CURSO: ABASTECIMIENTO ABASTECIMIENTO DE AGUA A GUA Y ALCANTARILLAD A LCANTARILLADO O DOCENTE: Ing. FERMIN GARNICA TELLO ESTUDIANTES:
Apaza Vizcarra, Jaqueline Magaly
Huayta Huaman, Daymer Roussel
Tumbalobos Pillman, Yon Evert
Zabalaga Cari, Jean Eddú TACNA – PERU PERU 2018
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RECURSOS HÍDRICOS 2018-I
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo de investigación se presenta de modo que se estudie y predigan variables meteorológicas mediante el método de regresión lineal simple, el cual nos ayuda a tener relaciones entre dos variables, la varíale dependiente y la variable independiente. Ya que es esencial
conocer el efecto que una o varias variables pueden causar sobre
otra, e incluso predecir en mayor o menor grado valores en una variable a partir de otra
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MARCO TEORICO
REGRESIÓ LINEAL El análisis de regresión, es una técnica estadística
para
modelar e investigar la
relación entre dos o más variables. Puede usarse un análisis de regresión, para construir un modelo que sea óptimo y permita hacer predicciones. El científico inglés Sir Francis Galton (1822-1911), fue quien desarrolló el análisis de regresión, sus primeros experimentos con regresión comenzaron con un intento de analizar los patrones de crecimiento hereditarios de los guisantes. Animado por los resultados Sir Francis Galton extendió para incluir los patrones hereditarios de la estatura de las personas adultas. Descubrió que los niños que tienen padres altos o bajos tendían a regresar a la estatura promedio de la población adulta. En la regresión lineal simple se establece que Y es una función de solo una variable independiente, con frecuencia se denomina regresión bivariada porque solo hay dos variables una dependiente y una independiente.
Y 0
1 x ,
es conocido como modelo de regresión lineal simple,
porque solo tiene una variable independiente, regresor o predictor x, y una variable dependiente o variable respuesta Y. Las estimaciones de
0
y
1
deberán dar como resultado una recta que es “el
mejor ajuste para los datos. El científico alemán Karl Gauss propuso estimar los parámetros 0 y 1 a fin de minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales, utilizando el método de mínimos cuadrados.
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DETERMINACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Dadas n observaciones de la muestra, se pueden expresar como:
= 0
Y i
1 x
i
, i
i
1,2,3...n
Por lo tanto si tenemos que la ecuación
Y = i
0
1 xi
predice el i-ésimo valor de y (Cuando x=x i), la desviación del valor
observado de Y a partir de la recta
Y
, conocido también como error es (y i - y i), la suma
de los cuadrados de las desviaciones que deben minimizar es la siguiente: n
SCE=
i
2 i
1
n
( yi yi ) 2
i 1
n
( yi ( 0 1 xi )) 2
i 1
donde SCE también es llamado la suma de los cuadrados de los errores. Por tanto,
0
y
1
son los valores que minimizan SCE, así, se debe resolver el problema de programación no lineal sin restricciones. Para resolver esto se deriva parcialmente y luego se iguala a cero.
n i SCE
1
0
SCE 0
n
i 1
y xi i 0
1
2
0
2 { y i ( 0 1 xi )}
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n SCE 2 i
y
0
2
n
n
i
0
1
i 1
1
xi
Igualando a cero obtenemos el siguiente resultado. n
( x 1
x) ( y i y )
i
i 1 n
2 ( xi x)
i 1
Realizamos el mismo procedimiento para encontrar el valor de 1
SCE 0
n
i 1
2 y i xi xi 0
n SCE 2 xi y i i
0
1
n
n
0
1
i 1
i 1
xi 1
xi 2
Igualando a cero esta ecuación obtenemos el siguiente resultado de 0.
0
y
1
x
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2.1
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MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
El diagrama de dispersión o nube de puntos nos permitía visualizar la relación entre dos variables X e Y. Al representar el diagrama de dispersión podemos encontrar las siguientes situaciones:
Distribuciones estadísticas para las que la nube de puntos se dispone de tal forma que existe una función matemática cuyos puntos son una parte de su representación gráfica.
Sin coincidir exactamente sus puntos con las de una gráfica de una función matemática, se aproximan a ella con mayor o menor intensidad.
