METODOS ENERGETICOS En la zona elástca (cuando las ensiones son inferiores a los límies de uencia) los maeriales se comporan elástcamene y las deformaciones se almacenan como energía poencial de deformación. En esa capiulo primero se ve la relación que exise enre raa!o y energía poencial de deformación" luego se deducen las expresiones de energía poencial de deformación para elemenos sometdos a cargas de racción#compresión" core" exión y orsión y $nalmene se deducen las ecuaciones de %astgliano las que permien &allar las deformaciones a partr de las expresiones de energía poencial de deformación.
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO Ese eorema solo se puede utlizar para esrucuras &iperesátcas. 'ea un cuerpo elástco sore el que acan un con!uno de fuerzas P"..." Pn aplicados sore los punos del sólido A"..." An y llamamos a la energía poencial elástca o elástca o potencial interno. interno. Enonces el movimieno* desplazamieno o giro* + del puno A proyecado sore la dirección de P viene dada por, i
i
i
Ese eorema puede partcularizarse partcularizarse a numerosos casos práctcos de forma algo más concrea" por e!emplo en la eoría de vigas Euler*-ernoulli se emplea la forma, onde, /epresenan los esfuerzos de sección (axial y ecora) a lo largo del e!e aricenro de la viga. /epresenan el área y los segundos momenos de área de la sección ransversal de la viga. Es el módulo de 0oung del maerial de la viga. E1E/%2%23' ,
∑ MB −2.4∗7 − 4∗3− MB =0 MB =28.8− RA∗6 6 RA
∑ Fv 2.4
+ 4 − RA − RB =0
RB=6.4 − RA TRAMO 1−1 AB 0 ≤ X ≤ 2 2
M 1 =−1.2
X 2
dM =0 dRA TRAMO 2−2 BC 0 ≤ X ≤ 3 M 2 = RA ( X ) −2.4 (1 + X )
dM = X dRA TRAMO 3 −3 CD 0 ≤ X ≤ 3 M 3 =−2.4 ( 4 + X ) + RA ( 3 + X ) −4 ( X )
dM =3 + X dRA
0
=
1
EI
[∫ 2
2
−1.2
0
X 2
3
3
0
0
RAX − 2.4 ( 1+ X ) ) ( X ) dx +∫ (−2.4∗ 4 + X + RA ∗3 + X −4∗ X ) dx ( 0 )+∫ ( RAX
RA = 4.25 KN
E1E/%2%23 4,
5/63 E 728E/E'9692%26:
∑ MA = 0
]
RCv ( 20 )− 48 (10 )− RAh ( 30 ) −36 ( 15 )=0 RCv=51 +1.5 RCh
∑ Fv =0 RAv RAv− 48 + 51 +1.5 RCh=0 RAv RAv= 3 + 1.5 RCh ↓ TRAMO 1−1 0 ≤ X ≤ 20 CB M 1 =( 51+ 1.5 RCh ) X −2.4 X (
X 2
)
dM =1.5 X dRCh TRAMO 2−2 0 ≤ X ≤ 30 AB 2
M 2 =( RCh+ 36 ) X −1.2
X
2
dM = X dRCh
E;93;%E', YRCh=
dU =0 dRCh
+ 1.5 RCh ( ¿ ) X −1.2 X ¿ RCh + 36 ( ¿ ) X −0.6 X ¿ ( Xdx ¿¿ ] ¿ 51
2
2
20
∫¿ 0
0
=
1
¿
EI
RCh =22.3 KIP ↔ RCh= 22.3 KIP ←
E!ercicio <,
∑ MA = 0 MA =− =− RB ( 3 )+ 6.3
∑ Fv =0 RA + RB− 4.2=0 RA =− =− RB + 4.2 TRAMO 1−1 AB 0 ≤ X ≤ 3 2
M 1 = RA ( X )−1.4
X 2
dM 1 = 0 dRB TRAMO 2−2 BC 0 ≤ X ≤ 3 M 2 = RA ( 3 + X ) − 4.2 ( 1.5 + X ) + RBX
dM 2 = X dRB
E;93;%E', 0
=
1
EI
[ ∫( 3
RAX −1.4
0
RB=2.1 tn
2
X 2
)∗
0 dx
3
+∫ ( RA ∗3 + X −4.2∗1.5 + X + RBX )∗ X dx 0
]
