73
UNIDAD III.- METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS INDETERMINADOS OBJETIVOS: 1. Analizar sistemas indeterminados aplicando el Método de las Fuerzas, determinando: •
Las reacciones y fuerzas internas de la estructura
•
Diagramas de esfuerzos en la estructura
2. Analizar
sistemas
indeterminados
utilizando
el
Método
de
los
desplazamientos (método de las rotaciones). 3. Aplicar el método de las rotaciones en sistemas hiperestáticos con un solo grado de desplazabilidad, determinando: •
Los momentos en los extremos de los miembros de la estructura.
•
Los diagramas de momentos de la estructura
4. Determinar los grados de desplazabilidad de una estructura 5. Establecer la imagen cinemática de una estructura.
74
INTRODUCCIÓN El análisis de una estructura indeterminada es, desde luego, más complicado que el de una estructura determinada correspondiente. Esto puede considerarse una pequeña desventaja, ya que el análisis representa generalmente un pequeño porcentaje del costo total.
El análisis estructural
normalmente incluye toda la labor relacionada con la evaluación de esfuerzos axiales, esfuerzos de corte y momentos flexionantes causados por cualquier acción que debe resistir la estructura. Cuando una estructura indeterminada se analiza por un método se necesita la solución de ecuaciones simultáneas que requieren una ecuación para cada grado de indeterminación. En este curso se analizarán dos métodos para resolver estos sistemas: el método de las fuerzas y el método de los desplazamientos (método de las rotaciones). Ambos métodos se basan principalmente en resolver un sistema de ecuaciones lineales, del mismo orden del grado de indeterminación. Si se utiliza el método de las fuerzas, se usará el grado de indeterminación estática, si se aplica el método de los desplazamientos, se usará el grado indeterminación geométrica o grados de hipergeometría. La elección para aplicar cualquiera de estos métodos se fundamenta en seleccionar
aquel
que
tenga
el
menor
grado
de
indeterminación
correspondiente, ya que a mayor número de incógnitas mayor será el tiempo de solución, tanto en forma manual como con el uso de computadoras, lo cual resulta costoso.
75
76
METODO DE LAS FUERZAS A este método también se le llama método general o método de las deformaciones consistentes, donde las incógnitas son las fuerzas redundantes de la estructura. Las redundantes de una estructura son aquellas fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o las sobrantes o superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio estático. En este método se necesita que sea definida una estructura primaria, la cual debe ser isostática (determinada) y estable, las fuerzas de esta estructura son las fuerzas primarias y pueden encontrarse solo por equilibrio. Hay más de una estructura primaria para una estructura indeterminada, y se selecciona la menos compleja dependiendo de las incógnitas que deseamos encontrar. Así por ejemplo en la siguiente estructura indeterminada, se tiene:
A
B
Es indeterminada en dos (2) grados, por lo tanto, dos redundantes. La estructura primaria debe ser isostática y estable, podrían ser cualquiera de los siguientes sistemas: 1)
2)
A
B
B
A
3) A
B
77
De estos sistemas isostáticos, el 1 y el 2 cumplen con las condiciones de sistema primario, ya que además de ser determinados son estables, lo que no ocurre con el caso 3, el cual a pesar de ser isostático por tener 3 unidades de vinculación, dos en B y una en A, no es estable, ya que los sistemas de apoyo le permiten movimiento inmediato, como la una rotación alrededor del punto A. Por otra parte, en el proceso del método de las fuerzas se imponen los requisitos de compatibilidad de la estructura. En efecto, se determina el valor particular de las redundantes debido a una distribución dada de cargas que provoca que la estructura se deforme de acuerdo con todas las condiciones de los soportes. En esencia, se encuentra aquellas fuerzas redundantes que dan desplazamientos consistentes con condiciones conocidas en los soportes o con alguna condición de compatibilidad interna. El método de las fuerzas se basa en el concepto en que los desplazamientos de la estructura debido a las cargas aplicadas y a las fuerzas redundantes dan como resultado una condición desplazada que satisface la compatibilidad de la estructura, internamente y en los soportes. Además se manipulan a las ecuaciones de equilibrio, las de compatibilidad y las relaciones entre fuerzas y desplazamientos para obtener un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Las n ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos en la dirección de las fuerzas redundantes, y las n incógnitas son las fuerzas redundantes. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones lineales para las redundantes, es posible encontrar las fuerzas finales de los miembros y el desplazamiento libre. Las ecuaciones de condición de deflexión de una estructura o ecuaciones
