2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ANÁLISI S ESTRUCTURAL ESTRUC TURAL AVANZADO AVANZADO
MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES FLEXIBIL IDADES FUNDAMENTOS El método método de anális análisis is estruct estructural ural conocido conocido como Método de !" #e$%&%%d!de", utiliza como las !((%o'e" %'te.'!" / !" .e!((%o'e" de o" !o/o" para su %'()*'%t!" %'()*'%t!" +,'d!-e't!e" +,'d!-e't!e" a la form formula ulaci ción ón,, aspec aspecto to que lo hace hace llam llamarl arloo tamb tambié iénn Método de !" #,e.!". Se basa en la (o't%',%d!d de ! de+o.-!(%)' de la estructura, por esta razón se le conoce también con el nombre de Método de !" De+o.-!(%o'e" Co'"%"te'te" Toda e"t.,(t,.! %'dete.-%'!d! e"t3t%(!-e'te posee un número de !((%o'e" de"(o'o(%d!", bien sean %'te.'!" o e$te.'!", que excede al número de acciones que pueden obtenerse mediante las consideraciones de equilibrio estático, conocidas como redundantes. Por lo tanto, deben %-o'e."e ! ! e"t.,(t,.! (o'd%(%o'e" !d%(%o'!e" 4,e ! -od%+%4,e de tal forma que permitan deducir las ecuacio ecuaciones nes requeri requeridas das para calcul calcular ar estas estas accione accioness redunda redundante nte,, pero ,t%%!'do 6'%(!-e'te !" (o'd%(%o'e" de ! e"t3t%(!. Para analiza analizarr la estruct estructura ura utiliz utilizando ando únicam únicament entee las con condic dicion iones es de la estáti estática, ca, es necesari necesarioo .ed,(%.! ! ,' "%"te-! dete.-%'!do esto se lo!ra %&e.!'do ! ! e"t.,(t,.! de !" .e"t.%((%o'e" .ed,'d!'te". "a#o esta condición, ! e"t.,(t,.! e"t.,(t,.! -od%+%(!d! -od%+%(!d! e$e.%-e't! e$e.%-e't! de"!!-%e'to de"!!-%e'to"" 4,e 'o "o' (o-!t%&e" (o' o" de ! e"t.,(t,.! .e!. Para restituirla a su condición ori!inal, se aplican nue$ nue$ame ament ntee las las rest restri ricci ccion ones es redu redunda ndant ntes es a la estr estruc uctu tura ra modi modific ficad ada, a, en tal tal form formaa qu quee su deformación coincida con la de la estructura real, obteniendo as% las ecuaciones suplementarias necesarias. Este análisis requiere únicamente de la !%(!(%)' de !" e(,!(%o'e" de ! e"t3t%(! / de (3(,o de de"!!-%e'to" temas $istos en &ecánica de &ateriales ' (nálisis Estructural.
OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES ECUACIONES BÁSICAS )a estructura de la fi!ura será utilizada para ilustrar la formulación del método de las flexibilidades para el análisis de todo sistema estructural indeterminado estáticamente. En todo análisis estructural de cualquier sistema mecánico, en primer lu!ar se tiene que definir claramente el modelo en términos de la !eometr%a, las condiciones l%mite, las propiedades mecánicas del material ' la car!a actuante. En nuestro caso se trata de una $i!a de dos tramos de lon!itudes ) * ' )+, esta simplemente apo'ada en los puntos ( ' " ' empotrada en el punto . En cada tramo el
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina CruzPágina 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ANÁLISI S ESTRUCTURAL ESTRUC TURAL AVANZADO AVANZADO
2015
momento de inercia puede ser constante o $ariable ' el módulo de elasticidad también puede $ariar en el sistema. En la fi!ura se especifica una condición !eneralizada de car!a.