La nube de puntos presenta un aspecto tal que no existe concentración de puntos hacia ninguna gráfica matemática, distribuyéndose de una forma uniforme en una región del plano.
En el primer caso se dice que existe una dependencia funcional o exacta entre las variables X e Y, es decir existe una función matemática tal que Y = f(X). En el segundo caso se dice que existe una dependencia estadística o aproximada entre las dos variables, Y aprox f(X). Y en el último caso diríamos que las variables son independientes.
Es el segundo caso del que se ocupa la teoría de la regresión. Las técnicas de regresión tienen por objeto modelizar, es decir, encontrar una función que aproxime lo máximo posible la relación de dependencia estadística entre variables y predecir los valores de una de ellas: Y (Variable dependiente o explicada) a partir de los de la otra (o las otras): X (variables(s) independiente(s) ó explicativa(s)). Llamaremos regresión de Y sobre X a la función que explica la variable Y (dependiente) para cada valor de la X (independiente). Y f(X) Llamaremos regresión de X sobre Y a la función que explica la variable X (dependiente) para cada valor de la Y (independiente). X f(y) La regresión es lineal cuando el modelo función de regresión seleccionado es una recta. En cualquier otro caso se dice regresión no lineal. La regresión será simple cuando sólo
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tengamos una variable independiente. Cuando tengamos dos o más variables independientes, la regresión será múltiple (no se verá). El procedimiento será:
Elegir un tipo de función o curva que creamos que mejor relaciona las dos variables; esto lo podemos hacer observando la nube de puntos.
Obtener la ecuación de la curva, de entre las infinitas de dicho tipo que hay en el plano, que mejor se adapte al conjunto de puntos. El objetivo de obtener esa ecuación será predecir el valor de la variable Y dado un valor x 0 de la variable X.
Obtener una medida del grado de esta asociación o correlación. Esto me dará la fiabilidad de las predicciones que haga con esta ecuación.
2.1.1
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Dados los puntos (x 1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn), supongamos que hemos elegido una función y=f(x|a1,...,ar ) que queremos ajustar a ese conjunto de puntos y en la que intervienen r parámetros (a 1,...,ar ). Consideramos la nube de puntos correspondiente:
Para cada valor de X, (x i ) tenemos dos valores de Y:
El valor observado en la muestra (o en la nube de puntos ) yi. Otro que denominamos teórico, yi*, que se obtendría al sustituir x=x i en la función. Como se puede observar, para cada x i tenemos una diferencia entre los dos valores de Y, que llamaremos residuo: e i = yi - yi*. El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los parámetros (a 1,...,ar ) de tal forma que los residuos sean mínimos. Es decir, buscaremos minimizar la expresión:
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n
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n
ei
2
i 1
y i
*
yi
i 1
2
2
n
yi
f x i a1,...,a r
i 1
Es decir, minimizamos la suma de las distancias verticales de los puntos a la curva. La condición necesaria para obtener el mínimo es que las primeras derivadas parciales respecto a cada uno de los parámetros se anulen, es decir, a 1
0 a 2 . . . 0 a r 0
resolviendo este sistema, denominado sistema de ecuaciones normales, quedan determinados (a1,...,ar ), así como la correspondiente función.
2.1.2
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE.
RECTA DE REGRESIÓN En el modelo de regresión lineal simple la función elegida para aproximar la relación entre las variables es una recta, es decir y=a+bx, donde a,b son los parámetros. A esta recta la llamaremos RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X. Vamos a deducir su ecuación usando el método de los mínimos cuadrados. Dado un valor de X, x i, tenemos los dos valores de Y, el observado, y i , y el teórico, yi* = a + bxi. Así pues, hemos de minimizar: n
y a bx i
i 1
-
i
n 2
y i
a bx i
i 1
Que derivando respecto a a y a b e igualando a cero:
2
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2 y i a bx i 0 a i 2 y i a bx i x i 0 b i
-
Que nos dará un sistema de dos ecuaciones normales y dos incógnitas (a,b). Resolviendo el sistema:
y
a b x
i i i i xi y i ai x i bi x i2 i
i
na y i b xi i
x y i
i
y bx xi b xi2 i
x y i
y i
a y bx
i
i
i
n
i
i
x
i
i
bxnx b xi2
i
i
2 2 x nx i i
x i y i ynx b
i
S xy bS x2
b
S xy S 2x
Y obtenemos que la recta de regresión de Y sobre X es
y = a + bx con los valores
a y b anteriormente calculados, o bien la siguiente expresión: y
y
S xy
S 2x
x
x
Que sería la misma recta pero expresada en punto pendiente. A la pendiente b de la recta de regresión de Y sobre X se le denomina coeficiente de regresión de Y sobre X.
RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y Aplicando el mismo razonamiento llegaríamos a la expresión de la recta de regresión de X sobre Y x = a’ + b’y con
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S xy
b'
y
S 2y
a'
x
b' y
o bien:
x
x
S xy
S 2y
y
y
Igualmente a la pendiente b’ de la recta de regresión de X sobre Y se le denomina coeficiente de regresión de X sobre Y. NOTA: Hay que tener en cuenta que la recta de regresión de X sobre Y no se obtiene despejando X de la recta de regresión de Y sobre X.
2.1.3
MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE: CORRELACIÓN
VARIANZA RESIDUAL Para cada valor x i de X, obteníamos una diferencia (el residuo) entre el valor observado de Y en la nube de puntos y el correspondiente valor teórico obtenido en la función. Si todos los puntos de la nube están en la función, la dependencia será funcional; el grado de dependencia será el máximo posible. Cuanto más se alejen los puntos observados de la función (mayores sean los residuos) iremos perdiendo intensidad en la dependencia. Se define la VARIANZA RESIDUAL como la media de todos los residuos elevados al cuadrado:
S 2e
y i y i*
i
n
2
y i
a bx i
2
i
n
Si la varianza residual es grande los residuos serán grandes y la dependencia será pequeña, el ajuste será malo.
Si la varianza residual es pequeña (cerca de cero), la dependencia será grande, el ajuste será bueno.
Es fácil demostrar que la media de los residuos en la regresión lineal de Y sobre X es cero, es decir, e = 0. Por tanto la varianza residual recibe este nombre por ser la varianza de los residuos.
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VARIANZA DEBIDA A LA REGRESIÓN Nos sirve para ver en qué medida mejora la descripción de una variable a través de la otra. Llamaremos VARIANZA DEBIDA A LA REGRESIÓN a la varianza de los valores teóricos, es decir de los yi*. Se demuestra que y* = y , y así pues la varianza debida a la regresión será:
S
2 y*
y i* y
2
i
n
Se demuestra que Sy2 = Se2 + Sy*2 Es decir, la varianza total de la variable Y es la suma de dos varianzas: la varianza de Y*, que representaría la parte de la dispersión o variabilidad de la variable Y explicada por la regresión, o sea, por la relación lineal con la variable X y la varianza residual que representaría la parte de la variabilidad no explicada por la regresión. Así pues, cuando aumenta la varianza debida a la regresión, disminuye la varianza residual y el ajuste es bueno y al contrario.
2.1.4
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN El problema de la varianza residual es que vienen afectada por las unidades de medida y esto imposibilita la comparación de la dependencia entre grupos de variable. Teniendo en cuenta la relación entre los diferentes tipos de varianzas, podemos obtener una medida relativa (es decir, que no dependa de las unidades y esté entre cero y uno) de la bondad de ajuste dividiendo la varianza debida a la regresión entre la varianza total de Y. Se define el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN COMO:
2
R
S2y *
S2y
o bien
2
R
1
S2e S2y
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el coeficiente de determinación (multiplicado por cien) representa el porcentaje de la variabilidad de Y explicada por la recta de regresión, es decir por su relación con la variable X.
0 R2 1
Si R2 = 1 todos los residuos valen cero y el ajuste es perfecto; si R 2 = 0 el ajuste es inadecuado.
2.1.5
PREDICCIÓN El objetivo último de la regresión es la predicción de una variable para un valor determinado de la otra. La predicción de Y para X = x 0 será simplemente el valor obtenido en la recta de regresión de Y sobre X al sustituir el valor de x por x 0. Es claro que la fiabilidad de esta predicción será tanto mayor cuando mayor sea la correlación entre las variables (es decir mayor sea R 2 o r xy ).
