Método de los Operadores para solucionas sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
Las Las ecua ecuaci cione oness dife difere renc ncia iale less ordi ordinar naria iass simu simult ltán ánea eass compr comprend enden en dos dos o más más ecuaciones que contienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Si x , y y z son funciones de la variable t , entonces
{
2
d y 4 =−5 x + y x ' −3 x + y ' + z ' =5 2 d t y x ' − y ' + 2 z ' =t 2 2 d y 2 =3 x − y x + y ' −6 z' = t −1 2 d t
{
Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones ecuacion es diferenciales simultáneas. Solución de un sistema
Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones
x = f ( ( t ) , y = g (t ) , z =h ( t ) , … que satisfacen cada ecuación del sistema en
diferencial diferenciales es
I
algún intervalo
.
Eliminación Eliminación Sistemática Sistemática
La primera técnica que consideraremos para resolver tales sistemas se basa en el principio fundamental funda mental de eliminación algebraica sistemática de las variables. eremos eremos que lo análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar sobre una ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. !ecuérdese que una ecuación diferencial lineal (n )
an y + an−1 y
"n donde los
( n− 1 )
ai
+… + a 1 y ' + a0 y = g ( t )
, siendo
i=0,1, … , n constantes, puede ser escrita como
( a D + a − D − +…+ a D + a ) y = g ( t ) n
n
n 1
n 1
( k )
1
k
0
'
(1)
( 0)
amb ien ien y = y = D , y = y = I (identidad ) #onde y = D , k = 0,1, …n y tamb "jemplo
%$ "scribe el sistema de ecuaciones diferenciales x + 2 x + y = x + 3 y + sen ( t ) ' '
'
'
' '
−t
'
x + y =−4 x + 2 y +e
Usando la notación de operadores. Solución% '
&omo x = Dx , x
{
x
2
' '
= D x tenemos que
' '
+ 2 x ' − x + y ' ' −3 y =sen ( t ) ' ' − t x + 4 x + y −2 y =e
#e manera diferencial, obtenemos que
{
( D + 2 D− 1 ) x + ( D − 3 ) y = sen(t ) 2
2
( D + 4 ) x + ( D−2 ) y =e−t
MÉTODO MÉTODO DE SOLUCIÓN SOLUCIÓN
&onsidérese el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden
{
Dy =2 x ( 1) Dx =3 y
' equivalentemente
{−
2 x + Dy =0 ( 2) Dx −3 y =0
Si a la primera primera ecuación ecuación en ()* le aplicam aplicamos os tenemos que%
{
−2 Dx + D2 y =0 2 Dx −6 y =0
D
y la segunda la multiplicamos por )
Sumando las ecuaciones que tenemos, obtenemos que% 2
D y −6 y =0 ' equivalentemente y
''
− 6 y =0
Su polinomio caracter+stico es 2
m − 6 =0 2
m =6 m=± √ 6 m=√ 6 , m=−√ 6 uesto que las ra+ces del polinomio caracter+stico asociado a la ecuación diferencial son reales y diferentes, por teorema sus soluciones linealmente independientes son y 1=e √ 6 t , y 2=e−√ 6 t or el principio de superposición, su solución general es y = c1 y 1+ c 2 y 2
y = c1 e √ 6 t + c 2 e−√ 6 t ( 3 )
amos a reali-ar lo mismo para encontrar el valor de ecuación por
3
y aplicamos
D
{
Sumando las ecuaciones tenemos que 2
. Si multiplicamos la primera
en la segunda ecuación, tenemos que%
−6 x + 3 Dy =0 2 D x −3 Dy =0
D x − 6 x =0
x
"quivalentemente ' '
x −6 x = 0 "s una ecuación diferencial idéntica a la primera que se acaba de estudiar (es la misma solo que con variable *, por lo tanto su solución general es
x =c 3 e√ 6 t + c 4 e−√ 6 t ( 4 )
/0ora bien, (1* y (2* no satisfacen el sistema ($* para cualquier valor de c4
c 1 , c 2 , c3
.
