HISTORIJSKI RAZVOJ, PRINCIPI I PRIMJENA METODA KONAČNIH ELEMENATA 1.1.
1
Uvod
Metod konačnih elemenata predstavlja numerički postupak rješavanja inženjerskih problema i problema matematičke fizike. Mogu da ga koriste sve vrste inženjera, dizajneri i menadžeri. Metodom konačnih elemenata vrši se analiza struktura, računaju temperaturna polja, tok fluida, transport masa itd. U najvećem broju slučajeva kada analizirana struktura ima složenu geometriju, kada je složeno opterećenje i kada su strukture od različitih materijala, nije moguće naći rješenje u analitičkom obliku. Analitičko rješenje podrazumijeva dobivanje analitičkih izraza za računanje traženih karakteristika na različitim mjestima strukture (pomjeranje, temperatura, napon i sl.). Za dobivanje takvih podataka treba rješavati diferencijalne ili parcijalne diferencijalne jednačine. To je moguće uraditi samo za vrlo jednostavne probleme. Za složenu geometriju i složeno opterećenje nije moguće naći rješenja u analitičkom obliku. Zbog toga se koriste numerički metodi, a jedan od njih, najčešće korišten je metod konačnih elemenata (MKE). Rješavanje problema metodom konačnih elemenata svodi se na rješavanje sistema algebarskih jednačina. Dobivena rješenja su približna i odnose se na određene tačke strukture. Proces modeliranja sastoji se u diskretizaciji kontinuuma (tijela ili strukture). Takav model sastoji se od konačnih elemenata, koji su povezani u čvorovima (štapni elementi), po graničnim zajedničkim linijama (ravanski elementi), ili zajedničkim površinama (prostorni elementi). Za svaki konačni element postavljaju se jednačine, a njihovom kombinacijom dobiju se jednačine cijele strukture. Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
1
Zavisno od vrste problema koji se rješava, kao rješenja se dobiju odgovarajuće veličine. Tako u slučaju računanja naponsko deformacionog stanja strukture rezultati su pomjeranja svakog čvora strukture i naponi unutar svakog elementa. Pomjeranja i naponi su posljedica djelovanja spoljašnjeg opterećenja. U problemima koji se ne odnose na strukturalnu analizu nepoznate u čvorovima mogu biti neke druge fizičke veličine npr. temperature. U prvom poglavlju je dat pregled razvoja metoda konačnih elemenata, a zatim osnovni koraci u rješavanju problema primjenom metoda konačnih elemenata. Važnost i upotrebljivost MKE posebno je došla do izražaja sa pojavom moćnih kompjutera. Sama teorija MKE je složena i matematički određena. Međutim za primjenu tj. dobivanje rezultata proračuna nije potrebno ulaziti u dubinu matematičkih teorija koje su osnove u MKE.
1.2.
Pregled razvoja metoda konačnih elemenata
Prvi radovi iz područja metoda konačnih elemenata pojavili su se četrdesetih godina prošlog vijeka. Hrenikoff je 1941. rješavao probleme u oblasti strukturalne analize i naponske analize čvrstog tijela. Zbog potrebe diskretizacije modela na konačne elemente dalji razvoj se kretao u pravcu razvoja topologije i geometrijskih osobina. Nakon zastoja počela je primjena metoda konačnih elemenata u avionskoj industriji. Posebnu ulogu odigrale su matrice kao vrlo pogodne za primjenu u metodu sila i deformacija, pa tako ova dva metoda za proračun konstrukcija postaju pogodni za primjenu na računarima. Utemeljitelji metoda su Clough, Martin, Topp i Turner koji su i napravili osnovni koncept MKE. Prethodne radove na matričnom konceptu objavili su Argyris i saradnici. Radovi su štampani 1960 u knjizi u kojoj je prvi put korišteno ime konačni element. Sva poznata saznanja u području MKE su tada sumirana na konferenciji US Air Force. Tada je dogovoreno da se napravi i prvi software NASTRAN (Nasa Structural Analysis). Iza ovog razvijen je SAP (Structural Analysis Program) na Berkley University od strane saradnika prof. Clough-a. Prvi univerzitetski udžbenik u oblasti MKE napisao je Cook 1974. godine, u vrijeme kada je metod je već bio prihvaćen. Poseban značaj u razvoju MKE imali su varijacioni principi mehanike kontinuuma koji su primijenjeni na formulaciju MKE, pa je MKE dobio opšti Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