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ANÁLISIS DE FRECUENCIAS DE PRECIPITACIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN DE WEIBULL. (CUADRO Y GRAFICO) EJEMPLO 01:
Efectuar el analisis de frecuencias de precipitaciones usando la ecuacion de WERBULL para la estacion Pachas (Moquegua) quecuenta con el registro del año 1984 hasat el año 2010 .
AÑO
P (mm)
P (mm)
m
Fq
Fd
F%
Tr=1/f (años)
1984
291.7
400.500
1
1/28
0.036
3.571
28.000
160400.25
1985
67.1
317.800
2
2/28
0.071
7.143
14.000
100996.84
1986
187.9
291.700
3
3/28
0.107
10.714
9.333
85088.89
1987
101.7
263.200
4
4/28
0.143
14.286
7.000
69274.24
1988
93.1
263.000
5
5/28
0.179
17.857
5.600
69169.00
1989
212
259.700
6
6/28
0.214
21.429
4.667
67444.09
1990
70.9
221.300
7
7/28
0.250
25.000
4.000
48973.69
1991
86
212.000
8
8/28
0.286
28.571
3.500
44944.00
1992
53.6
209.600
9
9/28
0.321
32.143
3.111
43932.16
1993
400.5
187.900
10
10/28
0.357
35.714
2.800
35306.41
1994
147
184.100
11
11/28
0.393
39.286
2.545
33892.81
1995
91.3
182.200
12
12/28
0.429
42.857
2.333
33196.84
1996
80.4
180.300
13
13/28
0.464
46.429
2.154
32508.09
1997
317.8
177.400
14
14/28
0.500
50.000
2.000
31470.76
1998
180.3
170.000
15
15/28
0.536
53.571
1.867
28900.00
1999
114
147.000
16
16/28
0.571
57.143
1.750
21609.00
2000
182.2
120.200
17
17/28
0.607
60.714
1.647
14448.04
2001
263.2
114.000
18
18/28
0.643
64.286
1.556
12996.00
2002
184.1
101.700
19
19/28
0.679
67.857
1.474
10342.89
2003
120.2
93.100
20
20/28
0.714
71.429
1.400
8667.61
2004
170
91.300
21
21/28
0.750
75.000
1.333
8335.69
2005
209.6
86.000
22
22/28
0.786
78.571
1.273
7396.00
2006
177.4
81.900
23
23/28
0.821
82.143
1.217
6707.61
2007
81.9
80.400
24
24/28
0.857
85.714
1.167
6464.16
2008
263
70.900
25
25/28
0.893
89.286
1.120
5026.81
2009
255.7
67.100
26
26/28
0.929
92.857
1.077
4502.41
2010
221.3
53.600
27
27/28
0.964
96.429
1.037
2872.96
∑
4627.9
28
∑
994867.25
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SOLUCION: a) Hallar la precipitación al P75% de probabilidad de ocurrencia. La precipitación al P75% es = 91.3 b) Hallar la precipitación al P95% de probabilidad de ocurrencia. No se tiene la precipitación al P95%, procedemos hacer la interpolación.
67.100
92.875%
P95%
95%
53.600
96.426%
P95% -53.600
67.1-53.6 ₌
95%-96.4%
P95% =
c)
92.9-96.4
59.021
Hallar la precipitación para 10 año s de retorno.
317.800
14
P10
10
291.700
9.3
P10 -291.700
317.8-291.7 ₌
10-9.3
P95% =
14-9.3
295.587
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d) GRAFICO PRECIPITACION (mm) VS TIEMPO (años). F%
P (mm)
3.571
400.5
7.143
317.800
10.714
291.700
14.286
263.2
17.857
263
21.429
255.7
25.000
221.3
28.571
212
32.143
209.6
35.714
187.9
39.286
184.1
42.857
182.2
46.429
180.3
50.000
177.4
53.571
170
57.143
147
60.714
120.2
64.286
114
67.857
101.7
71.429
93.1
75.000
91.3
78.571
86
82.143
81.9
85.714
80.4
89.286
70.9
92.857
67.1
96.429
53.6
e) cálculos adicionales. Precipitacion media
=
171.404 mm
Desviacion es tandar
88.06205191