Metodo de Transporte

Método de Transporte

Descripción del problema de transporte

1.Un conjunto de m puntos de suministro a partir 1.Un de los cuales se envia envia un bien. El punto de suministro abastece a lo mas Si unidades. 2.Un conjunto de n puntos de demanda a los que 2.Un se envía el bien. El punto de demanda j debe recibir a lo menos dj unidades del bien. 3.Cada unidad producida en el punto de 3.Cada suministro suministro i y enviada al punto de demanda j incurre en un costo Cij

Método de Transporte 

Modelo 



Determinación de un plan de costo mínimo para transportar mercancías desde varia fuentes (ej. Fabrica, CD) a varios destinos (ej. Almacenes, Bodegas)

Objetivo del Modelo 

Determinar la cantidad (Xij) que se enviará de cada fuente de suministro (i) a punto de demanda (j), tal que minimice el costo total


Supuesto 



El costo de transportar en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas

Datos del Modelo 

 

Nivel de oferta (recurso) en cada fuente u origen (Si) Cantidad de demanda en cada destino (d j) Costo de transporte unitario (C ij) del bien entre cada fuente de suministro (i) y cada destino (j)


Representación del Modelo Fuentes de Suministro S1

1

Destinos c11, X11 1

Unidades de oferta

S2

2

2

. . .

. . .

Sm

m

n cmn, Xmn

nodo

Red de m fuentes y n destinos

arco

Ruta por la cual se transporta el mercadería

d1 d2 dn

Unidades de demanda


Función Objetivo Minimizar Z = Σm Σn cijxij



Restricciones 

La suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta 



Σ xij ≤ Si

i = 1,2,…., m

La suma de los envíos a un destino desti no debe satisfacer la demanda 



i=1 j=1

Σ xij ≥ di

j = 1,2,…., n

No - Negatividad 

xij ≥ 0

para todas las i y j




El modelo descrito implica que la oferta total (ΣSi) debe ser cuando menos igual a la demanda total( Σd j) Cuando la oferta total es igual a la demanda total (ΣSi = Σd j) , la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado

Análisis de Caso MG MG Auto Co. 









MG Auto Co. tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleans. Sus centros de distribución principales están ubicados en Denver y Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos. El costo de transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 8 centavos por milla.




El diagrama de la distancia recorrida (millas) entre las plantas y centros de distribución es el siguiente: El costo por automóvil calculado a partir del costo por milla recorrido (redondeados a números enteros) son los siguientes

Denver

Miami

Los Ángeles

1000

2690

Detroit

1250

1350

Nueva Orleans

1275

850

Denver

Miami

Los Ángeles

80

215

Detroit

100

108

Nueva Orleans

102

68


Variables de Decisión xij = Nº de automóviles transportados de la planta i (fuente) al centro de distribución j (destino) 



Función Objetivo Minimizar Z = 80x11 + 215x12 + 100X21 + 108x22 + 102x31 + 68x32 Sujeto a Restricciones de Capacidad en Planta 





x11 + x12 

Restricciones de Demanda x11 +



x21 + x22

x21 + x12 + x22

x31 + x 32

≤ 1000 ≤ 1500 ≤ 1200

x31 + x32

≥ 2300 ≥ 1400

Restricciones de No – Negatividad xij ≥ 0 para todas las i y j


Uso de Tabla de Transporte 

Tabla en forma de matriz donde sus filas representan las fuentes y sus columnas representan los destinos. Los elementos de costo c ij se resumen en la esquina superior derecha de la celda en la matriz (i,j) Fuentes Los Ángeles Detroit Nueva Orleans Demanda

Destinos Denver Miami c11 c12 x11 x12 c21 c22 x21 x22 c31 c32 x31 X32 2300 1400

Oferta 1000 1500 1200


Uso de Tabla de Transporte 

Los elementos de costo c ij se resumen en la esquina superior derecha de la celda en la matriz (i,j) Fuentes Los Ángeles Detroit Nueva Orleans Demanda

Destinos Denver Miami 80 215 x11 x12 100 108 x21 x22 102 68 x31 X32 2300 1400

Oferta 1000 1500 1200


Suponga que en el caso MG Auto Co. No se desea enviar vehículos desde la planta de Detroit al centro de Distribución de Denver. ¿Cómo se puede incorporar esta condición en el modelo de MG Auto Co.?

Modelo de Transporte en Desequilibrio 

Cuando la oferta total ( ΣSi) es menor que la demanda total (Σdj) 

Suponga que en el caso MG Auto Auto Co. Co. la capacidad de la planta en Detroit baja de 1500 a 1300  La oferta total ( ΣS = 1000+1300+1200 = 3500) < i que la demanda total ( Σd j = 2300 + 1400 = 3700)  No será posible cubrir la Dda. en los centros de distribución


Reformulación del problema de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante = 3700 – 3500 = 200 Agregar una Fuente (planta) Ficticia con capacidad igual a la capacidad que falta ( 200 automóviles) Se permite que la planta ficticia, en condiciones normales, envíe su producción a todos los centros de distribución Como la planta no existe y no habrá ningún envío físico, el costo de transporte unitario corresponde al costo de escasez, en caso de no existir se asigna costo cero. 





Modelo de Transporte en Desequilibrio

Fuentes Los Ángeles Detroit Nueva Orleans Planta Ficticia Demanda

Destinos Denver Miami 80 215 x11 x12 100 108 x21 x22 102 68 x31 X32 0 0 x41 X42 2300 1400

Oferta 1000 1300 1200 200


Cuando la oferta total ( ΣSi) es mayor que la demanda total (Σdj) 

Suponga que que en el caso MG Auto Co. Co. la demanda en el centro de distribución de Denver disminuye a 1900  La oferta total ( ΣS = 1000+1500+1200 = 3700) > la i demanda total (Σd j = 1900+ 1400 = 3300)


Reformulación del problema de transporte de manera que distribuya la sobrante = 3700 – 3300 = 400 Agregar un Destino (centro de distribución) Ficticio con demanda igual al excedente de producción (400 automóviles) Se permite que el destino ficticio, en condiciones normales, recibe automóviles desde todos los centros de distribución Como el centro de distribución no existe y no habrá ningún envío físico, el costo de transporte unitario correspondiente es cero 