2
pristup. Dalji razvoj MKE odvija se u pravcu ravanskih elemenata. Tako je Caurant rješavajući granične probleme torzije predložio i koristio trougaone elemente, a rješenje dobio pomoću varijacione metode Ritz-a. Tek 1960 postavljen je direktni tj. statički pristup MKE. Polovinom šezdesetih White i Fridrich rješavaju parcijalne diferencijalne jednačine koristeći mrežu trougaonih konačnih elemenata i varijacione principe. Nakon toga uvodi se pojam donje i gornje granice aproksimacije po MKE. Hellinger i Reissner postavljaju mješoviti model konačnih elemenata u kome se kombinovano javljaju sile i deformacije kao nepoznate veličine. Da bi našao širu primjenu razvoj MKE ide u pravcu tačnosti aproksimacije i konvergencije rješenja. U tom periodu javljaju se radovi i monografija Zienkiewicz-a i Cheng-a u kojoj su prikazane osnove metoda i mogućnosti za primjenu. U metodu konačnih elemenata mora se ostvariti kontinuitet između elemenata i poddomena u mreži elemenata. To je postignuto uvođenjem interpolacionih funkcija koje su se razvile na osnovu razvoja matematičke teorije splajnova. Interpolacione funkcije se pretpostavljaju u obliku polinoma čime se obezbjeđuje kontinuitet između elemenata. Matematičari su sedamdesetih godina definitivno generalizirali teoriju tako je Oden uveo niz generalizacija i proširio primjenu na višedimenzionalno područje, euklidske prostore i područje nelinearne analize. Od tada se MKE razvija sa razvojem računara. Oni su omogućili rješavanje velikih problema složene geometrije i opterećenja. Do devedesetih nema vizualizacije problema. Sa današnjim mogućnostima računara moguće je dobiti potpunu predodžbu naponskog, deformacionog, termičkog polja ili nekog drugog problema. Diskretizacija domena na veći broj konačnih elemenata bila je limitirajući faktor sve do pojave automatskih generatora mreže. Prije toga se diskretizacija vršila ručno što je bilo zamorno, često netačno i iznad svega sporo. Metode automatskog generiranja mreže je 1988 predložio i klasificirao K. Ho-Le. 1992 na problemima diskretizacije domena radio je Shimada i predložio novi metod diskretizacije a ne treba zaboraviti ni radove Cavendisha na istom problemu. MKE je već odavno u masovnoj upotrebi za proračun različitih problema. Ne mogu se ni zamisliti iole ozbiljniji proračuni bez upotrebe ovog moćnog metoda. I pored toga nastavlja se razvoj alata i istražuju nove mogućnosti primjene MKE.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
3
1.3.
Uloga kompjutera u MKE
U modernom konstrukcionom mašinstvu koriste se različiti kompjuterski software-i CAE (Computer Aided Engineering) kako bi se ocijenila konstrukcija u svakom koraku u procesu dizajniranja. CAE alati se koriste za analize kinematičkih ili dinamičkih karakteristika konstrukcije. Na tržištu postoji niz moćnih CAD (Computer Aided Design) software alata. Prvi programi nisu imali mogućnost vizualizacije i dalje su se razvijali i dobili nove verzije NASTRAN, SAP do ABAQUS ANSYS, IDEAS, FLOW CATIA, ALGOR itd. Software-i su se razvijali zavisno od područja za koje su namijenjeni ili za univerzalnu primjenu (statičku, dinamičku, termičku analizu). Ranija primjena MKE odnosila se samo na strukturalnu mehaniku da bi se kasnije proširila na rješavanje problema prenosa toplote, elektrostatički potencijal, mehaniku fluida, vibracionu analizu i razne druge probleme u mašinstvu. Danas se razvijaju software-i u području brizganja plastike koji su u mogućnosti da pokažu distribuciju temperaturnog polja i punjenje kalupa tečnom masom. MOLDFLOW, C-MOLD su software-i koji simuliraju tok tečne plastike kod brizganja plastike. U razvoju elektromašinstva, nuklearne tehnike, magnetizma i za analize tokova fluida, simulaciju nelinearnih problema koriste se superračunari (kao što je CRAY).
