Metodo de Maxima Verosimilitud Agosto 2015

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

HIDROLO GIA

INTRODUCCIÓN Muchos Muchos proce procedim dimien ientos tos estadí estadísti sticos cos supone suponen n que los datos datos siguen siguen algún algún tipo tipo de modelo modelo matemático que se define mediante una ecuación, en la que se desconoce alguno de sus parámetros, siendo éstos calculados o estimados a partir de la información obtenida en un estudio bien diseñado para tal fin. Existen Existen diferentes diferentes procedimient procedimientos os para estimar los coeficiente coeficientess de un modelo de regresión, o para estimar los parámetros de una distribución de probabilidad. e entre esos procedimientos probablemente el más !ersátil, "a que se puede aplicar en gran cantidad de situaciones, " por ello uno de los más empleado se conoce con el nombre de #método de máxima !erosimilitud# $en inglés #method of maximum li%elihood#&. 'unque para aquellos que tiene una formación estadística este método es perfectamente conocido " comprendido, sin embargo muchos de los usuarios de los programas estadísticos, que están habituados a calcular modelos de regresión logística, o modelos de super!i!encia de riesgo proporcional o de (ox, modelos de )oisson, " muchos otros, desconocen cómo se efectúa la estimación de los coeficientes de esos modelos, por lo que nos parece adecuado dedicar una de éstas páginas mensuales a describir su filosofía e interpretación. )or otro lado, no es infrecuente que empleemos técnicas de forma habitual " mecánica, sin conocer en qué se sustentan " en última instancia en qué consisten realmente* no me cabe ninguna duda que casi todo el mundo tiene claro qué es una distribución distribución de probabilidad probabilidad normal, normal, pero +cuánta +cuánta gente que utilia la t de -tudent sabe qué es realmente eso )odemos considerar que el método de máxima !erosimilitud, abre!iado a menudo como MLE, tal " como ho" lo conocemos e interpretamos fue propuesto por /isher por /isher $012340256&, $012340256&, aunque "a de una form forma a much mucho o más más arti artififici cios osa a fue fue inic inicial ialme ment nte e atis atisba bado do por por 7erno 7ernoulli ulli $083340816 $083340816&, &, cu"o planteamiento fue re!isado " modificado por su coetáneo " amigo el gran matemático Euler $08384 0819&. 0819&. -in embargo la resolución de los problemas numéricos planteados por este método en la ma"or parte de los casos son de tal magnitud que no ha sido posible su amplia utiliación hasta la llegada de los modernos ordenadores.

METODO DE LA MAXIMA VEROSIMILITUD


HIDROLO GIA

METODO DE MAXIMA DE VEROSIMILITUD OBJETIVOS: •

:uestro ob;eti!o es estimar el !alor de <. )ara ello, extraemos de la urna 6 bolas con reemplaamiento. -upongamos que la primera bola extra=>da es blanca $7& "

•

la segunda es negra $:&. El ob;eti!o es entonces construir funciones de los xi que permitan estimar los parámetros <. ?na función de x0,...,xn que no contiene parámetros desconocidos

•

se denomina estadística. ?na estadística que se utilia para estimar una propiedad de una pdf $media, !ariana, etc.& se llama un estimador.

APLICACIONES

@os métodos de máxima !erosimilitud $MMA& ofrecen un marco alternati!o a la estadística frecuentista con!encional, ale;ándose del uso del p4!alor para el rechao de una única hipótesis nula " optando por el uso de las !erosimilitudes para e!aluar el grado de apo"o en los datos a un con;unto de hipótesis alternati!as $o modelos& de interés para el in!estigador. Estos métodos han sido ampliamente aplicados en ecología en el marco de los modelos de !ecindad. ichos modelos usan una aproximación espacialmente explícita para describir procesos demográficos de plantas o procesos ecosistémicos en función de los atributos de los indi!iduos !ecinos. -e trata por tanto de modelos fenomenológicos cu"a principal utilidad radica en funcionar como herramientas de síntesis de los múltiples mecanismos por los que las especies pueden interactuar e influenciar su entorno, proporcionando una medida del efecto per cápita de indi!iduos de distintas características $e;. tamaño, especie, rasgos fisiológicos& sobre los procesos de interés. @a gran !enta;a de