Modelo de Transporte en Desequilibrio

Fuente Los Ángeles Detroit Nueva Orleans Demanda

Denver 80 x11 100 x21 102 x31 1900

Destino Miami Centro Ficticio 215 0 x12 x13 108 0 x22 x23 68 0 X32 X33 1400 400

Oferta 1000 1500 1200

Modelo de Transporte en Lindo MODEL SETS: PLANTAS/P1,P2,P3,…./:CAP; DEMANDAS/D1,D2,…./:DEM;

ARCOS(PLANTAS,DEMANDAS):COSTOS,EMBARQUE; ENDSETS MIN=@SUM(ARCOS:COSTOS*EMBARQUES) @FOR(DEMANDAS(J): @SUM(PLANTAS(I):EMBARQUE(I,J))≥DEM(J));

@FOR(PLANTAS(I): @SUM(DEMANDAS(J):EMBARQUE(I,J))≤CAP(I));

DATA: CAP=1000,1300,1200; DEM=2300,1200; COSTOS=80,215, 100, 108 102, 68; ENDDATA END

Solución del Método Simplex de Transporte 

Formato de la tabla de transporte m orígenes n destinos Si recursos en el origen i Demanda di en el destino j Costo Cij por unidad distribuida desde el origen i al destino j

Costo por Unidad Distribuida



Fuentes (origen)

  

1 2 . m Demanda





Formato tabla de coeficientes de restricciones X11

X12

…

X1n

X21

X22

…

X2n

Xm1

…

2 .

2

C11 C21 . Cm1 d1

C12 C22 . Cm2 d2

Xm2

…

……

n

…….

C1n C2n . Cmn dn

…

……

d1 d2

1

S1 S2 . Sm

Xmn

.

.

m

2

1

S1 S2

1 …

Recursos

Destinos

Sm

…

…

n

dn

Restricciones de Origen

Restricciones de Demanda


Método Simplex Simplificado o Simplex de Transporte 1. El método simplex de transporte no utiliza variables artificiales 2. La fila (0) actual se puede obtener sin usar ninguna otra fila, con solo calcular los valores de u i y v j. 

Como cada variable básica debe tener coeficiente cero en la fila (0), estos valores se pueden obtener resolviendo el sistema de ecuaciones: cij - ui - v j = 0 para cada i y j tal que Xij es variable básica 



Lo cual se puede hacer de manera directa de la tabla de costos

Reglón cero de tabla simplex después de cualquier iteración





VB

EC

Z

Xij

Xj

Xm+j

Z

0

-1

Cij - ui - vj

M-ui

M-vj

LADO DERECHO

ui = múltiplo del reglón i original que se resto (de manera directa o indirecta) del reglón 0 original en todas las iteraciones del método simplex que condujeron al tableau actual v j = múltiplo del reglón m+j original que se resto (de manera directa o indirecta) del reglón 0 original en todas las iteraciones iteraciones del método simplex que condujeron al tableau actual

Reglón cero de tabla simplex después de cualquier iteración 





Si Xij es una variable no básica Cij - ui - v j se interpreta como la tasa a la que cambiaria Z si se aumenta el valor de Xij El reglón 0 puede obtenerse obtenerse sin utilizar ningún otro reglón, tan solo con calcular los valores de ui y vj de manera manera directa. Como cada variable básica debe un coeficiente igual a cero en el reglón 0, estos valores se pueden obtener obtener de u i y v j si de resuelve el sistema de ecuaciones C ij – ui – v j = 0 para toda i,j tal que X ij es VB


Método Simplex Simplificado o Simplex de Transporte 3. La variable básica que sale se puede identificar de manera sencilla, ya que el modelo permite ver cómo debe cambiar la solución cuando crece el valor de la variable entrante. 

Como resultado, la nueva solución básica se puede identificar sin cálculos posteriores en la tabla simplex


Para el desarrollo del modelo de transporte a mano es conveniente registrar esta información en la tabla simplex de transporte Destinos 1

Fuentes

2

Recursos

n

……

1

c11

c12

……

C1n

2

c21

C21

……

c2n

……

cm1

3m Demanda

cm1

d1

d2

cmn

……

dn

…..

Información adicional que se agrega en cada celda: Si Xij es una variable básica

Si Xij es una variable no básica

cij (Xij)

cij cij – ui - v j

S2 …

v j 

S1

Sm Z=

ui

Solución del Modelo de Transporte 

Etapa : Determinar una solución

Destinos

factible inicial   





Recursos

Regla de la Esquina Noroeste Método de Costo Mínimo Método de Aproximación de Vogel

1

3

10

1 Etapa : Determinar la variable que entra, que se elige entre las variables no-básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad Origen 2 (método Simplex), detenerse; de lo contrario continuar con el paso 3

Etapa : Determinar la variable que sale (condición de factibilidad) de entre las variables de la solución inicial básica actual y obtener una nueva solución básica. Regresar al paso 2

2

x11

x12

12 x21

Demanda

20 x13

7 x22

0 3

0

4

14

11 x14

9 x23 16

15

20 x24

25

18

x31

x32

x33

x34

5

15

15

10

5 45

Solución Básica: Regla de la Esquina Noroeste 

Determinación de la Solución Inicial

Se requiere que ΣSi = Σd j 



Este requisito da origen a m + n – 1 ecuaciones independientes Por lo tanto, una solución factible debe incluir m + n – 1 variables básicas.

Solución Básica: Regla de la Esquina Noroeste 













Asignar la máxima cantidad posible a la variable X 11 de manera que se satisfaga totalmente la demanda (columna) o bien, se agote el recurso (fila). Se tacha la columna ( o fila) haciendo que las variables sean iguales a cero. Cuando simultáneamente se satisfacen una columna o fila, solo se tacha una de ellas. Esta condición garantiza la ubicación automática de las variables NO-básicas cero, si las hay. Ajustar la cantidad de recursos y demanda de todas las filas y columnas no tachados. La cantidad factible máxima se asigna al primer elemento de la nueva columna (fila). El proceso se termina cuando se deja de tachar exactamente una fila o una columna.

