METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ

EJERCICIOS PASO A PASO DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURALES ESQUELETALES

EDICSON ALEXANDER ALVAREZ SANCHEZ

POLITECNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL MEDELLIN 2009

1

EJERCICIOS PASO A PASO DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURALES ESQUELETALES

EDICSON ALEXANDER ALVAREZ SANCHEZ

Trabajo de grado para optar el título de INGENIERO CIVIL.

Asesor Temático: GIOVANNI MARTÍNEZ MARTÍNEZ Ingeniero Civil Especialista en Análisis y Diseño Estructural Magister en Ingeniería Sismo resistente

Asesor(a) metodológica: MARTHA ELENA ZAPATA PEREZ Ing. Civil. Especialista en gestión pública.

POLITECNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL MEDELLIN 2009

2

Nota de Aceptación.

__________________________________ Firma del Jurado. ___________________________________ Firma del Jurado.

___________________________________ Firma del Jurado.

____________________________________ Firma Presidente del Jurado.

Medellín, 09 de Diciembre del 2009.

3

DEDICATORIA

A mis padres, hermanos, hija, profesor Giovanni Martínez Martínez y todo el grupo profesoral tan de buena calidad que ayudaron a mi formación como ingeniero civil. Por ello les estoy muy agradecido el cual solo les ofrezco el sentimiento tan invaluable que es el de la alegría humana por el de acompañarme educacionalmente en un proceso tan vital en mi proyecto de vida personal y profesional.

4

AGRADECIMIENTOS

Expreso mis más sinceros agradecimientos a: Mis padres FERNANDO ALVAREZ Y NANCY SANCHEZ que estuvieron a mí lado durante todo el proceso de formación profesional. A todo ese grupo de profesionales tan competente del POLITECNICO COLOMBIANO J.I.C. que hicieron que el proceso como ingeniero civil fuera un total éxito en especial a:     

Giovanni Martínez Martínez Martha Elena Zapata Pérez. Daniel Zapata. Luis Guillermo Montoya Vivas. Santiago Wilches.

Profesionales tan íntegros tanto personal como profesionalmente, de los cuales aprendí tanto de lo mencionado anteriormente y obviamente de su cátedra, espero que perduren mucho más para que sigan ayudando en la formación de nuevos profesionales en el área de la Ing. Civil.

5

CONTENIDO

Pág.

GLOSARIO.

9

RESUMEN.

10

INTRODUCCION.

11

1. OBJETIVOS.

12

1.1.

OBJETIVO GENERAL.

12

1.2.

OBJETIVOS ESPECIFICOS.

12

2. RESEÑA HISTORICA.

13

3. METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ.

14

4. CONVENCION DE SIGNOS POSITIVO.

19

5. NUMERACION DE GRADOS DE LIBERTAD.

19

6. SISTEMA LOCAL Y GLOBAL DE COORDENADAS.

20

6

6.1.

SISTEMA GLOBAL.

21

6.2.

SISTEMA LOCAL.

21

7. MATRIZ DE LOCALES.

7.1.

UN

ELEMENTO

TRIDIMENSIONAL

EN

PROPIEDADES DE LA MATRIZ.

COORDENADAS 23

24

8. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ λ ].

25

8.1.

MATRIZ DE TRANSFORMACION PORTICO PLANO.

26

8.2.

MATRIZ DE TRANSFORMACION CERCHA PLANA.

27

8.3.

MATRIZ DE TRANSFORMACION CERCHA ESPACIAL.

27

9. DEMOSTRACION DE LA OBTENCION DE LA ECUACION GENERAL { F } = [ K ] * { U }. 28

10. DESGLOSE DE LA ECUACION GENERAL.

30

11. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES CERCHA PLANA.

31

12. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES PORTICO PLANO.

32

13. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO VIGA.

33

7

14. MODIFICACION DE LA ECUACON GENERAL CUANDO SE TIENEN CARGAS EN LAS LUCES. 34

15. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y REACCIONES.

35

16. CONDENSACION MATRICIAL.

37

17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

39

17.1. EJEMPLO 1. VIGA.

39

17.2. EJEMPLO 2. VIGA.

47

17.3. EJEMPLO 3. PORTICO.

56

17.4. EJEMPLO 4. PORTICO.

69

17.5. EJEMPLO 5. PORTICO 3D.

79

18. CONCLUSIONES.

102

19. RECOMENDACIONES.

103

20. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA.

104

8

GLOSARIO

FLEXIBILIDAD: alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad.

GRADO DE LIBERTAD: es un posible movimiento de un nudo en una estructura.

PORTICO: Un pórtico es un espacio arquitectónico conformado por una galería de columnas adosada a un edificio, abierta al aire libre, y situado generalmente ante su acceso principal.

RIGIDEZ: fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario.

VIGA: En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

9

RESUMEN

Los siguientes temas serán profundizados para la debida interpretación y aplicación del método matricial de rigidez:  Se comenzara con una pequeña reseña histórica del método a tratar.  Se ampliaran cada uno de los conceptos del tema como grados de libertad, grados de libertad restringidos, grados de libertad libres, modulo de elasticidad, inercia, etc. Todos los conceptos implícitos en el método.  Se trataran las matrices para sistemas globales y locales, que son y cuando se emplean.  Matriz de rigidez y sus propiedades.  Matrices de transformación de coordenadas. Estos serán los temas que comprenderá el método, el cual será dividido en dos partes para su mejor comprensión las cuales serán:  Con cargas en los nudos.  Cargas en las luces. Cada parte con sus respectivos ejemplos de pórtico, cercha y vigas. Y el tema más importante que es la condensación matricial ya que mediante este podemos hallar nuestros desplazamientos de piso cuando nos encontramos modelando un pórtico muy grande.

10

INTRODUCCION

El método matricial de rigidez, es un método que evoluciono tanto, que en la actualidad tiene una teoría ampliamente fundamentada con unas bases definidas y estructuradas lo cual hace de este método un camino para la implementación de software de modela miento estructural. Mediante la aplicación de los siguientes ejercicios paso a paso, se pretende dar una herramienta básica en la solución de pórticos, vigas y cerchas estructurales mediante la aplicación del método matricial de rigidez. También será a la vez un asesor a la hora de estudiar para un parcial ya que se enfocara detalladamente a cada uno de los pasos que se deben efectuar a la hora de solucionar una estructura, todo ello se llevara a cabo mediante la planteacion y solución de cada tipo de estructuras como son cerchas, vigas y pórticos. Todo lo anterior es de suma importancia ya que el método matricial de rigidez es uno de los temas más importantes de los que abarca el análisis estructural ya que el 100 % de modeladores de sistemas estructurales se basan en el método, como por ejemplo el SAP2000. Se llego a la determinación de los ejercicios paso a paso por la falta de un manual en el que se explique paso a paso la solución o el cálculo de estructuras esqueletales como pórticos, cerchas y vigas estructurales aplicando el método matricial de rigidez, ya que en general solo se usa este método.

11

1. OBJETIVOS

1.1.

OBJETIVO GENERAL:

Realizar una guía práctica para la debida interpretación, análisis y aplicación del método matricial de rigidez para el cálculo de estructuras esqueletales como pórticos, vigas y cerchas, mediante la aplicación paso a paso de método matricial de rigidez.

1.2.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Plantear teoría de cómo calcular paso a paso estructuras esqueletales como pórticos, cerchas y vigas mediante el método matricial de rigidez.  Aplicar la teoría especificada al cálculo de ejercicios paso a paso a pórticos, y vigas con cargas distribuidas en las luces.

