5. Zadatak (3 poena) Dimenzionisati nosač sistema kontinualne grede na dva polja koji je opterećen jednakopodeljenim opterećenjem. Gornja nožica nosača je bočno pridržana nad osloncima i u sredinama raspona.
g = 3,0 kN/m p = 5,0 kN/m L = 7,0 m
Poprečni presek nosača usvojiti iz asortimana vruće valjanih profila IPE. Osnovni materijal: Dozvoljeni ugib nosača:
S235 L/300
Osnovni materijal S235 Merodavan I slučaj opterećenja ⇒ dopušten normalni napon σ dop = 16 kN/cm 2 dopušten smičući napon Dimenzionisanje nosača: Uticaji u nosaču
τ dop = 9 kN/cm 2
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
W pot =
M max
σ dop
=
4900 = 306,25 cm3 16
Poprečni presek IPE 240 valjani profil bf=120 mm tf =9,8 mm h=240 mm tw =6,2 mm
A=39,1 cm2 Iy= 3890cm4 Iz= 284 cm4 iy= 9,97 cm iz= 2,69 cm
Wy=324cm3 Wz= 47,3 cm3 Sy=183cm3 Sy,o=135,4cm3 It= 12,9 cm4
Kontrola napona: Presek sa maksimalnim momentom u polju
σ max =
M max 2756 = = 8,5 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Wy 324
Presek nad srednjim osloncem
σ max =
τ max =
M max 4900 = = 15,1 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Wy 324
Tmax ⋅ S y tw ⋅ I y
=
35,0 ⋅183 = 2,65 kN/cm 2 < τ dop =9 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
Kontrola uporednog napona
σ= τ=
M max h − 2t f 4900 (24 − 2 ⋅ 0,98) ⋅ = ⋅ = 13,9 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Iy 2 3890 2
T ⋅ S y ,o tw ⋅ I y
=
35 ⋅135,4 = 1,96 kN/cm 2 < τ dop =9 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
σ u = σ 2 + 3 ⋅τ 2 = 13,9 2 + 3 ⋅1,962 = 14,3 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Kontrola ugiba nosača * q ⋅ L4 8 ⋅ 74 f = k⋅ = 0,248 ⋅ = 1,22 cm < f dop = L / 300 = 2cm I 3890 Kontrola stabilnosti nosača na bočno torziono izvijanje **
1. Pritisnuta gornja nožica
*
Čelične konstrukcije u građevinarstvu / str. 896 Čelične konstrukcije u građevinarstvu / JUS U. E7. 101 / str. 674
**
1
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
l z = L / 2 = 3,5 m ; l t = L = 7,0
Razmak tačaka bočnog pridržavanja je:
Poluprečnik inercije dela preseka koga sačinjavaju pritisnuta nožica i 1/6 rebra: A f = b f ⋅ t f = 12 ⋅ 0,98 = 11,76 cm2 Aw = A − 2 ⋅ A f = 39,1 − 2 ⋅11,76 = 15,58 cm2
ikz =
bf 12
⋅
Af A f + Aw / 6
=
12 11,76 ⋅ = 3,13 cm 12 11,76 + 15,58 / 6
Sen Venanov kritičan napon:
σ Dv = ηt ⋅
π l t ⋅ Wy
σ Dv = 1,12 ⋅
⋅ EI z ⋅ GI t = ηt ⋅
0,41 ⋅105 ⋅ I z ⋅ I t [kN/cm2] l t ⋅ Wz
0,41 ⋅ 105 ⋅ 284 ⋅ 12,9 = 12,25 kN/cm2 700 ⋅ 324