1.4.
Osnovni koraci u MKE
Inženjerski problemi mogu biti strukturalni ili nestrukturalni (prenos toplote ili tok fluida). U strukturalnoj analizi cilj dizajnera je da odredi pomjeranja i napone u cijeloj strukturi koja je izložena djelovanju opterećenja. Za mnoge probleme nemoguće je naći raspodjelu deformacija korištenjem klasičnih analitičkih metoda pa se koristi MKE. Postoje dva osnovna pristupa u MKE. Prvi je metod sila ili metod fleksibilnosti. U metodu sila osnovne nepoznate veličine u problemu koji se analizira jesu sile. Da bi se dobile jednačine strukture prvo se postavljaju jednačine ravnoteže. Rezultat je sistem algebarskih jednačina u kojima su nepoznate veličine sile koje se iz jednačina određuju. Drugi pristup je metod pomjeranja ili metod krutosti u kome su osnovne nepoznate pomjeranja u čvorovima. Za postizanje uslova kompatibilnosti Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
4
kod rješavanja konkretnih problema traži se da su elementi povezani u čvorovima, duž stranica ili odgovarajućih površina prije i poslije djelovanja opterećenja. Osnovne jednačine strukture sadrže pomjeranja čvorova, a koriste se jednačine ravnoteže i veza između sila i pomjeranja. Od dva pomenuta pristupa veću primjenu je našao drugi metod pomjeranja i njegova formulacija je slična za mnoge strukturalne probleme. Većina programa je napravljena na osnovu metoda pomjeranja. U MKE se koriste modeli struktura u kojima su međusobno povezani elementi koji se zovu konačni elementi. Svakom elementu se pridružuje funkcija pomjeranja. Svi elementi su povezani direktno ili indirektno uključujući čvorove i/ili zajedničke granične linije elemenata i/ili zajedničke površine. Na osnovu poznatih vrijednosti napona i deformacija u jednom čvoru i elementu mogu se odrediti naponi i deformacije za bilo koji drugi čvor i element strukture koja se razmatra i čije su karakteristike materijala i opterećenja već poznate. Ukupan broj jednačina strukture opisuje ponašanje svih čvorova i predstavlja sistem algebarskih jednačina koje je najbolje predstaviti u matričnom obliku (prilog 1). Da bi se izložila procedura proračuna po MKE nekog problema najbolje je specificirati redoslijed koraka u proceduri. Prije opisa neophodnih koraka treba naglasiti da se modeliranje problema po MKE izvrši diskretizacijom strukture na odgovarajući broj konačnih elemenata, izabere vrsta (tip) elementa koji će se koristiti u analizi, zatim definiraju vrste opterećenja, granični uslovi ili oslonci. Prvi korak u proceduri odnosi se na modeliranje dok su sljedeći, koji će biti opisani, sastavni dio korištenog software-a i obavljaju se automatski. Korak 1. Diskretizacija domena i izbor vrste elementa Metod konačnih elemenata zasniva se na fizičkoj diskretizaciji posmatranog domena. Npr. rešetkasta struktura se diskretizira na linijske elemente štapove. Ploča se može podijeliti na površinske elemente oblika trougla ili pravougaonika, slika 1.1.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
5
Slika 1.1. Diskretizacija domena na konačne elemente Osnovu za analizu konstrukcije predstavlja poddomen, dio domena (strukture) koji se zove konačni element. Konačni element nije diferencijalno malih dimenzija nego ima konačne dimenzije zbog čega se zove konačni element. Zbog toga su i jednačine koje opisuju stanje u pojednim konačnim elementima algebarske jednačine. Pomoću njih se definira i stanje domena u cjelini. To znači da se razmatrani domen koji ima beskonačno mnogo stepeni slobode može podijeliti na konačan broj elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode. Pošto je broj konačnih elemenata za jedan problem neograničeno veliki postavlja se zadatak da se kreira model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem. Za ovu aktivnost nema pravila. Izbor najboljeg diskretnog modela zavisi od intuicije, inženjerske prakse i poznavanja suštine razmatranog problema. Kreator modela sam ocjenjuje sa kolikom tačnošću želi imati rezultate proračuna pa se prema tome i odlučuje za određene korake. Prvi korak u strukturalnoj analizi odnosno traženju napona i deformacija je diskretizacija (modela) domena. Ona se vrši linijama na poddomene ili konačne elemente. Ukupan broj konačnih elemenata u razmatranom modelu, tip