12

2. RESEÑA HISTORICA

Henry Manderla fue el primero en utilizar los desplazamientos (∆); y rotaciones (Ѳ) en los nudos como incógnitas en el análisis de una estructura hiperestática. En 1880 analizo un pórtico de nudos rígidos tomando en consideración las deformaciones producidas en los elementos de la estructura por la acción de los momentos flectores y las fuerzas axiales. Esta técnica no resulto apropiada para la época por la complejidad del sistema resultante de ecuaciones, expresado en términos de la translación y rotación desconocidas de los nudos y que pretende describir el efecto de la flexión y de la fuerza axial sobre cada elemento. Posteriormente en 1892 Otto Mohr quien había contribuido al desarrollo del método de flexibilidad para estructuras hiperestáticas, propuso un método aproximado para el cálculo de los esfuerzos producidos por la flexión en un pórtico de nudos rígidos. La técnica de Mohr requería la solución de un sistema de ecuaciones expresado únicamente en términos de las rotaciones (Ѳ) de los nudos. En 1914 Alex Bendixen propuso el método pendiente-deflexión para el análisis de estructuras que requieren la solución de un sistema de ecuaciones expresado en términos de los desplazamientos (∆) y rotaciones (Ѳ) de los nudos. En 1915 G. A. Maney dio a conocer el desarrollo formal de las ecuaciones pendiente-deflexión. El método pendiente-deflexión propuesto por Bendixen y Maney es semejante al método propuesto anteriormente por Mohr. En 1930 Hardy Cross difundió el método de distribución de momentos, este método aproxima progresivamente el valor de los momentos no equilibrados en los nudos permitiendo de esta forma analizar estructuras planas con nudos rígidos esta técnica tuvo gran aceptación por cuanto elimino la necesidad de resolver el sistema de ecuaciones simultaneas lineales requerido en el método pendiente –deflexión . E método pendiente –deflexión para el análisis de estructuras hiperestáticas es el predecesor del método más generalizado de análisis que se utiliza actualmente. El advenimiento del computador digital para realizar operaciones matemáticas elimino a la solución de ecuaciones simultáneas como una restricción u obstáculo para el análisis estructural. Esta ha permitido la utilización de un método muy general para el análisis de estructuras reticulares (formada por barras esqueletales). Las incógnitas de su formulación son los desplazamientos y las rotaciones de los nudos. Este método de análisis se llama METODO MATRICIAL DE RGIDEZ. 13

3. METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ

Comenzaremos conociendo que significa grado de libertad (GDL): Un grado de libertad es un posible movimiento de un nudo en una estructura. De este significado se desglosa:  Grados de libertad restringidos (GDR): Son aquellos que impiden el movimiento de los nudos. Estos no lo dan por general los apoyos de la estructura.  Grados de libertad libres (GDL): Son aquellos que se desplazan libremente por lo general son los que no tienen apoyo.

CERCHA PLANA

Ejemplo 1.

La cercha sometida a cualquier tipo de carga. No de nudos = 8 Un nudo de una cercha tiene 2 posibles movimientos que son Horizontal y Vertical. Es decir que por nudo tiene 2 GDL.

Δx

Δy

 GDLTotales = No * 2 = 8*2 =16 Ello para cualquier cercha plana. 14

 GDLLibres = 6*2 = 12.  GDLRestringidos = 2*2 = 4.

Ejemplo 2.

No de nudos = 13, ya que cuando especifican los cruces de barras con círculos es porque es un nudo de lo contrario no sería nudo.  GDLTotales = 2*13 = 26.  GDLLibres = (2*11)+1 = 23.  GDLRestringidos = 3. Sabemos que el triangulo es un apoyo que me restringe el desplazamiento horizontal y vertical y el circulo es un apoyo simple que solo restringe el desplazamiento vertical.

CERCHA ESPACIAL

Para una cercha en el espacio los GDLTotales = No de nudos * 3

Δy Δx

Δz 15

PORTICO PLANO (FRAME PLANE)

θZ

Los posibles movimientos que sufre un nudo de un pórtico plano son:  ∆x = desplazamiento horizontal.  ∆y = desplazamiento vertical.  Ѳz = la rotación con respecto al eje z. 

GDLTotales = No de nudos * 3

Para el ejemplo GDLT=8*3 =24, GDLR=2*3=6 y los GDLL=6*2=18. Recordemos que un empotramiento restringe todos los posibles movimientos de un nudo en una estructura.

θz

Δy

Δx

16

PORTICO ESPACIAL

Los posibles movimientos de un nudo en un pórtico espacial son 6 que son las tres rotaciones y los tres desplazamientos:

Δy θy

θx Δx

θz Δz  ∆x = desplazamiento horizontal.  ∆y = desplazamiento vertical.  ∆z = desplazamiento con respecto al eje z. 17

 Ѳx = rotación alrededor del eje x.  Ѳy = rotación alrededor del eje y.  Ѳz = rotación alrededor del eje z.

Los GDLTotales = No de nudos *6. Para el ejemplo GDLT=36*6=216, GDLL=27*6=162 y los GDLR=9*3=27.

ELEMENTO VIGA

Las vigas se diferencian del pórtico porque siempre es recta por lo tanto como la estructura debe ser estable no va a ver desplazamiento horizontal (∆x); es decir que la axial se desprecia. Por lo tanto para el conteo de los GDL no se tiene en cuenta el ∆x.

Δy Θz Los GDLTotales = No de nudos*2 Para el ejemplo GDLT=14, GDLR=5 y GDLL=9. La clave es primero observar los tipos de apoyo y sacar de acuerdo a eso los GDLRestringidos y por ultimo restarlos a los GDLT para así obtener los GDLL.

18

4. CONVENSION DE SIGNOS POSITIVA

La convención que manejaremos de ahora en adelante será:

+

5. NUMERACION DE LOS GRADOS DE LIBERTAD

Primero se numeran los grados de libertad libres y posteriormente los grados de libertad restringidos y se hará en el siguiente orden.

3 2 1 Primero el horizontal, luego el vertical y por último la rotación.

19

6. SISTEMA LOCAL Y GLOBAL DE COORDENADAS ENUMERACION DE LOS GRADOS DE LIBERTAD EN AL ESTRUCTURA

PORTICO PLANO

4

1 2

5 6

3

11

9

12

10 8

7

Primero numeramos los grados de libertad libres en la convención ya estipulada anteriormente y posteriormente los restringidos. (Rojos son los grados de libertad restringidos).  GDLT=12  GDLR=4  GDLL=8 La matriz total será de 12*12 y la matriz de incógnitas será de 8*8.

20

6.1. SISTEMA GLOBAL

Esta nos hace referencia a los ejes X, Y y Z del plano cartesiano. Este sistema es utilizado para la ubicación de los desplazamientos en la estructura. Se denota con letras mayúsculas. (F, U) F = Fuerzas U = Desplazamientos

6.2. SISTEMA LOCAL

Este nos hace referencia con el eje X paralelo al eje geométrico del elemento, es decir que se realiza un giro al sistema global. Este sistema se utiliza para los diagramas de fuerzas internas en las estructuras. Se denota con letras minúsculas (f, u). f = Fuerzas u = Desplazamientos Cuando se tienen elementos verticales u horizontales el sistema global coincide con el sistema local. F4

f4 f5

F6

f6

GLOBAL

LOCAL

F11

f11 F12

f12

F8

f8

21

F1

F4

GLOBAL

F5

F2 F6

F3

f1

f4

LOCAL

f5

f2 f6

f3

Lo contrario ocurre con los elementos inclinados. F

f1

f3

F2 F3

f2

LOCAL

GLOBAL

f10

F9 f9

F10 F7

f7

Solo los momentos son los que son iguales. Es decir f7=f7 y f3=f3.

Lo que realiza después es un análisis de elemento por elemento para ir analizando de acuerdo a la resistencia de materiales cada grado de libertad y así aplicar principio de superposición para la extracción de la matriz de rigidez en coordenadas locales de un elemento tridimensional. Lo anterior no es necesario para el manual ya que este se enfocara directamente a la aplicación directa de las matrices por lo tanto se irán dando a medida que evolucionamos en el método.

