Metodo de la secante Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación
!ustitu"endo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos
#ue es la fórmula del método de la secante$ Nótese %ue para poder calcular el valor de necesitamos conocer los dos valores anteriores
"
$
&bsérvese tambien, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa$ 'a diferencia entre una " otra es %ue mientras el método de la regla falsa traba(a sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo " por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapide) %ue el método de Newton-Raphson$ *laro, corre el mismo riesgo de éste +ltimo de no converger a la ra), mientras %ue el método de la regla falsa va a la segura$
Ejemplo 1 sar el método de la secante para aproximar la ra) de ,
" hasta %ue
, comen)ando con
$
Solución
.enemos %ue
"
secante para calcular la aproximación
*on un error aproximado de
, %ue sustitumos en la fórmula de la
,
*omo todava no se logra el ob(etivo, continuamos con el proceso$ p roceso$ Resumimos los resultados en la siguiente tabla /prox$ a la ra)
Error aprox$
0 1
1002
0$314355678
37$42
0$397::4177
3$472
0$394518439
0$062
;e lo cual conclumos %ue la aproximación a la ra) es
Ejemplo 2 sar el método de la secante para aproximar la ra) de comen)ando con
"
, " hasta %ue
, $
Solución
.enemos los valores
"
de la secante para obtener la aproximación
, %ue sustitumos en la fórmula
*on un error aproximado de
*omo todava no se logra el ob(etivo, continuamos con el proceso$ p roceso$ Resumimos los resultados en la siguiente tabla /prox$ a la ra)
Error aprox$
0 1
1002
0$647719087
41$:2
0$694770460
7$:02
0$697135141
0$052
;e lo cual conclumos %ue la aproximación a la ra) es
*omen)ar ===
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados " efectivos$ / diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no traba(a sobre un intervalo sino %ue basa su fórmula en un proceso iterativo$ !upongamos %ue tenemos la aproximación
a la ra)
.ra)amos la recta tangente a la curva en el punto punto
%ue será nuestra siguiente aproximación a la ra)
?ara calcular el punto %ue tiene pendiente
de
,
> ésta cru)a al e(e
en un
$
, calculamos primero la ecuación de la recta tangente$ !abemos
@ por lo tanto la ecuación de la recta tangente es
Aacemos
@ despe(amos
#ue es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación , si Note %ue el método de Newton-Raphson no traba(a con intervalos donde nos asegure %ue encontraremos la ra), " de hecho no tenemos ninguna garanta de %ue nos aproximaremos a dicha ra)$ ;esde luego, existen e(emplos donde este método no converge a la ra), en cu"o caso se dice %ue el método diverge$ !in embargo, en los casos donde si converge a la ra) lo hace con una rapide) impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia$ .ambién observe %ue en el caso de %ue , el método no se puede aplicar$ ;e hecho, vemos geométricamente %ue esto significa %ue la recta tangente es hori)ontal " por lo tanto no intersecta al e(e en ning+n punto, a menos %ue coincida con éste, en cu"o caso
mismo es una ra) de
B
Ejemplo 1 sar el método de Newton-Raphson, para aproximar la ra) de comen)ando con
" hasta %ue
Solución
En este caso, tenemos %ue
;e a%u tenemos %ue
*omen)amos con
" obtenemos
$
,
En este caso, el error aproximado es,
*ontinuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió$ Resumimos los resultados en la siguiente tabla /prox$ a la ra)
Error aprox$
1 1$4365:1:41
41$152
1$705106:07
7$032
1$705855765
0$0942
;e lo cual conclumos %ue , la cual es correcta en todos sus dgitosB 'a misma idea puede aplicarse para crear algoritmos %ue aproximen races -ésimas de n+meros reales positivos$ &bserve %ue cuando el método de Newton-Raphson converge a la ra), lo hace de una forma mu" rápida " de hecho, observamos %ue el error aproximado disminu"e a pasos agigantados en cada paso del proceso$ /un%ue no es nuestro ob(etivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos %ue hemos estudiado, cabe mencionar %ue si existen estas cotas %ue miden con ma"or precisión la rapide) ó lentitud del método en estudio$
