BAB II MODEL TRANSPORTASI 2.1 Pengertian Model Transportasi
Model transportasi
menentukan sebuah rencana transportasi
sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Data dalam model transportasi mencakup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya transportasi per per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Tujuan dari model adalah menentukan jumlah yang harus dikirim dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Asumsi dasar dari model adalah biaya transportasi di sebuah rute tertentu proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Sumber s1
s2
sm
Tujuan c11 x11
1
1
2 2
2
m
n
Unit Penawaran
c
mn
x
mn
1
1
d 1
d 2
d n
Unit Permintaan
dengan s i - Jumlah penawaran di sumber –i,
d j - Jumlah permintaan di tujuan – j, c ij - biaya unit transportasi antara sumber -i dan tujuan- j
Model LP yang mewakili masalah transportasi ini adalah: m
n
Min. Z cij xij i 1 j 1
dengan kendala n
xij
si ,
i 1, 2, , m
j 1 m
xij
d j ,
j 1, 2, , n
i 1
dan xij 0. Model
transportasi
berimbang adalah
model
dengan
m
n
i 1
j 1
penawaran total sama dengan permintaan total ( s i d j ).
Tabel 1. Tabel Transportasi Ke
1
Dari
2 c 11 11
1
x 11 11
c 12 12 c 22 22
Permintaan
x m1 m1
c m2 m2
d 1
c 2n 2n
d 2 2
x mn mn s 2 2
2
c mn mn
x m2 m2 s 1
c 1n 1n
x 2n 2n
c m1 m1 m
Suplai
x 1n 1n
x 22 22
x 21 21
x 12 12 c 21 21
2
n
s n
d m
Contoh 1: Min. Z $6 x11 8 x12 10 x13 7 x 21 11 x22 11 x 23 4 x31 5 x32 12 x33
Kendala x11 x12 x13 150 x 21 x 22 x 23 175 x31 x32 x33 275 x11 x 21 x31 200 x12 x 22 x32 100 x13 x 23 x 23 300
dan
xij 0 .
Solusi Model Transportasi
Tabel 2. Tabel Transportasi Ke Dari
1
2
3
Suplai
6
8
10
150
7
11
11
175
4
5
12
275
1 2 3 Permintaan
200
100
300
600
Metode-metode untuk menyelesaikan model transportasi : 1. Metode Stepping-stone 2. Metode MODI (modified distribution ). ). Kedua metode digunakan setelah solusi fisibel basis (awal) diperoleh. 3
2.2 Metode untuk menetukan solusi fisibel basis awal a. Metode Northwest Corner
Pengalokasian awal ditempatkan pada sel pojok kiri atas (northwest corner ) . Jumlah yang dialokasikan adalah jumlah yang paling
memungkinkan
terbatas
pada
batasan
suplai
dan
permintaan untuk sel tersebut. Langkah-langkah:
1. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel di pojok kiri atas, disesusaikan dengan batasan suplai dan permintaan. 2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel fisibel berikutnya yang berdekatan. 3. Ulangi langkah (2) sampai semua kebutuhan telah dipenuhi. Tabel 3. Solusi NW Corner Awal Ke
1
Dari
2
3
6
8
10
150
7
11
11
175
12
275
150
1 2
50
100
25
4
5
275
3 Permintaan
Suplai
200
100
300
600
Solusi awal: x11 150 x 21 50
x 23 25 x 22 100 x33 275
dengan Z 6 (150) 8 (0) 10 (0) 7(50) 11(100) 11(25) 4(0) 5(0) 12(275) $5925
4
b. Metode Biaya Sel Minimum
Dasar pemikiran dari metode ini adalah mengalokasikan ke sel-sel dengan biaya terendah. Alokasi awal dilakukan pada sel dalam tabel yang mempunyai biaya terendah. Langkah-langkah:
1. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel fisibel dengan biaya transportasi minimum, disesusaikan dengan batasan suplai dan permintaan. 2. Ulangi langkah (1) sampai semua kebutuhan telah dipenuhi. Tabel 4. Alokasi Biaya Minimum Awal Ke
1
Dari 1
2
3
Suplai
6
8
10
150
7
11
11