22

7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRIDIMENSIONAL EN COORDENADAS LOCALES

f2

0

2 0 12EIz L3

f3

0

0

f4 f5 f6 f7

0 0 0 -AE / L

f8

0

f1

1 AE / L

3 0

4 0

5 0

6 0

7 -AE / L

6Eiz / L2 0

8 0 -12Eiz L3

0

0

/ 0

0

0

12Eiy / L3 0 -6Eiy / L2 G Ix / 0 L 0 -6Eiy / L2 0 4Eiy / L 0 0 0 0 0 0

f9

0

0 0 6Eiz / L2 0 -12Eiz / L3 0 -12Eiy 0 L3

f10 f11 f12

0 0 0

0 0 6Eiz / L2

0

0

0

9 0

10 0

11 0

12 0

u1

0 -12Eiy L3

0

0

6Eiz / L2

u2

0

-6Eiy / L2 0

u3

/ /

0 0 0 0 4Eiz / L 0 0 AE / L -6Eiz / L2 0

0 0 -6Eiz / L2 0 12Eiz / L3

0 6Eiy / L2 0 0

-G Ix / L 0 0 0

0 2Eiy / L 0 0

0 0 2Eiz / L 0

u4 u5 u6 u7

0

0

0

-6Eiz / L2

u8

0

0

0

12Eiy / L3 0

6Eiy / L2

0

u9

0 0 2Eiz / L

0 0 0

0 0 0 6Eiy / L2 -6Eiz / L2 0

0 4Eiy / L 0

0 0 4Eiz / L

u10 u11 u12

/

0 6Eiy / L2 -G Ix / 0 L 0 -6Eiy / L2 0 2Eiy / L 0 0 0

{f}=[k]*{u} 12*1

12*12

12*1

23

G Ix / L 0 0

{ f } = Vector de cargas en los nudos. { u } = Vector de desplazamientos. [ k ] = Matriz de rigidez

7.1. PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

 Simétrica.  Si aparece el modulo de elasticidad E. El material se comporta en el rango elástico lineal, es decir que los desplazamientos y las rotaciones son pequeñas.  No considera el efecto de la cortante.  No considera el efecto del pandeo.  No considera la rigidez de la unión viga-columna (nudos).  Todos los términos de la diagonal y tienden hacer los mayores valores de cada fila.  Es una matriz singular. Es decir que no tiene inversa.

24

8. MATRIZ DE TRANSFORMACION [ λ ]

De la anterior matriz se extraen las matrices correspondientes de elemento pórtico plano, elemento cercha plana y elemento viga en coordenadas locales. Que para el manual tampoco es necesario plantearlas ya que las que se utilizan son e coordenadas globales. Ello se obtiene de transformar las matrices de coordenadas locales a globales. Para lograr lo anterior se debe calcular primero una matriz que transforme las coordenadas. Esta matriz se llama MATRIZDE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ λ ].

PORTICO PLANO F6

F5 f5

f6 F4 f4

F2 F2 F3

α F1 f1

f3 F1 = f1*cosα – f2*senα F2 = f1*senα + f2*cosα F3 = f3 F4 = f4cosα – f5*senα F5 = f4*senα – f5cosα F6 = f6 Organizando matricialmente considerando cosα = cx y senα = cy obtenemos:

25

8.1. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS ELEMENTO PORTICO PLANO

λ=

cx cy 0 0 0 0

-cy cx 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cx cy 0

0 0 0 -cy cx 0

0 0 0 0 0 1

{ F } = [ λ ] * { f } (1) { f } = [ λ ] inv * { F } (2)

Las anteriores formulas son las que se utilizan para la transformación de las coordenadas. El ángulo α se mide de local a global (con respecto al eje x). Si es horario α es negativo y si es anti horario α es positivo.

y

y α

-

+ x

α

y x

x -

(xf,yf)

Yf - yi (xi,yi) Xf - xi

26

α

Xf = Coordenada x nudo final Xi = Coordenada x nudo inicial Yf = Coordenada y nudo final Yi = Coordenada y nudo inicial Cos α = (xf – xi)/L Sen α = (yf – yi)/L L = {(xf – xi) 2 + (yf – yi)2}^(1/2)

8.2. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ λ ] CERCHA PLANA

λ=

cx cy 0 0

0 0 0 0

0 0 cx cy

0 0 0 0

8.3. MATRIZ DE TRANSFORMACION [ λ ] CERCHA ESPACIAL

λ=

CX CY CZ 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 CX CY CZ

27

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

cx, cy ,cz son los cosenos directores

Lo que se procede a realizar es transformar cada una de las matrices de elemento pórtico plano, elementó cercha plana y elemento viga, en matrices en coordenadas globales. Cabe aclarar que las matrices en coordenadas locales salen de la matriz de rigidez del elemento tridimensional dada anteriormente que para el manual no es necesario dicha demostración ya que como se menciono anteriormente el enfoque es dedicado a la aplicación directa del método, por lo tanto a continuación se entregan las matrices de cada uno de los elementos en coordenadas globales que son las que se utilizan a la hora de abarcar un ejercicio.

28

9. DEMOSTRACION DE LA OBTENCION DE LA ECUACION GENERAL {F}=[K]*{U}

{f}=[k]*{u}

(1)

{F}=[λ]*{f]

(2)

Como { F } es una cantidad vectorial, también se aplica para los desplazamientos {U}=[λ]*{u}

(3)

Multiplicando por [ λ ]-1 [ λ ]-1 *{ U } = [ λ ]-1 * [ λ ] *{ u } [ λ ]-1 * { U } = { u } (4) 4 en 1 { f } = [ k ] * [ λ ]-1 * { U }

(5)

5 en 2 {F}=[λ]*[k]*[λ]*{U} K { F } = [ K ] * { U } GLOBAL Esta fórmula se desglosa en dos de la siguiente manera:

P0 P1

KO K2

K1 K3

U0 U1

Para la partición es de acuerdo al número de GDL libres.

29

10. DESGLOCE DE LA ECUACION GENERAL

10.1. ECUACION 1 Con esta calculamos los desplazamientos en los grados de libertad libres. { P0 } = [ K0 ] * { U0 } + [ K1 ] *{ U1 }

10.2. ECUACION 2 Con esta se calculan las reacciones { F1 } = [ K2 ] * { U0 } + [ K3 ] * { U1 }

DONDE: { F } = Vector de cargas en los grados de libertad libres. { F0 } = Vector de cargas en los grados de libertad libres y son conocidos. { F1 } = Vector de cargas en los grados de libertad restringidos que corresponden a las reacciones. { U } = Vector de de desplazamientos nodales. Igual al número de GDL totales. { U0 ] = Vector de desplazamientos en los GDL libres y son desconocidos. { U1 } = Vector de desplazamientos en los GDL restringidos, son conocidos y puede que sean cero o diferente de cero pero siempre conocidos.

30

11. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO CERCHA PLANA

K = A * E /L

cos2 α

cos α * sen α

-cos α * sen α

sen2 α

-cos2 α -cos α * sen α

cos α * sen α -cos2 α -cos α * sen α

-cos α * sen α -sen2 α

cos2 α cos α * sen α

cos α * sen α sen2 α

-sen2 α

L = {(xf - xi ) 2 + (yf - yi)2 }^(1/2)

cos α = (xf - xi) / L sen α = ( yf - yi) / L

31

12. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO PORTICO PLANO

K=

a b -c -a -b -c

b f h -b -f h

-c h k c -h k/2

cos α = ( xf - xi )/ L

-a -b c a b c

-b -f -h b f -h

sen α = ( yf - yi )/ L

L = { ( xf - xi )2 + ( yf - yi )2 ) }^(1/2) a =( E*A/L)*cos2α + (12*E*I)/L3)*sen2α b = { [(E*A)/L] - [(12*E*I)/L3] } * cosα * senα c =[ (6*E*I)/L2 ] * senα f =( E*A/L)*sen2α + (12*E*I)/L3)*cos2α h =[ (6*E*I)/L2 ] * cosα k = (4*E*I)/L

32

-c h k/2 c -h k/2

13. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO VIGA

K=

12*E*Iz /L3 6*E*Iz /L2 -12*E*Iz /L3 6*E*Iz /L2

6*E*Iz /L2 4*E*Iz /L -6*E*Iz /L2 2*E*Iz /L

-12*E*Iz /L3 -6*E*Iz /L2 12*E*Iz /L3 -6*E*Iz /L2

33

6*E*Iz /L2 2*E*Iz /L -6*E*Iz /L2 4*E*Iz /L

14. MODIFICACION DE LA ECUACION GENERAL CUANDO TENEMOS CARGAS EN LAS LUCES

Mediante las ecuaciones obtenidas anteriormente solo se tenían cargas en los nudos el cual se tenía lo siguiente: {F}=[K]*{U} Ahora con cargas en las luces simplemente lo que se hace es agregarle el vector de cargas en las luces el cual se denotara { R }, la formula general quedaría entonces de la siguiente manera: {F}={R}+[K]*{U} {F}–{R}=[K]*{U} {P}=[K]*{U} Donde { P } = { F } – { R }

Para la de determinación o cálculo de las cargas en las luces { R }, se deben emplear los momentos de empotramiento y reacciones.