Sustituyendo x , y en la primera ecuación del sistema original ($* resulta que% D ( c 1 e√ 6 t + c2 e−√ 6 t )=2 ( c3 e √ 6 t + c 4 e−√ 6 t ) 6 t 6 t − 6 t − 6 t √ 6 c 1 e √ − √ 6 c 2 e √ =2 c 3 e √ + 2 c 4 e √
( √ 6 c −2 c ) e √ t + (−√ 6 c −2 c ) e−√ t =0 6
1
6
3
2
4
e √ 6 t > 0, e−√ 6 t > 0 entonces
&omo
√ 6 c 1−2 c3 =0 ,− √ 6 c 2−2 c 4 =0 2 c3 =√ 6 c 1 , 2 c 4=−√ 6 c 2
c 3=
√ 6 2
c 1 , c 4=
−√ 6 2
c2
or lo tanto, concluimos que una solución del sistema debe ser x ( t )=
√ 6 c e √ 6 t − √ 6 c e−√ 6 t , y ( t )= c e √ 6t + c e−√ 6 t 1 2 1 2 2
"jemplo )%
2
y
!esolver
{
Dx + ( D + 2 ) y =0 (6 ) ( D −3 ) x −2 y =0
Solución% Si a la primera ecuación le aplicamos D−3 y a la segunda le aplicamos D tenemos que
{
( D −3 ) Dx + ( D−3 ) ( D + 2 ) y =0 ( D −3 ) Dx −2 Dy= 0
/l restar las ecuaciones (la primera menos la segunda* tenemos que
[ ( D−3 ) ( D +2 ) + 2 D ] y =0 ( D + 2 D −3 D−6 + 2 D ) y = 0 2
( D + D−6 ) y =0 2
' equivalentemente% y
' '
+ y ' −6 y =0
Su polinomio caracter+stico es m
2
+ m −6 =0
( m − 2 ) ( m + 3 ) =0 m−2= 0 , m+ 3 =0 m=2 , m=−3
&omo su polinomio caracter+stico tiene sus ra+ces reales y distintas, por teorema, sus soluciones linealmente independientes son 2 t
−3t
y 1=e , y 2=e
or el principio de superposición, su solución general es y = c1 y 1+ c 2 y 2 y = c1 e
+ c 2 e−3 t (7 )
2t
3gualmente 0acemos para
x
, multiplicamos la primera ecuación por ) y aplicamos
D + 2 en la segunda ecuación obtenemos que
{(
2 Dx + 2 ( D + 2 ) y =0
D −3 ) ( D+ 2 ) x −2 ( D + 2 ) y =0
Sumando las ecuaciones tenemos que
[ 2 D + ( D −3 ) ( D + 2 )] x = 0
[ 2 D + D + 2 D−3 D −6 ] x =0 2
( D + D−6 ) x =0 2
"quivalentemente x
''
+ x ' −6 x =0
"s una ecuación diferencial equivalente a la primera que estudiamos en este ejercicio, por lo que podemos decir que su solución general es −3 t
2 t
x =c 3 e + c 4 e
(8)
4al como 0icimos notar en la discusión precedente, una solución de (5* no contiene cuatro constantes independientes puesto que el sistema mismo restringe el número de las que efectivamente pueden ser elegidas e forma arbitraria. Sustituyendo (6* y (7* en la primera ecuación del sistema (5* resulta Dx + ( D + 2 ) y =0 2 t
−3 t
D ( c 3 e + c 4 e
)+ ( D + 2 ) ( c1 e 2t + c 2 e−3 t )=0
D ( c 3 e
+ c 4 e−3 t ) + D ( c 1 e2 t + c2 e−3t ) + 2 ( c 1 e2 t + c 2 e−3 t ) =0
2 t
2 c3 e
−3 c 4 e−3 t + 2 c 1 e2 t −3 c 2 e−3 t + 2 c 1 e 2 t + 2 c 2 e−3 t =0