PASO 1- alculamos el !rado de hiperestaticidad de la $i!a A1
o
R
o
R/
o
R0
o
o
R+ R*
NR=5 GH = = NRF - NEE = 5 – 3 = 2º
NEE=3 Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina CruzPágina 2
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
PASO 2 1ibu#amos tentati$amente la elástica deformada de la $i!a ori!inal en base al análisis de la compatibilidad de los desplazamientos, se!ún los tipos de apo'o '2o nudos que se ten!an. o D0 = δ y = 3 o
= δ x = 3
o
= θ z = 3
o
= δ y = 3 D*o = δ y = 3
D. D0
D+
PASO 7- Seleccionamos las redundantes que habrá que suprimir 4i!ual al 567 de la estructura ori!inal, liberándolaas% para transformarla en una estáticamente determinada.En nuestro caso esco!emos como redundantes las reacciones R O1 ' R O2, reduciéndose la $i!a hiperestática a una $i!a isostática en $oladizo. Bien podemos elegir otras redundantes o!tener otras "igas isost#ti$as% sin em!argo se sugiere elegir la m#s sen$illa para agili&ar los $#l$ulos'
Estru$tura li!erada elegida% es est#ti$amente determinada e(terna e internamente al retirar las rea$$iones ) 2 de la "iga original
PASO 8- Formamos la estructura original a través de la superposición de efectos de la estructura liberada, este proceso se efectúa así - (plicamos a la estructura liberada las car!as ori!inales, lue!o las redundantes retiradas una a una, pero con un $alor unitario. Para cada caso de car!a, describimos la elástica deformada ' las reacciones deri$adas. )as fi!uras se8alan el procedimiento descrito.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina !
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO PASO 5- 9inalmente, aplicando el prin$ipio de superposi$i*n $ausas e+e$tos, escribimos las e$ua$iones de despla&amiento sumando los efectos indi$iduales de cada caso de car!a de la estructura liberada. :esultando un sistema de n ecuaciones lineales con n incó!nitas, i!ual al número de !rados de libertad, mismas que al ser resueltas calculan las reacciones redundantes. o
= D*) + f **R * + f *+R +
o
= D)+ + f +*R * + f ++ R +
D*
D+
o
o
o
o
Escritas en forma matricial quedan-
D* D*) f ** = )+ D+ D+ f +* o
f *+ R *o
o
f ++ R o+
:esol$iendo para las redundantes-
R * = R + o
o
−1
D* D*) − f ++ D + D)+
f **
f *+
f +*
o
o
{ D } { R } [f ] { R } En forma compacta se escribeno i
)
=
i
+
o
i#
i
u'a solución eso
R i
} = [f ] − [ 1
i#
o
Di
}−
)
R i
}]
PASO 5- 9inalmente, aplicando las ecuaciones de equilibrio estático a la estructura ori!inal calculamos las reacciones restantes, o bien mediante el prin$ipio de superposi$i*n $ausas e+e$tos también pueden obtenerse escribiendo las ecuaciones en la forma si!uiente.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina "
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
o
= R 0) + r 0*R * + r 0+R +
o
= R ) + r *R * + r +R +
o
= R /) + r /*R * + r /+R +
R 0 R R /
o
o
o
o
o
o
Escritas en forma matricial quedan-
R 0 R 0) r 0* R R ) r = + * R R ) r /* / / o o
o
r 0+ o R * r +
R + r /+ o
En forma compacta se escriben-
{ R
o
e
o
= δ y = 3
o
= δ x = 3
o
= θ z = 3
D0
D. D0
= { R e) + r #i
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina #
{ R
o
i
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
o
= δ y = 3
o
= δ y = 3 Ro
D+
D*
o
R/
o
o
R+ R* o
R0
L
R.