METODO DEL ÁREA DE MOMENTOS =n m>odo muy tl y sencillo para deerminar la pendiene pendiene y deexión en las vigas es el ?>odo del @rea de ?omenos" en el que inervienen inervienen el área del diagrama de momenos y el momeno de dic&a área. 'e comienza" en primer lugar" por lo dos eoremas ásicos de ese m>odoA luego" una vez calculadas las áreas y los momenos de esas áreas del diagrama de momenos" se aplica el m>odo a varios tpos de prolemas. El m>odo esá especialmene indicado en la deerminación de la pendiene o de la deexión en punos deerminados" más que para &allar la ecuación general de la elástca. %omo en su utlización se &a de ener en cuena la forma y relaciones geom>ricas geom>ricas en la elástca" no se pierde el signi$cado Bsico de lo que se esá calculando. El m>odo del área de momenos esá su!eo a las mismas limiaciones que el de la dole inegración. 'in emargo" para verlo en su oalidad" como un con!uno compleamene independiene" se repie una pequeCa pare de lo dic&o en la sección cualquiera. En la $gura *a represena una viga simplemene apoyada con una carga cualquiera. Da Elástca" como inersección de la super$cie neura con el plano vertcal que pasa por los cenroides de las secciones" se represena represena en la $gura *" aunque sumamene exagerada. El diagrama de momenos se supone que es el represenado en la $gura *c. 6l igual que en la deducción de la fórmula de la deexión" dos secciones planas adyacenes" disanes una longiud dx sore una viga inicialmene reca" giran un ángulo d una respeco a la ora. 'e puede ver con más dealle en la pare % ampliada en la $gura *. el arco ds medido a lo largo de la elástca enre las dos secciones es igual F d" siendo F el radio de curvaura de la elástca en ese puno.
Figura 1. Teorea! "el #rea "e oento! Se $ene la ecuaci%n&
' coo "! ( ) "*+ a,ora e!cri-io!&
O -ien
/a0 En la mayoría de los casos práctcos" la elástca es an llana que no se comee error apreciale apreciale suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En esas condiciones" se tene,
/-0 Evidenemene" dos angenes razadas a la elástca en % y " como en la $gura *" forman el mismo ángulo d que el que forman las secciones 3% y 3" por lo que la desviación angular" o ángulo enre las angenes a la elástca en dos punos cualesquiera cualesquiera 6 y -" es igual a la suma de esos pequeCos ángulos,
/c0 3s> 3s>rv rves esee am ami> i>n" n" $gur $guraa *" *" que que la dis disan anci ciaa desd desdee el pun puno - de la elás elástc tca" a" medi medida da perpendicularmene a la posición inicial de la viga" &asa la angene razada a la curva por oro puno cualquiera 6" es la suma de los segmenos d inercepados por las angenes sucesivas razadas a la elástca en punos sucesivos. %ada uno de esos segmenos d inercepados por las angenes sucesivas razadas a la elástca en punos sucesivos. %ada uno de esos segmenos d puede considerarse como un arco de radio x y ángulo d, "t ( "* de donde,
'ustuyendo 'ustuyendo d por su valor en la ecuación ()
/"0
Da longiud -#6 se llama desviación de - con respeco a una angene razada por 6" o ien" desviación angencial de - con respeco a 6. Da $gura 4 aclara la diferencia que exise enre la desviación angencial -#6 de - respeco de 6 y la desviación 6#- de 6 con respeco a -. En general" dic&as desviaciones son distnas.