2 t
( 2 c + 4 c ) e t +(−3 c − c ) e− t = 0 2
3
&omo
3
1
4
2
−3 t
2t
e > 0, e
> 0 entonces
2 c3 + 4 c 1=0 , −3 c 4− c 2=0 2 c3 =−4 c 1 , 3 c 4=−c 2
c 3=−2 c1 , c 4 =
−1 3
c2
or consiguiente, una solución del sistema es x ( t )=−2 c1 e
1
− c2 e−3t , y ( t )=c 1 e2 t + c2 e−3t
2 t
3
8ota% uesto que, con la misma facilidad, 0ubiéramos podido despejar de
c1
y 2 t
c2
c3
y
c4
en términos
, la solución del ejemplo ) puede ser escrita en la forma alternativa −3 t
x =c 3 e + c 4 e
, y ( t ) =
−1 2
2 t
− 3 t
c 3 e −3 c 4 e
/l resolver sistemas también vale la pena fijarse bien en lo que se 0ace. #e 0aber despejado primero x y después y 0ubiéramos podido determinar la relación entre las constantes simplemente usando la ultima ecuación del sistema (5*
y =
1 2
( Dx −3 x )
y =
1
[2 c 2
y = c3 e
y =
−1 2
−3 c 4 e−3 t −3 c 3 e2 t −3 c 4 e−3 t ]
2 t
3
e
3
3
3
2
2
2
2 t
−3 t
− c 4 e−3 t − c 3 e 2 t − c 4 e−3 t
2t
c 3 e −3 c 4 e
"jemplo 1% !esolver
{
'
' '
2
x − 4 x + y =t ( 9 ) ' ' x + x + y =0
Solución% rimero escribiremos el sistema con la notación de operadores diferenciales
{
( D −4 ) x + D2 y =t 2 ( 10) ( D + 1 ) x + Dy =0
/plicando
D + 1
en la primera ecuación y
D− 4 en la segunda ecuación de ($9*
tenemos que
{
( D + 1 ) ( D− 4 ) x + D2 ( D + 1 ) y =( D +1 ) ( t 2) ( D +1 ) ( D− 4 ) x + D ( D− 4 ) y = 0
{
( D + 1 ) ( D− 4 ) x + D2 ( D + 1 ) y =2 t + t 2 ( D + 1 ) ( D− 4 ) x + D ( D −4 ) y =0
!estando las ecuaciones (la primera menos la segund a* tenemos que
[ D ( D +1 ) − D ( D− 4 )] y =2 t +t 2
2
( D + D − D + 4 D ) y =2 t +t 3
2
2
2
( D + 4 D ) y =t + 2 t 3
2
"quivalentemente y
'' '
2
+ 4 y' = t + 2 t
:usquemos su solución, primero la 0omogénea, para ello 0acemos y
'' '
+ 4 y' = 0
3
m + 4 m= 0
Su polinomio caracter+stico es m( m
2
+ 4 ) =0 2
m =0 , m + 4 =0 m =0 , m
2
=−4
m=0 , m=± √ −4 m = 0 , m= ± 2 i "l polinomio caracter+stico tiene como ra+ces una real y dos complejas (de la misma forma* or teorema, sus soluciones linealmente independientes son y 1=e
=1 , y 2= e0 t cos ( 2 t )=cos ( 2 t ) , y 3= e0 t sen ( 2 t )= sen( 2 t )
0 t
or el principio de superposición su solución general es y h= c1 y 1+ c 2 y 2 + c 3 y 3
y h= c1 + c 2 cos ( 2 t ) + c 3 sen ( 2 t )
:usquemos su solución particular 3
2
y p
usamos coeficientes indeterminados, para lo cual
suponemos que y p= A t + B t + Ct . or lo tanto, '
2
