UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICE- RECTORA RECTORADO DO DE INVESTIGA INVESTIGACION CION
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
INFORME FINAL DEL PROYECTO PROYECTO DE INVESTIGACION TITULADO
TEXTO " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD M ATHCAD Y MATLAB APLICADOS A INGENIERIA QUIMICA” PRESENTADO POR
ING. ING. JUAN MEDIN MEDINA A COLLA COLLANA NA (Del 1 de Marzo del 2010 al 29 de Febrero 2012 Resol. N° 1312-2010 R)
1
ÍNDICE I.
RESUMEN
4
II.
INTRODUCCIÓN
5
III .
MARCO TEÓRICO
8
IV.
MATERIALES Y MÉTODOS
8
V.
RESULTADOS
9
VI.
DISCUSIÓN
9
VII.
REFERENCIALES
10
1. ECUACIONES NO LINEALES 1.1 Método de Newton-Raphson 1.2 Método de la secante 1.3 Método de la bisección 1.4 Método de la regla falsa 1.5 Método de iteración del punto fijo 1.6 Problemas de aplicación a la Ingeniería Química 1.7 Aplicaciones en Ingeniería Química
11 11 14 16 19 22 24 32
2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 2.1 Método de newton Raphson 2.1.1 Aplicación 2.2 Problemas
36 36 37 40
3. INTERPOLACIÓN 3.1 Polinomios de interpolación de newton 3.1.1 Interpolación lineal 3.1.2 Interpolación cuadrática 3.1.3 Diferencias finitas divididas 3.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 3.3 Problemas
44 45 46 47 47 48 50
4. REGRESIÓN 4.1 Regresión lineal 4.2 Regresión polinomial 4.3 Regresión lineal múltiple 4.4 Problemas
53 53 54 55 57
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA mediante método Newton 5.1 Diferenciación me 5.2 Diferenciación de Lagrange: datos discretos
68 67 67
2
ÍNDICE I.
RESUMEN
4
II.
INTRODUCCIÓN
5
III .
MARCO TEÓRICO
8
IV.
MATERIALES Y MÉTODOS
8
V.
RESULTADOS
9
VI.
DISCUSIÓN
9
VII.
REFERENCIALES
10
1. ECUACIONES NO LINEALES 1.1 Método de Newton-Raphson 1.2 Método de la secante 1.3 Método de la bisección 1.4 Método de la regla falsa 1.5 Método de iteración del punto fijo 1.6 Problemas de aplicación a la Ingeniería Química 1.7 Aplicaciones en Ingeniería Química
11 11 14 16 19 22 24 32
2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 2.1 Método de newton Raphson 2.1.1 Aplicación 2.2 Problemas
36 36 37 40
3. INTERPOLACIÓN 3.1 Polinomios de interpolación de newton 3.1.1 Interpolación lineal 3.1.2 Interpolación cuadrática 3.1.3 Diferencias finitas divididas 3.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 3.3 Problemas
44 45 46 47 47 48 50
4. REGRESIÓN 4.1 Regresión lineal 4.2 Regresión polinomial 4.3 Regresión lineal múltiple 4.4 Problemas
53 53 54 55 57
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA mediante método Newton 5.1 Diferenciación me 5.2 Diferenciación de Lagrange: datos discretos
68 67 67
2
5.3
Problemas
69
6. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6.1 Método del trapezoide 6.2 Regla de Simpson 6.2.1 regla de Simpson 1/3 6.2.2Simphson 3/8 6.3 Problemas
76 76
77 78 80 81
7. SI SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 7.1 Métodos de Jacobi 7.2 Métodode Gauss – Seidel 7.3 Problemas
85 85 87 88
8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS 8.1 Método de Euler 8.2 Método de Euler modificado 8.3 Métodos de Runge-Kutta (rk) 8.4 Método de diferencias finitas 8.5 Sis Sistem tema de ecua ecuaci cio ones nes difere ferenc nciiale ales de prim primer er ord orden 8.6 Problemas
91 92 94 96 100 101 103
9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
110
9.1
Problemas
110
10.. 10
APLIC PLICA ACION CIONES ES DE INGE INGENI NIER ERÍA ÍA QUÍM QUÍMIC ICA A EN
POLYMATH- MATHCAD Y MATLAB 10.1 Problemas con polymath 10.2 Problemas con mathcad 10.3 Problemas con matlab
112 112 121 131
SILABO
147
3
I.
RESUMEN La presente Investigación tuvo como propósito la elaboración de un texto universitario titulado “TEXTO: " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO
POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A INGENIERIA QUIMICA” Se trata de un texto básico que se expone brevemente los fundamentos teóricos, ilustraciones
con problemas
resueltos
y propuestos de
ingeniería química como, equilibrio químico, ecuaciones de estado, transferencia de calor, cinética química y al final se plantea problemas resueltos haciendo uso de software de polymath, mathcad y matlab.. Asi mismo en cada capitulo se prantea problemas propuestos aplicados a la ingeniería química .
4
II.
INTRODUCCIÓN. El tema de investigación, está referida a la elaboración de un texto Universitario, cuyo propósito es apoyar en la labor de formación de los alumnos, en el curso de métodos numéricos aplicada a ingeniería .Quimica en la universidad Nacional del Callao facultad de Ingeniería Química. Durante mi experiencia en la docencia, en el intento de encontrar textos necesarios para el dictado del curso de métodos numéricos , se ha podido constatar que existe poca bibliografía en nuestro medio haciendo uso de mathcad, polymath y matlab en un solo texto, mediante ste trabajo se ha desarrrollado problemas aplicados a la ingeniería química haciendo uso de una técnica numérica, al mismo timpo se ha resuelto problemas con el software mathcad, polymath y mathcad, que se vienen usando con mayor intesnsidad en los últimos años a nivel de ingeniería. En este trabajo se ha resaltado el capitulo de ecuaciones no lineales y ecuaciones diferenciales puesto
que gran parte de los modelos de
ingenieira química se encuentran en esta area.
5
2.1 A.
PLANTEAM IENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACION
DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL TEMA El presente trabajo de investigación es una propuesta para la
elaboración de un texto Universitario titulado:
TEXTO:
“METODOS
NUMERICOS
UTILIZANDO
POLYMATH,
MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.” Dirigido a estudiantes de pre – grado de Ingeniería Química y otras especialidades afines, que presente de una manera didáctica los principios fundamentales y el uso adecuado de los software de polymath, mathcad y matlab, lo que permitirá cumplir con los propósitos de una adecuada enseñanza y formación profesional. El texto contendrá una base de teoría apropiada y práctica que van a permitir desarrollar criterios y habilidades, que resultara muy valioso para los propósitos de este texto.
B.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ¿Como
elaborar
un
TEXTO:
“METODOS
NUMERICOS
UTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”, que oriente adecuadamente a los estudiantes de Ingeniería Química?
2.2 2.2.1
OBJETIVO Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION OBJETIVO GENERAL
Desarrollar un TEXTO: “METODOS NUMERICOS UTILIZANDO
POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”
6
2.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS 1.
Recopilar Información básica y actualizada, necesaria para iniciar el desarrollo del texto.
2.
Analizar y procesar la información para iniciar el desarrollo del texto.
3.
Desarrollar los capítulos del texto referido a los fundamentos teóricos.
4.
Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones prácticas aplicada la ingeniería química
5.
Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones prácticas aplicada la ingeniería química haciendo uso del uso polymath , mathcad y matlab
2.3.
ALCANCE DE LA INVESTIGACION
El presente trabajo de investigación de acuerdo a la naturaleza del problema se puede
manifestar que es una investigación básica y
Aplicada, dado los modelos planteados para la solución numérica proviene de fenómenos químicos, cuya solución analítica sería demasiada compleja. El aporte del trabajo de investigación
estará orientado al sector
académico conformado por los profesores, estudiantes y egresados de la Facultad de ingeniería química de la Universidad Nacional del Callao y otras Universidades del país. Por otro lado, este texto también podría ser utilizado por estudiantes de especialidades afines tales como ingeniería de Alimentos, ingeniería ambiental e ingeniería Industrial.
2.4.
IMPORTANCIA Y JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION
2.4.1 IMPORTANCIA Al desarrollar el texto propuesto se facilitará el proceso de enseñanza – aprendizaje en la formación profesional del estudiante universitario
a nivel de pre-grado
y pueda facilitar los cálculos
laboriosos de ingeniería haciendo uso de software.
2.4.2 JUSTIFICACION 7
La contribución del presente trabajo estará orientada a la preparación y el entrenamiento de los alumnos de ingeniería química en el curso de Métodos numéricos, adquiriendo fundamentos teóricos y la parte práctica que consiste en efectuar cálculos de balances de materia, energía, termodinámica, reacciones química,
transferencia de calor
entre otros.
III.
MARCO TEÓRICO En la presente investigación se ha incorporado la teoría resumida y simplificada para nueve capítulos del presente texto. Así por ejemplo, en el capítulo I se hace referencia a los diferentes métodos de solución de ecuaciones no lineales con sus respectivos ejemplos y problemas. En el capítulo
III , se hace referencia de las técnicas de
interpolación , resaltando el método de diferencias por newton . Asimismo en el capítulo VIII de ecuaciones diferenciales , se hace referencia de los diferentes ordenes de solución de Runge Kutta y con sus respectivos ejemplos. En el capítulo X se presenta problemas resueltos con polymath , mathcad y Matlab.
IV.
MATERIALES Y MÉTODOS Materiales:
Materiales De oficina Material bibliográfico Software Polymath Software Mathcad Software Matlab Material de cómputo e impresión Métodos La elaboración del texto, propósito de la investigación le demandó al suscrito, ordenar la información disponible y complicada en función del Syllabus propuesto del curso de métodos numéricos . 8
La estructuración del texto responde a la experiencia docente en la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Para la elaboración del texto, se tuvo cuidado en recurrir a la síntesis de los aspectos teóricos,
selección de los problemas
de
ingeneiria química, elaboración de los programas en matnab, asi como revisión de tutoriales de mathcad. En cuando al planteamiento de problemas, se quiere plasmar la experiencia con el dictado del curso, que me ha permitido revisar una extensa bibliografía sobre la materia, así como volcar en el texto los resultados de mi ejercicio profesional en el campo de Ingeniería Química para satisfacer el propósito de la investigación.
V.
RESULTADOS El resultado de la presente investigación es la elaboración de un texto
universitario
titulado:
TEXTO:
“METODOS
NUMERICOS
UTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”, , el cual se adjunta al presente. El texto contiene 9 capítulos. La teoría desarrollada en el texto, responde a los aspectos básicos de métodos numericos. Los problemas resueltos en el texto, tienen el propósito de dar las pautas de la aplicación de la teoría desarrollada. Se ha logrado un texto base para el curso de métodos numéricos necesario
en la formación universitaria del estudiante de Ingeniería
Química.
VI.
DISCUSIÓN El texto universitario titulado ““METODOS NUMERICOS UTILIZANDO
POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”, aplicados a la Ingeniería Química, que es el resultado de la investigación a que se refiere el presente informe, se caracteriza por presentar la metodología de calculo de los modelos . Los problemas resueltos y planteados han sido seleccionados con la intención 9
de
brindar una mayor claridad a los alumnos y puedan entender los fundamentos teóricos tratados. Los textos de METODOS NUMERICOS
contienen demasiada
información, muchas veces muy detallado, sin conexión directa con aplicación inmediata. Por eso, el presente texto va a tratar de desenvolver el contenido de tal manera que cada capítulo describa en forma precisa y concreta la teoría y los problemas de aplicación. Sin embargo,
y por ende no
sustituye el uso de la bibliografía de la especialidad, a la que deberá referirse necesariamente quienes pretendan profundizar en conocimientos de temas específicos.
VII. REFERENCIALES Existen textos que se ocupan de los métodos numéricos en general entre los cuales tenemos 1. A. Constantinides and N. Mosotoufi, Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications Prentice Hall , Upper Saddle River, 1999. 2. Burden, R. Y Faires J. Análisis Numérico. Edit. Iberoamericana, México, 1985. 3. Carnahan, B. Luther, A. Wilkes Cálculo Numérico, Aplicaciones Editorial Rueda, Madrid, 1979 4. Carrasco Venegas Luis . Métodos Numéricos aplicados a la ingeniera 5. Nieves, A., Domínguez, F. Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Química Edit. CECSA, México 1985. 6. Nakamura, S. Métodos Numéricos aplicados con
software. Edit.
Prentice – Hall Hispano Americano, S.A. México, 1992. 7. S.C. Chapra y R. P. Canale,. Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill, México,1999
10
1.ECUACIONES NO LINEALES Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iníciales.. Para saber que método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos graves y orden de convergencia . Uno de los problemas que con mayor frecuencia aparece en la ciencia y en la ingeniería es hallar las raíces de una ecuación no lineal de la forma f(x) = 0. Estudiaremos Métodos Iterativos para determinar aproximaciones a raíces reales simples de la ecuación no lineal f(x) = 0.
1.1
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Este método, es uno de los más usados, a diferencia de los otros métodos, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximación
x a i
la raíz xr de f ( x) ,
Figura Nº 1: Demostración método de newton
11
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eje
x en
x , f ( x ) ; ésta cruza al i
i
un punto xi 1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz xr .
Para calcular el punto xi 1 , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
m f xi
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
f x x x
y f xi
i
i
Hacemos y 0 :
f Y despejamos
x f x x x i
i
i
x:
x xi
f xi
x x i
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: xi 1 xi
f x f xi
, si f xi 0
i
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. También observe que en el caso de que
0
f xi
, el método no se puede
aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso
x mismo i
es una raíz de f ( xi )!
Ejemplo Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de
f ( x) e x
ln x , comenzando con x0 1 y hasta que a 1% . 12
Solución
En este caso, tenemo s que f ( x)
e x
1 x
De aquí tenemos que :
Iniciamos con x0 1 y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proc so hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió. Resumimos los result dos en la siguiente tabla:
Tabla Nº1 Aproxi ación de la raíz y porcentaje de error Aprox. a la raíz
Error aprox.
1 1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:
13
1.2
MÉTODO DE LA SECANTE
Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos y químicos, cuya derivada es muy compleja El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la derivada. Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un intervalo (xi-1,xi), los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(x i-1) y f(xi), por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (x i1,f(xi-1))
y el (xi ,f(xi)).
Se debe considerar que los puntos x i-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo que el punto x i-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la raíz. Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto, como se muestra en la Figura. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión: Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación: f x f x x x
f xi
i 1
i 1
i
i
(Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en caída libre). Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos: xi 1 xi
f x x f x f x f x f xi
i
i
i 1
i
xi 1 xi
14
i
Ejemplo Usar el método de l a secante para aproximar la raíz de comenzando con
x 0
x e
2
x
x ,
1 y hasta que a 1% .
0 , x 0
Solución
Tenemos que f
x 1 y f x 0,632120558 , que sustituimos en la fórmula 0
1
de la secante para cal cular la aproximación
x 2
:
Con un error aproxim do de:
Como todavía no s e logra el objetivo, continuamos co n el proceso. Resumimos los result dos en la siguiente tabla:
Tabla Nº2 Aproxi ación de la raíz y porcentaje de error Aprox. a la raíz
Error aprox.
0 1
100%
0.612699837
63.2%
0.653442133
6.23%
0.652917265
0.08%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es: x4
0,652917265
15
1.3
MÉTODO DE L A BISECC IÓN
Este método es basado en el teorema de Bolzano, que establece que si una función continua cambia de signo en el intervalo (a,b), es decir, f(a)f(b)<0 , entonces, existe al menos una raíz α, α ( a,b). El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea
f x
i)
continua,
Encontrar valores iniciales x a , xb tales que
y
f xa
f xb
tienen
signos opuestos, es decir,
f x 0
f xa
ii)
b
La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre
x a y x b
: xr
iii)
Evaluar
.
f x r
xa
xb 2
Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
f x 0
f xa
r
En este caso, tenemos que
f xa
y
f x r
tienen signos
opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo xa
, xb
f x 0
f xa
r
En este caso, tenemos que signo, y de aquí que f
x
y
r
f xa
f xb
y
tienen
f xr
el mismo
tienen signos opuestos. Por
lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo
x
r
, xb
.
f x 0
f xa
r
En este caso se tiene que
0
f xr
y por lo tanto ya localizamos
la raíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
16
a s es decir, xactual
x previa
xactual
100% s
Ejemplo Aproximar la raíz de
e
x
f x
ln x hasta que a 1% .
Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de
f x
se localiza en el intervalo
1,1,5 .
Así que este intervalo es
nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que
y
f 1
f 1,5
tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
e
f 1
1
ln 1 e 1
mientras que
e
f 1, 5
1.5
ln(1, 5) 0,18233 0
Cabe mencionar que la función
f x
sí es continua en el intervalo
1,1,5 .
Asípues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos: i)
Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz): xr 1
e
1 1, 5 2
1,25
ln(1, 25) 0, 0636 0
ii)
Evaluamos
iii)
Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz,
f 1, 25
1,25
hacemos la siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.5 .
17
En este punto, vem os que todavía no podemos calcula ningún error aproximado, puesto ue solamente tenemos la primera apr ximación. Así, repetimos el proceso on el nuevo intervalo 1.25,1.5 . Calculamos el punto
edio (que es nuestra segunda aproxim ción a la raíz): xr 2
1, 25 1, 5 2
1,375
Aquí podemos calcul r el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación a ctual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha l ogrado el objetivo, continuamos con el p roceso. Evaluamos f 1,375 e 1,375 ln(1, 375) 0, 06561 0 , y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raí se encuentra en el intervalo 1.25,1.375 . Calculamos el punto
edio,
Y calculamos el nuev error aproximado:
Resumimos los result dos que se obtienen en la siguiente tabl a:
Tabla Nº3 Aproxi ación de la raíz y porcentaje de error prox. a la raíz
Error aprox.