i veličina elementa zavise od same procjene onog ko vrši taj posao. Elementi moraju biti dovoljno male veličine da daju upotrebljive rezultate, ali i dovoljno veliki da se izbjegnu problemi koji se mogu javiti kod modela sa velikim brojem elemenata koji se rješavaju na neadekvatnim računarima. Mali elementi i elementi višeg reda su u opštem slučaju poželjni tamo gdje se rezultati brzo mijenjaju tj. u području geometrijskih promjena (radijusi, otvori, mjesta koncentracije napona i sl.). Veliki elementi se u principu koriste tamo gdje su geometrijske promjene male ili gdje ih uopšte nema. Diskretizacija domena se nekada vršila manuelno. Danas svi software-i za MKE imaju automatsko generiranje mreže u predprocesorskom dijelu programa. Izbor elementa koji se koristi u MKE analizi zavisi od problema koji se rješava i od željene tačnosti rezultata. Prvo o čemu treba voditi računa odnosi se na činjenicu da li je problem jedno, dvo ili trodimenzionalan. Ako se radi o prostornim ili ravanskim rešetkama onda se koriste linijski ili Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
6
jednodimenzionalni elementi. Ako je problem ravanski koriste se dvodimenzionalni ravanski elementi, a ako je problem prostorni koriste se trodimenzionalni elementi. Neki elementi su prikazani na slici 1.2.
y
y 2
1
x
1
a) jednodimenzionalni element
y 2 z 4
1
3
y2
2 3 x
3 4 x
1
b) dvodimenzionalni elementi
z x
y 8 4
z 1
7 3
5
x
6 r
2
c) trodimenzionalni elementi
d) osnosimetrični elementi
Slika 1.2. Neke vrste konačnih elemenata Konstrukcije koje se diskretiziraju linijskim elementima - štapovima su rešetke. Poprečni presjek štapa postoji ali se može smatrati konstantnim. Najjednostavniji linijski element je linearni element sa dva čvora, po jedan na svakom kraju, slika 1.2.a. Elementi višeg reda imaju tri ili više čvorova i to su kvadratni ili kubni elementi. Linijski elementi su najjednostavniji od svih elemenata i na njima je najlakše pokazati osnovni koncept MKE. Osnovni dvodimenzionalni ili ravanski elementi imaju opterećenje koje djeluje u ravni elementa (ravni naponi i deformacije). Takvi su trokutni ili četverougaoni elementi. Najjednostavniji dvodimenzionalni elementi imaju čvorove samo u vrhovima. Može se reći da su to linearni elementi sa ravnim stranama. Postoje i elementi višeg reda sa čvorovima na sredinama stranica. Takvi elementi imaju zakrivljene stranice. Elementi mogu biti konstantne ili promjenljive debljine. Najčešći trodimenzionalni elementi su tetraedar i heksaedar. Koriste se u problemima gdje je potrebno analizirati prostorno naponsko stanje. Osnovni trodimenzionalni elementi imaju čvorove u uglovima i ravne stranice, slika
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
7
1.2.c. Postoje i elementi višeg reda sa čvorovima na sredinama stranica i/ili krivim površinama. Osnosimetrični element, slika 1.2.d. dobije se rotacijom trokuta ili četverokuta za 360 oko fiksne ose z postavljene u ravni elementa. Ovaj element se može koristiti u slučajevima kada su geometrija i opterećenje osnosimetrični. Osnosimetrični elementi opisani su u poglavlju 7. Korak 2. Izbor funkcije pomjeranja Izbor funkcije pomjeranja vrši se za svaki element. Funkcija je definirana unutar elementa i koristi vrijednosti izračunate u čvorovima. Kao funkcije pomjeranja biraju se linearni, kvadratni ili kubni polinomi. Polinomi se koriste kao funkcije zato što su jedostavni za rad i primjenu u MKE. Za dvodimenzionalni element funkcija pomjeranja je funkcija koordinata u xy ravni. Funkcije su nepoznate veličine u čvorovima. Za dvodimenzionalne probleme nepoznate veličine su funkcije koordinata x i y. Ista funkcija pomjeranja može se izabrati za svaki element u modelu konačnih elemenata diskretizirane strukture. Funkcije su tako odabrane da se pomoću MKE mora ostvariti kontinuitet pomjeranja unutar tijela tj. između svih elemenata u čvorovima, duž stranica i površina. Nakon izbora funkcije pomjeranja uspostavi se veza između deformacija i pomjeranja kao i veza između napona i deformacija. Korak 3. Definiranje relacije deformacija - pomjeranje i napon - deformacija Za svaki konačni element treba postaviti jednačine. Ako je problem jednodimenzionalan, tj. postoji deformacija samo u jednom pravcu npr. u x pravcu,tada je deformacija x i ona je povezana sa pomjeranjem "u" u x pravcu. Veza pomjeranja i deformacija data je za aksijalno stanje deformacija izrazom
