COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA 11: ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES Y VALOR ABSOLUTO Introducción
El estudio de las ecuaciones puede remontarse a épocas tan remotas como las que corresponden a los egipcios y babilonios. Problemas que de no ser por el álgebra hubieran sido muy laboriosos, han sido resueltos de manera exacta con la ayuda del simbolismo algebraico. No obstante, por increíble que parezca, la idea de involucrar símbolos en la solución de ecuaciones (práctica que luego se extendió a otras o tras áreas de las matemáticas) es reciente. La introducción de la simbología algebraica se atribuye a François Vieta (1540 -1603), quien siendo abogado y trabajando para los reyes de Francia encontró en las matemáticas un pasatiempo fascinante al que dedicó un trabajo intenso. Vieta tuvo plena conciencia de su hazaña, consistente en introducir símbolos para las cantidades que en otros tiempos solo se habían manejado numéricamente. Es por este simbolismo que las matemáticas logran vincularse a muy diversos contextos, a la generación de procedimientos de carácter general y a la obtención de respuestas exactas. La siguiente situación te ofrece un encuentro, de muchos posibles, entre las matemáticas y nuestra realidad:
I. ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES: Una ecuación con uno o más radicales que contienen a la incógnita se conoce como ecuación con radicales. Por ejemplo:
6 √ 4=6 4=6 √ 6√
es una ecuación con radicales. Solo consideraremos aquí ecuaciones en las que intervienen raíces cuadradas y cuya solución dependa de ecuaciones lineales o cuadráticas. En este caso, es importante señalar un convenio respecto de los signos de los radicales. Este convenio es un acuerdo sobre notación: Convenio de notación Si no hay signo escrito antes de una raíz cuadrada, deberá asumirse en todo caso que significa raíz cuadrada positiva. Si se desea la raíz cuadrada negativa, debe escribirse el signo menos delante del radical. Así, la raíz cuadrada positiva de x debe escribirse como , la raíz cuadrada negativa se escribe , y ambas raíces se escriben como . Para resolver una ecuación con radicales, debe tomarse en cuenta que la idea fundamental es la eliminación del o los radicales que aparecen en la ecuación. El siguiente procedimiento suele ser útil para dicho fin.
√
√
±√
Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales Trasponiendo términos, aislamos un radical dejándolo solo en un miembro de la ecuación, después elevamos al cuadrado ambos lados de ésta. El método, conocido como aislamiento del radical , puede ser repetido para cada uno de los radicales restantes. Para evitar que aparezcan ecuaciones de cuarto grado, hay que aislar con cuidado el radical. En muchas ocasiones, al resolver ecuaciones con radicales aparecen soluciones extrañas. Éstas parecen ser soluciones de la ecuación, pero en realidad no lo son. Por ello, se tienen que comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación original. También es
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COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA importante observar que existen ecuaciones con radicales sin solución. Por ejemplo, la ecuación
√ 3 √ 2 2 = 2
no tiene solución.
Ejemplos 1) Resuelve la siguiente ecuación y determina si aparecen raíces extrañas:
√ 2 √2 5 =5 √ 2=5 √2 5 2=(5 √2 5) =3010√ 2 5 2
Solución El primer paso es aislar uno de los radicales; trasponiendo se tiene:
Si elevamos al cuadrado resulta:
Otra vez, si aislamos el radical que aparece en la ecuación, hallamos:
10√2 5 =28 1002 5 = 784 56 144 284= 2= 0 = 142 =2 √ 2 2 225=5 = 2 = 142 √ 1 422 21425≠5
Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que Simplificando obtenemos:
Al resolver esta ecuación, encontramos las raíces:
y
A manera de comprobación, al sustituir
es una proposición verdadera; luego Por otro lado, si sustituimos
= 142 = 2 Esto es,
.
en la ecuación hallamos que:
sí es solución de la ecuación. , se tiene:
es una solución extraña. Por lo tanto, la única solución de esta ecuación es
.
√ 3 √ 2 2 = 2 √ 32=√ 2 2 34√ 34=22 4√ 3=1 16 3 = 2 1 14 49 = 7 = 0 = = 7. =7
2) Verifica que la ecuación Solución Trasponiendo para aislar un radical, resulta:
no tiene solución.
Si ahora elevamos al cuadrado, tenemos:
Aislando nuevamente el radical y simplificando, hallamos que:
de donde se obtiene después de elevar al cuadrado y simplificar:
Resolviendo esta última ecuación, encontramos que sus raíces son sustituimos en la ecuación original; obtenemos:
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Ahora
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√ 7 3 272=24≠2
De aquí concluimos que la ecuación dada no tiene solución.
3) Racionaliza la siguiente ecuación, es decir, transfórmala en una ecuación sin radicales.