Figura 2. En general+ tA34 no e! igual a t43A
El signi$cado geom>rico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos eoremas fundamenales del m>odo del área de momenos. En el diagrama de momenos exionanes exionanes de la $gura *c" se oserva que ? dx es el área del elemeno diferencial diferencial rayado siuado a disancia x de la ordenada que pasa por -. 6&ora ien" como
es la suma de ales elemenos" la ecuación (c) se puede escriir en la forma,
/10 Esa es la expresión algeraica del 9eorema 2" que se puede enunciar como sigue, Teorea I& Da I& Da desviación desviación angular" o ángulo enre las angenes razadas razadas a la elástca en dos punos cual cuales esqu quie iera ra 6 y -" es igua iguall al prod produc uco o de #E2 #E2 por por el área área del del diag diagra rama ma de mome momen nos os exionanes exionanes enre esos dos punos. Da $gura *c muesra como la expresión expresión x(? dx) que aparece denro de la inegral en la ecuación (d) es el momeno del área del elemeno rayado con respeco a la orden ordenada ada en -. 8or 8or lo ano ano"" el signi$ signi$ca cado do geom> geom>ric rico o de la inegr inegral al es el momeno con respeco a la ordenada en - del área de la porción del diagrama de momenos exionanes comprendida enre 6 y -. %on ello la expresión algeraica del 9eorema 22 es,
/20 Ese eorema se enuncia así, Teorea II& Da II& Da desviación angencial angencial de un puno - con respeco a la angene angene razada a la elástca en oro puno cualquiera 6" en dirección perpendicular a la inicial de la viga" es igual al produco de #E2 por el momeno con respeco a - del área de la porción del diagrama de momenos enre los punos 6 y -. El produco E2 se llama rigidez a la exión. 3s>rvese que se &a supueso áciamene que E e 2 permanecían consanes en oda la longiud de la viga" que es un caso muy comn. 'in emargo" cuando la rigidez es variale" no puede sacarse E2 del signo inegral" y que &ay que conocerla en función de x. 9ales variaciones suelen enerse en cuena dividiendo enre E2 las ordenadas del diagrama de momenos para oener de esa manera un diagrama de al que se aplican los dos eoremas" en vez de aplicarlos al diagrama de ?. En los dos eoremas" (área)6represena el área del diagrama de momenos enre las ordenadas correspondienes a los punos 6 y -" es el razo de momenos de esa área con respeco a -. %uando el área del diagrama de momenos se compone de varias pares" positvas y negatvas" la expresión (área)6-Gx represena el momeno del área de odas esas pares. El momeno del área se oma siempre con respeco a la ordenada del puno cuya desviación se quiere oener" por lo que conviene ponerle a x el suíndice correspondiene" por e!emplo" -" lo que indica que el razo de momenos se oma &asa ese puno. 3s>rvese que ese suíndice - es el mismo del numerados del suíndice de " -#6. Lo! con5enio! "e !igno! !iguiente! !on "e gran iportancia& Da desviación angencial de un puno cualquiera es positva si el puno queda por encima de la angene con respeco a la cual se oma esa desviación" y negatva si queda por dea!o de dic&a angene. En la $gura < se represenan las desviaciones positvas y negatvas. /ecíprocamene" una desviación positva indica que el puno queda por encima de la angene de referencia.
Figura 6. Signo "e la! "e!5iacione! tangenciale!. /a0 7o!i$5a8 4 9ue"a !itua"o !o-re la tangente "e re:erencia. /-0 Nega$5a8 4 9ue"a !itua"o por "e-a;o "e la tangente "e re:erencia. El oro convencionalismo de signos es el que se re$ere a las pendienes y se indica en la $gura H. =n valor positvo de la variación de pendiene 6- indica que la angene en el puno siuado a la derec&a" -" se otene girando en sentdo conrario al del relo! la angene razada en el puno más a la izquierda" 6A es decir" que para pasar a la angene en 6 a la angene en - se gira en sentdo conrario al del relo!" y viceversa para los valores negatvos de 6#-.