de
compatibilidad,
se
obtienen
por
superposición
de
desplazamientos causados por las cargas aplicadas, los esfuerzos y las cargas redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones redundantes son las deflexiones debidas a las reacciones y esfuerzos unitarios que pueden calcularse por el método de trabajo virtual (principio de las fuerzas
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virtuales). Estas ecuaciones de compatibilidad, se escriben una por cada punto de aplicación de una componente de esfuerzo (incógnita) o reacción redundante y matemáticamente se expresan así: D1 = D10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 +……………d1n.Xn D2 = D20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 +………..….d2n.Xn D3 = D30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 +……………d3n.Xn .
………………………………………………………………..
Dn = Dn0 + dn1.X1 + dn2.X2 + dn3.X3 +……………dnn.Xn Donde:
El miembro de la izquierda de cada ecuación (Di), representa el valor del desplazamiento total (asentamiento) en el punto de aplicación y dirección de la fuerza redundante respectiva. Este valor es casi siempre conocido o preestablecido.
El miembro de la derecha de cada ecuación
representa la suma de
todas las componentes de deflexión causada por las cargas reales y las componentes redundantes en el punto de aplicación y en la dirección de la componente redundante respectiva. Así se tiene que: D1: representa el desplazamiento total (asentamiento o deformación) en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1. D2: representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de la redundante X2 D3: Representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de la redundante X3. El termino Di0: representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante Xi debido al caso de carga 0. Estos términos se determinan aplicando trabajo virtual, donde el sistema real es el caso de cargas reales de la estructura y el sistema virtual es el caso de carga donde la redundante respectiva j, es igual a 1. Así por ejemplo:
79
D10: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1 debido al caso de carga 0. Así el sistema virtual será el caso 1, donde la redundante X1 es igual a 1, y el sistema real es el caso de cargas 0 ó sistema de cargas de la estructura original. D20: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X2 debido al caso de carga 0. D30: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X3 debido al caso de carga 0. El Término dij: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante Xi debido al caso de carga j. Este termino se determina aplicando trabajo virtual, donde el sistema virtual es el caso donde la redundante Xi es igual a 1, y el sistema real es el caso de carga donde la redundante Xj es igual a 1. Así por Ejemplo: d12: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la redundante X1 debido al caso de carga 2. Así, el caso virtual es donde la redundante X1 es igual a 1, y el caso real es donde la redundante X2 es igual 1. Procedimiento general. Los pasos generales pueden resumirse como sigue: 1. Se identifican los grados de indeterminación estática de la estructura (n) 2. Se selecciona el sistema primario de la estructura real 3. Se divide la estructura primaria en (n + 1) casos isostáticos, y se aplica el principio de superposición de efectos. 4. Se establecen las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos, una por cada grado de indeterminación (n). 5. Se determina mediante el método de trabajo virtual cada uno de los desplazamientos en los puntos de aplicación y dirección de las redundantes, debido a cada caso de carga (cargas reales y las redundantes como cargas), Dio, dij, siendo i, el punto de aplicación de la redundante y j ó o, el caso de carga que produce la respectiva deflexión.
