1.
Introducción
ia estudia la forma, dimensiones y campo gravitatorio de la Tierra en territorios La geod geodes esia a, la cual basa extensos. Como y a sabemos, esta es su principal diferencia con la Topografí a,
sus trabajos en superficies de extensión reducid a en las cuales puede considerarse despreciable la esfericidad terrestre. La gran evolución que han experimentado los distintos aparatos ha llevado a conseguir
precisiones antes sólo imaginables tras comple jos trabajos, ha llegado a dificultar sobre manera el establecimiento de una separación clara entre ambas ciencias. En esencia, la Geodesia comienza sus trabajos allí donde termina la Topografí a. De todas formas, no debe acometerse el estudio de estas ciencias por separado, pues están íntimamente relacionadas, de tal manera que la Topografí a necesitará apoyarse en la Geodesia para una gran cantidad de aplicaciones prácticas. El campo abarcado por la Geodesia es muy amplio, razón por la cual resulta preciso dividirla en distintas ramas, entre ellas se encuentra la geodesia física, la cual estudia el campo gravitatorio de la Tierra, partiendo de mediciones del mismo (mediante estaciones gravimétricas). Estudio de los problemas de reducción y de des viación de la vertical. 2. Generalidades ralidades
Dentro de est a parte se observaran algunos conceptos generales que forman p arte de la geodesia. 2.1. Sistemas de referencia Un
Sistema de Referencia consiste en un con junto de modelos neces arios para la
descripción cuantitativa de posiciones y movimientos de cuerpos celestes , incluida la Tierra, (sistemas celestes), o de cuerpos sobre la Tierra (sistemas terrestres). Deben definirse: origen, escala, orientación y plano principal. Un marco asociado a un Sistema de Referencia es una serie de puntos fiduciarios que, junto con sus coordenadas, constituyen la realización práctica del sistema de referencia.
1
2.2.
Datum Geodésico
En un sentido clásico, un datum geodésico es la superficie referencia, generalmente un elipsoide de revolución de tamaño y forma convenciona lmente escogido, con origen, orientación y escala definidas por un marco terrestre.
Una
vez que el elipsoide es
seleccion ado las coordenadas de un punto en el espacio pueden ser dadas en forma cartesiana o curvilínea (latitud, longitud y altura). 3.
Leyes
de Newton
Las leyes de newton son los principios básicos de la física encargados de explicar los
fenómenos relacionados con la dinámica, especialmente la cinemática, estas son tres enunciados que se constituyen de l a siguiente ma nera. La
primera ley sustenta que un cuerpo en su est ado estático o de inercia permanecerá
con este movimiento en línea recta y con una velocidad constante siempre y cuando no actué una fuerza ajena a este, esta ley es t ambién conocida como la ley de la inercia. La
segunda ley también conocida como la ley de la fuerza, explica que si a un cuerpo
con una masa no necesariamente constante en movimiento con aceleración constante se le aplica una fuerza, esta velocidad presentara un cambio conservando su dirección; este cambio es llamado aceleración, esto se expres a matemáticamente de la siguiente forma:
La
tercera ley manifiesta que toda acción realizada tiene una reacción, Con toda acción
ocurre siempre una reacción igual y contraria, es decir, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto. 4.
Leyes
de Kepler
Las leyes son los principios que consolidaron los trabajos y teorí as del movimiento
planetario, al igual que las leyes de Newton se basen en tres enunciados básicos los cua les son los siguientes:
2
La
primera ley de Kepler manifiesta que todos los planetas se mueven sobre una órbita
elipsoidal donde el sol es uno de los focos de cada orbita. La
segunda ley de Kepler afirma que durante un determinado intervalo el radio que
une el planeta al Sol barre áreas iguales en cualquier punto de su trayectori a. Esta ley es también conocida como la ley de las áreas iguales. La
tercera ley de Kepler establece que todos los movimientos de los planetas se
encuentran ligados en una simple relación, en terminologí a moderna, establece que si T es el periodo de un pl aneta dado (esto es, el tiempo que tarda en una revolución
completa en su órbita alrededor del Sol), y R el radio medio de su órbita, entonces:
Donde K es una constante que es igual para todos los pla netas. 5.
Fue
La
ley de la gravitación universal
propuesta y desarrollada en primera estancia por Isaac Newton, posteriormente
reevaluado y por el físico Henry Cavendish que fue quien estudio y finalmente determino una constante gravitacional que es la misma en todo punto del universo. Científicamente se asume que la densidad de la tierra es equivalente a hablar de la constante G, que matemáticamente es represent ada de la siguiente manera:
Una
vez determinada esta constante, Cavendish se encargo de determina r la masa de la
tierra con gran exactitud, acordando el siguiente valor:
3
6.
