen ente te,, esta estas s compli complicac cacion iones es pueden pueden evita evitarse rse escrib escribien iendo do una 0nica 0nica ecuac ecuación ión de moment momentos os válida válida para para toda toda la viga, viga, pese pese a las discon discontin tinuid uidade ades s de carga.
MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN: s el más general para determinar de!e"iones. )e puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas condiciones de apoo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. )u uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante momento !ector obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente de!e"ión de una viga por medio del cálculo integral. l m*todo de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la de!e"ión en toda la viga permite la determinación directa del punto de má"ima de!e"ión. 9ecordando la ecuación diferencial de la elástica:
( ) 2
d y 2 dx
M ( x ) EI
=
n dónde: ; la viga.
: ec ecuación de de mo momento de de ca cargar re real en en cu cualquier si sitio de de
: módulo de 1oung.
4
: momento rectangular de inercia.
7d< $d"<8
: segunda derivada.
l producto =4> se conoce como la rigidez a !e"ión en caso de que var6e a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección tran transv sver ersa sall vari variab able le,, debe debe e"pr e"pres esar arse se en func funció ión n de ="> ="> ante antes s de integrar la ecuación diferencial. )in embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la !e"ión es constante. Podemos Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a =">. Planteamos:
( )=∫
dy EI dx
x
M ( x ) . dx + C 1
0
?ond ?onde e =@#> es una una cons consta tant nte e de inte integr grac ació ión n que que depe depend nde e de las las condic condicion iones es de fronte frontera, ra, como como se e"plic e"plicará ará más adelan adelante te.. @omo @omo la variación de las de!e"iones es mu pequeña, es satisfactoria la apro"imación:
dy =tgθ =θ dx
?e modo modo que que con con la e"pr e"pres esió ión n ante anteri rior or se pued puede e dete determ rmin inar ar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ="> de la viga.
4nte 4ntegr gran ando do nuev nuevam amen ente te en ambo ambos s lado lados s de la e"pr e"pres esió ión n ante anterio riorr, tenemos: x
(
x
∫ ∫ M ( ( x ) . dx +C
EI [ y ( x )]=
0
)
1
0
dx + C 2
;ediante esta e"presión podemos conseguir la de!e"ión para cualquier distancia ="> medida desde un e"tremo de la viga. l t*rmino =@<> es una cons consta tant nte e de inte integr grac ació ión n que, que, al igua iguall que que =@#>, depend pende e de las las condic condicion iones es de fronte frontera. ra. Para poder poder estab establec lecer er sus sus valore valores, s, deben deben conocerse la de!e"ión $o el ángulo de de!e"ión en alg0n7os8 punto7s8 de la viga. eneralmente, es en los apoos donde podemos recoger esta información. n el caso de vigas simplemente apoadas vigas empotradas en un e"tremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: ?el apoo establecerse:
en
=A>
" 3 L A B B 3 ' 1, 1, debido al apoo en =C>:
puede
" 3 LC B 3 '
?ebido al empotramien em potramiento to =A =A>:
" 3 L A B B 3 ' " 3 L A B B 2 3 '
Dn *ste m*todo no se aplican cargas au"iliaresE se toma la viga con sus cargas reales se siguen los siguientes pasos:
)e resuelve la viga 7se -allan las reacciones8. )e -alla la ecuación de momento ; -aciendo un corte en un sitio de la viga en el cual se incluan todas las cargas aplicadas. )e -ace una primera integración lo cual da la ecuación de las de!e"iones de la viga. @omo son ecuaciones matemáticas se le puede dar valor a "G obtener valores del giro o la de!e"ión en el sitio que desee, pero se deberán dividir por el que es conocido. Para ara las las cons consta tant ntes es de inte integr grac ació ión n que que se gene genera ran n se util utiliz izan an condiciones de fronteraG que no son más que sitios de la viga en los cuales se conoce con certeza el giro o la de!e"ión: los sitios t6picos de frontera son los apoos en los cuales se sabe que no -a de!e"ión para el giro, si la viga es sim*trica en geometr6a cargas, el centro de la luz. Para la ecuación de momento se utilizará par*ntesis angular llamado sin singu gula lari rida dadG dG,, cuo cuo sign signi+ i+ca cado do es que que si el cont conten enid ido o de dicdic-o o par*ntesis es cero o negativo, no tiene validez.
EJERCICIOS: PROBLEMA 1: 9e 9esu suel elva va el ejerc ercicio icio por por el m*t m*todo de dobl doble e integración. Las dimensiones de la viga son: anc-o3<'cm, alto3%'cmE el módulo de 1oung es <''''' Hgf$cm <. Ialle tambi*n el giro en C.