80
6. Se sustituyen cada uno de los resultados del paso anterior en las ecuaciones de compatibilidad. 7. Se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos. 8. Se determinan las fuerzas finales en la estructura original debidas tanto a las cargas aplicadas como a las redundantes. 9. Se pueden construir los diagramas de los esfuerzos respectivos de la estructura, si son requeridos. EJEMPLO #1: En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: la reacción de momento en A. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 5.200 ton.m2. 2t A
B
C
1t/m
2EI
3m
1,5EI
3m
2m
4m
D Vd=0,001m
Solución: Grado de indeterminación Estática: Ie = 3NM +NR – NJ – NC Ie = 3x2 + 5 -3x3 -1 = 1 → n = 1→ se analizarán 2 casos isostáticos: caso 0, caso 1.
81
Sistema Primario 2t
X1
B
A
C
=
caso 0
+
2t
1t/m
X1=1 1t/m
2EI 3 m
1,5EI 3m
2m
caso 1
4m
D
vD=0,001m
vD=0,001m
Análisis del caso (0) Calculo de Reacciones: ∑MCA=0 +
-2x2+Rayx5 = 0 → RAy = 0,8t
∑Fy=0 +
RDy – 2+0,8 = 0 → RDy = 1,2 t
∑MCD=0 +
1x3x1,5-1,2x4+3. RDx = 0 → RDx = 0,1t
∑Fx=0 +
-1x3-0,1+ RAx = 0 → RAx = 3,1t
Despiece: 1,2
2t 3,1
2,4
3,1
3,1 0,8 1,2
1,2
3,1
1,2
1t/m 3t
vD=0,02m 1,2
82
0,1
Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB
Miembro: BC
Miembro: CD
2,4tm 2,4tm
2,5m
+
2,5m
+
+ 3m
2m 1,125 tm
Análisis del caso (1) Calculo de Reacciones:
X1=1 C
∑MCD=0 +
3 RCx -4 RCy = 0
∑MAD=0 +
3 RCx – 9 RCy+1 = 0
RCx = RCy = 0,2t
B A
3m
0,26t
D 5m
∑Fy=0 +
RCv – RAy = 0 → RAy = 0,2 t
∑Fx=0 +
-RCx + RAx = 0 → RAx = 0,26 t
4m
Despiece: 1t-m
0,26 3,6
0,26 0,2
1,28
0,2 0,26
0,2
83
0,26
Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB
Miembro: BC
Miembro: CD
1
5m 0,4
0,4
+
+
3m
2m
Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos: D1 = D10 + d11.X1 Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla: 1xDij +∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ] 2,4 1 1xD10+(-0,001x0,2)= 1/2EI
(
+
2,4 + 0,4
3m
3m
= 1/5200 L/6F (B1+2B2 )
1xD10-0,0002 = 1/2x5200
0,4 +
+ 2m
2m
+ 1/1,5 ( 1/3 ABL )
(3/6x2,4(1+2x0,4) + 1/3 (2,4x0,4x2 )
D10 = 0,0004692 1 1xd11 = 1/2EI
1xd11= 1/2x5200
1 +
+
5m
5m
(1/3 F.F´L)
d11 = 1/10400 =1/3x1x1x5
d11= 0,00016
84
D1 = D10 + d11.X1 0 = 0,0004692 + 0,00016 X1
X1 = -2,93t-m
X1 = 2,93t-m
EJEMPLO #2 En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: El momento en la junta E. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 4.200 ton.m2. 2t/m EI B
A vA=0,01m
EI
2EI
4m
1,5EI
C
D
2t-m 3m
2m
Solución:
Grado de indeterminación Estática: IND = 3NM +NR – NJ – NC IND = 3x3 + 4 -3x4 = 1
n=1
isostáticos: caso 0, caso 1.