Campo Gravitatorio
La Tierra, como todos los cuerpos celestes, e jerce una fuerza de atracción gravitatoria
sobre los cuerpos situados en las proximidades. Despreciando los efectos de la rotación de nuestro planeta, podemos asimilar el campo gravitacional de la siguiente manera: La intensid ad del campo gravitatorio puede ser medida por la aceleración gravitacional adquirida por un cuerpo de evidencia dentro del campo. Es un cuerpo de masa m, en el
interior del campo gravitaciona l de la Tierra, cuya masa y radio que llamamos M1, R. Como el peso del cuerpo de m asa m es la fuerza de la gravedad con la que se siente atraído por la Tierra, podemos escribir la fórmula:
La expresión obtenida permite la determinación de la intensidad del campo gravitatorio adquirida por el cuerpo en una posición determinada, le jos de la superficie de la Tierra. En
cuanto a la determinación del campo gravitatorio de la superficie de la Tierra, acaba de hacer h = 0. La expresión se o btiene:
7.
Función
Potencial
Isaac Newton postulo en su ley de la gravitación que existe una fuerza .de atracción entre cada par de objetos que es proporcional al producto de las masas de los objetos e inversamente proporcional al cua drado de la distancia que los separa. Teniendo esto como base nació la función potencial En primera estancia, se tienen dos objetos en un sistema de coordenadas rectangulares, uno con masa M1 que se encuentra en la posición R1 y otro con masa M2 en la posición R2, la fuerza e jercida por M1 sobre M2 F1,2 es:
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En este caso, M1 es la masa atrayente y M2 la masa atraída. A la fuerza gravitatoria por unidad de masa e jercida por la Tierra sobre cualquier objeto de masa m se denomina campo gravitatorio terrestre gm:
El campo gravitatorio en un punto debido a un con junto de masas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos debidos a las masas indiv iduales en dicho punto:
El campo gravitatorio en un punto debido a un cuerpo continuo se calcula considerando el campo dgm debido a un pequeño elemento de masa dm del cuerpo, suponiendo que se trata de una masa puntual y se integra sobre el cuerpo entero:
Si en un sistema de coordena das rectangulares designamos las coordenadas de la masa atrayente M por (x 0, y0, z0) y las coordenadas del punto atraído, de masa m igual a la unidad, por (x, y, z), las componentes de la fuerza gravitatoria F serán:
Si los puntos materiales están distribuidos continuamente sobre un volumen densidad:
v
de
Donde d v es un elemento de volumen y dm un elemento de masa, el potencial gravitatorio vendrá dado por:
5
8.
Utilizando
Ecuación
de LaPlace para el geopotencial
la ecuación de Laplace:
Y
partiendo de la Suposición de que la tierra es de forma esférica, se determinan los
armónicos esféricos sólidos, los cuales se representan matemáticamente mediante la
segunda derivada del gradiente del potencial terrestre, visto anteriormente:
Se utiliza la segunda ecuación ya que este potenci al muestra la superficie de la tierra, y a partir de este se determinan los armónicos esféricos superficiales, teniendo dos soluciones posibles para la función
, que son h ( )= cos m , h( )
para g () se utilizan las funciones de Legendre.
Las funciones de Legendre se hace una suposición de
soluciones: 1.
Cuando
, entonces las funciones toman la forma de
, y se tienen dos
, que
son los polinomios de Legendre y se calculan con la fórmula de Rodríguez.
2. Cuando
, estas son las funciones asocia das de Legendre y se calcula n
mediante la fórmula de Ferrer.
Siendo m el orden del armónico esférico y n el grado del armónico esférico y m varí a hasta n y n varí a hasta infinito.
Con esto se define una solución general de la ecuación de Laplace en armónicos esféricos:
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Mediante esta ecuación se puede determinar el potencial gr avitatorio de la tierra, siendo el geoide, entre mas sumatorias se realicen, estará más aproximado a la rea lida d. Actualmente el geoide EGM2008 es el más actualizado. 9.