y p=3 A t + 2 Bt + C
''
y p= 6 At + 2 B '' '
y p =6 A Luego; y p
' ' '
+ 4 y p' = t 2 + 2 t
6 A + 4 ( 3 A t + 2 Bt + C ) =t + 2 t 2
2
2
2
6 A + 12 A t + 8 Bt +4 C = t + 2 t 12 A t + 8 Bt + ( 6 A + 4 C )=t 2
2
+ 2 t
3gualando polinomios 12 A =1 , 8 B =2 , 6 A + 4 C =0
A =
A =
A =
A =
A =
A =
1 12
1 12
1 12
1 12
1 12
1 12
1
, B= , 6 A + 4 C =0 4
1
, B= , 6 4
( )+
1 1
, B= ,
4 2
1
12
+ 4 C =0
1 1 + 8 C
, B= , 4
4 C =0
2
=0
1
, B= , 1 + 8 C =0 4
1
, B= , 8 C =−1 4
A =
1 12
1
−1
4
8
, B= , C =
or lo que
y p=
1 12
3
1
1
2
t + t − t 4
8
y = y h + y p
or consiguiente
y = c1 + c 2 cos ( 2 t ) + c 3 sen ( 2 t )+
:usquemos
x
/plicamos
D
1 12
3
t +
1 4
2
1
t − t ( 11) 8
. en a la segunda ecuación del sistema ($9*
{
( D− 4 ) x + D2 y =t 2 D ( D + 1 ) x + D2 y =0
!estando las ecuaciones (la segunda menos la primera* se cumple que
[ D ( D +1 ) −( D −4 ) ] x =−t
2
( D + D− D + 4 ) x =−t 2
2
( D + 4 ) x =−t 2
2
"quivalentemente x
''
2
+ 4 x =−t
:usquemos su solución% busquemos su solución 0omogénea 2
Su polinomio caracter+stico es 2
m =−4
m + 4 =0
y h
, 0acemos x
''
+ 4 x =0
m=± √ −4 m=0 ± 2 i
Sus ra+ces son complejas, por teorema, sus soluciones linealmente independ ientes son
x 1=e cos ( 2 t )= cos ( 2 t ) , x 2= e sen ( 2 t )= sen ( 2 t ) 0 t
0 t
or el principio de superposición, su solución 0omogénea es%
x h=c 1 x 1 + c 2 x 2 x h=c 1 cos ( 2 t ) + c 2 sen( 2 t )
:usquemos su solución particular
x p
, para ello, usemos el método de los coeficientes 2
indeterminados. Supongamos que x p= A t + Bt + C '
x p=2 At + B ' '
x p=2 A Luego; ' '
2
x p + 4 x p =−t 2 A + 4 ( A t
2
+ Bt + C ) =−t 2
2
2
2 A + 4 A t + 4 Bt + 4 C =−t 2
4 A t
+ 4 Bt + ( 2 A + 4 C )=−t 2
3gualando polinomios 4 A =−1 , 4 B=0 , 2 A + 4 C = 0
A =
A =
A =
A =
A =
A =
A =
−1 4
−1 4
−1 4
−1 4
−1 4
−1 4
−1 4
, B =0 , 2 A + 4 C = 0
, B =0 , 2
( − )+ 1
4
4 C =0
1
, B =0 , − + 4 C = 0 2
, B =0 ,
−1 + 8 C 2
=0
, B =0 , −1+ 8 C = 0
, B =0 , 8 C =1
, B =0 , C =
1 8
/s+; x p=
−1 4
2
t
+
1 8
or consiguiente
x = x h+ x p 1
x =c 4 cos ( 2 t )+ c 5 sen ( 2 t )− t + 2
4
/0ora bien,
c4
y
c5
1 8
(12 )
pueden ser epresadas en términos de
c2
y
c3
sustituyendo
las ecuaciones ($$* y ($)* en la segunda ecuación del sistema (<*, veamos '
'
x + x + y =0 1
1
1
1
1
1
2
4
8
4
2
8
−2 c 4 sen ( 2 t ) + 2 c 5 cos ( 2 t )− t + c 4 cos ( 2 t ) + c 5 sen ( 2 t ) − t 2 + −2 c 2 sen ( 2 t ) + 2 c 3 cos (2 t )+ t 2 + t − =0
