Trabajo Final M´ Metodos e´ todos Num´ Numericos, e´ ricos, M´ Metodo e´ todo Simplex Juli´ Julian a´ n Triana, Codigo:1088303755
I.
R ESUMEN
El “M´etodo etodo Simplex” es un m´etodo etodo algebraico sistem´atico atico que examina las esquinas, llamadas v´ertices ertices o puntos extremos de un conjunto restringido de programacion o´ n lineal en busca de una soluci on o´ n optima. o´ ptima. Resumen—The —The “Sim “Simpl plex ex Meth Method od” ” is a syst system emat atic ic algebr algebraic aic method method that that examin examines es the corner corners, s, called called vertices or extreme points of a restricted set of linear programming in search of an optimal solution.
II .
´ I NTRODUCCION
El “M´ “Metodo e´ todo Simplex” muestra la eficacia de este m´etodo etodo en laformulaci´on on y soluci´on on de diversos problemas de optimizaci´on on y dem´as.Este as.Este m etodo e´ todo permite ver las aplicaciones a las ramas de las ciencias eingenier´ e´ ingenier´ıa. ıa. III.
O BJETIVOS
1. Definir el analisis n umerico u´ merico por medio de la optimizaci´ optimizacion o´ n
min( min(max) max) f ( f (x) en
(1) El proble problema ma plante plantead ado o por medio medio de la ecuaecuaci´ cion o´ n 1 es conocido como un problema de optimizacion o´ n sin restric restriccio cione nes. s. Un ejemp ejemplo lo com´ comun u´ n consi consiste ste en determ determina inarr la locali localiza zaci cion o´ n optima optima de n recursos [x1 , x2 , x3 , x4 ,...,xn ] compitiendo entre entre si y regi regido doss por por una una ley ley espe especi cific fica. a. Por Por lo gene genera ral, l, much muchos os de esto estoss recu recurs rsos os no son son ilimit ilimitado ados, s, bajo bajo estas estas circu circunst nstanc ancias ias,, desde desde el punto de vista matem atico, a´ tico, se requiere que la minimizaci´ nimizacion o´ n de la funci on o´ n objetivo est´ este´ dentro del n conjunto Ω ⊂ R y posiblemente algunas restricciones de igualdades o desigualdades tengan que ser satisfechas. Los problemas de optimizaci on o´ n formulados con la ecuaci on o´ n 2, se conocen como problema problemass de optimizac optimizaciion o´ n con con restric restriccio cione ness y tiene la siguiente forma:
mini minimi mize ze f (x)
3. Desarrollar el M´ Metodo e´ todo Simplex y algunas de sus aplicaciones. 4. Prog Progra rama marr por por medi medio o de matla matlab b el M etodo e´ todo Simplex.
hn−2 (x) ≤ 0; hn−1 (x) ≤ c;
IV.
´ ´ A N ALISIS N UMERICO ´ ) (O PTIMIZACION
En esta secci´on on se busca la soluci´on o n num´erica erica del proble problema ma de minimi minimiza zaci´ ci´on on (maximiza (maximizaci´ ci´on) on) de funciones en varias variables. La formulaci´on on basica a´ sica del problema viene dada por: f : R n → R, llamada funci on o´ n objetivo.
in Ω (2)
s.a. h1(x)=0; h2(x)=0; . . .
2. Mostrar los conceptos b´asicos asicos de programacion
Rn
. . .
hn (x) ≤ c; Algunas de las restricciones del problema plantead teado o en la ecua ecuaci ci´on o´ n 2 son son de tipo tipo igua iguald ldad ad (hn (x) = 0) o desigualdad ( hn (x) ≤ 0) y se caracterizan por tener soluci on o´ n en Ω. Estas condiciones de igualdad o desigualdad (restricciones) son conocidas como funciones de costo que son continuas en Ω.
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V.
´ L INEAL P ROGRAMACI ON
Este Este tipo tipo de proble problemas mas consis consiste te en optimi optimiza zarr (minim (minimiza izarr o maxim maximiza izar) r) una funci funci´on o´ n objetiv objetivo o lineal que satisfacen un conjunto de restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Formulaci on o´ n del problema:
f ( f (x) = c1 x1 + c + c2 x2 + c + c3x3 + ... + ... + + c cn xn (3) La ecuaci ecuaci´on o´ n 3 es la funci on o´ n a minimi minimiza zar, r, los ,... + c cn y las coeficientes de costo son c1 , c2 , c3 ,... + = x 1 , x2 , x3 ,...,xn variabl variables es de decisi decision o´ n son son x = x (var (varia iabl bles es que que mini minimi miza zan n o maxi maximi miza zan n la funci´ funcion o´ n objetivo). Con restri restricci ccion ones es de tipo tipo linea lineal, l, en cualq cualquie uiera ra de los los casos donde la fun funci´on o n obje objeti tivo vo no sea sea line lineal al o algu alguna na de las las rest restri ricc ccio ione ness no sea de tip tipo lin lineal, ento entonc ncees no es posible ible aplicar los m´ metodos e´ todos para resolver problemas de programaci on o´ n lineal.