x
du dx
(1.1)
Jednačina (1.1) važi za male deformacije. Između napona i deformacija također postoje relacije koje se zovu konstitutivne relacije. Jedna od najjednostavnijih je Hooke-ov zakon. Za jednodimenzionalni problem veza napona i deformacija je:
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
8
x E x gdje je:
(1.2)
x – napon u x pravcu E – modul elastičnosti
Nakon postavljanja relacija datih u prethodna tri koraka postavi se matrica krutosti. Korak 4. Matrica krutosti i jednačine U početku su se matrice krutosti elemenata i jednačine elemenata određivale na osnovu uticajnih koeficijenata krutosti, što je u direktnoj vezi sa strukturalnom analizom. Nakon toga razvijeno je više metoda za određivanje matrice krutosti. 1. Direktni ravnotežni metod (Direct Finite Element Method) Matrica krutosti povezuje sile u čvorovima elementa i pomjeranja čvorova elementa. Ona se dobije iz uslova ravnoteže sila za svaki razmatrani element. Direktni pristup u računanju matrice krutosti dobar je samo u slučaju jednodimenzionalnih (štapnih) elemenata, međutim isti je vrlo pogodan za objašnjenje osnovnog koncepta MKE. Direktni metod je pogodan za jednodimenzionalne probleme ali se za dvo i trodimenzionalne probleme koriste drugi metodi. 2. Varijacioni metodi (Variational Finite Element Methods) Zasnivaju se na principu stacionarnosti funkcionala. Ako se analiziraju problemi mehanike čvrstog tijela onda je ovaj princip isto što i princip minimuma potencijalne energije. Direktni metod se može primjeniti samo na probleme jednostavnog oblika dok se varijacioni metodi mogu primijeniti i na elemente složenog oblika. Osim toga varijacionim metodama mogu se odrediti matrice krutosti elemenata nestrukturalnih problema, analiza polja (napona, toplote). Funkcional se koristi isto kao potencijalna energija za dobivanje matrice krutosti elementa. Funkcional je funkcija npr. dvije varijable x i y = f (x,y) gdje je funkcija funkcije f (x,y). 3. Metodi težinskog reziduala (Methods of Weighted Residuals) Ovaj metod zasniva se na diferencijalnim jednačinama razmatranog problema. Metod se koristi tamo gdje nije moguće odrediti funkcional i u problemima u kojima funkcional uopšte ne postoji. Od svih metoda Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
9
reziduala najpoznatiji je Galerkinov metod. Na osnovu metoda reziduala dobiju se jednačine koje opisuju ponašanje elementa. U matričnom obliku to je:
f1 f 2 f n
k11 k12 k 21 k22 kn1 kn 2
d1 k13 k1n d 2 k23 k2 n kn 3 knn d n
f k d
(1.3)
(1.4)
gdje su: f vektor sila u čvorovima elementa
d vektor pomjeranja čvorova elementa k matrica krutosti elementa
4. Metodi energetskog balansa (Energy Balance Finite Element Methods) Zasnivaju se na balansu različitih vrsta energije. Koriste se u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma. Korak 5. Računanje globalne matrice krutosti Matrica krutosti i jednačine pojedinih konačnih elemenata dobiju se primjenom nekog metoda navedenog u koraku 4. Primjenom direktnog metoda i superpozicije, matrice pojedinih elemenata mogu se sabrati. Na taj način dobije se globalna ili ukupna matrica krutosti strukture. Ovdje mora biti ispoštovan koncept kontinuiteta ili kompatibilnosti koji zahtijeva da struktura zadrži cjelovitost (neprekidnost) tj. da nema prekida strukture. Globalna jednačina strukture u matričnoj formi je:
F K d
(1.5)
gdje su: F vektor sila u globalnom koordinatnom sistemu
K globalna matrica krutosti d vektor poznatih i nepoznatih pomjeranja svih čvorova strukture
Globalna matrica krutosti [K] je singularna matrica jer je njena determinanta jednaka nuli. Problem singulariteta matrice rješava se uvođenjem odgovarajućih graničnih uslova (ograničenja ili oslonci), tako da struktura Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
10
zadrži postojeće mjesto i da se ne kreće kao kruto tijelo. Treba naglasiti da se poznata opterećenja unose u globalnu matricu sila F . Korak 6. Određivanje pomjeranja cijele strukture Matrična jednačina strukture – konstrukcije u koju su uneseni granični uslovi predstavlja spregnuti sistem algebarskih jednačina u obliku.