( c −2 c −2 c ) sen ( 2 t ) +( 2 c + c + 2 c ) cos ( 2 t )= 0 5
4
2
5
4
3
#e modo que
c 5−2 c 4 −2 c2= 0 , 2 c 5 + c 4 + 2 c 3=0 Luego
{
c5 −2 c 4− 2 c 2=0 2 c5 + c 4 + 2 c3 =0
=ultiplicando la segunda ecuación por ) se tiene que
{
c 5−2 c 4 − 2 c2 = 0
4 c5
+2 c + 4 c =0 4
3
Sumando las ecuaciones tenemos que 5 c 5− 2 c 2+ 4 c 3= 0 5 c 5= 2 c 2− 4 c 3
c 5=
2 c2 −4 c3 5 2
4
5
5
c 5= c 2 − c 3
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, tenemos que 2 c5 + c 4 + 2 c3 =0
2
(
4 5
2 5
4
)
c 2 − c 3 + c 4 + 2 c 3= 0 5
8
c 2− c 3 + c 4 + 2 c 3= 0 5
4
2
5
5
c 4 + c 2 + c 3=0
c4 =
−4 5
2
c 2− c3 5
or lo tanto, la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es%
x ( t )=
(
−4 − 2 c2 c3 5
5
)
cos ( 2 t ) +
(
2 5
5
)
3
1
4
1
2
c 2− c 3 sen ( 2 t )− t +
y ( t )= c 1+ c2 cos ( 2 t ) + c3 sen ( 2 t ) +
1 12
4
2
1 8
1
t + t − t 4
8
Uso de Determinantes
Si
L1 , L2 , L3
y
L4
denotan operadores diferenciales de coeficientes
constantes, entonces un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en dos variables y
x
y
puede ser escrito como
{
L1 x + L2 y =g 1 ( t ) (13 ) L3 x + L4 y = g2 ( t )
"liminando variables tal como lo 0ar+amos para ecuac iones algebraicas resulta
( L L − L L ) x= L 1
4
2
3
4
g1 ( t ) − L2 g2 ( t ) , ( L1 L4 − L2 L3 ) y = L1 g 2 ( t )− L3 g 1 ( t ) ( 14 )
Los resultados obtenidos en ($2* se pueden escribir formalmente en términos de determinantes de manera similar a la usada en la regla de &ramer%
| | | || | | | L1 L3
L2 g x = 1 L4 g2
L2 L1 , L4 L3
L2 L y = 1 L4 L3
g1 (15 ) g2
"l determinante que aparece en el miembro i-quierdo de cada ecuación en ($>* puede ser desarrollado en el sentido algebraico corriente; el resultado se aplica posteriormente a las
x ( t ) , y ( t )
funciones
. Sin embargo, los determinantes de los segundos diferenciales
internos efectivamente actúan sobre las funciones
g1 ( t )
y
g2 ( t )
.
Si
| | L1 L3
L2 ≠0 L4
"n ($>* es un operador diferencial de orden n , entonces "l sistema ($1* puede ser descompuesto en dos ecuaciones diferenciales de orden
•
n en x y y . •
La ecuación caracter+stica y por lo tanto, la función complementaria de cada una de
•
estas ecuaciones diferenciales es la misma. x y uesto que tanto como contienen 2n
n
constantes, aparecen en total
constantes.
"l número total de constantes independientes que aparecen en la solución del
•
sistema es
n .