HIDROLO GIA

aplicar los MMA en el marco de los modelos de !ecindad es que permite a;ustar " comparar múltiples modelos que usen distintos atributos de los !ecinos "Bo formas funcionales para seleccionar aquel con ma"or soporte empírico. e esta manera, cada modelo funcionará como un Cexperimento !irtualD para responder preguntas relacionadas con la magnitud " extensión espacial de los efectos de distintas especies coexistentes, " extraer conclusiones sobre posibles implicaciones para el funcionamiento de comunidades " ecosistemas. Este traba;o sintetia las técnicas de implementación de los MMA " los modelos de !ecindad en ecología terrestre, resumiendo su uso hasta la fecha " destacando nue!as líneas de aplicación

EL PRINCIPIO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD -upongamos que se desea estimar la pre!alencia en España de personas de más de 3 años con cifras de tensión igual o superior a 053B033 mmFg. Aamos a llamar a esa pre!alencia p " si se calcula en tanto por 0 será 3G p G0. )ara ello se obtiene una muestra aleatoria " representati!a de esa población de tamaño :. -upongamos que denotamos con la letra H el número de su;etos que presentan cifras tensionales iguales o superiores a los límites fi;ados en nuestra muestra. El !alor concreto que obser!aremos para H puede ser 3 $ningún su;eto&, 0, 6, hasta como máximo : $todos los su;etos&. En este e;emplo es raonable suponer que la !ariable aleatoria H, número de su;etos con cifras altas de tensión, que obser!aremos en nuestro estudio $es aleatoria porque si repetimos el traba;o con otra muestra diferente del mismo tamaño es poco probable que el !alor obser!ado sea exactamente el mismo& siga una distribución de probabilidad binomial, cu"a fórmula es la siguiente*

donde (H,: es el número combinatorio que se calcula como :IBHI$:4H&I )ara simplificar la exposición, supongamos que se utilia una muestra de :J633 su;etos. ?na !e que efectuamos el estudio conocemos el !alor de H " podemos calcular la probabilidad de obser!ar exactamente ese !alor para diferentes pre!alencias posibles en la población. Esa probabilidad que hemos llamado )$H& es función de :, H " pK luego conocidas las dos primeras !ariables podemos probar con distintos !alores de pre!alencia p " determinar qué !alor de pre!alencia en la población nos conduce a una ma"or )$H&, o lo que es lo mismo para qué !alor real de la pre!alencia en la



HIDROLO GIA

población es más probable que obser!emos ese !alor concreto de H en una muestra aleatoria de : su;etos. -upongamos que el número H de pacientes con cifras de tensión iguales o superiores al límite prefi;ado es de 53. )odemos plantear cuál es la probabilidad de obtener 53 su;etos hipertensos en una muestra de 633 personas si la pre!alencia real fuera de pJ3.6. -ubstitu"endo esos !alores en la ecuación L0 obtenemos )$H&J3.33366. -i la pre!alencia real fuera pJ3.9 el !alor de )$H& calculado sería 3.350N5, ma"or que el anteriorK " si pJ3.N entonces )$H&J3.33316, que también es menor que el calculado para pJ3.9. El método de máxima !erosimilitud nos dice que escogeremos como !alor estimado del parámetro aquél que tiene ma"or probabilidad de ocurrir según lo que hemos obser!ado, es decir aquél que es más compatible con los datos obser!ados, siempre suponiendo que es correcto el modelo matemático postulado. Ob!iamente no se trata de ir probando diferentes !alores del parámetro, en este caso de la pre!alencia p, para !er cuál es que proporciona un ma"or !alor de !erosimilitud. @a ecuación L0, una !e fi;ados en nuestro estudio : " H, es únicamente función de p, por lo que podemos representar en una gráfica el resultado de sustituir diferentes !alores de p en esa ecuación " obtendremos una gráfica como la de la figura 0, donde se !e que esa función tiene su !alor máximo para 3.9. @uego con ese modelo matemático 3.9 es el !alor de la pre!alencia más !erosímil de acuerdo con los datos que hemos obtenido en nuestro estudio $:J633, HJ53&

esde luego para poder representar esa gráfica, sal!o que dispongamos de un programa adecuado, también tenemos que calcular cada pare;a de !alores $Aerosimilitud,p& " además después dibu;arlos. -in embargo existe un procedimiento matemático para determinar el punto máximo o mínimo de una ecuación, que consiste en calcular la deri!ada de la función e igualar a