Figura <. Signo "e la 5ariaci%n "e pen"iente o "e!5iaci%n angular. /a0 7o!i$5a8 *A4 en !en$"o contrario al "el relo; re!pecto "e la tangente "e la i=9uier"a. /-0 Nega$5a8 *A4 en !en$"o "el relo; re!pecto "e la tangente "e la i=9uier"a. >IGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Das reacciones desconocidas de vigas esátcamene esátcamene indeerminadas pueden &allarse fácilmene fácilmene usando el m>odo m>odo de área* área*mo momen meno o emplea empleando ndo la superp superposi osició ción. n. espu> espu>ss de dee deermi rminad nadas as las reacc reaccion iones es redundanes" las deexiones y giros de la viga pueden enconrarse de la manera usual" nuevamene usando la superposición. En esa sección se consideran dos procedimienos diferenes para enconrar las reacciones redundanes. En el procedimieno que más se usa" se reconoce que las vigas resringidas y las vigas contnuas di$eren de las simplemene apoyadas principalmene por la presencia de momenos redundanes en los sopores. 8or ano" los diagramas de momeno exionane para esas vigas pueden considerarse formados de dos pares independienes" una pare para el momeno causado por odas las cargas aplicadas sore una viga supuesa como simplemene apoyada y la ora pare para los momenos redundanes redundanes en los exremos. Duego" el efeco efeco de los momenos redundanes en el exremo se superpone sore sore una viga viga supues supuesa a como como simple simplemen mene e apoya apoyada. da. Iísic Iísicame amen ne" e" esa esa noción noción puede puede aclar aclarar arse se imaginand imaginando o una viga viga indeerm indeerminada inada corada corada en los sopores sopores mienras mienras se mantenen mantenen las reaccion reacciones es vertcales. Da contnuidad de la curva elástca de la viga se preserva por los momenos redundanes. 6unque las ordenadas crítcas de los diagramas de momeno exionane causados por los momenos redundanes redundanes no son conocidas" sus formas sí se conocen. Da aplicación de un momeno redundane en un exremo de una viga simple da un diagrama de momeno riangular" con un máximo en la posición del momen momeno o aplic aplicado ado y una orden ordenada ada cero cero en el oro oro exre exremo. mo. 2gualm 2gualmen ene" e" cuando cuando esán esán prese presen nes es momen momenos os en amos amos exre exremos mos de una viga viga simple simple"" dos dos diagr diagrama amass de momen momenos os riang riangula ulare ress se superponen en un diagrama de forma rapezoidal. Das pares conocida y desconocida desconocida !unas del diagrama de momeno exionane dan un diagrama compleo de momeno exionane. Ese diagrama puede enonces usarse para aplicar los eoremas de área*momeno a la curva elástca contnua de una viga. Das condiciones geom>ricas de un prolema" como la contnuidad de la curva elástca en el sopore o las angenes en exremos emporados que no pueden girar" girar" permien una rápida formulación de ecuaciones
para los valores desconocidos de los momenos redundanes redundanes en los sopores. =n m>odo alernatvo para deerminar las reacciones redundanes emplea un procedimieno asado en granear los diagramas de momeno por pares. 6l aplicar ese m>odo" sólo uno de los sopores emporados se de!a en su lugar" formá formándo ndose se así una viga viga en volad voladiz izo. o. 'e diu!a diu!an n enon enonces ces diagr diagrama amass por separ separado ado de momen momeno o exionane para cada una de las fuerzas aplicadas" así como para las reacciones desconocidas en el exremo no soporado de la viga. Da suma de odos esos diagramas de momeno exionane para el voladizo forman el diagrama compleo de momeno exionane que se usa enonces en la manera regular. En cualquier m>odo" para vigas de rigidez variale" los diagramas de momeno deen dividirse enre las correspondienes E2. E?EM7LO @1& DETERMINE LOS DES7LAAMIENTOS DE LOS 7UNTOS 4 ' C DE LA >IGA MOSTRADA EN LA FIGURA. EI(cte.
SOLUCIBN& ACEMOS D.C.L. DE LA >IGA
CORTE 11& @
≤ X≥
SA4EMOS UE& LUEGO&
SIMULANDO EN FORMA EAGERADA LO DEFORMADA DE LA >IGA&
´ B A7LICANDO A7LICAN DO EL SEGUNDO TEOREMA& T43A ¿ ( AREA ) AB∗ X
´ C A7LICANDO A7LICAN DO EL SEGUNDO TEOREMA& TC3A ¿ ( AREA ) AC ∗ X
El signo negatvo indica que los punos - y % se encuenran dea!o de la angene en 6. E?EM7LO @2& 8ara la viga mosrada en la $gura. 6) eermina la ec&a en el exremo 6. El módulo de la elastcidad del maerial y el momeno de inercia con respeco al e!e neuro son respectvamene. E:4.GJKL Mg#cmK4 y 2:NGJK< cmKH 6sí mismo deerminar θ A , θ B y θC donde θ A , θ B y θC son los ángulos que &ace las angenes con la &orizonal en las secciones 6"- y % respectvamene.