Elipsoide de
referencia
La teorí a más reciente y acertada propone que la superficie de la tierra se puede aproximar por un elipsoide biaxial de revolución achatado por los polos. Se mostrara la
determinación de un elipsoide de referencia a trav és del geopotencial. El término de grado cero en el des arrollo en armónicos esféricos del potencial es igual al potencia l generado por un punto:
La generalización de la integral de Stokes sobre el potencial anómalo teniendo en cuenta el grado cero del potencial a nómalo será:
Ahora, además, es lógico suponer que los potenciales generados por elipsoide y geoide no tienen por qué ser el mismo, es decir, W O UO; llamando:
A la diferencia entre los dos potencia les la generalización de la ecuación de Bruns quedará de la forma:
Por lo que la generalización de la fórmula de Stokes para la ondulación del geoide, supone:
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Ecuación que se verifica para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincide con del centro de gravedad terrestre y su diferencia con el geoide es tan pequeña que puede considera rse lineal. En cuanto al término de grado uno siempre se puede suponer que el centro del elipsoide de referencia coincide con el centro de gravedad terrestre, o se encuentra tan cerca que se pueden considerar juntos en la práctica, con lo que estos términos desaparecen. Esto no ocurre con algunos sistemas de referencia locales, por e jemplo el ED50. El sistema WGS84 (o, a nivel práctico el GRS80) es consistente con el ITR F91 considerando la precisión de definición de ambos sistemas, por lo que se puede concluir que no es necesaria la consideración de términos de grado unos entre los elipsoides de referencia WGS84 y el de definición del EGM96. Los parámetros
y a, usados para escalar los coeficientes de la solución armónico
GM
esférica, son diferentes a los del elipsoide de referencia WGS84, poniendo como e jemplo el modelo EGM96. Por tanto se debe efectuar la siguiente corrección sobre c ada uno de los coeficientes C , S de orden n del modelo geopotencial para escalarlos y así o btener los coeficientes de acuerdo a l sistema WGS84:
10. Reducción
de las medidas de gravedad
Las reducciones realizadas a las medidas de la grav edad se realizan debido a que los datos
gravimétricos son capturados sobre la superficie terrestre real, es decir, sobre la topografí a del terreno y para efectos de cálculos sobre el geoide y elipsoide estas se realizan. Método
de reducción de aire libre: consiste en ajustar el valor normal de la fuerza de
la gravedad al punto de la observación, suponiendo que entre dicho punto y el ni vel del mar no hay masas atrayentes.
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Donde la anomalí a de la fuerza de gravedad luego de introducir la corrección por la altura es:
Reducción
de Bouguer: esta corrección se calcula suponiendo que la acción de las
masas situadas entre el nivel del mar y un punto de observación equivale a la de una capa horizont al que se extiende en todas direcciones hasta el infinito y de espesor igual a la altura del punto de observación sobre el nivel del mar. M atemáticamente se represent a de la siguiente manera:
Reducción
por inf luencia debido al relieve: este procedimiento tiene como finalidad
reducir el valor de la fuerza de gravedad o bservado en la superficie física de l a tierra, sin desplazamiento alguno de masas. Análoga operación se realiza cuando se efectúan observaciones de la fuerza de la gravedad en el subsuelo bajo el agua.
11. Sistemas
de referencia para medida de altura.
La altitud sobre el nivel del mar de los puntos sobre l a superficie terrestre nos determina una de las coordenadas que delimitan l a figura de l a Tierra, para efectos de cálculo sobre el geoide y elipsoide se han determinado algunos sistemas de alturas, alturas aproximadas, alturas ortometricas, alturas normales y alturas dinámicas.
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Altitudes Aproximadas:
Estas altitudes se obtienen si no se considera el efecto del campo de la gravedad de la Tierra, es decir, sin realizar observación gravimétrica alguna ni aplicar correcciones. En las mediciones así realizadas se asume como fuente de error la influencia del campo real de gravedad de la Tierra. El cálculo de las altitudes aproximadas en un paso previo a la obtención de las altitudes en otros sistemas.
Altitudes
Ortometricas: Se llaman altitudes ortométricas a la distancia desde los
puntos sobre la superficie del geoide hasta la superficie terrestre, medidas a lo largo de las líneas verticales que pasan por esos Las altitudes ortométricas no dependen del camino de nivelación. Además, estas altitudes pueden tener diferentes valores para puntos que están ubicados en una misma superficie de nivel, puesto que las distancias desde el geoide hasta la superficie de nivel de dicho punto no son neces ariamente constantes y dependerán de la fuerza de la gravedad. Altitudes
Normales: Se trata de un concepto similar al de altitud ortométrica con la
diferencia de usar como superficie de referencia el elipsoide (que serí a la superficie equipotenci al correspondiente si no hubiera anomalí as) en vez del geoide. Altitudes
Dinámicas: Se obtienen cuando para la gravedad se toma un valor fi jo,
gravedad normal para una latitud estándar arbitraria, normalmente 45º, cuyo valor en el elipsoide internacional es de 980,6294 gales. Los puntos de una misma superficie de nivel tienen la misma altitud dinámica y al
dividir el número geopotencial por una constante, la convierte en una longitud (dimensiones de altitud), pero no tiene significado geométrico.
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