MÉTODO DE punto fijo
Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
!i la ecuación es , entonces puede despe(arse ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada$
ó bien sumar
en
Ejemplos: 1C 'a ecuación
se puede transformar en
4C 'a ecuación
$
se puede transformar en
;ada la aproximación
$
, la siguiente iteración se calcula con la fórmula
!upongamos %ue la ra) verdadera es , es decir,
Restando las +ltimas ecuaciones obtenemos
?or el .eorema del
entonces existe
En nuestro caso, existe
es contnua en
tal %ue
en el intervalo determinado por
$ "
tal %ue
;e a%u tenemos %ue
& bien,
.omando valor absoluto en ambos lados,
&bserve %ue el término iteración, mientras %ue el término iteración$
es precisamente el error absoluto en la corresponde al error absoluto en la
ésima ésima
?or lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración$ En caso contrario, el error irá en aumento$ En resumen, el método de iteración del punto fi(o converge a la ra) si en un intervalo
%ue contiene a la ra) " donde
diverge si
en dicho intervalo$
para
es contnua " diferenciable, pero
/nalicemos nuestros e(emplos anteriores
En el e(emplo 1,
" claramente se cumple la condición de %ue
$ ?or lo tanto el método s converge a la ra)$
En el e(emplo 4, " en este caso, $ ?or lo tanto, el método no converge a la ra)$
?ara aclarar el uso de la fórmula veamos dos e(emplos
Ejemplo 1 sar el método de iteración del punto fi(o para aproximar la ra) de comen)ando con
" hasta %ue
,
$
Solución
*omo "a aclaramos anteriormente, el método s converge a la ra)$ /plicando la fórmula iterativa tenemos,
*on un error aproximado de /plicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
@ un error aproximado de
$
Dntuimos %ue el error aproximado se irá reduciendo mu" lentamente$ En efecto, se necesitan hasta 17 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 12$ El resultado final %ue se obtiene es
*on un error aproximado igual al
$
Ejemplo 2 sar el método de iteración del punto fi(o para aproximar la ra) de comen)ando con
" hasta %ue
$
Solución
!i despe(amos la
del término lineal, vemos %ue la ecuación e%uivale a
de donde,
En este caso, tenemos %ue
$ n vista)o a la gráfica,
nos convence %ue , para método s converge a la ra) buscada$
, lo %ue es suficiente para deducir %ue el
/plicando la fórmula iterativa, tenemos
*on un error aproximado del 1002$ /plicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos
*on un error aproximado igual al 46$:12$
,
En este e(emplo, el método solo necesita de 9 iteraciones para reducir el error menor al 12$ Resumimos los resultados en la siguiente tabla /prox$ a la ra)
Error aprox$
0 -0$4
1002
-0$1998:31903
46$:12
-0$1337075089
3$7:2
-0$137643784
1$912
-0$13::1003:
0$792
;e donde vemos %ue la aproximación buscada es
*omen)ar ===
Método de bisección
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de *álculo
Teorema del Valor Intermedio !ea cada
contnua en un intervalo tal %ue
" supongamos %ue
, existe un
tal %ue
$ Entonces para $ 'a misma
conclusión se obtiene para el caso %ue $ Fásicamente el .eorema del
"
tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es
, " por lo tanto, el .eorema del
tal %ue
en el intervalo $ El método de bisección sigue los siguientes pa sos !ea
contnua,
i) Encontrar valores iniciales es decir,
,
tales %ue
"
tienen signos opuestos,
ii) 'a primera aproximación a la ra) se toma igual al punto medio entre
iii) Evaluar
"
$ or)osamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso, tenemos %ue
"
se encuentra en el intervalo
$
tienen signos opuestos, " por lo tanto la ra)
En este caso, tenemos %ue "
"
tienen el mismo signo, " de a%u %ue
tienen signos opuestos$ ?or lo tanto, la ra) se encuentra en el intervalo
En este caso se tiene %ue " por lo tanto "a locali)amos la ra)$ El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta %ue