N

Solución Básica: O

Regla de la Esquina Noroeste 

X11 = 5 



Como se satisface la demanda , se tacha la columna 1 Los recursos en la fila 1 se reducen a 10

Destinos Recursos 1

2 10

1

x11= 5 X11

3 0

x12

12 Origen 2

x21

3 Demanda

20 x13

7 x22

0

4

14

11 x14

9 x23 16

15 / 10

20 x24

25

18

x31

x32

x33

x34

5

15

15

10

5 45

N



X11 = 5 






Destinos Recursos 1 10 1

X12 = 10 



Como se agota el recurso se tacha la fila Falta satisfacer una demanda de 5 unidades en la columna 2

2

3 0

X11 =5 X12x12 =10 12

Origen 2

x21

3 Demanda

20 x13

7 x22

0

4

14

11 x14

9 x23 16

15 / 10

20 x24

25

18

x31

x32

x33

x34

5

15/ 5

15

10

5 45

N



X11 = 5 





X12 = 10 





Como se satisface la demanda , se tacha la columna 1 Los recursos en la fila 1 se reducen a 10 Como se agota el recurso se tacha la fila 1 Falta satisfacer una demanda de 5 unidades en la columna 2

X22 = 5 



Como se satisface la demanda, se tacha la columna 2 Los recursos en la fila 2 se reducen a 20 unidades

Destinos Recursos 1

2 10

1

3 0

X11 = 5 X12 = 10 12

Origen 2

x21

3 Demanda

20 x13

7 X22x22 =5

0

4

14

11 x14

9 x23 16

15 / 10

20 x24

25 / 20

18

x31

x32

x33

x34

5

15/ 5

15

10

5 45

N



X23 = 15 Como se satisface la demanda , se tacha la columna 3 Los recursos en la fila 2 se reducen a 5

Destinos Recursos



1

2 10



1

3 0

X11 = 5 X12 = 10 12

Origen 2

x21

Demanda

20 x13

7

14

11 x14

9

X22 = 5 X23x23 =15 0

3

4

16

15 / 10

20 x24

25 / --20 5

18

x31

x32

x33

x34

5

15/ 5

15

10

5 45

N



X23 = 15 






Destinos Recursos 1 10 1

X24 = 5 



Como se agota el recurso se tacha la fila 2 Falta satisfacer una demanda de 5 unidades en la columna 4

2

3 0

X11 = 5 X12 = 10 12

Origen 2

x21

Demanda

20 x13

7

11 x14

9

14

16

15 / 10

20

X22 = 5 X23 = 15 X24x24= 5 0

3

4

25 / --20 5

18

x31

x32

x33

x34

5

15/ 5

15

10 / 5

5 45

N



X23 = 15 





X24 = 5 





Como se satisface la demanda , se tacha la columna 3 Los recursos en la fila 2 se reducen a 5 Como se agota el recurso se tacha la fila 2 Falta satisfacer una demanda de 5 unidades en la columna 4

Destinos Recursos 1

2 10

1



0

X11 = 5 X12 = 10 12

Origen 2

x21

3 Como se satisface simultáneamente la demanda y se agota la oferta, solo se tacha la fila 3 o la Demanda columna 4. El proceso termina

4

20 x13

7

11 x14

9

14

16

15 / 10

20

X22 = 5 X23 = 15 X24 = 5 0

X34 = 5 

3

25 / --20 5

18

x31

x32

x33

X34x34= 5

5

15/ 5

15

/ 10 5

5 45

N



Solución Básica Inicial Las variables básicas son: X11=5, X12=10, X22=5, X23=15, X24=5 y X34=5

Destinos Recursos



1







Las variables restantes son No- básicas e iguales a cero

El costo de transporte asociado es: Z = 5*10 + 10*0+ 5*7 + 15*9 + 5*20 + 5*18 = $ 410

3

10

 

2

1

0

X11 = 5 X12 = 10 12

Origen 2

x21

Demanda

20 x13

7

11 x14

9

14

16

15

20

X22 = 5 X23 = 15 X24 = 5 0

3

4

25

18

x31

x32

x33

X34 = 5

5

15

15

10

5 45

Solución Básica: Método del costo Mínimo 

Asignar el valor más grande posible a la variable con el menor costo unitario en toda la tabla Los empates se rompen en forma arbitraria Ajustar los recursos (fila) y demanda (columna) Tachar la fila o columna satisfecha Si una fila o columna se satisfacen simultáneamente solo una puede tacharse Repetir el proceso asignando el mayor valor posible a la variable con menor costo unitario, hasta que quede una columna o fila sin tachar Determinar el resto de las variables sin asignación

Destinos 1

2

3

Recurso s

4













10 1

x11

0 x12

12

Origen 2

x21 0

3 Demanda

20 x13

7 x22 14

9 x23 16

11 x14

15

20 x24

25

18

x31

x32

x33

x34

5

15

15

10

5 45


X12 y X31 tienen costos c12 = 0 y c31 = 0, se elige X 12  





X12 = 15 Se satisface la demanda y la oferta. La nueva demanda es cero y la nueva oferta es cero Se tacha la columna 2

Se elige X31  



X31 = 5 Se satisface la demanda y la oferta. La nueva demanda es cero y la nueva oferta es cero Se tacha la fila 3

Destinos Recursos 1

2 10

1

x11

3 0

X12x12 =15

12 Origen 2

x21

3

Demanda

20 x13

7 x22

0

4

14

11 x14

9 x23 16

20 x24

25

18

Xx3131=5

x32

x33

x34

--5

--15 0

15

10

0

15 --- 0

--- 50 45


Se elige X23, c23 = 9  



X23 = 15 Se satisface la demanda. La nueva demanda es cero y la nueva oferta es 25 -15 = 10 Se tacha la columna 3

Destinos Recursos 1

2 10

1

3 0

x11= 0 X12x12=15 X11 12



Se elige X11, c11 = 10 

 

Como la demanda y oferta restantes son cero X11 = 0 Se tacha la columna 1

Origen 2

x21

3

Demanda

20 x13

7 x22

0

4

x14 9

X23x23 =15

14

11

16

20 x24

x32

x33

x34

--5

--15 0

--15

10

0

--25 10

18

Xx3131=5

0

15 --- 0

--- 50 45


Como solo queda una columna sin tachar se determinan las variables básicas remanentes:  





X14 = 0 X24 = 10

Costo = 0*10 + 15*0 + 0*11 + 15*9 + 10*20 + 5*0 = $ 335 Este costo es menor que el obtenido por la regla de la Esquina Noroeste

Destinos Recursos 1

2 10

1

3 0

x11= 0 X12x12=15 X11 12

Origen 2

x21

3

Demanda

20 x13

7 x22

0

4 11 X14x14 =0

9

20

X23x23 =15 X24x24 =10

14

16

x32

x33

x34

--5

--15 0

--15

10

0

--25 10

18

Xx3131=5

0

15 --- 0

--- 50 45

Solución Básica: Método de Aproximación de Vogel (VAM) 





