Metodo de La Viga Conjugada

Método dé la viga conjugada El método de la viga conjugada, desarrollado por Otto Mohr alrededor del año 1860 es un método bastante sencillo y prctico !ue nos permite encontrar las pendientes y "lechas causadas por un sistema de cargas e#ternas aplicadas sobre la viga real mediante el clculo de la "uer$a cortante y el momento "lector de una viga anloga llamada viga conjugada Definición% &a viga conjugada es una viga "icticia cuya longitud es la misma !ue el

de la viga propuesta o viga real y cuya carga es el diagrama

 M / EI   de la viga

original'

Viga real

Diagrama de M/EI

M(E)

Viga conjugada

*arga elstica

+igura1'a- .iga real' b- .iga conjugada

&a analog/a entre la viga real y la viga conjugada se basa en la similitud e#istente entre las relaciones de la carga "lector

( M )

"lecha-

( y )

(q ) , la "uer$a cortante

y las relaciones entre

 2 continuacin se

deduce

( V )  y el momento

 M / EI  , la pendiente - y la de"le#in

el método, teniendo como base los "undamentos

tericos de método de doble integracin y de rea de momentos *onsideremos una viga simplemente apoyada, solicitada por una carga cual!uiera aplicado perpendicularmente al eje de la viga "igura 3-

+igura 3

4ecordando !ue la ecuacin di"erencial !ue gobierna de la curva elstica est dada por 

2

d  y dx

2

=

 M   EI 

5ue también puede escribirse como

( )=

d dy dx dx

dθ  M  = dx  EI 

 M  dθ = dx  EI 

)ntegrando con respecto a

 x  se tiene

dx ( 1 ) ∫ ( M   EI )

θ=

)ntegrando por segunda ve$ la ecuacin 1- se obtiene la de"le#in

( y )

en

cual!uier punto de la viga

(

 M  ∫ ∫ ( EI  ) dx

 y =

)

dx ( 2)

4ecordando las relaciones e#istentes entre la carga

(q ) , la "uer$a cortante

(V  )  y el momento "lector ( M ) dV   = q dx

∫

V = qdx ( 3 ) dM  =V  dx

∫

∫ (∫ qdx ) dx (4)

 M = Vdx =

*onsidérese ahora una viga "icticia llamada viga conjugada de longitud igual al de la viga real y cargada con el diagrama de M(E), véase "igura -

+igura 

*alculando la "uer$a cortante y el momento "lector para esta viga y haciendo uso de la analog/a con las ecuaciones !ue relacionan la carga, la "uer$a cortante y el momento "lector se tiene

dV   M   = q = dx  EI 

)ntegrado  M  ∫ ( EI  ) dx (5)

V =

7 de acuerdo con la ecuacin 1- representa la pendiente en la viga real )ntegrando nuevamente

∫

(

dx ∫ ∫ ( M   EI )

 M = Vdx =

)

dx ( 6 )

5ue segn la ecuacin 3- representa la de"le#in en la viga real &o anterior se puede resumir en dos teoremas conocidos como teoremas de la viga conjugada y se enuncian como9

Teorema 1' &a pendiente

(θ )  en un punto de la viga real es igual a la "uer$a

cortante en el mismo punto de la viga conjugada

Teorema 2 ' &a de"le#in

( y )  en cual!uier punto de la viga real es igual al

momento del punto correspondiente en la viga conjugada'

:egn las ecuaciones ;- y 6- las condiciones de de"ormacin en los apoyos y en los l/mites de la viga debern trans"ormarse en condiciones para la "uer$a cortante V   y el momento "lector

 M   de la viga conjugada'

Estos cambios son necesarios para satis"acer las caracter/sticas conocidas de la curva elstica de la viga real'
obtener la viga conjugada correspondiente a la viga dada ser necesario seguir  las reglas siguientes% 1' El apoyo articulado en el e#tremo de la viga dada permanece siendo apoyo articulad en el e#tremo de la viga conjugada' 3' El apoyo articulad !ue no est situado en el e#tremo de la viga dada pasa a ser una articulacin "lotante en la viga conjugada' ' El e#tremo empotrado de la viga dada pasa a ser e#tremo libre de la viga conjugada' =' El e#tremo libre de la viga dada pasa a ser e#tremo empotrado de la viga conjugada ;' &a articulacin "lotante de la viga dada se trans"orma en un apoyo articulado de la viga conjugada' En las "igura = !ue se ilustra el empleo de estas reglas para la obtencin de las vigas conjugadas'

VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

+igura =

*on los cambios de apoyo las vigas estticamente determinadas tienen vigas conjugadas estticamente determinadas' &as vigas estticamente indeterminadas

parecen tener vigas conjugadas inestables, sin embargo, tales vigas conjugadas resultan estar en e!uilibrio con la carga elstica correspondiente al diagrama

( M / EI ). El método de la viga conjugada es cmodo para determinar las pendientes y "lechas, cuando es "cil obtener las reas y los centroides de los diagramas de los momentos "lectores correspondientes a la carga dada'
Ejemplo 1
en 2, b- la pendiente en *, y c- la de"le#in en 2

P

a-

B

 A

C  l

l

b-

− PL

 M   PL / EI 

c-

 A

B ' 

C ' 

+igura 1' a- viga anali$ada en el ejemplo 1' b- >iagrama de momento "lector' c- .iga conjugada

El diagrama de momentos "lectores en la viga dada

 ABC    se muestra en la

"igura b-, y en la "igura c- se muestra la viga conjugada

 A ’ , B ’ y C ’ '
!ue el momento es negativo la carga "icticia sobre la viga conjugada se interpreta como una carga distribuida dirigida de arriba hacia abajo *onsiderando la ecuacin de e!uilibrio de sumatoria de momentos respecto a la articulacin "lotante ?@  de las "uer$as situadas a la derecha de ésta- se tiene  Pl / EI 

 M 

B

 A  A y

C  C  y

l

l

B

C  l

+ ↺∑  M B =0 : C  y l −

(

1 2

×

)( )=

 Pl  l ×l  EI  3

0

2

Pl C  y = 6 EI 

 2s/ V C =

− P l

2

6 EI 

>el >*& de toda la viga conjugada, escribiendo la ecuacin de e!uilibrio de sumatoria de "uer$as verticales se obtiene

+↑ ∑

2

1  PL

 P L  Fy = 0:  A  y − 2 l + C  y = 0 ⟶ A  y =  EI  2  EI 

>e la suma de momentos en la seccin 2  Pl 2 l ( l ) + C   ( 2 l ) =0 ∑ M  =0 :− M  −( 12  EI  )  A

 M  A=

 A

− Pl

3

 y

2

3

Pl ( 2 l )=−2  P l +  EI  6 EI  3  EI 


θC =

θ A =

− Pl

2

2

Pl θ C = 6 EI  6 EI 

5 P l

2

6 EI 

3

−2  Pl y = 2  Pl  y A =  A 3

 EI 

3

3

 EI 

2

2

Pl 5 P l − = 6 EI  6 EI