SOLUCIBN& CALCULOS DE REACCIONES&
%3/9E *,
0≤ X≥9
%3/9E 4*4,
4 ≤ X ≥ 16.2
9/6-616;3 '3D3 86/6 ED 9/6?3 -%,
%3/9E 6*6,
LUEGO
0 ≤ X ≥ 7.2
.?.I./
'2?=D6;3 D3 EI3/?63" 9E;E?3',
D=E53
'6-E?3' O=E,
´ B 96?-2E;, & T43C ¿ ( AREA ) BC ∗ X
83/ ED 9E3/E?6 ,
83/ /ED6%23; E 9/26;5=D3'" 9/26;5=D3'" 9E;E?3',
%6D%=D3 E D6 IDE%76 E; ED EP9/E?3 6,
D6 IDE%76 E; ED EP9/E?3 6" E;93;%E' E',
E?EM7LO @6& 7ARA LA >IGA SIM7LEMENTE A7O'ADA+CARGADA A7O'ADA+CARGADA COMO SE INDICA EN LA FIGURA.DETERMINAR LOS GIROS EN LOS ETREMOS ' LA FLECA EN EL CENTRO DE LU.CONSIDERA EI(Cte.
SOLUCION& CALCULO DE REACCIONES&
%3/9E *,
0≤ X≥9
ADEMAS SA4EMOS UE&
D.MF.R.
EL AREA ENCERRADO EN EL DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR REDUCIDO D.M.F.R. RE7RESENTA UNA 7ARA4OLA DE SEGUNDO GRADO ' ES&
SEGN EL TEOREMA @1+ EL 7ISO EN A ES IGUAL AL AREA DETERMINADA+ENTONCES& DETERMINADA+ENTONCES&
DEL TEOREMA 2+ TENEMOS 7ARA LOS 7UNTOS A ' C&
METODO DE LOS TRES MOMENTOS El ingeniero franc>s %lapeyron en NQRA enunció por primera vez la ecuación fundamenal de los res momenos. SDa ecuación de los res momenos es aplicale a res punos cualquiera de un viga" siempre que no &aya discontnuidades" ales como artculaciones" en esa pare de la esrucuraT. Enonces" ese m>o m>odo do sirv sirvee para para &all &allar ar los los mome momen nos os en los los apoy apoyos os de una una viga viga &ipe &ipere res sát átca ca"" o en pun punos os caracerístcos o noales de la viga. 6l aplicar la ecuación fundamenal de los res momenos" a res punos de apoyo consecutvos i" !" M" los >rminos del corrimieno del segundo miemro de la ecuación serán nulos o iguales a movimienos conocidos de los punos de apoyoA oeniendo de esa manera una ecuación que contene" como nicas incógnias" a los momenos en los apoyos. Eso signi$ca" que podemos escriir una ecuación en forma independiene" para res punos de apoyo consecutvos en una viga contnua. e esa manera" se llega a un sisema compatle SnT ecuaciones independienes con SnT incógnias que son los movimienos en los apoyos" los cuales se &allan resolviendo el sisema. %uando en una esrucura contnua" enemos un apoyo exremo emporado" la forma de salvarlo lo veremos en los e!ercicios de aplicación. El eorema general de los res momenos más que un eorema es una fórmula que relaciona los res momenos en res apoyos de una viga contnua" que nos es muy tl en el cálculo de momenos en esos apoyos. 6demás" ese m>odo nos simpli$ca el proceso de cálculo de los momenos ecores con los cuales se procede al razado de los ya conocidos, ?I y I%. %on la aplicación direca de la fórmula" el proceso se simpli$ca y se vuelve un proceso neamene maemátco rápido de desarrollar y fácil de inerprear.