Método heurístico que suele producir una mejor solución inicial que los dos métodos anteriores. VAM suele producir una solución inicial óptima, o próxima al óptimo

Costa de tres pasos


PASO 1: 

Evaluar una penalización para cada fila (columna) restando el 1 menor elemento de costo de la fila (columna) del elemento de costo menor siguiente en la misma fila Origen 2 (columna) 3 Demanda



1 10 x11 12 x21 0 x31 5

Filas   

F1: 10 – 0 = 10;Penalización = 10 F2: 9 – 7 = 2; Penalización = 2 F3: 14 – 0 = 14; Penalización = 14

1 1 Origen 2 3 Demanda

10 x11 12 x21 0 x31 5

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23 14 16 x32 x33 15 15 Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23 14 16 x32 x33 15 15

Recursos

4 11 x14 20 x24 18 x34 10

15 25 5

Recursos Penalización

4 11 x14 20 x24 18 x34 10

15

10

25

2

5

14




PASO 1

1 1

Columnas    

C1: 10 – 0 = 10; Penalización = 10 C2: 7 – 0 = 7; Penalización = 7 C3: 16 – 0 = 16; Penalización = 16 C4: 18 – 11 = 7; Penalización = 7

Origen 2 3 Demanda

10 x11 12 x21 0 x31 5 1

1 Origen

2 3

Demanda Penalización

10 x11 12 x21 0 x31 5 10

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23 14 16 x32 x33 15 15 Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23 14 16 x32 x33 15 15 7 7


4 11 x14 20 x24 18 x34 10

15

10

25

2

5

14


4 11 x14 20 x24 18 x34 10 7

15

10

25

2

5

14


PASO 2: Identifique la fila o columna con la mayor penalización, rompiendo empates en forma arbitraria. 

 





Fila 3

Asigne el mayor valor posible a la variable con el costo más bajo de la fila o columna seleccionada.

Ajústese la oferta y la demanda y táchese la fila o columna satisfecha. Si una fila o columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo una de ellas debe tacharse, y a la fila (columna) restante se le asigna una oferta (demanda) cero. Cualquier fila o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras (en el paso

3)

Destinos 1 2 3 10 0 20 1 x11 x12 x13 12 7 9 Origen 2 x21 x22 x23 0 14 16 3 x32 x33 X31x31= 5 Demanda 15 15 05 Penalización 10 7 7 Destinos 1 2 3 10 0 20 1 x12 x13 12 7 9 Origen 2 x22 x23 0 3 X31=5 Demanda 0 15 15 Penalización


4 11 x14 20 x24 18 x34 10 7

15

10

25

2

05

14


4 11 x14 20 x24

15 25 0

10


PASO 3:

a)si a) si solo hay una filo o columna sin tachar deténgase 1 b)Si b) Si solo hay una fila (columna) con oferta (demanda) positiva sin tachar, determínese las variables básicas de la Origen 2 fila (columna) a través del método de costo mínimo 3 c) Si todas las filas y columnas sin tachar Demanda tienen oferta y demanda cero (asignadas), determínese las variables Penalización básicas cero a través del método de costo mínimo. Deténgase d)De d) De lo contrario, calcúlense las penalizaciones de las filas y columnas no tachadas y después diríjase al paso 2. 1 (Las filas y columnas con oferta y demanda cero asignadas no deben utilizarse para determinar penalizaciones. Origen 2  Nuevo

(

conjunto de penalizaciones

la fila 3 con oferta cero no se utiliza)

3 Demanda Penalización Penaliza ción

1 10 12 0 X31=5 0

1 10 12 0 X31=5 0 -

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23


4 11 x14 20 x24

15 25 0

15

15

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23

15 7

15 11

10 Recursos Penalización

4 11 x14 20 x24

10 9

15

11

25

2

0

---




Nuevo conjunto de penalizaciones La fila 1 y columna 3 empatan con c on penalización = 11. 

 



Se elige la columna 3 en forma arbitraria Se asigna X 23 = 15 Se ajusta la demanda a cero y la oferta a 25-15 = 10 Se elimina la columna 3

1 10

1 Origen

12

2 3

Demanda Penalización Penaliza ción

0 X31=5 0 1

1 Origen

2 3


10 12 0 X31=5 0

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 x22 x23

15 7

15 11

Destinos 2 3 0 20 x12 x13 7 9 X22 X23 =15


4 11 x14 20 x24

15

11

25

2

0

---

10 9 Recursos Penalización

4 11 x14 20 x24

15 10 0

15

0

10




Nuevo conjunto de penalizaciones Se elige la fila 2  



Se asigna X22 = 10 Se ajusta la oferta a cero y la demanda a 15-10 = 5 Se tacha la fila 2

1 10

1 Origen

12

2

0 X31=5 0 -

3 Demanda Penalización

1 Origen

2 3


Destinos 2 3 0 20 x12 7 9 X22 X23 =15

15 7

0 -

Destinos 1 2 3 10 0 20 x12 12 7 9 X22 = 10 X23 =15 0 X31=5 0 5 0


4 11 x14 20 x24

15

11

10

13

0

-

10 9 Recursos Penalización

4 11 x14 20 x24

15 0 0

10


Siguientes Aplicaciones:   



X12 = 5; se tacha la columna c olumna 2 X14 = 10; se tacha la fila 1 y X24 = 0

Costo = 5*0 + 10*11 + 10*7 + 15*9 + 0*20 + 5*0 = $ 335

Destinos 1 2 3 10 0 20 x12 12 7 9 X22 = 10 X23 =15 0 X31=5 0 5 0

1 Origen

2 3


1 Origen

2 3



4 11 x14 20 x24

15 0 0

10

Destinos Penalizació Recursos n 1 2 3 4 10 0 20 11 15 X12 = 5 X14 = 10 12 7 9 20 0 X22 = 10 X23 =15 X24 = 0 0 0 X31=5 0 5 0 10



Una compañía tiene tres plantas que fabrican cierto producto que debe mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1,2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 cargas al mes. La distancia en millas desde cada planta a los respectivos centros de distribución dis tribución es la siguiente. Plantas





Centros de Distribución 1

2

3

4

1

800

1300

400

700

2

1100

1400

600

1000

3

600

1200

800

900

El costo del flete por cada embarque es de $100 mas $0,50/milla Se desea determinar cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total del transporte Formule el problema como un problema de transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada Obtenga la solución inicial por el método del costo mínimo y posteriormente utilice esta solución inicial. para resolver el problema. 