34

15. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y REACCIONES

15.1. CARGA RECTANGULAR

Q QL2/12 2

QL2/12 QL/2

QL/2 L

15.2. CARGA PUNTUAL

Q Qa2b/L2 2

Qab2/L2 Qb2/L3*(3a+b)

Qa2/L3*(a+3b) L a

b

35

15.3. CARGA TRIANGULAR

QL2/20

QL2/30 3QL/20L

7QL/20 L

15.4. CARGA TRAPEZOIDAL

Q2 (L2/60)*(3*Q1+2*Q2)

Q1

(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)

(L/20)*(7*Q1+3*Q2)

(L/20)*(3*Q1+7*Q2) L

36

16. CONDENSACION MATRICIAL

Condensar matricialmente, se refiere a reducir los grados de libertad, cuando se considera que la diferencia entre los desplazamientos de los nudos de un mismo nivel son muy parecidos. Por lo general, lo que se condensa matricialmente son los desplazamientos horizontales, es decir que solo habrá un grado de libertad por piso, cuando se realiza manualmente ( y con la ayuda de una hoja de cálculo) es recomendable enumerar primero los grados de libertad horizontales de los pisos. Con esta numeración se garantiza tener los grados de libertad horizontales al principio de la matriz principal o total.

K1 ‘

K0 ‘ K= K2 ‘

K3 ‘

Si solamente esos grados de libertad tienen cargas horizontales, se tendría:

F0 0

KO' K2'

K1' K3'

U0' U1'

{ U0’ } = Desplazamientos de piso. [ K0’ ] = Igual número de pisos. { F0 } = [ K0’ ] * { U0’ } + [ K1’ ] * { U1’ ] { 0 } = [ K2’ ] * { U0’ } + [ K3’ ] * { U1’ ] De (2) [ K3’ ] * { U1’ } = - [ K2’ ] * { U0’ } 37

(1) (2)

{ U1’ } = -( [ K3’ ] -1) * [ K2’ ] * { U0’ } (3) (3) en (1) { F0 } = [ K0’ ] * { U0’ } – [ K1’ ]* ([ K3’ ]-1) * [ K2’ ] * { U0’ } { F0 } =( [ K0’ ] – [ K1’ ]* ([ K3’ ]-1) * [ K2’ ] ) * { U0’ } [ KC ]

La matriz [ Kc ] es una de las matrices más utilizadas en la modelación estructural. Esta forma de condensar o modelar es lo que se conoce como “ DIAFRAGMA RIGIDO “, donde todos los puntos de un mismo nivel se desplaza horizontalmente lo mismo.

38

17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ 3 T-m

3 Ton

17.1. EJEMPLO 1.

4 T/m 2,5 T/m

1 T/m 2 T/m

0,02 Rad

1 cm

3 cm

5m

4m

4m

2m

Calcular los desplazamientos y las reacciones de la viga con rotación y desplazamiento cuya sección es de 30 cm * 30 cm con un EI = cte. de 3200 Tonm2

PASO 1. Enumeración de nudos, sentido de análisis de las barras o tramos de viga. 1

1

2

2

5m

3

3

4m

4

4

4m

5

2m

PASO 2. Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS RESTRINGIDOS.

4 7

6

1

8

2 39

9

3

10

5

PASO 3. Calculo de las matrices elementales. Ki

ELEMENTO O TRAMO 1

B= E=

K1=

L= A= E*I =

0,3 2000000,0

H= I=

0,4 0,0

6

7 768,00 2560,00 -768,00 1280,00

8 -307,20 -768,00 307,20 -768,00

768,00 1280,00 -768,00 2560,00

L= A= E*I =

307,20 768,00 -307,20 768,00

5,0 0,1 3200,0

m m2 Ton-m2

1 6 7 8 1

ELEMENTO O TRAMO 2

B= E=

K2=

4,0 0,1 3200,0

0,3 2000000,0

H= I=

0,4 0,0

8

1 1200,00 3200,00 -1200,00 1600,00

9 -600,00 -1200,00 600,00 -1200,00

1200,00 1600,00 -1200,00 3200,00

8 1 9 2

L= A= E*I =

4,0 0,1 3200,0

600,00 1200,00 -600,00 1200,00

m m2 Ton-m2

2

ELEMENTO O TRAMO 3

B= E=

K3=

0,3 2000000,0

H= I=

0,4 0,0

9

2 1200,00 3200,00 -1200,00 1600,00

10 -600,00 -1200,00 600,00 -1200,00

600,00 1200,00 -600,00 1200,00

40

3 1200,00 1600,00 -1200,00 3200,00

9 2 10 3

m m2 Ton-m2

ELEMENTO O TRAMO 4

B= E=

0,3 2000000,0

H= I=

0,4 0,0

10

3 4800,00 6400,00 -4800,00 3200,00

4 -4800,00 -4800,00 4800,00 -4800,00

4800,00 4800,00 -4800,00 4800,00

K4=

L= A= E*I =

2,0 0,1 3200,0

m m2 Ton-m2

5 4800,00 3200,00 -4800,00 6400,00

10 3 4 5

PASO 4. Calculo de la matriz total de la viga. K

1

K=

5760 1600 0 0 0 768 1280 432 -1200 0

2 1600 6400 1600 0 0 0 0 1200 0 -1200

3 0 1600 9600 -4800 3200 0 0 0 1200 3600

4 0 0 -4800 4800 -4800 0 0 0 0 -4800

5 0 0 3200 -4800 6400 0 0 0 0 4800

41

6 768 0 0 0 0 307 768 -307 0 0

7 1280 0 0 0 0 768 2560 -768 0 0

8 432 1200 0 0 0 -307 -768 907 -600 0

9 10 -1200 0 0 -1200 1200 3600 0 -4800 0 4800 0 0 0 0 -600 0 1200 -600 -600 5400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PASO 5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos.

VECTOR DE CARGAS NODALES

VECTOR DE CARGAS EN LAS LUCES

0 -3 0 -3 0

F0

R0

F= F1

R=

F6 F7 F8 F9 F10

R1

0,05 1,60 -3,47 2,60 0,93 2,50 2,08 5,40 10,00 10,50

Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la estructura así: Q QL2/12 2

QL2/12 QL/2

QL/2 L

Q2 (L2/60)*(3*Q1+2*Q2)

Q1

(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)

(L/20)*(7*Q1+3*Q2)

(L/20)*(3*Q1+7*Q2) L

42

TRAMO 1 1T/m R1:2,08

R7:2,08 R6=2,5

R8=2,5 5m

TRAMO 2

2,5T/m R1=2,13

1T/m

R2=2,53

R8=2,90

R9=4,10 4m

TRAMO 3

4T/m R2=4,13

2,5T/m

R3=4,53

R9=5,90

R10=7,10 4m

TRAMO 4

4T/m R3=1,07

2T/m

R10=3,40

R5=0,93

R4=2,60 2m

43

VECTOR { P } = { F } – { R }

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS

U0

U1 U2 U3 U4 U5

P0

U= U1

P=

0 0,02 -0,03 -0,01 0

PASO 6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones. {P} = [k] *{U}

P0 P1

KO K2

K1 K3

U0 U1

ECUACION 1 Cálculo de los desplazamientos.