85
se analizarán 2 casos
Sistema Primario
=
caso 0
2t/m EI B
B
vA=0,01
2EI
B
A
A
4m C
2t-m
caso 1
2t/m EI
A
EI
+
1,5E I 3m
X1
D
D C
C 2t-m
2m
Análisis del caso (0) Calculo de Reacciones: ∑MD=0 + ∑Fy=0 + ∑Fx=0 +
-2 - 2x3x3,5 + 2xRAy = 0 → RAy = 11,5t -2x3 + 8,5 - RDy = 0 → RDy = 5,5 t - REx = 0 → REx = 0 t
2t/m B
A
RAy
C
D
2t-m RDy
86
RDx
X1 D
Despiece:
2t/mEI
25,5t.m B
A
25,5t.m
5,5t
11,5t
B
5,5t
5,5t 25,5t.m
5,5t
27,5t.m
D
C 2t-m Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB
Miembro: BC
Miembro:
CD 4m +
3m
+
25,5
-
25,5
2m 16,5
27,5
3m Análisis del caso (1) Calculo de Reacciones: ∑MA=0 +
1-2RAy = 0 → RAy = 0,5t
∑Fy=0 +
RDv –0,5= 0 → RDy = 0,5t
∑Fx=0 +
RDx = 0 → RDx = 0t
B
A RAy 1t.m C
D RDy
87
Despiece:
1,5t.m B 1,5t.m
A 0,5t
0,5t
B
0.5t
0,5t 0,5t 1,5t.m
0,5t
1,5t.m
D
C
Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB Miembro: BC 3m
1t.m
Miembro: CD
4m
-
-
+
2m 3m
-
1,5
1,5
1,5
Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos: D1 = D10 + d11.X1 Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla: 1xDij + ∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx
88
]
25,5 1x D10+(0,5x0,01)=1/EI (
1,5
+
27,5 + 1/1,5 (
=1/5200
25,5 -
16,5
-
)+1/2( 1,5
1,5
-
+
) +
16,5
+
1
-
-
)
( 5/12ABL )+ 1/2(ABL) + 1/1,5(L/6(2A1 +A2)B + 1/6 ABL)
1x θE+0,005=1/5200 5/12x25,5x(-1,5)x3 + 1/2((25,5)x(-1,5)x4 + 1/1,5 ( 2/6(-2x27,5 - 16,5)x1,5 + 1/6(-16,5x-1x2) ) D10 = - 0,01719 1,5 1xd11= 1/EI
(
1,5
-
-
+
3
3
1,5
1,5
+ 3 1xd11= 1/4200
1,5
1,5
+
+
4 +
4
+
3
1
1
-
-
2
2
1/3ABL + 1/2 ABL + 1/1,5(1/3ABL + 1/3ABL)
1xd11=1/4200 1/3(-1,5x-1,5x3)+1/2(1,5x1,5x4)+1/1,5(1/3x1,5x1,5x3 + 1/3x1x1) d11 = 0,002044 D1 = D10 + d11.X1 0 = - 0,01719 + 0,002043 X1
X1 = 8,41 t-m
X1 = 8,41t-m
89
90
METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS TERMINOLOGIA BASICA Desplazamientos de las juntas de una estructura: Son las posibilidades de desplazamientos de dichas juntas de acuerdo a la vinculación existente. Sea la siguiente estructura, donde se muestran las componentes de desplazamientos de las juntas A, B, C y D. El vector desplazamiento en esta estructura es: θB uB θC vB vCC A D= θB B C θC uC θB vC θC
A
D uB
Siendo: uB,
uC: el
desplazamiento
uc
horizontal
de la junta B y
C
respectivamente. vB, vC: el desplazamiento vertical de la junta B y C respectivamente. θB, θC: el desplazamiento rotacional de la junta B y C respectivamente. Se toma el miembro de eje recto BC, y si genéricamente se denotan como i, j, estos dos extremos del miembro, es decir, el extremo izquierdo como i, y el extremo derecho como j. Bajo la acción de las cargas o solicitaciones externas ese miembro se deforma, siendo i` j` el nuevo eje del miembro i j deformado, como se muestra en la siguiente figura. ui
θi
θi ψij ψij ψij ψij
J`
θi
vj
I`
θi
vi i
uj
j
l l 91
Puede observarse que el desplazamiento de cada extremo tiene tres componentes: una componente horizontal u, una vertical v, y una angular o rotacional. También se presenta una rotación de la cuerda del miembro fij =fji, rotación del miembro como cuerpo rígido, que por ser muy pequeña puede considerarse igual a su tangente, es decir: tag fij = fij, de lo cual se deducen las siguientes expresiones: Vj – vi ψij = tg ψij = l Vj - vi θi = θi – ψij = θi – l Vj - vi θj = θj – ψij = θj – l Como el ángulo ψij es muy pequeño, puede considerarse el cambio de longitud ∆l = uj – ui. Miembro infinitamente rígido axialmente: un miembro cualquiera se considera infinitamente rígido axialmente, cuando es indeformable en la dirección de su eje ongitudinal, ello equivale a establecer que no cambia de longitud, es decir: ∆l = uj – ui = 0