Modelo de Transporte Transporte Centros de Distribución Plantas Recursos 1 2 3 4 500 750 300 450 1 12 X11 X12 X13 X14 650 800 400 600 2 17 X21 X22 X23 X24 400 700 500 550 3 11 X31 X32 X33 X34 10 10 10 10 Z=? Demada

Esquina Noroeste Plantas 1 2

3 Demada

Centros de Distribución Recursos 1 2 3 4 500 750 300 450 12 10 2 650 800 400 600 17 8 9 400 700 500 550 11 1 10 10 10 10 10 $ 22.500

Costo Minimo Plantas 1 2 3 Demada

Centros de Distribución Recursos 1 2 3 4 500 750 300 450 12 10 2 650 800 400 600 17 7 10 400 700 500 550 11 10 1 10 10 10 10 $ 20.650 Vogel Plantas 1 2 3 Demada

Centros de Distribución Recursos 1 2 3 4 500 750 300 450 12 2 10 650 800 400 600 17 7 10 400 700 500 550 11 10 1 10 10 10 10 $ 20.300



Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilowatts-hora (kWh), suministran electricidad a tres t res ciudades cuyas demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de kWh. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de kWh es la siguiente: s iguiente: Planta 1 2 3



1 600 320 500

Ciudad 2 700 300 480

3 400 350 450

Durante el mes de agosto se incrementa un 20% de la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comprar electricidad adicional de otra red a un precio de 1000 u.m. por millón de kWh. Sin embargo, esta red red no está conectada conectada a la ciudad 3. 



Formule el problema como uno de transporte con el fin fi n de establecer el plan de distribución más económico desde el punto de vista de la compañía eléctrica. Obtenga una solución inicial básica mediante los métodos de esquina noroeste, costo mínimo y Vogel.

Planta 1 2 3 Dda.

600

Ciudad 2 700

320

300

350

500

480

450

1

30

35

Recursos

3 400

25 40 30

25

Modelo de Transporte Planta 1 2 3 4 Dda.

Ciudad 1

2

Recursos

3

600

700

400

320

300

350

500

480

450

1000

1000

M

36

42

30

25 40 30 13

Z=?

Esquina Noroeste Planta 1 2 3 4 Dda.

1 600

Ciudad 2 700

Recursos

3 400

25

25

320 11

500

300

40

29

480 13

1000

350 450

30

17

1000

M

13

13

36

42

$ 41.110

30

Costo Minimo Planta

1 600

1

4 Dda.

Recursos

3 400 25

320

2 3

Ciudad 2 700 300

350

480

450

40

500 23

1000

2

5

1000

M

13

36

42

30

25 40 30 13

$ 49.710

Vogel Planta

Ciudad 1

2 600

1

4 Dda.

700

400 25

320

2 3

Recursos

3

300

350

480

450

40

500 23

1000

2

5

1000

M

13

36

42

30

25 40 30 13

$ 49.710

Determinación de la Variable de Entrada 

Prueba de Optimidad por Método de Multiplicadores La variable que entra será la variable no básica de la solución s olución inicial, con la variable C*pq más positiva 



Cálculo de 



Se asocian los multiplicadores ui y vj con la fila i y la columna j de la tabla

de transporte Para cada variable básica X ij de la solución actual, los multiplicadores ui y v j deben satisfacer la ecuación dada por:

ui + v j = Cij

 

para cada variable Xij

Se producen m + n – 1 ecuaciones con m+n incógnitas Los valores de los multiplicadores se obtienen suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (en general u i se hace igual a cero) y

se resuelven las m + n – 1 ecuaciones de los m + n – 1 multiplicadores desconocidos restantes 

La evaluación de cada variable no básica X pq esta dada por:


Solución Inicial Regla de Esquina Noroeste: 

Variables Básicas:



Con Costos c11 = 10 c22 = 7 c24 = 20

X11 = 5, X22 = 5, X24 = 5,

X12= 10, X23= 15, X34= 5 Recurso

c12 = 0 c23 = 9 c25 = 18

10 5

0

20

11

7

9 15 16

20 5 18 5 10

10 12 5 0

Demanda

5

14 15

15

15 25

5


Ecuaciones asociadas a la Solución Básica 

      

Multiplicadores asociados a las Variable Básica X jj : ui + v j = cij Dado u1 X11: u1 + v1 = c11 v1 = v1 = v2 = v3 = v4 = X12: u1 + v2 = c12 v2 = 10 0 20 11 X22: u2 + v2 = c22 u2 = u1 = 5 10 X23: u2 + v3 = c23 v3 = 12 7 9 20 u2 = X24: u2 + v4 = c24 v4 = 5 15 5 X34: u3 + v4 = c34 u3 = 0 14 16 18 u3 =

Demanda

5

15

15

5 10

Recurso 15 25 5


Ecuaciones asociadas a la Solución Básica 

Multiplicadores asociados a las Variable Básica X jj : ui + v j = cij

Sea u1= 0 X11: u1 + v1 = 10 X12: u1 + v2 = 0 X22: u2 + v2 = 7 X23: u2 + v3 = 9 X24: u2 + v4 = 20 X34: u3 + v4 = 18      

v1 = 10 v2 = 0 u2 = 7 v3 = 2 v4 = 13 u3 = 5

v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13 Recurso u1 = 0

10 5

11

7

9 15 16

20

5 0

u3 = 5 Demanda

20

10 12

u2 = 7

0

5

14 15

15

5 18 5 10

15 25 5


Cálculo de multiplicadores de variables básicas usando la tabla de costos 

Multiplicadores asociados a las Variable Básica Xjj : ui + vj = cij

Sea u1= 0 X11: u1 + v1 = 10 X12: u1 + v2 = 0 X22: u2 + v2 = 7 X23: u2 + v3 = 9 X24: u2 + v4 = 20 X34: u3 + v4 = 18      

v1 = 10 v2 = 0 u2 = 7 v3 = 2 v4 = 13 u3 = 5

v1 = u1 = 0

10 5

v3 = 0

20

11

7

9 15 16

20 5 18 5 10

5 0

u3 = 5

v4 =

10 12

u2 =

Demanda

v2 =

14

15

15

Recurso 15

25 5


Multiplicadores asociados a las Variable Básica

Soluciones de Variables No Básicas, Xpq



Cpq* = up + vq – Cpq v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13 Recurso u1 = 0