L
L
D+ D*
.81 L R/
f 21
L
R0
.51
.82 f 22
.52 .72
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina $
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
)as expresiones anteriores se dedu#eron para una estructura de dos redundantes, sin embar!o, el método de las flexibilidades puede !eneralizarse para una estructura de ' redundantes, bien sean $i!as, marcos, armaduras, etc. )a !eneralización de las e$ua$iones de despla&amiento se describen a continuación. o
= D*) + f **R * + f *+ R + + f *0R 0 + ... + f *n R n
o
= D )+ + f +*R * + f ++ R + + f +0 R 0 + ... + f +n R n
o
= D0) + f 0*R * + f 0+ R + + f 00R 0 + ... + f 0n R n
D*
D+ D0
o
Dn
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
= D ) + f n*R * + f n+ R + + f n0R 0 + ... + f nn R n o
o
o
o
n
Estas ecuaciones representan un sistema de n ecuaciones lineales con n incó!nitas, donde :onson las reacciones redundantes de la estructura ori!inal que no pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio estático. Sin embar!o, el caso !eneral del método de las flexibilidades se presenta en una estructura estáticamente indeterminada externa e internamente donde las redundantes pueden ser tanto reacciones como fuerzas internas. Por lo cual será más con$eniente simbolizarlas redundantes con un distinti$omás apropiado para formular la !eneralización de estas ecuaciones. ;tilizaremos la letra <, modificándose la simbolo!%a de las ecuaciones de desplazamiento, como se indica a continuación.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina %
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
o
D*
o
D+ o
D0
= D*) + f **9* + f *+ 9 + f *0 9 0 + ... + f *n 9 2
= D )+ + f +*9* + f ++ 9 + f +0 9 0 + ... + f +n 9 2
= D0) + f 0*9* + f 0+ 9 + f 00 9 0 + ... + f 0n 9 2
o
Dn
n
1a
n
= D ) + f n*9* + f n+ 9 + f n0 9 0 + ... + f nn 9 n
n
2
n
Escritas matricialmente-
D* D*) f ** ) D + D + f +* ) D0 = D0 + f 0* ) Dn D n f n* o
o
o
o
f *+
f *0
f ++
f +0
f 0+
f 00
f n+
f n0
... f *n X * ... f +n X +
... f 0n X 0 ... ... f nn X n
1!
En forma compacta-
{ D } { D } [ f ] { o i
=
)
i
+
i#
X i
}
1(
u'a solución es-
{ X i } = [f i# ] −
1
{ D }−{ D }
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina &
o
i
) i
2
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
Do'de;
{D }
=ector de desplazamientos de la estructura ori!inal.
o i
L
Di
}
=ector de desplazamientos de la estructura liberada, ocasionados por las
car!as ori!inales
{ X } i
f i#
f i#;
Ve(to. de Red,'d!'te" de ! e"t.,(t,.! o.%*%'!
M!t.% de +e$%&%%d!de" de ! e"t.,(t,.!
#!(to. de#e$%&%%d!d
+
i#
i - i = j ⇒ Flexibilid ad directa i - i ≠ j ⇒ Flexibilid ad transversal
PARTICULARIDADES DEL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL POR EL MÉTODO DE FLEXIBILIDADES )as ecuaciones ' ofrecen las soluciones más !enerales de estructuras estáticamente indeterminadas externa e internamente, ' donde además sus apo'os, nodos o miembros tienen al!ún tipo de deformación permanente, por e#emplo,ori!inados por asentamientos, efectos de temperatura, de fabricación, por colocación, etc. (simismo, en el cálculo pueden tomarse en cuenta los efectos de deformación por fuerza axial, por corte, por flexión ' aún por torsión si as% fuera necesario.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina ' : :
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
uando el análisis estructural se aplique a estructuras que no presenten deformaciones iniciales en sus apo'os, nodos o miembros, o bien que no sean si!nificati$as, las ecuaciones ' se reducen a las expresiones si!uientes.
:
{ D } [ f ] { )
i
+
i#
X i
}
=
7
3
{ X i } = −[f i# ] − { Di) } 1
8
omo se8alamos anteriormente, en el cálculo pueden tomarse en D cuenta los efectos de 2= > deformación por fuerza axial, por corte, por flexión ' por torsión. El método más apropiado para este fin es el &étodo de la ar!a =irtual ;nitaria. ( continuación presentamos un resumen de 8I A tales fórmulas. < ? >
25@ ;@>T(:>( 1 E;(>?@ 5E@E:() 1E) &ATB1B 1E )( (:5(2I=>:T;() 2A I A
15@
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1( A
C
12@
:%
P INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
δ i
L
) n
o
$'
= ∫
ds +
L
( x v x
o
!'
∫
ds +
L
( y v y
o
!'