F1 F K11 2 K 21 K Fn n1
d1 K12 K1n d 2 K 22 K 2 n K n 2 K nn d n
(1.6)
gdje je "n" ukupan broj nepoznatih stepeni slobode. Jednačine se mogu riješiti Gausovom metodom eliminacije ili primjenom nekog iterativnog metoda. Osnovne nepoznate su pomjeranja u čvorovima. To su prve veličine koje se određuju primjenom MKE. Korak 7. Računanje deformacija i napona Naponi i deformacije su nepoznate veličine koje se određuju u strukturalnoj analizi. Pomjeranja se izračunaju u koraku 6. Nakon toga korištenjem veze između deformacija i pomjeranja i napona i deformacija koja je data izrazima (1.1) i (1.2) izračunaju se deformacije i naponi. Korak 8. Interpretacija rezultata Dobiveni rezultati primjenom MKE se analiziraju i interpretiraju. Zaključak svake analize se svodi na određivanje tačnog mjesta djelovanja najvećih napona i deformacija. Na osnovu poznavanja naponsko-deformacionog stanja kao jednog od važnih faktora, dizajner će donositi odluke. Postprocesorski kompjuterski programi pomažu korisniku da intepretira rezultate prikazujući ih u grafičkoj formi.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
11
1.5.
Koordinatni sistemi
U prethodnom tekstu su pomenuti pojmovi lokalni i globalni koordinatni sistem. U općem slučaju model koji se analizira definira se pomoću čvorova smještenih u trodimenzionalnom prostoru. Položaj tačaka u prostoru određen je koordinatnim sistemom. Pomjeranja tačaka ali i druge veličine koje se traže, mogu se zbog jasnoće prikazati u koordinatnom sistemu različitom od onog u kome su difinirani čvorovi. Kordinatni sistemi se koriste da izraze položaj ulaznih ili izlaznih veličina. - Osnovni ili globalni koordinatni sistem U globalnom koordinatnom sistemu koji je osnovni sistem za sve računarske programe definiraju se ograničenja, kao i izlazne veličine pomjeranja. Koordinatni početak globalnog sistema je nula.