10 5

11

7

9 15 16

20 5 18 5 10

5 0

u3 = 5 Demanda

20

10 12

u2 = 7

0

5

14 15

15

15 25 5

v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13 Recurso 20 11 5 10 C13* C14* 12 7 9 20 u2 = 7 C * 5 15 5 21 0 14 16 18 u3 = 5 5 C31* C32* C33* Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

10

0

15 25 5


Multiplicadores asociados a las Variable Básica

Soluciones de Variables No Básicas, Xpq



Cpq* = up + vq – Cpq

v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13 Recurso u1 = 0

10

5

7 5

0

u3 = 5 5

20

11

10 12

u2 = 7

Demanda

0

14 15

9 15 16 15

20 5 18 5 10

15

 

25

 

5

 

X13 X14 X21 X31 X32 X33

     

C13* = u1 + v3 – C13 C14* = u1 + v4 – C14 C21* = u2 + v1 – C21 C31* = u3 + v1 – C31 C32* = u3 + v2 – C32 C33* = u3 + v3 – C33


Multiplicadores asociados a las Variable Básica v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13 Recurso

u1 = 0

10 5

7 5

0

u3 = 5 5

20

11

10 12

u2 = 7 Demanda

0

14 15

9 15 16 15

20 5 18 5 10

15 25 5

Soluciones de Variables No Básicas, Xpq :



     

X13: X14: X21: X31: X32: X33:

C* = up + vq – Cpq C*13 = u1 + v3 – C13 = 0 + 2 – 20 = -18 C*14 = u1 + v4 – C14 = 0 + 13 – 11 = 2 C*21 = u2 + v1 – C21 = 7 + 10 – 12 = 5 C*31 = u3 + v1 – C31 = 5 + 10 – 0 = 15 C*32 = u3 + v2 – C32 = 5 + 0 – 14 = - 9 C*33 = u3 + v3 – C33 = 5 + 2 – 16 = - 9


Uso de la tabla de costos para determinar C*pq asociada a las variables no básicas, Xpq :

C*pq = up + vq – Cpq

v1 = 10 v2 = 0 v3 = 2 v4 = 13Recurso u1 = 0

10 5

7 5

0

u3 = 5 5

20

11

10 12

u2 = 7 Demanda

0

14 15

9 15 16 15

20 5 18 5 10

15 25 5

v1 = 10 v2 = 0 10

u1 = 0

5

u2 = 7 C*23=

v3 = 2 v4 = 13 Recurso

0 10

12

C*13= 7

5

20

11 C*13=

9

15 0 14 16 C*33= u3 = 5 C*31= C*32= Demanda 5 15 15

20 5 18 5 10

15

25 5


La solución no es óptima

La variable que entra será la variable no básica de la solución inicial, con la variable C*pq más positiva La variable entrante es X31

Determinación de la Variable que Sale 

Prueba de Factibilidad: Construcción de un ciclo para la variable que entra 



Formar un ciclo cerrado con las variables básicas de la solución básica inicial y la variable entrante (X 31) Realizar el análisis de lo que sucede con las variables básicas actuales si la variable que entra (X 31) se incrementa en una unidad 1 1 Origen 2 3 Demanda

10 5 12 0 X31 5

Destinos 2 3 0 20 10 7 9 5 15 14 16 15

15

Recurso s

4 11 20 5 18 5 10

15 25 5

Determinación de la Variable que Sale Prueba de Factibilidad 



Análisis de lo que sucede con las variables básicas actuales si la variable que entra (X31) se incrementa en una unidad Si X31 = 1 entonces: X11 disminuye una unidad X12 aumenta una unidad X22 disminuye una unidad X34 disminuye una unidad X24 aumenta una unidad X23 se mantiene 

1

 

Origen 2

  

3

Demanda

Destinos Recurso s 1 2 3 4 (-) 10 (+) 0 20 11 15 5 10 12 (-) 7 9 (+) 20 25 5 15 5 (+) 0 14 16 (-) 18 5 X31 5 5 15 15 10




La variable que sale se selecciona de entre las variables de esquina del ciclo que disminuirán (etiquetadas (-) en la tabla) cuando la variable que entra (X31) aumente arriba del nivel cero. Se selecciona la variable más pequeña como la variable que sale, ya que será la primera en llegar al valor cero y cualquier disminución posterior la volverá negativa. Destinos 1 2 3 10 0 20 1 5 (-) 10 (+) 12 7 9 Origen 2 5 (-) 15 0 14 16 3 X31 Demanda 5 15 15

Recursos

4 11 20

5 (+) 18 5 (-) 10

15 25 5


Selección de la variable que sale (la mas pequeña) 

X11, X22 y X34 son las tres variables básicas que pueden salir, se puede tomar cualquiera de ellas. Se elige X 34 Sale X34 = 0, entra X31 = 5 





Se recalculan las otra variables básicas sumando o restando 5 dependiendo del signo (+) o (-) en la tabla Las variables básicas actuales con valor cero se consideran como variables positivas. 1 1 Origen 2 3 Demanda

10 X11= 0 12 0 5 5

Destinos Recursos 2 3 4 0 20 11 15 X12= 15 7 9 20 25 X22= 0 15 X23= 10 14 16 18 5 15

15

10


El nuevo costo es 0*10 + 15*0 + 0*7 + 15*9 + 10*20 + 5*0 + 0*18 = $335



El costo de la primera iteración fue de $ 410.





La diferencia es $410 - $335 = $ 75 $75 = X31 ∙ C31* = 5 * 15 Se revisa la optimidad de la nueva solución básica calculando los nuevos multiplicadores ui, v j, Cpq*

¿La solución es óptima??