HIDROLO GIA

cero. -e trata en realidad de determinar, de forma matemática, la pendiente en cada punto $eso es la deri!ada& " en el punto máximo sabemos que la pendiente es cero $basta mirar la figura 0&. -i el lector toda!ía recuerda como se hacía eso " prueba con la ecuación L0, puede comprobar que el máximo de esa función se obtiene para el !alor de p calculado como HB:, que no es mas que la proporción de su;etos hipertensos obser!ada en nuestro estudio, lo que p or otro lado parece ob!io, pero resulta bastante tranquiliador que las matemáticas corroboren algo que nos parece ob!io, a saber que la estimación más !erosímil de una proporción a partir de una muestra aleatoria corresponde al cociente entre el número de sucesos partido por el tamaño de la muestra. -in embargo este raonamiento es general " ha" muchos casos en el que el resultado no es tan sencillo " sí es imprescindible la matemática para estimar los parámetros.

ESTIMACIÓN DE MODELOS POR EL MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD El método de máxima !erosimilitud se utilia por e;emplo para estimar los coeficientes de un modelo logístico de regresión, en el que se calcula la probabilidad de que ocurra un determinado suceso mediante la siguiente ecuación*

L6 donde p es la probabilidad de que ocurra el suceso de interés " x i son los posibles factores $factores de riesgo& que se piensa que están relacionados con la probabilidad de que el suceso se produca. 'hora a partir de los datos de la muestra, para los que hemos obser!ado si se ha producido o no el suceso, " a partir de los !alores de los factores de riesgo en cada caso de la muestra, se trata de estimar los !alores de los coeficientes bi en el modelo para cada factor de riesgo, lo que entre otras cosas nos permite calibrar el efecto de esos factores en la probabilidad de que el suceso ocurra. -i denominamos de forma compacta a esos coeficientes con la letra b $!ector de !alores&, " dado que los !alores de los factores x son conocidos para cada su;eto, la probabilidad p es función de los coeficientes b, " lo representamos como p=f(b). -i p es la probabilidad de que ocurra el suceso, la de que :O ocurra será 1-p, " entonces en los su;etos en los que ocurrió el suceso !endrá dada por p(x )i , mientras que para un su;eto en el que :O ocurre el suceso, se calcula como 1-p(x )i . -iendo ambas expresiones función de b.



HIDROLO GIA

-i la muestra es aleatoria " las obser!aciones son independientes entre sí, la probabilidad de que un su;eto de la muestra experimente el suceso es independiente de lo que le ocurra a cualquier otro, por lo que la probabilidad con;unta se calcula como el producto de las probabilidades indi!iduales " de esa forma obtenemos la función de !erosimilitud, que tiene en cuenta todos los datos de forma global, " será función únicamente de los coeficientes. e igual manera que antes se calculará la deri!ada de esa función, se iguala a cero " se obtienen los !alores de los coeficientes que maximian esa función. 'unque esto que se dice fácil, al menos en el modelo logístico, es algo más complicado de efectuar que de narrar. )ero de eso hablaremos en otra ocasión.

INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS EN EL MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 'l combinar obser!aciones independientes, hemos !isto que en el cálculo de la función de !erosimilitud inter!iene el producto de las probabilidades indi!iduales, por lo que habitualmente interesa tomar logaritmos, "a que éstos transforman los productos en sumas " los cocientes en restas. 'sí habitualmente !eremos en las salidas de los programas de ordenador el término @og4 li%ehood, que no es más que el logaritmo de la !erosimilitud. 'l tratarse de productos de probabilidades la función de !erosimilitud será siempre menor que 0 " por tanto su logaritmo será negati!o. @a función de !erosimilitud nos permite comparar modelos, por e;emplo dos modelos en el que en uno de ellos se inclu"e una !ariable adicional con respecto al primer modelo. @as diferencias en la función de !erosimilitud se alteran arbitrariamente con la escala de medida, por lo que la forma adecuada de compararlas es mediante cocientes. e ahí que cuando se comparan modelos que han sido estimados mediante este procedimiento se hable de cociente de !erosimilitud $li%elihood ratio&. (uando se trata de la estimación de modelos resulta de utilidad el concepto de modelo saturado. ?n modelo se denomina saturado cuando utilia tantos parámetros como obser!aciones hemos efectuado " por tanto se a;usta perfectamente a los datos. )odemos comparar el modelo actualmente estimado con ese modelo teórico perfecto mediante la expresión*