Si
| | L1 L3
L2 =0 L4
"n ($1*, entonces el sistema puede tener una solución que contiene un número cualquiera de constantes independientes, o puede, simplemente, no tener solución. 'bservaciones semejantes son validas para sistemas de mayor tama?o que el indicado en ($1*. "jemplo 2% !esolver
{
'
x = 3 x − y −1 ( 16 ) ' t y = x + y + 4 e
Solución%
"scribimos el sistema en términos de operadores diferenciales%
{
( D −3 ) x + y =−1 − x + ( D−1 ) y = 4 e t
@ luego usando determinante tenemos que
|−
D−3 1
ara
x
| −−
1
−1 t
4e
1
|| −
D−1
,
D −3 1
1
| |
D −1
y =
|
D − 3 −1 −1 4 e t
;
D 3 1
| |
D −1
x =
− =| | −
1
D 1
1
x
t
4e
1
|
D−1
[ ( D−3 ) ( D−1 ) −1 (−1 )] x =( D−1 ) (−1 ) −1 ∙ 4 e
t
( D − D −3 D + 3 +1 ) x =0 + 1− 4 e t 2
( D − 4 D + 4 ) x =1− 4 e t 2
"quivalente a x
' '
− 4 x ' + 4 x =1− 4 e t
:usquemos su solución, busquemos su solución 0omogénea, 0acemos x Su polinomio caracter+stico es
m
2
' '
− 4 x ' + 4 x =0
−4 m + 4 = 0
( m − 2 ) 2=0 m−2= 0 m=2
Sus ra+ces son reales y repetidos dos veces, por teorema, sus soluciones linealmente independientes son%
2t
x 1=e , x 2=t e
2 t
or el principio de superposición
x h=c 1 x 1 + c 2 x 2 2 t
x h=c 1 e + c2 t e
2 t
:usquemos su solución particular
y p
, usemos el método de los coeficientes
indeterminados. Supongamos que x p= A + B e '
t
' '
t
x p= B e
x p= B e Luego; x p
''
− 4 x p' + 4 x p=1− 4 e t
B e −4 B e + 4 ( A + B e )= 1−4 e t
t
t
t
t
t
t
B e −4 B e + 4 A + 4 B e =1− 4 e 4 A + B e
t
=1− 4 e t
3gualando tenemos que; 4 A
=1 , B =−4
A =
1 4
, B=−4
/s+; 1
t
x p= −4 e 4
t
t
or consecuencia
x = x h+ x p
2 t
2 t
1
t
x =c 1 e + c2 t e + −4 e (17 ) 4
or la naturale-a del ejercicio, podemos sustituir la ecuación ($6* en la primera ecuación y del sistema ($5* y buscamos a de una manera que quedara en términos de las constantes
c1
y
c2
y as+ evitamos el problema del duplicaje de constantes arbitrarias,
por lo que '
x =3 x − y −1
2 c1 e
(
)
1
+ c 2 ( 2 t e2 t + e2 t ) −4 et =3 c 1 e 2 t +c 2 t e 2t + − 4 e t − y −1
2 t
2 t
2 t
3
4
t
2 t
2 t
2t
t
y =3 c 1 e + 3 c2 t e + −12 e −1−2 c 1 e −2 c 2 t e − c2 e + 4 e 4
2t
2 t
2 t
1
t
y = c1 e −c 2 e + c 2 t e − −8 e 4
or lo tanto la solución del sistema de ecuaciones diferenciales planteado es%
c 1
1
4
4
(¿ ¿ 1 + c 2 t )e 2 t + −4 et , y =( c 1− c2 + c 2 t ) e2 t − − 8 et x =¿
Introducción
!eali-aremos este trabajo con la finalidad de adquirir más conocimientos en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad se eplicara cómo resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer y orden superior con métodos idénticos a los métodos usados en sistemas de ecuaciones algebraicos, y después de llegar a eliminar una variable, queda una ecuación diferencial de orden superior de una sola variable que se resuelve con los métodos antes conocidos en esta materia y esto se aplica con cada variable del sistema 0asta encontrar todas las variables del sistema y queda resuelto el problema de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios.
Conclusión
Aemos reali-ado este trabajo con la finalidad de afian-ar nuestros conocimientos sobre el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad estudiamos los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios a través del método de los operadores diferenciales que gracias a ellos podemos ver la relación inmensa que tienen la forma algebraica de resolverlos con los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales algebraicas vista en la preparatoria o bac0illerato. Una ve- que se aplica el método de eliminación de variable obtenemos una ecuación diferencial de orden superior con una sola variable la cual se resuelve por los métodos ya conocidos previos a este tema, esto se reali-a con todas las variables del sistema y al final se reducen el número de constantes en caso de aparecer un número de ellas igual al doble del orden de la ecuación obtenida con el método de eliminación o por el método de determinantes.
Bibliografía
"&U/&3'8"S #3B"!"8&3/L"S &'8 /L3&/&3'8"S /utor% Dennis G. Zill Segunda edición Crupo editorial 3beroamérica /?o de edición% $<77
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