Ejercicio 1 Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27.000 y requiere $10.000 en materiales, además, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14.000. En el caso de las sillas, su precio de venta es de $21.000 y los costos son de $9.000 y $10.000, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpintería y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 horas de terminaciones. Una silla requiere de 1 hora de carpintería y 1 hora de terminaciones. Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda semanal máxima por sillas es de 40. La mueblería desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades.
Solución Variables:
x1 = número de mesas producidas por semana. x2 = número de sillas producidas por semana.
Función Objetivo: Utilidad = Ingresos – Costos Variables – Costos Fijos Ingresos: $27.000x1 + $21.000x2 Costos Variables: materiales: $10.000x1 + $9.000x2 mano de obra: $14.000x1 + $10.000x2 Costos Fijos: no FO: Máx Z = 27.000x1 + 21.000x2 – (10.000x1 + 9.000x2) – (14.000x1 + 10.000x2) Máx Z = 3.000x1 + 2.000x2 Sujeto A (restricciones): Restricción 1 : máximo 100 horas semanales para terminaciones
x1 + x2 ≤ 100
Restricción 2 : máximo 80 horas semanales para carpintería Restricción 3 : producción máxima de 40 sillas semanales Restricción 4 : enteros, positivos
2x1 + x2 ≤ 80 x2 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0, enteros
Ejercicio 2 Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2000 [kCal], 55 [g] de proteínas y 800 [mg] de Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de mínimo costo a partir de los alimentos indicados en la siguiente tabla.
Alimento
Porción
Avena Pollo
28 100
Energía [kCal] 110 205
Proteínas [g] 4 32
Calcio [mg] 2 12
Costo [$/und] 3 24
Límite [und/día] 4 3
Huevos Leche Pastel Cerdo
2 237 170 260
160 160 420 260
13 8 4 14
54 285 22 80
13 9 20 29
2 8 2 2
Solución Variables: x1 = cantidad de avena a consumir. x1 = cantidad de pollo a consumir. x1 = cantidad de huevos a consumir. x1 = cantidad de leche a consumir. x1 = cantidad de pastel a consumir. x1 = cantidad de cerdo a consumir. Función Objetivo: FO: Min Z = 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 29x6 Sujeto A (restricciones): 110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2.000
Restricción 1 : energía mínima Restricción 2 : proteínas mínimas Restricción 3 : calcio mínimo Restricción 4 : porción límite de avena Restricción 5 : porción límite de pollo Restricción 6 : porción límite de huevos Restricción 7 : porción límite de leche Restricción 8 : porción límite de pastel Restricción 9 : porción límite de cerdo Restricción 10 : positivos
4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 2x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 x1 ≤4 x1 ≤3 x1 ≤2 x1 ≤8 x1 ≤2 x1 ≤2 xi ≥0
Ejercicio 3 Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios del día. Las características de cada bloque se muestran en la siguiente tabla Hora del día
Período
Número mínimo de enfermeras
2 AM - 6 AM 6 AM - 10 AM 10 AM - 2 PM 2 PM - 6 PM
1 2 3 4
25 60 50 35
6 PM - 10 PM 10 PM - 2 AM
5 6
55 40
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al día, y aquellas que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al día. ¿Cuál es la planificación de los turnos de las enfermeras que minimizan los costos por salarios?
Solución Variables x1 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 2AM – 6AM x2 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 6AM – 10AM x3 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 10AM – 2PM x4 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 2PM – 6PM x5 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 6PM – 10PM x6 = número de enfermeras que trabajan en el turno de 10PM – 2AM
Función Objetivo: FO: Mín Z = 50x1 + 40x2 + 40x3 + 40x4 + 50x5 + 50x6 Sujeto A (restricciones): Restricción 1:
x1 + x2 ≥ 60
Restricción 2: Restricción 3: Restricción 4: Restricción 5: Restricción 6: Restricción 7 :
x2 + x3 ≥ 50 x3 + x4 ≥ 35 x4 + x5 ≥ 55 x5 + x6 ≥ 40 x6 + x1 ≥ 25 xi ≥ 0, enteros
Ejercicio 4 La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente, Sil Computer tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. Sil Computer tiene el material y la capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Empleando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por período para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo mínimo?
Solución Variables x1 = producción en el período 1 en horario normal x2 = producción en el período 2 en horario normal x3 = producción en el período 3 en horario normal x4 = producción en el período 4 en horario normal y1 = producción en el período 1 en sobretiempo y2 = producción en el período 2 en sobretiempo y3 = producción en el período 3 en sobretiempo y4 = producción en el período 4 en sobretiempo i1 = inventario al final del período 1 i2 = inventario al final del período 2 i3 = inventario al final del período 3 Función Objetivo: FO: Min Z = 2000(x1 + x2 + x3 +x4) + 2.200(y1 + y2 + y3 +y4) + 100(i1 + i2 + i3) Sujeto A (restricciones): Restricción 1:
5.000 + x1 + y1 = 7.000 + i1
Restricción 2: Restricción 3: Restricción 4: Restricción 5: Restricción 6: Restricción 7 :
i1 + x2 + y2 = 15.000 + i2 i2 + x3 + y3 = 10.000 + i3 i3 + x4 + y4 = 8.000 xt ≤ 10.000 yt ≤ 2.500 xt, yt, it ≥ 0
(Para la formulación anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente este supuesto puede no ser correcto en la situación real, pero constituye una buena aproximación del problema). http://www.inf.utfsm.cl/~esaez/fio/s2_2004/apuntes/LP_s2_2004.pdf http://www.academia.edu/6754984/EJERCICIOS_RESUELTOS_DE_PROGRAMACI%C3%93N_LINEAL