{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1} {P0}– {[K1]*{U1}*{K0INV}} = {U0}

44

P1

-0,05 -4,60 3,47 -5,60 -0,93 F6 - 2,50 F7 - 2,08 F8 - 5,40 F9 - 10 F10 - 10,5

24,64 -36 K1 * U1

-12 0 0

P0 (K1*U1)

-24,69 31,40

U1 U2

-0,0063 0,0071

Rad Rad

15,47 -5,60 -0,93

U3= U4 U5

-0,0025 -0,0103 -0,0066

Rad m Rad

ECUACION 2 Calculo de las reacciones.

{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}

K2 * U0

-4,8061

24,576

F6

22,27

-8,0102 5,8136 4,5011 0,0915

74,24 -36,576 6 6

F7 F8= F9 F10

68,31 -25,36 20,50 16,59

K3 * U1

Ton Tonm Ton Ton Ton

PASO 7. Dibujo de las reacciones.

25,36 Ton 68,31 Ton-m

22,27 Ton

45

20,50 Ton

16,59 Ton

DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE 3 T-m

3 Ton 4 T/m

2,5 T/m 1 T/m 2 T/m

0,02 Rad

1 cm

3 cm

5m

4m

4m

2m

V (Ton)

22,27 17,27

9

5,41

3

8,09 7,59

15,09 M (T-m) 30,54

2,1m

5,05 10,82 13,82 68,31

46

11,83

17.2. EJEMPLO 2. 80 kN/m 40 kN/m

40 kN/m

2m

4m

2m

4m

a). La viga mostrada tiene una sección de 30 cm * 30 cm, y un E = 2E7 kN/m2 calcular la flecha en la mitad de la viga. b). Calcular la sección transversal de tal forma que la flecha en la mitad sea 2 cm.

PASO 1. Enumeración de nudos, sentido de análisis de las barras o tramos de viga.

2

1

1

3

2

2m

4

3

4m

4

5

2m

4m

PASO 2. Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS RESTRINGIDOS.

1 2

9

7

4

5

6

3 47

10

8

PASO 3. Calculo de las matrices elementales. Ki

ELEMENTO O TRAMO 1

B= E=

K1=

0,3 20000000,0

H= I=

0,3 0,0

L= A= E*I =

1

2 20250,00 27000,00 -20250,00 13500,00

9 -20250,00 -20250,00 20250,00 -20250,00

3 20250,00 13500,00 -20250,00 27000,00

1 2 9 3

4,0 0,1 13500,0

20250,00 20250,00 -20250,00 20250,00

2,0 0,1 13500,0

m m2 kN-m2

ELEMENTO O TRAMO 2

B= E=

K2=

0,3 20000000,0

H= I=

0,3 0,0

L= A= E*I =

9

3 5062,50 13500,00 -5062,50 6750,00

4 -2531,25 -5062,50 2531,25 -5062,50

5 5062,50 6750,00 -5062,50 13500,00

9 3 4 5

4,0 0,1 13500,0

4 5 10 6

2531,25 5062,50 -2531,25 5062,50

m m2 kN-m2

ELEMENTO O TRAMO 3

B= E=

K3=

0,3 20000000,0

H= I=

0,3 0,0

L= A= E*I =

4

5 5062,50 13500,00 -5062,50 6750,00

10 -2531,25 -5062,50 2531,25 -5062,50

6 5062,50 6750,00 -5062,50 13500,00

2531,25 5062,50 -2531,25 5062,50

48

m m2 kN-m2

ELEMENTO O TRAMO 4

B= E=

K4=

0,3 20000000,0

H= I=

0,3 0,0

L= A= E*I =

10

6 20250,00 27000,00 -20250,00 13500,00

7 -20250,00 -20250,00 20250,00 -20250,00

8 20250,00 13500,00 -20250,00 27000,00

20250,00 20250,00 -20250,00 20250,00

2,0 0,1 13500,0

10 6 7 8

m m2 kN-m2

PASO 4. Calculo de la matriz total de la viga. K

1 20250 20250 20250 0 0

2 20250 27000 13500 0 0

0

0

0

5063

6750

0

0

0

0

0

0

0

-20250 0

3 4 20250 0 13500 0 40500 -5063 -5063 5063 6750 0

0 0 -20250 15188 -2531 0

0

-2531

5 0 0 6750 0 27000

0 5063

6 0 0 0 5063 6750

7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40500 20250 13500 20250 20250 20250 13500 20250 27000 0

0 0 15188 20250 20250

-5063

49

9

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PASO 5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos.


F=

F0 F1


0 0 0 0 0 0 0 0 F9 F10

R0 R1

R=

44,00 15,11 69,33 288,00 0,00 -69,33 44,00 -15,11 172,00 172,00

Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la estructura así:

Q2 (L2/60)*(3*Q1+2*Q2)

Q1

(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)

(L/20)*(7*Q1+3*Q2)

(L/20)*(3*Q1+7*Q2) L

TRAMO 1 53,33 R2=15,12

40

R3=16

R1=44

R9=49,33 2m 50

TRAMO 2

80 R3=85,33

53,33

R5=92,44

R9=122,67

R4=144 4m

TRAMO 3

80 R5=92,44

53,33

R4=144

R6=85,33

R10=122,67 4m

TRAMO 4

53,33 R6=16

40

R10=49,33

R8=15,11

R7=44 2m

51

VECTOR {P } = { F } – { R }

P=

P0 P1


-44,00 -15,11 -69,33 -288,00 0,00 69,33 -44,00 15,11 F9 - 172 F10 - 172

U=


P0 P1

KO K2

K1 K3

U0 U1


{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1} [P0]*[K0INV] = {U0}

52

U0 U1

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 0 0

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8

0,1621 -0,0800 -0,0843 -0,2254 0,0000 0,0843 0,1621 0,0800

m Rad Rad m Rad Rad m Rad


{P1} = [K2]*{U0}

F9 - 172 F10 - 172

188 188

F9 F10

360 360

kN kN


360 kN

360 kN

53

DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

80 kN/m 40 kN/m

40 kN/m

2m

4m

2m

4m

V (kN)

266,67 93,33

93,33 266,67

M (kN-m) Mmax=328,89

88,89

88,89

54

b). Para hallar la sección basta cambiar los datos en las matrices de cada elemento de la viga, ya que estos se encuentran montados en una hoja de cálculo Excel esto funciona como una iteración. Realizando lo anterior nos da una flecha de 2 cm, con una sección transversal de 40 cm * 55 cm.

55

17.3. EJEMPLO 3. 0,6 Ton/m = cv 1 Ton/m = cm

10 Ton

0,6 Ton/m = cv

3m

5 Ton 1 Ton/m = cm 3m

4m

4m

4m

Modulo del material concreto = 2E6 Ton/m2 Secciones transversales: Columnas 40cm * 60cm y vigas de 40cm * 40cm Combinaciones de carga 1). 1,4cm + 1,7cv 2). Cm + cv

3). Cm + cv + ch

Para la solución de pórtico se procede a realizar primero que todas las combinaciones el ejercicio solo se calculara con la 1 combinación de carga. Como ya no dieron cuánto vale cm y cv simplemente se remplazan en cada una de las combinaciones así. CARGAS (Ton/m) CM CV CH 1 0,6 0 COMVINACIONES (Ton/m) 1,4CM + CM + CM + CV + 174CV CH CH 2,42 1 1,6 1 2 3 L= 4 m

CARGAS R qL/2 4,84 2 3,2 4,840 56

qL2/12 3,227 1,333 2,133 3,227

CON 2 3 1

PASO 1. Numeración de cada elemento, nudo y sentido de los elementos.

7

1

2

8

3m

6

5 9

4

10

5

3

6

3

2

1

3m

4

7

10 8 4m

9 4m

4m

PASO 2 Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS RESTRINGIDOS.