.25 .375
9.09%
.3125
4.76%
.28125
2.43%
.296875
1.20%
.3046875
0.59% 18
1.4
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Como mencionamos nteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localiz da más cerca de alguno de los extremo s del intervalo. Consideremos nueva ente una gráfica Como la anterior,
Figura Nº2: Demo tración de el método regla falsa Donde hemos agreg do la línea recta que une los puntos xtremos de la gráfica en el intervalo a , b . Es claro que si en lug ar de considerar el punto medio del inte valo, tomamos el punto donde cruz
al eje xesta recta, nos aproximarem s mucho más
rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la nica diferencia con el método de bisecci ón, puesto que en todo lo demás los os métodos son prácticamente idéntico . Supongamos que ten emos una función f ( x) que es continua en el intervalo
x , x a
b
y además,
f x a )
y
f ( xb )
tienen signos opuestos.
Calculemos la ecu ación de la línea recta que un
los puntos
x , f x , x , f x . Sabemos que la pendiente de esta r cta está dada a
a
b
b
por:
Por lo tanto la ecuaci n de la recta es:
19
Para obtener el cruce con el eje x, hacemos y = 0:
Multiplicando por xb
a
nos da:
Finalmente, de aquí d espejamos x :
Este punto es el qu toma el papel de
xr
en lugar del p nto medio del
método de bisección. Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes paso s: Sea
continua,
f x
i)
Encontrar v lores iníciales xa , xb tales que
y f x
f x a
b
tienen
signos opue tos, es decir,
f x 0
f xa
ii)
b
La primera aproximación a la raíz se toma igual a: xr
iii)
Evaluar
.
f xr
f xa xb xa xa f x f x b a Forzosamente debemos caer e
uno de los
siguientes c sos:
f x 0
f xa
r
En este caso, tenemos que
y f x tienen signos opuestos, y por lo
f xa
r
tanto la raíz se encue tra en el intervalo xa , xr .
f x 0
f xa
r
En este caso, tenemos que que
y f x
f x r
b
a
r
r
tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raí se encuentra
x , x f x f x 0
en el intervalo
y f x tienen el mismo signo, y de aquí
f xa
b
.
r
En este caso se tiene que
0
f xr
y por lo tanto ya localiza os la raíz.
20
El proceso se vuelve
repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
a s Ejemplo Usar el método de la egla falsa para aproximar la raíz de f comenzando en el int rvalo 1, 2 y hasta que
ea
x
e x ln x ,
1% .
Solución
Este es el mismo e emplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que
es
f x
continua en el intervalo dado y que toma signos
opuestos en los extre mos de dicho intervalo. Por lo tanto pod mos aplicar el método de la regla falsa. Calculamos la primer a aproximación:
Puesto que solament e tenemos una aproximación, debemo seguir con el proceso. Así pues, evaluamos Y hacemos nuestra ta bla de signos:
De donde vemos qu la raíz se encuentra en el intervalo
1,1.397410482 .
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, po emos calcular el primer error aproximad o:
Puesto que no se cu ple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos
1, 321130513 0, 011654346 0 , y ha
f xr 2
de signos: 21
emos la tabla
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.321130513 , con el cual, podemos calc ular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplid el objetivo, concluimos que la aproxim ación buscada es: x r 3
1,311269556
Observe la rapidez co n la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lenti tud del método de la bisección.
1.5
MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO
Este método se aplic para resolver ecuaciones de la forma x g ( x)
Si la ecuación es
f ( x) 0 ,
entonces puede despejarse
x
ó bien sumar
en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adec ada.
Ejemplo Usar el método de ite ación del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con
y hasta que
.
Solución
Si despejamos la xdel término lineal, vemos que la ecuación e uivale a
de donde,
22
x
En este caso, tenem s que
.
1 , para x 1,1 lo que es suficiente para deducir qu el método sí converge a la raíz bus cada. g ( x )
Aplicando la fórmula i erativa, tenemos: x1
g ( x0 )
0, 2
Con un error aproxim do del 100%. Aplicando nuevament e la fórmula iterativa, tenemos: x 2
g ( x1 )
0,1557461506
Con un error aproxim do igual al 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones par a reducir el error menor al 1%. R sumimos los resultados en la siguiente t abla:
Tabla Nº4 Aproxi ación de la raíz y porcentaje de error prox. a la raíz
Error aprox.
0 -0.2
100%
-0.1557461506
28.41%
-0.1663039075
6.34%
-0.163826372
1.51%
-0.164410064
0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es: x5
0,164410064
Use el método de pun to fijo para resolver f ( x) x2 2x 3 e el intervalode : x=-1 y
x=3 f ( x) x2 x
x
2
2x 3
3 g ( x) x2 3 23
x
x x
x2
3 x 2
x2
g ( x)
3 2
3 x 2
g ( x)
2
x
3 2
x 3 g ( x) x2 x 3
1.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA 1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el 12% de oxigeno y 80%
de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente
reacción. 1 SO2( g ) O2( g ) 2
SO3( g )
Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la constante de equilibrio KP es de 160.atm1/2
Solución : Asumiendo 100 moles de mezcla SO2 = O2
8 moles
=
12 moles
SO3 = N2
0
=
80 moles
Moles enl equilibrio SO2 = 8 O2
= 12
SO3=
x - 0,5x
x
Moles totales = 100
-
0,5x
Luego hallamos el Kp Kp
PSO 3 PSO2 x ( PO2 )1 / 2
(
nSO3
) Pt
nt nSO2 nO ( ) Pt ( 2 )1 / 2 Pt 1 / 2 nt nt
(
Para Kp=160 y Pt=2atm La ecuación queda de la siguiente manera:
24
x
) 100 0.5 x 8 x 12 0.5 x ( ) ( ) Pt 100 0.5 x 100 0.5 x
f ( x) 160
0.5 x(100 0.5x)
(8 x)(12 0.5x) 0.5 2
Utilizando el método de la bisección y tomando como referencia los valores de : X1=7,87 y X2=7,88 Siguiendo el proceso iterativo se tiene los siguientes valores:
Tabla Nº5 Aproximación de la raíz
X1
F(x1)
X2
F(x2)
x
F x
7.87
12.604
1.88
-0.3001
7.875
6.2314
7.875
6.2314
7.88
--0.3001
7.8775
3.0323
7.8775
3.0323
7.88
-0.3001
7.87875
1.3833
7.87875
1.3833
7.88
-0.3001
7.879375
0.5460
Entonces X=7.878375 moles La composición en el equilibrio seria Moles SO2 Moles O2 Moles SO3
=
0.120625
= =
8.0606125 7.879375
2. La ecuación de estado Redlich- Kwong es :
p
(V b) RT T .V (V b) a
Donde a = 17,19344 y b = 0,0221141 para el oxigeno molecular si T = 373 K y P= 30 atm Calcular el volumen molar por el método de la secante
Solución: Utilizando como referencia la ecuación del gas ideal para obtener el primer valor 25
V
RT P
0, 082 373 30
1.0195
Tomando dos valores Xi-1 = 1
; f(Xi-1 )
= -0,3977
Xi
; f(Xi)
= 14,3268
=1,5
Remplazando en la ecuación X (i 1) 1, 5
14,3268(1,5 1) 14, 3268 (0, 3977)
X (i 1) 1, 0135 f ( Xi 1) 305520 E 3
Haciendo ahora : X(i-1)=1,5 y
X(i)=1,0135
Remplazando
3, 5520 10 3 (1, 0135 1, 5) 1, 0136 X (i 1) 1, 0135 3, 5520 10 3 14, 3268 X (i 1) 1, 0136
X (i 1) V 1.0136 L E 1.0136 1.01351
104
3. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN DER WAALS P a V b RT V 2
P = 100 Atm.,
T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318
PV
2
a
V b V
2
RT
aV PV 2b ab V 2 RT PV 3 PV 2b V 2 RT ab aV 0 f V 100 V 3 3,18 V 2 57, 4 V 2 1.36 V 0, 043248 f V 100 V 3 60, 58 V 2 1, 36 V 0, 043248 f ' V 300 V 2 121,16 V 1, 36 PV 3
26
Método de Newton Raspón de Primer Orden
v1
f ' v 0,122248 0,58
v1
0,5838
f v
v0
v1
32,0072
Tabla Nº6 Aproximación de la raíz y error Vi
f(V)
f'(V)
Vi+1
E
0.5740
-0.3100
30.6560
0.5841
0.0101
0.5841
0.0115
32.9470
0.5837
3.5 x 10 -
0.5837
1.4 x 10-5
32.8670
0.5837
4.2 x 10-7
0.5837
2.0 x 10-11
32.8670
0.5837
6.0 x 10 -13
0.5837
-1.0 x 10-13
32.8670
0.5837
3.0 x 10 -15
El volumen seria: V=0.5837mol/L
4. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong. P
RT V
b
a T
1/ 2
V (V
b)
Para este compuesto las constantes son: P = 13.76 atm T = 333ºk a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2) b = 44.897 (cm3/ g mol) R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)
Solución Despejando la ecuación Nº 1 Tenemos: 27
PV 3 RTV 2
A ab V Pb 2 RTb 1/ 2 1/ 2 0 T T
Reemplazando: F (v)
13, 76 v 3 27685, 62 v 2 7300696, 52 v 384831290, 3
Aplicando el método de Bisección Tomamos: x1 f
v
370 x1
;
x2
;
f
370 365
f (v)
v
370 365
v
f v 11674093.22
+
f (v)
v
370 367.5
v
368.75
v
370 367.5
2
–
2.313174.844
+
f (v)
368.75
370 368 .75
2
– +
f (v)
2381900.225
369 .375 368 .75 2
– +
369 .375
f v
v
369.375
368.75
f v
v
370
367.5
2
–
365 x2
33146.79984
f v
28
369 .06025
v
f (v)
v
369.0625
2
–
368.75
v
369 .0625 368 .75
f v 1140318 .152
+
f (v)
v
369.0625 368.90625
v
368.984375
v
369 .0625 368 .90625
2
– +
f (v)
368.0234375
v
369.0429688
v 369.0625
2
– +
f (v)
260276.4453
369 .0625 369 .0234375 2
– +
f (v)
f (v) –
369 .0429688
f v 113569 .1971
369 .0625 369 .0429688 2
– +
369 .0234375
f v
v
369.0625
369 .0625 368 .984375
v
369.0625
368 .984375
f v 553661.689
v
369.0625
368.90625
369 .0527344
40212.38605
f v
v
369 .0625 369 .0527344 2
f v 3533.08997
29
369 .0576172
369.0527344
v
+
f (v)
v
369.0625
369 .0625 369 .0576172
2
–
369.0576172
v
14806.78073
f v
+
f (v)
v
369.0600586 369.0576172
369 .0600586
369 .0600586 369 .0576172
2
–
369 .0600586
5636.82683
f v
+
369,0588379 c m 3 g m o l 44 4 1 4 1 0 3 E v2 v1 2, 4 v
5. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado por la correlación de Colebrook: 1 f
D 2, 54 0,86ln 3, 4 Re f
Donde Re = es el número de Reynolds (adimensional)
, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud) D, es el diámetro diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4 que fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de 0,0025m. Solución Despejamos la ecuación (1) Re
2, 5 1 e
R f
R f
f
1 1 9 5 2, 1 9 1 2 4 e
1 0,86
1 0,86
f
f
R e 2, 5 1 3, 7 D
8 0, 75 8 1 4 8 8 9 30
f
1
1
f
Utilizando el Método de Bisección Valores iniciales: 0, 05 0 ,1
f 0 f1
f
F (f)
0.05
–
0.10
+
f
f
–
0.075
+
f
–
0.0625
+
f
2
0.0625
0.0625 0.05
2
0.05625
0.8973609056
F f
F (f)
0.05
–
0.05625
+
f
0.05 0.05625
2
0.053125
1.866717794
F f
F (f)
0.053125
–
0.05625
+
f
0.05 0.0562 625 5 0.05 0.0531 3125 25 2
0.0546875
0.5236505211
F f
F (f)
0.0546875
–
0.05625
+
f
0 . 0 75
7.347809254
0.05
f
0 .0 5
F f
F (f)
f
0.075
23.76508585
0.05
f
2
F ( f 1 ) F ( f 0 )
F f
F (f)
f
0.1
0.05
F (f)
0.546875
–
0.05546875
+
f
0.05 0.0562 625 5 0.05 0.0546 4687 875 5 2
0.05546875
0.1771493539
F f
f
0.05 0.0554 5468 6875 75 0.05 0.0546 4687 875 5 2
0.1756818303
F f
31
0.055078125
El factor de fricción es: f
0, 055078125en e 0, 0546875; 0, 05546875
Error: Error
E
x2
x1 7, 8125 10 4
1.7 APLICACIONES EN INGENIERÍA QUÍMICA 1. En un Proyecto de Ingeniería Química se requiere que se determine exactamente el volumen molar y factor de comprensibilidad del amoniaco a una presión de 120 atm y 500 °K mediante la siguiente ecuación:
P a (V b) RT V 2 a
b
27 R 2 T 2
64
PC
RT C
8 PC
Datos: TC = 405,5 °K
PC = 111,3 atm.
R = 0,82
2. La concentración c de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión: c(t) = 80e-2t + 20e-0.5t Siendo t el tiempo en hs. Determinar qué tiempo se necesita para que el nº de bacterias sea 7. Utilizar un valor inicial t0 =0. (Newton Raphson)
3. Para el diseño hidrodinámico de un proceso aparece la ecuación 0,242 CF
log( R.CF )
Donde R es numero de Reynolds evaluar el valor de CF para ( R= 106 y R=103) 32
4. Calculo de la presión de vapor Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos de Termodinámicas es la presión de vapor o presión de saturación. Esta se define como la presión a la cual existen en equilibrio una fase liquida y una fase vapor. Si la presión de vapor iguala a la presión atmosférica, el líquido entrara en ebullición. Solo depende de la temperatura. Existen diversas ecuaciones para calcular. Una de las precisas es la ecuación de Frost-KalkwarfLn Pvap = A – B/T + ClnT + DPvap/T2 Donde: A, B, C, D: Constantes empíricas que dependen de cada sustancia. Calculemos la Pvap del etilbenceno a una temperatura de 347,25 ºK. Los valores de las constante son: A=58,1, B=6792,54, C=-5,802, D=5,75. Las unidades de T son ºK y las de Pvap mmHg.
5. En Química aparece una ecuación de la forma z
1 y y 2 y 3 (1 y) 3
.
¿Cuánto vale y si z=0.6789?.
6. Para determinar la constante de nacimientos de una población dada, se necesita calcular el valor de la constante , (0.1,0.9) de la siguiente ecuación:
1 .564 10
6
10
6
e
0 .435 10 6
( e
1) , para esto utilice el
método de Newton-Raphson hasta que el error sea del orden del 0.01% (0.10249)
7. La constante de disociación del agua pura es función de la temperatura como se muestra a continuación. Log(Kw) =
4470,99 T
+ 6,0875 - 0,01706T
T en K y Kw en M2
33
Calcular La temperatura en °C cuando el pH del agua condensada es de de 6,2
8. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a contracorriente esta dado por: LMTD
T 3 T 2 T 4 T 1 T 3 T 2 T 4 T 1
ln
Figura Nº 3: Interrcambiadores de calor Se sabe que este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 52ªC( LMTD) . El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ªC y sale a 40ªC, mientras que el fluido frió se alimenta a 8ªC ¿A qué temperatura sale del intercambiador el fluido frió?
9. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre, y 12 % de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente reacción. SO2 +
1 2
O2
SO3
Calcular la composición en equilibrio a presión constante de 2 atm. Y la constante de equilibrio (Kp) es de 160. 10. La ecuación de estado R-K P
RT V b
a V (V b ) T
R2T c5 / 2 a 0.42747 Pc
34
RT b 0.8664 c Pc P = Presión en atm
V = volumen molar en L/g-mol T = temperature en K R = gas constant (R = 0.08206 (atm·liter/g-mol·K)) Tc = critical temperature in K Pc = critical pressure in atm The compressibility factor is given by: z
PV
(4)
RT
Calcule el factor de comprensibilidad y el volumen molar a 50 atm t 500 ºC. 11. En un reactor químico ingresaron cierta cantidad de moles con cierta cantidad de impureza como se indica en la tabla de registro a una Temperatura de 400ºC:
Tabla Nº7 Composicion de alimentación al reactor
SUSTANCIA Nitrógeno Hidrogeno Amoniaco Dióxido de carbono
MOLES QUE INGRESARON 1663,12 Kmol/h 4990,03 Kmol/h 986,45 Kmol/h 0,076 Kmol/h
Metano
334,16 Kmol/h
a partir de la ecuación de Larson que proporciona el valor de la constante de equilibrio de la reacción. Log ( Kp ) 2,113
2074,8 T
2, 49 Log (T ) 1, 256 104 T 1,85 107 T 2
Donde T en ªC y Kp en bares Calcular la composición a 300 ºC y 160 bares
35
2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones no lineales que se expresa como un sistema no lineal igualando a cero de la forma F(x) =0Este sistema puede presentar múltiples soluciones matemáticamente posibles y su solución numérica debe proporcionar la solución físicamente correcta, uno de los métodos es el de newton Raphson estándar
2.1 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:
ui u u u x i1 i xi i yi1 i yi 0 x x y y v v v v vi i xi1 i xi i yi1 i yi 0 x x y y
ui
Pero ui+1 = vi+1 = 0 : u u u u ui i x i1 i xi i yi1 i yi 0 x x y y v v v v v i i xi1 i xi i yi1 i yi 0 x x y y Que reescribiendo en el orden conveniente: Y cuya solución es:
ui u u u xi1 i yi1 ui i xi i yi x y x y v i v v v xi1 i yi1 vi i xi i yi x y x y
36
ui xi1 xi
v i u ui v i vi i v u i i y y x yi1 yi x J J
Donde J es el determinante jacobiano del sistema
ui x J ui y
vi x vi y
2.1.1 APLICACIÓN 1. Se tiene un sistema de 3 reactores continuos tipo tanque en donde se lleva a cabo la reacción A
P operando isotérmicamente
manteniendo los volúmenes constantes. Calcular la concentración de A en régimen permanente en cada reactor si la reacción es de segundo orden
R1
R2
R2
Figura Nº4: Sistema de reactores en serie
FA0 = 10L/min., FR = 5L/min. CA 0 = 1mol/l. V1 = 100L, V2 = 50L, V3 = 50L, K = 0,1
RESOLUCIÓN: A partir de la siguiente ecuación tenemos:
ACUMULACIÓN = ENTRADA-SALIDA-REACCIONA 0= ENTRADA-SALIDA-REACCIONA Las concentraciones en cada reactor son las siguientes: Primer reactor: CA1 Segundo reactor: CA 2 Tercer reactor: CA3 37
ECUACIÓN del primer reactor:
10 5CA
F 1 CA1 , CA2 , CA3 df 1 dx df 1 dy df 1 dz
3
15CA1 10C 2 A1
15 20CA1 0 5
ECUACIÓN del segundo reactor:
F2 CA1 , CA2 , CA3
df 2 dx df 2 dy df 2 dz
15CA 10C 1
2
A1
15 15 10CA2 0
ECUACIÓN del tercer reactor:
F 3 CA1 , CA2 CA3 df 3 dx df 3 dy df 3 dz
15CA
2
15CA3 5C 2 A3
0 15 15 10CA3
APLICANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON ESTANDAR TENDREMOS: df1 dCA1 df 2 dCA1 df3 dCA1
, , ,
df1 dCA2 df 2 dCA2 df3 dCA2
, , ,
df1 dCA3 df 2 dCA3 df3
f1 ( CA1 , CA2 , CA3 )
h
i j
f2 ( CA1 , CA2 , CA3 ) f3 ( CA1 , CA2 , CA3 )
dCA3 38
Reemplazaremos las derivadas y las funciones en la ecuación matricial anterior:
15 20 CA1
0
5
h
0
i
15 10 CA3
j
15 10 CA2
15 0
15
10
5CA3 15 CA1 10
15 CA1
15 CA2 5 C 2 A2
15 CA2
15 CA3 5 C 2 A3
A partir de estas ecuaciones tenemos: K 1
CA1K h K 1 K CA2 CA2 i K 1 K CA3 CA3 j CA1
Para k=0
CA10 h 1 0 CA2 CA2 i 1 1 CA3 CA3 j 1
CA1
PRIMERA ITERACIÓN
CA
0 1
, CA
0 2
, CA
0 3
0 .7 ,0 .3 ,0 .1
Reemplazamos en la matriz:
29
0
5
h
15
18
0
i
0
15
16
j
4, 9
5, 55 2, 95
h 0.1
0.2242 j 0.3945 i
Reemplazamos estos valores en las ecuaciones anteriores
39
CA 21
CA11 CA21 CA31
CA10 h 0.7 h 0.7 0.1 0.6 CA20 i 0.3 i 0.3 0.2242 0.5242 CA31 j 0.1 0.3945 0.4945
Luego de cinco iteraciones tendremos
Tabla Nº8 Aproximación de la raíz en cada reactor CA1
CA2
CA3
0.7
0.3
0.1
0.599
0.5242
0.4945
0.5848
0.5012
0.4382
0.5848
0.5009
0.4372
0.5845
0.5009
0.4372
Finalmente las concentraciones en cada reactor serian: Primer reactor: CA1=0.5845mol/L Segundo reactor: CA2=0.5009mol/L Tercer reactor: CA3=0.4372mol/L
2.2 PROBLEMAS 1. La reacción irreversible en fase liquida se lleva a cabo en tres reactores en serie como se muestra en la figura. El volumen de cada reactor es de 200L y la constante de la velocidad de reacción es de 0,5 l/mol-g min. A B R
Calcular la concentración a l salida de cada reactor asumiendo un comportamiento estable.
40
Q = 6L/min. CA= 2 mol-g/l R2
R1
R3
Q = 6L/min. CA= 2 mol-g/l
2. A alta temperatura y baja presión
H2S y SO2 experimentan las
siguientes reacciones H2S( g)
H2(g) +
H2S( g) + SO2 (g)
1
S2 (g) Kp1 =0,45atm1/2
2
2H2O(v) +
3 2
S2(g) Kp2 =28,5 atm1/2
La mezcla inicial contiene 45% de H 2S( g) 25% de SO2 (g) y gas inerte nitrógeno con una presión total de 1,2 atm. Calcular las fracciones molares en equilibrio de todos los componentes
3. Una reacción
tiene lugar en una serie de cuatro reactores
continuamente agitados Como se muestra en la Figura. La reacción es irreversible y de primer orden A
B
Las constantes de velocidad ki y los volúmenes Vi tienen los siguientes valores en cada reactor
Tabla Nº9 Volumen de cada reactor y su constante de velocidad Reactor
Vi(L)
ki
1
1000
0.1
2
1500
0.2
3
100
0.4
4
500
0.3
41
Se supone: c0= 2mol/l El sistema está en estado estacionario.
Figura Nº5: Sistema de reactores en serie
4. Las siguientes reacciones se lleva a cabo en un reactor a 1000°C y presión de 1 atm.
C3 H8 3H 2O 3CO 7H 2 C3 H8 6H 2O 3CO2 10H 2
A 1000 °C KP1 = 0,13x1012 y KP2 = 0,33X1012 Calcular los moles en equilibrio de cada sustancia para una alimentación de 1 mol de gas propano y 10 moles de vapor de agua.
5. En una reacción química A B desde un balance de masa y energía se obtuvieron en las siguientes funciones 120X -75K(1-X) =0 -X(873-T) + 11(T-300) =0 K = 0,12 exp( 12581 ( T-298/298T) Donde x es la conversión, y T temperatura del sistema, y K constante de velocidad en base a esta información determine la conversión, temperatura y la constate de velocidad. 6. Para un sistema binario Liquido – Liquido el modelo de Wilson permite evaluar el coeficiente de actividad mediante la siguiente ecuación. Ln( 1 ) Ln( x1 A12 x2 ) x2 (
A12
x1 A12 x2
A21 x2
42
A21 x1
)
Ln( 2 ) Ln ( x2 A21 x1 ) x1 (
A12
x1 A12 x2
Donde: 1
A21 x2
A21 x1
)
x 1 , x 2 fracciones molares
, 2 coeficientes de actividad A12 , A21 Parámetros para cada sistema Evalué los parámetros para el sistema metanol agua
cuando x 1 = 0,2 x 2 = 0,8
1
= 1,2 ; 2 = 1,6
7. La siguiente ecuación muestra el efecto de las variables x e y sobre el costo total para una operación particular: 11900
CT = 2,33 x +
xy
+ 1,86y + 10
Determine los valores de x e y que den el costo total mínimo
8. En el sistema mostrado se lleva a cabo una reacción irreversible isotérmica de orden 1,8 respecto al reactante con los datos que a continuación se indica, calcular la concentración del reactante en los reactores 1 y 2. A B FA0 F
R1
R2
FR
Figura Nº6: Reactores en serie. F=25 L/min, CA0 = 1mol/L FR =100 L/min K = 0,2 V 1 =80L V2 = 20L.
43
3. INTERPOLACIÓ Introducción
Se denomina interpol ción a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un c njunto discreto de puntos. En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un ci rto número de puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretende construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la inter olación es la aproximación de una función complicada por una más simp le. Si tenemos una función cuyo c lculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valor s e interpolar dichos datos construyen o una función más simple. En gene ral, por supuesto, no obtendremos los
ismos valores
evaluando la función btenida que si evaluásemos la función riginal, si bien dependiendo de la
características del problema y d l método de
interpolación usado l a ganancia en eficiencia puede comp ensar el error cometido. En la grafica se observa diferentes puntos ,
Figura Nº7: Punto s de variables x,y.
44
3.1. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas;
3.1.1 Interpolación Lineal La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura
Figura Nº8: Interpolación lineal Usando triángulos semejantes, se tiene: f 1( x) f ( x0 ) x x0
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
que se puede reordenar como : f 1( x) f (x0 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x x0
(x x0 )
La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino 45
f ( x1 ) f (x0 ) x1 x0
Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.
3.1.2 Interpolación Cuadrática Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
b
f 2 x
0
b1 ( x x0 ) b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )( x
x1 )
Nótese que aunque la ecuación parezca diferente de la ecuación general de un polinomio:
a
f x
0
a1 x a2 x 2 ... an x n
Las dos ecuaciones son equivalentes. Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo , se usa la ecuación con X=X0 y se obtiene.
f (x0 )
b0
Sustituyendo la ecuación y evaluando en X=X1 se obtiene b1
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
Y por ultimo las ecuaciones se sustituyen en la ecuación y se evalúa está en X=X2 y se obtiene f ( x2 ) f ( x1 ) b2
x2 x1
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
x2 x0
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación son equivalentes a la 46
interpolación de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la curvatura de segundo orden de la formula. Tabla de diferencias divididas ---------------------------------------------------------------------------------------------
x
diferencia dividida
f x
diferencia dividida
primer orden
segundo orden
----------------------------------------------------------------------------------------------
x0
f x0
f x
f x1
f [ x0 , x1 ]
0
x1 x0
x1
f [ x0 , x1 , x2 ]
f x1
f [ x1 , x2 ]
f x1 , x2
f x ,x 0
1
x2 x0
f x
f x2
1
x2
x1
x2 f x2
------------------------------------------------------------------------------------------------
3.1.3 Diferencias Finitas Divididas Sea F una función de valor real definida sobre xk , xk 1 , ..... xk n no necesariamente equidistante. Se define:
F xk , xk 1
F ( x x ) Fx ( x ) k
k 1
Primer grado
k 1
k
F xk , xk 1 , xk 2
F ( x , xx )x F ( x ) k
k 1
k 2
x ) F(x ) ngrado F ( x , x ,....... x x k
k 1
k n 1
n
k n
Ejemplo
f x 0 ,x1 , x2
f x ,x f x x x 1
2 grado
k 2
k
F xk , xk 1 ,......., xk n
2
2
0
, x1
0
47
k n
En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla de diferencias divididas, colocando en la primera columna los valores de la función o diferencias divididas de orden 0, en la segunda columna las diferencias divididas de primer orden, en la tercera columna las de orden 2, y así sucesivamente. Usando cuatro puntos ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), y ( x3 , y3 ), f3 ( x) f [ x0 ] f [x1 , x0 ](x x0 ) f [x 2 , x1 , x 0 ](x
x 0 )(x x1 ) f [ x3 , x2 , x1 , x0 ](x x0 )(x x1 )(x x 2 ) b0
x0
f x0
b1 b2
f x1, x0
x1
f x1
f x2
f x2 , x1, x0
f x2 , x1
x2
3.2.
f x3 , x2 , x1, x0
f x3 , x2 , x1
f x3 , x2 x3
b3
f x3
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolación P(x) asociado con una tabla de datos (xi , yi) con 0≤ i ≤ n. Es importante entender que existe uno y solo un polinomio de interpolación de grado ≤ n asociado con los datos (suponiendo, claro está, que las n+1 abscisas xi son distintas). Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio de maneras distintas y de llegar a él a través de distintos algoritmos. El problema al utilizar Polinomio de Newton para aproximar es que se debe tener la derivada y muchas veces este lado no se tiene; una forma de evitar esto es trabajar con una interpolación de Lagrange, que es una reformulación del Polinomio de Newton que evita las diferencias divididas y se representa como: 48
x j j 0 x i x j i i x
n
L i ( x )
; Fn ( x )
n
L ( x)F ( x ) R i
i
n
i0
Para obtener el polinomio de grado uno (lineal) reemplazamos n=1 1
L ( x) F ( x )
F1 ( x)
i
L0 ( x)
i
i 0
L0 ( x) F ( x0 ) L1 ( x) F( x1) L
(
1
F1 ( x)
x
)
x
x
x x1 x0 x1
1
x x
n 1
x x j
x x j 0 i j
i
j
x x1 x0 x1
0 0
f ( x0 )
x x0 x1 x0
f ( x1 )
Ahora calcularemos el polinomio de interpolación de grado dos (Cuadrático), haciendo n=2: F 2 ( x)
2
L ( x)F ( x ) i
i
i 0
L0 ( x) F ( x0 ) L1 ( x) F ( x1 ) L2 ( x) F ( x2 ) F 2 ( x )
x x1 x x2 x0 x1 x0 x2
f ( x0 )
x x0 x x2 x1 x0 x1 x2
f ( x1 )
x x0 x x1 x2 x0 x2 x1
f ( x2 )
La aproximación del polinomio cúbico es: F 3 ( x)
3
L ( x) F ( x ) i
i
i 0
L0 ( x) F ( x 0 ) L1 ( x) F ( x1 ) L2 ( x) F ( x 2 ) L3 ( x) F ( x3 ) F3 ( x)
x x1 x x2 x x3
f ( x0 )
x x0 x x2 x x3
f ( x1 )
x1 x0 x1 x2 x1 x3 x1 x0 x2 x0 x3 x x0 x x1 x x3 x x0 x x1 x x2 f ( x2 ) x2 x0 x2 x1 x2 x3 x3 x0 x3 x1 x3 x2 x0
49
f ( x3 )
Ejemplo Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer grado evalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación: x
1
2
3
4
F(x)
1
1,4142
1,732
2
Solución: Primero hallamos el polinomio lineal: F 1 ( x)
x 2
1 2
(1)
x 1
2 1
(1,414213) 0.414213 x 0.585787 F 1 (1.5) 1.2071065
Ahora hallamos el polinomio cuadrático: F 2 ( x)
x 2 x 3
1 2 1 3
(1)
x 1 x 3
2 1 2 3
(1.414213)
x 1 x 2
(1.732050) F 2 (1.5) 1.219153825
3 1 3 2
Finalmente el polinomio cúbico es: F3 ( x )
x 2 x 3 x 4
1 2 1 3 1 4 x 1 x 2 x 3 (2) 4 1 4 2 4 3
(1)
x 1 x 3 x 4
2 1 2 3 2 4
(1.414213)
x 1 x 2 x 4
31 3 2 3 4
(1.732050)
F 3 ( x ) 1,22205934
3.3 PROBLEMAS 1.
A 400ºC y con concentraciones:
CO
NO 2
0 ,10 mol/L
se
obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada: CO g
NO 2 g
CO 2 g
NO g
Tiempo (s)
0
10
20
30
CO mol L
0,1
0,067
0,05
0,04
Cuál es la concentración del monóxido de carbono para el tiempo de 25 s
50
Usando un polinomio de segundo grado mediante el método de LaGrange ¿cuáles son las constantes ( a0 , a1 ; a2 ; ) f(x) = a 0 + a1x + a2x2 .
2.
En una prueba experimental de una sedimentación discontinua se a determinado los siguientes datos: t ( s)
Zi ( m )
0
0,35
300
0,21
600
0,129
900
0,094
1200
0,083
Determine el polinomio interpolante de grado 3
3. Con una función f las diferencias divididas progresivas están dadas por x0=0,
f[x0]
0 f[x0,x1] x1=0, 04
f[x0,x1,x2]=
f[x1]
50 7
f[x1,x2]=10 x2=0,
f[x2]=
7
6
Determine los datos que faltan en la tabla.
4. Dados los nodos (0, -5), (1, -3), (2, 1), (3, 13), averiguar el polinomio interpolador mediante: La resolución de un sistema de ecuaciones. El método de Lagrange. El método de las diferencias divididas de Newton. 3 2 (Solución: P( x) x 2 x 3 x 5 )
51
5. En un proceso de desalinización usando un equipo de osmosis inversa se ha registrado los siguientes datos
p(bar )
5
10
15
20
25
Flujo( mL/h
103
202
287
386
501
¿Cuál es el polinomio usando todos los puntos mediante el método de Newton?