Resumen Entra X31 Destinos Fuentes 1 2 3 Demanda vj

1

2

3

10 5

0 10

12 5

7 5

0

14 -9 15 0

15 5 10

Destinos 4

20 -18 9 15 16 -9 15 2

11 2 20 5 18 5 10 13

Recurso

ui

15

0

25

7

5

5 $ 410

Fuentes

1

2

3

10 (+) 0 5 10 12 (-) 7 2 5 (+) 0 14 3 X31 Demanda 5 15 vj 1

Recurso

4 20

(-)

11

9

(+) 20 15 5 16 (-) 18 5 15 10

ui

15 25 5

Entra X31 Sale X34 Destinos Fuentes 1

1 10 0

Demanda vj

3 0

20

7 0

0 5 5

Recurso

4 11

15 12

2 3

2

Destinos

9 15

14 15

20 10

16 15

18 10

ui

Fuentes

15

1

25

2

5

3 $ 335

Demanda vj

1

2 10

0

0 15

12 5

7 0

0 5 5 17

3

14 -24 15 7

20 -18 9 15 16 16 -24 15 9

4 11 2 20 20 10 18 -15 10 20 20

Recurso

ui

15

-7

25

0

5

-17


1

2

3

10 0

0 15

12 5

7 0

0 5 5 17

Destinos

14 -24 15 7

4

20 -18 9 15 16 16 -24 15 9

11 2 20 10 18 18 -15 10 20

Recurso

ui

15

-7

25

0

5

-17 $0

Fuentes

1

2

3

10 (+) 0 0 15 (+) 12 (-) 7 2 X21 0 0 14 3 5 Demanda 5 15 vj 1

Recurso

4 20

(-)

9 15 16 15

11 20 10 18

ui

15 25 5

10

Entra X21 Sale X11 Destinos Fuentes

1 10

1 2 3 Demanda vj

2

Destinos 3

0

Recurso

4 20

11

15 12 0

7 0

0 5 5

9 15

14 15

20 10

16 16 15

18 18 10

ui

Fuentes

15

1

25

2

5

3 $ 335

Demanda vj

1

2 10

-5

0 15

12 0

7 0

0 5 5 12

3

14 -19 15 7

20 -18 9 15 16 -19 15 9

4 11 2 20 10 18 -10 10 20

Recurso

ui

15

-7

25

0

5

-12


1

2 10

-5

3 0

15 12

0

7 0

0 5 5 12

Destinos

14 -19 15 7

4

20 -18 9 15 16 16 -19 15 9

11 2 20 10 18 -10 10 20

Recurso

ui

Fuentes

15

-7

1

25

0

2

5

-12

3 Demanda vj

$ 335

1

2

3

10 (-)

0 15 12 (+) 7 0 0 0 14 5 5 15

4

20 (+) 11 X14 9 (-) 20 15 10 16 16 18 15

10

Recurso

ui

15 25 5 $ 335

Sale X24 Destinos Fuentes

1 10

1 2 3 Demanda vj

2

Destinos

3 0

4 20

5 12

7

0

10 14

0 5 5

15

Recurso

9

11 10 20

15 16 16 15

18 10

ui

Fuentes

15

1

25

2

5

3

$ 315

Demanda vj

1

2

3

10 2

0 5

12 0

10 0

5 5 12

7 14 -7 15 7

20 -11 9 15 16 16 -7 15 9

4 11 10 20 -2 18 0 10 18

Recurso

ui

15

-7

25

0

5

-12

OPTIMO

Soluciones Múltiples 

Prueba de factibilidad en una minimización  



Si todos los C*pq < 0 la solución es óptima única; Si algunos C * pq = 0 la solución es óptima múltiple, cada celda igual a cero indica una ruta alterna, sin que varíe Z;

Si se tienen varios C*pq > 0 se toma el más negativo y se asigna en dicha celda, es decir, se realizan nuevas asignaciones (reasignaciones).

Soluciones Múltiples 

Solución inicial D

E

F

0

A

5

B C

G

10

Optimo 1: De

10

15

A

5

Unidades

A F 10 A G 10 B F 30 C D 10 C E 15 C G 20 Solución Optima No Degenerada Z *1 = $550

Costo

5 0 5 10 10 5

Soluciones Múltiples D A B C

E

F

10

10 30 15

Optimo 2:

G

30

De

A

Unidades

Costo

A A B C C

D F F E G

10 10 30 15 30

5 5 5 10 5

Solución Optima Degenerada Z*2 = $550

Soluciones Múltiples Optimo 3: D A B C

E

F

G

20 20

10 15

DE

A B B C C Solución Optima

30

A

Unidades

Costo

F 20 D 10 F 20 E 15 G 30 Degenerada Z*3 = $550

5 5 5 10 5

Problemas deTransbordo

MODELO DE TRANSBORDO •

Se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envío de recursos entre las distintas fuentes (oferta) y destinos (demanda)

•

Se construye una malla con orientación desde las fuentes (nodos de inicio) hacia los destinos (nodos de llegada), utilizando amortiguadores (nodos transitorios) que permiten recibir y transferir recursos. recursos. Las flechas que unen los nodos de la malla representan los eventuales flujos de recursos en la secuencia de distribución

MODELO DE TRANSBORDO 

Luego, la malla permite convertir un modelo de transbordo en un modelo de transporte regular y resolverse como tal, utilizando los amortiguadores



Así, la malla reconoce tres tipos de nodos:   



Nodos puros de Oferta: Oferta: solo transfieren recursos Nodos de Transbordo: Transbordo : entregan y reciben recursos Nodos puros de Demanda: Demanda : solo reciben recursos

El amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir que los recursos se transfieran desde las fuentes hacia los destinos

ESQUEMA DE TRANSBORDO Un esquema simple del modelo de transbordo se expresa como una red de modelo de asignación

F1 A1

D1

A2

D2

Nodos de Transbordo

Nodos puros de Demanda

F2 F3 Nodos puros de Oferta

EJEMPLO DE TRANSBORDO •

Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva

•

Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de envío por automóvil (en cientos de pesos) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red

RED - MODELO DE ASIGNACION 8 1000

3 P1

4

T1

2 1200

D1 5

6

4 5

P2

T2

800

9

900

D2 3

D3

500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL 800

D1 1000

P1

XP1 P1T1 T1

X

T1

D 1 D 2

900

D2 1200

P2

X

XP2 P2T2 T2 T2

D 2 D 3

D3

500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3 s.a.