ui = uj, con lo cual el número de grados
de libertad del miembro ij se ha reducido a cinco, y son: ui vi D =
θi vj θj
Grados de Desplazabilidad de una estructura: Los miembros de una estructura son capaces de sufrir rotaciones como cuerpos rígidos de acuerdo a su vinculación existente tanto interna como externa: Estas rotaciones (f), dependen por tanto de los desplazamientos de la estructura como cuerpos rígidos (grados
92
de libertad como cuerpo rígido), y son independientes de las rotaciones que, como cuerpo elástico, puedan sufrir las juntas de dicha estructura. Imagen Cinemática: Se define como imagen cinemática de una estructura, a aquella que resulta de eliminar las componentes de momento en los extremos de sus miembros, al colocar articulaciones o pasadores en todas las juntas de la estructura, obteniendo así un mecanismo cinemática o hipostático (inestable), es decir con grados de libertad (GL), pero como cuerpo rígido. Se infiere entonces que: el número de grados de desplazabilidad (GD) de una estructura es igual al número de grados de libertad (GL) de su imagen cinemática: GD = GL
DESCRIPCION DEL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS El método de los desplazamientos se ocupa del análisis de las estructuras indeterminadas geométricamente; para ello utiliza las ecuaciones de equilibrio estático, teniendo como incógnitas los desplazamientos. El número de desplazamientos incógnitas es igual a la indeterminación geométrica que posee la estructura. Esta indeterminación geométrica depende a su vez si se consideran o no las deformaciones por fuerza axial, Ig y I`g, respectivamente. En este curso se analizarán estructuras indeterminadas geométricamente despreciando las deformaciones por fuerza axial y de corte, I`g, en vista de que el ángulo de rotación (fij) de los miembros de la estructura como cuerpo rígido es muy pequeño. El método de los desplazamientos se fundamente en la resolución de dos sistemas: el sistema primario y el sistema complementario. Características del Sistema Primario: •
Es la misma estructura original, con todas sus solicitaciones externas
93
•
Se le aplican en las juntas los vínculos necesarios para impedir todo grado de libertad o los desplazamientos incógnitas.
•
Aparecen reacciones adicionales en las junta, producidas por los vínculos añadidos actuando en sentido antihorario.
Características del Sistema Complementario: •
Esta constituido por la estructura original, cuyas solicitaciones únicamente son las reacciones del sistema primario pero actuando en sentido contrario.
•
En este sistema se manifiestan los grados de libertad o los desplazamientos incógnitas de la estructura, tanto como cuerpo rígido como cuerpo elástico.
Momentos en los extremos de los miembros de la estructura: sean Mij, Mijº y MijC, los momentos en el extremo i del miembro ij correspondiente a los sistemas: original,
primario y al complementario respectivamente. Estos
momentos serán positivos cuando giren en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativo cuando giren en el sentido contrario. Esta convención de signos, se aplicará en adelante en el desarrollo del método de los desplazamientos y es valida para cualquier momento, sea externo o interno, en un miembro o en una junta. En la siguiente figura se esquematiza esta convención de signo adoptada.
i
+
j
i
-
J
Procedimiento General. 1.