2

1

5

4

3

7

8

10

13

16

14 15

25

28 27

20

19

57

17 18

26

24 22

23

11 12

9

21

6

30

29

PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki ELEMENTO 1

Xi = Yi = Cos α = B= E= b= h=

0,0 0,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0

Xf = Yf = Sen α = H= I= c= k=

0,0 3,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

21 6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

22 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

23 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

7 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

8 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

9 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0


4,0 0,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


4,0 3,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

24 6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

25 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

19 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

10 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

11 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

12 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0

21 22 23 7 8 9

ELEMENTO 2

58

24 25 19 10 11 12

ELEMENTO 3


8,0 0,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


8,0 3,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

26

27 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

20 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

13 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

14 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

15 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0


12,0 0,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


12,0 3,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

28 6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

29 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

30 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

16 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

17 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

18 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0

6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

26 27 20 13 14 15

ELEMENTO 4

59

28 29 30 16 17 18

ELEMENTO 5


4,0 3,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


4,0 6,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

10 6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

11 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

12 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

1 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

2 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

3 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0


8,0 3,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


8,0 6,0 1,0 0,6 0,0 9600,0 19200,0

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 6400,0 160000,0 9600,0

13 6400,0 0,0 -9600,0 -6400,0 0,0 -9600,0

14 0,0 160000,0 0,0 0,0 -160000,0 0,0

15 -9600,0 0,0 19200,0 9600,0 0,0 9600,0

4 -6400,0 0,0 9600,0 6400,0 0,0 9600,0

5 0,0 -160000,0 0,0 0,0 160000,0 0,0

6 -9600,0 0,0 9600,0 9600,0 0,0 19200,0

10 11 12 1 2 3

ELEMENTO 6

60

13 14 15 4 5 6

ELEMENTO 7


4,0 6,0 1,0 0,4 2000000,0 0,0 1600,0


8,0 6,0 0,0 0,4 0,0 0,0 4266,7

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,2 80000,0 800,0 2133,3

1

2 0,0 800,0 1600,0 0,0 -800,0 1600,0

3 0,0 1600,0 4266,7 0,0 -1600,0 2133,3

4 -80000,0 0,0 0,0 80000,0 0,0 0,0

5 0,0 -800,0 -1600,0 0,0 800,0 -1600,0

6 0,0 1600,0 2133,3 0,0 -1600,0 4266,7


0,0 3,0 1,0 0,4 2000000,0 0,0 1600,0


4,0 3,0 0,0 0,4 0,0 0,0 4266,7

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,2 80000,0 800,0 2133,3

7 80000,0 0,0 0,0 -80000,0 0,0 0,0

8 0,0 800,0 1600,0 0,0 -800,0 1600,0

9 0,0 1600,0 4266,7 0,0 -1600,0 2133,3

10 -80000,0 0,0 0,0 80000,0 0,0 0,0

11 0,0 -800,0 -1600,0 0,0 800,0 -1600,0

12 0,0 1600,0 2133,3 0,0 -1600,0 4266,7

80000,0 0,0 0,0 -80000,0 0,0 0,0

1 2 3 4 5 6

ELEMENTO 8

61

7 8 9 10 11 12

ELEMENTO 9


4,0 3,0 1,0 0,4 2000000,0 0,0 1600,0


8,0 3,0 0,0 0,4 0,0 0,0 4266,7

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,2 80000,0 800,0 2133,3

10

11 0,0 800,0 1600,0 0,0 -800,0 1600,0

12 0,0 1600,0 4266,7 0,0 -1600,0 2133,3

13 -80000,0 0,0 0,0 80000,0 0,0 0,0

14 0,0 -800,0 -1600,0 0,0 800,0 -1600,0

15 0,0 1600,0 2133,3 0,0 -1600,0 4266,7


8,0 3,0 1,0 0,4 2000000,0 0,0 1600,0


12,0 3,0 0,0 0,4 0,0 0,0 4266,7

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,2 80000,0 800,0 2133,3

13

14 0,0 800,0 1600,0 0,0 -800,0 1600,0

15 0,0 1600,0 4266,7 0,0 -1600,0 2133,3

16 -80000,0 0,0 0,0 80000,0 0,0 0,0

17 0,0 -800,0 -1600,0 0,0 800,0 -1600,0

18 0,0 1600,0 2133,3 0,0 -1600,0 4266,7

80000,0 0,0 0,0 -80000,0 0,0 0,0

10 11 12 13 14 15

ELEMENTO 10

80000,0 0,0 0,0 -80000,0 0,0 0,0

62

13 14 15 16 17 18

PASO 4. Calculo de la matriz total de la estructura. K.

1

2 86400 0 0 160800 9600 1600 -80000 0 0 -800 0 1600 0 0 0 0 0 0 -6400 0 0 -160000 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9600 -80000 0 0 0 0 0 -6400 0 9600 0 0 0 0 0 0 1600 0 -800 1600 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 0 0 23467 0 -1600 2133 0 0 0 -9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 86400 0 9600 0 0 0 0 0 0 -6400 0 9600 0 0 0 -1600 0 160800 -1600 0 0 0 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 2133 9600 -1600 23467 0 0 0 0 0 0 -9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 86400 0 9600 -80000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 160800 1600 0 -800 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 1600 23467 0 -1600 2133 0 0 0 0 0 0 -9600 0 0 0 -80000 0 0 172800 0 0 -80000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -800 -1600 0 321600 0 0 -800 1600 0 0 0 9600 0 0 0 0 1600 2133 0 0 46933 0 -1600 2133 0 0 0 0 -6400 0 -9600 0 0 0 -80000 0 0 172800 0 0 -80000 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 -800 -1600 0 321600 0 0 -800 1600 0 9600 0 9600 0 0 0 0 1600 2133 0 0 46933 0 -1600 2133 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -80000 0 0 86400 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -800 -1600 0 160800 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1600 2133 9600 -1600 23467 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 -6400 0 -9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6400 0 -9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6400 0 -9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6400 0 -9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -160000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 63

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 0 0 0 0 0 0 19200 0 0 0 0 -9600 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9600 0 9600 0 0 0 0 19200 0 0 0 0 0 -9600 0 0 0 0

PASO5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos VECTOR DE CARGAS NODALES

F=

FO F1


10 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F21 F22 F23 F24 F25 F26 F27 F28 F29 F30

R=

R0 R1

0 4,84 3,227 0 4,84 -3,227 0 4,84 3,227 0 9,68 0 0 9,68 0 0 4,84 -3,227 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


64

QL2/12 2

QL2/12 QL/2

QL/2 L

R6=3,23

R3=3,23 VIGA 7 R2=4,84

R5=4,84 4m

R9=3,23

R12=3,23

VIGA 8

R11=4,84

R8=4,84 4m

R12=3,23

R15=3,23

VIGA 9

R11=4,84

R14=4,84 4m

VIGA 10

R18=3,23

R15=3,23

R14=4,84

465m

R2=4,84


U=

U0 U1

VECTOR { P } = { F }-{ R }

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P=

66

P0 P1

10 -4,84 -3,23 0 -4,84 3,23 5 -4,84 -3,23 0 -9,68 0,00 0,00 -9,68 0 0 -4,84 3,23 0 0 F21 F22 F23 F24 F25 F26 F27 F28 F29 F30


P0 P1

KO K2

K1 K3

U0 U1


{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1} Como U1 es cero por lo tanto

{P0}= [K0]*{U0}

{P0}*[K0INV] = {U0}

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 = U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20

0,0061 -0,0001 -0,0012 0,0060 -0,0002 -0,0008 0,0026 0,0000 -0,0011 0,0026 -0,0001 -0,0007 0,0026 -0,0001 -0,0008 0,0025 0,0000 -0,0008 -0,0010 -0,0009

m m Rad m m Rad m m Rad m m Rad m m Rad m m Rad Rad Rad

67


{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}

Como U0 es cero por lo tanto

F21 F22 F23 F24 F25 = F26 F27 F28 F29 F30

-5,7457 1,8977 14,1261 -0,7361 11,8745 -0,2804 17,4758 -8,2379 7,4721 16,2250

{P1} = [K2]*{U0}

Ton Ton Ton*m Ton Ton Ton Ton Ton Ton Ton*m


5,75 Ton 1,898 Ton

8,24 Ton

0,28 Ton

0,74 Ton 11,88 Ton

17,48 Ton

14,13 Ton-m

7,47 Ton 16,23 Ton-m

68

17.4. EJEMPLO 4.

10 kN/m

5 kN/m

5 kN/m

3m

3m

4m

4m

Aplicar el método matricial al pórtico propuesto cuyas columnas y vigas tienen una sección transversal de 40 cm * 40 cm y un E = 2E7 kN/m.