>IGAS CONTINUAS %uando se raa!an con vigas con más de un ramo" las reacciones reacciones no pueden ser calculadas esátcamene. =na forma de resolverlas es aplicando el 9eorema de los 9res ?omenos" el cual puede ser utlizado ami>n para resolver vigas de un solo ramo. Esa ecuación puede ser expresada de la siguiene manera,
DESARROLLO DESARROLLO DE LA FORMULA
?GDU4G?4(DUD4)U?
Don"e& M1+ M2+ M6, M6, ?omenos lecores en los apoyos "4 y < L1+ L2, L2, Dongiud ramos y 4. A1+ A2, A2, @rea del iagrama de ?omenos Ilecores de las cargas sore los ramos y4. a1, a1, isancia del %enro del iagrama de ?omenos Ilecores Ilecores del ramo al apoyo . -2, -2, isancia del %enro del iagrama de ?omenos Ilecores del ramo 4 al apoyo 4.
Lo! tHrino!&
(LG6Ga)#D (LG64G4)#D4
'e otene de la siguiene ala,
Esos Esos tpos tpos ásic ásicos os de carg cargaa pueden pueden comi cominar narse se para para oene oenerr tpos tpos más compl comple!o e!os" s" sumánd sumándose ose o resándose.
'i se va a raa!ar con más de dos ramos" deen escriirse una ecuación de 9res ?omenos por cada par de ramos consecutvos. 8or e!emplo, Trao! 1 2 ?GDU4G?4(DUD4)U?
En ese caso endríamos < ecuaciones con Q incógnias (?" ?4" ?<" ?H y ?Q). 5eneralizando" siempre vamos a ener dos incógnias más que las ecuaciones de 9res ?omenos que vamos a consruir. 8ero los momenos en los exremos pueden ser &allados de acuerdo a los siguienes
crierios, 1J 'i enemos un apoyo simple" el momeno en dic&o exremo será igual a cero. 8ara el diagrama de arria" ? : J y ?Q : J. 2J 'i 2J 'i enemos un emporamieno" se puede consruir una ecuación adicional de 9res momenos" creando un ramo virual en el que odos los valores sean iguales a cero. 8ara 8ara el diagrama de arria" si suponemos que el apoyo Q es un apoyo emporado" podríamos escriir la siguiene ecuación de 9res ?omenos" en donde odos los >rminos con suíndice cero valen cero, 3 sea,
6J 6J 'i enemos un voladizo" el momeno en al exremo seguirá valiendo cero. 6demás" el momeno siguiene al de dic&o exremo será igual a la suma de los producos de las cargas por su razo de palanca a ese ltmo apoyo.
6plicando el 9eorema de los 9res ?omenos es fácil oener los momenos ecores en cada apoyo. 7allar las reacciones en cada apoyo es igualmene sencillo" utlizando la siguiene fórmula" para cada ramo,
8oseriormene" las reacciones equivalenes de cada ramo se suman. 8or e!emplo,
E;ercicio! "e Aplicaci%n @1
>IGAS CONTINUAS DE SECCIBN CONSTANTE ?odelo simple de una viga de res ramos con una carga punual aplicada en el ramo cenral. 8uede oservarse el giro que se produce en las secciones de los apoyos" así como los punos de inexión de la deformada de la viga.
8uene donde se &an utlizado vigas contnas sin ningn tpo de isagra.
8uene consruido mediane vigas de acero contnas. El puene consa de res ramos" y sore dic&o puene se &a consruido consruido una carreera carreera con &ormigón (Dausanne" 'uiza).