Se calcula el Grado de Indeterminación Geométrica: I`g = θ R + GD , donde
θ R representa las rotaciones de las juntas rígidas internas.
94
2.
Se determina el grado de desplazabilidad de la estructura, GD, obteniendo
los grados de libertad de la imagen cinemática. 3.
Se divide el sistema en dos subsistemas: primario y complementario
4.
Se analiza el sistema primario:
a)
Se determinan los momentos de empotramiento por cargas
externas, para ello se utiliza la siguiente tabla donde se presentan los casos de cargas más utilizados con sus respectivos valores de empotramiento: MOMENTOS DE
TIPO DE CARGA
EMPOTRAMIENTO Mij Mji 2 2 wl - wl 12 12
Pab 2
L Mb(2 − 3 b ) L L wl 2 8 Pab ( b + L) 2 L2 b2 M 1 − 3 2 L 2
1)
2)
- Pba
2
L2 Ma(2 − 3 a ) L L 0 0 0 A
B a
b
a
b
a
b
a
b
3) 4) 95
2
5)
6)
b)
Se aplican las ecuaciones de rotación al sistema primario para
determinar los Mij0 2.
Se analiza el sistema complementario:
a)
Se analiza la imagen cinemática de la estructura original, haciendo
girar a uno de sus miembros el grado de desplazabilidad (α). b)
Se determinan las rotaciones ψij de cada miembro y los
desplazamientos lineales en los puntos de aplicación de las cargas externas aplicadas en la estructura original, todos en función de α. c)
Se aplican las ecuaciones de rotación y se determinan los
momentos complementarios MijC en función de las incógnitas, θi y α, que aportan las juntas rígidas del problema y el desplazamiento como cuerpo rígido de la estructura original, respectivamente. 3.
Se suman los momentos primarios y los complementarios para obtener los
momentos definitivos en los extremos de cada miembro: Mij = Mij0 + MijC 4.
Se aplica el equilibrio de juntas, a las juntas rígidas del problema,
obteniendo así un número de ecuaciones igual al número de juntas rígidas de la estructura. 5.
Se aplica el principio de trabajo virtual para cuerpos rígidos, Wve=0, a la
imagen cinemática de la estructura con todas las cargas externas del problema original, encontrando así otra ecuación en función de las incógnitas del problema, θi y α.
96
6.
Se tiene entonces un sistema de igual número de incógnitas que de
ecuaciones, el cual se resuelve para las incógnitas del problema, θi y α. 7.
Los valores obtenidos de la solución del sistema de ecuaciones, θi y α, se
sustituyen en las ecuaciones de momentos definitivos y se determinan M ij los para cada uno de los extremos de los miembros. 8.
Se calculan las reacciones de la estructura original usando las ecuaciones
de equilibrio estático y se dibujan los diagramas de fuerza cortante y de momento.