P1: P2: T1: T2: D1: D2: D3:

XP1T1 + XP1T2 = 1000 XP2T1 + XP2T2 = 1200 XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2 XP2T2 = XT2D2 + XT2D3 XT1D1 = XD1D2 + 800 XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900 XT2D3 + XD2D3 = 500 Xij > 0

EJEMPLO DE TRANSBORDO • Nodos puros de Oferta

P1, P2

• Nodos de Transbordo

T1, T2, D1, D2

• Nodos puros de Demanda

D3

El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSPORTE 1000

P1 T1

1200

P2 T1 T2 D1 D2

T2 D1 D2 D3

800 900 500

MODELO DESTINO T1 FUENTE P1 P2 T1 T2 D1 D2 DEMANDA

T2

D1

D2

D3

OFERTA OFERTA

NODOS PUROS DE OFERTA Y NODOS PUROS DE DEMANDA Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros de demanda, demanda, queda: Oferta en un Nodo puro de Oferta

Oferta Original

Un nodo puro de oferta no posee amortiguador Demanda en un Nodo puro de Demanda

Demanda Original

Un nodo puro de demanda no posee amortiguador


T2

D1

D2

D3

OFERTA OFERTA 1000 1200

500

NODOS DE TRANSBORDO Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo,, se establece de acuerdo a: transbordo Oferta en un Nodo de Transbordo

Oferta + AmortiOriginal guador

La oferta necesariamente posee un amortiguador amortiguador,, mientras que a veces se encuentra oferta original Demanda en un Nodo de Transbordo

Demanda + AmortiOriginal guador

La demanda necesariamente posee amortiguador amortiguador,, mientras que en ocasiones hay demanda original

NODOS DE TRANSBORDO La oferta del nodo de transbordo T1 sí posee oferta original,, mientras que la oferta del nodo de transbordo T2 original no posee oferta original 200

500

300

P1

P2

D1

400

D2

400

D2

200

T1

T2

NODOS DE TRANSBORDO La demanda del nodo de transbordo T1 no posee demanda original,, mientras que la demanda del nodo de transbordo original T2 sí posee demanda original 400

600

P1

P2

D1

300

D2

200

D2

300

T1

T2 200


T2

D1

D2

D3

OFERTA OFERTA 1000 1200 B1 B2 B3 B4

B1

B2

B3+800 B4+900

500

Se obtiene la 1ª solución mediante método de Vogel

T1 P1 P2 T1 T2 D1 D2 Dda

T2

D1

D2

D3

Ofta

3

4

M

M

M

2

5

M

M

M

M

M

8

6

M

B1

M

M

M

4

9

B2

M

M

M

5

M

B3

M

M

M

M

3

B4

800+B 800+B3

900+B 900+B4

B1

B2

500

1000 1200

EJEMPLO DE TRANSBORDO Obtener la primera solución factible mediante Vogel Vogel,, implica asignar el máximo número de unidades posible en las celdas de menor costo marginal, marginal, según los sucesivos gradientes No obstante, en ocasiones, la celda de menor costo marginal puede asociarse con un máximo número de unidades determinado por los amortiguadores amortiguadores.. Luego, se requiere definir los rangos posibles para cada amortiguador 800 < B1 < 2200 0 < B2 < 1400

0 < B3 < 1400 0 < B4 < 500

EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 P1 P2 T1 T2 D1 D2 Dda

3

T2 4

2

5 800

1000 400

D1

D2

D3

M

M

M

M

M

M

6

M 9

M

M

8

M

M

M

4

M

M

M

5

M

M

M

M

M

3

B1

B2

1

1

800

1400

900+B4 800+B 800+B3 900+B M

1

500 500 6

Ofta 1000

1

1200

3

B1

2 M M

B2

5 MM

B3

M

B4

M M

EJEMPLO DE TRANSBORDO Al calcular los gradientes del método de Vogel Vogel,, se van obteniendo los valores de los amortiguadores B1 = 800 Valores de los amortiguadores amortiguadores:: B = 1400 2 B3 = 0 B4 = 500 Si es que hay 2 o más gradientes de igual valor (como sucede con los gradientes + M ), entonces se asigna el máximo número de unidades posibles en aquella celda de menor costo unitario de transporte

EJEMPLO DE TRANSBORDO 1ª asignación: XD2 500,, gradiente fila D2 = M D2D3 D3 = 500 2ª asignación: XT1 1400,, gradiente fila T2 = M T1D2 D2 = 1400 3ª asignación: XT1 800,, gradiente fila T1 = M T1D1 D1 = 800 4ª asignación: XP2 800,, gradiente fila P2 = 3 P2T1 T1 = 800 5ª asignación: XP1 P1T2 T2 = 1000 6ª asignación: XP2 P2T2 T2 = 400

Asignación manual

Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optimalidad e iterar vía simplex si es que se requiere

EJEMPLO DE TRANSBORDO m + n - 1 = 10

Sin embargo, la asignación inicial mediante método de Vogel tiene solamente 6 variables básicas

Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base XT1 T1T2 T2 = 0, XT2 T2T2 T2 = 0, XD1 D1T2 T2 = 0, XD2 D2T2 T2 = 0 Luego, se deben calcular los precios sombra para verificar si la solución básica factible es o no es óptima

EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 P1 P2 T1 T2 D1 D2 Dda

3 2

T2 4

800

5

M

M

M

M

M

M

M

M B1

D1

1000 400 0 0 0 0 B2

D2

D3

M

M

M

M

M

M

8

6

M

M

4

9

M

5

M

M

M

3

800

1400

900+B4 800+B 800+B3 900+B

Se deben calcular todos los precios sombra

Ofta 1000 1200 B1 B2 B3

500 500

B4

EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 P1 P2 T1 T2 D1 D2

3

T2

+2

2

4 5

800 M M M M

E E E E

Dda

B1

Ya que

 ij

D1

1000 400

M

0

M

0

M

0

M

0 B2

>0

A

i,j

M M 8 M M M

+M +M 800 E E E

D2 M M 6 4 5 M

+M +M E

1400 E E

M M

D3

Ofta

+M

1000

+M

1200

E

B1

E

B2

E

B3

M 9 M 3

500

B4

900+B4 800+B 800+B3 900+B

500

 X

Solución óptima

EJEMPLO DE TRANSBORDO Solución óptima del ejemplo de transbordo transbordo::

XJ = ( XP1 P1T2 T2, XP2 P2T1 T1, XP2 P2T2 T2, XT1 T1T2 T2, XT1 T1D1 D1, XT2 T2T2 T2, XT2 T2D2 D2, XD1 D1T2 T2, XD2 D2T2 T2, XD2 D2D3 D3 ) XP1 P1T2 T2 = 1000 XP2 P2T1 T1 = 800 XP2 P2T2 T2 = 400 XT1 0 T1T2 T2 = XT1 T1D1 D1 = 800

XT2 0 T2T2 T2 = XT2 T2D2 D2 = 1400 XD1 0 D1T2 T2 = XD2 D2T2 T2 = 0 XD2 D2D3 D3 = 500

La solución no es única, única, pues es una solución degenerada

Z = (1000 (1000**4) + (800 (800**2) + (400 (400**5) + (800 (800**8) + (1400 1400**4) + (500 (500**3) = 21.100 ($100)

Metodo de Transporte

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