)e resuelve la viga se -alla la ecuación de momento ; en el diagrama de cuerpo libre, pero se toma el origen en el punto C para no tener que meterse con el momento ; el cortante J del punto A de empotramiento. ;3K%"E negativo porque tensiona las +bras superiores de la viga. La ecuación será:
( ) 2
EI
d y dx
2
=−3 x
Al realizar la primera integración obtendremos: obtendremos:
( )
dy EI dx
2
x Ecuaci ciónde ónde gir giro = −3 + C → Ecua 2
1
n el empotramiento no -a giro ni de!e"iónE la condición de frontera es: Para "3%E d$d"3' )e reemplaza se obtiene @ #. 2
−3∗3 C + 0=
1
2
C 1 =13.5
ntonces:
( )=
dy EI dx
−3 x 2
2
Ecuaci ción ón de gir giro + 13.5 → Ecua
DA-ora realizamos la segunda integraciónG obtendremos: EIy =−1.5
x
3
3
+13.5 x + C
2
La condición de frontera es para "3%E 3'. )e reemplaza -allamos @<. 0=
−1.5∗3
3
+ 13.5∗3 + C 2
3
C 2 =−27
ntonces: EIy =−1.5
x
3
3
Ecuación ón Elásti Elástica ca +13.5 x −27 → Ecuaci
Para la de!e"ión de C se le da a "G valor de ' sabiendo que 43'' Mf.m< se obtiene:
y =
0 + 0 − 27 900
=
−27 900
=−0.015 m =−1.5 cm
DNótese que el signo es negativo indicando que la de!e"ión es -acia abajo. Para el giro en C se le da a "G valor de ', pero en la ecuación de giro: dy 0 + 13.5 13.5 = θB = = = 0.015 rad dx 900 900
PROBLEMA 2: @a @alc lcul ular ar la defo deform rmac ació ión n má"i má"ima ma en la vig viga, la pendiente en los apoos A C la deformación en el centro de la luz
∑ M =0 5 R A
B
−3∗500 =0 RB =300
∑ Fy =0 R A =500− 300=200 n este caso la ecuación de momentos no es 0nica para toda la viga: tiene una e"presión distinta en cada uno de los < tramos. Jeamos: Jeamos:
0
< x < 3
3
< x < 5
ncontremos la ecuación de la elástica para cada tramo:
0
< x < 3
EI y
3
' '
=200 x
'
EI y =
200 x
EI y
' '
=200 x −500 ( x −3 )
2
+ C
'
EI y =
1
2
< x < 5
3
EIy =
200 x 6
+ C x +C 1
2
200 x 2
2
−
3
EIy =
200 x 6
−
500
2
( x −3 ) 2
( −3 )
x 500 x
6
+ D
1
3
+ D x + D 1
2
DMenemos DMenemos O constantes. Necesitamos por tanto O condiciones iniciales. @ondiciones iniciales:
"3% 1 A@ 31 @C @C "3% 1> A@31>@C
C es un punto común de los tramos AC y CB. Por tanto en dicho dicho punto punto las orden ordenada adas s y las pendientes de los 2 tramos
3
x =0 y = 0 → EIy EIy =
200 x
+ C 1 x + C 2
6
x −3
¿ ¿ ¿3
500
¿
x =5 y =0 → EIy =
200 x 6
3
−¿ x −3
¿ ¿ ¿3
500
x =3 y AC = y CB → EIy =
200 x 6
¿
3
+ C x + C = EIy = 1
2
200 x 6
3
−¿
x −3 ¿ ¿ ¿2 500 ¿
x =3 y ' AC = y ' CB →EIy=
200 x 2
2
+ C 1= EIy =
200 x 2
2
−¿
C 2 =0 2
¿ ¿ ¿3
¿ 200 ¿ 5 500
0
=
6
3
−¿
5 C 1=5 D 1 + D 2
C 1 = D 1
?e las O ecuaciones obtenemos: obtenemos: @<3 ' ?<3' @#3?#3K''
Deformaci! M"#ima: Por observación vemos que ocurre en el tramo A@ de la viga. Además es en dic-o punto la tangente a la elástica -orizontal, es decir >3'.
! máx= y en y
'
=0
La ecuación de la pendiente para el tramo A@ es: '
EI y =
200 x
2
+ C
1
2
Por tanto: 0
=200
x
2
2
+C =200
x
1
2
2
−700
x =2.65
n este punto ocurre la deformación má"ima: !máx = y ( 2.65 )=
1
EI
(
∗
200 2.65
)
3
6
−700∗2.65 =
−1234.68 EI
Pe!$ie!%e& e! 'o& a(o)o& A ) B: θ A = y
θB = y
( 0 )=
1
( 5 )=
1
'
'
EI
EI
(
(
200 x
200 x
2
−
500
200 0
EI
2
( x −3 ) 2
)
2
¿
1
+C = 1
2
2
) (
2
2
−700 =
) (
+ D = 1
−700 EI
! centro= y ( 2.5 ) = EI
(
∗
3
200 2.5
EI
2
6
)
−700∗2.5 =
−1229.17 EI
2
2
200 5
Deformaci! e! e' ce!%ro $e 'a *i+a: 1
)
¿ − 500 ( 2 ) − −800 700 =
1
2
EI