6. Cuál es el flujo para una caída de presión de 23 bar usando un polinomio de grado 3 r (cm)
0
5
10
15
V(m/s) 50 49,5 49 48
20
25
30
46,5 45
35
40
45 47 50
43 40,5 37,5 34 25 0
Determine el polinomio de grado 3 para r= 30 y r= 45cm
7. La tabla siguiente enumera la población de los Estados Unidos a partir de 1940 a 1990. años
1940
1950
Poblacion
132,165
151,326
1960
1970
1980
1990
179,323
203,302
226,542
249,633
(ien millares)
Encuentre el polinomio de Lagrange del grado 4 , y utilice este polinomio para estimar la población en los años 1965
8. Aproximar f (0.05) , mediante el polinomio interpolación de Newton usando la tabla siguiente x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f ( x)
2.00001
2.13456
2.56789
2.67845
2.78954
52
4. REGRESIÓN Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que intuimos que existe una relación.
4.1. REGRESIÓN LINEAL Consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de parejas de datos observados: (X1, Y1), (X2, Y2),………, (Xn, Yn) y para ello utilizaremos el método de mínimos cuadrados. La expresión matemática de la función lineal es g(x)=a 0 + a1x donde a0 y a1 son constantes a determinar. La desviación de la recta con respecto a cada dato se define como: di = yi – g(xi)
y como g(xi) = a0 + a1 xi
Entonces di = yi – a0 – a1xi
donde i = 1,2………,n siendo n número de
datos. El cuadrado total de las desviaciones para obtener un buen ajuste está dado por: D
n
n
d y a 2
i
0
i
i 1
a1 xi
2
i 1
cuando este valor es mínimo. Para determinar los valores de las constantes a0 y a1 y hacer mínimo a D, se deriva la ecuación anterior con relación a cada uno de los coeficientes (derivados parciales) y se igualan a cero Considerando que
n
a
0
na0 , entonces las anteriores ecuaciones se pueden
i 1
expresar Como un conjunto de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
x y a x a x x y na0 a1
i
i
2
0
i
1
i
i i
Al expresar estas 2 ecuaciones en forma matricial, tenemos:
53
n x i
x a y x a x y i
0
i
2
i
1
i
i
Que se resuelven por los métodos conocidos ( gauss-seidel)
4.2. REGRESIÓN REGRESIÓN POLINOM POLINOMIAL IAL El método de mínimos cuadrados puede extenderse para ajustar un polinomio de cualquier cualquier valor a los datos de una medición. g(x) = a0 + a1x + a2x2 + amxm
di= di=yi – g(x g(xi)
Desviación de la curva con respecto a cada Polinomio. La suma de los cuadrados de la desviación así: D = (yi – a0 – a1 xi – a2xi2 + ……… amxim)2 Siguiendo el mismo procedimiento hecho para la regresión lineal, tenemos: derivados parciales con respecto a los coeficientes al polinomio. D a 0 D a1 D a 2
D a m
2 (y (y i a 0 a1 x i a 2 xi2 .......... a m x m i )
2xi ( y i a 0 a1 xi a 2 x2 ....... a m x 2m )
2 x2i ( y i a 0 a1 xi a 2 xi2 ....... a m xmi )
2 xmi (y i a 0 a1 xi a 2 xi2 ....... a m xmi )
Al igualar estas ecuaciones a cero y reordenando, reordenando, se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones. a0n + a1xi + a2xi2 + ……………+amxim = yi a0xi + aixi2 + a2x23 + …………+ amxim+1 = xiyi a0xi2 + a1xi3 + a2xi4 +…………+ amxim+2 = xi2 yi
54
a0xim + a1xim+1 + a2xim+2 +……+ amxi2m = ximyi (Todos los van desde i =1 hasta n) el anterior sistema sistema lo podemos expresar así:
a0 yi n xi xim m 1 2 a x y x x x i i i i 1 m2 2 3 xi2 a2 x1 y xi xi xim xim 1 xim 2 xi2 m am x1m yi El sistema de ecuaciones se resuelve por los métodos vistos para resolver sistema de ecuación. O j o : si el polinomio es de grado m => necesitamos m + 1 ecuaciones
lineales con m+1 incógnitas.
4.3. REGRESIÓN REGRESIÓN LINEAL LINEAL MÚLTIPLE MÚLTIPLE Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una función lineal de dos o más m ás variables. Por ejemplo, y pudiera ser una funciónlineal de x1 y x2, de la forma: y = a0 + a1x1 + a2x2 Tal ecuación es es útil particularmente cuando cuando se ajustan ajustan datos experimentales experimentales en donde la variable que está analizando, a menudo m enudo es función de otras dos variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresión viene a ser un “plano”. Como con los casos anteriores, los “mejores” valores de los coeficientes se determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos: n
D
yi a0 a1 x1 a2 x2
2
i j
y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:
D1 2 yi a0 a1 x1 a2 x2 a 0
D1 2 x1 yi a0 a1x1 a2 x2 a0
55
(1)
D1 2 x2 yi a0 a1 x1 a2 x2 a 2 Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtienen igualando cada una de las derivadas parciales a cero y expresando la ecuación (1) como un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, de la forma: nao + ∑ x1 a1 + ∑ x2 a2 = ∑ y1
∑ x1ao + ∑ x12 a1 + ∑ x1 x2 a2 = ∑ x1 y1 2
∑ x2ao + ∑ x1 x2 a1 + ∑ x2 a2 = ∑ x2 y1
o como una matriz:
n x 1 x2
x x x xx xx x 1
2 1
1
a0 y1 1 2 a1 x1 y1 2 x2 y1 2 a3 2
2
56
4.4 PROBLEMAS 1. Una ecuación para la variación de viscosidad del líquido con la temperatura b T es: a e
Donde a, b son constantes empíricas y T, temperatura en K. T (ºC)
20
30
40
μ (N.s/m )
1x10-
8,08x10-
50
6,53x10-
5,33x10-
Estime la viscosidad a 25 y 35ºC utilizando la ecuación empírica
Solución: Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación: ln
ln a 1 1 b T
T (K)
μ (N.s/m2)
1/T
293,15
1x10-
3,411x10-
-6,907
303,15
8,08x10-
3,298x10-
-7,12
313,15
6,53x10-
3,193x10-
-7,333
323,15
5,33x10-
3,094x10-
-7,536
Obtenemos una recta, de la forma: Cálculo de m: m
m
c mx
y
1 b
T1 ln T 1 ln
4 m
2
1 1 4 T T
2
4 -0,093797 0,0129978 -28,89962 4 4, 422915 105 1, 68943 104
1989 ,369 m
1
b
Cálculo de c:
ln μ
c
b 5,0267 10-4
ln a 57
c
y
a1 x -7,22491 1989, 369 3, 24945 10 3
c -13,689
c ln a -13,689
ln
a 1,134106
-13,689 1989 ,369 1 T
Por lo tanto el modelo es: 5,0267104 T 1,134 106 e
De la ecuación, calculamos μ para 25 y 35 ºC: T = 25ºC = 298,15 K
298 ,5K
5,026710 4 298 ,15 8,966 10 4 N.s/m 2 1,134 10 6 e
T = 35ºC = 308,15 K
308 ,15 K
5,026710 4 308 ,15 7,22 10 4 N.s/m 2 1,134 10 6 e
2. Se desea determinar la energía de activación del proceso de degradación de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida. En el estudio de la 58
cinética de la reacción a diferentes temperaturas se obtuvieron los siguientes datos: k (L/mol.s)
4,04x10-
7,72x10-
1,29x10-
2,50x10-
0
7
15
25
T (ºC)
Determine la energía de activación
Solución: De la ecuación de Arrhenius, determinamos el modelo: E a RT A e
k
Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación:
ln k ln A
Ea 1
RT T T (K)
k
1/T
ln k
273,15
4,04x10-
3,66x10-
-10,116
280,15
7,72x10-
3,569x10-
-9,469
288,15
1,29x10-
3,47x10-
-8,955
298,15
2,50x10-
3,354x10-
-8,294
Obtenemos una recta, de la forma: y a0 a1 x Cálculo de a1: a1
E a R
T1 ln k T 1 ln k
4 a1
a1
Ea
2
1 1 4 T T
2
4 -0,1297 0, 01405 -36,8355 4 4,9437 105 1,9754 104
- 5850 ,1838
Ea
a1 R - 5850,1838 K 8,314
48,638103
J mol.K
J mol
Cálculo de a 0: a0 ln A a0
y
a1 x -9,208875 -5850,1838 3, 513734 10 3 59
a0
11,3471 a0
ln
A
11, 3471
A
84720, 26
11,3471 5850 ,1838 1
ln k
T
Por lo tanto el modelo es: - 48,638103 RT k 84720,26 e
3. Se cuenta con los siguientes datos de temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones: P (atm)
1
T (ºC)
56,5
2
5
78,6 113,0
10
20
30
40
144,5
181,0
205,0
214,5
Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un comportamiento lineal con respecto a la presión, por lo que se propone el modelo:
AP B Determine las constantes A y B Solución: T
Sacamos el “ln” a ambos lados de la ecuación y obtenemos: 60
ln A B ln P
ln T
P (atm) 1
T (ºC) 56,5
ln P 0
ln T 4,0342
2 5 10 20
78,6 113 144,5 181
0,6931 1,6094 2,3025 2,9957
4,3643 4,7273 4,9732 5,1984
30 205 3,4011 40 214,5 3,6888 Obtenemos una recta, de la forma: y a0 a1 x
5,323 5,3683
Cálculo de a1: a1 B a1
a1
7
ln T ln P ln T ln P 7 75, 565 14, 6909 33, 989 7 41, 8263 215, 8248 7 ln P ln P 2
2
0,362
B 0,362 Cálculo de a 0: a0 ln A a0
y a1 x 4,8555 0,362 2,0987
a0
- 4,095 a0
ln A
- 4, 095
4 ,095
ln T
0 ,362 ln
A
P
61
60,039
Por lo tanto el modelo es: T 60,039 P0,362
4. Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el laboratorio y se registraron los siguientes datos:
v
reactantes
rx
(s)(g/L)
(r)(g/L-h)
1
2
3
4
5
1
4
5
6
6
Determine las constantes a y b, si la expresión se ajusta al siguiente modelo: r
as bs
Solución: Invertimos la ecuación y obtenemos:
1 1 b 1 r a a s
(s)
v
rx
(r)
1/r
1/s
1
1
1
1
2
4
1/4
1/2
3
5
1/5
1/3
4
6
1/6
1/4
5
6
1/6
1/5
Obtenemos una recta, de la forma: y k mx Cálculo de m: 5 m
m
b a
1r 1s 1r 1s 2
1 1 5 s s
2
19 137 107 15 60 60 2 137 5 1, 463611111 60 5
m 1,074
Cálculo de k: k
1 a 62
107 137 1,074 y mx 300 300
k
k - 0,134
k
1 a
- 0,134
a
-7,459
Reemplazamos en “m”: m
b a
1,074
b
1,074 -7,459 -8,015
1 - 0,134 1,074 1 r s
Por lo tanto el modelo es: r
- 7,459 s - 8,015 s
PROBLEMAS 1.
La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los siguientes datos. Altitud( Km)
0,32
0,64
1,28
1,6
Densidad( Km/m )
1,15
1,10
1,05
0,95
63
Se propone un modelo de regresión : k1e k h 2
Determine la densidad a 1,5 Km
2.
En una celda electrolítica se ha determinado la densidad de corriente enfunción de la caída de la tensión como se muestra a continuación. Voltaje(V)
0,03
0,07
0,11
0,21
0,51
0,85
I(mA/cm )
4
8
12
16
20
24
¿Cuál es la densidad de corriente a 0,25 V usando un polinomio de tercer grado? ¿Cuáles son las constantes
( a0 , a1 ; a2 ; a3 )
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
3.
Los siguientes conjuntos de mediciones de temperatura tomados de la cabeza de cilindros de un motor nuevo que está probando con miras a usarse en un auto de carrera.
TABLA 10 Tiempo vs temperatura Tiempo (s)
Temperatura( ºF)
0
72,5
0,5
78,1
1
86,4
1,5
92,3
2
110,6
2,5
111,5
3
109,3
3,5
110,2
5
110,5
4,5
109,9
5
110,2
Calcule valores de temperatura en los siguientes intervalos usando un polinomio de grado 2 para 4,48
64
4.
Se desea determinar la energía de activación del proceso de degradación de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida. En el estudio de la cinética de la reacción a diferentes temperaturas se obtuvieron los resultados que se muestran a continuación: k (L/mol.s) T (ºC)
4,04x10-
7,72x10-
1,29x10-
2,5x10-
0
7
15
25
Determinar: La energía de activación.
5. La ecuación de Arrenihus : EA
K
Ae
R .T
En la siguiente tabla se muestra la constante de velocidad en función de la temperatura. Temperatura ( K)
K(1/s)
273
7,78x10-
298
3,46x10-
318
4,98x10-
328
1,5x10-
338
4,87x10-
Donde K : constante de velocidad de reacción EA: energía de activación R: constante universal de los gases R= 8,314J/ mol.K A: factor de frecuencia Determinar la constante de velocidad a 300 K E a =1.03021 10 5 joule mole 1 13 s 1 A= 4.00467 10
65
6.
Un estudio en mecánica de fluidos indica que el flujo de un fluido a través de una tubería está relacionada con el diámetro de la tubería y la pendiente como se muestra en la siguiente tabla. Experimento
Diámetro en pies
Pendiente,
Flujo( pie3/s)
1
1
0,001
1,4
2
2
0,001
8,3
3
3
0,001
24,2
4
1
0,01
4,7
5
2
0,01
28,9
6
3
0,01
84
7
1
0,05
11.1
8
2
0,05
69
9
3
0,05
200
Use una regresión lineal múltiple para analizar estos datos, la ecuación de potencia a evaluar es Q = a0Da1Sa2 Donde Q= Flujo volumétrico S: Pendiente D: diámetro de la tubería Después que se a encontrado el modelo, determine el flujo en una tubería de 2,5 pies y una pendiente de 0,025
7.
La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los siguientes datos. Altitud( Km)
0,32 0,64 1,28
1,6
Densidad( Km/m ) 1,15 1,10 1,05 0,95 Se propone un modelo de regresión : k1e k h 2
Determine la densidad a 1,5 Km 66
8.
Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el laboratorio y se registraron los siguientes datos concentración del reactante (s) (g/L)
Velocidad de reacción (r) g/L-h
1
1
2
4
3
5
4
6
5
6
Determine la constante a y b Si la expresión de la velocidad se ajusta al siguiente modelo r
9.
a*s bs
Se cuenta con los siguientes datos de temperaturas de ebullición de la acetona a Diferentes presiones: P(atm) T(ºC) 1
56,5
2
78,6
5
113,0
10
144,5
20
181,0
30
205,0
40
214,5
Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un comportamiento Lineal con respecto a la presión, por lo que se propone el modelo:
AP B …..(1) Determinar los valores de las constantes A y B T
67
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de la función matemática o función usando valores de la función. Dos métodos son los más usuales a la hora de resolver tal problema:
Derivar un polinomio de interpolación construido mediante alguno de los métodos estudiados Calcular directamente la derivada utilizando para ello aproximaciones de la función mediante los polinomios de Taylor. Las formulas obtenidas de esta manera reciben el nombre de formulas . La diferenciación numérica puede calcularse usando la definición de derivada f x lim
0
f ' x0
h
h f
x 0
h
0
Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de diferencia progresiva, Fórmulas de diferencias divididas hacia adelante Sea los puntos x
X i
X i+1
f
f (X ) i
X i+2
f (X i+1 )
X I+3
f (X i+2 )
…….
f (X I+3 )
5.1.DIFERENCIACIÓN MEDIANTE MÉTODO NEWTON Primera derivada f x f x f x 4 f x 3 f x h , f ' x 2h
f ' xi
i 1
i 2
i
i 1
i
Segund a derivada
2f x f x f x h f x 4 f x 5 f x 2 f x f '' x f '' xi
i 2
i 3
i
i 1
i
2
i 2
i 1
h
i
2
5.2. DIFERENCIACIÓN DE LA GRANGE: datos disc retos C o n s t r u i m o s e l p o l i n o m i o d e L a g r an g e 68
i
…….