HIDROLO GIA

esa cantidad se denomina des!iación $de!iance en in glésK en algún lugar la he !isto traducida cono #des!iana#, término que no creo que exista en nuestro idioma " que a mi particularmente no me suena bien&. @a des!iación nos permite comparar modelos, por e;emplo un modelo que inclu"e una !ariable adicional* G=D(modelo 1 sin la variable) - D(modelo 2 con la variable) =

que se distribu"e según una chi6 con grados de libertad igual a la diferencia de parámetros entre modelos, que este caso es 0 grado de libertad. -e le denomina contraste de !erosimilitud. -i el contraste resulta ser no significati!o aceptamos que la incorporación de la nue!a !ariable no me;ora sensiblemente la !erosimilitud del modelo " por tanto no merece la pena incluirla en él. Pambién en las salidas de los programas suele aparecer el término li%elihood ratio o cociente de !erosimilitud para un modelo, sin que se especifique que se esté contrastando con otro diferente. En estos casos el contraste es frente al modelo que sólo inclu"e el término constante " por tanto no se consideran las !ariables H o los factores de riesgo, " se compara con el modelo que sí inclu"e las !ariables, por lo que ahora esa cantidad se distribu"e según una chi6 con grados de libertad igual al número de !ariables incluidas en el modelo, que es la diferencia frente al modelo con solo la constante. 'l igual que antes, si el contraste resulta no significati!o pensamos que incluir el conocimiento de las !ariables H no me;ora significati!amente la !erosimilitud del modelo " por lo tanto se trata de un modelo sin utilidad. 'ñadiendo más términos, más !ariables, a un modelo la función de !erosimilitud me;orará " si la muestra es grande será difícil distinguir mediante el contraste del cociente de !erosimilitud entre una me;ora #real# " una aportación tri!ial. El modelo perfecto no existe, puesto que todos constitu"en simplificaciones de la realidad " siempre son preferibles modelos con menos !ariables, puesto que además de ser más sencillos, son más estables " menos sometidos a sesgo. )or ello se han propuesto otras medidas de contraste entre modelos que penalian en alguna medida que éstos tengan muchos parámetros. @as más conocidas " que suelen figurar en las salidas de ordenador son el criterio de información de '%ai%e, 'Q(, " criterio de información ba"esiano, 7Q(.



HIDROLO GIA

AIC=-2(ln verosimilitud - nº parámetros)

En principio el criterio de selección será escoger modelos con !alores más ba;os de 'Q(. @a fórmula para el 7Q( es similar, así como su interpretación* BIC=G - l ! ln "

donde R es el cociente de !erosimilitud, gl son los grados de libertad " : el tamaño de la muestra. Pambién escogeremos modelos con menor !alor de 7Q(. ESTIMADORES DE MAXIMA VEROSIMILITUD Caso discreto •

-upongamos que tenemos una m.a.s. $H0, ..., Hn& de una !.a. discreta con distribuci=on )$xS<& conocida sal!o por los par=ametros <

•

?na !e realiada la muestra tenemos $x0, ..., xn& " estamos interesados en encontrar un estimador T< del par=ametro < que maximice la probabilidad de la muestra.

•

)ara una muestra dada, la funci=on de probabilidad de la muestra es

•

p$x0 J x0, ..., xn J xn& J qn iJ0 p$xi J xi& J qn iJ0 p$xi S<& J l$
•

-upongamos ahora que tenemos una m.a.s $H0, ..., Hn& de una !.a. continua con funci=on de densidad f$xS< conocida sal!o por lo s par=ametros <

•

?na !e realiada la muestra tenemos $x0, ..., xn& " estamos interesados en encontrar un estimador T< del parametro < que maximice la funci=on de densidad con;unta de la muestra.