69


2

3

3

3m

2

4

1

3m

4

1

5

4m

4m


4

6

5 1

7 2

3

8

9

13

10 11

14 12

15

70

PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki ELEMENTO 1 Xi = Yi = Cos α = B= E= b= h=

13 2370,4 0,0 -7111,1 -2370,4 0,0 -7111,1

0,0 0,0 0,0 0,4 20000000, 0 0,0 0,0

Xf = Yf = Sen α = H=

0,0 6,0 1,0 0,4

L= A=

6,0 0,2

I= c= k=

0,0 7111,1 28444,4

a= f= k/2 =

2370,4 533333,3 14222,2

14 0,0 533333,3 0,0 0,0 -533333,3 0,0

15 -7111,1 0,0 28444,4 7111,1 0,0 14222,2

1 -2370,4 0,0 7111,1 2370,4 0,0 7111,1

2 0,0 -533333,3 0,0 0,0 533333,3 0,0

3 -7111,1 0,0 14222,2 7111,1 0,0 28444,4

0,0 6,0 0,8 0,4 20000000, 0 305233,9 8192,0


4,0 9,0 0,6 0,4

L= A=

5,0 0,2

I= c= k=

0,0 6144,0 34133,3

a= f= k/2 =

411074,6 233021,4 17066,7

2 305233,9 233021,4 8192,0 -305233,9 -233021,4 8192,0

3 -6144,0 8192,0 34133,3 6144,0 -8192,0 17066,7

4 -411074,6 -305233,9 6144,0 411074,6 305233,9 6144,0

5 -305233,9 -233021,4 -8192,0 305233,9 233021,4 -8192,0

6 -6144,0

13 14 15 1 2 3

ELEMENTO 2 Xi = Yi = Cos α = B= E= b= h=

1 411074,6 305233,9 -6144,0 -411074,6 -305233,9 -6144,0

71

8192,0 17066,7 6144,0 -8192,0 34133,3

1 2 3 4 5 6


4 411074,6 -305233,9 6144,0 -411074,6 305233,9 6144,0

4,0 9,0 0,8 0,4 20000000, 0 -305233,9 8192,0


8,0 6,0 -0,6 0,4

L= A=

5,0 0,2

I= c= k=

0,0 -6144,0 34133,3

a= f= k/2 =

411074,6 233021,4 17066,7

5 -305233,9 233021,4 8192,0 305233,9 -233021,4 8192,0

6 6144,0 8192,0 34133,3 -6144,0 -8192,0 17066,7

7 -411074,6 305233,9 -6144,0 411074,6 -305233,9 -6144,0

8 305233,9 -233021,4 -8192,0 -305233,9 233021,4 -8192,0

9 6144,0 8192,0 17066,7 -6144,0 -8192,0 34133,3

8,0 0,0 0,0 0,4 20000000, 0 0,0 0,0


8,0 6,0 1,0 0,4

L= A=

6,0 0,2

I= c= k=

0,0 7111,1 28444,4

a= f= k/2 =

2370,4 533333,3 14222,2

11 0,0 533333,3 0,0 0,0 -533333,3 0,0

12 -7111,1 0,0 28444,4 7111,1 0,0 14222,2

7 -2370,4 0,0 7111,1 2370,4 0,0 7111,1

8 0,0 -533333,3 0,0 0,0 533333,3 0,0

9 -7111,1

4 5 6 7 8 9


10 2370,4 0,0 -7111,1 -2370,4 0,0 -7111,1

72

0,0 14222,2 7111,1 0,0 28444,4

10 11 12 7 8 9


1 413445 305234 967 -411075 -305234 -6144 0

K=

0 0 0 0 0 -2370 0 7111

2

3

4 5 6 305234 967 411075 305234 -6144 766355 8192 305234 233021 8192 8192 62578 6144 -8192 17067 305234 6144 822149 0 12288 233021 -8192 0 466043 0 8192 17067 12288 0 68267 0 0 411075 305234 -6144 0 0 305234 233021 -8192 0 0 6144 8192 17067 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7111 533333 0 0 14222

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0 0

7

8

9

0

0

0

1

0 0

2 3

6144

4

8192 17067

5 6

967

7

-8192 62578 -7111

8 9 10

0 14222 0

11 12 13

0 0

14 15

0 0 0 0 411075 305234 305234 233021 -6144 -8192 413445 305234 305234 766355 967 -8192 -2370 0 0 533333 7111 0 0 0 0 0

0 0

73

10

11

12

13

14

15

PASO 5. Calculo de los vectores de cargas y desplazamientos.


F0 F1

F=


0 0 0 0 0 0 0

-33,00 10 4,42 -28,50 0 -6,50 -7,5

0 0 F10 F11 F12 F13 F14 F15

-10 -10,42 0 0 0 -6,00 0 8,00

R0 R1

R=


QL2/12 2

QL2/12 QL/2

QL/2 L

QL2/20

QL2/30 3QL/20L

7QL/20 L 74

Q2 (L2/60)*(3*Q1+2*Q2)

Q1

(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)

(L/20)*(7*Q1+3*Q2)

(L/20)*(3*Q1+7*Q2) L

Calculo de cada elemento con su respectiva carga distribuida.

6,67 kN/m R3=12

R15=8 R13=6

R1=14 6m

10 R3=6

6,67

R6=6,50

R1=11,50

R4=13,50 3m

R6=10,42

R6=10,42

R4=7,5

R4=7,5 R5=10

12,50

12,50

R5=10

R3=10,42 R7=7,5

R1=7,5

R9=10,42

12,50 R2=10

12,50

R8=10 75

VECTOR {P} = [F]-{R}


33,00 -10,00 -4,42 28,50 0,00 6,50 7,50

P=

P0 P1

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7

10,00 10,42 F10 F11 F12 F13 + 6 F14 F15 - 8

U=


P0 P1

KO K2

K1 K3

U0 U1

76

U0 U1

U8 U9 0 0 0 0 0 0


{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1} Como U1 es cero por lo tanto

{P0}= [K0]*{U0}

{P0}*[K0INV] = {U0}

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9

0,025 0,000 -0,003 0,024 0,001 0,002 0,023 0,000 -0,003

m m Rad m m Rad m m Rad


{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}

Como U0 es cero por lo tanto

F10 F11 F12 F13 + 6 F14 F15 - 8

-32,006 19,428 118,531 -36,994 -19,428 133,049

{P1} = [K2]*{U0}

F10 F11 F12 F13 F14 F15

77

-32,01 19,43 118,53 -42,99 -19,43 141,05

kN kN kN-m kN kN kN-m


42,99 kN

141,05 kN-m

32,01 kN

19,43 kN

19,43 kN

118,53 kN-m

78

17.5. EJEMPLO 5.

3m 40ton

3m 30ton 3m 20ton

40ton

3m 10ton

30ton

3m 5ton

20ton

10ton 4m 5ton

4m 4m

4m

4m

4m

4m

Aplicar el método matricial y condensar matricialmente para calcular los desplazamientos por piso sabiendo que hay unas fuerzas por piso en dirección x y dirección y, mostradas en la figura. E = 2E6Ton/m2 sección de columnas 40 * 40 y sección de vigas 40 * 30.