L x y L x y L x y x x x x y x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x
L x
1
1
2
2
2
3
3
3
1
3
1
1
1
2
1
2
2
3
2
1
2
3
3
3
2
3
1
Diferenciando la función 2 x x2
x3 y x1 x2 x1 x3 1 2 x x1 x3 2 x x1 x2 y2 x2 x1 x2 x3 x3 x2 x3 x1
L x
f x
y3
Asumiendo espacio constante
2 x 2x x x
y1
2 x 2x x x
y1
f x
2
3
2
f x
2
3
2
2 x
f x1
1
2 x
f x2
2
2 x x1
x3
x 2 2 x x1
x3
x 2
x2 x3 2 x 2
y1
2 x1
x2 x3 2 x 2
y1
2 x2
y2
y2
x1 x3 x 2
2 x x1
2 x 2 2 x x1
x2
2 x 2
y2
x1 x3 x 2
x2
y2
2 x1
f x
2 x2
x1 x2 2x 2
2 x3 x1 x3 2 x3 x1 x2 x2 x3 y y 1 2 2 x 2 2x 2 x 2 2 x x2 x3 2 x x1 x3 2 x x1 x2 y y y3 1 2 2 x 2 2 x 2 x 2
x1
f x
y3
x1 x2 2x 2
2 x
f x3
y3
3
2
y1
2
x 2
y2
1
x 2
y3
y1
2 y2 x 2
y3
3 y1 4 y2 2 x y1 2 x
y3
y3
y3
y1
4 y2 3 y3 2 x
y3
segunda derivada
5.3 PROBLEMAS 1. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con ley
q z
0 k C
69
dT dz z 0
y3
Z (m) T (º C)
0 13,5
1,25 12
1,75 10
Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad térmica (3.5x10 -7), = la densidad del suelo (1800Kg/m3), C = calor específico del suelo (840). 2 0 1.25 3.75 2 0 0 3.75 2 0 0 1.25 12 10 1,333 13.5 0 1.25 0 3.75 1.25 0 1.25 3.75 3.75 0 3.75 1.25
f ' 0
q = -3.5x10-7 . 1800 (-1,333). =70.56
2. A 400ºC y con concentraciones: CO NO2 0,10 mol/L se obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada:
NO2
Tiempo (s)
0
10
20
30
CO mol L
0,1
0,067
0,05
0,04
CO g
g
g
CO2
NO g
Determinar el orden de la reacción dada Determinar la constante de velocidad Calcular la velocidad instantánea de la reacción en el instante t = 10 s
Solución: De la ecuación: v A -
dC A dt
k
C A
n
dC Tenemos: ln - A ln x n ln C A ecuación lineal dt Diferenciación numérica con 4 puntos:
Tiempo (s)
CO mol L
h
x0 0 0,1
x1 10 0,067
x2 20 0,05
x3 30 0,04
y0
y1
y2
y3
10 70
dCA
Para x0:
dCA dt
dt 1
6 10
dCA
Para x1:
dCA dt
1
dCA dt
1 6 10
dCA
Para x3:
dCA dt
11 y
0
18 y1 9 y2 2 y3
11 0,1 18 0,067 9 0,05 2 0,04 4,4 103
dt
6h
1
2 y 6h
0
3 y1 6 y2 y3
2 0,1 3 0,067 6 0,05 0,04 2,35103
6 10
dCA
1
dt
Para x2:
dt 1 6 10
1 6h
- y
6 y1 3y2 2y3
0
- 0,1 6 0,067 3 0,05 2 0,04 1,2 103
1 6h
2 y
0
9 y1 18y2 11y3
2 0,1 9 0,067 18 0,05 11 0,04 9,5 104
Llenamos la tabla y procedemos a graficar:
TABLA 11 CALCULO DIFERENCIACIÓN
CO mol L
- dCA
0
0,1
4,4 x 10-
-5,426
-2,302
10
0,067
2,35 x 10 -
-6,053
-2,703
20
0,05
1,2 x 10-
-6,725
-2,995
30
0,04
9,5 x 10-
-6,959
-3,218
Tiempo (s)
dt
71
ln -
dC
A
dt
ln CA
Del ajuste lineal tenemos que la ecuación es: y 1,7 x 1, 41 Donde: Orden de reacción es: n pendiente 1, 7 2 Constante de velocidad es: ln K -1,41 Para t=10 s:
v
k
C At 10 s
K
0,244
n
v 0,244 0,067 2 1,095 103
PROBLEMAS 1. La primera ley de difusión de Fick establece que el flujo másico Flujo másico =
F
D
dc dx
Donde flujo másico es cantidad de masa que pasa a través de una unidad de area por unidad de tiempo ( g/ cm 2/s. D= coeficiente de difusión ( cm 2/s). C: concentración X: distancia en cm. Un ing. químico mide la concentración de un contaminante en los sedimentos depositados en un lago obteniéndose los siguientes datos. X (cm)
0
1
2
c. 10- g/cm
0,1
0,4
0,9
72
Use la mejor técnica de derivación numérica para estimar en x =1,5 y calcule el flujo másico del contaminante cuando D= 2x10 -6cm2/s, para un lago de 3x10 6m2 de sedimentos ¿cuánto contaminante podría ser transportada hacia el lago en un año?
2. Para la descomposición del pentaóxido de dinitrógeno a 45ºC se obtuvieron los siguientes datos: 2 N 2 O5 ( g ) O2 (g ) 4NO2 (g )
Tiempo(s) 0
N O mol L 2
200
400
600
800
2,5 2,22 1,96 1,73 1,53
5
determina de qué orden será la reacción
3. A 440ºC con y con concentraciones |CO| = |NO2| = 0,10 mol/L se obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada: CO( g ) NO2 ( g ) CO2 (g ) NO(g )
Tiempo(s)
CO mol L
0
10
20
30
40
100
1000
0,1 0,067 0,05 0,04 0,033 0,017 0,002
a) Determina el orden de la reacción dada b) Determine la constante de velocidad c) Calcula la velocidad instantánea de la reacción en el instante t= 10 s.
4. Se ha estudiado la descomposición térmica de arsenamina sobre vidrio, 2 AsH3(g) 2 As(s) + 3H2(g) La presión total del sistema varia con el tiempo, a 350 C, según se indica a continuación: t/h
0
4.33
16.00 25.50 37.66 44.75
Pt/cmHg 39.2 40.30 43.65 45.35 48.05 48.80 a) Determine el orden de reacción con respecto a la arsenamina. b) Calcule la constante de velocidad. 73
5. Para poder estudiar el comportamiento físico químico de una solución de bromo en presencia de luz solar, se coloca una pequeña cantidad de solución de bromo en un matraz y se expone al sol, obteniéndose los siguientes resultados: Tiempo( min.)
10
20
30
40
50
60
Ppm Br2 a 25ºC 2,45 1,74 1,23 0,88 0,62 0,44 En base a esta información calcular la constante de velocidad en las unidades adecuadas y orden de la reacción.
6. En el estudio experimental de la velocidad de reacción para la reacción 2 NO (g) + 2 H2(g) → N2(g) + 2 H2O (g) se han obtenido los siguientes datos a 298 K: [NO] mol/L 0,02 0,02 0,03 0,06 Calcular:
[H2] mol/L 0,15 0,45 0,50 0,50
Velocidad mol/l s 1,2 x 103,6 x 109,0 x 1036,0 x 10-8
a) La ecuación de velocidad para esta reacción. b) El orden de reacción c) La constante de velocidad
7. Determinar el orden de reacción para la descomposición en fase gaseosa del peróxido de di-tert-butilo (CH3)3COOC(CH3) C2H6 + 2CH3COCH3 La reacción se lleva a cabo en el laboratorio en un reactor isotérmico batch La presión total de reacción a lo largo de reacción evoluciona según la siguiente tabla
74
tiempo(min) Presión total (MmHg) 0.0 7.5 2.5 10.5 5.0 12.5 10.0 15.8 15.0 17.9 20.0 19.4
8. Determinar el orden de reacción: CH 3-OH(g) + HCl(g) usando los datos de la tabla. CH 3-Cl(g) + H 2O(g) v
k [CH3 -Cl] [H2 O] n
m
Experiencia [CH3-Cl] (mol/l) [H2O] (mol/l) v (mol·l – ·s – ) 1
0,25
0,25
2,83
2
0,50
0,25
5,67
3
0,25
0,5
11,35
9. La transferencia de calor está dada por la siguiente ecuación q
donde
kA
dT dy
k =
J conductividad térmica s m K
A
= área m2 T = temperatura K
y
= distancia m
k 0 .025 A 3 m
J smK
2
La temperatura en función de distancia T 1493 y3 2200 y2 1076y 500
La transferencia de calor para y= 1,2m
75
6. INTEGRACIÓN NUMÉRICA En esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma. b
f
f x dx
a
Un método común para aproximar I( f ) es reemplazando f ( x ) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método
donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos.
6.1
Método del trapezoide: Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b
f( x) L( x)
x 0
x1
x
Figura Nº9: Integración método de trapecio usando dos puntos Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p 1(x) directamente se obtiene que
b
a
f ( x ) dx
h
2
f ( x ) f ( x ) 0
1
h
f ( x)dx 2 f ( a) f (b) b
a
Generalizando Generalizando el método de trapecio
76
f( x )
h
b
a n
x 0
h
x1
h
x 2
h
x 3
h
x
x 4
Figura Nº10: Integración método de trapecio usando n puntos
b
a
f(x)dx
h
h
f(x 2
2 b
a
f(x
x1
x
f(x)dx
0
x2
x1
f(x)dx
xn
x n 1
f(x)dx
h2 f(x ) f(x ) h2 f(x ) f(x )
0
) f(x1 )
0
) 2f(x1 ) 2f(xi ) 2 f ( xn 1 ) f ( xn )
f(x)dx
1
2
n 1
n
h
2
f(x
0
) 2f(x1 ) 2f(xi ) 2 f ( xn 1 ) f ( xn )
4
Evaluar la integral : 0 xe 2 x dx método de trapecio I
4
0
x
xe 2 dx
40 2
f (0) f (4) 2(0 4e ) 23847.66 8
6.2 REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.
77
6.2.1 REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la Figura. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:
L( x)
f(x )
x 0
h
x1
h
x 2
x
Figura Nº11: Integración método de Simpson usando tres puntos
b a
f ( x ) d x
2
c
i
f ( xi )
c0 f ( x 0 )
c 1 f ( x1 ) c 2
i0
h
3
f ( x
0
)
4 f ( x1 )
f ( x2 )
Generalizando
78
f (x2)
h
b a n f(x)
…...
x0 h x1 h x 2 h x 3 h x 4
x n-2 x n-1
x n x
Figura Nº12: Integración método de Simpson usando n puntos
b
a
f(x)dx h
f(x 3
h
h
3
x2
x
f(x)dx
0
x4
x2
f(x)dx
h3 f(x
0 ) 4f(x1 ) f(x 2 )
2
xn
xn2
f(x)dx
) 4f(x3 ) f(x 4 )
f(x ) 4f(x ) f(x ) n 2
n 1
n
f(x 0 ) 4f(x1 ) 2f(x 2 ) 4f(x 3 ) 2f(x 4 ) 3 4f(x 2i-1 ) 2 f ( x2i ) 4f(x 2i1 )
2 f ( xn2 ) 4 f ( xn1 ) f ( xn ) Evaluar la integral 4
xe
2 x
0
I
4
0
dx x
xe 2 dx
h
3
f (0) 4 f (2) f (4)
2
0 4(2e 4 ) 4e8 8240.411 3 Simpson’s 3/8 Approximate by a cubic polynomial La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es: 79
L(x )
x 0
f(x)
h
x1
h
x 2
h
x
x 3
Figura Nº13: Integración método de Simpson usando cuatro puntos
b
3
a
i0
f ( x)dx c f ( x ) c f(x ) c f(x ) c f(x ) c f(x ) i
3h
h
8
i
0
0
1
1
2
2
3
3
f ( x ) 3 f ( x ) 3 f ( x ) f ( x ) 0
1
2
3
b-a 3
6.2.2 SIMPHSON 3/8 I
4
0 xe2 x dx
3(4/3)
3h
4 8 f f f f (0) 3 ( ) 3 ( ) (4) 8 3 3
0 3(19.18922) 3(552.33933) 11923.832 6819.209
8 5216.926 6819.209 5216.926
30.71%
80
6.3 PROBLEMAS 1.
Los datos que aparecen en la tabla siguiente corresponden a una velocidad transversal de salida en una tubería ¿cuál es el flujo volumétrico en m 3/s?
r (cm)
0
5
10 15
20
V(m/s) 50 49,5 49 48
25
46,5 45
30
35
40
45 47 50
43 40,5 37,5 34 25 0
Q 2 V * rdr
2.
La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000gr de H2O desde –1000C hasta 2000C se puede evaluar de la siguiente forma:
H
m
T T
2 1
Cp
Cp 2.64 10 7 T 2
T d T 1.56 104 T 0.132
Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de Simpson
3.
La masa que entra o sale de un reactor perfectamente agitado en un periodo especifico se puede determinar mediante: M
t 2
ti
Q.cdt
Donde t1 y t2 son el tiempo inicial y final respectivamente Q es el flujo volumétrico y c es la concentración.
81
4.
T(,min )
C,mg/m3
0
10
5
22
10
35
15
47
20
55
25
58
30
52
35
40
40
37
45
32
50
34
Los datos que se muestra a continuación corresponde a la reacción de tipo. A B en un reactor tubular X
(-1/rA)
0
0.0053
0.1
0.0052
0.2
0.005
0.3
0.0045
0.4
0.0033
0.5
0.0025
0.7
0.0018
0.8
0.00125
0.85
0.001
La ecuación de diseño para este tipo de reactor es de: V
x
FA0 0
1
rA
dx
V:volumen(m3)FA0: flujo de alimentación A ,X: conversión el flujo molar de alimentación es de 2 mol/ min. el 80 % es de A y la diferencia de inertes Determine el volumen del reactor para una conversión de 90% de A 82
5.
Se tiene los siguientes puntos con h constante x
X0
X1
X2
X3
X4
y
Y0
Y1
Y2
Y3
Y4
Demostrar una fórmula de integración
6.
La reacción de saponificación de acetato de etilo en medio alcalino se conduce en fase homogénea de acuerdo con la siguiente ecuación. CH3COOCH2CH3 + NaOH CH3COONa + CH3CH2OH Donde la velocidad de reacción es de ra
dC A dt
kC ACB , k 2,028*10
9
de reacción
5817
*e
T
Constante de velocidad
el tiempo de reacción para un reactor discontinuo es
calculado mediante la siguiente reacción. CA
t
1
(ra) dCA
CA0
Donde : CA = CA0(1-XA) ; CB = CB0 – CA0XA Si la concentración inicial de A y B es de 0,8 mol-g/ L ¿ Cual es el tiempo para alcanzar una conversión de 95%? A 500K
7.
La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 000 g desde 100C hasta 90 0C se puede evaluar de la siguiente
de H2O forma:
H mT 1 Cp T dT T 2
Donde:
Cp 2.64 10 7 T 2
1.56 104 T 0.132
Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de Simpson
8.
Resolver la siguiente integración.
83
9.
En un reactor tubular continuo se realiza la eliminación de un contaminante en fase gas mediante la reacción: A + B R + S, a 200ºC y 7 atm. Para ello, se alimenta una corriente con A y B en relación equimolar, en las mismas condiciones de presión y temperatura, con un caudal de 500 L/min. Si se quiere alcanzar una conversión del 85%, ¿qué volumen de reactor es necesario? Datos: (rA) = 10.CA.CB [mol/L.min]
10.
Una reacción A R, de ecuación cinética r (mol/L.h) = 1,5 C A (a 50ºC), se lleva a cabo en un reactor discontinuo, de forma isoterma, siendo la temperatura de trabajo constante e igual a 50ºC. La mezcla reaccionante tiene una concentración inicial de 10 mol/L en A ¿Cuál es el tiempo de reacción necesario para alcanzar una X A de 0,90?
84
7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema de gran utilidad en diversas ramas del conocimiento como la economía, la biología, física, ingenierías, etc. La resolución de sistemas de cualquier número de ecuaciones (10, 50, 100, 500, etc.) es una realidad hoy en día, gracias a los computadores, lo cual proporciona solución directa. Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. Un sistema de
ecuaciones lineales con incógnitas, tiene la forma:
a11 x1 + a12 x 2 + ….. + a 1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ….. + a 2n x n = b 2
a m1 x1 + a m2 x 2+
x = b m
…. + a mn n
Con notación matricial se escribe así:
a11 a 21 a m1
a 22 ......a 2 n a m 2 .....a mn
a 12 ..... a1n
x1 b1 x b 2 2 x m b m
A X = B Donde
A es la matriz de coeficientes del sistema X es el vector incógnita
B es el vector de términos independientes.
7.1 METODOS DE JACOBI (Método de desplazamiento simultáneos) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 85
cona11 , a22 y a33 distintos de cero. Se despeja x1de la primera ecuación,
de la segunda y
de la tercera con lo
que se obtiene. =−
−
+
=−
−
+
=−
−
+
que en notación matricial queda
⎡
0
−
= −
0
− =
⎤
− −
−
+ 0
+ 0
−
= −
⎣
− 0
−
−
−
= 0
⎦
⎣
⎦
Una vez que se tiene la forma en notación matricial, se propone un vector inicial
( )
que puede ser
( )
= 0,
o algún otro que sea aproximado al vector
solución . Para iterar existe dos variantes. Si
( )
=
es el vector aproximación a la solución
después de
tiene para la siguiente aproximación.
86
iteraciones, entonces se
1
(
)
=
1
=
1
(
−
−
)
(
−
−
)
(
−
−
)
7.2 METODO DE GAUSS - SEIDEL (método de desplazamientos sucesivos) En este método los valores que se van calculando en la ( + 1) −ésima iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteración; es decir, con
( )
se calcula
(
)
1 = 1
de acuerdo con: (
−
−
)
(
−
−
)
(
−
−
)
87
7.3 PROBLEMAS 1) Determine los valores de x1 , x2 y x3 usando el método de gaus seidel 2 x1 7 x2
11 x3 6 x1 2 x2 x3 5 7 x1 5 x2 2 x3 17 2) Se tiene la siguiente torre de separación realizar los balances y calcular los flujos masicos de cada corriente. H2O
0,2% de HCl 99.8% aire
Masa = 2640Kg/h
43,1% de HCl
63,8% H2O
56,9% aire
Figura Nº14:Diagrama de una columna de absorción 3) Un proceso de 5 etapas en equilibrio para una extracción liquido o absorción gaseosa puede ser modelado mediante un sistema ecuaciones lineales de acuerdo como se muestra a continuación.
