Metodo de La Secante y Secante Modificado

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERIA DE LOS MATERIALES ESCUELA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA

CM3201 METODOS NUMERICOS PARA MATERIALES

METODOS ABIERTOS: METODO DE LA SECANTE Y SECANTE MODIFICADO

PROFESOR: ING. MARVIN HERNANDEZ CISNEROS

ESTUDIANTES: JAVIER ZAMORA RAMIREZ KAREN MORERA CHAVARRA HAROLD STEINVORTH ALVAREZ

GRUPO: 0!

II SEMESTRE 200"

EL M#TODO DE LA SECANTE Forma parte de los métodos abiertos para encontrar raíces de ecuaciones. Tiene base en el método de Newton-Raphson:  xi +1 =  xi −

 f  ( x i )  f  ′( x i )

[1]

El método de la secante busca simpliicar la ecuaci!n 1" pues siempre habr# ocasiones donde calcular la deri$ada de la unci!n se complica. Es por esto %ue este método recurre a apro&imar la deri$ada mediante una dierencia inita di$idida hacia atr#s" como lo muestra la ecuaci!n '.  f  ′( xi ) ≅

 f  ( xi −1 ) −  f  ( xi )  xi −1 −  xi

[']

(e esta manera reempla)ando la ecuaci!n ' en la ecuaci!n 1 se obtiene la !rmula para el método de la secante:  x i +1 =  x i −

 f  ( x i )( x i −1 −  x i )  f  ( x i −1 ) −  f  ( x i )

[*]

(e la ecuaci!n * se puede notar como son necesarios dos $alores iniciales de &" lo cual puede conundir para caliicarlo como método abierto. +in embar,o" este método no necesita de cambio de si,no en la unci!n entre los $alores dados" por lo %ue no se puede caliicar como un método cerrado.

D$%&'&()$* &(+'& ,- /+-- & ,* &)*(+&  & ,* %*,* -$)$4( +i se recuerda la ecuaci!n para calcular la raí) de una unci!n mediante el método de la alsa posici!n ecuaci!n / se puede obser$ar como es idéntica en orma a la ecuaci!n *.  f  ( x u )( x l  −  x u )  x r  =  x u − []  f  ( x l  ) −  f  ( x u ) 0,ualmente se $e como ambas !rmulas tienen un $alor superior & u  &i/  un $alor inerior & l  &i-1/. Todo esto podría conundir"  sur,e la pre,unta: 2en %ué dierencian ambos métodos3. 4ues la dierencia radica en la orma en %ue uno de los $alores iniciales se reempla)a por la nue$a apro&imaci!n. En el método de la alsa posici!n la nue$a apro&imaci!n de la raí) reempla)a uno de los $alores superior o inerior" dependiendo de si ha o no

cambio de si,no entre ellos  la apro&imaci!n" de tal orma %ue la raí) siempre %ueda encerrada entre los dos nue$os $alores. 4or otro lado" en el método de la secante" reempla)a los $alores en una secuencia estricta" de tal orma %ue el nue$o $alor & i51 se reempla)a a & i  &i reempla)a a &i-1. +ituaci!n %ue puede lle$ar este método a la di$er,encia. Esto se puede $er m#s #cilmente en la i,ura 1.

F$56'* 1. (ierencia entre el método de la alsa posici!n  la secante

E, M+-- & ,* S&)*(+& M-$%$)*En este método se apro&ima la deri$ada de la ecuaci!n 1 de una manera dierente.  f  ′( xi ) ≅

 f  ( xi + δ  xi ) −  f  ( xi ) δ  xi

[6]

En la ecuaci!n 6 se considera un cambio raccionario 7/ de la $ariable independiente para estimar la deri$ada de la unci!n. (e tal orma %ue la !rmula del método de la secante modiicado %ueda así:  xi +1 =  xi −

δ  xi  f  ( xi )

 f  ( xi + δ  xi ) −  f  ( xi )

[8]

+e puede obser$ar como solo es necesario darse un $alor inicial para &. 9a elecci!n de $alor para 7 no es simple. +i es mu pe%ueo el método puede no tener é&ito por el error de redondeo" causado por la cancelaci!n por la resta en el denominador de la ecuaci!n 8. 4or otro lado" si 7 es mu ,rande le técnica puede lle,ar a ser ineiciente  hasta di$er,ente.