∫
ds +
L
& x m x
o
$% x
∫
ds +
L
& y m y
o
$% y
∫
ds +
L
# t
∫ !" o
ds
m
O
car!a $irtual unitaria aplicada en el punto ' en la dirección en que se pretende calcular el desplazamiento. Si se desea calcular de"!!-%e'to" %'e!e" : Bt.!"!(%o'e" o (o..%-%e'to" se debe aplicar una +,e.! %.t,! ,'%t!.%! en el punto ' en la dirección de interés de la estructura en análisis. Si se desea calcular de"!!-%e'to" !'*,!.e" 4*%.o" o .ot!(%o'e"7 se debe aplicar ,' !. Bo -o-e'to %.t,! ,'%t!.%o en el punto ' en la dirección de interés de la estructura en análisis.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 11
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO En la solución de problemas espec%ficos, inicialmente la dirección de los desplazamientos que se pretenden calcular se suponen 4se indican arbitrariamente7, los resultados finales nos se8alaran la dirección real. ,a dire$$i*n de la +uer&a "irtual puede elegirse ar!itrariamente% el signo de la respuesta indi$a autom#ti$amente la dire$$i*n $orre$ta del despla&amiento. ;n si!no positi$o si!nifica que el
desplazamiento tiene el mismo sentido que la fuerza $irtual un si!no ne!ati$o indica que el desplazamiento es de sentido opuesto al de la car!a $irtual.
Lo" "%"te-!" de ee" (oo.de'!do" ,ede' e"t!. o.%e't!do" e' +o.-! d%+e.e'te o. o t!'to e" -3" (o'e'%e'te e"(.%&%. ! e(,!(%)' *e'e.! de Método de ! C!.*! %.t,! U'%t!.%! "%' .e+e.e'(%!.! ! "%"te-! (oo.de'!do !*,'o e$.e"3'do"e d%(! e(,!(%)' e' ! +o.-! "%*,%e'te
δ i
L
= ∫ o
) n
L
ds
$'
+ ∫ o
(v
L
ds
!'
+ ∫ o
&m
# t
L
ds
$%
+ ∫ o
ds
!" m
2 SIMPLI#ICACIONES DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA a7 uando la confi!uración de la estructura analizada este compuesta por elementos donde predominen los efectos de la deformación por fuerza axial, fuerza cortante ' momento flexionante, como pueden ser los marcos planos, la ecuación !eneral del método de la car!a $irtual unitaria se reduce aδ i
L
= ∫ o
) n ds + $'
L
∫ o
(v ds + !'
L
∫ o
&m ds $%
b7 Si son de interés en la estructura únicamente los efectos de flexión, como en el caso de $i!as ' en marcos planos, la ecuación !eneral del método de la car!a $irtual unitaria se reduce aδ i
L
&m
o
$%
= ∫
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 12
ds
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO ( APLICACIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE ARMADURAS PLANAS omo sabemos, las hipótesis establecidas en el análisis estructural de las armaduras, se8alan que sus barras que la componen están sometidas exclusi$amente a fuerzas axiales o normales, ' son elementos de lon!itudes finitas con secciones trans$ersales constantes, por tanto la ecuación !eneral del método de la car!a $irtual unitaria toma la estructura si!uiente.
δ i
L
= ∫ o
) n
n
ds
$'
=∑ i =*
) i ni $ i 'i
Li
LOS EFERCICIOS UE RESOLVEREMOS A CONTINUACIÓN EFEMPLI#ICAN LA APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS A VIGAS MARCOS ARMADURAS MEDIANTE EL MTODO DE #LE9I
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1!
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
1 )a $i!a de la fi!ura esta sometida a las car!as indicadas el momento de inercia ' el módulo de elasticidad es constante, EK70000 >%'2. (nalice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considere únicamente los efectos de la de+o.-!(%)' o. +e$%)'. Bbten!a lo si!uiente. a7 )as reacciones de los apo'os. b7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4cortante ' momento flector7 10 +t
28+t
12
C J
< A
2 1ibu#e los dia!ramas de fuerza cortante ' momento flexionante para la $i!a mostrada en la fi!ura. El soporte < desciende 15 %'. onsidere EC +Dx*30 si, >CF/3 in : ('C*+.+0 : "'C/.// : 'C+.++
7 1etermine las reacciones en los soportes de la $i!a de la fi!ura. 1ibu#e los dia!ramas de cortantes ' momentos flectores. onsidere E> constante.