(1 rr ) X1 rrX 2 F0 X i1 (1 rr) X i
rrX i1 0 para i = 2,3, ………..(n-1)
X n 1 (1 rr ) X n
F
Para : rr = 0,9 ; F0 = 0,05 y F = 0,5 Resolver el sistema de ecuaciones lineales
88
de
4) Para el sgt.sistema de separación, se conoce el flujo masico(Kg/hr) y las fracciones de masa de cada sustancia de entrada de la columna de separacion1 (F0) y la salida de la columna 2(F3 ,F1Y F4)¿ Cual es el valor de F2
F1
W 1 = 0.2 W 2 = 0.6 W 3 =0.2
W 1 = 0.2
F0
W 2 = 0.6
W 1 = 0.2
F3
W 2 = 0.6
W 3 =0.2
W 3 =0.2
F2
F4
W1 = 0.2 W2 = 0.6 W 3 =0.2
5) Resolver la siguiente sistema de ecuación
1 8 x 1 x 2 x 3 1 3 3 x 2 2 x 3 4 x 4 3 x 3 x 4 x 5 2 , 1 2 x 4 6 x 5 3 , 4 4 x 1
x2
6) La resistencia de un termistor varia con la temperatura 1 T
a 0 a1 ln( R ) a 2 ln R 2 a 3 ln R 3
T es la temperatura en Kelvin, R es resistencia en ohms, y a0 , a1, a2 , a3 son constantes R
T
ohm
C
1101.0
25.113
911.3
30.131
636.0
40.120
451.1
50.128
Determine las constantes 89
7) En la figura se muestra la disposición de 5 tanques donde se lleva a cabo una mezcla de corrientes de entrada y salida. En base a la información determine concentración en cada en estado estacionario
3
2m /min. C5 3
3m /min. 3
2m /min. 3
5m /min. 10mg/m
3
C1 C1
C2
C4
3
3m /min.
3
1m /min.
3
1m /min.
C3 1m /min.
3
8m /min.
8m /min.20mg/m
Figura Nº15: Sistema de reactores
90
3
11m min.
8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS INTRODUCCIÓN Con mucha frecuencia aparecen problemas en ingeniería, física, química, ecología meteorología, sociología, etc., que exigen el manejo de ecuaciones diferenciales, muchas de las cuales no se pueden resolver pos los métodos convencionales, teniéndose que recurrir a métodos numéricos aproximados. Se llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Se dividen en dos grandes grupos: Ordinarias, si contienen una sola variable independiente y Parciales, cuando contienen varias variables independientes. Estudiaremos únicamente las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Estas se clasifican y estudian según el orden de la mayor derivada que aparece en la respectiva ecuación diferencial. Ejemplo:
dy dt
m
ky
d2 y dt
d3 y dx3
2
es de 1er orden
k y
5
dy dx
es de 2º orden
6y 0 es de 3er orden
Los problemas que encierran el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias, constarán de: Una ecuación diferencial ordinaria: dy dx
y1 f(x, y)
Las condiciones iniciales. El intervalo para la variable independiente x, para el cual debe determinarse la función y, si existe.
91
8.1.
MÉTODO DE EULER
Consiste en dividir el intervalo de X 0 a Xn en n subintervalos de ancho h. h
xn - xo n
obteniéndose un conjunto discreto de (n + 1) punto: x0, x1, x2 ……
xn en el intervalo [x0 , xn] generándose la sucesión de aproximaciones siguientes: y1 = y0 + hf (x0 , y0) y2 = y1 + hf (x1 , y1) y3 = y2 + hf (x2 , y2) . yn+1 = yn + hf(xn , yn) con i = 0 hasta n siendo f(xi , yi) la ecuación diferencial evaluada en x i y yi. yi+1 = yi + hf(xi, yi)
Ejemplo 1: Utilice el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación: y’=f(x,y) = -2 x 3 + 12 x 2 – 20 x + 8.5 de x =1.0 hasta x =3.0 considerando 4 intervalos y el valor inicial en x =1 es y =3 x 0 = 1
h
f( x 0 , y 0) = f(1 , 3) 1.0
1.5
x0
x1
2.0 x2
2.5 x3
3.0 x4x4
3 1 0.5 4
yi+1 = yi + hf(xi , yi) i
xi
yi
0 1
3
F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi) -1.5
2.25
1 1.5 2.25
-1.25
1.625
2 2.0 1.625
0.50
1.875
3 2.5 1.875
2.25
3.000
4 3.0 3.000
2.5
4.25
92
Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial
dy dx
f(x, y) = x - y , resuelva por el
método de Euler para el intervalo [0, 1] considerando 5 intervalos y siendo y(0)=2 Y(1)=?
h
1 0
5
= 0.2 x0 0
yi+1 = yi + hf(xi , yi) i
x1 0.2
x2
x3
0.4
0.6
x4
x5
0.8 00.800.80
xi
yi
0
2
-2
1.6
1 0.2
1.6
-1.4
1.32
2 0.4
1.32
-0.92
1.136
3 0.6
1.136
-0.536
1.0288
4 0.8
1.0288
-0.2288
0.98304
5 1.0
0.9834
-0.01696
0.986432
0
El valor exacto es 1.10364 E R
F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi)
1.10364 0.986432 1.10364
100% 10.93%
APLICACIÓN Un balón
de acero
de 1200 K es enfriado con corriente de aire
a
temperatura ambiente de 300K. Asumiendo la transferencia de calor en forma de radiación es mediante la ecuación diferencial . dT 2,2067 10 12 T 4 81 10 8 , T 0 1200 K dt
Determine la temperatura para t= 480s usando el método de euler dT dt
2, 2067 10 12 T 4 81 108
f t , T
2, 2067 10 T 12
4
81 108
T T f t ,T h 1200 f 0,1200 240 T1
T0
i 1
i
f t0 , T0 h i
i
1200 2.2067 10 12 1200 4 81 108 240 93
1200 4.5579 240 T1
106.09K
0 240 t
t1 t0 h 240
T1
T 240 106, 09K
2
1 f t1 , 1 h
106.09 f 240,106.09 240 106.09 2.2067 10 12 106.09 4 81 108 240
106.09 0.017595 240 110.32K t t2
t1 h
240 240 480 2
8.2.
480 110.32K MÉTODO DE EULER MODIFICADO
Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero y para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño a cambio de un error de redondeo mayor. El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo en lugar de la derivada tomada en un solo extremo. El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos: 1.
Se parte de (x0,y0) y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de y correspondiente a x 1. Este valor de y se denotará como y1 ya que solo es un valor transitorio para y 1. Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.
94
2.
El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido
f x1 , y1
usando
x , y se evalúa la derivada de 1
1
la ecuación ordinaria que se está resolviendo. Se
obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (x0,y0). 1 2
f(x
0
,y 0 ) f(x1 , y1 )
derivada promedio
se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y i con la ecuación de Euler
yn+1 = yi + hf(xi, y i) que deberá ser más exacto que
y1. h y1 y 0 f(x 0 , y0 ) (f(x1 , y1 )) 2
que se tomará como valor definitivo de y1.
x n x 0 h n Este procedimiento se repite hasta llegar a y n. El esquema iterativo para este método quedaría en general así: Usando el paso de predicción resulta: yi 1
yi hf(xi ,yi )
Se calcula la derivada f ( x
,y
i1
i1
)
Se establece la derivada promedio (llamémosla B) B
1 2
f(x
i
,y i )
f(x i 1 , y i 1 )
Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de Euler y se obtiene y i 1 y i
h 2
f(x i , y i ) f(x i 1 ,y i 1 )
o simplificado: yi+1= yi+ hB
Ejemplo 1: Resuelva f(x,y) = x - y en el intervalo [0,1] Con y(0)=2 x0=0 xn=1
y0=2 yn=?
y(1)=? h n=5
y Con 5 intervalos. x
n
x
0
n 95
1
5
0
h = 0 .2
0
0.2
0.4
0.6
x0
x1
x2
x3
0.8 x4
1 x5
En forma iterativa, hagamos la siguiente tabla: de i=0 hasta n=5 Recuerde que:
xi+1=xi+h
f(xi,yi) = xi - yi B
yi 1 yi hf(x,y i i)
i xi
f(xi,yi)
Xi+1
-2
1.6
0.2
-1.4
-1.7
1.66
1 0.2 1.66
-1.46
1.368
0.4
-0.968
-1.214
1.4172
2 0.4 1.4172
-1.0172
1.21376
0.6
-0.61378
-0.81548
1.254104
3 0.6 1.254104 -0.654104
1.12328
0.8
-0.32328
-0.488694
1.156365
4 0.8 1.156365 -0.356365
1.085092 1.0
-0.08509
-0.2207286
1.112220
2
f(x i 1 , y i 1 B
y i 1
0 0
Yi
1 f(xi , y i ) f(xi 1 , y i 1 ) 2
Yi+1=yi+h b
5 1.0 1.112222
Para i=5
y5=y(1)=1.112222 El valor exacto es 1.10364
E R E R
8.3.
1.10364 1.112222 1.10364
100%
0.78%
MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK)
Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de Taylor sin necesidad de cálculo de derivadas superiores y consisten en obtener un resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos en una serie de Taylor de la forma: y i 1
y i f ( x i , y i ) h
f ' ( x i , y i ) h
2!
2
f " ( x i , y i ) h
3!
3
f ' ' ' ( x i , y i ) h 4
4!
+.......... con una aproximación en la cual se calcula y i+1 de la fórmula: Yi 1
yi h(0 f ( xi , yi ) 1 f ( xi 1h, yi b1h) ... .... p f ( xi p h, yi bp h)
96
(2)
donde los , , b se determinan de modo que si expandiera f ( xi
j h, yi b j h) con i j p en series de Taylor alrededor de (x i, yi), se
observaría que los coeficientes de h, h 2 , h3 , etc. Coincidirían con los coeficientes correspondientes de la ecuación (1). Después de efectuar los cálculos convenientes a la ecuación (2) para establecer los valores de , , b , tenemos las siguientes expresiones de Runge-Kutta (RK): 1. Método RK de segundo orden: yi+1 = yi +
h
2
[k1 +k2]
donde: k1=f(xi, yi) k2=f(xi+h, yi+hk1) 2. Método RK de tercer orden: yi+1 = yi +
h
6
[k1 +4k2 +k3]
donde: k1=f(xi, yi) h
h
2
2
k2=f(xi+ , yi+ k1) k3= f(xi+h, yi -hk1+2hk2) 3. MétodoRK de cuarto orden: yi+1 = yi +
h
6
[k1 +2k2 +2k3 +k4]
donde: k1=f(xi, yi) h
h
2
2
h
h
2
2
k2=f(xi+ , yi+ k1) k3=f(xi+ , yi+ k2) k4=f(xi+h, yi+hk3) otra forma de expresar
97
k 1
hf ( xn , yn )
k 2
hf ( xn
2 h
, y n
k 1
2 k 2
)
, y n ) 2 2 k 4 hf ( xn h, y n k 3 ) k 3
hf ( xn
h
y n 1
yn
1 6
(k 1
2k 2 2k 3 k 4 )
El método más utilizado es el de cuarto orden ya que coincide con los primeros cinco términos de la serie de Taylor lo cual significa gran exactitud sin cálculo de derivadas aunque haya que evaluar la función f(x,y) cuatro veces en cada subintervalo.
Ejemplo: Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)=x-y donde x=0 hasta x=1 con 5 intervalos y siendo para x=0, y=2.
Ejemplo: 1.
Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)= x – y desde x=0 hasta x=1 Con 5 intervalos siendo para x=0 y=2.
Solución: (x0, y0)= (0, 2)
h
1 0 5
0, 2
para x=1 y=? x0=0
x1=0.2
x2=0.4
Aplicamos: yi+1 = yi +
h
6
x3=0.6
x4=0.8
x5=1.0
[k1 +2k2 +2k3 +k4]
Se calculan los valores de k 1, k2, k3, k4 en cada iteración y se halla y i+1 i xi
Yi
K1
K2
K3
K4
Yi+1
0 0
2
-2
-1.7
-1.73
-1.454
1.6562
1 0.2 1.6562
-1.4562
-121058 -1.235142 -1.009172 1.410973
2 0.4 1.410973 -1.010973 -0.809876 -0.829985 -0.644976 1.246451 3 0.6 1.246451 -0.746451 -0.471806 -0.49927 -0.346797 1.148004 4 0.8 1.148004 -0.348004 -0.213204 -0.226684 -0.10268 1.103656 5 1.0 1.103656 98
para x=1.0, y=1.103656 Que al compara con el valor exacto que es 1.10364, ten emos: E R
2.
1.10364 1.103656 1.10364
100% 0.001%
Resolver F ( X i , Y i )
1
1 X Y aplicando el método de Runge-Ku ta. 2 2
i
i
Solución De la condición inicial del problema se tiene que X = 0 , y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en se obtie e:
Llevando estos valore s a (16) y el resultante a (12) se obtien que para X = 0.1 la solución del pro blema es
Los valores de las k i para este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la mi ma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente tabla: 99
X
Y
k1
k2
k3
k4
0.0
1.0000
0.5000
0.5516
0.5544
0.6127
0.1
1.0554
0.6126
0.6782
0.6823
0.7575
0.2
1.1236
0.7575
0.8431
0.8494
0.9494
0.3
1.2085
0.9492
1.0647
1.0745
1.2121
0.4
1.3158
1.2119
1.3735
1.3896
1.5872
0.5
1.4545
1.5868
1.8234
1.8517
2.1509
8.4.
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
Las diferencias
divididas finitas se sustituyen por las derivadas en la
ecuación original. Así una ecuación diferencial se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
Primera derivada:
dy dx
2
Segunda derivada :
yi1 yi
d y 2
dx
x
yi 1
2 yi yi1 x2
Resolver la ecuación mediante diferencias finitas 2
d y 2
dx
2 106 y 7.5 107 (75 x) i 1
2
d y dx
2
yi 1
yi 1
i 1
i
2 yi yi 1 (x) 2
2 yi yi1 2 106 yi 7.5 107 xi (75 xi ) 2 ( x) i 1 x 0
i2
i 3
x 25
x 50
x 25 , x 0 a x 75
con x 25 .
100
i
4
x 75
x0
0
x1 x0 x 2
x 0 25 25
x1 x 25 25 50
x3 x2
x 50 25 75
x 0 y1
y3
0
2 y2 y1 (25)
2
2 106 y2 7.5 107 x2 (75 x2 )
0 .0016 y1
0 .003202 y 2 0.0016 y 3 7.5 10 7 (25 )(75 25 )
0 .0016 y1
0 .003202 y 2 0.0016 y 3 9 .375 10 4
y4
2 y3 y2 (25)
2
2 106 y3 7.5 107 x3 (75 x3 )
0 .0016 y 2
0.003202 y 3 0.0016 y 3 7.5 10 7 (50 )(75 50 )
0 .0016 y 2
0.003202 y 3 0.0016 y 3 9 .375 10 4
x 75
y4
0
0 0 1 0.0016 0.003202 0.0016 0 0.0016 0.003202 0 0 0
y1 0 y 9.375 104 0 2 4 0.0016 y3 9.375 10 1 y 4 0 0
y1 0 y 0.5852 2 y3 0.5852 0 y 4 8.5.
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ya sea que estemos afrontando un problema de ingeniería cuya solución implique la resolución de una ecuación diferencial de orden n, o uno que implique la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, nos enfrentaremos a la necesidad de resolver un sistema que podremos expresar como sigue:
101
dy 1 dx dy 2 dx
f1 x , y1 , y 2 , ............,
yn
f 2 x , y 1 , y 2 , ............,
yn
f n x , y 1 , y 2 , ............,
yn
. . dy n dx
Por supuesto, la solución de tal sistema requiere de que se conozcan las n condiciones iniciales en el valor inicial del intervalo correspondiente a x . Todos los métodos vistos anteriormente para simples ecuaciones pueden extenderse a la resolución de sistemas como el anterior. El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar las técnicas conocidas para cada ecuación en cada paso, antes de proceder con el siguiente. Esto quedará claramente ilustrado con el siguiente ejemplo donde hemos aplicado el método de Euler. Ejemp lo 1: Resolución de un sistema de EDOs mediante el método de Euler.
Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias: dy 1 dx dy 2 dx
- 0, 5 y1 4 - 0, 3 y 2 - 0,1 y1
Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones iniciales en x = 0, y 1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5. Se implementa el método de Euler para cada variable mediante la ya conocida expresión: yi 1 yi
f ( xi , yi ) h
Primero calculamos las pendientes: dy 1 dx dy 2 dx
f1 ( 0 , 4, 6) - 0.5 4 - 2 f 2 ( 0 , 4, 6) 4 - 0.3 6 - 0.1 4 1.8
Y luego los valores de la función para el primer paso:
102
y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 4 -2 0.5 3 y 0.5 y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 6 1.8 0.5 6, 9 y1 0.5 2
1
2
1
2
Para un segundo paso volvemos a calcular las pendientes: dy 1 dx dy 2 dx
f1 ( 0.5 , 3, 6.9) - 0.5 3 - 1.5 f 2 ( 0.5 , 3, 6.9) 4 - 0.3 6.9 - 0.1 3 1.63
Y luego los valores de la función para el segundo paso:
y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 3 -1.5 0.5 2.25 y 1.0 y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 6.9 1.63 0.5 7.715 y1 1.0 2
1
2
1
2
Y así continúa el cálculo hasta el final. Los resultados se resumen en la siguiente tabla: x
y1
y2
0.0
4.000000
6.000000
0.5
3.000000
6.900000
1.0
2.250000
7.715000
1.5
1.687500
8.445250
2.0
1.265625
9.094870
8.6 PROBLEMAS 1. Dada la ecuación diferencial f(x,y)=yx 2-y con x=0 a x=2
siendo y(0)=1 y
n=4 intervalos resuelva por el método sencillo de Euler
2. Dada y’=f(x,y) = 2x 3 –3x2 entre x=0 y x=1 siendo f(0)=1 y con n=2, evalúe utilizando a)el método sencillo de Euler.
3. Dada y’=f(x,y)= -2x3 + 12x2 –20x + 8.5 resuelva utilizando el método RK de cuarto orden desde x=1 hasta x=3 considerando 4 intervalos y siendo y(1)=3.