175
4
5
12
275
xxx
2
xxx
200
3 Permintaan
200
100
300
600
Tabel 5. Alokasi Biaya Minimum Kedua Ke
1
Dari 1 2 3 Permintaan
2
3
Suplai
6
8
10
150
7
11
11
175
4
5
12
275
xxx
xxx
200 200
75
xxx
100
5
300
600
Tabel 6. Solusi Awal Ke
1
Dari
2
3
6 1
8
25
xxx
11
200
Permintaan
150
11
175
12
275
175
xxx
4 3
10
125
7 2
Suplai
5
75
200
xxx
100
300
600
Solusi awal: x12 25
x13 125
x 23 175
x32 75
x31 200
dengan Z 6 (0) 8 (25) 10 (125) 7(0) 11(0) 11(175) 4(200) 5(75) 12(0) $4550
c. Metode Aproksimasi Aproksimasi Vogel (VAM) (VAM)
Metode VAM berdasarkan pada konsep biaya penalti. Jika pengambil keputusan salah memilih tindakan dari beberapa alternatif tindakan yang ada, maka suatu sanksi diberikan. Dalam hal ini, yang dimaksud sebagai rangkaian tindakan adalah alternative rute dan suatu keputusan dianggap salah jika mengalokasikan ke sel yang tidak berisi biaya terendah. Langkah-langkah:
1. Tentukan biaya penalti untuk tiap baris dan kolom dengan cara mengurangkan biaya sel terendah pada baris atau kolom terhadap biaya sel terendah berikutnya pada baris atau kolom yang sama.
6
2. Pilih baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi. 3. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel fisibel dengan biaya transportasi terendah pada baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi. 4. Ulangi langkah (1), (2) dan (3) sampai semua kebutuhan telah dipenuhi. Tabel 7. Biaya Penalti VAM Ke
1
Dari
2
3
Suplai
6
8
10
7
11
11
175
4
4
5
12
275
1
1 2 3 Permintaan
200 2
100 3
300 1
150
2
600
Tabel 8. Alokasi VAM Awal Ke
1
Dari
2
3
Suplai
6
8
10
7
11
11
175
12
275
1 2
175
xxx
5
3 200 2
2
xxxx
4 Permintaan
150
100 3
7
300 2
600
1
Tabel 9. Alokasi VAM Kedua Ke
1
Dari
2
3
6 1
Suplai
8
10
11
11
175
12
275
150
xxx
7
175
2
xxx
xxxx
4
5
100
3 Permintaan
200 2
100
300 2
600
Tabel 10. Alokasi VAM Ketiga Ke
1
Dari
2
3
6 1
xxx
175
2
8
10
150
11
11
175
12
275
xxx
xxxx
4
25
3 Permintaan
Suplai
xxx
7
5
100 200
100
300 2
600
Tabel 11. Solusi VAM Awal Ke
1
Dari
2
3
6 1
xxx
8
2
xxx
175
11 xxx
Permintaan
25
5
100 200
150
11
175
12
275
150
100
300
Solusi awal: x13 150
10
xxxx
4 3
Suplai
150
7
4
x 21 175
8
x31 25
600
8
x32 100
x33 150
dengan Z 6 (0) 8 (0) 10 (150) 7(175) 11(0) 11(0) 4(25) 5(100) 12(150) $5125
Jadi, solusi biaya sel minimum ($4550) < solusi awal VAM ($5125) < solusi awal NW corner ($5925). 2.3 Metode untuk mendapatkan solusi optimal
Setelah solusi fisibel basis diperoleh dengan salah satu dari ketiga metode penentuan solusi awal (metode Northwest corner, metode biaya sel minimum dan metode aproksimasi Vogel), langkah
selanjutnya
adalah
menyelesaikan
model
untuk
mendapatkan solusi optimal (total biaya minimum). a. Metode Stepping-stone
Prinsip solusi basis dalam permasalahan transportasi adalah untuk menentukan apakah suatu rute transportasi yang tidak digunakan (sebagai sel kosong) akan menghasilkan total biaya yang lebih rendah jika digunakan. Karakteristik umum dari proses stepping-stone : o
Selalu mulai dari sel yang kosong dan membentuk suatu lintasan tertutup dari sel-sel yang telah dialokasikan.
o
Dalam pembentukan lintasan tertutup ini, sel yang digunakan dan belum digunakan mungkin terlewat.
o
Dalam baris atau kolom yang mana saja pasti terdapat tepat satu penambahan dan satu pengurangan.