VI. VI .
´ TODO S IMPLEX M ETODO E
El Metodo e´ todo Simplex es un m etodo e´ todo anal´ anal´ıtico ıtico de soluci on o´ n de problemas de programaci on o´ n lineal, capaz de resolver modelos m as a´ s complejos que los los resu resuel elto toss medi median ante te el m etodo e´ todo gr´ grafico, a´ fico, sin restricci´ restriccion o´ n en el n umero u´ mero de variables. El M etodo e´ todo Simplex es un m etodo e´ todo iterativ iterativo o que permite ir mejorando la soluci on o´ n en cada paso.
2
ecua ecuaci cion ones es de desi desigu gual alda dad d con con varia ariabl bles es de holgura para llevarlas a la forma de restricciones e igu igualda ldad (ya (ya que que el m etodo e´ todo camin caminaa sobre sobre las restri restricci ccion ones es activ activas as). ). Se iguala iguala la funci´ funci´on on objetivo a cero. Considere el siguiente problema: Igualar la funci´ cion o´ n objetivo a cero.
min( min(f ( f (x)) = z z = c = c 1x1 + c + c2 x2 + c + c3x3 + · · · + cn xn z − c1x1 − c2x2 − c3 x3 − · · · − cn xn = 0 Con Convertir vertir las restri restricc ccion iones es de desig desigua ualda ldad d en condicion condiciones es de igualdad igualdad sumando sumando una variable variable a cada restricci´on. on.
a11x1 + a + a12x2 + a + a13x3 + · · · + a1n xn a21x1 + a + a22x2 + a + a23x3 + · · · + a2n xn a31x1 + a + a32x2 + a + a33x3 + · · · + a3n xn
≤ ≤ ≤
b1 b2 b3
≤
bn
. . .
+ an2 x2 + a + an3 x3 + · · · + ann xn an1 x1 + a
+ a12x2 + a + a13x3 + · · · + a1n xn + s + s1 = b 1 a11x1 + a a21x1 + a + a22x2 + a + a23x3 + · · · + a2n xn + s + s2 = b 2 a31x1 + a + a32x2 + a + a33x3 + · · · + a3n xn + s + s3 = b 3 . . .
´ til para solucionar el problema de U minimizaci´ minimizacion o´ n o maximizaci on o´ n del problema de + an2 x2 + a + an3 x3 + · · · + ann xn + s + sn = b = b n programaci on o´ n line lineal al.. Este Este tipo tipo de prob proble lema mass an1 x1 + a ocur ocurre ren n cuan cuando do la func funci´ i´on objetivo y sus rest restri ricc ccio ione ness son son line lineal ales es.. Si algu alguna na de las las Pivotaje: Se Pivotaje: Se llama pivotaje al conjunto de operaanteri anteriore oress no es lineal lineal entonc entonces es no es posib posible le ciones ciones que transforma transforma un cuadro cuadro simplex, simplex, con solucionar el problema de programaci on o´ n lineal. una base conocida, en otro cuadro simplex con El metod e´ todo o simp simple lex x cons consis iste te en enco encont ntra rarr el nueva base. valor alor de los los recu recurs rsos os (var (varia iabl bles es)) para para que que el valor alor en la func funciion o´ n obje objeti tiv vo sea sea m axim a´ ximo o o Criterio de parada parada maximiza maximizaci ci on: Cuando se ´ Cuando m´ınim ı nimo o y cump cumpla la con con las las rest restri ricc ccio ione nes. s. La Criterio metodolog´ metodolog´ıa ıa consis consiste te en encon encontra trarr la soluc solucii on o´ n pide maximizar el criterio de parada esta dado un dentro de la regi on o´ n factible (La regi on o´ n formada cuando en la fila Z(objetivo) no aparece ning´un por por las las rest restri ricc ccio ione nes) s).. Algu Alguno no de los los punt puntos os valor negativo. forma formados dos por las restri restricci ccion ones es son son candi candidat datos os a optimo. optimo. La metodolo metodolog g´ıa ıa consis consiste te en camina caminarr Crite Criterio rio de parada parada minimi minimiza zaci ci´ on: ´ Cuando Cuando se por la region o´ n factible y evaluar cada uno de los pide pide minimi minimiza zarr el criter criterio io de parad paradaa esta esta dado dado candidatos a optimo tanto en la funci on o´ n objetivo cuando en la fila Z(objetivo) no aparece ning´un un como como en las restric restriccio ciones nes.. Para Para implem implement entar ar valor positivo. el m´etodo etodo simple simplex x es neces necesari ario o comple completar tar las
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3
f (x) = 300x 300x1 + 100x 100x2 Ejemplo 1: Maximizar 1: Maximizar f (
Tabla 3. Eliminacion o´ n Gauss z 1 0 0 0
s.a.