u3
z
u2 u1
O y x Slika 1.3. Osnovni koordinatni sistem - Lokalni koordinatni sistem
u3
z B
z
u2
R
B
u1
u2 u1
A
A y
C x
u3
a)
C x
y
b)
Slika 1.4. Lokalni koordinatni sistemi : a) pravougaoni b) cilindrični Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
12
Lokalni koordinatni sistem može biti sistem sa pravougaonim, cilindričnim ili sfernim koordinatama. Položaj lokalnog u odnosu na globalni sistem određen je sa tri tačke. Lokalni koordinatni sistem se koristi da se izraze rezultati pomjeranja i specificiraju ograničenja. - Koordinatni sistemi elementa Svaki element ima jedan koordinatni sistem koji služi da se u njemu izraze izlazni tangencijalni i normalni naponi kao i momenti. U koordinatnom sistemu elemenata mogu se dati i ulazne karakteristike za jednodimenzionalne elemente. Ovi koordinatni sistemi se određuju prema elementu, a često kod jednodimenzionalnih elemenata koordinatna osa spaja čvorove elemenata. - Materijali i koordinatni sistemi za materijal U analizi MKE koriste se dvo ili trodimenzionalni elementi. Oni mogu biti od različitih materijala. Programi za MKE omogućavaju korištenje različitih materijala. Linearno izotropni materijali su oni kod kojih mehaničke osobine ne zavise od pravca djelovanja opterećenja i iste su u svim pravcima. Najveći broj korištenih materijala ima ove osobine. Osobine materijala koje se definiraju u proračunima su: modul elastičnosti E, preko kojeg se računa modul klizanja G, Poissonov broj i koeficijent termalnog širenja . Sve ove osobine ne zavise od pravca djelovanja opterećenja. Linearni anizotropni materijal zahtijeva formiranje simetrične matrice materijala dimenzija 6 x 6 i vektora kolone koji ima 6 vrsta za definiranje koeficijenata termalnog širenja. U matrici 6 x 6 tri ortogonalne vrijednosti predstavljaju modul elastičnosti modul klizanja i Poissonov broj. Linearni ortotropni materijali su specijalni slučaj mnogo opštijih anizotropnih materijala. Matrica ortrotropnih dvodimenzionalnih materijala sadrži četiri nezavisne vrijednosti. Za linearno temperaturno zavisne izotropne materijale odnos napona i deformacija se obično daje u tabelernom obliku. U ANSYS programu omogućeno je unošenje familije krivih napon – deformacija koje su zavisne od temperature.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
13
1.6.
Opterećenje
U MKE se mogu koristiti različite vrste opterećenja. U strukturalnoj analizi opterećenje djeluje u čvorovima. Distribuirano opterećenje i početne deformacije mogu biti naneseni na jednodimenzionalne elemente, djelovanje pritiska na dvo i trodimenzionalne elemente,sila pritiska na dvo i trodimenzionalne elemente, sila gravitacije, centrifugalna sila i termalno opterećenje. - Direktno opterećenje Sile i momenti mogu se nanositi direktno u čvornim tačkama diskretizovane strukture. Pravac nanesenih sila i momenata definira se sa tri međusobno okomite komponente u koordinatnom sistemu. - Kontinuirano opterećenje Kontinuirano opterećenje može biti raspoređeno po dužini jednodimenzionalnog elementa ili po površinama dvo ili trodimenzionalnih elemenata. - Gravitaciono i centrifugalno opterećenje Gravitaciono opterećenje potiče od vlastite težine tj. ubrzanja gravitacije ili nekog drugog ravnomjernog ubrzanja. - Termalno opterećenje Opći oblik termalnog opterećenja predstavljaju temperature i termalni koeficijenti širenja. Drugim podacima mogu se definirati srednja temperatura i/ili temperaturni gradijenti po dužini ili kroz poprečni presjek i debljinu dvo ili trodimenzionalnih elemenata. - Dinamičko opterećenje Prinudno opterećenje je vremenski promjenljivo direktno opterećenje koje djeluje u čvorovima ili je distribuirano po elementu isto kao u statičkoj analizi. Ono se unosi u proračun kao harmonijska funkcija. Prinudno ubrzanje, brzina i pomjeranje su rezultat ulaznih vremenski promjenljivih karakteristika brzine, ubrzanja i pomjeranja čvornih tačaka.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
14
1.7.
Primjena metoda konačnih elemenata
Metodom konačnih elemenata mogu se rješavati problemi strukturne analize. U okviru tog postoje statički i dinamički problemi. Tipični statički problemi su računanje deformaciono-naponskog stanja strukture. Jedan primjer prostorne rešetke dat je na slici 1.5. Rešetka se sastoji od 48 štapova koji su povezani sa 28 čvorova. Svi čvorovi osim onih u osloncima imaju po tri stepena slobode, tj. da se pomjeraju u prostoru.