9
Langkah-langkah pada Metode Stepping-stone: 1. Tentukan lintasan stepping-stone dan perubahan biaya untuk tiap sel yang kosong dalam tabel. 2. Alokasikan sebanyak sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya terbesar. 3. Ulangi langkah (1) dan (2) sampai semua sel kosong memiliki perubahan biaya positif yang mengindikasikan tercapainya solusi optimal. Untuk contoh di atas, solusi awal yang digunakan adalah solusi awal yang didapat dengan metode biaya sel minimum, yaitu: Tabel 12. Solusi Biaya Sel Minimum Ke
1
Dari
+ 1
2 6
1
3
-1 25
7
8
Permintaan
10
150
11
175
12
275
125 11
175
2 3
Suplai
-1 200
4
+1 5 75
200
100
300
600
Sel-sel kosong adalah sel 11, sel 21, sel 22 dan sel 33. Lintasan stepping-stone
Perubahan biaya ($)
11 12 32 31
6 – 8 + 5 – 4 = -1
2123 13 123231
7 –11+10 –8+5-4 = -1
22 23 13 12
11 – 11 + 10 – 8 = +2
33 13 12 32
12 – 10 + 8 – 5 = +5
10
Tabel 13. Iterasi kedua dari metode stepping-stone Ke
1
Dari
2
3
6 1
8
25 11
150
11
175
12
275
175
2 4 Permintaan
10
125 7
3
Suplai
175
5
100
200
100
300
600
Sel-sel kosong adalah sel 12, sel 21, sel 22 dan sel 33. Lintasan stepping-stone
Perubahan biaya ($)
12 32 31 11
8 – 5 + 4 – 6 = +1
21 23 13 11
7 –11 + 10 –6 = 0
22 32 31111323
11 – 5 + 4 – 6+10-11 = +3
33 31 11 13
12 – 4 + 6 – 10 = +4.
Evaluasi dari keempat lintasan dalam Tabel 13 tidak mengindikasikan adanya penurunan biaya. Jadi, solusi optimalnya: x11 25 x13 125
x 23 175
x31 175
x32 100
dengan Z 6 (25) 8 (0) 10 (125) 7(0) 11 (0) 11(175) 4(175) 5(100) 12(0) $4525
Catatan:
Lintasan untuk sel 21 menghasilkan perubahan biaya sebesar $0. Dengan kata lain, pengalokasian ke sel 21 tidak meng-akibatkan peningkatkan atau penurunan total biaya. Situasi ini mengindikasikan adanya solusi optimal majemuk . Jadi, sel 21 dapat dimasukkan ke dalam solusi 11
dan tidak akan mengakibatkan perubahan pada total biaya minimum $4525. Solusi alternatif ditunjukkan pada Tabel 14. Tabel 14. Solusi Optimal Alternatif Ke
1
Dari
2
3
6
8
Suplai 10
150
11
175
12
275
150
1 7
11
25
2
150 4
175
3 Permintaan
5
100
200
100
x13 150
x 23 150
x 21 25
x32 100
600
300
x31 175
dengan Z 6 (0) 8 (0) 10 (150) 7(25) 11 (0) 11 (150) 4(175) 5(100) 12(0)
$4525
Contoh 2:
Hasil awal dari masalah transportasi adalah sebagai berikut: Ke
1
2 1
1
10
3 8
Suplai
4
7
20
0
5
7
25
6
8
1
40
0
10
9
25
2 3
5
3 Permintaan
4
10
25
35 15
35
85
a. Tunjukkan mengapa hasil ini bukan solusi optimum? b. Dengan metode stepping-stone, tentukan solusi optimumnya. 12
b. Metode Distribusi Distribusi yang yang Dimodifikasi Dimodifikasi (MODI) (MODI)
MODI pada dasarnya adalah suatu modifikasi dari metode stepping-stone.
Dalam MODI perubahan biaya pada sel
ditentukan secara matematis tanpa mengidentifikasi lintasan selsel kosong seperti pada metode stepping-stone. Langkah-langkah MODI :
1. Tentukan solusi awal menggunakan salah satu dari ketiga metode yang tersedia. 2. Hitung nilai-nilai u i dan v j untuk tiap baris dan kolom dengan menerapkan rumus: u i v j cij
Pada tiap sel yang memiliki alokasi. 3.