Ecuaciones de Rotación para Miembros de Eje Recto y de Sección Constante:
M ij = M E ij + 2 EK ( 2θ i + θ j − 3ψ ij ) M ji = M E ji + 2 EK ( 2θ j + θ i − 3ψ ij ) 1) Si Mji es conocido, entonces se usará la siguiente formula:
(
)
E E M ij = M ij + 1 M ji − M ji + 3EK (ϑi − ψ ij ) 2 2) Si Mij es conocido, entonces se usará la siguiente formula:
M ji = M ji + 1 E
2
(M
ij
− M ij
E
) + 3EK (θ
j
−ψ ij )
EJEMPLO: 1.-Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos. 2t/m A
2EK
B 3t.m
1,5EK
EK
3m
3m
4m 97
C
Solución: 1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica: I`g = θ R + GD , 2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los Grados de Libertad de la Imagen Cinemática: Cada miembro tiene dos polos absolutos, por lo tanto ninguno de ellos puede realizar ningún tipo de movimiento como cuerpo
O1, O2, O3 1
O3
2
rígido, entonces
el grado de
libertad de la imagen cinemática O1 es cero.; lo que implica que el
3
grado de desplazabilidad de la
O2
estructura
también
sea
Esto es: CLIC = GDE = 0
→ ψ AB = ψ BC = ψ cd = 0 3.- Se determinan los Momentos de Empotramientos usando la tabla, dependiendo del tipo de carga: MEAB = 0 WL2 2 ∗ 32 MEBA = == -2,25t.m 8 8 WL2 2 ∗ 4 2 = = 2,67t.m 12 12 WL2 2 ∗ 42 MECB= == -2,67t.m 12 12 MEBD= 0 MEBC=
98
cero,
MEDB= 0 4.- Se determinan los Momentos Primarios: M0AB= 0 E 0 E M0BA= M BA + 1 2 M AB − M AB = −2,25 M0BC= M E BC = 2,67 M0CB= M E CB = −2,67 M0BD= 0 M0DB= 0
(
)
5.- Se determinan los Momentos Complementarios: MCAB= 0 MCBA= 3EK (θB – ψAB ) = 3EK θB MCBC= 2*1,5EK (2θB + θC –3 ψBC ) = 6EK θB MCCB= 2*1,5EK (2θC + θB –3 ψBC ) = 3EK θB MCBD= 2EK(2θB + θD –3 ψBD ) = 4EK θB MCDB= 2EK(2θD + θB –3 ψBD ) = 2EK θB 6.-Se determinan los Momentos Definitivos
Mij = Mij0 + MijC MAB= 0 MBA= -2,25 + 3EK θB MBC= 2,67 + 6K θB MCB= -2,67 + 3EK θB MBD= 4EK θB MDB= 2EK θB 7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:
∑MB= 3t.m MBA + MBC + MBD = 3 -2,25 + 3EK θB + 2,67 + 6EK θB + 4EK θB = 3 → 13EK θB = 2,58
Ec. 1
8.-Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas → EK θB = 2,58/13 = 0,198462 9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los valores de los momentos en los extremos de los miembros. MAB= 0
99
MBA= -2,25 + 3*0,198462 = -1,65 t.m MBC= 2,67 + 6*0,198462= 3,86 t.m MCB= -2,67 + 3*0,198462= -2,07 MBD= 4*0,198462= 0,79 t.m MDB= 2*0,198462= 0,40 t.m
Despiece: 3t.m C A
B
MAB= 0 MBA= -1,65 t.m MBC= 3,86 t.m MCB= -2,07 MBD= 0,79 t.m MDB= 0,40 t.m
D EJEMPLO 2. Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos. 1t/m B 3tm
.
EK EK
3m
C 2EK 2t.
A
3m D 100 4m
2m
Solución: 1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica: I`g = θ R + GD , 2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los Grados de Libertad de la Imagen Cinemática: Cada
O2 4
O12
polo
2
rodillo
en
la
dirección
del
si el sistema se estabiliza, entonces tiene un solo grado de libertad, sino ocurre así,
O23
se le siguen añadiendo rodillos hasta que
1 O1
∆1
solo
desplazamiento de uno de los miembros,
1x4
α
un
como cuerpo rígido, entonces se coloca un