es decir,
Ejemplo 1 /proximar la ra) de Solución
hasta %ue
$
$
!abemos por lo visto en el e(emplo 1 de la sección anterior, %ue la +nica ra) de locali)a en el intervalo
se
$ /s %ue este intervalo es nuestro punto de partida> sin
embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar %ue tengan signos opuestos$ En efecto, tenemos %ue
"
mientras %ue
*abe mencionar %ue la función s es contnua en el intervalo $ /s pues, tenemos todos los re%uisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección$ *omen)amos i) *alculamos el punto medio G%ue es de hecho nuestra primera aproximación a la ra)C
ii) Evaluamos iii) ?ara identificar me(or en %ue nuevo intervalo se encuentra la ra), hacemos la siguiente tabla
?or lo tanto, vemos %ue la ra) se encuentra en el intervalo $ En este punto, vemos %ue todava no podemos calcular ning+n error aproximado, puesto %ue solamente tenemos la primera aproximación$ /s, repetimos el proceso con el nue vo intervalo $ *alculamos el punto medio G%ue es nuestra segunda aproximación a la ra)C
/%u podemos calcular el primer error aproximado, puesto %ue contamos "a con la aproximación actual " la aproximación previa
?uesto %ue no se ha logrado el ob(etivo, continuamos con el proceso$ Evaluamos
, " hacemos la tabla
/s, vemos %ue la ra) se encuentra en el intervalo *alculamos el punto medio,
$
@ calculamos el nuevo error aproximado
El proceso debe seguirse hasta cumplir el ob(etivo$ Resumimos los resultados %ue se obtienen en la siguiente tabla Error aprox$ /prox$ a la ra) 1$49 1$789
5$052
1$7149
:$832
1$46149
4$:72
1$453689
1$402
1$70:3689
0$952
/s, obtenemos como aproximación a la ra)
Ejemplo 2 /proximar la ra) de
hasta %ue
$
Solución
*omo vimos en el e(emplo 4 de la sección anterior, la +nica ra) de
se locali)a en el
intervalo $ ?ara poder aplicar el método de bisección, es importante checar %ue s se cumplen las hipótesis re%ueridas$ !abemos %ue signos opuestos$ En efecto,
es contnua en el intervalo
, " checamos %ue
"
tengan
Mientras %ue,
?or lo tanto, s podemos aplicar el método de bisección$ *alculamos el punto medio del intervalo
#ue es la primera aproximación a la ra) de
,
$
Evaluamos @ hacemos nuestra tabla de signos,
?uesto %ue intervalo
"
$
tienen signos opuestos, entonces la ra) se locali)a en el
$
En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber, primer punto medio calculado$
, %ue es el
Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo
#ue es la nueva aproximación a la ra) de $ /%u podemos calcular el primer error aproximado
?uesto %ue no se cumple el ob(etivo, continuamos con el proceso$ Evaluamos @ hacemos la tabla de signos
$
,
?uesto %ue
"
tienen signos opuestos, entonces la ra) se locali)a en el
intervalo $ *alculamos el punto medio,
@ el nuevo error aproximado
El proceso se debe continuar hasta %ue se logre el ob(etivo$ Resumimos los resultados %ue se obtienen en la siguiente tabla Error aprox$ /prox$ a la ra) 0$9 0$89
77$772
0$349
402
0$9349
11$112
0$97149
9$662
0$919349
7$072
0$947:789
1$:52
0$91597149
0$892
;e lo cual, vemos %ue la aproximación buscada es El método de bisección por lo general es lento, " en casos como el de la siguiente gráfica, puede ser demasiado lento$
En un caso como éste, el proceso de bisección comien)a a acercarse a la ra) de forma mu" lenta, "a %ue el método solamente toma en cuenta %ue la ra) se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo$ !era bueno implementar un método %ue tome en cuenta este detalle$
*omen)ar ===
Posición falsa *omo mencionamos anteriormente, sera bueno considerar si la ra) de una ecuación está locali)ada más cerca de alguno de los extremos del intervalo$ *onsideremos nuevamente una gráfica como la anterior,
;onde hemos agregado la lnea recta %ue une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo $ Es claro %ue si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cru)a al e(e esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la ra)> ésta es en s, la idea central del método de la regla falsa " ésta es realmente la +nica diferencia con el método de bisección, puesto %ue en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos$ !upongamos %ue tenemos una función además,
