Metodo de Vereschaguin

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

TEMA METODO DE VERESCHAGU VERESCHAGUIN IN

CURSO: ANALISIS I DOCENTE: ING. SALAZAR INTEGRANTE: 

SORIA GALINDO DARCY

LIMA  – PERÚ 2018

DEFORMACION POR EL METODO DE VERESCHAGUIN El método de Vereschaguin es un procedimiento importante y muy rápido para calcular deflexiones en puntos libres de sistemas elásticos lineales. El método se basa en una propiedad de la integral definida del producto de dos funciones y en el Segundo Teorema de Castigliano. 

Propiedad de  Sean f y g dos funciones integrables en , una de las cuales es función lineal.  Requerimos calcular .  Escogemos g para definir la función lineal: g(x) = Ax +B

∫ ()()

 = ∫ ()()

Sea g(x)= Ax+B (función lineal) Requerimos calcular:  . (*) 

 = ∫  (Ax B )()  =  ∫ x()   ∫ ().

La primera integral significa el Momento Estático del área limitada por la gráfica de f en el intervalo , respecto del eje de ordenadas y: 



El segundo sumando integral (B por coeficiente) significa el área bajo la gráfica de f en el intervalo :  . Luego .   . Pero   (x). Por lo tanto obtenemos   , expresión que puede escribirse .  

 =   (   ) =  ()

    (x)  

 =     

  = 

Con lo cual ha sido posible evaluar la integral I, definida en (*)

 = ∫ ()()

Por

la

propiedad

establecida:

 =.   (). Donde   es el área de la región del plano x, y limitada por la gráfica de f en el intervalo

 Es la abscisa del centro de gravedad de la región cuya área es   x

 

g(x) es el valor de la función lineal g para x =  x

METODO DE VERESCHAGUIN

Página 2

NOTA: Si ambas funciones son lineales, la propiedad es conmutativa:  = 

   ()    ()



Calculo de deflexiones Consideremos una viga simplemente apoyada, de longitud L= a+b, cuya rigidez flexional es constante vertical P.

 sometida a flexión por acción de la carga

Determinamos la energía de deformación por momento flector. Momentos: Tramo AC M= Pbx/L (1) 0< X
      +  1  = 2 (0   0 (  −( − ))^2  Aplicando el segundo teorema de castigliano, encontramos la flecha en el punto C ,  =.Remplazando U tenemos. 

∆

       1  ∆=  (0    0 ((  − ( − ))^2)( −( −)) Expresión que puede ser reescrita de la manera siguiente

 1    ∆= (0     0 ((  − ( − )) 1 ( − ( − )) El termino

  se denomina momento flector reducido en el tramo AC  

El término    es la derivada parcial

∆en el tramo AC.

El termino

 − ( − )) se denomina momento flector reducido en el tramo CB 

El término

( − ( − ) es la derivada parcial  en el tramo CB.

METODO DE VERESCHAGUIN

Página 3

Nótese que las derivadas parciales del momento flector con respecto a la fuerza P, en cada caso pueden encontrarse a partir de las ecuaciones de momento flector (ecuaciones (1) y (2)) Haciendo en ellas P=1 en consecuencia, estas derivadas parciales pueden ser determinadas geométricamente construyendo un diagrama de momento flector por carga unitaria (aplicada en el punto de interés y en la dirección de la f] deflexión buscada):

Debido a que los momentos flectores por carga unitaria en todos los casos definen funciones lineales, siempre podrá ser aplicada la propiedad establecida en la sección anterior para evaluar las integrales que determinan la deflexión buscada.



Metodología para el cálculo de deflexiones

1. Definición del problema

∆=   ¿?? ∆= ∑ ∫    

(*)

Los términos del tipo M/EIz significan los momentos flectores reducidos en los diferentes tramos típicos. Los términos    significan los momentos flectores por carga unitaria en cada uno de los diferentes tramos típicos. 2. Momentos flectores reales reducidos y por carga unitaria

METODO DE VERESCHAGUIN

Página 4

En todos estos diagramas debe respetarse el signo correspondiente, de acuerdo al convenio de signos para el momento flector De acuerdo con (*) la deflexión buscada es

∆= ∑ ∫     siendo m una

función lineal (que hace las veces de la función g en la propiedad establecida anteriormente) 3. Por la propiedad establecida el cálculo de la deflexión se transforma en      , en la cual  y  están con su respectivo signo.

∆ =  ( )   ( )

   

En general, el cálculo de las deflexiones tiene la forma

∆= ∑  m(), siendo

el número de sumando igual al número de regiones apropiadas en las que se han dividido ambos diagramas : Momentos flectores reducidos y Momentos flectores por carga unitaria. El método de Vereschaguin es también conocido como el Método de la multiplicación de los diagramas de momento. Puede generalizarse para el cálculo de deflexiones por otros efectos como carga axial, cargas de torsión, etc. EJEMPLOS 1) Calcular la flecha en el punto A. Considerar deformaciones únicamente por flexión. Suponer constante de rigidez EIz. Determinamos los diagramas de momentos flectores reales reducidos y por carga unitaria.

METODO DE VERESCHAGUIN

Página 5

 Áreas:

  2  =  ; A1 = 3(2)(8) 24     2  A2 = 3(2)(8) = 24 Multiplicación de diagramas: Ubicación de los centroides:

1 = 56 2 =  = 56 =  6

 Valores de los momentos por carga unitaria:

(1) = 5  (2) =  5

(Todos los diagramas tanto de momentos flectores reales así como los momentos por carga unitaria, son positivos)

 ; ∆= ∑   m()  tenemos ∆ = 

Remplazando en  asignado a la carga unitaria

en el sentido

2) Calcular el giro en el apoyo izquierdo en la viga del ejemplo anterior. El diagrama de momentos flectores reales y el diagrama de momentos reducidos no cambian. Solamente cambiara el diagrama de momentos por carga unitaria.

METODO DE VERESCHAGUIN

Página 6

  =  ( )

El giro del punto B es     .     Luego        , en sentido del momento unitario.

  =

METODO DE VERESCHAGUIN

 =

Página 7