79


6

5

33

7

32

8

18

34

6 5

4 27

17

28

26

10

21

11

2

25

15

22

14

1

18 24

2 2

23

23

19

11

12

4m

21

12

10

1

29

13

9 2

20

17

16

8 3

16 30

14

9

3

19

15 31

7 4

35

20

13

4m

80

24

4m


PORTICO PLANO CONDENSADO

5 7

6

9

8

11

10

13

12

17

16

19

18

21

20

25

24

26

26

29

28

33

32

35

34

37 2

35

41

40 2

43 2

42

45 2

44

4 15

14

23

22

3

2 31

30

39 2

38

1

46 48

52

49 47

51

54

50

81

55

53

57

56

PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki ELEMENTO 1 columna Xi = 0,0 Yi = 0,0 Cos α = 0,0 B= 0,4 E= 2000000,0 b= 0,0 h= 0,0


0,0 3,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

47 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

48 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

1 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

38 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

39 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

ELEMENTO 2 columna Xi = 0,0 Yi = 3,0 Cos α = 0,0 B= 0,4 E= 2000000,0 b= 0,0 h= 0,0


0,0 6,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

39 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

2 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

30 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

31 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

46 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

1 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

38 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

82

46 47 48 1 38 39

1 38 39 2 30 31

ELEMENTO 3 columna Xi = Yi = Cos α = B= E= b= h=

0,0 6,0 0,0 0,4 2000000,0 0,0 0,0


0,0 9,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

2 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

30 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

31 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

3 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

22 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

23 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



0,0 12,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

23 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

4 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

14 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

15 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

3 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

22 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

83

2 30 31 3 22 23

3 22 23 4 14 15



0,0 15,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

14 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

15 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

5 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

6 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

7 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



4,0 15,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

17 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

5 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

8 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

9 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

4 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

4 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

16 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

84

4 14 15 5 6 7

4 16 17 5 8 9



4,0 12,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

24 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

25 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

4 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

16 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

17 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



4,0 9,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

33 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

3 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

24 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

25 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

3 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

2 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

32 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

85

3 24 25 4 16 17

2 32 33 3 24 25



4,0 6,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

40 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

41 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

2 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

32 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

33 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



4,0 3,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

49 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

51 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

1 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

40 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

41 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

1 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

50 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

86

1 40 41 2 32 33

49 50 51 1 40 41



8,0 3,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

53 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

54 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

1 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

42 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

43 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



8,0 6,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

1 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

43 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

2 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

34 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

35 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

52 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

42 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

87

52 53 54 1 42 43

1 42 43 2 34 35



8,0 9,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

34 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

35 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

3 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

26 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

27 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



8,0 12,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

3 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

27 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

4 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

18 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

19 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

2 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

26 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

88

2 34 35 3 26 27

3 26 27 4 18 19



8,0 15,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

4 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

18 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

19 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

5 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

10 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

11 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



12,0 15,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

4 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

21 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

5 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

12 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

13 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

20 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

89

4 18 19 5 10 11

4 20 21 5 12 13



12,0 12,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

28 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

29 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

4 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

20 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

21 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



12,0 9,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

2 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

37 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

3 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

28 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

29 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

3 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

36 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

90

3 28 29 4 20 21

2 36 37 3 28 29



12,0 6,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

44 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

45 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

2 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

36 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

37 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9



12,0 3,0 1,0 0,4 0,0 2844,4 5688,9

L= A= a= f= k/2 =

3,0 0,2 1896,3 106666,7 2844,4

55 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

57 -2844,4 0,0 5688,9 2844,4 0,0 2844,4

1 -1896,3 0,0 2844,4 1896,3 0,0 2844,4

44 0,0 -106666,7 0,0 0,0 106666,7 0,0

45 -2844,4 0,0 2844,4 2844,4 0,0 5688,9

1 1896,3 0,0 -2844,4 -1896,3 0,0 -2844,4

56 0,0 106666,7 0,0 0,0 -106666,7 0,0

91

1 44 45 2 36 37

55 56 57 1 44 45

ELEMENTO 21 Viga Xi = 0,0 Yi = 3,0 Cos α = 1,0 B= 0,4 E= 2000000,0 b= 0,0 h= 675,0

1 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

38 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


1 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

40 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


4,0 3,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

39 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

1 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

40 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

41 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


8,0 3,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

41 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

1 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

42 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

43 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

92

1 38 39 1 40 41

1 40 41 1 42 43


1 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

42 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


2 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

34 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


12,0 3,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

43 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

1 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

44 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

45 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


12,0 6,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

35 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

2 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

36 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

37 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

93

1 42 43 1 44 45

2 34 35 2 36 37


2 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

32 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


2 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

30 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


8,0 6,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

33 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

2 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

34 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

35 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


4,0 6,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

31 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

2 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

32 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

33 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

94

2 32 33 2 34 35

2 30 31 2 32 33


3 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

22 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


3 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

24 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


4,0 9,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

23 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

3 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

24 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

25 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


8,0 9,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

25 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

3 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

26 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

27 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

95

3 22 23 3 24 25

3 24 25 3 26 27


3 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

26 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


4 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

18 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


12,0 9,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

27 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

3 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

28 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

29 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


12,0 12,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

19 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

4 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

20 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

21 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

96

3 26 27 3 28 29

4 18 19 4 20 21


4 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

16 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


4 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

14 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


8,0 12,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

17 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

4 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

18 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

19 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


4,0 12,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

15 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

4 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

16 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

17 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

97

4 16 17 4 18 19

4 14 15 4 16 17


5 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

6 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


5 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

8 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


4,0 15,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

7 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

5 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

8 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

9 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0


8,0 15,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

9 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

5 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

10 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

11 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

98

5 6 7 5 8 9

5 8 9 5 10 11


5 60000,0 0,0 0,0 -60000,0 0,0 0,0

10 0,0 337,5 675,0 0,0 -337,5 675,0


12,0 15,0 0,0 0,3 0,0 0,0 1800,0

L= A= a= f= k/2 =

4,0 0,1 60000,0 337,5 900,0

11 0,0 675,0 1800,0 0,0 -675,0 900,0

5 -60000,0 0,0 0,0 60000,0 0,0 0,0

12 0,0 -337,5 -675,0 0,0 337,5 -675,0

13 0,0 675,0 900,0 0,0 -675,0 1800,0

5 10 11 5 12 13


Se procede a ensamblar la matriz K total de 70 * 70. No se adicionara por la extensión de la matriz para que no quede el documento tan extenso. Solo mostraremos [ Kc ]

122467 -4175 1563 -470 615

-4175 369477 -6900 2068 -470

1563 -6900 370674 -6900 1563

-470 2068 -6900 369477 -4175

99

615 -470 1563 -4175 362467

PASO 5. Calculo de los vectores de cargas y desplazamientos. VECTOR DE CARGAS NODALES

F1 F2 F3 F4 F5

5 10 20 30 40

Ton Ton Ton Ton Ton


{ U } = [ Kc ]Inv. * { F } U1 U2 U3 U4 U5

0,00004 0,00003 0,00006 0,00008 0,00011

m m m m m

Estos son los desplazamientos por piso en dirección x. Luego se procede a analizar el pórtico en dirección y de la misma manera que en dirección x, por lo tanto estos son los desplazamientos por piso en dirección y, con su respectiva matriz [ Kc ].

480495 -5954 2270 -600 761

-5954 492381 -9950 2558 -563

2270 -9950 490718 -7517 1827

-600 2558 -7517 492025 -5322

100

761 -563 1827 -5322 483171


U1 U2 U3 U4 U5

0,00001 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008

m m m m m

101

18. CONCLUSIONES



Se pudo observar mediante las matrices totales de los ejemplos, que son la imagen fotográfica de la estructura.



Cuando en una estructura se encuentran acciones de desplazamientos en los apoyos, la matriz total de la estructura se debe calcular completamente, caso contrario ocurre cuando en los apoyos los desplazamientos son nulos.



Cuando en una estructura a porticada se desprecian las deformaciones axiales de las vigas, todos los nudos de un mismo piso sufren el mismo desplazamiento horizontal, esto fue lo de condensación matricial o también conocido diafragma rígido.



Trabajar con las matrices en coordeadas globales.

102

19. RECOMENDACIONES





Plasmar la estructura en el primer cuadrante del plano cartesiano con el fin de que todas las coordenadas sean positivas.

Llevar las unidades de fuerza, longitud y esfuerzos a un solo sistema.



Aplicar cada paso estipulado en los ejercicios de propuestos y solucionados del manual.



Trabar todos los elementos de la estructura con un mismo sentido y ubicar estos sentidos en la misma dirección.

103

20. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA

 http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf

 http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3rtico

 ROCHEL AWAD. Roberto. Análisis matricial de estructuras.

104

METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ

Recommend Documents