3 3 =10 3 =10 3 3 =10020 3 3 6=10020 3 6 5 3 =325 25 150 225 25 = 9 150 625 16 25 = 400 33 2 33 =1 √ 3√ 3 323=√ 3√ 3 9= 9 18 81 = – 9 18 = 90 = 5 5533 2 5533 =222√ √ 22=1
Solución Trasponiendo términos para aislar un radical, tenemos:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior, hallamos que:
Si desarrollamos y simplificamos, deducimos que:
Si aislamos nuevamente el radical y dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación, tenemos: Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros; obtenemos: Simplificando, nos da:
4) Resuelve la ecuación:
Solución
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por
, hallaremos que:
Elevando al cuadrado, tenemos: de donde
; esto es,
. Si ahora sustituimos este valor:
Esto es, x = 5 es la única solución de la ecuación.
Ejemplo de aplicación Una escalera de 20 pies está recargada sobre un edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared del edificio si la base de la escalera está a 8 pies de la base de la pared? Redondee a la décima más cercana. Solución Para calcular la distancia, utilizamos el teorema de Pitágoras. La hipotenusa es la longitud de la escalera. Un cateto es la distancia desde la base de la escalera hasta la base de la pared del ejercicio. La distancia
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COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA vertical a lo largo del muro hasta la parte superior de la escalera es el cateto no conocido.
20 ==8
≈18, 3
La distancia es 18.3 pies. Ejercicios 1) Construcción Una escalera de 26 pies de largo está recargada sobre un edificio. Cuando alcanza una altura de 24 pies, ¿a qué distancia del muro está su base? 2) Geometría Una caja tiene una base que mide 4 por 6 pulg. La altura de la caja es de 3 pulg. Calcule la mayor distancia entre dos esquinas. Redondee a la centésima más cercana.
INECUACIONES CON RADICALES: Ahora veremos cómo resolver diversas formas de la inecuación c on radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional. 1° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
b)
> >⟺[≥0∧(≤0∨≥0∧>)] ≥ ≥⟺≥0∧ ≤0∨≥0∧≥ . La solución se obtiene así:
. La solución se obtiene así:
2° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
b)
< <⟺≥0∧ ≤0 ∧ ≤ ≤ ≤⟺ ≥0∧>0 ∧ < . La solución se obtiene así:
. La solución se obtiene así:
3° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
b)
>0; >0⟹≥0∧>0∨>0∧≥0 >0; ≥0⟹≥0∧≥0 la solución se obtiene así:
la solución se obtiene así:
4° Para las inecuaciones irracionales de las formas:
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COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA a)
b)
≥,>0; ≥⟹≥0∧≥0∧≥( ) ≥,>0; ≥⟹≥0∧≥0∧≥( ) la solución se obtiene así:
la solución se obtiene así:
5° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
≤; ≤⟹=0∧=0 √ 5>2 5>2 ∈; 5 ≥0 ⟹ ≥5 √ ⟹=5; ∞>, 5; ∞> √ 3 7√ 2>9 ∧≥2 37≥0 ∧2 ≥0 ⟺ ≥ ∈2; ∞> 22 2; ∞>2;∧∞> [37<8118 ] √ 3 7>9√ 2 ⟺∈ ⟺∈ √ ∧(36<9√ 2) ⟺∈ 2; ∞>∧ 1531458<0 ⟺∈ 2; ∞>∧ 1532 < 17577 4 153√ 17577 153√ 1 7577 ⟺∈ 2; ∞>∧ 2 << 2 la solución se obtiene así:
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones 1) Solución Como
2)
, es válida para todo talque luego el conjunto solución es
Solución Calculando el campo de existencia Por lo tanto es el campo de existencia
∈〈153√ 2 17577 ; 153√ 217577〉
√ 1413<1 1413<1⟺131≥0∧[>1∧(131<1 ⟺ 1413 ≥0∧ 1>0∧ 1413<1)] 3)
Solución Aplicando la parte b) del 1° caso:
⟺131≥0∧>1∧>3 34 ∈<1;1∪ 13;∞>∧ > 4 ∴∈< ;1∪13;∞>
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II. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en la recta numérica. La distancia es siempre un número positivo o cero. Por consiguiente, el valor absoluto de un número es siempre un número positivo o cero.