Kritični napon deplanacije: lz 350 = = 105,7 λkz = η z ⋅ ikz 1,12 ⋅ 3,13 2,07 ⋅105 = 18,5 kN/cm2 2 2 λkz 105,7 Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja
σ Dw = π 2 ⋅
E
=
2
2
⎛ 350 ⎞ 12,9 ⎛l ⎞ I = 2,51 K = 1 + 0,156⎜ z ⎟ ⋅ t = 1 + 0,156⎜ ⎟ ⋅ ⎝ 24 ⎠ 284 ⎝ h ⎠ Iz
φ=
K + ρ2 − ρ K + ρ2
=
2,51 + 0,462 − 0,46 2,51 + 0,462
=0,72
2 2 σ cr = φ ⋅ σ Dv + σ Dw = 0,72 ⋅ 12,252 + 18,52 = 15,98 kN/cm2
Koeficijent oblika poprečnog preseka W 2 ⋅ S y 2 ⋅183 α P = y , pl = = = 1,13 Wy ,el Wy 324 Relativna (bezdimenzionalna) vitkost α p ⋅ fy 1,13 ⋅ 24 λD = = = 1,302 σ cr 15,98 Bezdimenzionalni koeficijent bočno torzionog izvijanja 1/ n
1/ 2
⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎟ =⎜ χ D = ⎜⎜ = 0,508 (n=2 za valjane profile) 2n ⎟ 4 ⎟ ⎝ 1 + 1,302 ⎠ ⎝ 1 + λD ⎠ Granični napon bočno torzionog izvijanja σ D = αP ⋅ χD ⋅ fy ≤ fy σ D = 1,13 ⋅ 0,508 ⋅ 24 = 13,8 kN/cm2 < 24,00 = fy Kontrola napona σ M 2756 13,8 σ= = = 8,51 kN/cm 2 < D = = 9,2 kN/cm 2 Wy ν 324 1,5
2
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
2. Pritisnuta donja nožica Razmak tačaka bočnog pridržavanja je***: 3 1 M ( x ) = ⋅ q ⋅ l ⋅ x − ⋅ q ⋅ x 2 za M(x)=0 ⇒ x = 5,25 m 8 2 Dužina pritisnutog dela nožice je od nulte tačke dijagrama momenata do oslonca l z = 7 − 5,25 = 1,75 m l t = 7,0 m
Sen Venanov kritičan napon:
σ Dv
π
0,41 ⋅105 = ηt ⋅ ⋅ EI z ⋅ GI t = ηt ⋅ ⋅ I z ⋅ I t [kN/cm2] l t ⋅ Wy l t ⋅Wz
0,41⋅105 ⋅ 284 ⋅12,9 = 19,40 kN/cm2 700 ⋅ 324 Kritični napon deplanacije: 175 lz λkz = = = 42,02 1,77 ⋅ 3,13 η z ⋅ ikz
σ Dv = 1,77 ⋅
2,07 ⋅105 = 117,23 kN/cm2 2 2 λkz 42,2 Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja
σ Dw = π 2 ⋅
E
=
2
2
⎛l ⎞ I ⎛ 175 ⎞ 12,9 = 1,377 K = 1 + 0,156⎜ z ⎟ ⋅ t = 1 + 0,156⎜ ⎟ ⋅ ⎝ h ⎠ Iz ⎝ 24 ⎠ 284
φ=
K + ρ2 − ρ K + ρ2
=
1,377 + 0,46 2 − 0,46 1,377 + 0,46 2
=0,635
2 2 σ cr = φ ⋅ σ Dv + σ Dw = 0,635 ⋅ 19,4 2 + 117,2 2 = 75,4 kN/cm2
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost α p ⋅ fy 1,13 ⋅ 24 λD = = = 0,600 75,4 σ cr Bezdimenzionalni koeficijent bočno torzionog izvijanja 1/ n
1/ 2
⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎟ =⎜ = 0,941 (n=2 za valjane profile) χ D = ⎜⎜ 2n ⎟ 4 ⎟ ⎝ 1 + 0,600 ⎠ ⎝ 1 + λD ⎠ Granični napon bočno torzionog izvijanja σ D = αP ⋅ χD ⋅ fy ≤ fy σ D = 1,13 ⋅ 0,941 ⋅ 24 = 25,52 kN/cm2 > 24,00 ⇒ σ D = 24 kN/cm 2 = fy Kontrola napona σ M 4900 24,00 σ= = = 15,12 kN/cm 2 < D = = 16,00 kN/cm 2 Wy ν 324 1,5 / Usvaja se valjani profil IPE 240 / ***
Metalne konstrukcije 1 / str. 520
3