"
%ue es contnua en el intervalo
"
tienen signos opuestos$
*alculemos la ecuación de la lnea recta %ue une los puntos !abemos %ue la pendiente de esta recta esta dada por
,
$
?or lo tanto la ecuación de la recta es
?ara obtener el cruce con el e(e
Multiplicando por
, hacemos
nos da
inalmente, de a%u despe(amos
Este punto es el %ue toma el papel de en lugar del punto medio del método de bisección$ /s pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos !ea
contnua,
i) Encontrar valores iniciales es decir,
,
tales %ue
"
tienen signos opuestos,
ii) 'a primera aproximación a la ra) se toma igual a
iii) Evaluar
$ or)osamente debemos caer en uno de los siguientes casos
En este caso, tenemos %ue
"
se encuentra en el intervalo
$
tienen signos opuestos, " por lo tanto la ra)
En este caso, tenemos %ue "
"
tienen el mismo signo, " de a%u %ue
tienen signos opuestos$ ?or lo tanto, la ra) se encuentra en el intervalo
$
En este caso se tiene %ue " por lo tanto "a locali)amos la ra)$ El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta %ue
Ejemplo 1 sar el método de la regla falsa para aproximar la ra) de en el intervalo
" hasta %ue
, comen)ando
$
Solución
Este es el mismo e(emplo 1 del método de la bisección$ /s pues, "a sabemos %ue contnua en el intervalo dado " %ue toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo$ ?or lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa$
es
*alculamos la primera aproximación
?uesto %ue solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso$
/s pues, evaluamos @ hacemos nuestra tabla de signos
;e donde vemos %ue la ra) se encuentra en el intervalo *on este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación
$
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado
?uesto %ue no se cumple el ob(etivo seguimos con el proceso$ Evaluamos
;e donde vemos %ue la ra) se encuentra en el intervalo podemos calcular la nueva aproximación
@ el error aproximado
, " hacemos la tabla de signos
, con el cual,
*omo se ha cumplido el ob(etivo, conclumos %ue la aproximación buscada es
&bserve la rapide) con la cual converge el método de la regla falsa a la ra), a diferencia de la lentitud del método de la bisección$
Ejemplo 2 sar el método de la regla falsa para aproximar la ra) de comen)ando en el intervalo
" hasta %ue
,
$
Solución
Este es el mismo e(emplo 4 del método de la bisección$ /s pues, "a sabemos %ue se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, %ue contnua en el intervalo dado " %ue intervalo$
tome signos opuestos en los extremos de dicho
*alculamos pues, la primera aproximación
*omo solamente tenemos una aproximación, debemos avan)ar en el proceso$ Evaluamos @ hacemos nuestra tabla de signos
;e lo cual vemos %ue la ra) se locali)a en el intervalo /s pues, calculamos la nueva aproximación
@ calculamos el error aproximado
sea
$
?uesto %ue no se cumple el ob(etivo, seguimos avan)ando en el proceso$ Evaluamos @ hacemos nuestra tabla de signos
$
;e los cual vemos %ue la ra) se locali)a en el intervalo podemos calcular al siguiente aproximación
, con el cual
@ el siguiente error aproximado
*omo se ha cumplido el ob(etivo, conclumos %ue la aproximación buscada es
Nuevamente observamos el contraste entre la rapide) del método de la regla falsa contra la lentitud del método de la bisección$ ?or supuesto %ue puede darse el caso en el %ue el método de la regla falsa encuentre la aproximación a la ra) de forma más lenta %ue el método de la bisección$ *omo e(ercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función intervalo
, comen)ando en el
, donde notará %ue mientras %ue el método de bisección re%uiere de 6
aproximaciones para lograr %ue aproximaciones$
, el método de la regla falsa necesita hasta 13
*omen)ar ===