•

)ara una muestra dada, la funci=on de densidad con;unta de la muestra es


UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

HIDROLO GIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

f$x0, ..., xn& J Vn iJ0 fHi $xi& J Vn iJ0 f$xi S<& J l$
Propiedade •

's>, el m=etodo de m=axima !erosimilitud consistir=a en encontrar el !alor T< que maximia la funci=on de !erosimilitud l$<&, que coincide con el !alor T< que maximia log l$<&.

•

El estimador de m=axima !erosimilitud T
•

El estimador de m=axima !erosimilitud T
es asintóticamente centrado: a medida !e crece el tama"no

•

m!estral el ses#o tiende a cero. si#!e asintóticamente !na distri$!ción normal con media % &

•

'arian(a )* +lo# l+%,,--. es !n estimador asintóticamente eciente: el de todos los estimadores

•

asintóticamente

centrados/

el

de

má0ima

'erosimilit!d tiene menor 'arian(a. es in'ariante: si 1%m' es el estimador de má0ima 'erosimilit!d de %/ entonces #+ 1%m', será el estimador de má0ima 'erosimilit!d de 2+%,/ para c!al!ier 3!nción 2 contin!a & $i&ecti'a.

EWEM)@O- E MXHQM' AEYO-QMQ@QP?*

En la ma"or parte de los casos de interés práctico, la le" tienen una expresión calculable en función de

" por tanto también la verosimilitud,

. )ara calcular el máximo de la !erosimilitud, es

necesario determinar los !alores para los cuales la deri!ada de la !erosimilitud se anula, pero por definición la !erosimilitud es un producto de probabilidades o de densidades, lo cual puede ser bastante complicado de deri!ar. Es preferible deri!ar una suma, " es por esto que comenamos por substituir la !erosimilitud por su logaritmo. 'l ser el logaritmo una función creciente, es equi!alente



HIDROLO GIA


maximiar de

o

. ?na !e determinado el !alor

para el cual la deri!ada se anula, ha" que asegurarse con la a"uda de la segunda deri!ada

que el punto en cuestión es realmente un máximo. Prataremos a continuación los casos de algunas familias clásicas.

Lees de Bernou!!i: El con;unto de los !alores posibles es

es

. -i

. El parámetro desconocido

es una muestra, !erosimilitud !ale*

-u logaritmo es*

@a deri!ada con respecto a

es*

Ella se anula en*

@a segunda deri!ada es*



Ella es estrictamente negati!a, el !alor

HIDROLO GIA

es efecti!amente un máximo. -i

una muestra de la le" de 7ernoulli de parámetro

, el estimador de máxima !erosimilitud de

es decir la frecuencia empírica. @e"es geométricas* El con;unto de !alores posibles es

es

, el parámetro desconocido

.

-i

es una muestra entera, la !erosimilitud !ale*

-u logaritmo es*


es*

Ella se anula en*


es

es*


HIDROLO GIA




una muestra de la le" geométrica de parámetro

es


es*

es decir el in!erso de la media empírica, lo que es coherente con el hecho que el

parámetro

es el in!erso de la esperana.

@e"es exponenciales* El parámetro desconocido es

. -e trata en este caso de le"es continuas,

la !erosimilitud es por tanto un producto de !alores de la densidad. )ara una

reales positi!os

ella !ale*

-u logaritmo es*


4tupla de números



HIDROLO GIA

es*

Ella se anula en*




una muestra de la le" exponencial de parámetro

es* parámetro

es


es decir el in!erso de la media empírica, lo que es coherente con el hecho que el es el in!erso de la esperana.

@e"es normales* )ara un parámetro multidimensional el principio es el mismo, pero los cálculos de optimiación son más complicados. )ara las le"es normales ha" dos parámetros desconocidos. )ara e!itar confusiones en las notaciones de las deri!adas, denotaremos por

!ariana, usualmente denotado por

. )ara una

4tupla de números reales

!erosimilitud !ale*


al parámetro de la

la


-u logaritmo es*

@as deri!adas parciales con respecto a los parámetros

"

son*

"

Ellas se anulan en*

" @as segundas deri!adas parciales son*


HIDROLO GIA


HIDROLO GIA


)or tanto la matri hessiana $matri de las segundas deri!adas parciales& en el punto

-us !alores propios son negati!os, el punto -i

es efecti!amente un máximo.

es una muestra de la le" normal de parámetros

de máxima !erosimilitud de

"

es*

"

, los estimadores

son respecti!amente la media " la !ariana empíricas de la

muestra, tal como era de esperar.