Definición: Al valor absoluto de un número real “ ” lo denotamos por
||=;; ≥ <
Ejemplos:
|13|=13,
| |
y se define por la regla:
|13|=13=13
Para resolver ecuaciones con valor absoluto, debemos tener en cuenta los teoremas básicos: TEOREMAS:
||= ⟺≥0 ∧= ∨ = |||=| | ⟺ = ∨ = |=0 ⟺=0 ||≥0, ∀ ∈ℝ ||=|| = ||||; ≠0 ||=|| | ||=√ || = |3 2|=5 |3 2|=5 ⟺ 5≥0∧32 =5 ∨ 32 =5 5≥∧ 4=3 ∨ 2=7 5≥ ∧ = ∨ = ∈〈∞,5〉 ∈〈∞,5〉 .= ; | 3|=|3 3| | 3|=|3 3| ⟺⟺ 3=33 ∨ 3=33 3=33 ∨ 3=33 ⟺= ∨ =0 .= 0,
1) 2) 3)
PROPIEDADES BÁSICAS: 1) 4)
2)
3)
5)
6)
Ejemplos: 1. Resolver: Solución:
Como:
y
Por lo tanto el 2. Resolver: Solución
Por tanto el
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| 3|2=7 | 3|2=7 ⟺7≥0 ∧ | 3|2=7 ∨ | 3|2=7 ∧ | 3|=9 ∨ | 3|=5 ℝ ∧ | 3|=9 ⟺ 3=9 ∨ 3=9 ℝ ∧ =6 ∨ =12 .= 12,6} | 2| 3| 2|2=0 =| 2|>0, 32=0⟺12=0 =1 ∨ =2 Como es positivo en los dos casos tenemos que: | 2|=1⟺1≥0∧2=1 ∨ 2=1 ∧ =3 ∨ =1 ℝ ∧ ∈ 1,3} .= 1,3} | 2|=2⟺2≥0∧2=2 ∨ 2=2 ∧ =4 ∨ =0 ℝ ∧ ∈ 0,4} .= 0,4} = ∪ = 0,1,3,4}
3. Resolver:
Solución:
Por tanto el
4. Resolver:
Solución:
Hacemos el siguiente cambio:
tenemos:
V
Por tanto
V
Por tanto
Luego el conjunto solución general es:
|2 3| 7=3 |2 3| 7=3 |2 3|=37 ⟺37≥0 ∧ (23=37 ∨ 23=37) ⟺≥ ∧ =4 ∨ =2
5. Resolver: Solución:
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Como:
2∉ 73 ,∞> 4∈ 73 ,∞> y
Entonces el
.= 4}
ECUACIONES CON DOS O MÁS VALORES ABSOLUTOS Cuando se trata de resolver ecuaciones en las que figuran dos o más términos no semejantes con barras de valor absoluto, utilizaremos el método de los valores críticos. 1. Igualar a cero cada término entre barras de valor absoluto para hallar los valores críticos. 2. Reemplazar los valores críticos y ver si algunos de ellos es solución. 3. Ubicar los valores críticos en la recta real, obteniendo intervalos. 4. Analizar en cada intervalo el signo de valor absoluto, luego reemplazando en la ecuación original obtenemos la solución parcial de cada intervalo. 5. Establecer el conjunto solución uniendo las soluciones parciales.
| 1|| 3|=23 1=0,3=0 ⟺ =1 y =3
Ejemplos: 1) Resolver: Solución: 1° Valores críticos: 2° Al reemplazar los valores críticos en la ecuación, vemos que no satisfacen la ecuación. Por lo tanto no son soluciones. Antes de realizar los intervalos tener en cuenta lo siguientes:
3,3≥0⟺≥3 | 1|={1,1≥0⟺≥1 | 3|={ 1,1<0⟺<1 3,3<0⟺<3 〈∞,1〉 〈1,3〉 〈3,∞〉 1
-
||1|=1 | | 1|=1 1|=1 3|=3 | 3|=3 | 3|=3 ∈〈∞,| 1|| 1〉 3|=23 ⟺1 3 =23 ⟺13=23⟺= ∈ 〈∞,1〉, = ∈〈1,3〉| 1|| 3|=23 ⟺1 3 =23 ⟺13=23 ⟺ = } =∅4=3
Para
:
Como
-
3
Para
entonces una solución parcial sería:
:
Entonces una solución parcial sería:
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-
Para
∈〈3,∞〉| 1|| 3|=23 ⟺1 3 =23 ⟺ = ∉ 〈3,∞〉 = ∪ ∪ = = }=∅. ∪∅∪∅= :
Como
, entonces una solución parcial sería:
Luego la solución general será:
2) Resolver la ecuación de sus soluciones:
| 2||7 3|=|8 |
y dé como respuesta la suma
Solución: 1° Valores críticos:
2=0, 73=0 , 8=0 ⟺ =2,=7/3 y =8 | 2||7 3|=|8 |
2° resolvemos la ecuación por zonas
I. Para
II. Para
∈〈∞,2〉 273=8 ⟺94=8 →1=3 :
<2 ∧ = ⟹ = ∈2, > 273=8 ⟺52=8 →=3 2≤< ∧ =3 ⟹∈∅ ∈ , 8>: 237=8 ⟺49=8 →5=17 ≤ <8 ∧ = ⟹ = ∈8,∞>237=8 ⟺49=8 →3=1 8,∞> ∧ = ⟹ ∈∅ :
III. Para
IV. Para
∴ = =
III. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO En las inecuaciones con valor absoluto intervienen fundamentalmente los siguientes Facultad de Ingeniería Ciclo 2017 - II 9
teoremas: TEOREMAS: 1. 2. 3.