Slika 1.5. Toranjska rešetka U slučaju dvodimenzionalnih problema, kakav je primjer na slici 1.6. analiziran je slučaj ploče sa otvorom. S obzirom na simetričnost u odnosu na osu analizira se samo polovina ploče. Model se sastoji od elemenata koji su veći što su udaljeniji od otvora, a sitniji što su bliže rupi gdje je koncentracija napona veća, slika 1.6. Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
15
Slika 1.6. Ploča sa otvorom U općem slučaju matrična jednačina u strukturalnoj analizi ima oblik:
M d B d K d F N
(1.6)
gdje su: M, B i K matrice masa prigušenja i krutosti d , d i d vektori ubrzanja, brzina i pomjeranja {F} i {N} vektori statičkih dinamičkih opterećenja
Takođe je K = KE + KG gdje je: KE - elastična krutost KG - geometrijska ili diferencijalna krutost. Za probleme linearne statike jednačina (1.6) dobiva oblik (1.7) jednačine strukture: K d = F jer su brzina i ubrzanje strukture nula, a sila F = const. Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
16
(1.7)
Poseban slučaj statičkog proračuna je elastično izvijanje. a) Elastično izvijanje Konstrukcije ramova i tanki stubovi mogu osim opterećenja na pritisak ili istezanje biti izloženi izvijanju. Zavisno od načina oslanjanja struktura različiti su i oblici izvijanja. Metodom konačnih elemenata na strukturi se izvrši klasična statička analiza za poznatu geometriju i opterećenje. Nakon toga se odredi matrica krutosti koja sadrži članove elastične krutosti tj. one koji zavise od osobina materijala strukture i članove geometrijske krutosti koji su posljedica geometrije razmatranog elementa, pomjeranja i naponskog stanja, odnosno opterećenja. Jednačina za elastično izvijanje strukture KE+ KG d= 0
(1.8 )
sadrži faktor . Iz jednačine se odrede vrijednosti . Najmanja vrijednost određuje prvi oblik (mod) izvijanja strukture. Istovremeno je multiplikator nanesenog opterećenja sile koje dovodi do izvijanja. b) Sopstvene vrijednosti U slučaju da li jednačina (1.6) ima na desnoj strani pobudnu silu, sistem može biti prigušen i neprigušen. Rješenje jednačine slobodno vibrirajućeg sistema bez prigušenja daje prirodne frekvencije . Rješenje jednačine je "n" prirodnih frekvencija sistema. Poznavanje prirodnih frekvencija je važno zbog izbjegavanja rezonancije. c) Frekventni odziv Ako su u općoj jednačini odziva strukture nelinearna opterećenja nula, kao i geometrijska krutost iako djeluje sinusno opterećenje, jednačina (1.6) dobiva oblik
M
2
i B K d F
(1.9)
U praksi se shodno jednačini (1.9) nanosi ustaljeno sinusno promjenljivo opterećenje u različitim tačkama strukture i određuje odgovor sistema u onom frekventnom rasponu koji je od interesa za primjenu. Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
17
d) Nelinearna statika Nelinearna strukturna analiza odnosi se na velika pomjeranja koja se dešavaju linearnim materijalima i mala pomjeranja za materijale koji imaju nelinearan odnos između napona i deformacija. Pojava velikih deformacija u linearnim materijalima zove se geometrijska nelinearnost. Primjera za geometrijsku nelinearnost ima dosta, npr. žica zategnuta na dva kraja ima velike poprečne deformacije kada na nju djeluje poprečna sila. Nelinearna veza između napona i deformacija označava se kao materijalna nelinearnost. Nelinearnost se ogleda u činjenici da se opterećenje materijala vrši po jednoj a rasterećenje po drugoj krivoj. Ova vrsta analize obuhvata korištenje iterativnih postupaka i poznavanje nelinearnih veza. e) Dinamički problemi Opšta jednačina (1.6) za linearni materijal bez nelinearnog opterećenja N može se pisati u obliku
M d B d K d F (t )
(1.10)
Rješenja za brzinu i ubrzanje i pomjeranje se dobiju korištenjem iterativnog Newmarkovog metoda i diskretizaciju vremenskog perioda. Prije rješavanja strukturalnih dnamičkih problema treba naći prirodne frekvencije koje se javljaju kada na strukturu ne djeluju nikakve sile, a jednačina (1.6) ima oblik
M d K d 0
(1.11)
Na osnovu ove jednačine dobije se sistem od n algebarskih jednačina
K 2 M 0
(1.12)
u kome su prirodne frekvencije. U opštem slučaju sistem sa n stepeni slobode ima n prirodnih frekvencija i n modova oscilovanja.
Historijski razvoj, principi i primjena metoda konačnih elemenata
18