HIDROLO GIA

CONCLUSIONES! •

'naliando el estimador de la media muestral se conclu"e que para las distribuciones continuas " discretas los dos métodos de estimación traba;ados proporcionan las mismas medidas descripti!as con una precisión de tres dígitos como lo son* la media, la !ariana, el error promedio de estimación, coeficiente de %urtosis, coeficiente de asimetría, mínimo " máximo !alor obser!ados de los estimadores, límite superior e inferior de los inter!alos de confiana al 2Z para la media poblacional, longitud promedio de los inter!alos de confiana " sesgo de estimación, sin embargo para tamaños muestrales menores a 93 la longitud promedio de los inter!alos de confiana es menor al utiliar el método de

•

estimación Wac%nife frente al método con!encional de estimación para la media poblacional. (on el estimador de la mediana poblacional obtenida para distribuciones continuas como son la 7eta " ?niforme " para distintos !alores de los parámetros poblacionales de las mismas, podemos concluir que para tamaños muestrales impares el método de estimación Wac%nife obtiene !alores del estimador que no se encuentran en los dominios de las funciones de densidad respecti!as.

-in embargo para tamaños muestrales pares el

método de estimación Wac%nife " el método de estimación con!encional proporcionan las medidas descripti!as coincidentes con tres dígitos de precisión, además para tamaños muestrales menores a 93 se logra reducir la longitud promedio de los inter!alos de confiana al 2Z.

)ara la distribución :ormal se conclu"e que el método Wac%nife

funciona, puesto que, la función de densidad :ormal está definida en el inter!alo $4[, \[&.



•

HIDROLO GIA

'naliando el último estadístico de orden para distintos !alores de los parámetros poblacionales de la distribución Fipergeométrica el método de estimación Wac%nife no funciona en ningún casoK con la distribución 7inomial para el parámetro poblacional pG3.N el sesgo de estimación, el error de estimación promedio " la longitud promedio de los inter!alos de confiana al 2Z logra reducirse mediante la estimación Wac%nife frente a la estimación con!encional.

RECOMENDACIONES DE AL"UNOS INVESTI"ADORES:

•

(uando deseamos en algún traba;o de in!estigación realiar inferencias acerca de la media o de la !ariana poblacional de !ariables aleatorias continuas o discretas, " además traba;amos con estimadores insesgados para los parámetros poblacionales " tamaños muestrales ma"ores a 93K en estos casos resulta útil utiliar el método con!encional, "a que si bien es cierto ambos métodos proporcionan los mismos resultados, el método Wac%nife es un proceso intensi!o o de remuestreo. -i traba;amos con tamaños muestrales menores a 93 " deseamos que la longitud del inter!alo sea pequeña es me;or utiliar la estimación

•

Wac%nife. -i tratamos de estimar la mediana poblacional es me;or utiliar la estimación con!encional, "a que para tamaños muestrales impares el metodo Wac%nife no funciona " para tamaños muestrales pares funciona pero proporciona los mismos resultados que el método de

•

estimación con!encional, recordando que el método Wac%nife es un método intensi !o. -i tratamos de estimar el primer estadístico de orden, último estadístico de orden, !ariana utiliando el estimador de máxima !erosimilitud " coeficiente de correlación, es me;or utiliar el método de estimación con!encional, puesto que si en algunos casos expuestos en este traba;o se logra reducir ciertas medidas de interés como el sesgo de estimación, error de estimación promedio " longitud promedio de los inter!alos de confiana, está magnitud no



HIDROLO GIA

es considerable como para ;ustificar un método intensi!o por computador o de remuestreo, siempre " cuando traba;emos con tamaños muestrales grandes.

"ILIOGRAFIA 2ttp:445556.!'a.es4estadmed4in3eren4estima7p!nt4t8metod7m'e. 2tm 2ttp:44di#ital.csic.es4$itstream4*9;*4*<*=4*4>eratitis?9& ?9Dac!s?9m?>


HIDROLO GIA

METODO LO" PEARSON TIPO III


Metodo de Maxima Verosimilitud Agosto 2015

Recommend Documents