MÉTODO DE LA SECANTE OBJETIVO GENERAL
Conocer, demostrar y analizar el Método de la Secante
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Identificar los casos en los cuales el Método no se puede desarrollar. Analizar las diferencias existentes entre el Método de Newton y el Método de la Secante.
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas más básicos de la aproximación numérica es el cálculo de raíces. Esto indica indica la búsqueda de de una raíz, o la solución de una ecuación de la forma f (x) = 0. Las raíces de esta ecuación también se denominan ceros de la función f. Este método se asemeja al de Newton con diferencia en que el de la secante busca solucionar el problema de las derivadas ya que la forma de f (x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante. HISTORIA DEL DESARROLLO DEL TEMA
Se basa en ir trazando rectas secantes a la curva de la función buscada, y se va comprobando la intersección de estas con el eje x para ver si es la raíz que buscamos.
(a) (b) Fig. 1.Representación 1.Representación grafica del método de la secante
(a). Si se conocen dos puntos tales que en ellos las función f (x) tiene diferente signo, por ejemplo f (x 1 ) < 0 y f (x 2 2 ) > 0, entonces (para funciones continuas) en algún punto intermedio la función debe anularse. La recta que va desde el punto (1) al punto (2) corta el eje x más cerca de la raíz buscada. (b). Una forma de evitar el cálculo de f ' (x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta:
Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:
En general:
Este método solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. EJEMPLOS APLICA PARA EL DESARROLLO DEL MÉTODO 1. Sean f (x) = –x 3 – cos(x), x0 = –1 y x1 = 0. Calcula p3 con ayuda del método de la secante. EVALUADO EN MATLAB >> f= -x^3-cos(x) >> fx1= -(x1)^3-cos(x1) fx1 = -1 >> fx0= -(x0)^3-cos(x0) fx0 = 0.4597 >> x2=x1-fx1*(x1-x0)/(fx1-fx0) x2 = -0.6851 >> fx2= -(x2)^3-cos(x2) fx2 = -0.4529 >> x3=x2-fx2*(x2-x1)/(fx2-fx1) x3 = -1.2521 >> fx3= -(x3)^3-cos(x3) fx3 = 1.6495 >> x4=x3-fx3*(x3-x2)/(fx3-fx2) x4 = -0.8072 >> fx4= -(x4)^3-cos(x4) fx4 = -0.1656 >> x5=x4-fx4*(x4-x3)/(fx4-fx3) x5 = -0.8478
>> fx5= -(x5)^3-cos(x5) fx5 = -0.0523 >> x6=x5-fx5*(x5-x4)/(fx5-fx4) x6 = -0.8665 >> fx6= -(x6)^3-cos(x6) fx6 = 0.0032 >> x7=x6-fx6*(x6-x5)/(fx6-fx5) x7 = -0.8655 >> fx7= -(x7)^3-cos(x7) fx7 = -5.5076e-005 >> x8=x7-fx7*(x7-x6)/(fx7-fx6) x8 = -0.8655 >> fx8= -(x8)^3-cos(x8) fx8 = -5.6323e-008
n 2 3 4 5 6 7 8
x n
-0,6851 -12521 -0,8072 -0,8478 -0,8665 -0,8655 -0,8655
f(x n )
-0,4529 1,6495 -0,1656 -0,0523 0,0032 -5,5076e-005 -5,6323e-008
2. Utilizar el método de la Secante para calcular la solución al siguiente problema con una precisión de 10 -4. x3 – 2x2 –5 = 0 en [1,4]. EVALUADO MATLAB
>> poli=[1 -2 0 -5] poli = 1 -2 0 -5 >> x0=1 x0 = 1 >> x1=4 x1 = 4 >> fx0=polyval(poli,x0) fx0 = -6 >> fx1=polyval(poli,x1) fx1 = 27 >> x2=x1-fx1*(x1-x0)/(fx1fx0) x2 = 1.5455 >> fx2=polyval(poli,x2) fx2 = -6.0856 >> x3=x2-fx2*(x2-x1)/(fx2fx1) x3 = 1.9969 >> fx3=polyval(poli,x3) fx3 = -5.0122 >> x4=x3-fx3*(x3-x2)/(fx3fx2) x4 = 4.1051 >> fx4=polyval(poli,x4) fx4 = 30.4736 >> x5=x4-fx4*(x4-x3)/(fx4fx3)
x5 = 2.2947 >> fx5=polyval(poli,x5) fx5 = -3.4482 >> x6=x5-fx5*(x5-x4)/(fx5fx4) x6 = 2.4787 >> fx6=polyval(poli,x6) fx6 = -2.0587 >> x7=x6-fx6*(x6-x5)/(fx6fx5) x7 = 2.7514 >> fx7=polyval(poli,x7) fx7 = 0.6879 >> x8=x7-fx7*(x7-x6)/(fx7fx6) x8 = 2.6831 >> fx8=polyval(poli,x8) fx8 = -0.0825 >> x9=x8-fx8*(x8-x7)/(fx8fx7) x9 = 2.6904 >> fx9=polyval(poli,x9) fx9 = -0.0027 >> x10=x9-fx9*(x9-x8)/(fx9fx8) x10 = 2.6906 >> fx10=polyval(poli,x10) fx10 = 1.1484e-005
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x n
1,5455 1,9969 4,1051 2,2947 2,4787 2,7514 2,6831 2,6904 2,6906
f(x n )
-6,0856 -5,0122 30,4736 -3,4482 -2,0587 0,6879 -0,0825 -0,0027 1,1484E-005
BIBLIOGRAFÍA
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r68950.PDF
http://www.uv.es/diaz/mn/node21.html
http://es.scribd.com/doc/55007365/118/Metodo-de-la-secante
http://personales.unican.es/segurajj/mii/p4m2.pdf
http://es.scribd.com/doc/14494030/Metodos-Numericos-Basicos-Para-Ingenieria
http://irlenys.tripod.com/calculo/ejercicios.htm
MÉTODO DE LA SECANTE
PRESENTADO POR: SINDY DAYANY QUIJANO GERMAN AUGUSTO SILVA
PROFESOR: FERNANDO BOLAÑOS
GRUPO: C2
UNIVERSIDAD MANUELA BELTRÁN CIENCIAS BÁSICAS MÉTODOS NUMÉRICOS BOGOTÁ 2011