4. Utilice el método de Euler Modificado para resolver: a) dy/dx=2x3 –2xy con y(0)=0
y(2.5)=? 103
h=0.5
b) y’=2x2 –3y2 con y(1)=0.5
y(2)=?
h=0.2
5. Resolver mediante el método euler dy dx
100000( y e x ) e x
y (0) 0 , use the implicit Euler method to obtain the solution from x 0 to 0,3
using the step-size of 0.1
6. Un tanque de 600 galones de capacidad contiene inicialmente 200 galones de salmuera con 25 lb. de sal. Salmuera con 2 lb. por galón entra al tanque a un flujo de 13 galones/ s. La salmuera mezclada en el tanque fluye hacia fuera a un flujo volumétrico de 8 galones/ galones/ s. ¿Cuál es la cantidad de sal y la concentración cuando el tanque se Encuentra lleno? Utilizar el método de runge kutta de segundo orden.
7. Las plantas de desalinización se usan para purificar el agua de mar , para que pueda beberse beberse . El agua de de mar contiene disuelto disuelto 8 g de sal /kg. /kg. Y es bombeada hacia un un tanque de mezcla mezcla a razón de 0,5 kg./ min. Debido a una falla en el diseño del equipo, el agua se evapora del tanque a razón de de 0,5kg/min. .La solución salina sale del tanque a razón de 10 kg/min. Supóngase que el balance de la disolución es agua pura. Si el tanque tanque se llena inicialmente con con 1 000 kg. de solución a la entrada. ¿ determine la concentración concentración a la la salida del tanque en función del tiempo hasta que el tanque quede vació.?
8. Las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones definen las concentraciones de tres reactores dC A dt dC B dt dC C dt
20C ACC 2C B 20C ACC 2C B 20C ACC 2CB 0, 2CC
Si las condicio condiciones nes iniciale inicialess son CA = 500, 500, CB CB = 0 y Cc = 500 halle las Concentraciones para los tiempos que van desde 0 a 30s usando un h = 3
9. La descarga descarga de un un fluido por gravedad gravedad por un orificio por el fon fon deo del tanque puede ser modelado modelado mediante el siguiente sistema sistema d e ecuaciones diferenciales. 104
dv dt
0,0010 y 0,00205 v 2
dy
dt
0 , 0624 ( 1
1 10 0
v
)
donde v es la velocidad del fluido, y nivel nivel del liquido las condiciones condiciones iniciales son son de v0 v0 = 2,5 ; y0 = 20 cual son los los valores valores de v , y para t = 5 con h igual 0,5
10.
Par un circuito eléctrico los resistores no obedecen la ley de Ohm, y el
circuito dinámico se describe describe por la relación siguiente siguiente l
i i R ( ) 0 dt I I di
3
i = corriente eléctrica eléctrica ; I = corriente de referencia referencia igual 1; R resistencia eléctrica 2 ; Resolver la ecuación diferencial si i(0) = 0,6 A para
t=
30s con h = 3s
11.
Determine usado técnicas numéricas
la ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden 2
d x
3
dt 2
dx dt
10 x 0
x =1 Determine los valores valores de x entre 1,2 usando h = 0,1 12. Un tanque de 2 000 L contiene, en el inicio 400L de agua agua pura . Comenzando en t = 0 una solución solución acusa que contiene contiene 1 g/ L de cloruro de potasio fluye hacia el tanque a razón de 8L/s y al mismo mismo tiempo, comienza comienza a fluir una corriente de salida a razón de 4L/s .El contenido del tanque esta mezclado perfectamente perfectamente y la densidad densidad de la corriente de alimentación y salida puede considerarse constante. Calcule la concentración de cloruro de potasio en el tanque tanque en el momento momento en que que este rebosa. La condición condición inicial para la ecuación para t = 0
13.
Un Reacto Reactorr CSTR CSTR como como se se muest muestra ra en la figur figura, a, la concen concentra traci ción ón de
alimentación (C A0) of 0,5 mole/m3.
Determine la concentración al cabo de
0,5h
105
r A V
V
k1C A (1 k 2 C A )
dC A dt
F (C A 0 C A ) (V )( rA )
2, 0 m 3
F
1, 0 m3 / h
k1
1, 0 h1
k2
1, 0 m3 / m ole
14. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente y sin cambio de fase .Las ecuaciones que describen el intercambiador de calor en ciertas condiciones de operación son: dT B dx dT S dx
0 .03 xT S T B 0 .04 xT S T B
CONDICIONES (0) 20 C T B 0
T S (0) 100 C 0
T B (3) ¿? T S (3) ¿?
Evalué la temperatura para x= 3 m
15.
Resolver la siguiente ecuación mediante diferencias finitas 2
d u dr
2
1d u r dr
u 2
r
0,
u(5) 0, 08731, u (8) 0.0030769
106
16. El siguiente diagrama ( Figura.18) muestra tres tanques continuos con agitación conectados en serie
Se ha disuelto1500g de Na 2SO4 en el
primer tanque, llenando los
otros tanques con solvente puro, e
iniciando después un flujo de 40L/ a través del sistema. Calcular el tiempo para alcanzar una concentración de 0,01g/l en el tanque tres.
Fig Nº16: Sistema de tanques de mezclado. 17.
Determine el valor de y (1) resolviendo
0,05 y t 0,15 y t 0, y 0 0, y0 1
y t
utilizando el método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0,5
18. El circuito que se muestra en la figura E9.5 tiene una autoinductancia de L = 50H , una resistencia de R = 20 ohms y una fuente de voltaje de V = 10 volts. Si el interruptor se cierra en el instante t = 0 , la corriente I(t) satisface la ecuación: L
d I t RI t dt
E ,
0
I 0
Determine el valor de la corriente para 0 < t 10 segundos, mediante el método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0.1. L SW
i R
Figura 19: Circuito electrico
107
19. El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual también se vierte agua pura a razón de 3 galones/minuto y se mezcla bien. La concentración de sal en el segundo tanque satisface
y 2 t
3 20
y 2 t
2 20
10
y1 ,
y2 0
donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de sal en el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene agua pura en el instante t = 0.
20. Un tanque de 50 galones de agua contiene sal con una concentración de 10 onzas/galón. Con el fin de diluir el contenido de sal, se suministra agua pura a razón de 2 galones/minuto. Si el depósito tiene una mezcla uniforme y la misma cantidad de agua que entra sale del depósito cada minuto, la concentración de sal satisface
y1 t
2 50
10
y1 ,
y1 0
donde y1(t) es la concentración de sal en onzas/galón y t es el tiempo en minutos. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden con h = 1 minuto para determinar cuánto tiempo debe transcurrir para que la concentración de la sal sea 1/10 de su valor inicial. b) El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual tambien se vierte agua pura a razon de 3 galones/minuto y se mezcla bien. La concentracion de sal en el segundo tanque satisface
y 2 t
3 20
y 2 t
2 20
10
y1 ,
y2 0
donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de sal en el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene agua pura en el instante t = 0.
108
21. Resolver el sistema de EDOs mediante el método de Runge – Kutta dy1 dx
- 0.5 y1
clásico de cuarto orden. dy2 dx
4 - 0.3 y2 - 0.1 y1
Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones iniciales en x = 0, y1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5.
109
9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) INTRODUCCIÓN Una EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se le denomina lineal. Si además dependen de la propia función o de alguna de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal.
EJEMPLO
Ecuación diferencial parcial de transferencia de calor unidimensional en estado no estacionario. T T 2 2 t x T: Temperatura en K , t es el tiempo en s,
es la difusivilidad térmica en m 2/s
Ecuación de transferencia de calor en estado estacionario bidimensional T 2 T 2 x 2 y 2 T es la temperatura en K , x,y ejes coordenados
9.1 PROBLEMAS 1. resuelva la ecuación diferencial parcial de transferencia de calor en dos dimensiones.
2T 2T 0 X 2 Y 2
0 X 2 ,
0 Y 2 , X Y 0,5
T( 0, Y) = 100 , T( X ,0 ) = 60 , T( 2,Y) = 100 , T(X, 2) = 60
2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de transferencia de calor dada por 110
2T 2T 0 X 2 Y 2 T = 40 . 0 y 1 ,
x=0
T = 120
0 y 1
x =4
T = 40
0 X 4
y=0
T= 50
0 X 4
y=1
Utilizando y 0,25 y x 1
111
10. APLICACIONES DE INGENIERÍA QUÍMICA EN POLYMATHMATHCAD Y MATLAB 10.1 PROBLEMAS CON POLYMATH 1. Determine el volumen Molar del gas dióxido de carbono mediante la ecuación de VAN DER WAALS .
P a V b RT V *V a= 3,592
b= 0,04267
R = 0,082
PARA T= 300K , P =100 ATM f(v) = (P + a/(V2))*(V-b) –R*T = 0
POLYMATH Results NLE Solution Variable V
Value 0.0793969
a
3.592
b
0.04267
T
300
R
0.082
P
100
f(x)
Ini Guess
-1.776E-13 0.2505
2. En la batería de reactores de mezcla completa que se muestra en el diagrama, se lleva a cabo una reacción isotermica de Segundo orden a volumen constante si el flujo volumétrico a cada reactor es constante de 25 l/min. calcular la concentración de salida de cada reactor
112
Figura Nº17: Bateria reactores
Balance de materia en cada reactor: Reactor N°1: q*CA0 –q*CA1 –K*CA12*V1 =0 Reactor N°2 q*CA1-q*CA2 –K*CA22*V2 =0 Reactor N°3 q*CA2-q*CA3 –K*CA32*V3 =0 F(CA1) = q*(CA0 –CA1) –K*CA12*V1 =0 F(CA2) = q*(CA1-q*CA2) –K*CA22*V2 = F(CA3) = q*(CA2-q*CA3) –K*CA32*V3 =0 Variable
Value
f(x)
s
CA1
0.6031317
-7.105E-15
2
CA2
0.2869484
-1.332E-14
1
CA3
0.1725794
-2.944E-13
0.8
V
1200
K
0.08
CA0
2
Q
25
3. En un reactor químico se obtiene glucosa a partir de la hidrólisis de almidón. La ecuación diferencial que gobierna el proceso para la concentración del almidón es .
V*Dca /dt = q*CA0 - q*CA + ra ra = -k*CA2V CA0: Concentración de la alimentación a la entrada = 6,3 mol/m3 113
CA: Concentración del almidon a la salida V : volumen del reactor = 500m3 Q : caudal volumetrico 100 m3/h ra : velocidad de transformación de almidon en
glucosa
K= 0.02 m 3/h*mol . Calcular la composición de salida para t = 20h
ODE Report (RKF45) Differential equations as entered by the user [1] d(C A)/d(t) = q*C A0 /V - q *C A/V -K*C A2 Explicit equations as entered by the user [1] q = 100 [2] V = 500 [3] C A0 = 6.3 [4] K = 0.02 Independent variable variable name : t initial value : 0 final value : 20
Variableinitial valueminimal valuemaximal valuefinal value t
0
C A
6.3
q
0
20
20
4.38179
6.3
4.38179
100
100
100
100
V
500
500
500
500
C A0
6.3
6.3
6.3
6.3
K
0.02
0.02
0.02
0.02
4. La concentración saturada de oxigeno disuelto en agua como función de temperatura y de la concentración de cloro se lista en la siguiente tabla. *Determine la ecuación que correlacione C=f(T) de grado 2 y 3
Evaluar la concentración para T = 20°C
114
Temperatura
Cloro( 10 000mg/l)
5
11,6
10
10.3
15
9,1
20
8,2
25
7,4
30
6,8
REGRESION LINEAL Model: C = a0 + a1*T + a2*T2 Variable Value 95% confidence a0
13.11
0.1595539
a1
-0.3195
0.0208769
a2
0.0036429
5.839E-04
REGRESION POLINOMICAt Model: C = a0 + a1*T + a2*T2 + a3*T3 Variable Value 95% confidence a0
13.133333
0.5263102
a1
-0.3253704
0.1199362
a2
0.0040317
0.0076758
a3
-7.407E-06
1.451E-04
5. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado no estacionario según la reacción:
Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como los productos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentración en un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentraciones iniciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L. Datos: 115
K1=0.5 min-1 K2=1.0 min-1 Solución: formando l s ecuaciones diferenciales en función d la reacción.
C 1 k1C 1 t C 2 k C k C t 1 1 2 2 C 2 k 2C 2 t
FIGU A 18: Datos de ingreso en Polymath
FIGUR 19: Gráfica concentración vs tiempo 116
6. Resolver el siguiente istema:
y k1 x k2 y t x k1x t z k y t 2 Con valores iníciales (0)=1, y (0)=0, z(0)=0 con t=0 a t=3 y k 1=1, k2=2 Solución:
FIGU A 20: Ingreso de Datos en Polymath
117
FIGURA 21: Resultados con el Software Polymat
FIGURA 22: G afica de resultados de la Ecuación difer ncial. 118
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
dC 1 dt dC 2 dt
dC 3 dt dC 4 dt
0,12C1 0, 02C 3 1 0,15C1 0,15C 2
0, 025C2 0, 225C 3 4 0,1C3 0,1375C4 0, 025C 5
dC 5 dt
0, 01C1 0, 01C2 0, 04C 5
Con C1 (0)=1, C2 ( )=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1
Solución:
FIGU A 23: Ingreso de Datos en Polymath
119
FIGURA 24: Resultados Polymath
FIGURA 25: Grafico Polymath
120
10.2 PROBLEMAS CON MATHCAD 1.
Para flujo turbulento para todas las tuberías, el Instituto de Hidráulica de Estados Unidos y la mayoría de ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más aceptable para calcular f . La ecuación es: 1 f
e 0, 251 0,86ln 0,36 d Re f
Donde: Re : l número de Reynolds (adimensional) e
: aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)
d
:, diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4 que fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de 2,x10-3 m.
Solución con mathcad Ingresando datos: E = 0,002 D = 0,1 Re = 3104 f = 0,001 Given 1 f
E 0, 251 0,86ln 0,36 D Re f
Calculo de la fricción F = Find (f) f = 0,055 de la figura efectuar un balance de masa y determine los flujos
121
Figura Nº26: Sistema de columna de separación 0.07x1 +0.18x2 + 0.15x3 +0.24x4
= 10.5
0.04x1 + 0.24x2 + 0.1x3 +0.65x4 =17.5 0.54x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.10x4 = 28 0.35x1 + 0.16x2 + 0.21x3 + 0.01x4 = 14
0.07 0.04 A 0.54 0.35
0.18 0.15 0.24 0.24
0.1 0.65
0.01
0.42 0.54 0.1 0.160 0.21
122
10.5 26.25 17.5 17.5 B 28 solucion 8.75 14 17.5 2.
La ecuación de Antonie para el cálculo de la presión de vapor (P*) de un compuesto esta dado por: Donde: P*: presión de vapor (mmHg) T, temperatura (ºC) Las constantes para el benceno y el hexano son:
Compuesto
A
B
C
benceno
6.89745
1260.350
220.237
Hexano
6.87773
1171.530
224.366
Determinar la temperatura de ebullición de la mezcla a 1 y a 5 atm.
Solución log(P*)
A
B C T
sean las fracciones molares xa = 0,5 xb = 0,5 constantes para el benceno A1 6.8974
B1 1206.35 C1 220.23
constantes para el hexano A2 6.8777
B2 1171.53 C2 224.36
para una presión de 1atm en mmHg 123
Pt 76
asumiendo una temperatura inicial de 30ºC T 30 Give
A1 B1 A2 B2 C1 T Xb 10 C2 T Xa 10
Pt
T Find(T) T 73.975
3.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales con mathcad 2
2
y ( 1 x) ( 1 x x
k1
y)
y ( x y)
k2
(x y) (1 x y)
Solución Especifique las constantes de equilibrio
k1 x
Tome dos valores iniciales
Given
k1
(1
2
y
x) ( 1
x
y (x
k2
(x
y )(1
vec
vec
0.652 0.198
2
x
y)
y)
y)
x
Find ( x y )
124
0.6
0.8
k2 y
0.2 0.5
4..
Mediante la ecuacion de Vand Der Waals calcular el volumen molar a P = 60 atm y T = 500K.
P
ecuacion de Van der Waals
a 2
V
( V b)
R T
Definiendo las constantes R 0.082
Para el amoniaco
Tc 405
Pc 111.3
Constante a y b 27 R Tc 2
a
64
2
Pc
b
R Tc 8 Pc
Especificando las con stantes R
Para el amoniaco
0 .0 8 2
Constant e a y b a
Tc
27 64
R
2
Tc
2
Pc
Evaluando las constant es a y b
a
R
T
V
P D ado
P
a V
( V 2
b )
calculo del volumen Molar V
V
F in d
(V )
125
R
T
Pc
b
R 8 b
T
Asumiendo un valor inicial( comportamiento ideal)
405
Especifique la presion y temperatura
V
500
1 1 1 .3
Tc Pc P
60
5.
Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación de Redlinh Kwong P
RT V
b
a V (V
b)
T
R 2T C 5 / 2 RT c a 0,42747 b 0,08664 Pc PC Atm L P en Atm V en L/mplg T en K R 0,082 mol gK Pc: presión critica de amoniaco 111,3 atm. TC: temperatura critica de amoniaco 405K ECUACION DE ESTADO DE R-K Ingresando las contantes:
R
Ingresando los datos:
P
0.082
60
Pc T
111.3
500
Calculo de a yb: 5 R 2 Tc 2 a 0.42747 Pc
a
b
b
Asumiendo comportamiento ideal
V V
Dado P
RT (V
b)
V Find ( V)
a V ( V
b) T
V
126
RT P
0.08664
R Tc Pc
Tc
405
6.