40x 40x1 + 8x 8 x2 ≤ 800 10x 10x1 + 5x 5 x2 ≤ 320 x2 ≤ 60 x1 , x 2 ≥ 0
x1
x2
s1
s2
s3
0 1 0 0
0 0 1 0
25/6 1/24 -1/12 1/12
40/3 -1/5 1/3 -1/3
0 0 0 1
b 7600 12 40 20
Tabla 4. Resultados Reesc Reescrib ribir ir el proble problema ma de maximi maximiza zaci ci´o´ n, se debe debe igua iguala larr la func funcii o´ n obje objeti tiv vo z a cero y conve convertir rtir las restri restricci ccion ones es de desig desigua ualda ldad d en restricciones de igualdad.
z − 300x 300x1 − 100x 100x2 = 0 40x 40x1 + 8x 8 x2 + s + s1 = 800 10x 10x1 + 5x 5 x2 + s + s2 = 320 x2 + s + s3 = 60 z 1 0 0 0
x1
x2
s1
s2
s3
-3 -300 40 10 0
-1 -100 8 5 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Fina Finalm lmen ente te,, la solu soluci´ ci´on on opti o´ ptima ma glob global al del del [12; 40], prob proble lema ma de maxi maximi miza zaci´ ci´on es x = [12; x1 = 12, 12, x2 = 40. Con un valor m´aximo aximo dentro f (x) = 7600. de la regi´on on factible de f (
f (x) = x 1 − 2x2 Ejemplo 2: Minimizar 2: Minimizar f ( s.a. b 0 800 320 60
Tabla 1. Forma Matricial En la fila de la funci on o´ n objetivo se toma el valor que sea m as a´ s negativo (la columna 2 de la tabla cont contie iene ne el valor alor de -300 -300 el m´as as nega negativ tivo) o) y esta esta colum columna na se llama llama column columnaa pivo pivote. te. Luego Luego se dividen los t´ermino erminoss de la column columnaa b entre
+ x2 ≤ −x1 + x + x2 ≤ −x1 + x x1 , x 2 ≥ 0
Los coeficientes de costo de la funci on o´ n objetivo pasan con signo contrario, convertir las restricciones de desigualdad en restricciones de igualdad. −x1 + x + x2 + s + s1 −x1 + x + x2 + s + s2
z 1 0 0 1 0 0 1 0 0
bi los t´ terminos e´ rminos de la columna cp asi y se toma cpi
el menor valor positivo y esta se convierte en la fila pivote.
cp 40 10 0
b 800 320 60
2 6
cpi/bi 20 32 no se hace,divisi´on on por cero
=2 =6
x1
x2
s1
s2
-1 -1 -1 1 -1 1 0 0 1
2 1 2 0 1 0 0 1 0
0 1 0 -2 1 -2 -2 0 -1 -1 -2 -2
0 0 1 0 0 1 -1 1 1
b 0 2 6 -4 2 2 -6 4 2
Tabla 5. Forma Matricial
Tabla 2. Fila Pivote, Columna Pivote
La solucion o´ n del problema de minimizaci on o´ n es: El sigu siguie ient ntee paso paso es gene genera rarr la tabl tablaa 1 pero pero cambiand cambiando o la columna columna cp por una eliminaci on o´ n de gauss.
z 1 0 0 0
x1
x2
s1
s2
s3
0 1 0 0
-40 1/5 3 1
15/2 1/ 1/40 -1/4 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b 6000 20 120 60
x = [2; [2; 4]
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3. https://www.phpsimple www.phpsimplex.com/ejemp x.com/ejemplo lo metodo simplex.htm
C odigo ´ ´ en Matlab:
Fig 1. Codigo o´ digo en Matlab VII.
C ONCLUCIONES
1. Se pudo concluir que el m etodo e´ todo s´ s´ımplex ımplex es un algoritmo eficiente y confiable para resolver problemas de programaci on o´ n l´ıneal. ıneal. 2. Vimos que el m´ metodo e´ todo s´ s´ımplex ımplex es un procedimiento algebraico, en cada iteraci on o´ n se mueve de la solucion o´ n b asica a´ sica factible actual a una adyacente mejor. 3. Se pue puede decir ecir que el m etodo e´ todo simple simplex x es un metodo e´ todo muy pr´ practico a´ ctico y de f acil a´ cil aplicaci aplicaci´on, o´ n, ya que que solo solo trab trabaj ajaa con con los los coefi coefici cien ente tess de la funci´ funcion o´ n objetivo y de las restricciones. 4. Se pudo pudo obse observ rvar ar el pode poderr que que tien tienee del del metodo e´ todo simplex al ser programado en Matlab.
VIII.
B IBLIOGRAFIA
1. Facultad de Ciencias B´asicas, asicas, Departamento de Matematicas,UTP 2. https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herra mientas-para-el-ingeniero−industrial/investigaci % C3 %B3n-de-operaciones/m %C3 %A9todosimplex/.