x = 3α
tiene
absoluto, indica que el sistema se mueve
γ
O
miembro
se estabilice y el grado de libertad será 3
2t
igual a la cantidad de rodillos necesarios para estabilizar la imagen cinemática. En
β
este caso el grado de libertad de la O3
α ∆2 β y+6 6 = → y = 12 6 2 x 3α tagα = α = → x = 3α ,...........β = → β = 1 / 2α 3 6 3 γ = γ → γ = 1 / 4α ..... ⇒ ψ AB = α ,ψ BC = −α / 4,ψ CD = α / 2 12 ∆1 = 1 / 2α .3 → ∆1 = 3 / 2α ,.....∆ 2 = 2γ = 2.1 / 4α → ∆ 2 = 1 / 2α
101
imagen cinemática es igual a 1; lo que implica que el grado de desplazabilidad de la estructura también sea uno, los ψij ≠ 0, en función de una rotación de uno de los miembros (α), Esto es: CLIC = GDE = 0
→ ψ AB ≠ ψ BC ≠ ψ BD ≠ ψ DE ≠ 0
3.- Momentos de Empotramiento: Según tabla MEAB= 0 MEBA=0 MEBC=0 MECB=-W2/8=-1x42/8 => MECB=-2t-m MECD= Pab2/L2= 2x2x22/42 => MECD=1t-m MEDC=-1t-m 4.- Se determinan los Momentos Primarios: M0AB= 0 M0BA=-3 M0BC=0 M0CB= MECB+1/2(M0BC – MEBC) = -2 0 M CD=1t-m M0DC=-1t-m 5.- Se determinan los Momentos Complementarios: MCAB= 0 MCBA= 0 MCBC= 0 MCCB= 3EK (θC – ψBC ) = 6EK θc +3EKα/4 MCCD= 2EK(2θC + θD –3 ψCD ) = 8EK θC - 6EK α MCDC= 2EK(2θD + θC –3 ψCD ) = 4EK θC - 6EK α 6.-Se determinan los Momentos Definitivos
Mij = Mij0 + MijC MAB= 0 MBA= -3 MBC= 0 MCB= -2+6EK θc +3EKα/4 MCD= 1+8EK θC - 6EK α MDC= -1+4EK θC - 6EK α 7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:
102
∑MC= 0t.m MCB + MCD = 0 -2+6EK θc +3EKα/4+1+8EK θC - 6EK α = 0 → 14EK θC – 21/4EK α = 1 → Ec. 1 8.-Se aplica trabajo virtual a la imagen cinemática (cuerpo rígido) y se obtiene la segunda ecuación: WvE = 0 (MAB+MBA)ψAB+ (MBC+MCB)ψBC+(MCD+MDC)ψCD +1*4t/m*1/2 α + 2t*3/2 α = 0 (-3) α + (-2+6EK θc +3EKα/4)(-3/4 α) + (12EKθc- 12EK α) α/2 + 2 α + 3 α = 0 (-3 + 1/2 -3/2EK θc -3/16EK α +6EK θc-6EK α + 5) α = 0 9/2EK θc + 99/16EK α = -5/2 → EC. 2 9.- resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas → EK θC = -0,06293 EK α = -0,35828 9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los momentos definitivos en los extremos de los miembros. MAB= 0 MBA= -3 MBC= 0 MCB= -2+6EK θc +3EKα/4 = -2+6 (-0,06293) +3/4(-0,35828)= -2,64 t-m MCD= 1+8EK θC - 6EK α = 1+ 8(-0,06293)-6(-0,35828) = 2,64 t-m MDC= -1+4EK θC - 6EK α = -1 + 4(-0,06293)- 6(-0,35828) = 0,90 t-m
103
BIBLIOGRAFÍA MCCORMAC, Nelson. (2002) “Análisis Estructural: Métodos clásicos y matriciales”, 2da Edición. Alfa omega, México ASLAM, Kassimali. (2001), “Análisis Estructural”, 2da Edición, Thomson Editores s.a. de C. V., México JEFFREY,
Laible.
(1998).
“Análisis
Estructural”,
Nueva
Edictorial
Interamericana, S.A. de C. V., México. RC HIBBELER, (1997). “Análisis Estructural”, 3era Edición, Prentice Hall, México. TIMOSHENKO
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA AREA DE TECNOLOGIA PROGRAMA INGENIERIA CIVIL DPTO ESTRUCTURA
Trabajo presentado como requisito para optar a la Categoría de Profesor Asociado
AUTOR: PROF. ZULAY ROSENDO DE MORA Santa Ana de Coro, Enero 2006
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