A un sistema de separación FLASH ( Fig. 21) ingresa 100 moles/h de una mezcla VAPOR(V)
2
yi
1 Alimentacion F zi
xi
3
Liquido(L)
Figura Nº27:Sistema de separación de componentes Alimentación al Flash( Mol/h) Zi: Fraccion molar de los componentes de la mezcla i = 1,2,3, …NC V: Caudal de salida del vapor ( mol/h) yi : Fraccion molar de los componentes en la fase vapor L: Caudal De salida de la fase liquida
( mol/h)
xi: Fraccion molar de los componentes en la fase liquida Balance de materia global: F = V + L Balance de componentes : Zi*F = xi*L + yi*V Equilibrio Liquido vapor : yi = Ki *xi Fraccion vaporizada :
V F
Remplazando en las anteriores ecuaciones expresiones x
zi
( Ki 1) 1
127
Se obtiene las siguientes
yi
Ki * zi
( Ki 1) 1
Zi(Ki(Ki 1) 1) 1 0 Ni
i 1
Teniendo en cuenta los datos de la siguiente tabla Calcular la fracción vaporizada así como los flujos en cada corriente con sus respectivas composiciones COMPONENTES
FRACCION MOLAR
C1
0.05
16.25
C2
0.15
5.25
C3
0.25
1.99
C4
0.2
0.75
C5
0.35
0.29
Ingresando los datos:
F 100 k3 1.99
k1 16.25 k4 0.75
z1 0.05 z3 0.25
K
k2 5.25 k5 0.29
z2 0.15 z4 0.2
Asumiendo un valor:
z5 0.35
0.5
Dado z1 ( k1 1)
( k1 1)
1
Find( )
z2 ( k2 1)
( k2 1)
1
z3 ( k3 1)
( k3 1)
128
1
z4 ( k4 1)
( k4 1)
1
z5 ( k5 1)
( k5 1)
1
0
7.
Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación de estado de Redlinh-Kwong.
A una presión de 14 bar y una temperatura de 333K P
RT
a
b V (V b) Ingresando los datos: b 44.897 T 333
V
T
R 83.14
P 14
a R T 2 a b 2 b R T b V V P P P T P T
f ( V)
8
a 1.5641410
3
V
Se observa un plinomio de grado 3 Ingrese los coeficientes en una matriz de 4*1
a b P T 2 b R T a b P V P T R T P 1 S polyroots ( V)
8.
71.299 S 229.996 3 1.676 10
La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a contracorriente esta dado por:
LMDT
T t T 1
t1 T t ln 1 2 T2 t 1 2
2
129
Para este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 50°C y el fluido caliente se alimenta a 100°C y sale a 60 °C, mientras que el fluido frió se alimenta a 15°C ¿A qué temperatura sale del intercambiador el fluido frió?
Ingrese los datos : T1 15
T3 100
T4 60
Asumiendo un valor inicial:
LMTD 50
T2 50
Dado LMTD
( T3 T2)
( T4 T1) T3 T2 ln T4 T1
T2 Find( T2) T2
9.
El factor de fricción para diferentes números de Reynolds empleando la ecuación de Colebrook 1 f
2,51 0,86ln d 3, 7 f Re
Obtener el factor de friccion para Re de 10 000 , e = 0,002cm y diámetro de 2cm CALCULO DEL FACTOR DE FRICCION
Ingresando datos:
Re 10000
Asumiendo para f : f 0.001 Dado
0.86 ln
1 f
e
3.7 d
2.51 Re f
f Find(f ) f 130
e 0.002
d 2
10.3. PROBLEMAS CON MATLAB 1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el 12% de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente reacción. SO 2
1 2
O2
SO3
Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la constante de equilibrio KP es de 160. Algorritmo de Solucion en Matlab: clear all, close all, clc disp('H2SO4'); SO2=input('Ingrese moles de SO2: '); O2=input('Ingrese moles de O2: '); SO3=input('Ingrese moles de SO3: '); N2=input('Ingrese moles de N2: '); P=input('Ingrese Presion Total (atm): '); KP=input('Ingrese Constante de Equilibrio: '); syms x; disp('Moles en Equilibrio: '); ESO2=SO2-x; EO2=O2-0.5*x; ESO3=SO3+x; disp(ESO2); disp(EO2); disp(ESO3); ET=ESO2+EO2+ESO3+N2; f=KP-((ESO3/ET)*P)/((ESO2/ET)*((EO2/ET)^0.5)*P^1.5); 131
xai=input('Ingrese Limite Inferior: '); xbi=input('Ingrese Limite Superior: '); tol=input('Ingrese Tolerancia: '); f=inline(f); i=1; ea(1)=100; if f(xai)*f(xbi) < 0 xa(1)=xai; xb(1)=xbi; f1=f(xai); xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2; fprintf('Iter.
x1
f1
x2
Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i)); while abs(ea(i)) >= tol, if f(xa(i))*f(xr(i))< 0 xa(i+1)=xa(i); xb(i+1)=xr(i); end if f(xa(i))*f(xr(i))> 0 xa(i+1)=xr(i); xb(i+1)=xb(i); end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100); fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',... i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1)); i=i+1; 132
end else fprintf('No existe una raíz en este intervalo'); end Resultados:
TABLA 12 Resultados en Matlab
2. Se sabe que la t mperatura media logarítmica de un int rcambiador de calor contracorrie te está dada por:
T Δ T = L M T D =
ent cal
AQ
ln
133
sald sald entr - T frio - Tcal - T frio ent sald T cal - T frio sald entr T cal - T frio
Se tiene el siguiente intercambiador: entr = 15ºC T frio
INTERCAMBIADOR DE CALOR
sald = T frio
sald = 60ºC T cal
t
ent T cal = 100ºC
Se sabe que en este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 50ºC. El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ºC, mientras que el fluido frío se alimenta a 15ºC,. ¿a que temperatura sale del intercambiador de fluido frío? Algoritmo de Solución en Matlab: clear all, close all, clc disp ('Temperatura en un Intercambiador de Calor') xo=input('Temperatura Inicial ='); n=input ('Numero de Iteraciones='); salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos for i=1:n x1=xo-[(45*exp((55-xo)/50)+xo-100)]/[1+(-45/50)*(exp((55-xo)/50))]; vsal=[xo;x1]; ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error xo=x1; salida(i,1)=i; salida(i,2)=x1; salida(i,3)=ea; end disp('Iter. T(i)
Error');
disp(num2str(salida)); Resultados:
134
TABLA 13 R sultados Temperatura en Matlab
3. Un gas se encue tra a una presión absoluta de 13. 6 bar y una temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el as empleando la ecuación de estad o de Redlich-Kwong. P =
RT V -b
-
a T
1/2
Para este compuest las constantes son: P = 13.76 atm T = 333ºk a = 1.5614 x 10 8 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2) b = 44.897 (cm3/ g
ol)
R = 83.4 (cm3 bar /g mol k) Algoritmo de Solució en Matlab: clear all, close all, cl disp('Ecuacion de R dlich-kwong 2'); a=input('Ingrese a: ' ; b=input('Ingrese b: ' ; T=input('Ingrese T(K): '); P=input('Ingrese P(bar): '); R=input('Ingrese R(cm^3.bar/K.mol): '); syms x 135
V V+b
f=R*T/(x-b)-a/((sqrt(T))*x*(x+b))-P; x0=(R*T)/(P); disp('Primer punto inicial: '); disp(x0); xai=x0; xbi=input('Ingrese Limite Superior: '); tol=input('Ingrese Tolerancia: '); f=inline(f); i=1; ea(1)=100; if f(xai)*f(xbi) < 0 xa(1)=xai; xb(1)=xbi; f1=f(xai); xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2; fprintf('Iter.
V1
F1
V2
Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i)); while abs(ea(i)) >= tol, if f(xa(i))*f(xr(i))< 0 xa(i+1)=xa(i); xb(i+1)=xr(i); end if f(xa(i))*f(xr(i))> 0 xa(i+1)=xr(i); xb(i+1)=xb(i); end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; 136
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100); fprintf('%2d \t %11. f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',... i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1)); i=i+1; end else fprintf('No existe una raíz en este intervalo'); end Resultados:
TABLA 14 Resultados volumen en Matlab
137
4. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado por la correlación de Colebrook: 1 f
= - 0.86 ln
+ 3.4 Re
f
Donde Re = es el número de Reynolds (adimensional)
, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud) D, es el diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds d e 3E4 que fluye en una tubería con un diámetro de 0.1 m y una rugosidad de 0.0025m. Algoritmo de Solución en Matlab: clear all, close all, clc disp('Friccion en un Flujo Turbulento'); Re=input('Ingrese el Numero de Reynolds: '); e=input('Ingrese la Rugosidad: '); D=input('Ingrese el Diametro de Tuberia: '); syms x; f=-sqrt(1/x)-0.86*log((e/D)/3.4+2.54/(Re*sqrt(x))); xai=input('Ingrese Limite Inferior del Intervalo: '); xbi=input('Ingrese Limite Superior del Intervalo: '); tol=input('Ingrese Tolerancia: '); f=inline(f); i=1; ea(1)=100; if f(xai)*f(xbi) < 0 xa(1)=xai; xb(1)=xbi; 138
f1=f(xai); xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2; fprintf('Iter.
f1
F1
f2
Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i)); while abs(ea(i)) >= tol, if f(xa(i))*f(xr(i))< 0 xa(i+1)=xa(i); xb(i+1)=xr(i); end if f(xa(i))*f(xr(i))> 0 xa(i+1)=xr(i); xb(i+1)=xb(i); end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100); fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',... i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1)); i=i+1; end else fprintf('No existe una raíz en este intervalo'); end Resultados:
TABLA 15 Resultados volumen en Matlab
139
5. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuació del VAN DER WAALS
P a v b RT v 2
p = 100 Atm., T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318 Algoritmo de Solució en Matlab: clear all, close all, lc disp ('Ecuacion de an der Walls') T=input('Ingrese T(K): '); P=input('Ingrese P(atm): '); R=input('Ingrese R L.atm/K.mol): '); 140
disp('Volumen Inicial: '); xo=R*T/P; disp(xo); n=input ('Numero de Iteraciones='); salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos for i=1:n x1=xo-(100*xo^3-60.58*xo^2+1.36*xo-0.043248)/(300*xo^2121.16*xo+1.36); vsal=[xo;x1]; ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error xo=x1; salida(i,1)=i; salida(i,2)=x1; salida(i,3)=ea; end disp('Iter. V(i)
Error');
disp(num2str(salida));
Resultados:
TABLA 16 Resultados volumen en Matlab
141
6. La siguiente secue cia de reacciones se llevan a cabo en estado no estacionario según l reacción: k k A B C 1
2
Determinar la ecuación de cada componente de la reacció así como los productos en funció al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentración en un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las c ncentraciones iníciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L. Datos: K1=0,5 mi
-1
K2=1,0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en funció de la reacción.
C 1 k1C 1 t C 2 k C k C t 1 1 2 2 C 2 k 2C 2 t Metafile: function[f]=rxnserie(t,C); 142
%constantes K(1)=0.5; K(2)=1; f(1)=-K(1)*C(1); f(2)=K(1)*C(1)- K(2)*C(2); f(3)=K(2)*C(2); f=f';
file: tr=[0:1:10];C0=[1,0,1]; [t,C]=ode45('rxnserie',tr,C0); [t,C]
TABLA 17 Resustado de concentracion en Matlab
143
plot(t,C); xlabel('tiempo (min)'); ylabel('concentración (m ol/L)');
FIGURA 28 Resultados volumen en Matlab
144
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACUTLAD DE INGENIERIA QUIMICA ESCUELA PROFESIONAL DE ING. QUIMICA
SILABO I.
II.
DATOS GENERALES 1.1 Asignatura
:
Métodos Numéricos
1.2 Código de la Asignatura
:
IG-301
1.3 Semestre Académico
:
2010-A
1.4 Ciclo
:
V
1.5 Créditos
:
04
1.6 Horas de teoría
:
06
1.7 Horas de práctica
:
06
1.8 Duración
:
16 semanas
1.9 Pre-requisito
:
IG 102, FM 202
1.10 Profesor de Teoría
:
Ing. Juan Medina Collana
SUMILLA 2.1 Naturaleza de la Asignatura El curso de Métodos Numéricos es un curso teórico, práctico de carácter obligatorio que sirve como base para las asignaturas de ingeniería, debido a que permite realizar cálculos complejos como resultado del modelamiento de fenómenos físicos y químicos.
2.2 Síntesis del Contenido Ecuaciones algebraicas no lineales. Sistema de Ecuaciones algebraicas no lineales. Interpolación Polinómica. Diferenciación. Integración. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Sistema de ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Sistema de Ecuaciones algebraicas lineales. Ecuaciones Diferenciales parciales. Análisis de regresión lineal, no lineal y multivariable.
145
II I .
OBJETIVOS 3.1 Objetivo General
Al término del curso, el alumno será capaz de resolver modelos matemáticos complejos que resulten del modelamiento de los fenómenos físicos y químicos, aplicando técnicas numéricas.
3.2
Objetivos Es Específicos
Realizar el estudio comparativo entre los métodos analíticos y métodos numéricos.
Adquirir destreza en el dominio de las técnicas de solución numérica.
Aplicar las técnicas numéricas para resolver problemas diversos de Ingeniería Química que resultan del modelameinto de fenómenos físicos y químicos.
IV.
PROGRAMA DE CONTENIDOS
PRIMERA SEMANA Ecuaciones algebraicas no lineales. Método de la bisección. Método de Newton Raspón de primer y segundo orden. Aplicaciones a la Ing. Química. Método de la secante. Método del punto fijo. f ijo. Método de falsa posición. Métodos cuasi Newton. Métodos de la convergencia. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
SEGUNDA SEMANA Sistema de ecuaciones no lineales. Método del punto fijo. Método de Newton Raspón estándar. Método de Newton Raspón modificado. Métodos cuasi Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
TERCER TERCERA A SEMANA SEMANA Interpolación polinómica. Ecuaciones en diferencias progresivas, regresiva y central de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
146
Generación de polinomios mediante las diferencias progresiva, regresiva regresiva y central central de Gauss. Gauss. Interpolac Interpolación ión con con estaciones estaciones no equidistantes. CUA CUARTA RTA SEMA SEMANA NA
Análisi Aná lisiss de Regre Re gresió sión n Lineal Lin eal y no lineal. lin eal. Mínimo Mín imoss cuadra cua drados dos.. Regresión multivariable. Aplicaciones a la Ingeniería Química QUINTA SEMANA Diferenciac Diferenciación ión numérica. numérica. Aproximación Aproximación por diferencias. diferencias. Diferenciació Diferenciación n de los polinomios de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
SEXTA SEMANA Integración numérica. Regla del Trapecio. Trapecio. Reglas de Simpson Simpson 1/3 y 3/8 y
SEPTIMA SEMANA Integración por cuadratura Integración múltiple. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
OCTAVA OCTAVA SEMANA SEMANA EXAMEN PARCIAL NOVENA SEMANA Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Método de Euler. Método de EulerGauss. Método de Taylor.
DECIMA SEMANA Método de Runge-Kutta. Aplicaciones a la Ingeniería Química. Métodos Predictor-Corrector. Predictor-Corrector. Métodos Métodos de paso paso variable. variable. Aplicaciones Aplicaciones a la Ingeniería Química.
147
DECIMA PRIMERA SEMANA Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior: métodos de Ruge Kutta y matricial, explícita en la variable dependiente. dependiente. Aplicaciones Aplicaciones a la Ingeniería Ingeniería Química.
DECIMA SEGUNDA SEMANA Sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Métodos de Jacobi y GaussSeidal. Matrices y vectores. Sistemas especiales. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
DECIMA TERCERA SEMANA
Ecuaciones Ecuaciones Diferenci Diferenciales ales Parciales. Parciales. Ecuacione Ecuacioness en Diferenc Diferenciales iales.. Métodos explícito e implícito. Aplicaciones a la Ingeniería Química. Aplicaciones a la Ingeniería Ingeniería Química. DECIMA CUARTA SEMANA Practica calificada
EXAMEN FINAL EXAMEN SUSTITUTORIO V.
P R O C E D I M I E N T O D ID Á C T I C O
Las clases teóricas se desarrollan en forma expositiva, y al mismo tiempo resolviendo ejercicios base. Con estos conocimientos se resolverán ejercicios de mayor complejidad con participación de los estudiantes. El profesor de práctica se encargará de la resolución de problemas aplicados a la Ingeniería Química con la finalidad de que los estudiantes se familiaricen con los tópicos que se estudian en Ingeniería I ngeniería Química. V I.
EQUIPOS Y MATERIALES
Para el desarrollo adecuado del curso, se requiere lo siguiente: Calculadora científica. Computadora con un software de programación de alto nivel. Tiza blanca y de color. 148
VII. SISTEMA DE EVALUACIÓN
El promedio final, se obtendrá del siguiente mo do: Peso
Examen Parcial
1.0
Examen Final
1.0
Promedio de Prácticas Calificadas
1.0
PF
EP
EF 3
PP
11
Al final se tomará un Examen de Recuperación que sustituirá a la nota mas baja del Examen Parcial o Final. El examen de recuperación se tomará en base al total del avance del curso.
149