Hitung perubahan biaya, k ij untuk setiap sel kosong dengan rumus: c ij u i v j k ij .
4.
Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya bersih terbesar ( k ij negatif dengan nilai mutlak terbesar).
Alokasikan sesuai dengan lintasan
stepping-stone untuk sel yang terpilih. 5.
Ulangi langkah (2) - (4) sampai semua nilai k ij nonnegatif (positif atau nol). Berdasarkan dari metode biaya sel minimum, tabel dari
solusi awal
dengan modifikasi yang diperlukan untuk MODI
ditunjukkan dalam Tabel 15.
13
Tabel 15. Solusi Awal Biaya Sel minimum v j
Ke
ui
Dari
u1 =
u2 = u3 =
v1 =
v2 =
v3 =
1
2
3
6
8
25
1
11
150
11
175
12
275
175
2 4 Permintaan
10
125
7
3
Suplai
200
5
75
200
100
300
600
Menghitung nilai u i dan v j , dengan rumus u i v j cij : x12 : u1 v 2 8 x13 : u1 v3 10 x 23 : u 2 v3 11
Ada 5 persamaan dengan 6 variabel
x 31 : u 3 v1 4 x 32 : u 3 v 2 5
Untuk memecahkan sistem persamaan Ini, diasumsikan u1 0 . x12 : u1 v 2 8 0 v 2 8 v 2 8 x13 : u1 v3 10 0 v3 10 v3 10 x 23 : u 2 v3 11 u 2 10 11 u 2 1 x 32 : u 3 v 2 5 u 3 8 5 u 3 3
x 31 : u 3 v1 4 3 v1 4 v1 7 .
Tabel 16 menunjukkan solusi awal dengan semua nilai u i dan v j .
14
Tabel 16. Solusi Awal dengan Nilai u i dan v j . v j ui u1 =0
u 2 =1 u 3 =-3
v1 =7
v 2 =8
v 3 =10
1
2
3
Ke Dari
6
8
25
1
11
150
11
175
12
275
175
2 4 Permintaan
10
125
7
3
Suplai
200
5
75
200
100
300
600
Menghitung perubahan biaya untuk tiap sel kosong dengan rumus c ij u i v j k ij .
x11 : k 11 c11 u1 v1 6 0 7 1 x 21 : k 11 c 21 u 2 v1 7 1 7 1 x 22 : k 22 c 22 u 2 v 2 11 1 8 2 x33 : k 33 c33 u 3 v3 12 (3) 10 5 .
Sel 11 dan sel 21 mengindikasikan adanya penurunan biaya sebesar
$1 per unit alokasi. Dengan memilih sel 11 untuk
pengalokasian, maka Tabel 17 menyajikan pengulangan kedua dari MODI.
15
Tabel 17. Pengulangan kedua dari MODI v j ui u1 =
u2 = u3 =
Ke Dari
v1 =
v2 =
v3 =
1
2
3
6
8
25
1
Suplai 10
150
11
175
12
275
125 7
11
175
2 4
175
3 Permintaan
5
100
200
100
300
600
Nilai-nilai u i dan v j pada Tabel 17 harus dihitung kembali (diasumsikan u1 0 ). x11 : u1 v1 6 0 v1 6 v1 6 x13 : u1 v3 10 0 v3 10 v3 10 x 23 : u 2 v3 11 u 2 10 11 u 2 1 x 31 : u 3 v1 4 u 3 6 4 u 3 2 x 32 : u 3 v 2 5 2 v 2 5 v 2 7
Tabel 18. Nilai u i dan v j yang baru untuk Pengulangan kedua v j ui u1 =0
u 2 =1 u 3 =-2
v1 =6
v 2 =7
v 3 =10
1
2
3
Ke Dari
6 1
8
25 11
150
11
175
12
275
175
2 4 Permintaan
10
125 7
3
Suplai
175
5
100
200
100
16
300
600
Menghitung perubahan biaya untuk tiap sel kosong dengan rumus c ij u i v j k ij . x12 : k 12 c12 u1 v 2 8 0 7 1 x 21 : k 21 c 21 u 2 v1 7 1 6 0 x 22 : k 22 c 22 u 2 v 2 11 1 7 3 x33 : k 33 c33 u 3 v3 12 (2) 10 4 .
Karena semua k ij positif atau nol, ditunjukkan pada Tabel 18 adalah optimal.
17
maka solusi yang