||≤ ⟺≥0 ∧ ≤ ≤ ||≥|| ⟺≤ ∨ ≥ ∀ , ∈ℝ, ||≤|| ⟺ ≤
|2 3|≤38 |2 3| ≤38 ⟺ 38≥0 ∧ 38 ≤ 23 ≤ 38 ⟺≥ ∧38 ≤ 23 ∧ 23 ≤ 38 ⟺≥ ∧ 5 ≥ 11 ∧ ≥5
Ejemplos: 1. Resolver: Solución:
⟺≥ ∧ ≥ 115 ∧ ≥5
Graficando en la recta real y tomando la intersección
Luego el conjunto solución está dado por 2. Resolver: Solución:
5,∞>
|5 2|>35 |5 2| >35 ⟺ 52>35 ∨ 52<35 ⟺0>5∨<10 ⟺0>∨<10
Luego el conjunto solución es CS.=
3. Resolver: Solución:
〈∞,0〉
|3 2| ≤ | 2| |3 2|≤| 2| ⟺ 322 ≤22
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⟺32 2 ≤0 ⟺322322≤0
⟺153≤0 ⟺ 135 ≤0
Puntos críticos son:
= ; = 1
.= 1, |2 3|≤| 1|<2 |2 3| ≤ | 1| ∧ | 1| <2 231231 ≤0 ∧ 2<1 <2 342 ≤0 ∧ 1<<3 Por lo tanto el
4. Resuelva la siguiente inecuación:
Solución: Separamos la inecuación de la siguiente forma
Aplicando los respectivos teoremas en cada caso
Operando algebraicamente en cada igualdad, tenemos
Representamos cada inecuación en la recta numérica
Intersectamos ambos intervalos
Así tenemos el CS.=
;2
Referencias Bibliográficas 1) A. Ángel, Álgebra Intermedia, México, Pearson Educación, (2010)
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2) F. Ricardo, Matemática Básica, Perú, Editorial RFB, 2010. 3) L. Moisés, Números Reales, Perú, Editorial Moshera, (2012) 4) P. Santiago, A Rodríguez, Pre Cálculo. Enfoque de resolución de problemas, Pearson Educación, México (2012) 6) N. Richard, A. Joannes, Álgebra Intermedia, México, Cengage Learning Editores (2013) 7) S. Francisco, N. Reinaldo, Cálculo con aplicaciones, Colombia, Pearson Educación, (2008) 8) S. Stewart, L Redlin, Pre cálculo. Matemáticas para el cálculo, Cengage Learning, SAC. México, (2012)
MISCELÁNEA DE EJERCICIOS 1) Resolver las siguientes ecuaciones con
h)
valor absoluto.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
i) j)
|2 2| =5 |2 5| =5 |2 2|=4 |2 7| =5 | 2| = |3 2| |3 5|=7 4| 1|=| 3|5 |2 2| =618 | 2| = |3 2| |2 6| |1 55| =14
k) l)
c) d) e) f) g)
a) b) c) d)
|4 3|<5 |2 5| <3 |23| >4 | 68|≤4 |2 1|>7 |2 3| > |5| | 3| 2≥0
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<2
irracionales.
con valor absoluto.
b)
+
3) Resolver las siguientes ecuaciones
2) Resolver las siguientes inecuaciones
a)
|2 3| ≤38 |4 | < |3 2| 3|| | 2| ≤6 ||3−|x1−|+|≤ |2+|1| | 2|
e) f) g) h)
√ 5>2 √ 8<0 √ 9≥0 √ 8 2<√ 13 √ 3 √ 4 >3 √ 1413≥3 √ 1413<1 √ 12≤√ 65
4) Resolver las siguientes inecuaciones irracionales.
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a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
m) n) o)
√ 3 28=3 √ 3 1 =4 2√ 1=9 √ 7= √ 1 √ 24= √ 3 7=3 √ 2 5 √ 2=1 √ 2 5 √ 1=8 √ 3 √ 2=5 √ 2 3√ 3 5=1 √ 4 31= √ 2 2 2= √ 1=√ 1√ 2 √ 2 13= √ 3 √ 6
√ 2 13 √ 3 2 √ 2 5= √ 3
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