E;ercicio "e aplicaci%n @2
E;ercicio "e aplicaci%n @6
METODO DE LA >IGA CON?UGADA Es una viga $ctcia de longiud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momeno ecor reducido aplicado del lado de la compresión. Da viga con!ugada es siempre una viga esátcamene deerminada. El m>odo de la viga con!ugada consise en &allar el momeno en la viga real y cargarlo a la viga con!ugada. Duego dando core y aislando unas de las pare de me!or conveniencia" se otene el corare que será el giro de la viga real y el momeno en la viga con!ugada será el desplazamieno en la misma. Ese m>odo consise en camiar el prolema de enconrar" las pendienes y deexiones causadas en una viga por un sisemas de cargas aplicadas. 9iene la vena!a de que no necesia conocer previamene un puno de angene cero" por lo cual se puede averiguar direcamene la pendiene y deexión en cualquier puno de la elástca.
Relacione! entre la 5iga real K la 5iga con;uga"a a.* Da longiud de la viga real y de la con!ugada es la misma. .* Da carga en la viga con!ugada es el diagrama de momenos de la viga real. c.* Da fuerza corane en un puno de la viga con!ugada es la pendiene en el mismo puno de la viga real. d.*El momeno exionane en un puno de la viga con!ugada es la ec&a en el mismo puno de la viga real. e.*=n apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga con!ugada. f.* =n apoyo emporado real equivale a un exremo lire o voladizo de la viga con!ugada. g.* =n exremo lire (voladizo) real equivale a un emporamieno con!ugado. &.* =n apoyo inerior en una viga contnua equivale a un pasador o artculación en la viga con!ugada. /elaciones enre los apoyos Ese m>odo al igual que el del e!e elástco y área de momenos nos permie calcular los giros y ec&as de los elemenos &orizonales denominados vigas o de los vertcales llamados columnas. En cuano a las caracerístcas de la viga con!ugada" dado que al cargarse >sa con las cargas elástcas su diagrama de momenos ecores dee represenar exacamene la elástca de la viga real" sus vínculos deen elegirse de manera al que se respeen esas premisas.
7rincipio "e Superpo!ici%n El principio de superposición o eorema de superposición es un resulado maemátco que permie descomponer un prolema lineal en dos o más suprolemas más sencillos" de al manera que el prolema original se otene como VsuperposiciónV o VsumaV de esos suprolemas suprolemas más sencillos.
9>cnicamene" el principio de superposición a$rma que cuando las ecuaciones de comporamieno que rigen un prolema Bsico son lineales" enonces el resulado de una medida o la solución de un prolema práctco relacionado con una magniud exensiva asociada al fenómeno" cuando esán presenes los con!unos de facores causanes 6 y -" puede oenerse como la suma de los efecos de 6 más los efecos de -.
Alguna! Aplicacione! Dos puenes de elevación vertcal utlizan cales" poleas" moores y conrapesos para levanar una sola sección del puene en forma vertcal como si fuera un elevador. %uando el puene esá arria pueden pasar por dea!o arcos con la alura máxima de la pare inferior de su esrucura. esrucura. %onsan de dos orres en los exremos consruidas generalmene con piezas de acero.
Teorema 1:
cortante ( V
La pendiente (θ) en un punto de la viga real real es igual a la fuerza ) en el mismo punto de la viga conjugada. )
conj
Xi) real ( Xi)
V conj (
Xi) Xi)
Teorema 2:
momento ( M
La deflexión (y) en cualquier punto de la viga real es igual al
conj )
del punto correspondiente en la viga conjugada.
yreal ( Xi) Xi) M conj ( Xi) Xi)
CONDICIONES DE A7O'O DE LA >IGA CON?UGADA ApoKo !iple en la 5iga real& En ese tpo de apoyo &ay roación pero no deexión" lo cual implica que en la viga con!ugada &ay corane corane pero no momeno" es decir las mismas condiciones que ofrece el mismo apoyo simple.
Apoyo empotrado en la viga viga real:
En ese tpo de apoyo no &ay roación ni deexión" de al manera que en la viga con!ugada no puede &aer corane ni momeno" lo cual sólo se logra de!ando los exremos lires como si esuviera en el aire.
Voladizo Voladizo en la viga real:
En el exremo lire de la viga real se presena roación y deexión" de al manera que viga con!ugada endrá corane y momeno. El emporamieno modela esas dos condiciones.
E;ercicio "e aplicaci%n @1
Determinar el giro en B y la fleca en C de la siguiente estrucutura:
Calcular la flecha e