5
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1"
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
8 )a estructura plana de la fi!ura, esta sometida a las car!as indicadas. Esta empotrada en los puntos ( ' 1 el momento de inercia de la $i!a es el doble del momento de inercia de las columnas, el módulo de elasticidad es constante EK70000 >%'2. (nalice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considerando únicamente los efectos de la de+o.-!(%)' o. +e$%)' . Bbten!a lo si!uiente. c7 )as reacciones de los apo'os. d7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7.
28 > =@
<
C
2I =@ 10@
I
12 >
I D
@ A
5 )a estructura plana de la fi!ura, esta sometida a las car!as indicadas, además de una perturbación en 12@ de 3./3 pul!adas que experimenta. )a estructura el apo'o derecho, 1, ori!inada por el asentamiento esta empotrada en los puntos ( ' 1 el momento de inercia de la $i!a es el doble del momento de inercia de las columnas, el módulo de elasticidad es constante EK70000 >%'2. (nalice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considerando únicamente los efectos de la de+o.-!(%)' o. +e$%)'. Bbten!a lo si!uiente. e7 )as reacciones de los apo'os. f7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1#
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO 28 > =@
<
C
2I =@ 10@
I
12 >
I D
05
@ A
= )a estructura plana de la fi!ura, esta sometida a las car!as indicadas. En el nodo E esta aplicada una car!a horizontal ' en el punto , punto intermedio del elemento ", se aplica una fuerza horizontal. 12@ (simismo en la fi!ura se indican los $alores relati$os del área ' momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra, estos $alores son constantes en cada barra. >C /3 in , (C*/ in+ ' EC03333 2in+. (nalice la estructura aplicando el método de las flexibilidades, considere los efectos de la de+o.-!(%)' o. +e$%)' / ! de+o.-!(%)' o. +,e.! !$%! (o-o !" 6'%(!" .ee!'te" Bbten!a lo si!uiente. a7 )as reacciones de los apo'os. b) 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7. 2= >
D
<
? >
8I A 25@
2I 2A I A
15@ A
C
12@ 28@
alcule las componentes horizontal ' $ertical del desplazamiento del punto ' la componente horizontal del desplazamiento en los puntos " ' 1 de la estructura del problema /. ? )a estructura plana de la fi!ura está sometida al sistema de car!as indicado. También se muestran los $alores relati$os de área ' del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra de la estructura, IK 500 %'8 ' AK 20 %'2. El módulo de elasticidad es i!ual para las dos barras. Bbten!a. a7 )as reacciones de los apo'os.
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1$
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
b7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7. = > 7
2
7
8
2I A 10@
I A 1
10@
producidas por la flexión, analice la estructura ori!inal onsiderando únicamente las deformaciones 20@ descrita en la fi!ura. En la estructura se indican los $alores relati$os del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra considere que el modulo de elasticidad, E, es constante en la estructura. Bbten!a. c7 )as reacciones de los apo'os. d7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7. 2 >+t 7
2
8 >
2I 12@
I 2I
20@
8
1
25@
10 onsiderando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la fi!ura. También se indican los $alores relati$os del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra, >CG33 in considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura, EC 03333 2in+. Bbten!a. e7 )as reacciones de los apo'os. f7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7. 1>+t 5 >
2
7
=I
18@
I
I
1?@
1
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1% 8
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
11 onsiderando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la fi!ura. También se indican los $alores relati$os del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra, >CG33 in considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura, EC 03333 2in+. Bbten!a. !7 )as reacciones de los apo'os. h7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7. 25>
25> 7
2
=I 12@
I
I 1
8
?@ ?@ 28@ producidas por la flexión, analice la estructura descrita 12 onsiderando únicamente las deformaciones ?@
en la fi!ura. También se indican los $alores relati$os del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra, considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura. Bbten!a. i7 )as reacciones de los apo'os. #7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7.
2
5 t -
7
I =-
2I
2I
8
1
7-
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1&
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
2015
17 onsiderando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la fi!ura. También se indican los $alores relati$os del momento de inercia de la sección trans$ersal de cada barra, considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura. Bbten!a. 7 )as reacciones de los apo'os. l7 1ibu#e los dia!ramas de fuerzas internas 4fuerza normal, fuerza cortante ' momento flector7.
3
to' 2 to'
15 to'
27 to'
7t-
2t-
5-
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1'
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 2(
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 21
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 22
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 2!
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 2"
2015
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 2#
